Zavrsni Ispit (OKTOBAR 1) 2011

OM-Integralni pismeni ispit (14.10.2011.) 2011

1 Doc. Dr Strain Posavljak, dipl. inž.

ZADATAK 1

Uz zadatak 1

Na gornjoj slici je prikazan aksijalno opterećen štap.

Podaci: E = 2104 kN/cm

2, F1 = 20 kN, F2 = 40 kN

du = 4 cm, dv = 5 cm, a = 10 cm, l = 50 cm σd = σde =|σdc|=10 kN/cm2

1.1 Odrediti reakcije u osloncima A i B, a zatim odrediti normalne presečne sile N(z) i

nacrtati njihov dijagram. [Poena 20]

1.2 Proveriti da li je ispunjen uslov |σmax| σd i odrediti pomeranja tačaka A, C, D i B.

Poena 10

ZADATAK 2

Uz zadatak 2

Ostali podaci: E = 2104 kN/cm

2, df = 15 kN/cm

2

2.1 Odrediti maksimalni normalni napon za kritični poprečni presek i utvrditi da li je

osigurana nosivost grede. Poena 15

2.2 Odrediti ugib na mestu maksimalnog momenta savijanja, nagib α na mestu oslonca A i

nagib na mestu oslonca B. [Poena 10]

2.3 Dimenzionisati novi poprečni presek grede sa konturom (1012k) i šupljinom (77k)

tako da se osigura njena nosivost (nepoznato k zaokružiti na jednu decimalu). Poena 15



ZADATAK 3

Uz zadatak 3

Ostali podaci: E=2105 MPa, σP=200 MPa, σT = 240 MPa, σ = 301,076 – 1,018 [MPa]

l1 = 6 m, l2 = 0,5 m

3.1 Štap 1: Odrediti kritičnu silu izvijanja Fkr. Poena 20

3.2 Štap 2: Definisati i skicirati jezgro preseka. Poena 10



REŠENJE ZADATKA 1

1.1 Reakcije u osloncima + normalne presečne sile i njihov dijagram

Reakcije u osloncima

Aksijalno opterećen štap je 1x statički neodređen, pa nam je za određivanje 2 reakcije, osim 1

statičkog uslova ravnoteže (nulte sume svih sila duž z ose), potreban još 1 dopunski uslov.

Reakcije ćemo odrediti primenom metoda sila . Iskoristićemo Sliku 1.1-1.

Slika 1.1-1 Uz određivanje reakcija u osloncima

U gornjem delu Slike 1.1-1, prikazan je zadati štap sa pretpostavljenim smerovima reakcija

FA i FB. U donjem delu prikazan je taj isti štap bez oslonca B čiji je uticaj zamenjen

momentom S = FB.

Iz nulte sume svih sila duž z ose, prema Slici 1.1-1,

021 SFFFA ... (1.1-1)

12 FFSFA ... (1.1-2)

Već pomenuti dopunski uslov odnosi se na nulto izduženje štapa.

0l ... (1.1-3)

Na osnovu teorije aksijalno (podužno) opterećenih štapova, imamo da je

0

22

A E

azN

A E

azN

A E

azNl

DBCDAC

... (1.1-4)



Presečne normalne sile u (1.1-4) iznose

2121

11

FFFFFFzN

FFFFzN

FFzN

AA

DB

AA

CD

AA

AC

... (1.1-5)

Izraz (1.1-4) se pomoću (1.1-5) transformiše u oblik

0

22 211

A E

aFFF

A E

aFF

A E

aF AAA ... (1.1-6)

Množenjem gornjeg izraza sa [(EA)/a]

0222 211 FFFFFF AAA ... (1.1-7)

035 21 FFFA ... (1.1-8)

kN FF

FA 45

40203

5

3 21

... (1.1-9)

kN FA 4 ... (1.1-10)

Sa (1.1-10) iz (1.1-2)

kN FFFFS AAB 24402041 ... (1.1-11)

kN FB 24 ... (1.1-12)

Normalne presečne sile i njihov dijagram

Sa zadatim napadnim silama F1 = 20 kN i F2 = 40 kNcm i sa izračunatim vrednostima

reakcija FA = 4 kN (1.1-10) i FB = 24 kN (1.1-12), iz (1.1-5)

kN FFFFFFzN

kN FFFFzN

kN FFzN

AA

DB

AA

CD

AA

AC

2440204

16204

4

2121

11

... (1.1-13)

kN zN

kN zN

kN zN

DB

CD

AC

24

16

4

... (1.1-14)

Dijagram presečnih normalnih sila prikazan je na Slici 1.1-2.



Slika 1.1-2 Dijagram presečnih normalnih sila

1.2 Ispunjenost uslova |σmax| σd i pomeranja tačaka A, C, D i B.

Ispunjenost postavljenog uslova

Za normalni napon |σmax| važi

A

zNmax

max ... (1.2-1)

Prema (1.1-14) i prema dijagramu na Slici 1.1-2 maksimalna vrednost normalne presečne sile

je na delu štapa DB i saglasno ovom imamo

2

22223973

14345

2444cm/kN ,

,dd

zN

A

zN

uv

maxmaxmax

... (1.2-2)

23973 cm/kN ,max ... (1.2-3)

ZAKLJUČAK: Postavljeni uslov je ispunjen jer je (|σmax| = 3,397 kN/cm2 ) < (σd = 10

kN/cm2).



Pomeranja tačaka A, C, D i B

0

107,114,345102

201641057,0

2)(4

2)(

1057,014,345102

10244

2)(4

2)(

0

3

224

3

22

3

224

22

B

cm

ddE

azNC

AE

azNCD

cm

ddE

azN

AE

azNC

A

uv

CDCD

uv

ACAC

... (1.2-4)

0

1071

10570

0

3

3

B

cm ,D

cm ,C

A

... (1.2-5)



REŠENJE ZADATKA 2

2.1 Provera nosivosti grede

Reakcije u osloncima

Slika 2.1-1 Uz određivanje reakcija

Iz nulte sume sila u pravcu y ose, dobijamo

0 BA FFqlF ... (2.1-1)

FqlFF BA ... (2.1-2)

Iz nulte sume momenata oko tačke A

032

2

lFaFl

q B ... (2.1-3)

kN l

ql

aFF

aFaFl

q

B

B

510152

45

4

1320

23

0432

2

... (2.1-4)

kN FB 5 ... (2.1-5)

Sa (2.1-5) iz (2.1-2)

kN FqlFF BA 520455 ... (2.1-6)

kN FA 15 ... (2.1-7)

Presečne poprečne sile

zzFqzFzT

zzqzFzT

A

II

y

A

I

y

552055

1555 ... (2.1-8)



zzT

zzT

II

y

I

y

55

15 ... (2.1-9)

Karakteristične vrednosti presečnih poprečnih sila sadrži Tablica 2.1-1.

Tablica 2.1-1 Karakteristične vrednisti

presečnih poprečnih sila

Polje z [m] Ty(z) [kN]

I 0 5

3 -10

II 3 10

4 5

Dijagram presečnih poprečnih sila prikazan je na Slici 2.1-2.

Slika 2.1-2 Dijagram presečnih poprečnih sila

Položaj kritičnog poprečnog preseka

Na osnovu Tablice 2.1-1 i na osnovu Slike 2.1-2 zaključujemo da presečne poprečne sile

menjaju znak na mestima definisanim koordinatama zM1 = ? i zM2 = 3m.

Nepoznatu koordinatu zM1 odredićemo pomoću izraza

015 11 MM

I

y zzT ... (2.1-10)

iz kojeg

m zM 11 ... (2.1-11)



Maksimalni moment savijanja

Odredićemo momente savijanje za preseke definisane koordinatama zM1 = 1 m i zM2 = 3 m.

kNm ,z

qzFzMM

kNm ,z

qzFzMM

MMAMx,x

MMAMx,x

572

3535

2

522

1515

222

2222

2

1111

... (2.1-12)

Iz (2.1-12)

kNm ,MM ,xmax,x 572 ... (2.1-13)

Aksijalni moment inercije poprečnog preseka za osu x

443

917123912

71210cm ,I x

... (2.1-14)

49171239 cm ,I x ... (2.1-15)

Maksimalni normalni naponi u kritičnom poprečnim preseku

2629369171239

100576 cm/kN ,

,

,

I

M

x

max,x

max

... (2.1-16)

26293 cm/kN ,max ... (2.1-17)

ZAKLJUČAK: Na osnovu vrednosti maksimalnog normalnog napona u (2.1-17) upoređene

sa dozvoljenim naponom na savijanje, jasno je da je nosivost grede osigurana jer je (max =

3,629 kN/cm2) < (df = 15 kN/cm

2). Sa druge strane možemo govoriti o predimenzionisanom

poprečnom preseku koji nije racionalan za zadato opterećenje.



2.2 Ugib na mestu maksimalnog momenta savijanja + nagib na mestu oslonca A i

nagib na mestu oslonca B

Određivanje traženog ugiba i traženih nagiba ćemo zasnovati na principu superpozicije i

tabličnim rešenjima

Ugib

222 M

F

M

q

M zuzuzu ... (2.2-1)

Sabirci u (2.2-1) iznose

cm

l

z

l

z

l

z

EI

qlzu MMM

x

M

q

479,04

3

4

32

4

3

917,123910224

400105

224

43

4

42

4

2

3

22

4

2

... (2.2-2)

cmzu M

q 479,02 ... (2.2-3)

cml

b

l

a

EI

Flzu

x

M

F 151,04

1

4

3

917,12391023

40020

3

22

4

3223

2

... (2.2-4)

cmzu M

F 151,02 ... (2.2-5)

Sa (2.2-3) i (2.2-5) iz (2.2-1)

cmzuzuzu M

F

M

q

M 328,0151,0479,0222 ... (2.2-6)

cmzu M 328,02 ... (2.2-7)

Nagibi

rad

l

b

l

b

l

a

EI

Fl

EI

ql

xx

Fq

00412,000126,000538,0

4

11

4

1

4

3

917,12931026

40020

917,129310224

400105

1 624

4

2

4

32

23

... (2.2-8)



rad

l

a

l

b

l

a

EI

Fl

EI

ql

xx

Fq

00362,000176,000538,0

4

31

4

1

4

3

917,12391026

40020

917,123910224

400105

1 624

4

2

4

32

23

... (2.2-9)

rad

rad

00362,0

00412,0

... (2.2-10)

2.3 Novi poprečni presek

Moment inercije novog poprečnog preseka

Moment inercije Ix,new novog poprečnog preseka grede sa konturom (1012k) i šupljinom

(77k), iznosi

12

771210

12

771210 333

33

kkk

I new,x ... (2.3-1)

Uporedimo li (2.3-1) sa (2.1-14) možemo napisati da je

xnewx IkI 3

, ... (2.3-2)

43

, 917,1239 cmkI newx ... (2.3-3)

Faktor k

Postavljanjem uslova max,new ≤ df dobijamo

df

newx

x

newx

x

new kI

Mk

I

M 6

2

12

,

max,

,

max,

max, ... (2.3-4)

df

x

x

newk

kIk

M

2

max

3

max,

max, 6 ... (2.3-5)

Iz (2.3-5)

df

k

max2 ... (2.3-6)



df

k

max ... (2.3-7)

Sa max = 3,629 kN/cm2 u (2.1-17) i sa df = 15 kN/cm

2, iz (2.3-7)

492,015

629,3max df

k

... (2.3-8)

Maksimalni normalni napon u novom kritičnom poprečnom preseku

Zaokruživanjem na jednu decimalu možemo napisati da je k = 0,5 sa kojim prema (2.3-5)

imamo da je

2

22

maxmax, /516,14

5,0

629,3cmkN

knew

... (2.3-9)

2

max, / 516,14 cmkNnew ... (2.3-10)

ZAKLJUČAK: Sa k = 0,5 novi poprečni presek bi imao konturu (106) i šupljinu (73,5), u

cm (Slika 2.3-1). Sa istim bi naša greda bila racionalnija od grede sa zadatim poprečnim

poprečnim presekom i takvoj gredi bi se osigurala nosivost jer je maksimalni normalni napon

u (2.3-10) manji od dozvoljenog df = 15 kN/cm2.

Slika 2.3-1 Zadati (levo) i novi poprečni presek grede (desno)



REŠENJE ZADATKA 3

3.1 Štap 1: Kritična sila izvijanja

Površina poprečnog preseka

271771210 cm A ... (3.1-1)

271 cm A ... (3.1-2)

Minimalni moment inercije

443

91779912

71210cm ,II ymin

... (3.1-3)

4917799 cm ,Imin ... (3.1-4)

Minimalni poluprečnik inercije

Sa (3.1-1) i (3.1-2)

cm ,,

A

Ii minmin 3573

71

917799 ... (3.1-5)

cm ,imin 3573 ... (3.1-6)

Vitkost na granici proporcionalnosti

399200

102143

5

,,E

P

P

... (3.1-7)

399,P ... (3.1-8)

Vitkost na granici tečenja

Iz Tetmajerovog izraza zadatog u podacima koji se odnose na ovaj zadatak, dobijamo

600181

240076301

0181

076301

,

,

,

, TT ... (3.1-9)

60T ... (3.1-10)



Redukovana dužina

cm m ,l ,lr 300365050 1 ... (3.1-7)

cm lr 300 ... (3.1-8)

Redukovana vitkost

366893573

300,

,i

l

min

rr ... (3.1-9)

36689,r ... (3.1-10)

Kritična sila izvijanja

Pošto je prema (3.1-10) i (3.1-6) (r = 89,366) < (P = 99,3) i (r = 89,366) > (T =60) imamo

problem izvijanja štapa u neelastičnoj oblasti. Zato ćemo u svrhu određivanja kritične sile

izvijanja primeniti Tetmajerov postupak za poznato A = 50 cm2 i r = 89,366 , dolazi se do

kritične sile izvijanja

kN , ,,,,A ,,F rkr 72149171366890181076301100181076301 ... (3.1-11)

kN ,Fkr 721491 ... (3.1-12)

3.2 Štap 2: Jezgro preseka

Glavni težišni momenti inercije poprečnog preseka

Glavni težišni momenti poprečnog preseka štapa 2 su već određeni i prema isti prema (2.1-

15) i (3.1-3) iznose

4

2

4

1

917,799

917,1239

cmIII

cmIII

yv

xu

... (3.2-1)

Kvadrati glavnih poluprečnika inercije

Sa momentima inercije u (3.2-1) i sa površinom poprečnog preseka A = 71 cm2 dobijamo

42

22

266,1171

917,799

464,1771

917,1239

cmA

Ii

cmA

Ii

vv

uu

... (3.2-2)



22

22

266,11

464,17

cmi

cmi

v

u

... (3.2-3)

Jezgro preseka

Za određivanje jezgra preseka dovoljne su tangente t1, t2, koje su odsečcima na osama u i v,

prikazane na Slici 3.2-1.

Slika 3.2-1 Uz određivanje jezgra preseka (M 1:2)

Potrebne koordinate napadnih tačaka 1, 2 mogućih zateznih/pritisnih sila prema gornjoj slici

iznose

cmb

iv

cma

iu

u

v

911,26

464,17

253,25

266,11

2

2

2

1

2

1

... (3.2-4)

Koristeći dvostruku simetriju i već sračunato u (3.2-4), možemo napisati da jezgro preseka

definišu napadne tačke 1-2-3-4 (mogućih ekscentričnih zateznih/pritisnih sila) sa

koordinatama sadržanim u Tablici 3.2-1.

Jezgro preseka je prikazano na Slici 3.2-2.



Tablica 3.2-1 Jezgro preseka definisano napadnim

tačkama mogućih ekscentričnih zateznih/pritisnih sila

Tačka Koordinate

u [cm] v [cm]

1 2,253 0

2 0 2,911

3 -2,253 0

4 0 -2,911

Slika 3.2-2 Jezgro preseka (M 1:2)

Zavrsni Ispit (OKTOBAR 1) 2011

Documents

Transcript of Zavrsni Ispit (OKTOBAR 1) 2011