Universitatea din Bucureşti DE LA TEOREMA FAN MINIMAX LA ...revcib.ase.ro/2014_files/11 -...

Doctorand Bogdan-Corneliu BIOLAN

Universitatea din Bucureşti

DE LA TEOREMA FAN MINIMAX LA ECHILIBRUL NASH

FROM FAN MINIMAX THEOREM TO NASH EQUILIBRIUM

Abstract. We show that in an abstract convex space (E, D; Γ ), the partial KKM

principle implies the Ky Fan minimax inequality, from which we deduce a

generalization of the Nash equilibrium theorem. Ky Fan minimax inequality has many

applications in economy as well as the Nash equilibrium and both are an useful tool

for the economists.

Keywords: Nash Equilibrium, Ky Fan minimax inequality, KKM Theorem,

abstract convex space, fiexed point theorems.

Clasificarea JEL: C61, C62, C70

1.Introducere

Este bine ştiut ca Teorema de punct fix a lui Brouwer, Lema lui Sperner din

combinatorica, Teorema Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz (pe scurt,KKM), Teorema

de punct fix a lui Kakutani, Teorema de echilibru a lui John Nash, Teorema lui Ky Fan

pentru mulţimi cu secţiuni convexe, Inegalitatea Fan de tip minimax, Teorema Fan-

Browder de punct fix, in principal in teoria KKM,sunt reciproc echivalente, a se vedea

de exemplu [1,2].

Reamintim ca teorema de echilibru a lui Nash a fost demonstrata întâia oara utilizând

teoremele de punct fix ale lui Brouwer si Kakutani ;vezi [3,4](in aceasta lucrare am

folosit doar teorema lui Brouwer).

Mai târziu ,in baza propriei leme KKM,Fan a demonstrat teorema lui Nash aplicând

rezultatul sau pe mulţimi cu secţiuni convexe in cadrul teoriei KKM ;vezi [5,6]

Bogdan - Corneliu Biolan

__________________________________________________________________

Aceasta parte a teoremei este echivalenta cu Teorema de punct fix a lui Browder ,din

care putem deduce Teorema lui Nash, Teorema Neumann-Sion de tip minimax si un

număr important de rezultate.

In zilele noastre, teorema lui Nash este cunoscuta drept a fi una dintre aplicaţiile cele

mai importante ale inegalităţii de tip minimax a lui Fan[9].Inegalitatea si generalizările

diverse sunt unelte foarte folositoare in numeroase domenii ale matematicii ,de

exemplu analiza neliniara,in special in teoria punctelor fixe ,inegalităţi

variaţionale,diverse teorii ale echilibrului ,programarea matematica,ecuaţii cu derivate

parţiale,teoria jocurilor,teoria impulsurilor si matematica aplicata in economie.

De când inegalitatea a apărut in 1972 , a fost urmata de un număr de generalizări si

aplicaţii in teoria KKM pentru submulţimi convexe ale spatiilor vectoriale

topologice,Spatii convexe de tip Lassonde ,H-spaţii de tip Horvath , Spaţii convexe

generalizate in sens Park,si spatii de alt tip. Toate acestea sunt unificate în categoria

spatiilor abstracte convexe ;vezi [2] si referinţele de acolo pentru mai multe detalii.

De fapt noi studiem elemente sau rădăcini ale teoriei KKM in spatii convexe abstracte.

Principiul parţial KKM pentru spaţii convexe abstracte este o forma abstracta a

teoremei clasice KKM. Observăm că multe rezultate importante în teoria KKM sunt

strâns legate de spatiile care satisfac principiul parţial KKM. Mai mult ,multe

asemenea rezultate sunt echivalente intre ele. Aici introducem o noua forma abstractă

de teorema KKM legata de multifuncţii având valorile închiderii intersecţiei in sensul

lui Luc et al.[15]. Arătam că această teoremă KKM implică forme diverse ale

inegalităţii Fan Minimax. Scopul este de a arata că o inegalitate minimax de acest tip

implică o noua generalizare a teoremei echilibrului lui Nash in spatii abstracte

convexe. In secţiunea 2, introducem fapte de baza despre Echilbru Nash. In secţiunea

3.1. introducem fapte de baza despre spatii convexe abstracte. Sectiunea 3.2. tratează

noua teorema generalizata KKM ,teorema cu funcţii KKM având închiderea

intersecţiei valorilor datorată lui Luc et al.[15] si aplicaţiile în multe alternative

analitice sau inegalităţi Fan de tip minimax. In secţiunea 3.3. deducem o generalizare a

teoremei lui Nash in spatii convexe abstracte de la alternativa analitica la o inegalitate

de tip minimax.

De la teorema Fan minimax la echilibrul Nash

___________________________________________________________________

2.Modelul lui John Nash in teoria jocurilor.

In lucrarea numita “Equilibrium points in jocuri de n-persoane “ din 1950 , John Nash

descrie fără a formaliza ,conceptele jocului de n-persoane si ale echilibrului ataşat

jocului. Defineşte jocul de n-persoane ,unde fiecare jucător are un număr finit de

strategii si fiecare n-uplu de strategii corespund unui anumit set strategii câştigătoare.

Orice n-uplu de strategii poate fi privit ca un punct in spatiul produs al mulţimilor de

strategii câştigătoare. Un punct de echilibru este un n-uplu de strategii astfel încât

strategia fiecărui jucător ii aduce câştigul max, m jucătorului , împotriva a n-1 strategii

de celălalt tip. Dam definiţia formala pentru un joc de n-persoane mai jos :

Definitia 2.1. Forma normala a unui joc de n persoane este

(𝑋𝑖 , 𝑟𝑖)𝑖=1𝑛 , 𝑢𝑛𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝑓𝑖𝑒𝑐𝑎𝑟𝑒 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑛}, 𝑋𝑖 este o mulţime nevidă

(mulţimea strategiilor individuale ale jucătorului i) si 𝑟𝑖 este relatia de preferinta pe

𝑋 ≔ ∏ 𝑋𝑖𝑖∈𝐼 a jucatorului i.

Preferinţele individuale 𝑟𝑖 sunt adesea reprezentate prin functii utilitati ,i.e. pentru

fiecare 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑛} există o funcţie cu valori reale

𝑢𝑖: 𝑋 ≔ ∏ 𝑋𝑖𝑖∈𝐼

→ ℝ

numita funcţie de utilitate i astfel încât

𝑥𝑟𝑖𝑦 ≤> 𝑢𝑖(𝑥) ≥ 𝑢𝑖(𝑦), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋.

Forma normala a jocului de n-persoane este (𝑋𝑖, 𝑢𝑖)𝑖=1𝑛 .

Notaţie. Descriem 𝑥−𝑖 = (𝑥1, … , 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖+1, … , 𝑥𝑛).

Definiţia 2.2. Echilibrul lui Nash pentru jocul (𝑋𝑖 , 𝑢𝑖)𝑖=1𝑛 este un punct 𝑥∗ ∈ 𝑋 care

satisface pentru fiecare 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑛} :

𝑢𝑖(𝑥∗) ≥ 𝑢𝑖(𝑥−𝑖∗ , 𝑥𝑖) ∀ 𝑥𝑖 ∈ 𝑋𝑖.

Teorema 2.1. (Următoarea teorema oferă condiţii suficiente de existenta a echilibrului

Nash)

Fie Γ = (𝑋𝑖, 𝑢𝑖)𝑖=1𝑛 un joc de n-persoane si fie 𝑓 o functie reala definita pe 𝑋 × 𝑋

definita prin :


__________________________________________________________________

𝑓(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝑢𝑖(𝑥−𝑖, 𝑦𝑖)

𝑛

𝑖=1

Presupunem că au loc :

1) Pentru fiecare 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑛}, 𝑋𝑖 este submulţime nevidă compactă si

convexa a unui spaţiu liniar topologic Hausdorff ;

2) Pentru fiecare 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑛}, 𝑢𝑖(. , 𝑥𝑖) este continuă pe 𝑋−𝑖 = ∏ 𝑋𝑗𝑗≠𝑖 , ∀𝑥𝑖 ∈

𝑋𝑖 𝑓𝑖𝑥𝑎𝑡;

3) ∑ 𝑢𝑖𝑛𝑖=1 este continuă pe X

4) 𝑓(𝑥, . ) este quasi-concavă pe X, pentru fiecare 𝑥 ∈ 𝑋.

Atunci, Γ are puncte de echilibru.

Demonstraţie. Arătam întâi că există 𝑥∗ ∈ 𝑋 astfel încât 𝑓(𝑥∗, 𝑥∗) ≥ 𝑓(𝑥∗, 𝑦), ∀𝑦 ∈ 𝑋.

(*)

Prin absurd , presupunem că ∀𝑥 ∈ 𝑋, ∃𝑦𝑥 ∈ 𝑋 𝑎. 𝑖. 𝑓(𝑥, 𝑥) < 𝑓(𝑥, 𝑦𝑥).

Definim 𝐺(𝑦) = {𝑥 ∈ 𝑋: 𝑓(𝑥, 𝑥) < 𝑓(𝑥, 𝑦)} 𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝑦 ∈ 𝑋. Mulţimea 𝐺(𝑦) este

deschisă in X iar

𝑋 = ⋃ 𝐺(𝑦)

𝑦∈𝑌

.

Com X este compacta în topologia produs ,urmează că există o submulţime finită 𝑋′ =

{𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑘} a lui X , astfel încât

𝑋 = ⋃ 𝐺(𝑦𝑗)

𝑘

𝑗=1

.

Definim ℎ: 𝑐𝑜𝑋′ → 𝑐𝑜𝑋′, 𝑝𝑟𝑖𝑛: ℎ(𝑥) = ∑ℎ𝑗(𝑥)

∑ ℎ𝑖(𝑥)𝑘𝑖=1

𝑦𝑗𝑘𝑗=1 ,

unde ℎ𝑗(𝑥) = max (0, 𝑓(𝑥, 𝑦𝑗) − 𝑓(𝑥, 𝑥)) , 𝑗 = 1,2, … , 𝑘.


___________________________________________________________________

Toate condiţiile din teorema de punct fix a lui Brouwer sunt îndeplinite de ℎ si atunci

exista

𝑥∗ ∈ 𝑋 𝑎. 𝑖. 𝑥∗ = ℎ(𝑥∗)

𝐹𝑖𝑒 𝐽 = {𝑗: ℎ𝑗(𝑥∗) > 0}. 𝐸𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡 𝐽 ≠ ∅, 𝑠𝑖 𝑗 ∈ 𝐽 <=> 𝑓(𝑥∗, 𝑦𝑗) > 𝑓(𝑥∗, 𝑥∗)

Cum 𝑥∗ ∈ 𝑐𝑜{𝑦𝑗: 𝑗 ∈ 𝐽} ,decurge din (iv) ca 𝑓(𝑥∗, 𝑥∗) > 𝑓(𝑥∗, 𝑥∗), contradicţie!

Verificăm că 𝑥∗ este punct de echilibru.

Fixam 𝑖 ∈ 𝑁 𝑠𝑖 𝑥𝑖 ∈ 𝑋. Luând in (*) 𝑦 = (𝑥−𝑖∗ , 𝑥𝑖) ,avem că:

∑ 𝑢𝑗(𝑥∗)

𝑛

𝑗=1

≥ ∑ 𝑢𝑗(𝑥∗)

𝑗≠𝑖

+ 𝑢𝑖(𝑥−𝑖∗ , 𝑥𝑖)

𝑢𝑖(𝑥∗) ≥ 𝑢𝑖(𝑥−𝑖∗ , 𝑥𝑖)

Deci 𝑥∗ este punct de echilibru.

3.Inegalitatea Fan minimax implică teorema lui Nash de echilibru

3.1. Spatii convexe abstracte

Fie ⟨𝐷⟩ multimea partilor unei multimi nevide D.Vom folosi in continuare termenul de

multifunctie, pentru a descrie funcţii ce au valori in ⟨𝐷⟩.

Definiţia 3.1.1. Un spaţiu abstract convex (𝐸, 𝐷, Γ) este alcătuit dintr-un spaţiu

topologic E,o mulţime nevidă D si o multifunctie Γ:

⟨𝐷⟩ ⊸ 𝐸 cu valori nevide Γ𝐴 ≔ Γ(𝐴) pentru 𝐴 ∈ ⟨𝐷⟩.

∀ 𝐷′ ⊂ 𝐷, acoperirea convexa Γ al lui 𝐷′ este astfel notata si definita prin :

𝑐𝑜Γ𝐷′ ≔ ⋃{Γ𝑁 |𝑁 ∈ ⟨𝐷′⟩} ⊂ 𝐸.

O submulţime X a lui E este numita Γ -submultime convexa a lui (E,D, Γ) relativ la

𝐷′ ,daca pentru orice 𝑁 ∈ ⟨𝐷′⟩, 𝑎𝑣𝑒𝑚 𝑐𝑎 Γ𝑁 ⊂ 𝑋, ceea ce inseamna ca 𝑐𝑜Γ𝐷′ ⊂ 𝑋.

Atunci (𝑋, 𝐷′, Γ|⟨𝐷′⟩ ) este numit subspatiu Γ -convex al lui (𝐸, 𝐷, Γ).


__________________________________________________________________

Când 𝐷 ⊂ 𝐸, saptiul este notat prin (𝐸 ⊃ 𝐷; Γ). In acest caz o submultime X a lui

Eeste spusa a fi Γ-convexa daca 𝑐𝑜Γ(𝑋 ∩ 𝐷) ⊂ 𝑋; cu alte cuvinte X este Γ-convexa

relativ la 𝐷′ ≔ 𝑋 ∩ 𝐷. In cazul 𝐸 = 𝐷, presupunem ca (E,Γ ) ≔ (𝐸, 𝐸; Γ).Pentru

exemple de spatii abstracte convexe se pot consulta [2,7,8,12-14] si referintele de

acolo,in restul lucrarii lucram cu aceasta noţiune in mod abstract.

Definiţia 3.1.2. Fie (𝐸, 𝐷; Γ) un spaţiu abstract convex .

Daca o multifunctie 𝐺: 𝐷 ⊸ 𝐸 satisface :

Γ𝐴 ⊂ 𝐺(𝐴) ≔ ⋃ 𝐺(𝑦)𝑦∈𝐴 , ∀𝐴 ∈ ⟨𝐷⟩, atunci G este numita a fi o funcţie KKM.

Definiţia 3.1.3. : Principiul parţial KKM pentru un spaţiu abstract convex (𝐸, 𝐷, Γ)

este ca, pentru orice închidere a valorilor funcţiei KKM 𝐺: 𝐷 ⊸ 𝐸, familia

{𝐺(𝑦)}𝑦∈𝐷 are proprietatea intersectiei finite. Principiul KKM este o mărturie a

faptului că aceeaşi proprietate rămâne valabila funcţiei KKM cu valori deschise (prin

închiderea funcţiei ne referim la valoarea care o poate lua funcţia KKM, care poate fi

o multime inchisa/deschisa).

Lucrări anterioare au arătat că elemente fundamentale ale teoriei KKM pe spatii

abstracte convexe sunt strâns legate de principiul partial KKM.

Exemple de spatii KKM sunt date in [2,7,8,12-14] si in referinţele da acolo. Aici dam

doar doua exemple după cum urmează:

Exemplu. (1) Un spatiu generalizat convex sau un spatiu G-convex (𝑋, 𝐷, Γ) după

Park inseamna un spatiu abstract convex astfel incat pentru orice 𝐴 ∈ ⟨𝐷⟩ cu

cardinalitatea |𝐴| = 𝑛 + 1, ∃∅𝐴: ∆𝑛→ Γ(A) continua a.i. 𝐽 ∈ ⟨𝐴⟩ => ∅𝐴(∆𝐽) ⊂ Γ(J).

Aici,pentru ∆𝑛 cu punctele {𝑒𝑖}𝑖=0𝑛 , ∆𝐽 este fata corespunzatoare lui 𝐽 ∈ ⟨𝐴⟩;aceasta este

daca 𝐴 = {𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛} si 𝐽 = {𝑎𝑖0, 𝑎𝑖1

, … , 𝑎𝑖𝑘} ⊂ 𝐴, atunci ∆𝐽= 𝑐𝑜{𝑒𝑖0

, 𝑒𝑖1, … , 𝑒𝑖𝑘

}.

(2)Un ∅𝐴- spatiu (𝑋, 𝐷; {∅𝐴}𝐴∈⟨𝐷⟩) este alcatuit dintr-un spatiu topologic X,o

multime nevidă D, si o familie de multimi continue ∅𝐴: ∆𝑛→ 𝑋( acestea sunt in general

n-simplex-urile ) pentru 𝐴 ∈ ⟨𝐷⟩ cu |𝐴| = 𝑛 + 1. Fiecare ∅𝐴-spatiu poate fi construit

intr-un spatiu G-convex( a se vedea [19] de exemplu).Unii spun ca spatiile GFC sau

spatiile FC sunt ∅𝐴-spatii sau cazuri particulare ale lor,respective.


___________________________________________________________________

(3) Observam ca spatiile G-convexe conţin submultimi convexe ale spatiilor vectoriale

topologice, spatii convexe de tip Lassonde , H-spatii de tip Horvath, ∅𝐴-spatii si spatii

de alt tip.Observam ca fiecare spatiu G-convex satisface principiul KKM.

3.2. De la principiul KKM la inegalitatea minimax

In aceasta sectiune urmărim îndeaproape lucrările [14-16].

Consideram următoarele patru relatii legate echivalente:

(a) ⋂ 𝐺(𝑧) 𝑧∈𝐷 ≠ ∅ => ⋂ 𝐺(𝑧)𝑧∈𝐷 ≠ ∅ .

(b) ⋂ 𝐺(𝑧) 𝑧∈𝐷 = ⋂ 𝐺(𝑧)𝑧∈𝐷

(G este închisa la intersectie)

(c) ⋂ 𝐺(𝑧) 𝑧∈𝐷 = ⋂ 𝐺(𝑧)𝑧∈𝐷 (G este transfer închis)

(d) G este închisa.

A fost demonstrat la cursul de metode variationale (vezi Dinca, G., Metode

variationale si aplicatii, Editura Tehnica, Bucuresti,1980) ca de altfel si in [13] ca (a)

<= (b) <= (c) <= (d),si au fost date exemple de multifunctii satisfacand (b) dar nu si

(c).

Prin urmare, o sa discutam mai mult in jurul lui (b) si nu al lui (c) in teoria KKM.

Penntru o multifunctie 𝐺: 𝐷 ⊸ 𝐸,consideram urmatoarele 4 relatii echivalente:

(a) ⋃ 𝐺(𝑧)𝑧∈𝐷 = 𝐸 => ⋃ 𝐼𝑛𝑡 𝐺(𝑧)𝑧∈𝐷 = 𝐸.

(b) 𝐼𝑛𝑡 ⋃ 𝐺(𝑧)𝑧∈𝐷 = ⋃ 𝐺(𝑧)𝑧∈𝐷 (G este deschis la reuniune)

(c) ⋃ 𝐺(𝑧)𝑧∈𝐷 = ⋃ 𝐼𝑛𝑡 𝐺(𝑧)𝑧∈𝐷 (G este transfer deschis)

(d) G este deschisa.

Lema 3.2.1. Multifunctia 𝐺ℝ este inchisa la intersectie( respectiv transfer inchis) daca

si numai daca 𝐺𝐶,complementara sa, este deschisa la intersectie.

Avem următoarele forme ale tipurilor de teoreme KKM [14-26]

Teorema 3.2.1. Fie (𝐸, 𝐷; Γ) un spatiu convex abstract satisfacand principiul partial

KKM,si

𝐺: 𝐷 ⊸ 𝐸 o functie astfel incat:


__________________________________________________________________

(1) �� este o functie KKM;si

(2) Exista o submulţime nevidă si compacta K a lui E astfel încât :

(i) ⋂{𝐺(𝑦) |𝑦 ∈ 𝑀} ⊂ 𝐾 pentru 𝑀 ∈ ⟨𝐷⟩; sau

(ii) pentru fiecare 𝑁 ∈ ⟨𝐷⟩, ∃ Γ −submultime convexa 𝐿𝑁 a lui E relativ la

un 𝐷′ ⊂ 𝐷 a.i. 𝑁 ⊂ 𝐷′ si 𝐿𝑁 ∩ ⋂ 𝐺(𝑦)

𝑦∈𝐷′ ⊂ 𝐾.

Atunci avem:

𝐾 ∩ ⋂ 𝐺(𝑦) 𝑦∈𝐷′ ≠ ∅.

𝑀𝑎𝑖 𝑚𝑢𝑙𝑡:

(𝛼) daca G este transfer inchis atunci 𝐾 ∩ ⋂ {𝐺(𝑦) |𝑦 ∈ 𝐷} ≠ ∅;

(𝛽) daca G este inchisa la intersectie atunci ⋂ {𝐺(𝑦) |𝑦 ∈ 𝐷} ≠ ∅.

Teorema 3.2.1. poate fi reformulata in multe moduri asemănătoare echivalente

ca si in [2,10-12]. Dam următoarea forma analitica echivalenta:

𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝟑. 𝟐. 𝟐. Fie (𝐸, 𝐷; Γ) un spatiu convex abstract care satisface

principiul partial KKM,si presupunem 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ, 𝑠𝑖 𝑓: 𝐷 × 𝐸 → ℝ, 𝑔: 𝐸 × 𝐸 →

ℝ sunt functii extinse cu valori reale.

(1) ∀ 𝑧 ∈ 𝐷, 𝐺(𝑧) ≔ {𝑦 ∈ 𝐸 |𝑓(𝑧, 𝑦) ≤ 𝛼} este inchisa la intersectie

(2) ∀ 𝑦 ∈ 𝐸 avem ca:

𝑐𝑜Γ{𝑧 ∈ 𝐷 |𝑓(𝑧, 𝑦) > 𝛼} ⊂ {𝑥 ∈ 𝐸 |𝑔(𝑥, 𝑦) > 𝛽};

(3) Condiţia de compacitate (2) din teorema 1 se menţine.

Atunci ori:

(i) ∃ 𝑦0 ∈ 𝐸 𝑎. 𝑖. 𝑓(𝑧, 𝑦0) ≤ 𝛼, ∀ 𝑧 ∈ 𝐷; sau

(ii) ∃ 𝑥 ∈ 𝐸 𝑎. 𝑖 𝑔( 𝑥, 𝑥) > 𝛽.

Lema 3.2.2. In ipotezele teoremei 2 𝐺: 𝐷 ⊸ 𝐸,presupunem (3) si negatia lui

(2).Atunci multifunctia 𝐺: 𝐷 ⊸ 𝐸 este o functie KKM.

Demonstratie. Negatia lui (ii) este 𝑔(𝑥, 𝑥) ≤ 𝛽, ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 . Presupunem,din

contra ca exista o mulţime finita 𝑁 ⊂ 𝐷 astfel incat Γ𝑁 ⊄ 𝐺(𝑁). Atunci ∃ 𝑦 ∈

Γ𝑁 𝑎. 𝑖. 𝑦 ∉ 𝐺(𝑧) 𝑠𝑎𝑢 𝑓(𝑧, 𝑦) > 𝛼, ∀𝑧 ∈ 𝑁.


___________________________________________________________________

Prin urmare, N ⊂ {z ∈ D |f(z, y) ≤ α} si din (2),avem ca Γ𝑁 ⊂ {y ∈

E |g(z, y) > 𝛽}

Cum y ∈ Γ𝑁,avem ca 𝑔(𝑦, 𝑦) > 𝛽.Obtinem astfel contradictie !

Demonstratia Teoremei 3.2.2. Presupunem ca (ii) nu are loc. Atunci, din lema

(2) ,G este functie KKM. Mai mult, toate conditiile teoremei 1 KKM sunt

satisfăcute si {𝐺(𝑧)}𝑧∈𝐷 are intersectia nevida.Prin urmare

∃𝑦0 ∈ ⋂ 𝐺(𝑧)𝑧∈𝐷 ⊂ 𝐸.Deci 𝑓(𝑧, 𝑦0) ≤ α, ∀z ∈ D.Prin urmare (i ) are loc

𝐶𝑜𝑟𝑜𝑙𝑎𝑟 3.2.1.In ipotezele Teoremei 2 cu α = β = 0, daca g(x, x) ≤ 0, ∀x ∈

E, atunci:

(𝑖)∃𝑦0 ∈ 𝐸 𝑎. 𝑖. 𝑓(𝑧, 𝑦0) ≤ 0, ∀z ∈ D.

Definim acum noi concepte. Pentru mai multe detalii a se vedea [14-16]

Definitia 3.2.1. Fie (𝐸, 𝐷; Γ) un spatiu convex abstract .O extindere a functiei cu

valori reale 𝑓: 𝐷 × 𝐸 → ℝ este spusa general inferior(respectiv superior) semicontinua

(g.l.s.c.) (respectiv superior ) semicontinua (g.l.s.c.0(resp.,gu.s.c.)) pe E daca ∀z ∈

D, {y ∈ E | f(z, y) ≤ r}, (𝑟𝑒𝑠𝑝. , {y ∈ E | f(z, y) ≥ r} ) este inchisa la intersectie pentru

orice 𝑟 ∈ ℝ.

Aceasta este o generalizare a transferului l.s.c. datorat lui Tian. Daca închiderea

intersecţiei mulţimilor este înlocuită, atunci 𝑓(𝑧, . ) este spusa a fi l.s.c.(respectiv

u.s.c.).

Definitia 3.2.2. Pentru un spatiu abstract convex ,(𝐸 ⊃ 𝐷; Γ) o functie 𝑓: 𝐸 → ℝ este

spusa a fi quasiconcav

a daca {x ∈ E | f(x) > 𝑟}, (𝑟𝑒𝑠𝑝. , {x ∈ E | f(x) < 𝑟}) este Γ- convex, pentru orice 𝑟 ∈

ℝ.

Din corolarul 3.2.1 obţinem următoarele :

Corolar 3.2.2. :Fie (𝐸; Γ) un spatiu compact abstract convex si 𝑓, 𝑔: 𝐸 ×

𝐸 → ℝ astfel incat :

(1) 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑔(𝑥, 𝑦), ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸 × 𝐸 𝑠𝑖 𝑔(𝑥, 𝑥) ≤ 0, ∀x ∈ E;

(2) 𝑦 → 𝑓(𝑥, 𝑦) este g.l.s.c. pentru orice x ∈ E; si


__________________________________________________________________

(3) 𝑥 → 𝑔(𝑥, 𝑦) este quasiconcava ∀y ∈ E.

Atunci exista 𝑦0 ∈ 𝐸 astfel incat 𝑓(𝑥, 𝑦0) ≤ 0 pentru orice x ∈ E.

Din teorema 3.2.2., avem clar urmatoarea inegalitate de tip Fan minimax :

Teorema 3.2.3.In ipotezele Teoremei 2 , 𝛼 = 𝛽 = 𝑠𝑢𝑝𝑥∈𝑋𝑔(𝑥, 𝑥) atunci

(a) ∃ 𝑦0 ∈ 𝐸 a.i.

𝑓(𝑧, 𝑦0) ≤ 𝑠𝑢𝑝𝑥∈𝐸𝑔(𝑥, 𝑥), ∀z ∈ 𝐷; si

(b) Avem urmatoarea inegalitate minimax :

𝑖𝑛𝑓𝑦∈𝐸𝑠𝑢𝑝𝑧∈𝐷𝑓(𝑧, 𝑦) ≤ 𝑠𝑢𝑝𝑥∈𝐸𝑔(𝑥, 𝑥).

3.3. De la inegalitatea minimax la Teorema de Echilibru a lui Nash

In aceasta sectiune, aplicam Teorema 3.2.2. la o demonstratie generalizata a teoremei

lui Nash.Fie 𝐼 = {1, … , 𝑛} un set de n jucatori .Un joc necooperativ de n-persoane in

forma normala este un 2n-uplu ordonat unde multimea nevida 𝑋𝑖 este strategia pura al

i-ului jucator.Presupunand ca

𝐴 ≔ {𝑋1, … , 𝑋𝑛; 𝑢1, … , 𝑢𝑛},si 𝑢𝑖: 𝑋 = ∏ 𝑋𝑖 →𝑛𝑖=1 ℝ este functia de pay-off a

jucătorului i.

Un punct din 𝑋𝑖 este numit strategie a jucătorului i. Presupunând ca 𝑋−1 = ∏ 𝑋𝑗𝑗∈𝑙∖{𝑖}

si intelegand prin 𝑥 si 𝑥−𝑖 un element al lui 𝑋𝑖 si

𝑋−𝑖 respectiv. O strategie este n-uplul (𝑦1∗, … , 𝑦𝑛

∗) ∈ 𝑋 care este numit punct de

echilibru Nash daca urmatoarea inegalitate are loc :

𝑢𝑖(𝑦1∗, 𝑦−1

∗ )≥ 𝑢𝑖(𝑥1∗, 𝑦−1

∗ ) ∀𝑥𝑖 ∈ 𝑋𝑖 si ∀𝑖 ∈ 𝐼

Lema 3.3.1. Fie {(𝑋𝑖, 𝐷𝑖; Γ𝑖)}𝑖∈𝐼 o familie abstracta de spatii convexe. Fie 𝑋 ∶=

∏ 𝑋𝑖𝑖∈𝐼 echipat cu topologia produs si 𝐷 ∶= ∏ 𝐷𝑖𝑗∈𝑙 .Pentru fiecare 𝑖 ∈ 𝐼 fie

proiectia 𝜋𝑖: 𝐷 → 𝐷𝑖 .Pentru fiecare ,definim 𝐴 ∈ (𝐷) ,definim Γ(A) ≔∏ Γ𝑖(𝑖∈𝑙 𝐴)).Atunci (𝑋, 𝐷; Γ) este un spatiu convex abstract .

Fie {(𝑋𝑖, 𝐷𝑖; Γ𝑖)}𝑖∈𝐼 o familie de G-spatii convexe.Atunci (𝑋, 𝐷; Γ) este G-spatiu

convex.


___________________________________________________________________

Teorema 3.3.1. Fie Λ ∶= {𝑋1, … , 𝑋𝑛; 𝑢1, … , 𝑢𝑛} un joc unde fiecare (𝑋𝑖, Γ𝑖) este un

spatiu abstract convex astefl incat (𝑋; Γ) ≔ (∏ 𝑋𝑖𝑛𝑖=1 ; Γ) ,unde Γ este data mai sus

si satisface principiul partial KKM si fiecare 𝑢𝑖: 𝑋 → ℝ este continua.Daca pentru

fiecare i si pentru fiecare punct

𝑥−𝑖 ∈ 𝑋−𝑖, 𝑥𝑖 → 𝑢𝑖(𝑥𝑖 , 𝑥−𝑖) este o functie quasiconcava pe 𝑋𝑖 ,atunci exista un

echilibru Nash pentru Λ.

Demonstratie. Pentru fiecare i fie 𝑒𝑖: 𝑋𝑖 → 𝑋 o aplicatie astfel incat pentru 𝑎 =

(𝑎1,…, 𝑎𝑛) sa avem 𝑒𝑖 ∈ 𝑋𝑖 → (𝑥𝑖 , 𝑎−1) ∈ 𝑋.Presupunem ca 𝐷𝑖 ≔ 𝑒𝑖(𝑋𝑖) ⊂ 𝑋

𝑠𝑖 Γ𝑖 ≔ Γ|(𝐷𝑖).Atunci (𝑋 ⊃ 𝐷𝑖; Γ𝑖) este un spatiu convex abstract si se vede usor

ca satisface principiul partial KKM.

Observam ca 𝐷𝑖 este Γ𝑖 - mulţime convexa,si 𝑧 ∈ 𝐷𝑖 implica 𝑧 = (𝑧𝑖, 𝑎−𝑖) ∈ 𝑋.

Pentru 𝑢𝑖: 𝑋 → ℝ definim 𝑓𝑖: 𝐷𝑖 × 𝑋 → ℝ si 𝑔𝑖: 𝑋 × 𝑋 → ℝ prin 𝑓𝑖(𝑧, 𝑦) ≔

𝑢𝑖(𝑧𝑖 , 𝑦−𝑖) − 𝑢𝑖(𝑦𝑖 , 𝑦−𝑖) si 𝑔𝑖(𝑥, 𝑦) ≔ 𝑢𝑖(𝑥𝑖, 𝑦−𝑖) − 𝑢𝑖(𝑦𝑖 , 𝑦−𝑖) ,respectiv.

Atunci 𝑓𝑖(𝑧, 𝑦) = 𝑔𝑖(𝑧, 𝑦) pe 𝐷𝑖 × 𝑋 si 𝑔𝑖(𝑥, 𝑥) = 0 , ∀𝑥 ∈ 𝑋.

Acum aplicam Teorema 3.2.2. pentru spatii abstracte convexe (𝑋, 𝐷𝑖; Γ𝑖) cu 𝛼 =

𝛽 = 0.

(1) Cum fiecare 𝑢𝑖, este continua ,pentru fiecare 𝑧 ∈ 𝐷𝑖 ,multimea

{𝑦 ∈ 𝑋 |𝑓𝑖(𝑧, 𝑦) > 0} = {𝑦 ∈ 𝑋 |𝑢𝑖(𝑧𝑖, 𝑦−𝑖) − 𝑢𝑖(𝑦𝑖 , 𝑦−𝑖) > 0} este deschisa.

(2) Pentru fiecare 𝑦 ∈ 𝑋, 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑎 𝑧 → 𝑢𝑖(𝑧𝑖, 𝑦−𝑖) este quasiconcava.Prin

urmare{𝑧 ∈ 𝐷𝑖 |𝑢𝑖(𝑧𝑖, 𝑦−𝑖) > 𝑟} este Γ𝑖- convexa ∀ 𝑟 ∈ ℝ si prin urmare :{𝑧 ∈

𝐷𝑖 |𝑓𝑖(𝑧, 𝑦) = 𝑢𝑖(𝑧𝑖, 𝑦−𝑖) − 𝑢𝑖(𝑦𝑖 , 𝑦−𝑖) > 0} este convexa si continuta in

{𝑥 ∈ 𝑋 |𝑔𝑖(𝑥, 𝑦) > 0} .

(3) X este compact. Succesiv, toate ipotezele (1)-(3) Teoremei 2 sunt satisfăcute.

Mai mult ,concluzia (ii) nu mai are loc din moment ce 𝑔𝑖(𝑥, 𝑥) = 0, ∀ 𝑥 ∈

𝑋.Prin urmare avem:

(i) ∃ 𝑦𝑖 ∈ 𝑋 𝑎. 𝑖. 𝑓𝑖(𝑧, 𝑦𝑖) ≤ 0, ∀𝑧 ∈ 𝐷;cu alte cuvinte

𝑢𝑖(𝑦𝑖𝑖, 𝑦−𝑖

𝑖 ) ≥ 𝑢𝑖(𝑧𝑖 , 𝑦−𝑖

𝑖 ), ∀𝑧𝑖 ∈ 𝑋𝑖, ∀𝑖 ∈ 𝐼.


__________________________________________________________________

𝐴𝑡𝑢𝑛𝑐𝑖: 𝑦∗ ≔ (𝑦11, … , 𝑦𝑛

𝑛) este punctul de echilibru Nash cautat.

Remarca : (1) Ziad [20] a indicat faptul că teorema Nash rezultă din inegalitatea

Fan. Demonstratia de mai sus completează acest tablou in forma generala.

(2) Cum teorema lui Nash rezultă din inegalitatea Fan şi acesta din urmă are un

număr mare de generalizări pentru diferite spatii convexe abstracte

,argumentele noastre merg si pentru corespondente generalizate ale teoremei

lui Nash.Mai precis ,cum toate submultimile unui spatiu vectorial topologic

,spatiile Lassonde de tip convex,spatiile H de tip Horvath(exemplu spatiile

hyperconvexe metrice) ,spatiile phi-A ,spatiile G-convexe si alte tipuri de

spatii sunt spatii convexe abstracte satisfacand principiul partial

KKM,Teorema 3.3.1. poate fi aplicata la toate ;Pentru detalii vezi [2,12-14].De

exemplu urmatoarea este o teorema varianta a lui Nash :

Corolar 3.3.1. Fie Λ ≔ {𝑋1, … , 𝑋𝑛; 𝑢1, … , 𝑢𝑛} un joc unde fiecare 𝑋𝑖 este o

submultime compacta convexa a unui spatiu vectorial topologic si fiecare 𝑢𝑖 este

continua. Daca pentru fiecare 𝑖 ∈ 𝐼 si pentru fiecare punct 𝑥−𝑖 ∈ 𝑋−𝑖, 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑎 𝑥−𝑖 →

𝑢𝑖(𝑥𝑖 , 𝑥−𝑖) este quasiconcava pe 𝑋𝑖 ,atunci exista un echilibru Nash pentru Λ.

In 2006 ,Torres-Martinez [21] a aratat un tip particular de teorema [3,4] de echilibru

Nash ,si prin urmare Teorema 3.3.1. implica teorema lui Brouwer careia ii dam in

aceasta lucrare demonstratie completa. Prin urmare ,toate rezultatele in aceasta lucrare

sunt echivalente cu teorema lui Brouwer.Generalizari ale teoremei lui Nash si alte

teoreme de acest tip au fost facute in lucrarile [2,7].

Nota

Această lucrare a fost susținută financiar în cadrul proiectului intitulat: „Programe

doctorale si postdoctorale-suport pentru Cresterea Competitivitatii Cercetării în

Domeniul științelor exacte”, contract numărul: POSDRU/159/1.5/S/137750. Acest

proiect este co-finanțat de Fondul Social European prin Programul Operațional

Sectorial Programul pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013. Investim

înoameni!


___________________________________________________________________

BIBLIOGRAFIE

[1] S. Park (1999), Ninety years of the Brouwer fixed point theorem; Vietnam J.

Math. 27 ; 187–222;

[2] S. Park (2010), The KKM principle in abstract convex spaces: equivalent

formulations and applications; Nonlinear Anal. TMA 73, 1028–1042;

[3] J.F. Nash (1950), Equilibrium points in N-person games; Proc. Natl. Acad. Sci.

USA 36, 48–49;

[4] J. Nash (1951), Non-cooperative games; Ann. Math. 54; 286–295;

[5] K. Fan (1961), A generalization of Tychonoff’s fixed point theorem; Math. Ann.

142 ; 305–310;

[6] K. Fan (1966), Applications of a theorem concerning sets with convex sections;

Math. Ann. 163, 189–203;

[7] S. Park, Generalizations of the Nash equilibrium theorem in the KKM theory;

Takahashi Legacy, Fixed Point Theory Appl. vol. 2010, Article ID 234706,

23 pp, doi:10.1155/2010/234706;

[8] S. Park (2010), On the von Neumann–Sion minimax theorem in KKM spaces;

Appl. Math. Lett. 23, 1269–1273;

[9] K. Fan (1972), A Minimax Inequality and Applications, Inequalities III;

Academic Press, New York, in: O. Shisha (Ed.), pp. 103–113;

[10] E. Zeidler , Nonlinear Functional Analysis and its Applications; Vol. 5,

Springer-Verlag, New York, 1986–1990;

[11] Y.J. Lin, G. Tian (1993), Minimax inequalities equivalent to the Fan–Knaster–

Kuratowski–Mazurkiewicz theorem; Appl. Math. Optim. 28, 173–179;

[12] S. Park (2008), Elements of the KKM theory on abstract convex spaces ;

J. Korean Math. Soc. 45 (1) , 1–27;

[13] S. Park (2008), Equilibrium existence theorems in KKM spaces; Nonlinear

Anal. TMA 69 ; 4352–4364;

[14] S. Park (2008), New foundations of the KKM theory ; J. Nonlinear Convex Anal.

9 (3) ; 331–350;

[15] D.T. Luc, E. Sarabi, A. Soubeyran (2010), Existence of solutions in

variational relation problems without convexity; J. Math. Anal. Appl. 364 ; 544–555;

[16] S. Park (2011), A genesis of general KKM theorems for abstract convex spaces;

J. Nonlinear Anal. Optim. 2 (1) ; 121–132;

[17] S. Park (2011), New generalizations of basic theorems in the KKM theory;

Nonlinear Anal. TMA 74 ; 3000–3010;

[18] S. Park , On S.-Y. Chang’s inequalities and Nash equilibria (in press);


__________________________________________________________________

[19] S. Park (2009), Generalized convex spaces, L-spaces and FC-spaces; J. Global

Optim. 45; 203–210;

[20] A. Ziad , A counterexample to 0-diagonal quasiconcavity in a minimax

inequality; J. Optim. Theory Appl. 109 (2);

[21] J.P. Torres-Martínez (2006), Fixed points as Nash equilibria; Fixed Point

Theory Appl. vol. 2006, Article ID 36135, 4 pp.

Universitatea din Bucureşti DE LA TEOREMA FAN MINIMAX LA ...revcib.ase.ro/2014_files/11 -...

Documents

Transcript of Universitatea din Bucureşti DE LA TEOREMA FAN MINIMAX LA ...revcib.ase.ro/2014_files/11 -...