2. TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO

Prof° Fernando Montanare Barbosa

email: montanare@gmail.com

2.1 Estado plano das deformações2.1 Estado plano das deformações

γ = 0 (estado plano de tensões - - estado plano de deformações)

2.2 Equações gerais de transformação para o estado plano de deformações2.2 Equações gerais de transformação para o estado plano de deformações

Convenção de sinal

Equacionamento

Equacionamento

2.2 Equações gerais de transformação para o estado plano de deformações2.2 Equações gerais de transformação para o estado plano de deformações

Substituindo θ por θ + 90°:

2.2 Equações gerais de transformação para o estado plano de deformações2.2 Equações gerais de transformação para o estado plano de deformações

� deformações principais

DEFORMAÇÕES NORMAIS

DEFORMAÇÕES CISALHANTES

2.2 Equações gerais de transformação para o estado plano de deformações2.2 Equações gerais de transformação para o estado plano de deformações

O elemento infinitesimal do suporte está sujeito a um estado plano de

deformações com os seguintes componentes: Ɛx = 150 x 10^-6, Ɛy = 200 x 10^-6,

ϒxy = -700 x 10^-6. Determinar as deformações planas equivalentes em um

elemento orientado a θ = 60° no sentido anti – horário em relação à posição

original.

2.2 Equações gerais de transformação para o estado plano de deformações2.2 Equações gerais de transformação para o estado plano de deformações

O estado de deformação no ponto da lança do guindaste hidráulico tem

componentes Ɛx = 250.10^-6, Ɛy = 300.10^-6, ϒxy = -180.10^-6. Usar as

equações de transformação da deformação para determinar (a) as deformações

principais no plano e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a

deformação normal média.

2.2 Equações gerais de transformação para o estado plano de deformações2.2 Equações gerais de transformação para o estado plano de deformações

Uma viga engastada de 7,874 polegadas de diâmetro e 2 metros de comprimento

é submetida por duas forças, conforme ilustrado abaixo. Determine:

a) A tensão normal atuante no ponto A (em pascal) – 0,1 ponto

b) A tensão cisalhante atuante no ponto A (em pascal) – 0,1 ponto

c) A tensões principais em A (em pascal). Desenhá-las em um elemento

infinitesimal – 0,1 ponto

d) A tensão cisalhante máxima e sua respectiva tensão normal em A (em pascal).

Desenhá-las em um elemento infinitesimal – 0,1 ponto

e) Desenhar o círculo de mohr para o estado plano de tensões – 0,1 ponto

2.3 Círculo de 2.3 Círculo de MohrMohr –– Estado plano de deformaçõesEstado plano de deformações

Equação de uma circunferência

2.3 Círculo de 2.3 Círculo de MohrMohr –– Estado plano de deformaçõesEstado plano de deformações

O estado de deformação no ponto da chave tem componentes Ɛx = 260 x 10^-6; Ɛy =

320 x 10^-6 e ϒxy = 180 x 10^-6. Usando o círculo de Mohr, determine: a) as

deformações principais no plano e b) a deformação por cisalhamento máxima no

plano e a deformação normal média.

2.4 Rosetas e extensômetros2.4 Rosetas e extensômetros

� Roseta: três extensômetros agrupados

2.4 Rosetas e extensômetros2.4 Rosetas e extensômetros

Roseta 45°

Fazendo:Fazendo:

2.4 Rosetas e extensômetros2.4 Rosetas e extensômetros

Roseta 60°

Fazendo:Fazendo:

Achadas as deformações: usar círculo de

Mohr para calcular as deformações

principais

2.4 Rosetas e extensômetros2.4 Rosetas e extensômetros

A roseta de 45° esta montada no elo da retro-escavadeira. As seguintes

leituras foram obtidas em cada aferidor: Ɛa = 650.10^-6, Ɛb = -300.10^6 e Ɛc =

480.10^-6. Determinar (a) as deformações principais no plano, (b) a

deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média

associada.

2.4 Rosetas e extensômetros2.4 Rosetas e extensômetros

A roseta de 60° esta montada na superfície de uma chapa de alumínio. As

seguintes leituras foram obtidas em cada aferidor: Ɛa = 950.10^-6, Ɛb =

380.10^6 e Ɛc = -220.10^-6. Determinar (a) as deformações principais no

plano, (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação

normal média associada.

2.5 Relação material propriedade 2.5 Relação material propriedade –– dilatação e módulo de compressibilidadedilatação e módulo de compressibilidade

Material homogêneo e isotrópico

Mesmas propriedades em todas as direções

�Estado de tensão triaxial:�Estado de tensão triaxial:

2.5 Relação material propriedade 2.5 Relação material propriedade –– dilatação e módulo de compressibilidadedilatação e módulo de compressibilidade

OBTIDO PELO LEI DE HOOKE

Lembrando que:

Resposta linear-elástica

2.5 Relação material propriedade 2.5 Relação material propriedade –– dilatação e módulo de compressibilidadedilatação e módulo de compressibilidade

�Deformações devido a tensões cisalhantes

Onde: G (módulo de cisalhamento)

2.5 Relação material propriedade 2.5 Relação material propriedade –– dilatação e módulo de compressibilidadedilatação e módulo de compressibilidade

� Equação de deformação máxima:

Dedução:

Considera-se apenas cisalhamento:

e

2.5 Relação material propriedade 2.5 Relação material propriedade –– dilatação e módulo de compressibilidadedilatação e módulo de compressibilidade

� Equação de deformação máxima:

(Lei de Hooke)

Onde: G (módulo de cisalhamento)

2.5 Relação material propriedade 2.5 Relação material propriedade –– dilatação e módulo de compressibilidadedilatação e módulo de compressibilidade

� Dilatação e módulo de compressibilidade:

+=

=

Desprezando produto das deformações

2.5 Relação material propriedade 2.5 Relação material propriedade –– dilatação e módulo de compressibilidadedilatação e módulo de compressibilidade

� Dilatação e módulo de compressibilidade:

DILATAÇÃO (e): mudança de volume por unidade de volume

Lei de Hooke

Pressão de um líquido (p)

K: módulo de compressibilidade

2.5 Relação material propriedade 2.5 Relação material propriedade –– dilatação e módulo de compressibilidadedilatação e módulo de compressibilidade

A haste é feita de alumínio 2014. Se tiver sujeita a uma carga de tração de 700 N e seu

diâmetro for de 20 mm, quais serão as deformações principais em um ponto de sua

superfície? Dado: E = 73,1 Gpa; γ = 0,35

Uma barra de plástico com diâmetro de 0,5 polegada está com carga em uma máquina de

tração e foi determinado que Ɛx = 530 x 10^-6 quando a carga é de 80 lb. Determinar o

módulo de elasticidade e a dilatação do plástico. Dado: γ = 0,26

2.5 Relação material propriedade 2.5 Relação material propriedade –– dilatação e módulo de compressibilidadedilatação e módulo de compressibilidade

As deformações principais em um ponto, medidas experimentalmente na fuselagem de

alumínio de um avião a jato são, Ɛ1 = 630 x 10^-6, Ɛ2 = 350 x 10^-6. Supondo que esse seja

um caso de estado plano de tensões, determinar as tensões principais associadas a esse ponto

no mesmo plano. Dado: E = 10 x 10^3 ksi e γ = 0,33

Resposta: σ1 = 8,37 ksi; σ2 = 6,26 ksi

O eixo tem raio de 15 mm e é feito de aço ferramenta L2. Determinar as deformações nas

direções x` e y` se lhe for aplicado um torque T = 2 kN.m. Dado: G = 75 GPa

2.5 Relação material propriedade 2.5 Relação material propriedade –– dilatação e módulo de compressibilidadedilatação e módulo de compressibilidade

Determinar as deformações principais em um vaso de pressão cilíndrico cheio de ar, com uma

pressão interna de 40 MPa. O vaso tem 2 metros de comprimento, raio interno de 0,4 metros

e espessura de 10 mm. Dado: G = 73 GPa; γ = 0,33

2.6 Teorias da falha2.6 Teorias da falha

� Estado de tensão uniaxial

dúctil: tensão de escoamento

frágil: falha

� Estado de tensão multiaxial: teorias da falha (baseiam-se nas tensões principais)

Materiais dúcteis� Materiais dúcteis

. Teoria da tensão de cisalhamento máxima

. Teoria da energia de distorção máxima

� Materiais frágeis

. Teoria da tensão normal máxima

. Critério de falha de Mohr

2.6 Teorias da falha2.6 Teorias da falha

� TEORIA DA TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA

� Origem molecular da dutilidade em monocristais

Deformação plástica ocorre por dois distintos mecanismos: Escorregamento (slip) e

maclação (twinning)

Plano de escorregamento = superfície na qual o escorregamento ocorre

Direção de escorregamento = direção do movimento de escorregamento

Maclação = processo no qual os átomos sujeitos a tensões se rearranjam de maneira que

uma parte do cristal torna-se uma imagem da outra.

� Processo da deformação plástica

Uma das principais falha foi não ter levado em consideração as imperfeições cristalinas

2.6 Teorias da falha2.6 Teorias da falha

� TEORIA DA TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA

Aresta ou cunha Parafuso Mista

� Processo da deformação plástica

O movimento da discordância aresta pode

mover-se por escorregamento somente

no plano de escorregamento

2.6 Teorias da falha2.6 Teorias da falha

� TEORIA DA TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA

O processo pelo qual ocorre a deformação plástica é chamado de

DESLIZAMENTO

� Processo da deformação plástica

Além da densidade de discordâncias, a orientação da discordância é fator

importante na determinação da ττττcr por deformação plástica

Discordância não move com a mesma facilidade em

todas as direções cristalográfica

� TEORIA DA TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA

2.6 Teorias da falha2.6 Teorias da falha

todas as direções cristalográfica

- A direção preferencial depende do tipo de estrutura

cristalográfica

-FCC → plano (111) , direção [110]

- Cada plano de escorregamento pode conter mais de uma

direção de escorregamento

- Sistema de escorregamento = combinação de plano e

direção

� Processo da deformação plástica

BCC possuem alto no. de sistemas de

escorregamentos

� TEORIA DA TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA

2.6 Teorias da falha2.6 Teorias da falha

Deformação plástica extensa

Altamente dúteis

� TEORIA DA TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA ou critério de escoamento de Tresca

2.6 Teorias da falha2.6 Teorias da falha

Para evitar falha:

menor ou igual a

� TEORIA DA ENERGIDA DE DISTORÇÃO MÁXIMA

2.6 Teorias da falha2.6 Teorias da falha

� Usa-se a energia de deformação no regime elástico (resiliência)

Se a equação for aplicada nas três dimensões:Se a equação for aplicada nas três dimensões:

+

=

� TEORIA DA ENERGIDA DE DISTORÇÃO MÁXIMA

2.6 Teorias da falha2.6 Teorias da falha

“ O corre escoamento em um material dúctil quando a energia de distorção por unidade

de volume do material é igual ou maior que a energia de distorção por unidade de

volume do mesmo material quando ele é submetido a escoamento em um teste de

tração simples” M. Huber, 1904

Portanto, distorção por unidade de volume:Portanto, distorção por unidade de volume:

Estado plano de tensões:

� TEORIA DA ENERGIDA DE DISTORÇÃO MÁXIMA

2.6 Teorias da falha2.6 Teorias da falha

Teste de tração uniaxial

2.6 Teorias da falha2.6 Teorias da falha

� FRATURA FRÁGILVIDROS E CERÂMICOS:

superfície brilhante e lisa

Superfície granulada

� TEORIA DA TENSÃO NORMAL MÁXIMA

Marcas de sargento: em V

Nervuras em forma de lequePEÇAS DE AÇO

� TEORIA DA TENSÃO NORMAL MÁXIMA

2.6 Teorias da falha2.6 Teorias da falha

“ Um material frágil falha quando a tensão principal máxima σ1 atinge“ Um material frágil falha quando a tensão principal máxima σ1 atinge

um valor-limite igual ao limite de resistência que o material suporta

quando submetido a tração simples”

� CRITÉRIO DE FALHA DE MOHR

2.6 Teorias da falha2.6 Teorias da falha

� usa-se quando há diferenças entre tração e compressão

� são feitos testes de tração, compressão e torção

2.6 Teorias da falha2.6 Teorias da falha

Uma barra com área de seção transversal circular é feita de aço carbono SAE

1045, cujo limite de escoamento é 150 ksi. Se a barra for submetida a um torque

de 30 kip. pol, a um momento fletor de 56 kip. pol, qual diâmetro ele precisará

ter de acordo com a teoria da energia de distorção máxima. Usar um fator de

segurança 2.

2.6 Teorias da falha2.6 Teorias da falha

O pequeno cilindro de concreto com diâmetro de 50 mm está sujeito a um torque

de 500 N.m e uma força de compressão axial de 2 kN. Determinar se ele falhará

de acordo com a teoria da tensão normal máxima. O limite de resistência do

concreto é 28 MPa.