1

Zadatak 041 (Mirjana, srednja škola)

Kroz neko sredstvo šire se valovi koji imaju frekvenciju 660 Hz i amplitudu 0.3 mm. Duljina vala je 50 cm. Odredi: a) brzinu širenja vala i b) maksimalnu brzinu jedne čestice.

Rješenje 041 ν = 660 Hz, y0 = 0.3 mm = 3 · 10-4 m, λ = 50 cm = 0.5 m, v = ?, v0 = ?

Valna duljina je udaljenost dviju najbližih točaka vala koje titraju u istoj fazi. Drugim riječima, to je udaljenost do koje se proširi val za vrijeme jednog titraja, tj.

,v

v Tλ λν

= ⋅ ⇒ =

gdje je λ valna duljina, T perioda titranja, ν frekvencija, a v brzina širenja vala. Brzina tijela koje harmonički titra mijenja se s vremenom

2v v cos ,0

t

T

π⋅ ⋅= ⋅

gdje je v0 maksimalna brzina dana izrazom

2 0v v 20 0 .0

yy

T

ππ ν

⋅ ⋅= ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅

a) Brzina širenja vala iznosi:

v v 1v 0.5 660 330 ./

mm

s sλ λ λ ν

ν νν= ⇒ = ⇒ = ⋅ = ⋅ =⋅

b) Maksimalna brzina čestice iznosi:

2 140v v 2 2 3 10 660 1.24 .0 0 0

y my m

T s s

ππ ν π

⋅ ⋅ −= ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Vježba 041 Kroz neko sredstvo šire se valovi koji imaju frekvenciju 1320 Hz i amplitudu 0.3 mm. Duljina vala je 50 cm. Odredi: a) brzinu širenja vala i b) maksimalnu brzinu jedne čestice.

Rezultat: 660 m/s, 2.49 m/s. Zadatak 042 (Deny, srednja škola)

Žica glasovira daje ton frekvencije 65 Hz. Ako je duljina žice 2 m, a njezina masa po jedinici duljine 5 g/m, kolikom je silom zategnuta žica?

) 168 ) 84 ) 1300 ) 677 ) 338A N B N C N D N E N

Rješenje 042 νl = 65 Hz, l = 2 m, µ = 5 g/m = 0.005 kg/m, F = ?

Osnovna frekvencija kojom žica duljine l titra jednaka je

2,

F

l l

µν =

⋅

gdje je F napetost žice, a µ omjer mase m i duljine l žice. Sila kojom je žica zategnuta iznosi:

2 2 2/ 2 /2 2

F F

F Fl l

l l l ll ll

µ µν ν ν ν

µ µ= ⇒ = ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⇒

⋅ ⋅

2

( ) ( ) ( )22 2 2 1

2 2 2 0.00/ 5 2 2 65 338 .F F kg

l l F l m Nl l l m s

ν ν µ νµµ µ

⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Odgovor je pod E.

Vježba 042 Žica glasovira daje ton frekvencije 130 Hz. Ako je duljina žice 1 m, a njezina masa po jedinici duljine 5 g/m, kolikom je silom zategnuta žica?

) 168 ) 84 ) 1300 ) 677 ) 338A N B N C N D N E N

Rezultat: E. Zadatak 043 (Deny, srednja škola)

Žica glasovira duga 50 cm ima masu 10 g i napeta je silom od 800 N. Osnovna frekvencija kojom titra žica iznosi:

) 20 ) 40 ) 100 ) 200 ) 440A Hz B Hz C Hz D Hz E Hz Rješenje 043 l = 50 cm = 0.5 m, m = 10 g = 0.01 kg, F = 800 N, νl = ?

Osnovna frekvencija kojom žica duljine l titra jednaka je

2,

F

l l

µν =

⋅

gdje je F napetost žice, a µ omjer mase m i duljine l žice

.m

lµ =

Osnovna frekvencija kojom žica titra iznosi:

metoda

supstit

800 0.5

0.01 1200 200 .2

2 2 2 0.5ucije

FF

N mm F l

kgl ml Hzl l ll l m s

m

l

µν

ν ν

µ

⋅⋅

=⇒ ⇒ = ⇒ = = = =⋅

⋅ ⋅ ⋅

=

Odgovor je pod D.

Vježba 043 Žica glasovira duga 500 mm ima masu 1 dag i napeta je silom od 800 N. Osnovna frekvencija kojom titra žica iznosi:

) 20 ) 40 ) 100 ) 200 ) 440A Hz B Hz C Hz D Hz E Hz

Rezultat: D. Zadatak 044 (Deny, srednja škola)

Izvor emitira valove svjetlosti valne duljine 500 nm tijekom 10 ns. Koliki broj valova je emitirao izvor tijekom tog vremena? (c = 3 · 108 m/s)

6 8 19 22 16) 6 10 ) 2 10 ) 6 10 ) 6 10 ) 6 10A B C D E⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Rješenje 044 λ = 500 nm = 5 · 10-7 m, t = 10 ns = 1 · 10-8 s, c = 3 · 108 m/s, n = ?

Frekvencija ν je broj titraja (okreta) u jedinici vremena (u 1 sekundi).

,n

tν =

3

gdje je n broj titraja (okreta) za vrijeme t. Prema valnoj ili undulatornoj teoriji svjetlost se širi u valovima za koje vrijedi jednadžba

1,

ccλ ν

ν λ= ⋅ ⇒ =

gdje je λ duljina vala, c brzina svjetlosti i ν frekvencija. Broj valova koji je izvor emitirao iznosi:

8 83 10 1 10

66 10 .7

5 1

metoda/

komparacije 0

n ms

n c n c c tt snc t

tt m

ν

λ λ λν

λ

−= ⋅ ⋅ ⋅⋅

⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ = = = ⋅−

⋅=

⋅

Odgovor je pod A.

Vježba 044 Izvor emitira valove svjetlosti valne duljine 1000 nm tijekom 20 ns. Koliki broj valova je emitirao izvor tijekom tog vremena? (c = 3 · 108 m/s)

6 8 19 22 16) 6 10 ) 2 10 ) 6 10 ) 6 10 ) 6 10A B C D E⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Rezultat: A. Zadatak 045 (Mira, gimnazija)

Točkasti izvor titra harmonijski frekvencijom 50 Hz. Val se kroz medij širi brzinom 300 m/s. Koliku razliku u fazi imaju dvije točke koje su udaljene 2 m i 8 m od izvora vala?

Rješenje 045 ν = 50 Hz, v = 300 m/s, x1 = 2 m, x2 = 8 m, �φ = ?

Valna duljina je udaljenost dviju najbližih točaka vala koje titraju u istoj fazi. Drugim riječima, to je udaljenost do koje se proširi val za vrijeme jednog titraja, tj.

v,λ

ν=

gdje je λ valna duljina, v brzina širenja vala, a ν frekvencija. Dvije točke koje se nalaze na udaljenosti x1 i x2 od izvora vala imaju međusobnu razliku u fazi, odnosno pomak u fazi:

2 1 .2 2x xx

ϕ π ϕ πλ λ

−∆∆ = ⋅ ⋅ ⇒ ∆ = ⋅ ⋅

Razlika u fazi u radijanima iznosi:

metoda

supstituci

2 1 2 122 1 12

v j2

e v v

x x x x

x xϕ πλ ϕ π ϕ π

λν νν

− −∆ = ⋅ ⋅ −

⇒ ⇒ ∆ = ⋅ ⋅ ⇒ ∆ = ⋅ ⋅ ⇒ =

( ) ( )1

8 2 502 12 2 2 .

v 300

m mx xs rad

m

s

νϕ π π π

− ⋅− ⋅⇒ ∆ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

Vježba 045 Točkasti izvor titra harmonijski frekvencijom 50 Hz. Val se kroz medij širi brzinom 300 m/s. Koliku razliku u fazi imaju dvije točke koje su udaljene 1 m i 7 m od izvora vala?

Rezultat: 2 .radπ⋅

4

Zadatak 046 (Mira, gimnazija)

Dvije žice imaju jednake duljine. Jedna žica ima dva puta veću masu od druge žice, ali je napetost te žice tri puta manja. Koliki je omjer brzina širenja valova u tim žicama?

Rješenje 046

l1 = l2 = l, m1 = 2 · m2, 1

,1 23F F= ⋅

v2 ?v1

=

Na napetom užetu ili žici val se širi brzinom

v ,F l

m

⋅=

gdje je F napetost užeta, l duljina užeta, a m njegova masa. Računamo omjer brzina.

2 2 2 2v v v v 222 2 2 2 2 2 1 2 2 2

1v v v v1 11 1 1 1 1 2 11 1 2 2311

F l F l

m m F l m F l m

F l F l mF l F l mmm

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2v 2 v v v22 2 2 1 2 6.

1 1 1v v2 2

2v v1 1 1 1

3 32 3

F l m

F l m

⋅ ⋅⇒

⋅

⋅

= ⇒ = ⇒ = =

⋅ ⋅

⇒

Vježba 046 Dvije žice imaju jednake duljine. Jedna žica ima četiri puta veću masu od druge žice, ali je napetost te žice šest puta manja. Koliki je omjer brzina širenja valova u tim žicama?

Rezultat: 24. Zadatak 047 (Ivan, srednja škola)

Kad dvije glazbene vilice istodobno odašilju zvuk čujemo jedan udar svake 0.3 s. Za koliko se razlikuju frekvencije tih glazbenih vilica?

Rješenje 047 n = 1 udar, t = 0.3 s, νu = ?

Frekvencija ν je broj titraja (okreta) u jedinici vremena (u 1 sekundi).

,n

tν =

gdje je n broj titraja (okreta) za vrijeme t. Razlika frekvencija glazbenih vilica je

1 13.33 3 3

.3.. 3

0

nHzu

t s sν = = = =

Vježba 047 Kad dvije glazbene vilice istodobno odašilju zvuk čujemo dva udara svakih 0.6 s. Za koliko se razlikuju frekvencije tih glazbenih vilica?

Rezultat: 3.33 Hz. Zadatak 048 (Ivan, srednja škola)

Kolika je frekvencija glazbene vilice koja daje 4 udara u sekundi s glazbenom vilicom frekvencije 300 Hz?

Rješenje 048 n = 4 udara, t = 1 s, ν1 = 300 Hz, ν2 = ?

5

Udari nastaju superpozicijom dvaju valova koji se vrlo malo razlikuju u frekvenciji. Broj udara u sekundi jednak je razlici frekvencija valova koji interferiraju:

1 .2uν ν ν= −

Frekvencija ν je broj titraja (okreta) u jedinici vremena (u 1 sekundi).

,n

tν =

gdje je n broj titraja (okreta) za vrijeme t. Računamo broj udara:

4 14 4 .

1

nHzu

t s sν = = = =

Frekvencija glazbene vilice iznosi: 4 41 2 2 14 41 2 1 2 1 2 4 41 2 2 1

u

ν ν ν νν ν ν ν ν ν ν

ν ν ν ν

− = − − = − − = − ⇒ = − ⇒ − = ⇒ ⇒ ⇒

− = − = −

( )

( )

30424 4 4 3002 1 2 1 2 ili .4 4 3004 2 1

/ 1

/ 1 22 1 2962

Hz

Hz

νν ν ν ν ν

ν ν νν νν

= − = − − = + = +

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = − + = − +− = − =

⋅ −

⋅ −

Postoje dva rješenja.

Vježba 048 Kolika je frekvencija glazbene vilice koja daje 2 udara u sekundi s glazbenom vilicom frekvencije 300 Hz?

Rezultat: 302 Hz ili 298 Hz. Zadatak 049 (Ivan, srednja škola)

Neka svirala emitira zvuk frekvencije 196 Hz. Kad ona i G žica violine zajedno emitiraju zvuk može se čuti 10 udara u 8 sekundi. Udari su sve rjeđi kad se violinska žica polako napinje. Kolika je prvotna frekvencija violinske žice?

Rješenje 049 ν1 = 196 Hz, n = 10 udara, t = 8 s, ν2 = ?

Frekvencija ν je broj titraja (okreta) u jedinici vremena (u 1 sekundi).

,n

tν =

gdje je n broj titraja (okreta) za vrijeme t. Udari nastaju superpozicijom dvaju valova koji se vrlo malo razlikuju u frekvenciji. Broj udara u sekundi jednak je razlici frekvencija valova koji interferiraju:

1 .2uν ν ν= −

Računamo broj udara:

10 11.25 1.25 .

8

nHzu

t s sν = = = =

6

Budući da broj udara polako opada mora biti

01 2ν ν− >

pa slijedi: 196 1.25 194.75 .1 2 2 1 Hz Hz Hzu uν ν ν ν ν ν= − ⇒ = − = − =

Vježba 049 Neka svirala emitira zvuk frekvencije 196 Hz. Kad ona i G žica violine zajedno emitiraju zvuk može se čuti 5 udara u 4 sekunde. Udari su sve rjeđi kad se violinska žica polako napinje. Kolika je prvotna frekvencija violinske žice?

Rezultat: 194.75 Hz. Zadatak 050 (Željko, srednja škola)

Zvuk razine 95 dB udara o bubnjić uha. Površina bubnjića je 50 mm2. Koliko energije se tijekom jedne sekunde prenosi kroz bubnjić? (prag čujnosti I0 = 10-12 W/m2)

Rješenje 050

L = 95 dB, S = 50 mm2 = 5 · 10-5 m2, t = 1 s, I0 = 10-12 W/m2, E = ?

Intenzitet (I) zvučnog vala je energija koju val prenese u jediničnom vremenu kroz jediničnu površinu smještenu okomito ma smjer širenja zvuka, tj.

I .E

t S=

⋅

Razina intenziteta zvuka L izražena u decibelima dB definira se izrazom

10 lo ,g0

IL

I= ⋅

gdje intenzitet I0 odgovara otprilike najslabijem zvuku kojeg još prosječno uho može čuti te iznosi I0 = 10-12 W/m2 pri frekvenciji 1 kHz. Decibel je brojčana jedinica.

metoda

supstituci

10 log0 10 log 10 log

je 00I1

I E ELI t S t SL L

IIE

t S

= ⋅ ⋅ ⋅⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

= ⋅

log101

/ potenciramoE E E

10 log 10 log log100 0 10

s bazom 100

LL L

t S I t S I t S

xx

I

⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

⋅

10 10 10E E E1010 10 10 10/ 0 00 0 0

LL L L

E t S It S I t S I t S I

t S I⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅⋅

105 2 12 95 71 5 10 10 10 1.58 10 .2

Ws m J

m

− − −= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

Vježba 050 Zvuk razine 95 dB udara o bubnjić uha. Površina bubnjića je 25 mm2. Koliko energije se tijekom dvije sekunde prenosi kroz bubnjić? (prag čujnosti I0 = 10-12 W/m2)

Rezultat: 1.58 · 10-7 J.

7

Zadatak 051 (Maturantica, medicinska škola)

Val prelazi iz sredstva A u sredstvo B. U sredstvu A brzina vala iznosi 100 m/s, a valna duljina 0.5 m. U sredstvu B se brzina vala poveća na 160 m/s. Kolika je valna duljina vala u sredstvu B?

. 0.5 . 0.8 . 100 . 160A m B m C m D m

Rješenje 051

v1 = 100 m/s, λ1 = 0.5 m, v2 = 160 m/s, λ2 = ?

Valna duljina je udaljenost dviju najbližih točaka vala koje titraju u istoj fazi. Drugim riječima, to je udaljenost do koje se proširi val za vrijeme jednog titraja, tj.

v ,λ ν= ⋅

gdje je v brzina vala, λ duljina vala, ν frekvencija vala. Pri prijelazu svjetlosti (zvuka) iz jednog optičkog sredstva u drugo frekvencija ostaje nepromijenjena, a mijenjaju se valna duljina i brzina svjetlosti (zvuka).

1

2

v1v 11 1

1/1v1 1 1 1

v v2 2 2 2v2 2 2 2/

2

1

val u sredstvu A

val u sredstvu B

νλ νλ ν λ

λ νλ ν ν

λ λ

λ⋅

= = ⋅ = ⋅ ⇒ ⇒ ⇒

= ⋅ = ⋅⋅ =

frekvencija nepromijenjena/ 1 2

1 2

v v v v1 2 1 2 v v1 2 2 11 2 1 2

λ λν ν

λ λλ λ λ λ

⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

⋅

⋅

=

160 0.5v2 1v v 0.8 .1 2 2 1 2 vv 100

1/

11

mm

s mm

s

λλ λ λ

⋅⋅⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = = =⋅

Odgovor je pod B.

Vježba 051

Val prelazi iz sredstva A u sredstvo B. U sredstvu A brzina vala iznosi 200 m/s, a valna duljina 0.5 m. U sredstvu B se brzina vala poveća na 320 m/s. Kolika je valna duljina vala u sredstvu B?

. 0.5 . 0.8 . 100 . 160A m B m C m D m Rezultat: B. Zadatak 052 (Marko, gimnazija)

Pri približavanju vozila promatrač čuje zvuk frekvencije 965.3 Hz, a pri udaljavanju 843 Hz. Kolika je brzina vozila, ako je brzina zvuka 340 m/s?

Rješenje 052

ν1 = 965.3 Hz, ν2 = 843 Hz, vz = 340 m/s, v = ?

Dopplerov efekt Izvor zvuka odašilje zvučne valove frekvencije ν. Opažač sluša taj zvuk na nekoj udaljenosti od izvora. Ako i izvor i opažač miruju u istom inercijskom sustavu, opažač će registrirati zvučne valove jednake frekvencije ν. Ako se opažaču izvor zvuka približava, on čuje zvuk više frekvencije. Ako se izvor zvuka udaljava od opažača, on čuje zvuk niže frekvencije. Ta se pojava naziva Dopplerov efekt. Neka je:

vz – brzina zvuka v – brzina izvora zvuka νi – frekvencija zvuka koji emitira izvor zvuka ν – frekvencija zvuka koji čuje opažač zbog Dopplerovog efekta

8

Opažaču se izvor zvuka približava udaljava

vzv vz

iν ν= ⋅

−

vzv vz

iν ν= ⋅

+

Prilikom približavanja vozila (izvora zvuka) promatrač čuje zvuk frekvencije: vz ,1 v vz

ν ν= ⋅−

a pri udaljavanju vozila zvuk frekvencije: vz ,2 v vz

ν ν= ⋅+

gdje je v brzina vozila, a ν frekvencija zvuka kojeg stvara vozilo. Dijeleći gornje jednadžbe dobije se:

( ) ( )v v v v1 z 1 z v v v v v v v vz z z z1

vz

vz 2 1 1 2 2v vz2 2v vz

ν νν ν ν ν ν ν

ν ν

ν

ν

⋅− +

= ⇒ = ⇒ ⋅ − = ⋅ + ⇒ ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒−

⋅+

( ) ( ) 1 2v v v v v v v vz z z z1 2 1 2 1 2 1 21 2

ν νν ν ν ν ν ν ν ν

ν ν

−⇒ ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ − = ⋅ + ⇒ = ⋅ =

+

[ ]965.3 843 m

340 22.995 82.78 .965.3 843 s

22.995 3.6Hz Hz m km

Hz Hz s h

−= ⋅ = =⋅=

+

Vježba 052

Pri približavanju vozila promatrač čuje zvuk frekvencije 965.3 Hz, a pri udaljavanju 843 Hz. Kolika je brzina vozila, ako je brzina zvuka 335 m/s?

Rezultat: 81.58 km/h. Zadatak 053 (Kizo, gimnazija)

Frekvencija zvižduka lokomotive, kako ga čuje vozač lokomotive, je 800 Hz. Promatrač čuje zvižduk frekvencije 760 Hz. Da li se vlak udaljuje ili približava promatraču? Kolika je brzina vlaka? Brzina zvuka je 340 m/s.

Rješenje 053

νi = 800 Hz, ν = 760 Hz, vz = 340 m/s, v = ?

Dopplerov efekt Izvor zvuka odašilje zvučne valove frekvencije ν. Opažač sluša taj zvuk na nekoj udaljenosti od izvora. Ako i izvor i opažač miruju u istom inercijskom sustavu, opažač će registrirati zvučne valove jednake frekvencije ν. Ako se opažaču izvor zvuka približava, on čuje zvuk više frekvencije. Ako se izvor zvuka udaljava od opažača, on čuje zvuk niže frekvencije. Ta se pojava naziva Dopplerov efekt. Neka je:

vz – brzina zvuka v – brzina izvora zvuka νi – frekvencija zvuka koji emitira izvor zvuka ν – frekvencija zvuka koji čuje opažač zbog Dopplerovog efekta

Opažaču se izvor zvuka približava udaljava

vzv vz

iν ν= ⋅−

vz

v vziν ν= ⋅

+

Prilikom udaljavanja vozila (izvora zvuka) promatrač čuje zvuk frekvencije vz .

v vziν ν= ⋅

+

9

Budući da promatrač čuje zvižduk frekvencije manje od frekvencije zvižduka lokomotive ν < νi, vlak se udaljuje od njega. Računamo brzinu vlaka v.

v v v vz z z zv v v vz zv v v vz z

v vz/i i i iν ν ν ν ν νν νν

+= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ + = ⋅ ⇒ = ⋅ − ⇒

+ +⋅

[ ]800

v v 1 3 1740 1 17.89 64.4.89 36

6 .z .7 0

m Hz m kmi

s Hz s h

ν

ν

⇒ = ⋅ − = ⋅ − = = =

⋅

vvvvKizoKizoKizoKizo

Vježba 053

Frekvencija zvižduka lokomotive, kako ga čuje vozač lokomotive, je 400 Hz. Promatrač čuje zvižduk frekvencije 380 Hz. Da li se vlak udaljuje ili približava promatraču? Kolika je brzina vlaka? Brzina zvuka je 340 m/s.

Rezultat: Vlak se približava, v = 64.4 km/h. Zadatak 054 (Carlo, gimnazija)

Tijelo harmonijski titra. Elongacija tijela u ovisnosti o vremenu opisana je izrazom

2 sin .3

ty m

s

ππ

⋅= ⋅ +

Kolika je perioda titranja toga tijela?

2 3. . . 3 . 6

3 2A s B s C s D s

Rješenje 054

2 sin3

ty m

s

ππ

⋅= ⋅ +

, T = ?

Elongaciju y koje god točke koja se nalazi na udaljenosti x od izvora vala u bilo koje vrijeme t možemo naći iz jednadžbe

2,sin0y y t

T

πϕ

⋅ = ⋅ ⋅ −

gdje je y0 amplituda vala, a φ fazni pomak ili zaostatak u fazi neke točke na udaljenosti x od izvora vala, T perioda titranja.

2 sin 2 sin 2 sin2

3 23 3

ty m y m t y m t

s s s

π π ππ π π

⋅= ⋅ + ⇒ = ⋅ ⋅ + ⇒ = ⋅ ⋅ + ⇒

⋅

⋅

22 sin

22 sin 6 .

6 2. sin0

6 s

T

y m t

y m t T ss

y y t

ππ

ππ

πϕ

⋅= ⋅ ⋅ +

⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ + ⇒ ⇒ = ⋅ = ⋅ ⋅ −

Odgovor je pod D.

Vježba 054

Tijelo harmonijski titra. Elongacija tijela u ovisnosti o vremenu opisana je izrazom

2 sin .1.5

ty m

s

ππ

⋅= ⋅ +

Kolika je perioda titranja toga tijela?

2 3. . . 3 . 6

3 2A s B s C s D s

10

Rezultat: C. Zadatak 055 (Josipa, gimnazija)

Puhanjem u sviralu, zatvorenu na jednome kraju, stvara se osnovni ton frekvencije 0.2 kHz. Kolika je duljina svirale? Brzina zvuka u zraku je 340 m/s.

Rješenje 055

ν1 = 0.2 kHz = 200 Hz, v = 340 m/s, l = ?

Kod svirala titra stupac zraka longitudinalnim stojnim valom. Čvor nastaje na čvrstom kraju, tj. na zatvorenom kraju stupca zraka u svirali. Promotrimo stojni longitudinalni val koji dobivamo u svirali ispunjenoj fluidom (zrakom) koja je s jedne strane zatvorena. Moguće diskretne (kvantizirane) valne duljine λn i frekvencije νn su:

( )

4, 1, 2, 3, ...

2 1

v2 1 , 1, 2, 3, ..

4

,

.

lnn

n

n nnl

λ

ν

⋅= =

⋅ −

= ⋅ − ⋅ =⋅

gdje je λ valna duljina, ν frekvencija, l duljina svirale, v brzina zvuka.

4l

λ=

čvorpomaka

trbuhpomaka

n = 1

Osnovni ton ima frekvenciju:

( )( )

1v v

2 1 1 .v 1 14 42 14

n

l lnnl

ν νν

=

⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒ =⋅ ⋅= ⋅ − ⋅

⋅

Duljina svirale iznosi:

340v v v

0.425 42.5 .1 1 14 4 4/

4 01 1 20

m

sl m cml l

l

s

ν νν ν

= ⇒ = ⇒ = = = =⋅

⋅

⋅⋅ ⋅

Vježba 055

Puhanjem u sviralu, zatvorenu na jednome kraju, stvara se osnovni ton frekvencije 0.4 kHz. Kolika je duljina svirale? Brzina zvuka u zraku je 340 m/s.

Rezultat: 21.25 cm.

11

Zadatak 056 (Dario, gimnazija)

Dva izvora jednakih frekvencija razlikuju se razinom za 40 dB. Koliki je kvocijent intenziteta titranja čestica?

Rješenje 056

ν1 = ν2 = ν, �L = 40 dB, 2 ?1

I

I=

Razina intenziteta zvuka (L) izražena u decibelima (dB) definira se izrazom

10 lo ,g0

IL

I= ⋅

gdje intenzitet I0 odgovara otprilike najslabijem zvuku kojeg još prosječno uho može čuti te iznosi

12100 2

WI

m

−= pri frekvenciji 1 kHz. Decibel je brojčana jedinica.

2 1 2 110 log 10 log 10 log log2 1 2 10 0 0 0

I I I IL L L L L L L L

I I I I∆ = − ⇒ − = ∆ ⇒ ⋅ − ⋅ = ∆ ⇒ ⋅ − = ∆ ⇒

2 2

0 210 log 10 log 10 log1 1 1

0

0log log log

0

Iaa b

b

I I

I IL L

I

I I

LI I

⇒ ⇒ ⋅ = ∆ ⇒ ⋅ = ∆− = ⇒ ⋅ = ∆ ⇒

2 2 210 log 40 10 log 40 lo

antilogaritmi

g 4

ramo

/ : 10 log

11

01 1

a bI

b

I I

I

a

I I⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ =

=

⇒

42 210 10 000.1 1

I I

I I⇒ = ⇒ =

Vježba 056

Dva izvora jednakih frekvencija razlikuju se razinom za 30 dB. Koliki je kvocijent intenziteta titranja čestica?

Rezultat: 1000. Zadatak 057 (Dario, gimnazija)

Dva izvora jednakih frekvencija razlikuju se razinom za 40 dB. Koliki je kvocijent amplituda titranja čestica?

Rješenje 057

ν1 = ν2 = ν, �L = 40 dB, 2 ?1

A

A=

Razina intenziteta zvuka (L) izražena u decibelima (dB) definira se izrazom

10 lo ,g0

IL

I= ⋅

gdje intenzitet I0 odgovara otprilike najslabijem zvuku kojeg još prosječno uho može čuti te iznosi

12

12100 2

WI

m

−= pri frekvenciji 1 kHz. Decibel je brojčana jedinica.

Intenzitet (I) zvučnih valova je snaga koju nosi zvučni val pri prolazu jediničnom površinom okomitom na smjer širenja zvuka

( )v ,2 2

2I Aρ π ν= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

gdje je ρ gustoća, v brzina širenja vala, ν frekvencija, A amplituda.

2 1 2 110 log 10 log 10 log log2 1 2 10 0 0 0

I I I IL L L L L L L L

I I I I∆ = − ⇒ − = ∆ ⇒ ⋅ − ⋅ = ∆ ⇒ ⋅ − = ∆ ⇒

2 2

0 210 log 10 log 10 log1 1 1

0

0log log log

0

Iaa b

b

I I

I IL L

I

I I

LI I

⇒ ⇒ ⋅ = ∆ ⇒ ⋅ = ∆− = ⇒ ⋅ = ∆ ⇒

2 2 210 log 40 10 log 40 lo

antilogaritmi

g 4

ramo

/ : 10 log

11

01 1

a bI

b

I I

I

a

I I⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ =

=

⇒

( )

( )

242 210 10000

22 v1 1

2 221 21 v 2

I I I A

II I

A

ρ π ν

ρ π ν

⇒ = ⇒ == ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⇒ ⇒

( )

( )

( )

( )

2 2 2 22 v 2 2 210000 10000 100002 2

22

2 22 v 11 1

v

22 v

A A A

AA A

ρ πρ π ν

ρ π

ν

ρ νν π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2 22 2 2 210 000 10 000 10 000 100.1 1 1 1

/A A A A

A A A A⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Vježba 057

Dva izvora jednakih frekvencija razlikuju se razinom za 20 dB. Koliki je kvocijent amplituda titranja čestica?

Rezultat: 10. Zadatak 058 (Nixi, gimnazija)

Pri 0 ºC i normiranome atmosferskom tlaku brzina zvuka u zraku iznosi 332 m / s, a pri 20 ºC 340 m / s. Za koliko se promijeni brzina zvuka pri promjeni temperature zraka za 1 ºC?

Rješenje 058

t1 = 0 ºC, v1 = 332 m / s, t2 = 20 ºC, v2 = 340 m / s, �v = ?

Zvučni valovi jesu longitudinalni valovi frekvencije od 16 Hz do 20000 Hz. Promjena brzine �v zvuka pri promjeni temperature zraka za 1 ºC jednaka je kvocijentu promjene brzine

2 1v v−

i temperature .2 1t t−

13

340 332 82 1 0.4 .

20 0 202 1

m m mv v ms s svt t s

−−∆ = = = =

− −

Vježba 058

Pri 0 ºC i normiranome atmosferskom tlaku brzina zvuka u zraku iznosi 332 m / s, a pri 20 ºC 344 m / s. Za koliko se promijeni brzina zvuka pri promjeni temperature zraka za 1 ºC?

Rezultat: 0.6 m / s. Zadatak 059 (Zejneb, maturant)

Žica duljine 12.5 m titra frekvencijom 800 Hz. Na žici se može izbrojiti 8 čvorova, uključujući i one na krajevima žice. Brzina transverzalnog vala kroz žicu je:

. 2578 . 5 287 . 2857 . 2 785m m m m

A B C Ds s s s

Rješenje 059

l = 12.5 m, ν = 800 Hz, n = 8, v = ?

Širenje titranja kroz neko sredstvo zovemo valovito gibanje. Valovito je gibanje periodičko prenošenje energije titranja od jednog mjesta na drugo. Pri transverzalnim valovima ta se energija prenosi okomito na smjer titranja. Valna duljina je udaljenost dviju najbližih točaka vala koje titraju u istoj fazi. To je udaljenost do koje se proširi val za vrijeme jednog titraja, tj.

v ,λ ν= ⋅

gdje je v brzina vala, λ valna duljina, ν frekvencija. Čvor vala je točka koja ne titra.

Budući da se na žici duljine l može izbrojiti 8 čvorova, znači da vrijedi:

3.5 3.5 3.5 .3.5

/ : 3.5l

l l lλ λ λ λ= ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Brzina transverzalnog vala kroz žicu je: 12.5 1

v v 800 2857 .3.5 3.5

l m m

s sλ ν ν= ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅ =

Odgovor je pod C.

Vježba 059

Žica duljine 12.5 m titra frekvencijom 800 Hz. Na žici se može izbrojiti 9 čvorova, uključujući i one na krajevima žice. Brzina transverzalnog vala kroz žicu je:

. 2500 . 5000 . 2100 . 2000m m m m

A B C Ds s s s

Rezultat: A. Zadatak 060 (Božidar, srednja škola)

Membrana titra frekvencijom od 1000 Hz. Kolika je duljina zvučnog vala koji se od membrane širi u zrak? (brzina zvuka pri 0 °C v0 = 330 m / s)

Rješenje 060

ν = 1000 Hz, v0 = 330 m / s, λ = ?

14

Valna duljina je udaljenost dviju najbližih točaka vala koje titraju u istoj fazi, to je udaljenost do koje se proširi val za vrijeme jednog titraja, tj.

v ,λ ν= ⋅

gdje je v brzina širenja vala, λ valna duljina, ν frekvencija. Duljina zvučnog vala iznosi:

330v0v v v 0.331

/ 33 .0 0 0 11000

m

s m cm

s

λ ν λ ν λ ν λνν

⋅= ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = = = =

Vježba 060

Membrana titra frekvencijom od 500 Hz. Kolika je duljina zvučnog vala koji se od membrane širi u zrak? (brzina zvuka pri 0 °C v0 = 330 m / s)

Rezultat: 66 cm.