INTERPOLASI

• Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang nilai fungsi pada ke-2 titik tersebut sudah diketahui

• dpl. : cara menentukan harga fungsi f dititik x* ε [x0,xn] dengan menggunakan informasi dari seluruh atau sebagian titik-titik yang diketahui ( x0, x1, …., xn)

• Teknik umum yang digunakan

i. Membentuk polinomial berderajat ≤ n yg mempunyai harga fungsi di titik-titik yang diketahui à Polinomial Interpolasi

ii. Masukkan titik yang ingin dicari harga fungsinya ke dalam polinomial interpolasi

• Jenis – jenis Interpolasi

à Interpolasi Linierà Interpolasi Kuadrat à Interpolasi Lagrangeà Interpolasi Newton

Interpolasi Linier

Misalkan ada m bilangan : x1, x2, …., xm dan bilangan lain yang berkaitan : y1, y2 , …., ym

maka masalahnya : berapa harga y* pada x* ε [xk,xk+1] ?

Ambil ruas garis yang menghubungkan

titik (xk,yk) dan (xk+1,yk+1)

Diperoleh persamaan garisnya :

Jadi persamaan garisnya adalah :

x x0 x1 x2 ……. xn

f(x) f(x0) f(x1) f(x2) ……. f(xn)

Contoh:

Diketahui data sebagai berikut :

Tentukan harga y pada x = 6,5 !

Jawab : x = 6,5 terletak antara x=6 & x=7

Alternatif 2 : x = 6,5 terletak antara x=1 & x=7

Bandingkan hasil kedua jawaban tersebut !! Mana yang mendekati jawaban yang sesungguhnya ..?? Karena hub. x & y adalah y = x2 maka untuk harga x = 6,5 didapat y = (6,5)2 = 42,25

=> Kesalahan mutlak (E) : |42,5 – 42,25| = 0,25Kesalahan mutlak (E), untuk : y = 42,5 à |42,5 – 42,25| = 0,25 = 25 %Sedangkan untuk y = 45 à |45 – 42,25| = 3,25 = 325 %

contoh2:Diketahui data sebagai berikut :

N …. 2,14 2,15 2,16 ….

N1/2 …. 1,46287 1,46629 1,46969 ….

Tentukan akar dari 2,155

(2,155)1/2 = 1,46629 + (0,005/0,010) (1,46969 – 1,46629)

= 1,46629 + 0,00170

(2,155)1/2 = 1,46799

Kesalahan mutlaknya |1,4679918 -1,46799| = 0,0000018

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

y 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49

PR: Tentukan akar dari 2,153 dan Kesalahan mutlaknya !

Interpolasi Kuadrat

Banyak kasus, penggunaan interpolasi linier tidak memuaskan karena fungsi yang diinterpolasi berbeda cukup besar dari fungsi linier

Untuk itu digunakan polinomial lain yg berderajat dua (interpolasi kuadrat) atau lebih mendekati fungsinya

Caranya :

- Pilih 3 titik & buat polinomial berderajat dua melalui ke - 3 titik tsb., shg dpt dicari harga fgs. pada x = x*

- Pemilihan ke-3 ttk tsb., dapat :

- xk-1 < xk < xk+1 atau

- xk-1 < x* < xk < xk+1

Persamaan umum Polinomial kuadrat :

P(x) = a0 + a1 x + a2 x2 …..(*)

3 titik (xk-1,yk-1), (xk,yk) & (xk+1,yk+1) dilalui fgs. P(x) berarti:

yk-1 = a0 + a1 xk-1 + a2 xk-12

yk = a0 + a1 xk + a2 xk2 …………………………. (**)

yk+1 = a0 + a1 xk+1+ a2 xk+12

=> Akan diperoleh dari 3 pers. yaitu a0, a1 dan a2 kemudian subst. ke (*) & diperoleh pers. kuadrat, shg dapat dicari nilai fgs. untuk x = x* yaitu P(x*) = a0 + a1 x* + a2 x*2

=> Sistim pers. non homogen (**) memp. solusi dan solusinya unik (tunggal)

Interpolasi Lagrange

Interpolasi Lagrange adalah salah satu formula untuk interpolasi berselang tidak sama selain formula interpolasi Newton umum & metoda Aitken. Walaupun demikian dapat digunakan pula untuk interpolasi berselang sama.

Misalkan fgs. y(x) kontinu & diferensiabel sampai turunan (n+1) dalam interval buka (a,b). Diberikan (n+1) titik (x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn) dengan nilai x tidak perlu berjarak sama dengan yang lainnya, dan akan dicari suatu polinom berderajat n. Untuk pemakaian praktis, formula interpolasi Lagrange dapat dinyatakan sbb. :

Jika y(x) : nilai yang diinterpolasi; x : nilai yg berkorespondensi dg y(x)

x0, x1, …., xn : nilai x dan y0, y1, …., yn : nilai y

Contoh:

Nilai yg. berkorespondensi dengan y = 10log x adalah :

Carilah 10log 301 ?

Untuk menghitung y(x) = 10log 301 dimana x = 301, maka nilai diatas menjadi

Dengan rumus Interpolasi Lagrange

Contoh2Bila y1 = 4, y3 = 12, y4 = 19 dan yx = 7, carilah x ?Karena yg ditanyakan nilai x dengan nilai y diketahui, maka digunakan interpolasi invers atau kebalikan yg analog dg interpolasi Lagrange.

Nilai sebenarnya dari x adalah 2, karena nilai-nilai atau data diatas adalah hasil dari polinom y(x) = x2 + 3. Adapun untuk membentuk polinom derajat 2 dengan diketahui 3 titik, dapat menggunakan cara yang sebelumnya pernah dibahas dalam hal mencari persamaan umum polinomial kuadrat.

4771,2)307300)(305300)(304300()307301)(305301)(304301()(xy

4829,2

)307304)(305304)(300304()307301)(305301)(300301(

4843,2

)307305)(304305)(300305()307301)(304301)(300301( 4871,2

)305307)(304307)(301307()305301)(304301)(300301(

7106,04717,49658,42739,1

4786,2)( xy