Vorlesung Physik für PharmazeutenPPh - 07

Mechanische WellenAkustikWärmelehre

11.06.2007

Ausbreitung von Störungen

)2sin(),0( 0 tfAtxA ⋅== π

Wellenlänge λ

Am Ort x=0 führt das Seil eine harmonische Schwingung aus.

Wenn die Schwingung am Ort x=0 einmal durchlaufen ist, hat sich die „Störung“ gerade um eine Wellen-länge λ fortbewegt. Man erhält eine Ausbreitung der Schwingungs-phase mit der Geschwindigkeit, c :

λ ⋅ f = cVersuch

Die harmonische Welle

Eine eindimensionale, ungedämpfte harmonische Wellewird durch folgende Wellenfunktion beschrieben :

A( )

( )( )[ ]cxtA

xktA

xtAtxA

−⋅=⋅−⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅=

ωω

λπ

τπ

sinsin

22sin,

τ: Schwingungsdauer; f=1/τ: Frequenz; ω=2π/τ: Kreisfrequenzλ: Wellenlänge; k=2π/λ: Wellenzahlc= λ⋅f=ω/k : Phasengeschwindigkeit A : Amplitude

Wellen

- Eine Schwingung, die sich räumlich ausbreitet ist eine Welle.

- Eine klassische Welle transportiert Energie aber keine Masse.Jedes Teilchen schwingt an seinem Ort aber bleibt dort gebunden.

Longitudinale Wellen:

Transversale Wellen:

Die Phasengeschwindigkeit : Beispiele

fc ⋅= λ2cm-20cm

3m1µm-mm

4cm

16-20.000Hz

100MHz

10Hz

331 m/s3000m/s3·108 m/sm

40cm/s

Schall (Gas)Schall (FK)Radio (UKW)IRFlachwasserwelle(h=2cm)

λ f c

ρEcFestk =.

mkT

cc

KcV

pGas == ρ1

hgcWasser ⋅=

.1

00

konstcLicht ==µεVersuch He

Wellen in 2 und 3 Dimensionen - Ebene Wellen

A(x,t) = A0 sin(ω ⋅t + kx)

Welle breitet sich nach links aus

A(x,t) = A0 sin(ω ⋅t − kx)

Welle breitet sich nach rechts aus

A(x,t) = A0 sin(ω ⋅t −2πλ

x)

k: Wellenzahl

Wellenfront : Linien gleicher Phase

v k

v k k: Wellenvektor (Wellenstrahl), steht

senkrecht auf den Wellenfronten undZeigt in die Ausbreitungsrichtung. Sein Betrag ist die Wellenzahl.

)sin(),( 0 xk rr⋅−⋅= tAtxA ω

Huygens-Fresnel'sches Prinzip

Jeder von einer Welle erregte Punkt wird selbst zum Ausgangspunkt einer neuen Kreis-/Kugelwelle.

Versuch Wellenwanne

Überlagerung von Wellen : Superpositionsprinzip

)sin(2)sin()sin(),(

kxtAkxtAkxtAtxA

−⋅=−⋅+−⋅=

ωωω

Verstärkung (Konstruktive Interferenz ):

Auslöschung (destruktive Interferenz):

A(x, t) = A ⋅sin(ωt − kx) + A ⋅sin(ωt − kx + π )

= A ⋅sin(ωt − kx) − A ⋅sin(ωt − kx) = 0

Die resultierende Amplitude ist die Summe der EinzelamplitudenA(x, t) = A1(x, t) + A2 (x, t) Wellen überlagern sich ungestört!

Versuch Interferenz

Stehende Wellen mit festen Randbedingungen

Randbedingung A(0,t)=0, A(L,t)=0

Lösung :

)sin()cos(2),( kxtAtxA ω⋅=

Resonanzbedingung :

2λ

⋅= nL

Grundschwingungen einer fest eingespannten Saite

λ: Wellenlängen : ganze Zahl

HolzpfeifeOrgelpfeife

Erzeugung von Tönen

Versuch Kundtsches Rohr

Obertöne einer Orgelpfeife

geschlossene Pfeife(gedackte Pfeife)

offene Pfeife

Überlagerung harmonischer Schwingungen

DopplereffektDie wahrgenommene Frequenz einer Schallwelle hängt von der Relativgeschwindigkeit, v der Quelle und des Empfängers ab.Man unterscheidet:

f ' = f0 ⋅ 1m

vc

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

−1

λ'

1. Bewegter SenderDie Wellenlänge ändert sich und damit die Frequenz

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

cv

m1' λλ

2. Bewegter EmpfängerDie Schallgeschwindigkeit ändert sich

′ f = f0 ⋅ 1m

vc

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ vmcc ='

Versuch Dopplereffekt

Aggregatzustände der Materie im atomistisches Bild

Beispiel Wasser

WasserdampfWasserEis

Dynamik an der Wasser-Luft Grenzfläche im atomistisches Bild

WärmelehreDie Thermodynamik beschreibt Phänome die mit Wärme zu tun haben durch makroskopischeZustandsgrößen (Temperatur, Druck, Volumen, ...) bzw. Prozeßgrößen (Wärme, Arbeit ...)thermodyn. Gesetze beschreiben Zustände, Zustandsänderungen, Phasenübergänge etc.

Thermodynamik

P,V,T

Wärme ist verknüpft mit ungeordneterMolekularbewegung von sehr vielen Teilchen. In einem atomistischen Bild können nur statistische Aussagen über Mittelwerte und Verteilungen der mechanischen Größen z.B. xiOrte, vi Geschwindigkeiten getroffen werden. Die Temperatur ist ein Maß für die mittlere kinetische Energie

.constT

PV=

2

2321 vm

kT ⋅⋅=

Statistische Mechanik

Grundlagen für Messungen mit Wärme

Abgeschlossenes System :- System, das mit keinem anderen System

in Wechselwirkung steht - Kein Teilchen oder Wärmeaustausch

Gleichgewichtszustand"Befinden sich zwei Körper mit einem dritten im thermischen Gleichgewicht, so sind sie auch untereinander im Gleichgewicht"

Nullter Hauptsatz der Thermodynamik

T1

T2 T3

T0T0 T0

Celsiusskala und Fahrenheitskala

100°F=37°C

Wasser/Ammoniumchlorid

ThermometerMessung der Temperatur über stark temperaturabhängige physikalische Größen

Bimetall-ThermometerThermoelementThermospannungFlüssigkeits-

thermometer Krümmung ~ ∆T

Volumenaus-Dehnung ~ ∆T Pyrometer

Wärmestrahlung

Thermische Ausdehnung fester und flüssiger Körper

Erwärmung um

12 TTT −=∆führt zu einer linearen Längenzunahme

TLL ∆⋅⋅=∆ αα: Längenausdehnungskoeffizient

TLTLV V ∆⋅⋅≈∆⋅⋅=∆ αγ 3γV: Volumenausdehnungskoeffizient

Thermische Kräfte

Schätzen Sie die Kraftdes Bolzensprengers ab !

TAELLAEF

∆⋅⋅⋅=

∆⋅⋅=

α

E : E-Modul ~ 1011N/m2

A : Fläche ~ cm2

α: 10-5 K-1

∆T : 100K

F ~ 104 N

Lager einer Eisenbrücke zur Vermeidung von thermischen Spannungen

Versuch

Atomares Model der thermischen Ausdehnung

Tabelle : Wärmeausdehnung bei 20°C

Die Atome schwingen um ihre Gleichgewichts-lage. Für große Auslenkungen (größere kinetische Energie=höhere Temperatur) ist das Wechsel-wirkungspotential asymmetrisch und der Mittel-wert des atomaren Abstands vergrößert sich.

Wärmeausdehnung und DichteMit der thermischen Ausdehnung ändert sich auch die Dichteim Allgemeinen:

( )0

0

1)(

TTT

V −⋅+=

γρρ

Berühmte Ausnahme: die Dichteanomalie des Wassers

Höchste Dichte bei 3.9°C

negativer Ausdehnungskoeffizientfür 0<T<3.9°C

Thermische Ausdehnung von Gasen

)1)(()( 00 CVC TTVTTV ⋅+=+ γ

1. Gay-Lussac-Gesetz

Isobare Zustandsänderung : Zustandsänderung findet bei konstantem Druck statt.

V

ϑ[oC]-T0

15,27311

0

==TVγ

Versuch : Gasthermometer

Erfahrungstatsache : Die thermische Ausdehnung verdünnter Gase ist (nahezu) unabhängig vom Stoff

Isochore Zustandsänderung

Zustandsänderung findet bei konstantem Volumen statt.

p

ϑ[oC]-T0

2. Gay-Lussac-Gesetz (Gesetz von Charles)

)1)(()( 00 CPC TTPTTP ⋅+=+ γ

15,27311

0

==TPγ

Gasthermometer mitKonstantem Volumen

Ideale Gase und die absolute Temperaturskala

)1)(()( 00 CPC TTPTTP ⋅+=+ γ Triplepunktdes Wasser

KTK 16,273=

Bei -273,15°C hat ein Gas theoretisch keinen Druck und kein Volumen.Dieser natürlicher Fixpunkt wird als absoluter Nullpunkt einer absoluten Temperaturskala (der Kelvinskala) definiert.

[ ] [ ]CTKT c °+= 15,273 Umrechnung von Celsius in die Kelvinskala

Es gibt keine negativen absoluten Temperaturen,TK=0 prinzipiell nie erreichbar. Temperturdifferenzen in Kelvin und Celsius-Skala sind gleich.

Isotherme ZustandsänderungZustandsänderung findet bei konstanter Temperatur statt.

Gesetz von Boyle-Mariotte:2211 VpVp ⋅=⋅

p(V) =n ⋅ R ⋅Tconst

Vp

V

T1

T2

T3

Versuch Boyle-Mariotte

Zustandsgleichung idealer Gase

constTVP

TVP

==2

22

1

11

Allgemeine Zustandsgleichung idealer Gase (Lord Kelvin)

TRnVp ⋅⋅=⋅ 11n : Zahl der MoleR= 8,317 J/Mol K

Allgemeine Gaskonstante

Für ein ideales Gas ist unabhängig von der Gasart, bei einem Normaldruck von 1013,25 hPa und einer Normaltemperatur von 0°, das molare Volume Vm,0=22,4 liter/mol

Zustandsänderungen des idealen Gasesim p-V-Diagramm

p

V

Isotherme : T=constIsobare : P=constIsochore : V=const

Die molekulare Deutung der Temperatur : Kinetische Gastheorie

Definition des idealen Gases: Moleküle verhalten sich wie harte Kugeln, d.h. sie führen nur elastischeStöße aus und zeigen keine Anziehung und kein Eigenvolmen.

- bei Normalbedingungen ca. 3*1019 Molküle pro cm3

- mittlere freie Weglänge ca. 10-7 m.Demonstration : Rüttler

Der Gasdruck - mikroskopisch betrachtet

AmA

VN

Am

dtdN

AFP vvv 2

612

⋅=⋅==

dtAdV x ⋅⋅= vMoleküle treten mit mittlerer Geschwindigkeit <v> in das Volumen dV ein

x

V

N

dV

Anz. Moleküle, die pro Zeit auf die Wand treffen

dtV

ANVdVNdN x ⋅

⋅⋅==

v61

61

Druck = =FlächeKraft Anz. Stöße Impulsübertrag

FlächeZeit

kinEVNm

VNP ⋅=⋅=

32

21

32 2v

Gleichverteilungssatz : Äquipartitionsgesetz

Im statistischen Gleichgewicht ist die kinetische Energie eines Moleküls pro Freiheitsgrad im Mittel ½ kBT.

Die mittlere Energie eines einatomigen Gases beträgt demnach

TkNE Bkin ⋅=23

Die Gesamtzahl der Freiheitsgrade, f, eines Gasmoleküls ist die Summe der Translations-, der Schwingungs- und der Rotationsfreiheitsgrade

Für mehratomige Moleküle können auch Rotationen und Schwingungenbeitragen, dann gilt

TkNfE Bkin 2⋅

=

Die Boltzmannkonstante ist das Verhältnis aus Gaskonstante und Avogadrokonstante kB= R/NA= 1,38 ·10-23 J/K

Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung

vv dfNdN )(⋅=Gefragt ist nach der Anzahl Moleküle dN mit Geschwindigkeitenzwischen v und (v+dv) :

f(v) : die Verteilungsfunktion der Geschwindigkeiten

800

600

400

200

0

X10

-6

80006000400020000v[m/s]

90 K

300 K

900 K

Tkm

eTk

mf ⋅⋅⋅

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 2

23

22

24)(

v

vvπ

πf(v)

Wärmemenge und Wärmekapazität- Wärme ist eine Form von Energie (wird also in Einheit Joule gemessen)- Die einem System zugeführte Wärme erhöht seinen Energieinhalt.- Q bezeichnet die einem System zugeführte oder entzogene Wärmemenge

Die zugeführte Wärmemenge ist proportional zu Masse und Temperaturänderung

TCTmcQ ∆⋅=∆⋅⋅=∆

C [J/K] : Wärmekapazitätc [J/kgK] : spezifische Wärmekapazität

nCcm =

Neben der spezifischen Wärmekapazität wird auch häufig die molare Wärmekapazität cm [J/(Mol*K)] verwendet (Wärmekapazität pro Mol)

n : Anzahl Mol eines Stoffes

Messung des elektrischen und mechanischenWärmeäquivalents

JouleschesExperiment

1cal=4,18 Joule=4,18 Ws

Versuch

Kalorimetrie

Die spezifische Wärme cS eines Stoffes kann in einem Mischungskaloriemeterbestimmt werden.

T0w

ST0

mT

mT : Mischungstemperatur

)()( 00 mSSSwmww TTmcTTmc −⋅⋅=−⋅⋅

Die Volumenarbeit eines idealen GasesDie Arbeit, dW, die ein Gas gegen eine äußere Kraft leistet, wird Volumenarbeit genannt. (Die Arbeit hat ein negatives Vorzeichen, weil dem System Energie entzogen wird)

GasP=F/APdVdW −=

1

2lnVVnRTPdVWisotherm −=−= ∫( )120 VVPWisobar −−=