ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑκαι
ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ(ΚΕΦ 24)
ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ Ένας πυκνωτής έχει ως σκοπό να αποθηκεύει ηλεκτρική
ενέργεια που μπορεί να ελευθερώνεται με ελεγχόμενο τρόπο σε βραχύ χρονικό διάστημα.
Ένας πυκνωτής αποτελείται από 2 χωρικά διαχωρισμένους αγωγούς που φορτίζονται με +Q και -Q αντίστοιχα.
Η χωρητικότητα ορίζεται ως ο λόγος του φορτίου στον αγωγό του πυκνωτή προς τη διαφορά δυναμικού μεταξύ των αγωγών.
QCV
≡
• Εξαρτάται η χωρητικότητα μόνο από τον πυκνωτή και ανεξάρτητα από το φορτίο και το δυναμικό;
Παράδειγμα 1:Πυκνωτής με παράλληλα πλακίδια
d
A
-+
Υποθέτουμε +σ, - σ πυκνότητες φορτίου σε κάθε πλακίδιο εμβαδού Α και διαφορά δυναμικού V:
Το φορτίο Q: Η ένταση Ε του πεδίου εντός των
πλακών (Gauss): Το δυναμικό V (υπολογίστηκε στο
προηγούμενο κεφάλαιο) :
Q Aσ=
B AV V V E d∆ = − = ⋅
0 0
QEA
σε ε
= =
0Q ACV d
ε≡ =
• Παρατηρούμε ότι η χωρητικότητα εξαρτάται μόνο από τη γεωμετρία (A, d).
Τελικά
Παράδειγμα 2:Κυλινδρικός Πυκνωτής
a
b L
r
• Υποθέτουμε φορτίο +Q, -Q ομογενώς κατανεμημένο στην επιφάνεια των κυλίνδρων με διαφορά δυναμικού V.
Υπενθύμιση: Κυλινδρική συμμετρίαEr
L
Er
+ + +Q
• Gaussian επιφάνεια κυλινδρική ακτίνας r και μήκους L
• Ο κύλινδρος έχει φορτίο Q
• Από το νόμο του Gauss
02 QE dr rLEπ
ε⋅ = =∫
02QE
Lrπε=
Παράδειγμα 2:Κυλινδρικός Πυκνωτής
a
bL
r
+σ
- σ +Q, -Q ομογενώς στην επιφάνεια των κυλίνδρων με διαφορά δυναμικού V.
02QE
Lrπε=
Αν υποθέσουμε το +Q είναι στον εσωτερικό κύλινδρο, τότε η διαφορά δυναμικού V είναι θετική εάν πάρουμε το μηδέν του δυναμικού στο r = b:
0 0ln
2 2
a a b
b b a
Q Q bV E dr E dr drrL L aπε πε
= − ⋅ = − ⋅ = = ∫ ∫ ∫
02
ln
Q LCbVa
πε≡ =
πάλι: εξαρτάται από τη γεωμετρίαΤα ομοαξονικά καλώδια έχουν χωρητικότητα (χωρητικότητα ανά μονάδα μήκους καλωδίου)
a
b
+Q-Q
Παράδειγμα 3:α. Φορτισμένη σφαίρα
Υπολογισμός χωρητικότητας: +Q, -Q στην επιφάνεια των σφαιρών
με διαφορά δυναμικού V.
20 0 0
1 1 1( )4 4 4
bb b
a baa a
Q dr Q QV V E r drr a brπε πε πε
− = = = − = − ∫ ∫
00
4 41 1
Q abCV b a
a b
πε πε≡ = =− −
Φορτισμένη σφαίρα έχει την ικανότητα να αποθηκεύει ορισμένο φορτίο σε δεδομένο δυναμικό (έναντι V=0 στο άπειρο)
00
0, 44
RQ QV V C R
R Vπε
πε∞ = = ⇒ = =∆
β. Σφαιρικός πυκνωτής
Και πάλι εξαρτάται από τη γεωμετρία
ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ/ ΜΟΝΑΔΕΣ
Οι χωρητικότητες αυτών των πυκνωτών (υπάρχει αέρας ανάμεσα στους αγωγούς) έχουν την μορφή C = ε0 Gόπου G είναι γεωμετρικός παράγοντας, με διαστάσεις μήκουςπ.χ. G = 4π R, 4π ab/(b-a), 2πL, A/d, κτλ.
Μονάδες του C (=Q/V)[C] = Cb/Volt=Farad
1 Farad = 1 Coulomb προς Volt
Παρατήρηση: Όπως το Coulomb έτσι και το Farad είναι μεγάλη μονάδα. Πρακτικά οι χωρητικότητες μετρώνται σε (μF), nanofarad (nF) ή ακόμη και picofarad (pF).
(προς τιμή του Faraday)
ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΑΠΟΘΗΚΕΥΟΜΕΝΗ ΣΕ ΠΥΚΝΩΤΗΓια μεταφέρουμε φορτίο dq από σημείο με V = 0 (π.χ. το (–) πλακίδιο ενός πυκνωτή) στο (+) πλακίδιο, που φέρει φορτίο +q και συνεπώς βρίσκεται σε δυναμικό V = q/C, απαιτείται έργο:
dW = V·dq = (q/C)·dqΣυνεπώς, για να φορτίσουμε τον πυκνωτή από q = 0 σε q = Q απαιτείται έργο:
Αυτό το έργο αποθηκεύεται στον πυκνωτή ως ενέργεια. Που;
Θεωρείστε πυκνωτή με παράλληλα πλακίδια με χωρητικότητα C = ε0A/d. Εδώ
όγκος του πυκνωτή
όπου τ = Ad είναι ο όγκος μεταξύ των πλακιδίων, που «γεμίζει» από το ηλεκτρικό πεδίο E = σ/ε0.
Πράγματι, η παρουσία αυτού του πεδίου είναι το βασικό χαρακτηριστικό που ξεχωρίζει έναν φορτισμένο από έναν αφόρτιστο πυκνωτή.
Θεωρούμε, λοιπόν, ότι η ενέργεια αποθηκεύεται στο πεδίο E με ενεργειακή πυκνότητα ue (δηλ. ενέργεια ανά μονάδα όγκου) που δίνεται από
ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΠΥΚΝΩΤΩΝ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ
(1) Παράλληλη σύνδεση πυκνωτώνΠρόβλημα:Ποιας χωρητικότητας πυκνωτής (‘ισοδύναμος’) Ceq θα φέρει το ίδιο φορτίο όπως οι C1 και C2 μαζί, ενώ έχει την ίδια διαφορά δυναμικού V μεταξύ των πλακιδίων;
Απάντηση: Q1 = C1 V, Q2 = C2 V, Q = Q1 + Q2 = (C1 +
C2)V = Ceq V, οπότε Ceq = C1 + C2.
(2) Σύνδεση πυκνωτών σε σειράΠρόβλημα: Ποιας χωρητικότητας πυκνωτής (‘ισοδύναμος’) Ceq θα έχει την ίδια ολική διαφορά δυναμικού V = V1 + V2 στα άκρα του ενώ φέρει το ίδιο φορτίο όπως οι C1
και C2.
Απάντηση: V1 = Q/C1, V2 = Q/C2
ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ Παρατήρηση:
Εισάγοντας ένα μη αγώγιμο υλικό μεταξύ των πλακιδίων πυκνωτή αλλάζει η ΤΙΜΗ της χωρητικότητας του.
Ορισμός:Η διηλεκτρική σταθερά υλικού είναι ο λόγος της χωρητικότητας του πυκνωτή όταν είναι πλήρης από το διηλεκτρικό υλικό, προς αυτήν χωρίς το υλικό. δηλ.
κ πάντοτε > 1 (π.χ., γυαλί = 5.6; νερό = 78) Τα διηλεκτρικά ΑΥΞΑΝΟΥΝ τη χωρητικότητα πυκνωτή
(γενικά πολύ καλό, αλλιώς πρέπει να αυξήσω το μέγεθος του πυκνωτή)
Επιτρέπουν την αποθήκευση περισσότερης ενέργειας σε δεδομένο πυκνωτή.
0
CC
κ =
Όταν δηλαδή ένα διηλεκτρικό (μονωτής), παρεμβάλλεται σε έναν πυκνωτή, αυξάνει την χωρητικότητα από C0 σε C = κ C0, όπου κ είναι η διηλεκτρική σταθερά.
Συνεπώς, και σύμφωνα με τον ορισμό C = Q/V: • για V σταθερό, το Q αυξάνει από Q0 σε Q = κQ0, • για Q σταθερό, V ελαττώνεται από V0 σε V = V0/κ.
Αυτό πρέπει να σημαίνει και ότι• E ελαττώνεται από E0 σε E = E0/κ.
ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
Παράδειγμα επίπεδου πυκνωτή Φορτισμένος επίπεδος πυκνωτής σε
κενό σε δυναμικό V0. Σε κάθε πλακίδιο υπάρχει Q = C V0 +++++++++++++
- - - - - - - - - - - - -
Q
κ
+++++++++++++
- - - - - - - - - - - - -
Q
κ
Εισάγουμε υλικό διηλεκτρικής σταθεράς κ . Το φορτίο Q παραμένει σταθερό
VV V= 0
κ
Δυναμικό ελαττώνεται από V0 σε
E E= 0κ
Το ηλεκτρικό πεδίο επίσης:
και C = κ · C0= κ ·ε0·G = ε·G
E
γεωμετρικός παράγοντας
σχετική διηλεκτρική σταθερά υλικούσχετική επιτρεπτότητα
διηλεκτρική σταθερά του κενούεπιτρεπτότητα του κενού
διηλεκτρική σταθερά υλικούεπιτρεπτότητα του υλικού
(i) Για την κλειστή επιφάνεια με διακεκομμένη γραμμή:
ε0E0 = σf (1)(σf = επιφανειακή πυκνότητα ελεύθερου φορτίου)(ii) Για την κλειστή επιφάνεια με συνεχή γραμμή:
ε0E = σf – σi (2)(σi = πυκνότητα επαγόμενου ή δέσμιου φορτίου)
ΛΟΓΟΣ: ΠΟΛΩΣΗΕφαρμόζοντας το νόμο του Gauss(για E = σταθερό) στα δυο παραλληλεπίπεδα που φαίνονται:
Όμως είπαμε ότι Ε=Ε0/κ άρα:σχέση (1)/ σχέση (2) και λύση ως προς σi:σi = σf ( 1-1/κ)και αντικαθιστώντας στην (2):
κ·ε0 ·Ε = ε ·Ε = σf = μέσω της (1) = ε0 ·Ε0
Επέκταση του νόμου του Gauss για να περιλαμβάνει διηλεκτρικά:
Γενικός κανόνας: Όλες οι εκφράσεις και οι νόμοι που ισχύουν για το κενό ισχύουν και για διηλεκτρικά υλικά εάν το ε0 αντικατασταθεί από την διηλεκτρική σταθερά του, ε, του διηλεκτρικού. Δηλαδή:
ή
Top Related