Zkou skov a p semka z line arn algebry 14. 2. 2017 Jm enobalkolub/Vyuka/zima2016/... · Zkou skov a...
2
Click here to load reader
Transcript of Zkou skov a p semka z line arn algebry 14. 2. 2017 Jm enobalkolub/Vyuka/zima2016/... · Zkou skov a...
Zkouskova pısemka z linearnı algebry 14. 2. 2017 Jmeno:
Praxe
1. Necht V je vektorovy prostor nad C. Necht X = (~x, ~y, ~z) je bazı V nad C.
(a) Naleznete vsechny hodnoty α, pro ktere je soubor Y = (~x+ α~y − ~z, 2~x− 2~y + ~z, α~x+ ~y)bazı V . Zduvodnete.
(b) Necht A ∈ L(V ), XA =
1 −1 00 −1 10 1 1
.
i. Pro α = 0 sestavte YA (ma-li uloha smysl).
ii. Pro α = 1 sestavte YAX (ma-li uloha smysl).
2. Necht ϕ ∈ (R3)#, E3ϕX = (1 1 0), kde E3 je standardnı baze R3 a X =((
3))
je baze R1.
Necht A ∈ L(R1,R3), XAY =
123
, kde Y =
1−1
0
,
120
,
12−1
je baze R3.
(a) Najdete hodnost a defekt zobrazenı A,ϕ a slozenych zobrazenı ϕA a Aϕ.
(b) Najdete jadro A,ϕ, ϕA a Aϕ.
(c) Vyreste tu z rovnic, ktera ma smysl: (1) (ϕA)(~x) = 6, (2) (Aϕ)(~x) = 6.
(d) Vyreste tu z uloh, ktera ma smysl: (1) Najdete (ϕA)E# , (2) Najdete (Aϕ)E# .
3. Necht P ⊂⊂ R4, Q ⊂⊂ R4, V ⊂⊂ R4. Naleznete dimenzi a bazi P,Q, V a dale P +Q,P +Va P ∩Q,P ∩ V , je-li
P =
x1x2x3x4
∈ R4
∣∣∣∣∣∣∣∣ 2x1 + 4x2 − 3x3 − x4 = 0
,
Q =
1120
,
1106
,
1002
λ
a V =
0302
,
010−1
,
10−1
0
λ
.
4. Necht X1 =
(1 11 1
),X2 =
(−i 0−i 0
),X3 =
(1 −11 −1
)jsou vektory z C2,2.
(a) Naleznete bazi[X1,X2,X3
]λ, ktera obsahuje
i. X =
(1 −1−1 −1
), ii. Y =
(0 i0 i
)a Z =
(−1 −1−1 −1
).
(b) Pokud je to mozne, doplnte X1,X2,X3 na bazi C2,2.
(c) Pokud je to mozne, doplnte X,Y,Z na bazi C2,2.
1
TeorieVsechna tvrzenı uvadejte i s predpoklady!
1. (a) Definujte obraz mnoziny pri linearnım zobrazenı.
(b) Co platı pro obraz podprostoru? Tvrzenı dokazte.
(c) Pro zobrazenı ϕ: R2 → R definovane jako
ϕ(x1
x2
)= −1
vysvetlete na zaklade predchozıho bodu, proc nenı linearnı.
(d) Na zaklade bodu (b) vysvetlete, proc neexistuje A ∈ L(R2), pro ktere dim A(R2) > 2.
2. (a) Definujte matici zobrazenı v bazıch.
(b) Vyslovte vetu o matici souctu zobrazenı v bazıch a matici nasobku zobrazenı v bazıch.
(c) Vyslovte vetu o matici slozeneho zobrazenı v bazıch.
(d) Jak lze predchozı vetu vyuzıt pri prevadenı matice zobrazenı v nejakych bazıch na maticistejneho zobrazenı v jinych bazıch (metode rıkame vnasenı identity).
3. (a) Vyslovte Steinitzovu vetu.
(b) Vyslovte vetu o doplnenı linearne nezavislych vektoru na bazi.
(c) Vyberte z nasledujıcıch tvrzenı pravdiva a vysvetlete, jak plynou ze Steinitzovy vety.Nepravdiva vyvratte protiprıkladem.
i. Pokud ve vektorovem prostoru V nad T existuje 10 linearne nezavislych vektoru,potom pocet generatoru V je alespon 11.
ii. Pokud ve vektorovem prostoru V nad T mame 10 linearne nezavislych vektoru, pakje lze doplnit na bazi V .
2
