48
Teorema 3.2.3 Dacă f : [a, b] × [c, d] → ϒ este continuă, atunci funcţia
F : [c, d] → ϒ, ( )( ) , db
aF t f x t= ∫ x , t ∈ [c, d], este continuă pe [c, d] şi
( )( )d , d dd b d
c a cF t t f x t t x⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ,
relaţie echivalentă cu ( ) ( ), d d , d dd b b d
c a a cf x t x t f x t t x⎛ ⎞ ⎛=⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝∫ ∫ ∫ ∫ ⎞⎟⎠
d
.
Demonstraţie. Pentru orice u ∈ [a, b] notăm cu
( ) ( ), ,u
ag u t f x t x= ∫ şi ( )( ) , d
d
cG u g u t t= ∫
( )( ) , dd
ch x f x t t= ∫ şi . ( ) ( )d
u
aH u h x x= ∫
Din Teorema 3.2.2, funcţiile ( ),g u t şi g
fu∂
=∂
fiind continue, rezultă
( ) ( )( ) , d , dd d
c c
gG u u t t f u t tu∂′ = =∂∫ ∫ şi . Aşadar,
, ∀ u ∈ [a, b]. Rezultă că cele două funcţii diferă printr-o constantă, deci există c ∈ ϒ astfel încât
( )( ) ( ) , dd
cH u h u f u t t′ = = ∫
( ) ( )G u H u′ ′=
( ) ( )G u H u c= + , ∀ u ∈ [a, b]. Deoarece , rezultă că c = 0, deci ( ) ( ) 0G a H a= = ( ) ( )G u H u= , ∀ u ∈ [a, b].
În particular, pentru u = b avem: ( ) ( )G b H b= adică
( ) ( ), d d , d dd b b d
c a a cf x t x t f x t t x⎛ ⎞ ⎛=⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝∫ ∫ ∫ ∫ ⎞⎟⎠
.
3.3. INTEGRALE GENERALIZATE CU PARAMETRU Definiţia 3.3.1 Fie f : [a, b) × [c, d] → ϒ, b finit sau nu. Dacă pentru orice
t ∈ [c, d], ( ), db
af x t x∫ este convergentă, spunem că ( ), d
b
af x t x∫ este punctual
(simplu) convergentă pe intervalul [c, d]. Ţinând seama de Teorema 3.1.1 rezultă: Observaţia 3.3.1 Fie f : [a, b) × [c, d] → ϒ, b finit sau nu. Atunci
( ), db
af x t x∫ este punctual convergentă pe [c, d] dacă şi numai dacă ∀ t ∈ [c, d] şi
∀ ε > 0, ∃ a < ,t εδ < b astfel încât ∀ ( ),, tu u bεδ′ ′′∈ , avem ( ), du
uf x t x ε
′′
′<∫ .
Page 1
ONL
Y FO
R ST
UDEN
TS
Există şi un alt tip de convergentă, cu proprietăţi mai bune decât convergenţa
punctuală, în care δ depinde numai de ε şi nu depinde de t. Acest tip de convergenţă se numeşte convergenţă uniformă. Mai precis avem:
Definiţia 3.3.2 Fie f : [a, b) × [c, d] → ϒ, b finit sau nu. Spunem că
( ), db
af x t x∫ este uniform convergentă pe [c, d], dacă ∀ ε > 0, ∃ a < εδ < b astfel
încât, ∀ ( ),u u bεδ′ ′′∈ , şi ∀ t ∈ [c, d] avem ( ), du
uf x t x ε
′′
′<∫ .
Din Definiţia 3.3.2 şi Observaţia 3.3.1 rezultă imediat că: Observaţia 3.3.2 Convergenţa uniformă implică convergenţa punctuală. Teorema 3.3.1 Fie f : [a, b) × [c, d] → ϒ, b finit sau nu.
Dacă ∃ ϕ : [a, b) → ϒ+ cu proprietăţile: 1) ( ), ( )f x t xϕ≤ , ∀ ( , )x t ∈ [a, b) × [c, d].
2) ( )db
ax xϕ∫ este convergentă, atunci ( ), d
b
af x t x∫ este uniform
convergentă pe [c, d]. Demonstraţie.
Deoarece ( )db
ax xϕ∫ este convergentă, rezultă că ∀ ε > 0, ∃ a < εδ < b astfel
încât ( )du
ux xϕ ε
′′
′<∫ , ∀ ( ), ,u u bεδ′ ′′∈ .
Cum ( ) ( ), d , d ( )du u u
u u uf x t x f x t x x xϕ ε
′′ ′′ ′′
′ ′ ′≤ ≤∫ ∫ ∫ < , pentru orice
( ),u u bεδ′ ′′∈ , şi ∀ t ∈ [c, d], rezultă că ( ), db
af x t x∫ este uniform convergentă pe
[c, d].
Exemplul 3.3.1 , t ∈ ϒ este uniform convergentă pe ϒ.
Într-adevăr,
0sin dxe t
∞ −∫ x
sinx xe t x e− −≤ , ∀ x ∈ [0, ∞) şi ∀ t ∈ ϒ. Cum
0 0d lim d
uxu
e x e x∞ − −
∞=∫ ∫ 1x = x, este convergentă, rezultă că este
0
sin dxe t x∞ −∫
Page 2
ONL
Y FO
R ST
UDEN
TS
uniform convergentă pe ϒ .
În continuare, prezentăm fără demonstraţie, un alt criteriu de convergenţă uniformă.
Teorema 3.3.2 (Abel-Dirichlet) Fie f, g : [a, b) × [c, d] → ϒ. Considerăm următoarele condiţii:
(α1) ∃ M > 0 astfel încât ( ), du
af x t x M<∫ , ∀ a < u < b , ∀ t ∈ [c, d].
(β1) Pentru orice t ∈ [c, d], funcţia x → g(x, t): [a, b) → ϒ este monotonă şi ( )lim , 0
x bg x t = , uniform în raport cu t (adică, ∀ ε > 0, ∃ a ε bδ< < astfel
încât ( ),g x t ε< , ∀ ( , )x bεδ∈ şi ∀ t ∈ [c, d)).
(α2) ( ), db
af x t x∫ este uniform convergentă pe [c, d]..
(β2) Pentru orice t ∈ [c, d], funcţia x → g(x, t): [a, b) → ϒ este monotonă şi ∃ M > 0 astfel încât ( ), ,g x t M< ∀ x ∈ [a, b) şi ∀ t ∈ [c, d].
Atunci, dacă sunt îndeplinite condiţiile α1) şi β 1), respectiv α2) şi β2), rezultă
că ( ) ( ), ,b
adf x t g x t x∫ este uniform convergentă pe [c, d].
Exemplul 3.3.2 0
sin dt x xe xx
∞ −∫ este uniform convergentă pe [0, ∞). Fie
( )sin , 0
,1 ,
x xf x t x
x
⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩ 0
şi ( ), t xg x t e−= , x ∈ [0, ∞), t ∈ [0, ∞). Deoarece
0
sin dx xx
∞∫ este convergentă (Vezi Exemplul 3.1.9) şi nu depinde de t, rezultă că
0
sin dx xx
∞∫ este uniform convergentă pe [0, ∞).
Pe de altă parte, ( ), t xg x t e− 1= ≤ , ∀ x ∈ [0, ∞), ∀ t ∈ [0, ∞) deci g
satisface condiţia β2). Din Teorema 3.3.2 rezultă că 0
sin dt x xe xx
∞ −∫ este uniform
convergentă pe [0, ∞). Lema 3.3.1 Fie f : [a, b) × [c, d] → ϒ, fie { }nb cu na b b< < un şir cu
proprietatea că şi fie lim nnb
→∞= b ( )( ) , dnb
n aF t f x t= ∫ x , t ∈ [c, d]. Dacă
Page 3
ONL
Y FO
R ST
UDEN
TS
( ), db
af x t x∫ este uniform convergentă pe [c, d], atunci şirul de funcţii { }nF
converge uniform pe [c, d] la funcţia F, unde
( ) ( )( ) ( ) , d lim , db u
a au bF t v f x t x f x t x= =∫ ∫ , ∀ t ∈ [c, d].
Demonstraţie.
Deoarece ( ), db
af x t x∫ este uniform convergentă pe [c, d] rezultă că ∀ ε > 0,
∃ a ε bδ< < astfel încât pentru orice ( ),u u bεδ′ ′′∈ , şi ∀ t ∈ [c, d] avem
( ), du
uf x t x ε
′′
′<∫ (1)
Cum → b, ∃ nb nε∗∈ astfel încât ∈nb ( ),bεδ pentru orice n nε≥ . dacă
presupunem acum că n nε≥ şi m nε≥ , din (1) rezultă că:
( )( ) ( ) , dm
n
bn m b
F t F t f x t x ε− = ∫ < (2)
Aşadar, şirul { }nF este uniform fundamental, deci uniform convergent pe [c, d]. Pe de altă parte, este evident că pentru orice t ∈ [c, d] avem
( )lim ( ) lim , d ( )mbm am m
F t f x t x→∞ →∞
= =∫ F t .
Trecând la limită în (2) după m → ∞ obţinem ( ) ( )nF t F t ε− ≤ , ∀ t ∈ [c, d], deci u
nF F⎯⎯→ pe [c, d]. Teorema 3.3.3 Dacă f : [a, b) × [c, d] → ϒ este continuă, şi dacă
( ), db
af x t x∫ este uniform convergentă pe [c, d], atunci funcţia F : [c, d] → ϒ,
definită prin ( )( ) ( ) , db
aF t v f x t= ∫ x , ∀ t ∈ [c, d], este continuă pe [c, d].
Demonstraţie.
Fie , → b şi fie na b b< < nb ( )( ) , dnbn a
F t f x t= ∫ x , t ∈ [c, d]. Din Teorema
3.1.1 rezultă că nF este continuă pe [c, d], ∀ n. Pe de altă parte, Lema 3.3.1
implică faptul că unF F⎯⎯→ pe [c, d]. Din Teorema referitoare la continuitatea
limitei unui şir de funcţii (vezi [9] Teorema 2.1.2) rezultă că F este continuă pe [c, d].
Teorema 3.3.4 Fie D = [a, b) × [c, d] şi f : D → ϒ, cu proprietăţile:
Page 4
ONL
Y FO
R ST
UDEN
TS
(i) f şi ft
∂∂
sunt continue pe D.
(ii) ( ), db
af x t x∫ este punctual convergentă pe [c, d].
(iii) ( ), db
a
f x t xt
∂∂∫ este uniform convergentă pe [c, d].
Atunci, funcţia F : [c, d] → ϒ, definită prin F(t) = (v) ( ), db
af x t x∫ ,
∀ t ∈ [c, d], este derivabilă pe [c, d] şi ( )( ) ( ) , db
a
fF t v x tt
∂′ = x∂∫ , ∀ t ∈ [c, d].
Demonstraţie.
Fie , → b şi fie na b b< < nb ( )( ) , dnbn a
F t f x t= ∫ x , t ∈ [c, d]. Este evident
că şirul { }nF converge punctual pe [c, d] la funcţia F. Pe de altă parte, din
Teorema 3.1.2 rezultă că nF este derivabilă pe [c, d] şi ( )( ) , db
n a
fF t x tt
∂′ =∂∫ x .
Observăm de asemenea, că dacă notăm cu ( )( ) ( ) , db
a
fG t v x t xt
∂=
∂∫ , ∀ t ∈ [c, d],
atunci din Lema 3.3.1 rezultă că unF G′ ⎯⎯→ pe [c, d]. Conform teoremei de
derivabilitate a limitei unui şir de funcţii ([9] teorema 2.1.4) rezultă că F este derivabilă şi ( ) ( )F t G t′ = , ∀ t ∈ [c, d] şi cu aceasta, teorema este demonstrată.
Exemplul 3.3.3 Să se calculeze integrala lui Dirichlet: 0
sin dx xx
∞∫ .
Fie 0
sin( ) dt x xF t e xx
∞ −= ∫ , t ∈ [0, ∞).
Aşa cum am văzut în Exemplul 3.3.2 0
sin dt x xe xx
∞ −∫ este uniform
convergentă pe [0, ∞). Cum funcţia de sub integrală este continuă, din Teorema
3.3.3 rezultă că F este continuă pe [0, ∞), deci 0 0
sin d (0) lim (t
x )x F F tx
∞= =∫ .
Pe de altă parte, avem: 0
sin dt x xe xt x
∞ −∂ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∫ 0sin dt xe x
∞ −−∫ x . Fie a > 0
oarecare. Deoarece sint x axe x e− ≤ − x
x
, ∀ x ∈ [0, ∞) şi este convergentă,
rezultă că este uniform convergentă pe [a, ∞], ∀ a > 0.
0daxe
∞ −∫
0sin dt xe x
∞ −−∫Din Teorema 3.3.4 rezultă că pentru orice t > 0 avem
Page 5
ONL
Y FO
R ST
UDEN
TS
0 00
sin 1( ) sin d cos dt x
t x t xe xF t e x x e xt t
∞−∞ ∞− −′ = − = − =∫ ∫ x
2 20 00
1 cos 1 1 1sin d sin dt x
t x t xxe e x x e xt t t t t
∞− ∞ ∞− −⎛ ⎞⎜ ⎟= − − − = − +⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫ x .
Mai departe avem 2 21 11 ( )F tt t
⎛ ⎞ ′+ =⎜ ⎟⎝ ⎠
− , deci 21( )
1F t
t′ = −
+, t > 0. Aşadar,
( ) arctgF t t C= − + , ∀ t > 0 (3)
Pe de altă parte, 0
1( ) dt xF t e xt
∞ −≤ ∫ = , ∀ t > 0, deci
lim ( ) 0t
F t→∞
= . (4)
Din (3) şi (4) deducem 0 = lim ( )2t
F t Cπ→∞
= − + , deci 2
C π= . Folosind din
nou (3) obţinem F(0) = C.
Cum 0
sin dx xx
∞∫ = F(0) deducem că
0
sin dx xx
∞∫ =
2π .
Teorema 3.3.5 Fie f : [a, b) × [c, d] → ϒ, continuă. Dacă ( ), db
af x t x∫ este
uniform convergentă pe [c, d], atunci funcţia F : [c, d] → ϒ, definită prin
( ) ( )F t v= ( ), db
af x t x∫ , t ∈ [c, d] este continuă (deci integrabilă) pe [c, d] şi
( )( )d , d dd b d
c a cF t t f x t t x⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ,
relaţie echivalentă cu
( ) ( ), d d ( ) , d dd b b d
c a a cf x t x t v f x t t x⎛ ⎞ ⎛=⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝∫ ∫ ∫ ∫ ⎞⎟⎠
.
Demonstraţie.
Fie , → b şi fie na b b< < nb ( )( ) , dnbn a
F t f x t= ∫ x , t ∈ [c, d]. Din Teorema
3.2.3 rezultă că ( )( )d , d dnd b dnc a c
F t t f x t t x⎛= ⎜⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ⎞⎟ . Pe de altă parte, din Lema
3.3.1, rezultă că unF F⎯⎯→ pe [c, d], de unde deducem că lim ( )d
dncn
F t t→∞
=∫
= ( )dd
cF t t∫ . Aşadar, avem:
Page 6
ONL
Y FO
R ST
UDEN
TS
( )dd
cF t t∫ = lim ( )d
dncn
F t t→∞
=∫ ( )lim , d dnb d
a cnf x t t x
→∞
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ .
Rezultă că ∃ ( )lim , d d ( )du d d
a c cu bu b
f x t t x f t t→<
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ (finită), deci
( ), d db d
a cf x t t x⎛⎜
⎝ ⎠∫ ∫ ⎞⎟
⎞⎟⎠
d
este convergentă şi
. ( ) ( )( ) , d d ( )d , d db d d d b
na c c c av f x t t x F t t f x t x t⎛ ⎞ ⎛= =⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝∫ ∫ ∫ ∫ ∫
3.4. INTEGRALELE LUI EULER Definiţia 3.4.1 Se numeşte funcţia beta sau integrala lui Euler de prima
speţă, următoarea integrală generalizată cu parametri :
( ) ( )1 110
, 1 baB a b x x x−−= −∫ , a > 0, b > 0. (1)
Se observă că dacă a < 1, funcţia de sub integrală nu este definită în 0 şi nu este mărginită pe (0, 1], iar dacă b < 1, atunci această funcţie nu e definită în 1 şi nu e mărginită pe [0, 1).
Pentru început, vom arăta că integrala (1) este convergentă pentru a > 0 şi b > 0. Pentru aceasta vom descompune integrala în suma a două integrale
1 1 2 1
0 0 1 2= +∫ ∫ ∫ . Dacă a ≥ 1, atunci ( )1 2 11
01 ba dx x −− −∫ x este o integrală obişnuită
deoarece funcţia de sub integrală este continuă pe 1
0,2
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
, deci nu se pune problema
convergenţei.
Dacă 0 < a < 1, atunci 1 − a < 1 şi deoarece ( ) 11 10
lim 1 1ba ax
x x x −− −⎡ ⎤− =⎣ ⎦,
din Teorema 3.1.5 rezultă că ( )1 2 110
1 ba dx x −− −∫ x este convergentă. Dacă b ≥ 1,
atunci ( )1 111 2
1 ba dx x −− −∫ x este o integrală obişnuită, deci nu se pune problema
convergenţei. Dacă 0 < b < 1, atunci 1 − b < 1 şi deoarece
( ) ( )1 111
lim 1 1 1,b bax
x x x− −−⎡ ⎤− − =⎣ ⎦
din Teorema 3.1.4, rezultă că ( )1 111 2
1 ba dx x −− −∫ x este convergentă. Aşadar,
funcţia B este convergentă pentru orice a > 0 şi orice b > 0.
Page 7
ONL
Y FO
R ST
UDEN
TS
Top Related