UVSQ - Licence SPI Me111 - Mécanique Générale

T.D. N�1

Calcul Vectoriel

1. Donner la formule du double produit vectoriel. Soient ~A et ~B deux vecteurs, trouver le vecteur ~X tel que :

~A ∧ ~X = ~B

2. Soit le vecteur ~U et le plan π de vecteur normal unitaire ~n. On désigne par ~Ut et ~Un les projections de ~Usur le plan et sur sa normale. Montrer que :

~Ut = ~n ∧ (~V ∧ ~n)

3. Soit un torseur T =

{~R~MA

}dé�ni au point A. Rechercher l'ensemble des points P tels que ~MP et ~R

sont colinéaires (axe du torseur).

4. Aux extrémités A, B, C, D d'une ellipse de grand axe 2a et de petit axe 2b sont appliqués les e�orts

suivants :

en A ~R1 = T~y − Z1~z

en B ~R2 = −T~x− Z2~z

en C ~R3 = −T~y − Z3~z

en D ~R4 = T~x− Z4~z

Donner le torseur résultant de ces 4 glisseurs au point M de coordonnée (0, 0, h).

5. On considère le champ vectoriel ~V qui a tout point P de coordonnées (x, y, z) fait correspondre le vecteur~V (P ) de composantes :

~V (P ) =

1 + 3y − tz2tz − 3x2 + tx− t2y

où t un paramètre réel.

Pour quelles valeurs de t, ce champ de vecteur est-il un champ de moments d'un torseur.

Pour chacune de ces valeurs, déterminer la résultante, le pas, l'axe central et le moment central.

6. Soient deux point O, A et un vecteur ~G non nul. Montrer qu'il existe une in�nité de glisseurs passant par

A dont le moment en O est ~G. Quel est l'ensemble des projections orthogonales de O sur leurs supports.

7. Soient deux glisseurs de résultante ~R1 et ~R2 et passant par A1 et A2. Montrer que la perpendiculaire

commune à leurs supports rencontre l'axe central du torseur résultant.

8. On considère deux torseurs T1 et T2 qui ne sont ni des couples ni des glisseurs et dont les résultantes ~R1

et ~R2 sont non colinéaires.

Quelle condition doit satisfaire réel λ pour que le torseur T1 + λT2 soit un glisseur ? Quelle condition doit

alors satisfaire T1 et T2.