�
Φίλη�µαθήτρια,�φίλε�µαθητή�
� Τα�Μαθηµατικά�της�Β΄�Γυµνασίου�αποτελούν�τη�βάση�για�να�κατανοηθούν�πολλές�θεµελιώδεις�µαθηµατικές�έννοιες.�
� Το�βιβλίο�αυτό�έγινε�µε�σκοπό�να�συµβάλλει�στην�εξοικείωση�του�µαθητή�µε�τις�µαθηµατικές�αυτές�έννοιες,�αλλά�και�για�να�βοηθήσει�κυρίως�στην�ανάπτυξη�της�κριτι-�κής�σκέψης�του,�ώστε�να�µπορέσει�να�αξιοποιήσει�µε�τον�καλύτερο�τρόπο�στις�επόµενες�τάξεις�τις�γνώσεις�που�θα�αποκτήσει.�
� Η�ύλη�του�βιβλίου�αποτελείται�από�δύο�µέρη�(1ο�µέρος:�Άλγεβρα,�2ο�µέρος:�Γεωµε-�τρία),�τα�οποία�χωρίζονται�σε�επιµέρους�ενότητες�σύµφωνα�µε�το�σχολικό�πρόγραµµα.�
� Η�κάθε�ενότητα�περιέχει:�
•� Πλήρη�θεωρία�γραµµένη�µε�απλό,�σύντοµο�και�συστηµατικό�τρόπο.�
•� Σχόλια�και�επισηµάνσεις�µε�τίτλο�«Να�προσέξουµε»,�όπου�τονίζονται�σηµεία�της�� θεωρίας�τα�οποία�κρίνονται�απαραίτητα�για�την�καλύτερη�αφοµοίωσή�της.�
•� Ασκήσεις� λυµένες�µε�υποδειγµατικό� τρόπο,�ως�παραδείγµατα�και� εφαρµογές� της�� θεωρίας.�
•� Ερωτήσεις�κατανόησης.�
•� Ασκήσεις�για�λύση�ταξινοµηµένες�κατάλληλα.�
� Στις�περισσότερες�ενότητες�περιλαµβάνεται�και�ένα�ενδεικτικό�κριτήριο�αξιολόγησης.�
� Κάθε�µέρος�ολοκληρώνεται�µε�µια�ενότητα�στην�οποία�δίνονται�θέµατα�θεωρίας,�ερω-�τήσεις�κρίσεως�και�γενικές�ασκήσεις.�
� Στο�τέλος�του�βιβλίου�υπάρχουν�απαντήσεις�-�υποδείξεις�των�ερωτήσεων,�των�ασκή-�σεων�και�των�κριτηρίων�αξιολόγησης.�
�
� Γιάννης�Κ.�Μαραγούσιας�� Μαθηµατικός�
�
�
�
Περιεχόµενα
Άλγεβρα ....................................................................................................................... 7�
1.� Η�έννοια�της�µεταβλητής�-�Αλγεβρικές�παραστάσεις .............................................. 9�
2.� Εξισώσεις�α΄�βαθµού.............................................................................................. 22�
3.� Επίλυση�τύπων ....................................................................................................... 35�
4.� Επίλυση�προβληµάτων�µε�τη�χρήση�εξισώσεων.................................................... 40�
5.� Ανισώσεις�α΄�βαθµού ............................................................................................. 52�
6.� Τετραγωνική�ρίζα�θετικού�αριθµού ....................................................................... 68�
7.� Άρρητοι�αριθµοί�-�Πραγµατικοί�αριθµοί ............................................................... 80�
8.� Προβλήµατα........................................................................................................... 92�
9.� Η�έννοια�της�συνάρτησης..................................................................................... 100�
10.� Καρτεσιανές�συντεταγµένες�-�Γραφική�παράσταση�συνάρτησης........................ 112�
11.� Η�συνάρτηση�y�=�αx............................................................................................. 130�
12.� Η�συνάρτηση�y�=�αx�+�β....................................................................................... 140�
13.� Η�συνάρτηση�α
yx
= �-�Η�υπερβολή...................................................................... 154�
14.� Βασικές�έννοιες�της�Στατιστικής:�Πληθυσµός�-�∆είγµα ...................................... 164�
15.� Γραφικές�παραστάσεις ......................................................................................... 172�
16.� Κατανοµή�συχνοτήτων�και�σχετικών�συχνοτήτων .............................................. 182�
17.� Οµαδοποίηση�παρατηρήσεων .............................................................................. 195�
18.� Μέση�τιµή�-�∆ιάµεσος.......................................................................................... 204�
19.� Θέµατα�από�την�Άλγεβρα .................................................................................... 219�
�
Γεωµετρία ................................................................................................................ 231�
20.� Εµβαδόν�επίπεδης�επιφάνειας .............................................................................. 233�
21.� Μονάδες�µέτρησης�επιφανειών............................................................................ 242�
22.� Εµβαδά�επίπεδων�σχηµάτων................................................................................ 249�
23.� Πυθαγόρειο�θεώρηµα........................................................................................... 267�
24.� Εφαπτοµένη�οξείας�γωνίας .................................................................................. 277�
25.� Ηµίτονο�και�συνηµίτονο�οξείας�γωνίας ............................................................... 290�
26.� Μεταβολές�ηµιτόνου,�συνηµιτόνου�και�εφαπτοµένης ......................................... 300�
27.� Οι�τριγωνοµετρικοί�αριθµοί�των�γωνιών�30°,�45°�και�60° .................................. 311�
28.� Η�έννοια�του�διανύσµατος ................................................................................... 320�
29.� Άθροισµα�και�διαφορά�διανυσµάτων................................................................... 330�
30.� Ανάλυση�διανύσµατος�σε�δύο�κάθετες�συνιστώσες............................................. 342�
31.� Εγγεγραµµένες�γωνίες.......................................................................................... 352�
32.� Κανονικά�πολύγωνα............................................................................................. 362�
33.� Μήκος�κύκλου...................................................................................................... 373�
34.� Μήκος�τόξου ........................................................................................................ 378�
35.� Εµβαδόν�κυκλικού�δίσκου ................................................................................... 387�
36.� Εµβαδόν�κυκλικού�τοµέα..................................................................................... 393�
37.� Ευθείες�και�επίπεδα�στο�χώρο.............................................................................. 403�
38.� Στοιχεία�και�εµβαδόν�πρίσµατος�και�κυλίνδρου.................................................. 413�
39.� Όγκος�πρίσµατος�και�κυλίνδρου .......................................................................... 422�
40.� Η�πυραµίδα�και�τα�στοιχεία�της ........................................................................... 434�
41.� Ο�κώνος�και�τα�στοιχεία�του ................................................................................ 445�
42.� Η�σφαίρα�και�τα�στοιχεία�της............................................................................... 456�
43.� Γεωγραφικές�συντεταγµένες ................................................................................ 463�
44.� Θέµατα�από�τη�Γεωµετρία ................................................................................... 468�
�
Απαντήσεις�των�Ερωτήσεων,�των�Ασκήσεων�
και�των�Προβληµάτων......................................................................................... 485�
�
Απαντήσεις�Σχολικού�Βιβλίου ......................................................................... 591�
�
Πίνακας�τριγωνοµετρικών�αριθµών .............................................................. 688�
�
�
�
�
9�
�
�
�
– Σε ένα διαγώνισµα 10 ερωτήσεων κά-
θε ερώτηση αξιολογείται µε 2 µονάδες.
Τι βαθµό θα πάρει κάποιος εξεταζόµε-
νος;
– Εξαρτάται: Αν απαντήσει σε:
• 10 ερωτήσεις θα πάρει 2 ⋅10 = 20
• 9 ερωτήσεις θα πάρει 2 ⋅9 = 18
• 8 ερωτήσεις θα πάρει 2 ⋅8 = 16
Γενικά θα πάρει:
2 ⋅ (αριθµό απαντηµένων ερωτήσεων)
Για ευκολία συµβολίζουµε µε x τον αριθ-
µό των απαντηµένων ερωτήσεων, οπότε
ο βαθµός που θα πάρει κάποιος εξετα-
ζόµενος είναι 2⋅x.
Το γράµµα x που παριστάνει έναν οποιο-
δήποτε αριθµό από το 0 έως το 10 λέ-
γεται µεταβλητή.
� Η έννοια της µεταβλητής
Η�λύση�προβληµάτων�σε�ορισµένες�περι-πτώσεις� είναι� δύσκολη� ή� αδύνατη� µε� τηβοήθεια�µόνο�της�πρακτικής�αριθµητικής.Γι’�αυτό�αναζητήσαµε�νέα�εργαλεία�και�τρό-πους�για�την�καλύτερη�αντιµετώπισή�τους.�
Πολλές� φορές� λοιπόν� διευκολυνόµαστεστη� λύση� ενός� προβλήµατος,� αν�µπορέ-σουµε� ορισµένες� εκφράσεις� του� να� τις«µεταφράσουµε»�από�τη�συνηθισµένη�κα-θηµερινή�γλώσσα�στη�µαθηµατική�γλώσ-σα,�χρησιµοποιώντας�σύµβολα�και�αριθ-µούς.� Στη� γλώσσα� αυτή� των� µαθηµατι-κών�ένα�από�τα�πιο�σηµαντικά�εργαλείαείναι�η�µεταβλητή.�
Μεταβλητή�είναι�ένα�σύµβολο�συνήθωςγράµµα,� (x,� y,� z� κ.λπ.)� µε� το� οποίο� πα-ριστάνουµε�οποιοδήποτε�στοιχείο�ενός�συ-νόλου.�
Με�τη�βοήθεια�µιας�ή�περισσότερων�µε-ταβλητών�εκφράζουµε�στα�Μαθηµατικάδιάφορες�προτάσεις.�
�
�
�Οι παραστάσεις:
7 ⋅ (−3) + 22, − ⋅
⋅ + −2 9 2 6
5 83 5
είναι αριθµητικές παραστάσεις.
Αριθµητική παράσταση
Μια�παράσταση�που�περιέχει�πράξεις�µεαριθµούς�λέγεται�αριθµητική�παράσταση.
Τιµή�αυτής�της�παράστασης�λέµε�το�απο-τέλεσµα�που�βρίσκουµε�αν�εκτελέσουµετις�πράξεις�που�είναι�σηµειωµένες.�
10� Η�έννοια�της��εταβλητής�-�Αλγεβρικές�παραστάσεις�
Η παράσταση Α = −2x + 6y + 11 είναι
αλγεβρική παράσταση µε όρους τους:
−2x, 6y, 11
Όταν x = −1 και y = 2 η παράσταση Α
έχει τιµή:
Α = −2 ⋅ (−1) + 6 ⋅2 + 11 =
= 2 + 12 + 11 = 25
� Αλγεβρική παράσταση
Μια�παράσταση�που�περιέχει�πράξεις�µεαριθµούς�και�µεταβλητές�ονοµάζεται�αλγε-βρική�παράσταση.�
Οι�προσθετέοι�σε�µια�αλγεβρική�παράστα-ση�λέγονται�όροι�αυτής.�
Η�τιµή�της�αριθµητικής�παράστασης�πουπροκύπτει� αν� αντικαταστήσουµε� σε� µιααλγεβρική�παράσταση�τις�µεταβλητές�µεαριθµούς�λέγεται�αριθµητική�τιµή�ή�απλάτιµή�της�αλγεβρικής�παράστασης.�
�
�
– Έστω α το πλήθος των αγοριών µιας
τάξης και β το πλήθος των κοριτσιών
της ίδιας τάξης. Αν κάθε παιδί έδωσε
ένα χρηµατικό ποσό γ για την εκδροµή
της τάξης του, τότε ποιο ποσό έδωσαν
όλα τα παιδιά;
– Το πλήθος των παιδιών είναι α + β,
οπότε έδωσαν συνολικά το ποσό (α + β) ⋅γ.
Τα αγόρια έδωσαν το ποσό α ⋅ γ. Τα κο-
ρίτσια έδωσαν β ⋅ γ, οπότε συνολικά έδω-
σαν α ⋅ γ + β ⋅ γ.
Άρα (α + β) ⋅ γ = α ⋅ γ + β ⋅ γ.
� Επιµεριστική ιδιότητα
Όταν� έχουµε�να�πολλαπλασιάσουµε�ένα
άθροισµα��α�+�β��µε�έναν�αριθµό�γ,�µπο-ρούµε�να�πολλαπλασιάσουµε�κάθε�όροτου�αθροίσµατος�µε�τον�αριθµό�και�ναπροσθέσουµε�τα�γινόµενα�που�προκύπτουν.∆ηλαδή:�
+ ⋅ = ⋅ + ⋅(α β) γ α γ β γ �
Η�επιµεριστική� ιδιότητα� ισχύει�και�στηνπερίπτωση�που�αντί�για�πρόσθεση�έχου-µε�αφαίρεση.�∆ηλαδή�ισχύει:�
− ⋅ = ⋅ − ⋅(α β) γ α γ β γ �
�
�
�– Αν Α = 3x + 11x, τότε:
Α = 3x + 11x = (3 + 11)x = 14x
Άρα Α = 14x.
– Αν Β = α + 2β − 3α + 5β, τότε:
Β = 1 ⋅α − 3α + 2β + 5β =
= (1 − 3)α + (2 + 5)β = −2α + 7β
Άρα Β = −2α + 7β.
� Αναγωγή οµοίων όρων
Με�τη�βοήθεια�της�επιµεριστικής�ιδιό-τητας� µπορούµε� να� γράφουµε� αλγεβρι-κές�παραστάσεις�µε�απλούστερη�µορφή.Η�διαδικασία�αυτή�ονοµάζεται�αναγωγήοµοίων�όρων.�
�
11�
��
�� Οι�µεταβλητές�παριστάνουν�αριθµούς�από�συγκεκριµένα�σύνολα.�
� Έτσι�αν�µια�µεταβλητή�α�παριστάνει�τον�αριθµό�των�ανθρώπων�µιας�πόλης,�τότε
� το�α�δεν�µπορεί�για�παράδειγµα�να�είναι�−5�ούτε�0�ούτε�5
7�κ.λπ.�
�� Το�σύµβολο�του�πολλαπλασιασµού�είναι�η�τελεία�(⋅),�την�οποία�µπορούµε�και� να�παραλείπουµε�στην�περίπτωση�που�έχουµε�γινόµενο�δύο�µεταβλητών�ή�γινό-� µενο�αριθµού�µε�µεταβλητή.�
� Έτσι,�µπορούµε�για�παράδειγµα�να�γράφουµε:�
αβ���αντί���α�⋅�β�
2x���αντί���2�⋅�x�
� ∆εν�µπορούµε�όµως�να�γράφουµε�για�παράδειγµα:�
43���αντί���4�⋅�3�
�
�� Η�επιµεριστική�ιδιότητα�του�πολλαπλασιασµού�ως�προς�την�πρόσθεση�εφαρµό-� ζεται�και�στην�περίπτωση�που�το�άθροισµα�έχει�περισσότερους�από�δύο�προσθε-� τέους.�Έτσι:�
+ + ⋅ = + +(x y ω) z xz yz ωz �
Απόδειξη
� Είναι:�
(x�+�y�+�ω)�⋅�z�=�[(x�+�y)�+�ω]�⋅�z�=�(x�+�y)�⋅�z�+�ωz�=�xz�+�yz�+�ωz�
�
�� Η�επιµεριστική�ιδιότητα�εφαρµόζεται�ακόµα�και�για�να�υπολογίσουµε�το�γινό-� µενο�δύο�αλγεβρικών�αθροισµάτων.�Έτσι:�
(α β)(γ δ) αγ βγ αδ βδ+ + = + + + �
Απόδειξη
� Είναι:�
(α�+�β)(γ�+�δ)�=�(α�+�β)�⋅�γ�+�(α�+�β)�⋅�δ�=�αγ�+�βγ�+�αδ�+�βδ�
�
�� Επειδή�στον�πολλαπλασιασµό�ισχύει�η�αντιµεταθετική�ιδιότητα,�δηλαδή:�
⋅ = ⋅x y y x �
12� Η�έννοια�της��εταβλητής�-�Αλγεβρικές�παραστάσεις�
� θα�ισχύει�και:�
(α β) γ γ (α β)+ ⋅ = ⋅ + �
� οπότε�και:�
⋅ + = ⋅ + ⋅γ (α β) γ α γ β �
�
�� Η�επιµεριστική�ιδιότητα�είναι�ιδιαίτερα�χρήσιµη�για�την�«αναγωγή�οµοίων�όρων»
� και�για�τη�µετατροπή�αθροίσµατος�σε�γινόµενο.�
� Στην�περίπτωση�αυτή�χρησιµοποιούµε�την�επιµεριστική�ιδιότητα�µε�τη�µορφή:
⋅ + ⋅ = + ⋅α γ β γ (α β) γ �����ή����� ⋅ + ⋅ = ⋅ +γ α γ β γ (α β) �
� Για�παράδειγµα:�
� � 2γ�+�5γ�=�(2�+�5)γ�=�7γ,�� � � � � x�+�4x�=�1x�+�4x�=�(1�+�4)x�=�5x,�
� � 12α�−�3α�=�(12�−�3)α�=�9α,�� � � � 7ω�−�15ω�=�(7�−�15)ω�=�−8ω,�
� � 2φ�−�6φ�+�3φ�=�(2�−�6�+�3)φ�=�−1�⋅�φ�=�−φ�
� Ακόµη:�
� � 4x�+�4y�=�4(x�+�y),� � � � � � � 2α�+�4β�+�2�=�2(α�+�2β�+�1)�
�
�� Υπάρχουν�αλγεβρικές�παραστάσεις�στις�οποίες�οι�πράξεις�δεν�µπορούν�να�συνε-
� χιστούν,�αν�δεν�εφαρµόσουµε�την�επιµεριστική�ιδιότητα.�
� Για�παράδειγµα,�η�παράσταση��Α�=�(5�+�α)β�−�5β��υπολογίζεται�ως�εξής:�
(5�+�α)β�−�5β�=�5β�+�αβ�−�5β�=�(5�−�5)β�+�αβ�=�0�⋅�β�+�αβ�=�αβ�
ή�
(5�+�α)β�−�5β�=�[(5�+�α)�−�5]�⋅�β�=�(5�+�α�−�5)�⋅�β�=�αβ�
�
�� Όταν�σε�µια�αλγεβρική�παράσταση�αντικαθιστούµε�µεταβλητές�µε�αρνητικούς
� αριθµούς,�τότε�στη�θέση�των�µεταβλητών�βάζουµε�παρενθέσεις�«(�)»�και�µέσα
� σ’�αυτές�τον�αριθµό.�
� Για�παράδειγµα,�αν�στην�παράσταση��+
=
+2
5x 2A
3x 12��αντικαταστήσουµε�το�x�µε
� το�−3�θα�έχουµε:�
⋅ − + ⋅ − + − + −= = = = = − = −
⋅ + +⋅ − +2
5 ( 3) 2 5 ( 3) 2 15 2 13 13 1A
3 9 12 27 12 39 39 33 ( 3) 12�
13�
��
1.1��Να�χρησιµοποιήσετε�µεταβλητές�για�να�εκφράσετε�µε�µια�αλγεβρική�παρά-�σταση�τις�παρακάτω�προτάσεις:�
α)� Το�διπλάσιο�ενός�αριθµού�αυξηµένο�κατά�1.�
β)� Η�ηλικία�ενός�ανθρώπου�µετά�από�5�χρόνια�αν�γνωρίζουµε�την�σηµερινή�του�ηλικία.�
γ)� Το�συνολικό�ποσό�που�πληρώνουµε�για�να�αγοράσουµε�2�κιλά�µήλα�και�3�κιλά�κεράσια.�
δ)� Το�εµβαδόν�ενός�ορθογώνιου�τριγώνου�του�οποίου�η�µια�κάθετη�πλευρά�είναι�3�cm�µικρότερη�από�την�άλλη.�
Απάντηση
α)� Αν�συµβολίσουµε�µε�x�τον�αριθµό,�τότε�το�διπλάσιο�του�x�είναι�2x�και�αυξηµένο�
κατά�1�γίνεται��2x�+�1.�
β)� Αν�συµβολίσουµε�µε�α�την�σηµερινή�ηλικία�του�ανθρώπου,�τότε�µετά�από�5�χρόνια�
θα�είναι��α�+�5.�
γ)� Αν�µε�µ�συµβολίσουµε�την�τιµή�του�κιλού�των�µήλων�και�µε�κ�την�τιµή�του�κιλού�των�κερασιών,�τότε�τα�µήλα�κοστίζουν�2µ,�τα�κεράσια�3κ�οπότε�το�συνολικό�ποσό�που�
πληρώνουµε�είναι��2µ�+�3κ.�
δ)� Αν�µε�x�συµβολίσουµε�τη�µεγαλύτερη�κάθετη�πλευρά�του�ορθογωνίου,�τότε�η�άλλη�πλευρά�είναι�
x�−�3��και�το�εµβαδόν�του�ορθογώνιου�τριγώνου�εί-�
ναι�1x(x 3).
2− �
�
1.2��Να�απλοποιηθούν�οι�παραστάσεις:�
α)� 4x�−�13x�+�5x� � � � � � � � � β)� −3ω�+�17ω�+�ω�−�6ω�
γ)� 2κ�−�λ�+�15κ�+�24λ� � � � � � � � δ)� 3(x�−�y)�+�2(x�+�3y)�+�7�
Απάντηση
α)� 4x�−�13x�+�5x�=�(4�−�13�+�5)x�=�−4x�
β)� −3ω�+�17ω�+�ω�−�6ω�=�(−3�+�17�+�1�−�6)ω�=�9ω�
γ)� 2κ�−�λ�+�15κ�+�24λ�=�2κ�+�15κ�−�λ�+�24λ�=�(2�+�15)κ�+�(−1�+�24)λ�=�17κ�+�23λ�
δ)� 3(x�−�y)�+�2(x�+�3y)�+�7�=�3x�−�3y�+�2x�+�6y�+�7�=�3x�+�2x�−�3y�+�6y�+�7�=�
� =�(3�+�2)x�+�(−3�+�6)y�+�7�=�5x�+�3y�+�7�
14� Η�έννοια�της��εταβλητής�-�Αλγεβρικές�παραστάσεις�
1.3��∆ίνονται�οι�παραστάσεις:�
= − + = − − +1
A 5x x 3,5x , B 2x 3(x 5) x2
�
α)� Να�γραφούν�σε�απλούστερη�µορφή.�
β)� Να�υπολογιστεί�η�τιµή�τους�για��x�=�−3.�
Απάντηση
α)�
= − + = − + = − =
1 1A 5x x 3,5x 5 3,5 x (8,5 0,5)x 8x
2 2�
�Β� =�2x�−�3(x�−�5)�+�x�=�2x�−�3x�+�15�+�x�=�2x�−�3x�+�x�+�15�=�
� =�(2�−�3�+�1)x�+�15�=�0�+�15�=�15�
β)� Είναι��A�=�8(−3)�=�−24.�
Η�παράσταση�Β�είναι�ανεξάρτητη�από�το�x.�Αυτό�σηµαίνει�ότι�για�οποιοδήποτε�x�έχει�
σταθερή�τιµή��Β�=�15.��Άρα�και�για��x�=�−3��είναι��Β�=�15.��
1.4��Να�υπολογιστεί�η�τιµή�της�παράστασης�για��x�=�2:�
= − − − −
x+1 x x
x 1 1 5A ( x + 4) + x 1 +
x 3 6�
Απάντηση
Έχουµε:�2 1 2 2 3 2 2
2 21 1 5 1 2 5A ( 2 4) 2 1 2 2
2 3 6 2 3 6
+
= − + + − − − + = + − − − + =
�
= + − − + = − − + =
1 4 25 2 4 254 2 4
8 9 36 8 9 36�
1 4 25 9 16 254 4 4
4 9 36 36 36 36= − − + = − − + = �
�
1.5��Αν�είναι� ⋅ = −
1α β
2�και��γ�+�δ�=�−2��να�υπολογιστεί�η�τιµή�των�παραστάσεων�
Α�=�α�⋅�β�⋅�γ�+�α�
⋅�β�⋅�δ��και��Β�=�(−3)�⋅�α�
⋅�(−2)�⋅�β�−�2γ�+�3�−�2δ.�
Απάντηση
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = + = − − = + =1 2
A α β γ α β δ αβ(γ δ) ( 2) 12 2
�
Β�=�(−3)�⋅�α�⋅�(−2)�⋅�β�−�2γ�+�3�−�2δ�=�(−3)(−2)�⋅�α�⋅�β�−�2γ�−�2δ�+�3�=�6(α�⋅�β)�−�2(γ�+�δ)�+�3�=�
16 2( 2) 3 3 4 3 4
2
= − − − + = − + + =
�
15�
1.6��Να�υπολογιστεί�η�τιµή�της�παράστασης��Α�=�3(α�+�β)�+�α�−�7β�−�2α�+�2β�+�5,�
αν��α�−�β�=�4.�
Απάντηση
Κάνουµε�πράξεις�και�εµφανίζουµε�το��α�−�β:�
Α�=�3(α�+�β)�+�α�−�7β�−�2α�+�2β�+�5�=�3α�+�3β�+�α�−�7β�−�2α�+�2β�+�5�=�
=�3α�+�α�−�2α�+�3β�−�7β�+�2β�+�5�=�(3�+�1�−�2)α�+�(3�−�7�+�2)β�+�5�=�
=�2α�−�2β�+�5�=�2(α�−�β)�+�5�=�2�⋅�4�+�5�=�13��
1.7��Να�γραφεί�η�παράσταση��Α�=�3x�−�y�−�5��ως�παράσταση�των�α,�β�όπου:�
α�=�3x�+�2���και���β�=�y�+�1�
Απάντηση
1ος�τρόπος:�«∆ηµιουργούµε»�το��3x�+�2��και�το��y�+�1:�
Α�=�3x�−�y�−�5�=�3x�−�y�−�7�+�2�=�3x�+�2�−�y�−�7�=�3x�+�2�−�y�−�1�−�6�=�
=�(3x�+�2)�−�(y�+�1)�−�6�=�α�−�β�−�6�
2ος�τρόπος:�Επειδή�είναι��3x�=�α�−�2��και��y�=�β�−�1��έχουµε:�
Α�=�(α�−�2)�−�(β�−�1)�−�5�=�α�−�2�−�β�+�1�−�5�=�α�−�β�−�6��
1.8��Για�την�αγορά�3�γιαουρτιών�και�2�κουτιών�γάλακτος�πληρώνουµε�5�€.�Πόσο�
θα�πληρώσουµε�εάν�αυξηθεί�η�τιµή�κάθε�γιαουρτιού�κατά�20�λεπτά�και�κάθε�κου-�τιού�γάλακτος�κατά�15�λεπτά;�
Απάντηση
Αν�x�€�είναι�η�τιµή�κάθε�γιαουρτιού�και�y�€�η�τιµή�κάθε�κουτιού�γάλακτος,�τότε�είναι�
3x�+�2y�=�5.��Μετά�την�αύξηση�κάθε�γιαούρτι�θα�κοστίζει��(x�+�0,2)�€��και�κάθε�κουτί�
γάλα��(y�+�0,15)�€.��Άρα�για�τα�3�γιαούρτια�και�τα�2�κουτιά�γάλα�θα�πληρώσουµε:�
3(x�+�0,2)�+�2(y�+�0,15)�=�3x�+�3�⋅�0,2�+�2y�+�2�⋅�0,15�=�3x�+�0,6�+�2y�+�0,3�=�
=�3x�+�2y�+�0,9�=�5�+�0,9�=�5,9�€���
��
1.9��Να�εξετάσετε�αν�είναι�σωστές�ή�λανθασµένες�οι�παρακάτω�προτάσεις:�
α)� Το�εξαπλάσιο�ενός�αριθµού�x�παριστάνεται�µε�6x.�
β)� Η�αλγεβρική�παράσταση��α�+�10��εκφράζει�το�δεκαπλάσιο�του�αριθµού�α.�
γ)� Αν�η�µεταβλητή�µ�εκφράζει�τον�αριθµό�των�µαθητών�µιας�τάξης,�τότε�µπορεί�να�
είναι��µ�=�−8.�
16� Η�έννοια�της��εταβλητής�-�Αλγεβρικές�παραστάσεις�
δ)� Αν�η�µεταβλητή�β�εκφράζει�σε�κιλά�το�βάρος�ενός�πεπονιού,�τότε�µπορεί�να�είναι�
β�=�1,74.�
ε)� Αν�η�µεταβλητή�υ�εκφράζει�το�ύψος�ενός�ανθρώπου�σε�µέτρα,�τότε�µπορεί�να�είναι�
υ�=�5.�
στ)�Την�πρόταση:�«Τριπλασιάζουµε�τα�χρήµατα�της�Ιουλίας�και�από�αυτά�αφαιρούµε�
1000�€»�µπορούµε�να�την�εκφράσουµε�µε�την�αλγεβρική�παράσταση��3x�−�1000.�
ζ)� Η�περίµετρος�ενός�ορθογωνίου�διαστάσεων�x�και�y�είναι��2(x�+�y).�
η)� Η�παράσταση��Α�=�5ω�−�8ω�+�3ω��είναι�ίση�µε�ω.�
�
1.10��Να�επιλέξετε�τη�σωστή�απάντηση:�
α)� Το�πενταπλάσιο�ενός�αριθµού�ελαττωµένο�κατά�2�εκφράζεται�από�την�αλγεβρική�πα-�ράσταση:�
Α.� 5�−�2x�� � � � Β.� 2�⋅�5x� � � � � Γ.� 5x�−�2�� � � � ∆.� 2�−�5x�
β)� Η�τιµή�της�παράστασης��Α�=�2x�+�5��όταν��x�=�−5��είναι:�
Α.� 2(−5�+�5)�=�0�� � � � � � � � � Β.� 2�−�5�+�5�=�2�
Γ.� 2(−5)�+�5�=�−5� � � � � � � � � ∆.� τίποτα�από�τα�προηγούµενα�
�
1.11��Να�συµπληρώσετε�τον�πίνακα:�
α� −3� 0�2
3− �
β� 2� 1� −
1
2�
γ� −1� −2� 3�
αγ� � � �
βγ� � � �
αγ�+�βγ� � � �
(α�+�β)γ� � � �
α(β�+�γ)� � � �
�
17�
1.12��Στον�επόµενο�πίνακα�να�αντιστοιχίσετε�κάθε�στοιχείο�της�1ης�στήλης�µε�ένα�
στοιχείο�της�2ης�στήλης.�
1η�Στήλη� 2η�Στήλη�
� α)� 5x�+�6x�−�11x� � � i)� −x�
� β)� −7x�+�15x�−�7x� � � ii)� x�
� γ)� 23x�−�20x�−�x�−�3x� � � iii)�−2x�
� δ)� x�+�2x�+�3x�−�4x�−�5x� � � iv)�0�
� ε)� −5x�−�8x�+�10x�+�x� � � v)� −3x�
��
��
1.13��Να�χρησιµοποιήσετε�µεταβλητές�για�να�εκφράσετε�µε�µια�αλγεβρική�παράστα-�ση�τις�παρακάτω�προτάσεις:��
α)� Το�δεκαπλάσιο�ενός�αριθµού.�
β)� Το�ένα�τρίτο�ενός�αριθµού.�
γ)� Τη�διαφορά�δύο�αριθµών.�
δ)� Το�εξαπλάσιο�ενός�αριθµού�αυξηµένο�κατά�7.�
ε)� Το�τριπλάσιο�του�αθροίσµατος�δύο�α-�ριθµών.��
1.14��Με�τη�βοήθεια�µιας�µεταβλητής�να�
γράψετε�συµβολικά:�
α)� Την�πρόταση:��«Από�έναν�αριθµό�αφαι-�
ρούµε�το�διπλάσιό�του�και�κατόπιν�προ-�
σθέτουµε�τα�3
4�του�αριθµού.»�
β)� Τον� ένα�από� τους� δύο�αριθµούς� που�
έχουν�γινόµενο�20�όταν�ο�άλλος�είναι�x.�
��������������������������������������������������������
Οι�απαντήσεις�βρίσκονται�στο�τέλος�του�βιβλίου�
γ)� Το�γινόµενο�δύο�αριθµών�που�διαφέ-�ρουν�κατά�10.�
δ)� Την�περίµετρο�ενός�τετραγώνου,�αν�γνωρίζουµε�την�πλευρά�του.�
ε)� Την�ηλικία�της�Άννας�που�είναι�30�χρό-�νια�µικρότερη�από�τη�µητέρα�της,�αν�γνω-�ρίζουµε�την�ηλικία�της�µητέρας�της.�
στ)�Το�πλήθος�των�µαθητών�της�Β΄�Γυµνα-�σίου�ενός�σχολείου,�αν�γνωρίζουµε�ότι�εί-�ναι�το�ένα�τέταρτο�των�µαθητών�του�σχο-�λείου�αυξηµένο�κατά�25.��
1.15��Ένα�βιβλίο�κοστίζει�x�€,�ένα�τετρά-�διο�y�€,�ένα�µολύβι�z�€�και�ένα�στυλό�ω�€.�Να� εκφράσετε�µε� τη� βοήθεια� των�µετα-�βλητών�αυτών�πόσο�κοστίζουν:�
α)� τρία�βιβλία,�δύο�τετράδια,�τέσσερα�µο-�λύβια�και�έξι�στυλό,�
β)� πέντε�τετράδια�και�τρία�στυλό,�
γ)� αν�πάρουµε�ένα�από�κάθε�είδος.�
�
�
18� Η�έννοια�της��εταβλητής�-�Αλγεβρικές�παραστάσεις�
1.16��Να�απλοποιήσετε�τις�παραστάσεις:�
α)� 35x�+�12x� � � β)� −3y�+�5y�
γ)� ω�+�2ω�−�3ω�� � δ)� 2α�−�5α�+�7α�
ε)� −β�+�2β�+�12β�
στ)�5κ�+�3κ�+�6κ�+�12κ�
ζ)� −λ�−�3λ�−�6λ�+�25λ�
η)� 5µ�−�2�+�6µ�−�7�+�12µ�
θ)� 0,3x�−�1,8x�−�1,5x�+�6,3x�+�1,7x�
ι)� + − − +1 9 4α 0,5α α α 6
3 2 3�
�
1.17��Να�κάνετε�αναγωγή�οµοίων�όρων�στις�παραστάσεις:�
α)� 3x�−�5y�+�2x�+�6y�
β)� 7α�+�5β�−�13α�−�25β�
γ)� ω�−�2�+�3ω�+�x�−�y�+�3x�+�y�
�1.18��Να�γράψετε�σε�απλούστερη�µορφή�τις�παραστάσεις:�
α)� Α�=�2x�+�5x�−�3x�
β)� Β�=�ω�−�3ω�+�6ω�+�5ω�
γ)� Γ�=�Α�+�2(Β�−�2x)�
�1.19��Να�γράψετε�σε�απλούστερη�µορφή�τις�παραστάσεις�Α�και�Β:�
Α�=�3(β�+�α)�−�3α,���Β�=�5(α�+�5)�−�25�−�5α�
�1.20��Να�απλοποιήσετε�τις�παραστάσεις�Α,�Β,�Γ�και�στη�συνέχεια�να�υπολογίσετε�την�τιµή�τους:�
Α�=�3(x�−�2)�−�5x�+�24,���όταν��x�=�3�
Β�=�2(−α�+�β)�+�3(α�+�β),�
� όταν��α�=�−1��και��β�=�2�
Γ�=�4(3κ�+�2λ)�−�3(κ�+�5λ),�
� όταν��κ�=�5��και��λ�=�−3�
1.21��∆ίνεται�η�παράσταση:�
Α�=�3(x�+�5)�+�12x�−�6(x�−�9)�
Να�υπολογίσετε�την�τιµή�της�όταν:�
α)� = −
1x
3� � � � β)� x�=�−2�
1.22��Αν��x�=�0,��y�=�−1��και��ω�=�0,2,�να�υπολογίσετε�την�τιµή�της�παράστασης:�
Α�=�5x�−�(−2x�+�y�−�10ω)�−�
−�(6x�+�2y�+�5ω)�+�9y�
1.23��Να�απλοποιήσετε�τις�παραστάσεις:�
�
= − + − +
1 1 x 2A x (x 6)
2 3 2 3�
�
= + ⋅ + − + ⋅ +
4 3 5 1 7B x 2 x x
3 2 2 6 6�
1.24��∆ίνεται�η�παράσταση:�
A�=�−[α�−�5�−�(α�−�β)�+�(α�+�5�−�β)�−�−�(−α)]�+�5α�
α)� Να�απαλείψετε�τις�παρενθέσεις�και�τις�
αγκύλες.�
β)� Να�υπολογίσετε�την�τιµή�της�αν�1
α3
= .�
�1.25��Αν�είναι��Α�=�8�+�(x�−�7�+�y)��και�
Β�=�−(−x�+�6)�+�y�−�5,��να�υπολογίσετε�τις�
παραστάσεις��Α�−�Β,��Β�−�Α.�
�
1.26��Αν� �x�=�−2,� �y�=�3� �και� �z�=�−1,� �να�
υπολογίσετε�την�τιµή�της�παράστασης:�
A�=�−�[−x�+�2�−�(−y�+�x)]�−�(−x�−�z)��
1.27��Αν��α�=�5��και��β�=�−2,��να�υπολογί-�
σετε�την�τιµή�της�παράστασης:�
A�=�5�[β(α�−�2)�−�3]�−�4(−α)(−β)�
19�
1.28��Αν� = −
3x ,
2�να�υπολογίσετε�την�τι-�
µή�της�παράστασης:�
= − − − + − − −
1 1A (x 2)( 8 4) 4(x 2)
4 4�
�
1.29��Αν� = −
1x ,
2�να�υπολογίσετε�την�τι-�
µή�των�παραστάσεων:�
A�=�1
2 ( x) x (2 x)2
− − + − + + − −
�
B� =�−�[(x�−�2)�+�(3�−�x)]�+�� � +�[(4�−�x)�+�(x�−�5)]��
1.30��∆ύο�αριθµοί�έχουν�άθροισµα�50.�Αν�
πολλαπλασιάσουµε�κάθε�αριθµό�επί�8,�
ποιο�θα�είναι�το�νέο�άθροισµα;��
1.31��∆υο�αριθµοί�έχουν�διαφορά�63.�Αν�
πολλαπλασιάσουµε�κάθε�αριθµό�επί�5,�
ποια�θα�είναι�η�νέα�διαφορά;��1.32��Αν��α�+�β�=�6,� �να�υπολογίσετε�την�
τιµή�της�παράστασης:�
Α�=�5(α�+�2)�+�3(β�−�13)�−�2(3�−�β)�
�1.33��Αν��α�+�β�=�8��και��γ�−�δ�=�10,��να�υπο-�
λογίσετε�τις�τιµές�των�παραστάσεων:�
� � Α�=�2α�+�2β�−�(γ�−�δ)���και�
� � Β�=�3(α�+�γ)�+�3(β�−�δ)���
�����������
1.34��Να�παραστήσετε�µε�τη�βοήθεια�µιας�
µεταβλητής:�
α)� Τους�αριθµούς�που�είναι�πολλαπλάσια�
του�3.�
β)� Τους�άρτιους�αριθµούς.�
γ)� Τους�περιττούς�αριθµούς.�
δ)� Τους�φυσικούς�αριθµούς�που�όταν�διαι-�ρεθούν�µε�το�5�αφήνουν�υπόλοιπο�2.�
�
1.35��Να�αποδείξετε�ότι:�
α)� (−α�+�β�−�γ)�⋅�δ�=�−αδ�+�βδ�−�γδ�
β)� (α�−�β)(−γ�+�δ)�=�−αγ�+�αδ�+�βγ�−�βδ�
�
1.36��Να�υπολογίσετε�την�τιµή�της�παρά-�
στασης:�
A�=� −[(x�−�2)�⋅�3�−�3x]�+�� � +�[−1�−�(−2�+�10)](x�−�5)�−�9(2�−�x)��
1.37��Αν�είναι��Α�=�2x�−�5(x�−�y)��και�
Β�=�5y�−�[−(α�−�3)�+�α]�⋅�x,��να�αποδείξετε�
ότι��Α�=�Β.�
�
1.38��Να�γράψετε�την�παράσταση:�
Κ�=�−2x�+�y�+�7�
ως�παράσταση�των�α�και�β,�όπου:�
α�=�x�−�2,���β�=�y�+�3�
�
1.39��Να�γράψετε�την�παράσταση:�
Α�=�25�−�α�−�β�−�γ�
ως�παράσταση�των�x,�y,�ω,�όπου:�
x�=�−1�−�α,���y�=�−2�+�β�
και���ω�=�−3�+�γ�
�
1.40��Αν� �α�+�δ�=�−3� �και� �β�+�γ�=�5,� �να�
υπολογίσετε�την�τιµή�της�παράστασης:�
20� Η�έννοια�της��εταβλητής�-�Αλγεβρικές�παραστάσεις�
A�=� −α�−�{−δ�−�β�−�(δ�+�γ�+�α)�−�� � −�[−δ�−�(−α)]}��1.41��Αν� �α�+�β�=�15� �και� �β�+�γ�=�3,� �να�
υπολογίσετε�την�τιµή�των�παραστάσεων:�
Α�=�2α�+�3β�+�γ,���Β�=�2(α�+�γ)�+�4β�
�1.42��Να�γράψετε�σε�απλούστερη�µορφή�
τις�παραστάσεις:�
A�=�2 1
x y x y3 3
− − + + − + −
�
Β�=� −�{−x�−�[−y�−�(−1)�+�y�−�2]�+�x}�−�� � −�(2�−�x)�
�1.43��Να�αποδείξετε�ότι�η�παράσταση:�
Α�=�−3�+�x�−�{x�−�[y�−�x�+�2�−�(y�−�x)]�−�3}�έχει�τιµή�ανεξάρτητη�από�τους�αριθµούς�
y�και�x.�
�
1.44��Αν�είναι:�
[ ] − + − + − + − − =
1 15 6 x 2( 3 y) y ( 7) 0
3 7�
να�αποδείξετε�ότι��x�=�y.�
�
1.45��Αν��xyz�=�−10,��να�υπολογίσετε�την�τιµή�της�παράστασης:�
Α�=�(x�+�1)(y�+�1)z�−�z(x�+�y�+�1)�
�
1.46��Να�υπολογίσετε�την�τιµή�της�παρά-�στασης:�
( )
+ −
=
− + +
7xx 2 2y x y y
xy
:A
5 3 (5x) : y�
όταν�το�κλάσµα�x
y�είναι�ίσο�µε�−3.�
�
1.47��Να�απλοποιήσετε�τις�παραστάσεις:�
Α�=� (x�−�3)(α�+�6)�+�7(−x�+�2)�−�x(α�−�1)�
Β�=� 4(3x�+�2y)�−�3(x�+�5y�−�1)�−�9x�
Γ�=� (κ�+�2)(2�+�5λ)�−�2(κ�−�3)�−�
� � −�λ(1�+�5κ)�+�3(2�−�3λ)�
�
1.48��Αν�η�περίµετρος�ενός� ισοπλεύρου�
τριγώνου�πλευράς�α�είναι�8�και�ενός�τε-�
τραγώνου� πλευράς� β� είναι� 9,� να� υπολο-�
γίσετε�την�τιµή�της�παράστασης:�
Α�=�(α�−�β)�⋅�3�+�5(β�−�1)�+�2(β�+�3)�+�12�
�
1.49��Αν�προσθέσουµε�το�τετραπλάσιο�της�
ηλικίας� της�Ευγενίας�και� την�ηλικία� του�
µπαµπά�της�θα�έχουµε�άθροισµα�100�έτη.�
Πόσο�θα�γίνει�το�άθροισµα�αυτό�µετά�από�
5�χρόνια;��
1.50��«Μαγικός»�αλγόριθµος:�
−� Σκέψου�έναν�αριθµό.�
−� Πολλαπλασίασέ�τον�µε�2.�
−� Στο�αποτέλεσµα�πρόσθεσε�3.�
−� Ό,τι�βρήκες�πολλαπλασίασέ�το�µε�5.�
−� Αφαίρεσε�το�10�από�το�αποτέλεσµα.�
−� Πολλαπλασίασε�το�νέο�αποτέλεσµα�µε�6.�
−� Αφαίρεσε�30.�
−� Ό,τι�βρήκες�διαίρεσέ�το�µε�60.�
Να�εκφράσετε�µε�µια�αλγεβρική�παρά-�σταση�την�παραπάνω�διαδικασία�και�στη�συνέχεια�να�απλοποιήσετε�την�παράσταση.�
21�
��
Θέµα 1ο
Τι�ονοµάζουµε�αναγωγή�οµοίων�όρων;�
Ποια�ιδιότητα�εφαρµόζουµε�για�την�αναγωγή�των�οµοίων�όρων;�
Θέµα 2ο
Να�εξετάσετε�αν�είναι�σωστές�ή�λανθασµένες�οι�παρακάτω�προτάσεις:�
α)� Αν�η�µεταβλητή�υ�εκφράζει�το�ύψος�ενός�ανθρώπου�σε�µέτρα,�τότε�µπορεί�να�εί-�
ναι��υ�=�1,7.�
β)� Η�αλγεβρική�παράσταση��2(α�+�3)��εκφράζει�το�διπλάσιο�του�αριθµού�α�αυξηµένο�
κατά�3.�
γ)� Η�παράσταση�−
5
x 3�δεν�µπορεί�να�πάρει�την�τιµή�µηδέν.�
Θέµα 3ο
Με�τη�βοήθεια�µιας�µεταβλητής�να�γράψετε�συµβολικά:�
α)� Την�περίµετρο�ενός�ρόµβου�αν�γνωρίζουµε�την�πλευρά�του.�
β)� Την� ηλικία� της� Κωνσταντίνας� που� είναι� 2� χρόνια� µικρότερη� από� την�Μάρω� αν�
γνωρίζουµε�την�ηλικία�της�Μάρως.�
γ)� Έναν�περιττό�αριθµό.�
δ)� Ένα�φυσικό�αριθµό�που�όταν�διαιρεθεί�µε�το�6�δίνει�υπόλοιπο�3.�
Θέµα 4ο
α)� Να�απλοποιήσετε�τις�παραστάσεις:�
Α�=�2x�−�x�+�5x�−�3x�
B�=�3(x�−�2)�−�x�+�6�
β)� Αν�είναι��α�+�β�=�5,��να�υπολογίσετε�την�τιµή�της�παράστασης:�
Α�=�3(α�+�1)�+�2(α�+�3β)�−�(2�−�α)�
�
�
22� Εξισώσεις�α΄�βαθ�ού�
��
�
Η Άννα και η Βασιλική είναι δύο καλές
φίλες. Αν συµβολίσουµε µε α και β τις
ηλικίες τους, τότε είναι:
α = β (Γεννήθηκαν την ίδια µέρα,
την ίδια στιγµή!)
ή α < β (Η Άννα είναι µικρότερη από
την Βασιλική.)
ή α > β (Η Άννα είναι µεγαλύτερη από
την Βασιλική.)
� Ισότητα�-�Ανισότητα�
Αν�έχουµε�δύο�αριθµούς�α�και�β,�τότεισχύει�µια�µόνο�από�τις�σχέσεις:�
= < >α β, α β, α β �
Η�σχέση� �α�=�β� �λέγεται�ισότητα�ενώ�οισχέσεις� � α� <� β,� � α� >� β� � λέγονται�ανισό-τητες.�
�
Έστω ότι γεννήθηκαν την ίδια µέρα, την
ίδια στιγµή, δηλαδή α = β.
Τότε µετά από 10 χρόνια θα έχουν την
ίδια ηλικία, δηλαδή:
α + 10 = β + 10
Αλλά και όταν διπλασιαστούν οι ηλικίες
τους πάλι θα είναι ίσες, δηλαδή:
2α = 2β
�
� Χρήσιµες�ιδιότητες�των�πράξεων�
Αν�έχουµε�ισότητα,�δηλαδή��α�=�β,��τότεισχύουν�οι�παρακάτω�ιδιότητες:�
•� Αν�και�στα�δύο�µέλη�µιας�ισότηταςπροσθέσουµε�ή�αφαιρέσουµε�τον�ίδιοαριθµό,�τότε�προκύπτει�και�πάλι�µια�ισό-τητα.�∆ηλαδή:�
= + = +
= − = −
Αν α β, τότε α γ β γ
Αν α β, τότε α γ β γ�
•� Αν�και�τα�δύο�µέλη�µιας�ισότηταςπολλαπλασιαστούν�ή�διαιρεθούν�µε�τονίδιο�αριθµό,�τότε�προκύπτει�και�πάλι�µιαισότητα.�∆ηλαδή:�
= =
= = ≠
Αν α β, τότε αγ βγ
α βΑν α β, τότε µε γ 0
γ γ
�
23�
– Ο µπαµπάς του Χριστόδουλου είναι 48
ετών. Αν αφαιρέσουµε την ηλικία του
Χριστόδουλου από την ηλικία του µπα-
µπά του, τότε προκύπτει το τριπλάσιο
της ηλικίας του Χριστόδουλου ελαττω-
µένο κατά 4. Με ποια εξίσωση θα βρού-
µε πόσων ετών είναι ο Χριστόδουλος;
– Συµβολίζουµε µε x την ηλικία του Χρι-
στόδουλου και έχουµε την εξίσωση:
48 − x = 3x − 4
� Η�έννοια�της�εξίσωσης�
Οι�εξισώσεις�είναι�από�τα�πιο�βασικά�ερ-γαλεία�των�Μαθηµατικών,�αφού�µας�βοη-θάνε� πολύ� στη� λύση� προβληµάτων� πουσυναντάµε� στην� καθηµερινή� µας� ζωή� ήσε�διάφορες�επιστήµες�(Φυσική,�Χηµείακ.λπ.).�Με�τις�εξισώσεις�µας�δίνεται�ηδυνατότητα� να� γράφουµε� σύντοµα� καιαπλά�µε�χρήση�µεταβλητών�και�αριθµών,προβλήµατα�και� συλλογισµούς�που� δια-
τυπώνονται�µε�καθηµερινές�εκφράσεις.�
�
Στην εξίσωση 48 − x = 3x − 4: Το 48 − x
είναι το 1ο µέλος, ενώ το 3x − 4 είναι
το 2ο µέλος.
Το x είναι ο άγνωστος, οι −x, 3x οι άγνω-
στοι όροι και οι 48, −4 οι γνωστοί όροι.
� Εξίσωση�µε�έναν�άγνωστο�
Εξίσωση�µε�έναν�άγνωστο�λέµε�µια�ισό-τητα� η� οποία� περιέχει� αριθµούς� και� µίαµεταβλητή.�Η� µεταβλητή� λέγεται� άγνω-στος� της� εξίσωσης.� Οι� όροι� που� περιέ-χουν�τον�άγνωστο�λέγονται�άγνωστοι�όροι,ενώ� οι� άλλοι� όροι� λέγονται� γνωστοί.� Σεµία�εξίσωση�η�παράσταση�που�γράφεται
πριν� από� το� ίσον� (=)� λέγεται� πρώτο�µέ-
λος� της� εξίσωσης� και� η� παράσταση�πουγράφεται�µετά�το� ίσον�λέγεται�δεύτερο
µέλος�αυτής.�
�
Στην εξίσωση 48 − x = 3x − 4 ο αριθ-
µός 13 είναι λύση, γιατί αν τον βάλουµε
στη θέση του x, προκύπτει η:
48 − 13 = 3 ⋅13 − 4
35 = 39 − 4
∆ηλαδή ισότητα που αληθεύει.
� Λύση�ή�ρίζα�της�εξίσωσης�
Θα�λέµε�ότι�ένας�αριθµός�επαληθεύει�µίαεξίσωση�όταν�βάζοντας�τον�αριθµό�αυτόνστη� θέση� του� αγνώστου� προκύπτει� ισό-τητα�που�αληθεύει.�
Ο�αριθµός� που� επαληθεύει� την� εξίσωσηλέγεται�λύση�ή�ρίζα�της�εξίσωσης.�
24� Εξισώσεις�α΄�βαθ�ού�
– Η εξίσωση 0x = 5 δεν έχει λύση
αφού κανένας αριθµός δεν την επαληθεύει.
– Η εξίσωση 0x = 0 έχει λύση όλες τις
τιµές που µπορεί να πάρει το x.
� •� Υπάρχουν�εξισώσεις�που�δεν�έχουν�λύση.
Αυτές�λέγονται�αδύνατες.�
•� Υπάρχουν�ακόµα�εξισώσεις�που�επα-
ληθεύονται�από�όλες�τις�τιµές�του�αγνώ-
στου.�Αυτές�λέγονται�ταυτότητες.�
�
Πώς θα λύσουµε την εξίσωση:
48 − x = 3x − 4
Πρέπει να βρούµε το x.
Αρχικά θα «διώξουµε» το 48 από το 1ο
µέλος, προσθέτοντας και στα 2 µέλη της
εξίσωσης το −48.
∆ηλαδή:
−48 + 48 − x = −48 + 3x − 4
−x = −52 + 3x
Στη συνέχεια θα «διώξουµε» και το 3x
από το 2ο µέλος, προσθέτοντας και στα
2 µέλη της εξίσωσης το −3x.
∆ηλαδή:
−x + (−3x) = −52 + 3x + (−3x)
−4x = −52
Τέλος θα «διώξουµε» το −4 από το 1ο
µέλος, διαιρώντας και τα δύο µέλη µε −4.
∆ηλαδή:
− −
=
− −
4x 52
4 4
x = 13
Πιο σύντοµα:
48 − x = 3x − 4
−x − 3x = −48 − 4
� Λύση�εξίσωσης�
Για�να�λύσουµε�µια�εξίσωση�προσπαθού-
µε�να�«αποµονώσουµε»�τον�άγνωστο�στο
1ο�µέλος�της,�ενώ�στο�2ο�µέλος�να�έχουµε
έναν�αριθµό�που�θα�είναι�η�λύση�της.�
Η�λύση�µιας�εξίσωσης�στηρίζεται�στις�χρή-
σιµες�ιδιότητες�των�πράξεων�που�µάθαµε
παραπάνω.�
Με�βάση�αυτές�µπορούµε�και�στα�δύο
µέλη�µιας�εξίσωσης�να�προσθέτουµε�τον
ίδιο�αριθµό.�Αυτό�µας�βοηθάει�να�µετα-
φέρουµε�όρους�από�το�ένα�µέλος�της�εξί-
σωσης�στο�άλλο,�αλλάζοντάς�τους�το�πρό-
σηµο.�
Μπορούµε�ακόµα�να�πολλαπλασιάζουµε
ή�να�διαιρούµε�µε�τον�ίδιο�µη�µηδενικό
αριθµό�και�τα�δύο�µέλη�µιας�εξίσωσης.�
Έχοντας�υπόψη�µας�λοιπόν�τα�παραπάνω,
για�να�λύσουµε�µια�εξίσωση�ακολουθούµε
τα�παρακάτω�βήµατα.�
•� Χωρίζουµε�γνωστούς�από�αγνώστους
(µεταφέρουµε�δηλαδή�τους�άγνωστους�ό-
ρους�στο�ένα�µέλος�και�τους�γνωστούς�στο
άλλο,�προσέχοντας�αν�ο�όρος�αλλάζει�µέλος
να�αλλάζει�και�το�πρόσηµό�του).�
•� Κάνουµε�αναγωγή�οµοίων�όρων�(προ-
σθέτουµε�δηλαδή�τους�αγνώστους�του�α΄
µέλους�και�τους�αριθµούς�του�β΄�µέλους).�
25�
−4x = −52
− −
=
− −
4x 52
4 4
x = 13
•� ∆ιαιρούµε�και�τα�δύο�µέλη�της�εξίσω-
σης�µε�τον�συντελεστή�του�αγνώστου
(δηλαδή�µε�τον�αριθµό�που�είναι�πολλα-
πλασιασµένος�ο�άγνωστος).�
•� Απλοποιούµε�τα�κλάσµατα.�
�
Η εξίσωση + +
− = −x 1 x x 2
x ,3 6 2
έχει πα-
ρονοµαστές µε Ε.Κ.Π.(2, 3, 6) = 6.
Πολλαπλασιάζουµε και τα δύο µέλη της
εξίσωσης µε 6 και έχουµε:
+ +⋅ − ⋅ = − ⋅x 1 x x 2
6 6 6x 63 6 2
2(x + 1) − x = 6x − 3(x + 2)
2x + 2 − x = 6x − 3x − 6
2x − x − 6x + 3x = −6 − 2
(2 − 1 − 6 + 3)x = −6 − 2
−2x = −8
− −
=
− −
2x 8
2 2
x = 4
� �
Αν�σε�µια�εξίσωση�έχουµε�και�παρονοµα-
στές�τότε:�
•� Απαλείφουµε�τους�παρονοµαστές�πολ-
λαπλασιάζοντας�τα�µέλη�της�εξίσωσης�µε
ένα�κοινό�πολλαπλάσιο�των�παρονοµα-
στών� (συνήθως�χρησιµοποιούµε� το� ελά-
χιστο�κοινό�πολλαπλάσιο�των�παρονοµα-
στών).�
•� Απαλείφουµε�τις�παρενθέσεις.�
•� Χωρίζουµε�γνωστούς�από�αγνώστους.
•� Κάνουµε�αναγωγή�οµοίων�όρων.�
•� ∆ιαιρούµε�και�τα�δύο�µέλη�της�εξίσω-
σης�µε�τον�συντελεστή�του�αγνώστου.�
•� Απλοποιούµε�τα�κλάσµατα.�
�
�
�
��
�� Για� να� ελέγξουµε� εάν� πράγµατι� λύσαµε� σωστά�µια� εξίσωση� κάνουµε� επαλή-
� θευση.�Βάζουµε�δηλαδή�στη�θέση�του�αγνώστου�τον�αριθµό�που�βρήκαµε�ως�λύ-
� ση�και�εξετάζουµε�αν�αληθεύει�η�ισότητα�που�προκύπτει.�
� Για�παράδειγµα,�αν�λύσουµε�την�εξίσωση��20�−�x�=�4x�−�5��βρίσκουµε��x�=�5.�
26� Εξισώσεις�α΄�βαθ�ού�
� Βάζοντας�λοιπόν�όπου�x�το�5,�έχουµε��20�−�5�=�4�⋅�5�−�5��δηλαδή��15�=�20�−�5
� που�πράγµατι�ισχύει.�Αν�όµως�βρίσκαµε�π.χ.��x�=�3,��τότε�θα�ήταν��20�−�3�=�4�⋅�3�−�5
� δηλαδή�17�=�12�−�5�που�δεν�ισχύει.��
�� Σε�µια�εξίσωση�που�υπάρχουν�παρονοµαστές�µε�την�απαλοιφή�τους�η�γραµµή� κλάσµατος�γίνεται�«αυτόµατα»�παρένθεση.�
� Για�παράδειγµα,�στην�εξίσωση�3x 5 x 1
35 10
− − += − �έχουµε�διαδοχικά:�
3x 5 x 110 10 3 10
5 10
− − +⋅ = ⋅ − �
− − +⋅ = ⋅ − ⋅3x 5 x 1
2 10 3 11 1
�
2(3x�−�5)�=�10�⋅�3�−�(−x�+�1)���κ.λπ.��
�� Σε�µια�εξίσωση�που�έχει�τη�µορφή�δύο�ίσων�κλασµάτων�η�απαλειφή�των�παρο-� νοµαστών�γίνεται�και�όταν�πολλαπλασιάσουµε�«χιαστί».�
� Για�παράδειγµα,�στην�εξίσωση��3x 2 x 4
5 4
− +=
��έχουµε�διαδοχικά:�
3x 2 x 4
5 4
− += �
4(3x�−�2)�=�5(x�+�4)���κ.λπ.��
�� Ενδέχεται� λύνοντας� µια� εξίσωση� µετά� τον� χωρισµό� γνωστών� από� αγνώστους� και�την�αναγωγή�των�οµοίων�όρων�να�προκύψει�στο�1ο�µέλος�συντελεστής�του� αγνώστου�ίσος�µε�το�µηδέν.�
� Για�παράδειγµα:�
0�⋅�x�=�5���ή���0�⋅�x�=�−22���ή���0�⋅�x�=�0���κ.λπ.�
� Στην�περίπτωση�αυτή�δεν�µπορούµε�να�λύσουµε�ως�προς�τον�άγνωστο�διαιρώ-� ντας�µε�το�συντελεστή�του,�γιατί�όπως�γνωρίζουµε�δεν�γίνεται�διαίρεση�µε�το�0.�
� Παρατηρούµε�όµως�ότι� για�κάθε� τιµή� του�αγνώστου� το�1ο�µέλος� είναι�µηδέν� οπότε:�
� •� Αν�το�2ο�µέλος�είναι�αριθµός�διαφορετικός�από�το�µηδέν,�τότε�η�εξίσωση�εί-� ναι�αδύνατη.�
� •� Αν�το�2ο�µέλος�είναι�επίσης�µηδέν,�τότε�η�εξίσωση�είναι�ταυτότητα.�
� Έτσι�οι�εξισώσεις��0�⋅�x�=�5��και��0�⋅�x�=�−22��είναι�αδύνατες,�ενώ�η�εξίσωση��0�⋅�x�=�0� είναι�ταυτότητα.�
27�
�� Συνοψίζουµε:�
� Οι�εξισώσεις�στις�οποίες�αναφερόµαστε�καταλήγουν�στη�µορφή��α�⋅�x�=�β��όπου� α�και�β�είναι�αριθµοί�και�x�είναι�ο�άγνωστος.�
� Για�την�εξίσωση��α�⋅�x�=�β��ισχύουν�τα�παρακάτω:�
� •� Αν�είναι��α�≠�0��τότε�η�εξίσωση�έχει�µία�µόνο�λύση�τη�β
x .α
= �
� •� Αν�είναι��α�=�0��και��β�≠�0,��τότε�η�εξίσωση�είναι�αδύνατη.�
� •� Αν�είναι��α�=�0��και��β�=�0��τότε�η�εξίσωση�είναι�ταυτότητα.�
�
�
��
2.1��Να�λυθούν�οι�εξισώσεις:�
α)� −3x�+�15�=�−4x�−�3� � � � � � � � β)� 2(3x�−�1)�=�3x�−�2�
γ)� −3(x�−�2)�=�4x�+�3(4�−�x)�
Απάντηση
Έχουµε�διαδοχικά:�
α)� −3x�+�15�=�−4x�−�3� � � � (Χωρίζουµε�γνωστούς�από�αγνώστους)�
� −3x�+�4x�=�−15�−�3� � � � (Κάνουµε�αναγωγή�οµοίων�όρων)�
� x�=�−18�
β)� 2(3x�−�1)�=�3x�−�2� � � � (Απαλείφουµε�τις�παρενθέσεις)�
� 6x�−�2�=�3x�−�2� � � � � (Χωρίζουµε�γνωστούς�από�αγνώστους)�
� 6x�−�3x�=�2�−�2� � � � � (Κάνουµε�αναγωγή�οµοίων�όρων)�
� 3x�=�0�
� x�=�0�
γ)� −3(x�−�2)�=�4x�+�3(4�−�x)� � (Απαλείφουµε�τις�παρενθέσεις)�
� −3x�+�6�=�4x�+�12�−�3x�� � (Χωρίζουµε�γνωστούς�από�αγνώστους)�
� −3x�−�4x�+�3x�=�12�−�6�� � (Κάνουµε�αναγωγή�οµοίων�όρων)�
� −�4x�=�6� � � � � � � (∆ιαιρούµε�µε�το�συντελεστή�του�αγνώστου)�
�4x 6
4 4
−
= −
−
� � � � � � (Απλοποιούµε�τα�κλάσµατα)�
�3
x2
= − �
28� Εξισώσεις�α΄�βαθ�ού�
2.2��Να�λυθούν�οι�εξισώσεις:�
α)�x + 4 2 + x
=5 3
� � � � � � � � � β)�− − −
− −
x 8 x 5 x 47 =
2 3 4�
Απάντηση
α)� Κάνουµε�χιαστί�και�έχουµε�διαδοχικά:�
x 4 2 x
5 3
+ += �
3(x�+�4)�=�5(2�+�x)�
3x�+�12�=�10�+�5x�
3x�−�5x�=�10�−�12�
−2x�=�−2�
x�=�1�
β)� Είναι� � Ε.Κ.Π.� (2,� 3,� 4)�=� 12.� �Πολλαπλασιάζουµε� και� τα� δύο�µέλη� της� εξίσωσης�
x 8 x 5 x 47
2 3 4
− − −
− = − �µε�το�12�και�έχουµε�διαδοχικά:�
− − −
⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅
x 8 x 5 x 412 7 12 12 12
2 3 4�
12�⋅�7�−�6(x�−�8)�=�4(x�−�5)�−�3(x�−�4)�
84�−�6x�+�48�=�4x�−�20�−�3x�+�12�
−6x�−�4x�+�3x�=�−84�−�48�−�20�+�12�
−7x�=�−140�
x�=�20�
�
2.3��Να�λυθούν�οι�εξισώσεις:�
α)�−
− −
x +1 3 2x3(2 + x) = 3x 2 +
2 4� � � � β)�
− − −
1 1 2x 1 x 12x = +
2 3 3 6 3�
Απάντηση
α)� Είναι��Ε.Κ.Π.�(2,�4)�=�4.��Εποµένως:�x 1 3 2x
3(2 x) 3x 22 4
+ −+ − = − + �
+ −⋅ + − ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅
x 1 3 2x4 3(2 x) 4 4 3x 4 2 4
2 4�
12(2�+�x)�−�2(x�+�1)�=�12x�−�8�+�3�−�2x�
29�
24�+�12x�−�2x�−�2�=�12x�−�8�+�3�−�2x�
12x�−�2x�−�12x�+�2x�=�−24�+�2�−�8�−�3�
0x�=�−33�
Η�εξίσωση�είναι�αδύνατη.�
β)� Η�εξίσωση�γράφεται�µε�τη�µορφή�−
− − = +1 2x 1 x 1
x .6 3 6 3
�
Είναι��Ε.Κ.Π.�(3,�6)�=�6.��Εποµένως:�
1 2x 1 x 16x 6 6 6 6
6 3 6 3
−− ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ �
6x�−�1�−�2�⋅�2x�=�1�+�2(x�−�1)�
6x�−�1�−�4x�=�1�+�2x�−�2�
6x�−�4x�−�2x�=�1�+�1�−�2�
0x�=�0�
Η�εξίσωση�είναι�ταυτότητα.�
�
2.4��∆ίνεται�η�εξίσωση:�
− −
α(2α +1)x + x = 2(α + x) (α +1)
3�
όπου�x�είναι�ο�άγνωστος�και�α�είναι�ένας�αριθµός.�Να�βρεθεί�ποια�πρέπει�να�είναι�
η�τιµή�του�α�για�να�επαληθεύεται�η�εξίσωση�από�τον�αριθµό��x�=�3.�
Απάντηση
Για��x�=�3��έχουµε:�
α(2α 1) 3 3 2(α 3) (α 1)
3+ ⋅ + ⋅ = − + − + �
6α�+�3�+�α�=�−2α�−�6�−�α�−�1�
6α�+�α�+�2α�+�α�=�−6�−�1�−�3�
10α�=�−10�
α�=�−1�
�
�
�
�
�
30� Εξισώσεις�α΄�βαθ�ού�
��
2.5��Να�εξετάσετε�αν�είναι�σωστές�ή�λανθασµένες�οι�παρακάτω�προτάσεις:�
α)� Η�εξίσωση��3x�=�0��έχει�λύση�τον�αριθµό�1.
3�
β)� Η�εξίσωση��5x�=�5��έχει�λύση�τον�αριθµό�1.�
γ)� Η�εξίσωση�1x 1
7− = �έχει�λύση�τον�αριθµό�−7.�
δ)� Η�εξίσωση�1x 0
6− = �έχει�λύση�τον�αριθµό�−�6.�
ε)� Η�εξίσωση��x�+�10�=�x�−�3��είναι�ταυτότητα.�
στ)�Η�εξίσωση��2x�−�3�=�2x��είναι�αδύνατη.�
ζ)� Η�εξίσωση��5x�=�5x��έχει�µόνο�µία�λύση�τη��x�=�0.�
η)� Η�εξίσωση��3x�−�1�=�−1�+�3x��είναι�ταυτότητα.�
θ)� Οι�εξισώσεις��x�+�3�=�4��και��5�=�6�−�x��έχουν�λύση�τον�ίδιο�αριθµό.��
2.6��Να�βρείτε�ποιες�από�τις�παρακάτω�εξισώσεις�έχουν�λύση�τον�αριθµό�5:�
α)� x�+�5�=�15� � � � � � β)� 2x�+�7�=�17� � � � � � γ)� 16�−�3x�=�1�
δ)� −28�+�x�=�−13� � � � � ε)�7x
75
= − �
2.7��Να�αντιστοιχίσετε�κάθε�εξίσωση�της�1ης�στήλης�µε�τη�λύση�της�στη�2η�στήλη.�
1η�Στήλη� 2η�Στήλη�
� α)� 7x�=�−14� � � � i)� −3�
� β)� x�+�13�=�10� � � � ii)� 6�
� γ)� 5x�+�2�=�2� � � � iii)�−1�
� δ)� 5x�=�6�+�4x� � � � iv)�−2�
� ε)� −x�+�1�=�2� � � � v)� −4�
� στ)�2x�+�8�=�0� � � � vi)�0�
2.8��Να�λύσετε�τις�εξισώσεις:�
α)� 2x�=�4�� � � � � � � β)� 6x�=�0�� � � � � � � γ)� 2x�=�0�
δ)� 5x�=�−25� � � � � � � ε)� −7x�=�1� � � � � � � στ)�−x�=�5�
31�
��
2.9��Να�λύσετε�τις�εξισώσεις:��
α)� 4x�+�3�=�7�
β)� −2x�+�4�=�0�
γ)� 5x�+�7�=�−3�
δ)� −7x�−�2�=�40�
�
2.10��Να�λύσετε�τις�εξισώσεις:�
α)� −7x�+�2�=�3x�+�2�
β)� 2ω�−�4�=�3ω�−�4�
γ)� 4φ�−�3�=�−3�+�φ�
δ)� 1,5ρ�−�2,3�=�−2,3�+�4ρ�
�
2.11��Να�λύσετε�τις�εξισώσεις:�
α)� −y�+�2�=�−2y�+�0,5�
β)� 0,2ω�+�2,5�=�1,5ω�−�10,5�
γ)� 4,6�+�z�=�5,6�−�3z�
�
2.12��Να�λύσετε�τις�εξισώσεις:�
α)� 3(x�+�4)�=�15�
β)� −5(−2x�+�1)�=�−45�
γ)� 2(3x�+�2)�=�4�−�x�
�
2.13��Να�λύσετε�τις�εξισώσεις:�
α)� 5�+�6(x�+�3)�=�4(x�−�1)�+�7�
β)� 10x�+�4(−3x�+�1)�−�1�=�2x�−�(4x�+�1)�
�
2.14��Να�λύσετε�τις�παρακάτω�εξισώσεις�
και�να�κάνετε�την�επαλήθευση:�
��������������������������������������������������������
Οι�απαντήσεις�βρίσκονται�στο�τέλος�του�βιβλίου�
α)� x�+�3�+�3(x�+�2)�=�9�−�2x�
β)� 16(x�+�1)�−�2(3�−�x)�=�−3(x�+�6)�
�
2.15��Να�βρείτε�τις�ρίζες�των�εξισώσεων:�
α)� 2(3ω�+�4)�+�5(3ω�−�5)�=�3(ω�−�7)�+�8�
β)� −15�+�24(y�+�2)�=�2(5y�+�9)�−�y�
�
2.16��Να�βρείτε�για�ποια�τιµή�του�x�είναι�
Α�=�Β��όταν:�
α)� Α�=�2(7x�−�4)�−�0,3�−�5,4x,�
B�=�5�+�2,5(x�+�2)�
β)� Α�=�0,3(x�−�6)�−�0,9(x�−�2),�
B�=�6,6�−�2(x�+�3,3)�
�
2.17��Να�λύσετε�τις�εξισώσεις:�
α)� 2x�+�3�=�3x�−�(x�+�7)�
β)� 4x�−�1�=�2(2x�+�4)�+�3�
γ)� −2(−3x�+�1)�=�6(x�+�3)�−�12�
�
2.18��Να�λύσετε�τις�εξισώσεις:�
α)� x�+�3�=�x�+�3�
β)� 3(x�+�1)�=�5�−�(−3x�+�2)�
γ)� −2(2x�−�1)�+�5�=�11�−�4(x�+�1)�
�
2.19��Να�λύσετε�τις�εξισώσεις:�
α)�x 1 1
2 5
+= �� � β)�
x x 1
2 3
+= �
γ)�2x 4
5x2
−
= � � δ)�x
x 34
+ = − �
�
�
32� Εξισώσεις�α΄�βαθ�ού�
2.20��Να�λύσετε�τις�εξισώσεις:�
α)�1(x 2) (x 3) 1 (x 2)
2− − − = − − �
β)�1 1 1 3x (x 3) x
3 2 6 2− + = − − �
γ)�3x 1 6x 4
x2 7
+ −− = �
�
2.21��Να�λύσετε�τις�εξισώσεις:�
α)�x 1 2x 9 1
3 4 6
+ −= + �
β)�x 6 4 x 1
12 3 9
− +− = + �
γ)�3x 8 1 7x 8 x
4 2 10 2
− +− = − �
�
2.22��Να�βρείτε�τον�αριθµό�α�που�επαλη-�θεύει�τις�ισότητες:�
α)�α 3 2(α 1)
α 52 3
+ +− = − �
β)�4α 7(α 3) 2
35 10 5
−− = + �
�
2.23��Να�λύσετε�τις�εξισώσεις:�
α)�2x 3 3x 1 x 3
12 4 4
− + −− = − �
β)�6x 1 2x 3 16x 1
2 10 5
− + ++ = �
γ)�2(x 1) x x 2(x 2) x
3 2 6 3
+ + +− = − �
δ)�x 5 2(x 7) 1
2 92 10
+ + ++ = − �
�
2.24��Να�βρείτε�τις�ρίζες�των�εξισώσεων:�
α)� [ ]3 2(x 5) 1 x 2(x 6) 20x+ − − + + = �
β)� [ ]{ }2 x 3 (x 1) 2 6(x 1)+ − + + = + �
�
2.25��Να�λύσετε�τις�εξισώσεις�και�να�κά-�
νετε�επαλήθευση:�
α)�x 6 x 4 x 1
x 52 4 7
− − −+ + = − �
β)�
+ − − =
2x 1 x3 1 6
3 2 9�
�−
= − +
4x 3 39 8
6 2�
�
2.26��Έστω�η�εξίσωση:�
(λ�+�2)x�−�(x�−�1)λ�=�x�+�λ�+�1�
α)� Αν��λ�=�3��να�αποδείξετε�ότι�η�εξίσω-�
ση�έχει�λύση��x�=�1.�
β)� Να�λύσετε�την�εξίσωση�αν��λ�=�1.�
�
�
����������
�
2.27��∆ίνεται�η�εξίσωση:�
(3λ�+�1)x�−�λx�+�5�=�5λx�−�12�
όπου�λ�είναι�γνωστός�αριθµός�και�x�ο�άγνωστος.�Να� βρείτε� ποια� πρέπει� να� εί-�ναι� η� τιµή� του� λ� για� να� επαληθεύεται� η�
εξίσωση�από�τον�αριθµό��x�=�1.�
�
2.28��Να�βρείτε�τον�αριθµό�α�ώστε�η�εξί-�
σωση��(α�−�3)x�=�6��να�είναι�αδύνατη.�
�
2.29��Να�προσδιορίσετε�τον�αριθµό�µ�ώστε�
η�εξίσωση�µ 1 1 x 1
x2 3 3
− ++ = �να�είναι�ταυ-�
τότητα.�
33�
2.30��Αν�λ�είναι�η�τιµή�της�παράστασης:�
Α�=�(−1)100�+�(−1)101�+�(−1)102�
να�λύσετε�τις�εξισώσεις:�
α)� λx�=�1�
β)� (λ�+�1)x�=�0�
γ)� (λ�+�1)x�=�λ�
δ)� (λ�−�1)x�=�λ�−�1�
ε)� (λ�−�1)x�=�λ�
�
2.31��Να�βρείτε�το�x�ώστε�το�τετράπλευ-�
ρο�ΑΒΓ∆�να�είναι�ρόµβος.�
�
Ποιο�είναι�το�µήκος�κάθε�πλευράς�του�
ρόµβου;�
�
2.32��Να�λύσετε�την�εξίσωση:�
[ ]{ }1 3 5 (7 x) : 9 7 5 26+ − + − ⋅ = �
�
2.33��Να�βρείτε�για�ποιες�τιµές�του�ακέ-�ραιου� µ,� η� εξίσωση� � (µ�−� 3)x�=� 2� � έχει�ακέραιες�λύσεις.�
�
2.34��Να� αποδείξετε� ότι� το� τετράπλευρο�ΑΒΓ∆�είναι�τραπέζιο�µε�βάσεις�τις�ΑΒ�και�∆Γ�(το�φ�παριστάνει�µοίρες).�
��
�
34� Εξισώσεις�α΄�βαθ ού�
��
Θέµα 1ο
Τι�ονοµάζουµε�λύση�µιας�εξίσωσης;�
Ποιες�εξισώσεις�λέγονται�αδύνατες�και�ποιες�ταυτότητες;�
Θέµα 2ο
α)� Στις�παρακάτω�ισότητες�να�συµπληρώσετε�τον�αριθµό�που�λείπει:�
i)� 7�+�…�=�49� � � � � � ii)� 7�⋅�…�=�49� � � � � � iii)�20�−�…�=�20�
iv)�0�⋅�…�=�0� � � � � � � v)� 0�⋅�…�=�20�
β)� Να�εξετάσετε�αν�είναι�σωστές�ή�λανθασµένες�οι�παρακάτω�προτάσεις:�
i)� Η�εξίσωση��5x�=�0��έχει�λύση�τον�αριθµό�1.
5�
ii)� Οι�εξισώσεις��x�+�2�=�7��και��x�−�7�=�−2��έχουν�λύση�τον�ίδιο�αριθµό.�
Θέµα 3ο
Να�λύσετε�τις�εξισώσεις:�
α)� 2x�+�5�=�3x�+�1�+�x� � � � � � � � β)�x 2 x 3 x 7
13 2 6
− + ++ = − �
Θέµα 4ο
Στο�τετράπλευρο�του�διπλανού�σχήµατος,�το�ω�πα-�ριστάνει�µοίρες.�
α)� Να�βρείτε�το�x�αν��Α∆�=�ΒΓ.�
β)� Να�αποδείξετε�ότι��ΑΒ�//�Γ∆.�
γ)� Να�αποδείξετε�ότι�δεν�υπάρχει�τιµή�του�y,�έτσι�
ώστε�να�είναι��ΑΒ�=�Γ∆.�
�
�
Top Related