Dreiecke

AB

C

α β

γab

c

hc

Allgemein:

Flache: F =a · ha

2=

b · hb

2=

c · hc

2

Umfang: U = a + b + c

Winkelsumme: α + β + γ = 180◦

α α

γ2

γ2

a a

c

c2

c2

hc

Gleichschenkliges Dreieck:

Hohe: hc =

√a2 − c2

4

60◦60◦

60◦

ss

s

h

Gleichseitiges Dreieck:

Hohe: h =√

32

s

Flache: F =√

34

s2

ab

c

hα β

Rechtwinkliges Dreieck:Allgemeines:

Flache: F =ab

2=

ch

2

Hohe: h =ab

c

Winkelsumme: α + β = 90◦

ab

c

hq p

Pythagoras-Satzgruppe:

Pythagoras: a2 + b2 = c2

Kathetensatz: a2 = cp

b2 = cq

Hohensatz: h2 = pq

a

bc

ϕ

Trigonometrie:

cosϕ =a

c=

AnkatheteHypotenuse

sin ϕ =b

c=

GegenkatheteHypotenuse

tanϕ =b

a=

GegenkatheteAnkathete

A B

C

C ′ C ′′

Thaleskreis:

Liegt der Punkt Cauf einem Kreis mitdem Durchmesser AB,dann ist der Winkel]BCA = 90◦.

Berechnungen in einem allgemeinen Dreieck: Cosinussatz und Sinussatz, Umkreis, Flachenformel:

α β

γab

c

Cosinussatz: c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

Sinussatz:a

sin α=

b

sinβ=

c

sin γ

Umkreisradius: r =a

2 sin α

Flachenformel: F =ab sin γ

2

SSS

ab

cα

Mit Cosinussatz:

a2 = b2 + c2 − 2cb cos α

⇒ cos α =b2 + c2 − a2

2bc⇒ α = . . .

SWS

ab

cβ

Mit Cosinussatz:

b2 = a2 + c2 − 2ac cos β

⇒ b = √. . .

SWW

b

cβ

γ

Mit Sinussatz:c

sin γ=

b

sin β

⇒ c = b · sin γ

sin β

SSW

a

cα

γ

Mit Sinussatz:a

sin α=

c

sin γ

⇒ sin α =a

c· sin γ

⇒ α = . . .

Falls c < a ⇒ α′ = 180◦ − α

Spezielle Geraden im Dreieck:

Mittelsenkrechte:

Der Schnittpunkt der Mittel-senkrechten ergibt den Mit-telpunkt des Umkreis.

Winkelhalbierende:

Der Schnittpunkt der Winkel-halbierenden ergibt den Mit-telpunkt des Inkreis.Jede Winkelhalbierende teiltdie gegenuberliegende Seiteim Verhaltnis der dem Win-kel anliegenden Seiten.

Schwerelinien(Seitenhalbierende):

Der Schnittpunkt der Sschwe-relinien ergibt den Schwer-punkt.Der Schwerpunkt teilt je-de Schwerelinie (Seitenhalbie-rende) im Verhaltnis 1 : 2

Hohen:

www.mathenachhilfe.chinfo@mathenachhilfe.ch

079 703 72 08