1

3. CALCOLO DEGLI ELEMENTI

3.1 SEZIONI SOGGETTE A SFORZI NORMALI

SOTTO TENSIONI UNIFORMI COSTANTI

S.L. DEL PUNTO ≡ S.L. DELLA SEZIONE

VERIFICHE SULLE σ• TRAZIONI // ALLA FIBRATURA

σt0d = N0d/Anet σt0d ≤ ft0d

• TRAZIONE ┴ ALLA FIBRATURA

σt90d = N90d/Anet

LEGNO MASSICCIO σt90d ≤ ft90d

LAMELLARE INC. σt90d ≤ ft90d(V0/V)0.2

(V= volume interessato) (V0 = 0.01m3)

2

• COMPRESSIONE // ALLA FIBRATURA σc0d = N0d/A* σc0d ≤ fc0d

AREA NETTA MA NON DA FORI CON PERNI PRESSATI

• COMPRESSIONE ┴ ALLA FIBRATURA σc90d = N90d/A* σc90d ≤ fc90d

• COMPRESSIONE INCLINATA DI αfcd = fc0d/(cos2+sin2fc0d/fC90d)

σcd = Nd/A σcd ≤ fcd

COMPRESSIONI TRASVERSALI LOCALIZZATE RESISTONO DI PIU’

3

FLESSIONE SEMPLICEFLESSIONE SEMPLICECON CALCOLO ELASTICO-FRAGILE SU fm S.L. DEL PUNTO PIU’ SOLLECITATO = S.L. DELLA SEZIONE

VERIFICHE SULLA σMAX SOTTO

MY = MOMENTO ATTORNO A Y

MZ = MOMENTO ATTORNO A Z

FLESSIONE RETTAFLESSIONE RETTA

FLESSIONI RETTE σYd ≤ fmYd

σZd ≤ fmZd

fmYd PUO’ ESSERE DIVERSA DA fmZd A CAUSA DI kh

ZZdZd WM YYdYd WM

4

FLESSIONE DEVIATAFLESSIONE DEVIATA

1f

kf mZd

Zdm

mYd

Yd

1ff

kmZd

Zd

mYd

Ydm

con km = coefficiente di ridistribuzione

km = 0.7 SEZIONE RETTANGOLARE

km = 1.0 ALTRE SEZIONI

FLESSIONE COMPOSTAFLESSIONE COMPOSTATENSOFLESSIONE

1f

kff mZd

Zdm

mYd

Yd

d0t

d0t

1

ffk

f mZd

Zd

mYd

Ydm

d0t

d0t

5

PRESSOFLESSIONE

1ff

kf mZd

Zd

mYd

Ydm

2

d0c

d0c

1

fk

ff mZd

Zdm

mYd

Yd2

d0c

d0c

PRESSOFLESSIONE

RETTA

PRESSOFLESSIONE DEVIATA

6

3.2 LE TRAVI INFLESSEOLTRE CHE E VERIFICHE FLESSIONALI DELLE SEZIONIDI MASSIMO MOMENTO

VERIFICHE A TAGLIO, TORSIONE, FRECCE,…

TAGLIO

hbK

8.13

11

21hbK

Tadd

bh

Vadd 2

3

TORSIONE

discorso diversoper il rolling shear

7

AL TAGLIO TRASVERSALE “V” SI ACCOMPAGNA LA FORZA DI SCORRIMENTO LONGITUDINALE q = V/z CHE RICHIAMA LA RESISTENZA AL TAGLIO fv LUNGO LE FIBRE

TAGLIO DOVUTO A CARICO DISTRIBUITO

l

hPlVad 21

2

8

TAGLIO DOVUTO A CARICO CONCENTRATO

l

xlPVad

h

x

l

xlPVad 2

PER x ≤ 2h

PER x > 2h

VERIFICA AL TAGLIO

Vdd f CON EVENTUALE TORSIONE

9

CALCOLO FRECCIA u1 = DA CARICHI PERMANENTIu2 = DA SOVRACCARICHI DI SERVIZIO

deformazione finale

deformazioneistantanea

(tutto il carico)

deformazione differita(carico permanente e quasi perm)

= +

azione variabile principaleistantanea sul valore raro

e differita sul quasi permanente

permanenteistantanea + differita su tutto il carico

altre azioni variabilival.raro con coeff.di combinazione 0,1

e quasi permanente con 2,i

Eurocodice 5

10

Eurocodice 5

11

DT 206

VERIFICHE

u2,in ≤ L/300

u2,fin ≤ L/200

unet,fin ≤ L/250

istantanea da variabile (raro)

totale da variabile(istant. su raro e differita su quasi perm.)

totale - eventuali controfrecceistantanea su raro e permanentee differita su permanente e quasi perm.)

12

VERIFICA VIBRAZIONI…CHE LE AZIONI FREQUENTI DI SERVIZIO NON CAUSINO ECCESSIVE VIBRAZIONI

(EVITARE BASSE FREQUENZE PROPRIE CON SUFFICIENTE RIGIDEZZA)

m

JE

lf m

21 2

JE

lu

me 48

3

(mm/KN)

(Hz)

m = (Kg/m) MASSA DISTRIBUITA

ue ≤ 1.5 (mm/KN)

f1 ≥ 8 (Hz)

NOTA: PER SOLAI “P” SI RIFERISCE A 1 m DI LARGHEZZA, COSI’ COME “J” ED “m”

13

3.3 INSTABILITA’ DEI PILASTRI

CARICO CRITICO

CON Etg TRATTO DA CURVA σ - ε

ui

f2E

RISULTATI DI PROVE SPERIMENTALI

2

2

tgCRIT

E

diversa dispersionea seconda di il valore caratteristicone risente

14

ffE

Ei

CRIT

11

2

2

fEEE iuitg 11

fuu

2

2

2

ui fE 2 uiE 22

CON MODELLO PARABOLICO:

DA CUI

DERIVANDO σ = σ(ε) SI HA:

DA CUI

fu 11

- parabolico con tg - lineare con

15

CON σ = σCRIT f/σE = ωE SI OTTIENE

ffE

ECRIT

2

2

2

411

CON

2

2

411

2

E

E

PER CONIFERE (ABETE E LARICE)

E CON Ei ≈ 1.1 EK

CHE PORTEREBBE A 005.02 0 iKKcu Ef

3c0k 105.2 iKEf

3c0k 108.2 KEf

ESPERIENZE MOLTO DISSIMILI E INCERTE !

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 50 100 150

eulero

modulotangente

16

E CAUTELATIVAMENTE, CON σEd = σEE=σE /1.5 :

CON π2 ≈ 10 SI HA

DA CUI SI RICAVA LA SEGUENTE TABELLA

2000375.0 EEEd

22

0 00025.010

iK

KcE E

f

17

λ 1/ω ω DIN CNR

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1.00

0.98

0.91

0.78

0.64

0.52

0.42

0.34

0.28

0.23

1.00

1.02

1.10

1.28

1.56

1.94

2.40

2.95

3.58

4.28

1.04

1.08

1.15

1.26

1.42

1.62

1.88

2.20

2.58

3.00

1.12

1.26

1.43

1.62

1.87

2.17

2.56

3.08

3.81

4.89

VERIFICA PILASTRO COMPRESSO

dcCRITdd

cd fA

N0

!!!

c = 0.2 (massiccio)

0.1 (lamellare)

k = 0.5 (1 + c(rel,c-0.3)+rel,c2)

DT 206 / EC5

18

PILASTRO PRESSOINFLESSO

vlJE

P

JE

Pll

tgtg 2222 22

CRITCRITPPv

2cos

1

lc

2cos

1

lPevePM

con

N / Ncrit = = 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

c() = 1.14 1.31 1.53 1.83 2.25

19

L

xsine)x(y

EI

N

dx

yd02

2equazione della linea elastica

in presenza di un difetto iniziale e0

00Nmax e)ey(y

crNN

1

1

il difetto viene amplificato

dal carico assialein misura che dipende

da quanto ci si avvicina a Ncr

definendo

2rel

rel1

k

dove

cr

0,c2

0,c2

0,c

crrel

f

E

f

E

f

quindi

0,c

crrel f

k

0,c

0,crel

rel

fk

k

e0

origine della formula dell'Eurocodice

20

tensione massima dovuta al momento a metà altezza

0,c

0,crel

rel0maxm

fk

k

W

eN

W

yN

1

fk

k

f

f

W

eA1

f

0,c

0,crel

rel

m

0,c0

0,c

0,c

combinando linearmentegli effetti di M e N

0,cc0,c fk

1kk

k

f

f

W

eA1k

crel

rel

m

0,c0c

21

0kkf

f

W

eA1kk relrel

m

0,c0c

2c

riordinando rispetto a kc

2rel

22rel

2rel

2

ckk

1kkk

2

relm

0,c2rel

m

0,c0

f

f15.0

f

f

r

e15.0k

re0

r = W/A=semidiagonale del nocciolo centrale di inerzia

22

23

CARICO ASSIALE “Pd” CON ECCENTRICITA’ ey, ez

zczz il

ycyy il

zdcCRITz f 0

ydcCRITy f 0

CRITzdczv 0

CRITydcyv 0

zzdzd cePM

yydyd cePM

bhN ddc 0

dd PN

12biz

12hi y cy= c(y)

cz= c(z)

ωy= ω (λy)

ωz= ω (λz)

2cos

1c

24

nell'EC5 e nel DT 206

anche verifica localese

snellezza adimensionale

fattore riduttivo della capacità portante

verifica

25

VERIFICA (locale) SEZIONE PRESSOINFLESSA

1ff

kf mzd

zd

myd

ydm

2

d0c

d0c

1

fk

ff mzd

zdm

myd

yd2

d0c

d0c

CON Km = 0.7 E CON:

62bh

M zdzd

62bh

M ydyd

CON EFFETTI VISCOSI

defKEE 1*MODULO FITTIZIO

SI “LEGGE” ω CON

defzz K 1* defyy K 1*

26

3.4 LE TRAVI IN FLESSOTORSIONEINFLESSA NEL PIANO xz CON Jy>>Jz

INSTABILITA’ FLESSOTORSIONALE!

3hbhbKJ 332

12hbJ 3Z

12bhJ 3y

Mdx

dv

dx

dGJ

Mdx

dvEJ z

2

2

Mdx

dwEJ y

2

2

da sola: FLESSIONE PRINCIPALE

SISTEMA:FLESS. TRASV. + TORSIONE

…SI DERIVA LA 3° E SI SOSTITUISCE NELLA 2°…

EQUAZIONI DELLA LINEA ELASTICA FLESSOTORSIONALE CON CONTRIBUTI DEL 2°ORDINE

27

GJEJ

M

z

22 0" 2 0

2

2

2

GJEJ

M

dx

d

zcon→

0sin0

000

lBl

A

xBxA sincos

CONDIZIONI AL CONTORNO

per B≠0 (CONDIZIONE DI INSTABILITA’) nll 0sin

con n=1 222

22 lGJEJ

Ml

z

da cuiGJEJ

lM zCRIT

… SERVONO ENTRAMBE LE RIGIDEZZE…

28

per una sezione rettangolare6312

333 hbhbhbJJ z

si ricava la tensione critica

EG

hb

lM CRIT 6

3

E

GE

lh

bCRIT

2

EGhb

lbh

h

J

M

y

CRITCRIT 6

6

2

3

2

CON G/E ≈ 1/16 E π/4 ≈ 0.75 SI HA

2

75,0

E

CRIT

CON

blh SNELLEZZA FLESSIONALE DELLA TRAVE

…SENZA CONTROVENTI TRASVERSALI

29

MOMENTI FLETTENTI VARIABILI

M = mMmax “EQUIVALENTE”

Mmax

M

30

VERIFICA TRAVE INFLESSA mmmCRITy fff

CON MODELLO PARABOLICO myitg fEE 1

2

2

2

411

E

EmCRIT f

CON 2

2

411

2

E

E

DOVE 275.0

i

mE E

f

PER CONIFERE (ABETE E LARICE)3102,3 KmK Ef

E CON Ei ≈ 1,1 EK

3109,2 imK Ef

31

SI HA

TABELLA COEFFICIENTI ω(λ)

λ ω 1/ω S/A

222

0039,075,0

0029,0

75,0

i

mE E

f

5

10

15

20

25

30

1.01

1.13

1.51

2.14

2.99

4.04

0.99

0.88

0.66

0.46

0.33

0.25

1.00

1.00

0.75

0.50

0.33

0.24

VERIFICA INSTABILITA’ TRAVE

mdCRITdd

yd fW

M

(CON Md “EQUIVALENTE”)

32

nell'EC5 e nel DT 206