1

VI.3. Wechselstromtechnik

t

U(t)U0

Periode T 1/ν

Harmonische Wechselspannung

tωcosUtU 0

Schaltsymbol:

Hz60νV1102U

U.S.A.Hz50ν

V2302UEuropa

0

0

VI.3.1. Wechselstrom

U0: Scheitelwert U( t ): Momentanwert

T: Periode Frequenz

Kreisfrequenz Phase

:T1ν

:Tπ2ω :

2

Beispiel: Leistung im ohmschen Verbraucher

I( t )

RU( t ) tωcosItωcos

RUtU

R1tI 0

0

IRU 00

tωcosRItωcosRUtItUtP 22

02

20

Mittlere Leistung für beliebige periodische Wechselspannung:

2eff

2T

0

2

UR1U

R1td

RtU

T1P Effektivspannung: 2

eff UU

2eff

2T

0

2 IRIRtdtIRT1P Effektivstrom: 2

eff II

IUP effeff

o.B.d.A.: 0

3

Spezialfall: harmonische Wechselspannung

202

1T

0

T

0

202

T

0

20

2 Utdtω2costdT2

UtdtωcosUT1U

tω2cos121

T 0

202

12T

0

20

2 ItdtωcosIT1I

U2

1UU 02

eff

I2

1II 02

eff

IUIUP 0021

effeff

4

Allgemeine Wechselspannung:

Periode T:

Fundamentalkreisfrequenz:

TtUtU

Tπ2ω

U(t)

t

Periode T

Fourierzerlegung:

ebiatωnsinbtωncosaatU n

tωninn2

1

1nnn02

1

t dtωncostUT2a

2T

2Tn

t dtωnsintUT2b

2T

2Tn

baa2

1UU 1n

2n

2n

202

12eff

Ueff ist gleich der

quadratischen Summe der Effektivspannungen der

Fourierkomponenten

5

Folgerung: Für lineare Netzwerke ( Superpositionsprinzip anwendbar) reicht es aus, das Verhalten für harmonische Wechselströme/Wechselspannungen zu untersuchen.

Allgemeine Wechselspannung:

Periode T:

Fundamentalkreisfrequenz:

TtUtU

Tπ2ω

U(t)

t

Periode T

Fourierzerlegung:

ebiatωnsinbtωncosaatU n

tωninn2

1

1nnn02

1

t dtωncostUT2a

2T

2Tn

t dtωnsintUT2b

2T

2Tn

6

Beispiel: Rechtecksignale

symmetrisch U0

0

T

0

20eff UtdU

T1U

einseitig U0

0

2T

0

20eff U

21tdU

T1U

Vergl. Ueff aus Fourierzerl.

8π

0k1k2

1 2

2

7

Allgemeine, nicht-periodische Spannung:

Parsevalsche Formel: ωdωU~π2tdtU 22

U(t)

t

(Einschaltvorgang, Testpulse etc.)

mit den Fourierkoeffizienten

t detUωU~ tωiπ2

1

Fouriertransformation:

Inverse Fouriertransformation:

ωdeωU~tU tωi

Harmonische Zerlegung:

Bemerkung: U reell, aber Ũ komplex

ωdtωsinωU~Im2

ωdtωcosωU~Re2tU

0

0

8

Allgemeine, nicht-periodische Spannung:

U(t)

t

(Einschaltvorgang, Testpulse etc.)

mit den Fourierkoeffizienten

t detUωU~ tωiπ2

1

Fouriertransformation:

Inverse Fouriertransformation:

ωdeωU~tU tωi

Harmonische Zerlegung:

Bemerkung: U reell, aber Ũ komplex

ωdtωsinωU~Im2

ωdtωcosωU~Re2tU

0

0

Folgerung: Für lineare Netzwerke ( Superpositionsprinzip anwendbar) reicht es aus, das Verhalten für harmonische Wechselströme/Wechselspannungen zu untersuchen.

9

Beispiel: Rechteckpuls

Tiefpass (s.u.)Filterschaltung, die kleine Frequenzen

überträgt und große Frequenzen dämpft.

Charakteristische Größe: Abschneidefrequenz

c

10

VI.3.2. Wechselstromwiderstände

Lineare Netzwerke: Zeitverhalten lineare DifferentialgleichungenLineare Komponenten: Ohmsche Widerstände, Kondensatoren, ideale Spulen, Linearverstärker, …Nichtlineare Komponenten: Spulen mit Kernen nahe der Sättigungs-

magnetisierung, nichtlineare Verstärker, Multiplizierer, Dioden, Glimmlampen, hochkonzentrierte Elektrolyte, …

Lineares Netzwerk Ist F(t) eine komplexe Lösung der DGL für Ströme oder Spannungen, so auch Re F(t) und Im F(t).

DGL

11

Neues (eleganteres) Konzept: Komplexe Spannung/Strom

Re

Im

U0 t

I0

tωi

0

tωi0

eItIeUtU

physikalischer

Anteil

tωcosItIRetωcosUtURe

0

0

Definition: Komplexer Wechselstromwiderstand

e

IU

tItUωZZ i

0

0

Nach Konstruktion Gesetze der Quasistatik (Kirchhoffsche Regeln, ) gelten weiter

Re U

Re I

Lineares Netzwerk (Zweipol)

12

Beispiel: Ohmscher Widerstand

URU R

I

RZtIRtUtU R

Z reell und unabhängig von

Beispiel: Induktivität

ULU L

I

ILtUtUtUeU indLtωi

0

Z imaginär und proportional zu Strom eilt Spannung um 90 nach

tULωi

1eLωi

UtdeL

UtI tωi0tωi0

ω,

0ω,0eLωLωiZ 2πi

U

I

13

Beispiel: Kapazität

C

tQtUtUeU Ctωi

0

Z imaginär und umgekehrt proportional zu Spannung eilt Strom um 90 nach

tUCωieUCωieUtd

dCtQtI tωi0

tωi0

0ω,ω,0e

Cω1

Cωi1Z 2

πi

I

U

UCU C

I

14

Anwendung (1): Reihenschaltung komplexer Widerstände

i

itot ZZ

U

Z1 Z2 Zn

I I

I I I I I

IZU 11 IZU 22 IZU nn

U

Maschenregel:IZU0IZIZIZU

n

1iin21

totZ

15

Z1 Z2 Zn

Anwendung (2): Parallelschaltung komplexer Widerstände

i itot Z

1Z1

Knotenregel:

n

1i itotn21 Z

UZU0IIII

U

0

U U U

I

I1 I2 In

16

Beispiel: RLC-Serienschaltung

Cω1LωiR

Cωi1LωiRZ

R L C

Cω1Lω

R1

ZReZImtan

Konstruktion im Zeigerdiagramm:

Re Z

Im Z

R

L

Cω1

Cω1Lω

ZDieses Beispiel: Re Z R 0

2π

2π ,

17

Momentane Wechselstromleistung in Z:

eeZZImiZReZ iIUi

0

0

tωsintωcossinIUtωcoscosIU

tωcostωcosIUIReURetP

002

00

00

tωcostωsinsinIU tωcoscosIUtdtPPP 002

00

T

0T1

W Mittlere Wechselstromleistung in Z: Wirkleistung

½ 0Wirkleistung: cosIUcosIUP effeff002

1W

Blindleistung: sinIUsinIUP effeff0021

B

Blindleistung

Komplexe Leistung: ZUZIPiP eIUeIeUIUP

202

1202

1BW

i002

1tωi0

tωi02

121

Wirkleistung

Z Scheinwiderstand, Re Z Wirkwiderstand, Im Z

Blindwiderstand

Scheinleistung: IUPP effeffS

VI.3.3. Wechselstromleistung

18

VI.3.4. Wichtige lineare Netzwerkea) ( Passiver ) Hochpass ( erster Ordnung ): R

C

Ue Ua

Spannungsteilerschaltung RCmit τ τωi1

τωiR

RUU

Cωi1

e

a

Übertragungsfunktion: 2

e

a

τω1

τωUU

Phasendrehung: 1τωtan

i

e

a

e

a eUU

UU

τω

90

145

e

a

UU

τω

1

12

1

durchlässig für ≳

19

tdUdτωdeωU~

tddτωdeωU~τωi

ωdeωU~ωdeωU~tU

etωie

tωie

tωieτωi1

τωitωiaa

Zeit-Raum: Hochpass als Differenzierer

R

C

Ue(t) Ua(t)

τωi1τωi

ωU~ωU~

e

a

Voraussetzung: Ue t enthält nur Frequenzen viel kleiner als

0τωU~nur wobeiωdeωU~tU 1e

tωiee

( inverse ) Fouriertransformation:

• Differenziererschaltung für

• Amplitude der differenzierten Spannung

20

Verbesserte, Last-unabhängige Differenziererschaltung:

Ua(t)

R

CUe(t)

ZLastIdealer

Operations-verstärker

RCτmittd

UdτtU ea

Zur Stabilisierung (real life): Kleiner Serienwiderstnd R vor C

21

b) ( Passiver ) Tiefpass ( erster Ordnung ):C

R

Ue UaSpannungsteilerschaltung

RCmit τ τωi1

1RU

U

Cωi1

Cωi1

e

a

Übertragungsfunktion: 2

e

a

τω1

1UU

Phasendrehung: τωtan i

e

a

e

a eUU

UU

e

a

UU

τω

1

12

1

durchlässig für ≲

90

τω145

22

Zeit-Raum: Tiefpass als Integrierer

τωi11

ωU~ωU~

e

a

Voraussetzung: Ue t enthält nur Frequenzen viel größer als

t

0eτ

1tωie

t

0τ1tωi

eτωi1

tωieτωi1

1tωiaaa

tdtUeωU~ωdtdωd1eωU~

ωd1eωU~ωd1eωU~0UtU

0τωU~nur wobeiωdeωU~tU 1e

tωiee

(inverse) Fouriertransformation:

• Integriererschaltung für 0

• Amplitude der integrierten Spannung

C

R

Ue(t) Ua(t)

23

Veranschaulichung der Rechnung

angenäherte Integrator-Wirkung

24

Verbesserte, Last-unabhängige Integriererschaltung:

Ua(t)R

C

Ue(t)

ZLastIdealer

Operations-verstärker

RCτmittdtU0UtUt

0eτ

1aa

25

c) (Passives) Bandfilter (erster Ordnung):

Spannungsteilerschaltung

)( 2

2R

ωω

ωΔω

Cω1

e

a

1i11

LωiRR

UU

)(

R

C

Ue Ua

L

Resonanzfrequenz:

CL1ωR

Bandbreite:

LRω

Gütefaktor:

CL

R1

ωΔωQ R

e

a

UU

ω

1

21

durchlässig für R

ω

Rω

i

e

a

e

a eUU

UU

ω90

90

Rω

26

d) (Passives) Bandsperrfilter (erster Ordnung):

Spannungsteilerschaltung

1)( 1i1

1R

RUU

2

2R

Lωi1

ωω

ωω

Cωi1

e

a

Resonanzfrequenz:

CL1ωR

Bandbreite:

CR1ω

Gütefaktor:

LCR

ωΔωQ R

RCUe Ua

L

e

a

UU

ω

1

21

undurchlässig für R

ω

Rωi

e

a

e

a eUU

UU

ω90

90

Rω

27

VI.3.5. Der Transformator

R VerbraucherLeistung P U I

I

U U

U

Motivation:

Relativer Leistungsverlust in der Leitung:

22

2

U1

URP

URI

UIRI

PP

• Umwandlung der Eingangsspannung auf Hochspannung• Übertragung über Hochspannungsleitung• Umwandlung der Ausgangsspg. auf Verbraucherspannung (z.B. 230 V)

28

Schaltbild mögliche Realisierung

Gleicher Wicklungssinn von Primär- und Sekundärwicklung bezüglich Richtung des

magnetisches Flusses

Primär-Wicklung

Sekundär-Wicklung

EisenjochM

U1 U2

Entgegengesetzter Wicklungssinn von Primär- und Sekundärwicklung bezüglich Richtung des

magnetisches Flusses

U1 U2

29

U1 U2 2indU

I1 I2

Z 1indU

L1 L2

L12Definition: Kopplungsstärke

LL

Lk 21

12 0,1

Bemerkung: Idealer Transformator keine Streufeld- etc. Verluste gesamter magnetischer Fluss durchsetzt beide Spulen

k 11222

2ind21211

1ind ILILUILILU Induktionsgesetz

2

2ind2

1ind1 IZUUUU Maschenregel

2211 IωiIIωiI Wechselstrom

k1ωi1

k

UU

ZL2

LL

1

22

1

2

Tafelrechnung

1

k

II

2

2

1

LωiZ

LL

1

2

30

U1 U2 2indU

I1 I2

Z 1indU

L1 L2

L12

k1ωi1

k

UU

ZL2

LL

1

22

1

2

1

k

II

2

2

1

LωiZ

LL

1

2

Phasendrehung:

ZReiZImarge

UU

UU

22

2

Lk1ω

Zi

1

2

1

2)(

31

Spezialfall: Spulen gleichen VolumensWindungszahlen N1, N2

1

2

1

22

22,1

0r2,1 NN

LL

zΔN

VμμL

Idealer Transformator: k

1

2lSpezialfal

1

2

1

2

NN

LL

UU

11II

2

2

1

2

2

1

LωiZ

NNlSpezialfal

LωiZ

LL

1

2

π

U1 U2 2indU

I1 I2

Z 1indU

L1 L2

L12

k1ωi1

k

UU

ZL2

LL

1

22

1

2

1

k

II

2

2

1

LωiZ

LL

1

2

ZReiZImarg 2

2

2

Lk1ω

Z

)(

32

Unbelasteter Transformator: Z

1

2lSpezialfal

1

2

1

2

NNk

LLk

UU 0

II

1

2 π

k1ωi1

k

UU

ZL2

LL

1

22

1

2

1

k

II

2

2

1

LωiZ

LL

1

2

ZReiZImarg 2

2

2

Lk1ω

Z

)(

U1 U2 2indU

I1 I2

Z 1indU

L1 L2

L12

Spezialfall: Spulen gleichen VolumensWindungszahlen N1, N2

1

2

1

22

22,1

0r2,1 NN

LL

zΔN

VμμL

33

Kurzgeschlossener Transformator: Z0

0UU

1

2 NNk

LLk

II

2

1lSpezialfal

2

1

1

2

k1ωi1

k

UU

ZL2

LL

1

22

1

2

1

k

II

2

2

1

LωiZ

LL

1

2

ZReiZImarg 2

2

2

Lk1ω

Z

)(

U1 U2 2indU

I1 I2

Z 1indU

L1 L2

L12

Spezialfall: Spulen gleichen VolumensWindungszahlen N1, N2

1

2

1

22

22,1

0r2,1 NN

LL

zΔN

VμμL

34

Transformator mit ohmscher Last: ZR

R

k1Lωarctanπ 2

2

k1ωi1

k

UU

RL2

LL

1

22

1

2

U1 U2 2indU

I1 I2

Z 1indU

L1 L2

L12

k1ωi1

k

UU

ZL2

LL

1

22

1

2

1

k

II

2

2

1

LωiZ

LL

1

2

ZReiZImarg 2

2

2

Lk1ω

Z

)(

35

Transformator mit induktiver Last: ZiL

π k11

k

UU

LL2

LL

1

22

1

2

)(

1

k

II

2

2

1

LL

LL

1

2

U1 U2 2indU

I1 I2

Z 1indU

L1 L2

L12

k1ωi1

k

UU

ZL2

LL

1

22

1

2

1

k

II

2

2

1

LωiZ

LL

1

2

ZReiZImarg 2

2

2

Lk1ω

Z

)(

36

Transformator mit kapazitiver Last: Z(iC)

sonst

1LCωk1falls ,π,0 2

22

k11

k

UU

222

LL

1

2

LCω)(1

2

1

k

II

22

2

1

LCω1

LL

1

2

U2 U1größer als im unbelasteten Fall falls k2 2 C L2

Resonanzfrequenz:

1

2UU

22R

π0 ngPhasenspru

LCk11ω

U1 U2 2indU

I1 I2

Z 1indU

L1 L2

L12

k1ωi1

k

UU

ZL2

LL

1

22

1

2

1

k

II

2

2

1

LωiZ

LL

1

2

ZReiZImarg 2

2

2

Lk1ω

Z

)(

37

Anwendungen:• Transformation auf Hochspannung• Hochstromanwendung: N1 1 , N≫ 2

Aluminium-Schmelzen Edelstahl-Gewinnung• Punktschweißen• Aufheizen von Werkstücken durch Wirbelströme• Betatron-Beschleuniger

2212 IRPII groß

e- Beschleunigunge

N

S

Primärspulen (Helmholtz-Typ)

Elektronenstrahl als Sekundärstromschleife

inhomogenes magnetisches Wechselfeld

Strahlfokussierung

z.B. Rinne mit Metallschmelze

38

VI.3.6. Schwingkreise

VI.3.6.1. Freie Schwingung

0QLQR

0ILRI

CQ

CQ

Maschenregel R

C

L

IQ

D

γ m

xMechanisches Analogon:

0xmxγxD

Übersetzung: Mechanik Elektrodynamikx Qm L

RD C1

39

0QLQR CQ

R

C

L

IQ

Lösung übersetzt aus Mechanik:

CL2R

2tωiτt

τ1

CL1ω

RL2τee~Q

Schwingfall:

CL2R CLτe.constt~Q τt

Aperiodischer Grenzfall:

CL1

L4R

L2R

τ1e~Q 2

2τt

Kriechfall:

CL2R

40

VI.3.6.2. Erzwungene Schwingung und Resonanz ( Übersetzung aus Mechanik)

Serienschwingkreis:

U(t)R

C

L

Q

I

Resonanzfrequenz: Z R minimal CL

1ω

R

Bandbreite: LRω

D

γ m

xF(t)

xQI

tFtU

DCγRmL

1

41

Parallelschwingkreis:

Bandbreite: LRω

m

xm

D

F(t)γ

x

U(t)

QCI

R

C

L

IL

Kleine Dämpfung

Resonanzfrequenz: maximal CL

1ω

R CR

LZ

DCγRmL

xxQxIxI

tFtU

1

mCmL

42

VI.3.6.3. Gekoppelte Schwingkreise ( gekoppelte mechanische Schwinger )

Induktive Kopplung:R1

C1L1I1Q1

R2

C2L2 I2

Q2

L12

QLQQRQL

QLQQRQL

1122C1

2222

2121C1

1111

2

1

Lösungsweg: Transformation auf Normalkoordinaten

Beispiel: L1L2 L C1C2C R1R2 R

Normalkoordinaten: QQQ 21

Eigenfrequenzen: αω 241

CLL1

12

0QQRQLL C1

12

α 12LL

R

ee~Q tωitα21

Normalmoden ( Schwingfall ):

43

Analoges Verfahren

R1

C1

L1 R2

C2

L2Ck

Kapazitive Kopplung:

Galvanische Kopplung:

R1

C1

L1 R2

C2

L2Rk

44

Lade-Widerstand

Puffer-Kondensator

npn-Transistor als elektronischer Schalter

Schwingkreis

CL1

0 ω

VI.3.6.4. Erzeugung ungedämpfter SchwingungenBeispiel: Meißner-Schaltung

L C

R1 C1

TCR τ0

ω

π211

L C

R1 C1

sperrt

Schwingphase 1

autarker Schwingkreis

45

TCR τ0

ω

π211

Lade-Widerstand

Puffer-Kondensator

npn-Transistor als elektronischer Schalter

Schwingkreis

CL1

0 ω

L C

R1 C1

L C

R1 C1

leitet

Schwingphase 2

Nachladung

Beispiel: Meißner-Schaltung

VI.3.6.4. Erzeugung ungedämpfter Schwingungen

46

VI.3.7. Hochfrequenzleitung: Der SkineffektElektrischer Leiter ohmscher Widerstand und Induktivität: Z RiL induktive Effekte dominieren für R L (typisch ≳ O( MHz ))

Elektrischer Leiter

rL

E

j

B jμμBrot 0r

tBErot ind

indE

r

Stromschwächung

Lenz

Folgerung: Bei hohen Frequenzen können Ströme nur nahe der Leiter-Oberfläche fließen ( Skineffekt ).

47

Quantitative Untersuchung ( Tafelrechnung) Eindringtiefe des Stroms

ωσμμ

2d el0r

rL

rel

j

r

r

j

rL

rLd

e1

expj drr L

Beispiel: KupferleiterHz dmm

50 94

103 2

106 0,07

(exakte Lösung: Besselfunktionen)

48

ωσμμ

2d el0r

0ω

2Lrπ

1R

Volumen

ω

Lrπ21R

Oberfläche

Übergangsbereich (d rL)

ωdrπ2

1RL

( effektives ) durchströmtes

Volumen• HF-Spannungen sind relativ ungefährlich• Eisendrähte ( großes r ) sind schlechte HF-Leiter

• Gute HF-Leitung bei großer Oberfläche ( Hohlrohre, Litzen, ... )