Allgemein: Gleichschenkliges Dreieck: Gleichseitiges ... · PDF fileDreiecke A B C fi fl...
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Dreiecke A B C α β γ a b c h c Allgemein: Fl¨ ache: F = a · h a 2 = b · h b 2 = c · h c 2 Umfang: U = a + b + c Winkelsumme: α + β + γ = 180 ◦ α α γ 2 γ 2 a a c c 2 c 2 h c Gleichschenkliges Dreieck: H¨ ohe: h c = r a 2 - c 2 4 60 ◦ 60 ◦ 60 ◦ s s s h Gleichseitiges Dreieck: H¨ ohe: h = √ 3 2 s Fl¨ ache: F = √ 3 4 s 2 a b c h α β Rechtwinkliges Dreieck: Allgemeines: Fl¨ ache: F = ab 2 = ch 2 H¨ ohe: h = ab c Winkelsumme: α + β = 90 ◦ a b c h q p Pythagoras-Satzgruppe: Pythagoras: a 2 + b 2 = c 2 Kathetensatz: a 2 = cp b 2 = cq H¨ ohensatz: h 2 = pq a b c ϕ Trigonometrie: cos ϕ = a c = Ankathete Hypotenuse sin ϕ = b c = Gegenkathete Hypotenuse tan ϕ = b a = Gegenkathete Ankathete A B C C 0 C 00 Thaleskreis: Liegt der Punkt C auf einem Kreis mit dem Durchmesser AB, dann ist der Winkel ]BCA = 90 ◦ . Berechnungen in einem allgemeinen Dreieck: Cosinussatz und Sinussatz, Umkreis, Fl¨ achenformel: α β γ a b c Cosinussatz: c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos γ Sinussatz: a sin α = b sin β = c sin γ Umkreisradius: r = a 2 sin α Fl¨ achenformel: F = ab sin γ 2 SSS a b c α Mit Cosinussatz: a 2 = b 2 + c 2 - 2cb cos α ⇒ cos α = b 2 + c 2 - a 2 2bc ⇒ α = ... SWS a b c β Mit Cosinussatz: b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos β ⇒ b = √ ... SWW b c β γ Mit Sinussatz: c sin γ = b sin β ⇒ c = b · sin γ sin β SSW a c α γ Mit Sinussatz: a sin α = c sin γ ⇒ sin α = a c · sin γ ⇒ α = ... Falls c<a ⇒ α 0 = 180 ◦ - α Spezielle Geraden im Dreieck: Mittelsenkrechte: Der Schnittpunkt der Mittel- senkrechten ergibt den Mit- telpunkt des Umkreis. Winkelhalbierende: Der Schnittpunkt der Winkel- halbierenden ergibt den Mit- telpunkt des Inkreis. Jede Winkelhalbierende teilt die gegen¨ uberliegende Seite im Verh¨ altnis der dem Win- kel anliegenden Seiten. Schwerelinien (Seitenhalbierende): Der Schnittpunkt der Sschwe- relinien ergibt den Schwer- punkt. Der Schwerpunkt teilt je- de Schwerelinie (Seitenhalbie- rende) im Verh¨ altnis 1 : 2 H¨ ohen: www.mathenachhilfe.ch [email protected] 079 703 72 08
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Dreiecke
AB
C
α β
γab
c
hc
Allgemein:
Flache: F =a · ha
2=
b · hb
2=
c · hc
2
Umfang: U = a + b + c
Winkelsumme: α + β + γ = 180◦
α α
γ2
γ2
a a
c
c2
c2
hc
Gleichschenkliges Dreieck:
Hohe: hc =
√a2 − c2
4
60◦60◦
60◦
ss
s
h
Gleichseitiges Dreieck:
Hohe: h =√
32
s
Flache: F =√
34
s2
ab
c
hα β
Rechtwinkliges Dreieck:Allgemeines:
Flache: F =ab
2=
ch
2
Hohe: h =ab
c
Winkelsumme: α + β = 90◦
ab
c
hq p
Pythagoras-Satzgruppe:
Pythagoras: a2 + b2 = c2
Kathetensatz: a2 = cp
b2 = cq
Hohensatz: h2 = pq
a
bc
ϕ
Trigonometrie:
cosϕ =a
c=
AnkatheteHypotenuse
sin ϕ =b
c=
GegenkatheteHypotenuse
tanϕ =b
a=
GegenkatheteAnkathete
A B
C
C ′ C ′′
Thaleskreis:
Liegt der Punkt Cauf einem Kreis mitdem Durchmesser AB,dann ist der Winkel]BCA = 90◦.
Berechnungen in einem allgemeinen Dreieck: Cosinussatz und Sinussatz, Umkreis, Flachenformel:
α β
γab
c
Cosinussatz: c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
Sinussatz:a
sin α=
b
sinβ=
c
sin γ
Umkreisradius: r =a
2 sin α
Flachenformel: F =ab sin γ
2
SSS
ab
cα
Mit Cosinussatz:
a2 = b2 + c2 − 2cb cos α
⇒ cos α =b2 + c2 − a2
2bc⇒ α = . . .
SWS
ab
cβ
Mit Cosinussatz:
b2 = a2 + c2 − 2ac cos β
⇒ b = √. . .
SWW
b
cβ
γ
Mit Sinussatz:c
sin γ=
b
sin β
⇒ c = b · sin γ
sin β
SSW
a
cα
γ
Mit Sinussatz:a
sin α=
c
sin γ
⇒ sin α =a
c· sin γ
⇒ α = . . .
Falls c < a ⇒ α′ = 180◦ − α
Spezielle Geraden im Dreieck:
Mittelsenkrechte:
Der Schnittpunkt der Mittel-senkrechten ergibt den Mit-telpunkt des Umkreis.
Winkelhalbierende:
Der Schnittpunkt der Winkel-halbierenden ergibt den Mit-telpunkt des Inkreis.Jede Winkelhalbierende teiltdie gegenuberliegende Seiteim Verhaltnis der dem Win-kel anliegenden Seiten.
Schwerelinien(Seitenhalbierende):
Der Schnittpunkt der Sschwe-relinien ergibt den Schwer-punkt.Der Schwerpunkt teilt je-de Schwerelinie (Seitenhalbie-rende) im Verhaltnis 1 : 2
Hohen:
079 703 72 08
