ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

1 Αναλυτική Γεωμετρία ...................................................................................................... 3 1.1 ΒΑΣΙΚΑ .................................................................................................................... 3

1.1.1 Εξίσωση ευθείας ................................................................................................. 3 1.1.2 Απόσταση σημείου από ευθεία ............................................................................ 3 1.1.3 Απόσταση δύο σημείων (ή μήκος ευθυγράμμου τμήματος) .................................... 4 1.1.4 Το μέσο ευθυγράμμου τμήματος ......................................................................... 4 1.1.5 Εξίσωση κύκλου ................................................................................................. 4 1.1.6 Περιέχεται σημείο σε κύκλο; ................................................................................ 4 1.1.7 Είναι σημείο πάνω στην περιφέρεια του κύκλου; .................................................. 5

1.2 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ (TO DO) .............................................................................................. 5 1.2.1 Μήκος διανύσματος ............................................................................................ 5 1.2.2 Γωνία διανυσμάτων ............................................................................................ 5 1.2.3 Προβολή διανυσμάτων ........................................................................................ 5 1.2.4 Εσωτερικό γινόμενο ............................................................................................ 5 1.2.5 Εξωτερικό γινόμενο ............................................................................................ 5

1.3 3D ........................................................................................................................... 5 1.3.1 ΠΡΟΒΟΛΗ .......................................................................................................... 5 1.3.2 ΣΤΡΟΦΕΣ ........................................................................................................... 7

1.4 Εμβαδά – Όγκοι (TO DO) .......................................................................................... 8 2 Τριγωνομετρία ................................................................................................................ 9

2.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί ........................................................................................... 9 2.2 Σχέσεις τριγωνομετρικών αριθμών ............................................................................. 9 2.3 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις αθροίσματος και διαφοράς .......................................... 10 2.4 Μετατροπές γωνιών ................................................................................................ 10

2.4.1 Μοίρες – rad ................................................................................................... 10 2.4.2 Rad – Μοίρες .................................................................................................... 10 2.4.3 O αριθμός π ..................................................................................................... 10

3 ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ................................................................................................... 12 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ............................................................................................................. 12

3.1.1 ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ........................................................................... 12 4 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ .................................................................................... 13

4.1 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ........................................................................................................ 13 4.1.1 Συνδυασμοί ...................................................................................................... 13 4.1.2 Διατάξεις .......................................................................................................... 14 4.1.3 Επαναληπτικές διατάξεις .................................................................................... 14 4.1.4 Διώνυμο του Newton ........................................................................................ 14

4.2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ (TODO) ............................................................................................... 14 4.2.1 Μέσος όρος (TO DO) ........................................................................................ 14 4.2.2 Τυπική απόκλιση (TO DO) ................................................................................. 14 4.2.3 Σφάλματα (TO DO) ........................................................................................... 15

4.3 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ...................................................................................................... 15 5 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ............................................................................................................... 16

5.1 ΤΟΚΟΙ – ΔΑΝΕΙΑ (TO DO) ....................................................................................... 16

1

5.2 ΠΛΗΡΩΜΗ N ΤΙΜΟΛΟΓΙΩΝ ΜΕ ΜΙΑ ΕΠΙΤΑΓΗ ΧΩΡΙΣ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗ (ΤΟΚΟΥΣ). ........ 16

2

1 Αναλυτική Γεωμετρία

1.1 ΒΑΣΙΚΑ

1.1.1 Εξίσωση ευθείας

Α. Η γενική μορφή της εξίσωσης της ευθείας που διέρχεται από το σημείο (x0,y0) είναι:

(y-y0)=λ(x-x0)

Β. Η ευθεία που διέρχεται από δύο σημεία έστω p(x1,y1) και q(x2,y2) είναι:

Γ. Όταν δύο ευθείες είναι κάθετες μεταξύ τους τότε ισχύει:

λ1*λ2=1

1.1.2 Απόσταση σημείου από ευθεία

Έστω η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία p(x1,y1) και q(x2,y2) και θέλουμε να υπολογίσουμε την απόσταση d του σημείου t(xt,yt) από αυτή.

Υπάρχουν τρεις περιπτώσεις:

1. Αν y1=y2 τότε:

d = abs(y1 – yt)

2. Αν x1=x2 τότε:

d = abs(x1 – xt)

3. Σε κάθε άλλη περίπτωση:

Αρχικά υπολογίζουμε τα:

xxyy12

12

−

−=λ

και

xyc11

λ−=

πάλι έχουμε δύο περιπτώσεις:

3.1 Αν λ>0 και c>0 τότε:

3

( )( )cabsd xy tt+−= λ

3.2 Διαφορετικά:

( )

−−=

λ

cabsd

yx tt

1.1.3 Απόσταση δύο σημείων (ή μήκος ευθυγράμμου τμήματος)

Έστω τα σημεία p(x1,y1) και q(x2,y2) η απόσταση μεταξύ τους είναι:

( ) ( )yyxxd 121222 −− +=

σε τρεις διαστάσεις είναι:

( ) ( ) ( )zzyyxxd 121212222 −−− ++=

1.1.4 Το μέσο ευθυγράμμου τμήματος

Έστω τα σημεία p(x1,y1) και q(x2,y2) το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος που ορίζεται από τα p και q έχει συντεταγμένες:

X: 2

12 xx +

Y: 2

12 yy +

1.1.5 Εξίσωση κύκλου

Κύκλος με κέντρο το σημείο (α,b) και ακτίνα r έχει εξίσωση

rbyax 222 )()( =+ −−

1.1.6 Περιέχεται σημείο σε κύκλο;

Έστω το σημείο p(x1,y1) αν είναι μέσα σε κύκλο ακτίνας r και κέντρου (α,b) πρέπει να ικανοποιεί τη συνθήκη

rbyax 222 )()( 11 ≤+ −−αν είναι ίσο, τότε είναι πάνω στην περιφέρεια.

4

1.1.7 Είναι σημείο πάνω στην περιφέρεια του κύκλου;

Έστω το σημείο p(x1,y1) αν είναι πάνω στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας r και κέντρου (α,b) πρέπει να ικανοποιεί τη συνθήκη

rbyax 222 )()( 11 =+ −−

1.2 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ (TO DO)

1.2.1 Μήκος διανύσματος

1.2.2 Γωνία διανυσμάτων

1.2.3 Προβολή διανυσμάτων

1.2.4 Εσωτερικό γινόμενο

1.2.5 Εξωτερικό γινόμενο

1.3 3D

1.3.1 ΠΡΟΒΟΛΗ

Here projection mathematics are shown, so if you are not interested just move to the next section. The projection is a typical perspective projection on a plane parallel to x-y plane and the center of projection is on z-axis. Let’s see the mathematical formulas for perspective projection.

5

Q is the distance COP to (0,0,zp)(dx,dy,dz) is a normalized direction vector

If COP is the point (xc,yc,zc) then

zyx cccQ 222 ++=

Qxd c

x = , Qy

d cy = and

( )Qzzd pc

z

−=

The projected x and y coordinates are:

1+−

+−=

dz

ddzd

dx

z

p

z

xp

z

x

p

Q

z

zx

and

1+−

+−=

dz

ddzd

dy

z

p

z

yp

z

y

p

Q

z

zy

In our implementation we define COP(xc,yc,zc) to be located always on z axis (xc=0, yc=0) and use the above formulas to calculate the projected points.The nesessery scaling is done using the simple formulas:

sxxx ×=′ , s yyy ×=′ and szzz ×=′and the translations

d xxx +=′ , d yyy +=′ and d zzz +=′The algorithm to project a frame has five steps. -First scales coordinates to fit in a unitary box.-Translates the objects so the center of the box is placed on (0,0,0) point.-Rotates objects (rotation details will be shown later).-Calculates the projection on an imaginary view window.-Scales the projected image to the real window’s size.

6

Perspective projection.

Projection controls

1.3.2 ΣΤΡΟΦΕΣ

Let the position vector of a point

( )zyx Tr =

and

( )''' zyx Tr =′

is the one that arise after the rotation. Rotation can be shown with following rotation matrixes

−=

θθθθ

cossin0sincos0001

Px

−=

θθ

θθ

cos0sin010sin0cos

Py

−=

1000cossin0sincos

θθθθ

Pz

So, for a rotation about x-axis, wee get r’=Pxr. The same way are calculated rotations about the other axis.

7

In our implementation, we retain a “collective” rotation matrix P. Initially is unitary. When the user requests a rotation, let’s say, about x-axis P is PxP. The same way is calculated and for rotations about any axis. The r point’s final position r’ is r’=Pr. If the user requests to return to the initial position, before rotations, P is set back to unitary and r’ is calculated as r’=Pr.

1.4 Εμβαδά – Όγκοι (TO DO)

Εμβαδά

Όγκοι

8

2 Τριγωνομετρία

2.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί

Ημίτονο: ( )r

Β Γ=ϕsin

Συνημίτονο: ( )r

Α Β=ϕcos

Εφαπτομένη: ( ) ( )( )ϕϕϕ

cossintan =

Α ΒΒ Γ=

Για μια γωνία Α σε οποιοδήποτε τεταρτημόριο οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι:

ryA =sin

rxA =cos

xyA =tan

yxA =cot

xrA =sec

yrA =csc

2.2 Σχέσεις τριγωνομετρικών αριθμών

1. Αν φ1+φ2=90 τότε tan(φ1)*tan(φ2)=1

2.AAA

cossintan =

9

3.AA

AA

sincos

tan1cot ==

4.A

Acos1sec =

5.A

Asin1csc =

6. 1cossin 22 =+ AA7. 1tansec 22 =+ AA8. 1cotcsc 22 =− AA

2.3 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις αθροίσματος και διαφοράς

9. BABABA sincoscossin)sin( ±=±10. BABABA sinsincoscos)cos( =±

11.BABABA

tantan1tantan)tan(

±=±

12.BA

BABAcotcot

1cotcot)cot(±

=±

2.4 Μετατροπές γωνιών

2.4.1 Μοίρες – rad

Έστω μια γωνία θ σε μοίρες τότε σε rad είναι:

πθ180

=r

2.4.2 Rad – Μοίρες

Έστω μια γωνία r σε rad τότε σε μοίρες είναι:

180π

θ r=

2.4.3 O αριθμός π

Συνήθως το π είναι ορισμένο σαν σταθερά στις περισσότερες γλώσσες προγραμματισμού, αλλά αν δεν είναι τότε είτε μπορούμε:

Α. Να θέσουμε μια σταθερά με τιμή 3.1415926535897932384626433832795

10

Β. Να υπολογίσουμε το λόγο 22/7=3,14 28571428571428571428571428571 μέχρι δεύτερο δεκαδικόΓ. Να υπολογίσουμε το λόγο 355/113=3,14159292 03539823008849557522124 μέχρι έβδομο δεκαδικόΔ. Να κάνουμε την πράξη 4*Atn(1)= 3,14159265358979. Atn είναι στην Visual basic, atan στην php.

11

3 ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

3.1.1 ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

02 =++ cbxax

Ρίζες: a

acbbx2

42 −±−=

Εάν a,b,c είναι πραγματικοί και acbD 42 −= η διακρίνουσα, τότε οι ρίζες είναι

πραγματικές και άνισες, εάν D>0πραγματικές και ίσες, εάν D=0συζυγείς μιγαδικές, εάν D<0.

Εάν x1,x2 είναι οι ρίζες, τότε abxx −=+ 21 και

acxx =21

12

4 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

4.1 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ

4.1.1 Συνδυασμοί

Έστω S={a1,a2,a3,…,an} ένα σύνολο με n διακεκριμένα στοιχεία. Κάθε σύνολο από m στοιχεία (1<=m<=n), τα οποία λαμβάνονται από τα στοιχεία του συνόλου S, δηλαδή κάθε υποσύνολο του S με m στοιχεία καλείται ανά m συνδυασμός των n στοιχείων. Δύο συνδυασμοί, οι οποίοι διαφέρουν μόνο στην διάταξη των m στοιχείων δεν θεωρούνται διάφοροι μεταξύ τους, αλλά θεωρούνται ότι είναι ο αυτός συνδυασμός. Το πλήθος των m συνδυασμών των n στοιχείων, που ονομάζεται n ανά m, είναι:

( )!!!mnm

nmn

−=

ισχύει επίσης n

n=

1 και

1=

nn

και ορίζουμε 1

0=

n

O υπολογισμός του n ανά m γίνεται ως εξής:

Αν mnm −≥ τότε κάνουμε το εξής loop:nm=1For I=1 To n-m

nm=nm*(m+I)/INext

Αν mnm −< τότε κάνουμε το εξής loop:nm=1For I=1 To m

nm=nm*(n-m+I)/INext

Ελεύθερη επανάληψη είναι όταν το ίδιο στοιχείο μπορεί να υπάρχει στον ίδιο συνδυασμό περισσότερες από μια φορές.

Το πλήθος των m συνδυασμών των n στοιχείων με ελεύθερες επαναλήψεις είναι:

( )!1!)!1(1

−+−=

−+nmmn

mmn

Ο υπολογισμός σύμφωνα με τα προηγούμενα γίνεται ως εξής:

Κάνουμε το εξής loop:nm=1For I=1 To m

13

nm=nm*(n-1+I)/INext

4.1.2 Διατάξεις

Έστω S={a1,a2,a3,…,an} ένα σύνολο με n διακεκριμένα στοιχεία. Καλείται ανά m διάταξη των n στοιχείων κάθε μετάθεση m στοιχείων τα οποία λαμβάνονται από το σύνολο S. Επομένως δύο ανά m διατάξεις των n στοιχείων θεωρούνται διάφορες, όταν ή δεν αποτελούνται από τα αυτά ακριβώς στοιχεία ή αποτελούνται μεν από τα αυτά στοιχεία, αλλά διαφέρουν ως προς την σειρά των στοιχείων. Δηλαδή σε κάθε διάταξη παίζει ρόλο όχι μόνο ποια m στοιχεία θα λάβουμε από τα n, αλλά και ποια μετάθεση αυτών των m στοιχείων.

)!(!mnnn

m −=∆

Το οποίο το υπολογίζουμε κάνοντας το εξής loop:

nm=1For I=1 To m

nm=nm*(n-m+I)/INext

4.1.3 Επαναληπτικές διατάξεις

Καλούμε ανά m επαναληπτική διάταξη των n στοιχείων κάθε ανά m διάταξη την οποία μπορούμε να σχηματίσουμε από τα στοιχεία του συνόλου S όπου όμως κάθε στοιχείο μπορεί να ληφθεί μέσα στην διάταξη πολλές φορές (φυσικά όχι περισσότερες από m)

Οι επαναληπτικές διατάξεις των n στοιχείων ενός συνόλου είναι σε πλήθος nm

4.1.4 Διώνυμο του Newton

Γενίκευση του τύπου του διωνύμου του Newton

( ) ∑=

−

−=+

n

i

iinn yxiin

nyx0 !)!(

!

4.2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ (TODO)

4.2.1 Μέσος όρος (TO DO)

4.2.2 Τυπική απόκλιση (TO DO)

14

4.2.3 Σφάλματα (TO DO)

4.3 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Παράδειγμα: Ποια είναι η πιθανότητα τα τέσσερα χαρτιά που τραβάω από μια τράπουλα των πενηνταδύο να είναι όλοι άσσοι;

Ο ολικός αριθμός των ισοπίθανων γεγονότων εδώ δίνεται από τον αριθμό !48!4!5252

4 =C που

μετράει τους δυνατούς συνδυασμούς με τους οποίους μπορώ ναπάρω 4 χαρτιά από τα 52 και

σύμφωνα με τον κλασσικό τρόπο η επιθυμητή πιθανότητα είναι

6524

105.31 −⋅≈=C

P.

Συχνότητα εμφάνισης

Η συχνότητα εμφάνισης του αποτελέσματος xk, όπου nk είναι ο αριθμός εμφάνισης του συγκεκριμένου αποτελέσματος σε n επαναλήψεις είναι:

nn

f kk =

15

5 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ

5.1 ΤΟΚΟΙ – ΔΑΝΕΙΑ (TO DO)

5.2 ΠΛΗΡΩΜΗ N ΤΙΜΟΛΟΓΙΩΝ ΜΕ ΜΙΑ ΕΠΙΤΑΓΗ ΧΩΡΙΣ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗ (ΤΟΚΟΥΣ).

Έστω i τιμολόγια, αν ki το κεφάλαιο του i-στού τιμολογίου και δi οι μέρες που απέχει από το πρώτο τιμολόγιο, τότε οι μέρες d που πρέπει να απέχει η επιταγή, από την ημερομηνία του πρώτου τιμολογίου είναι:

( )

∑

∑

=

=

×= n

ii

n

iii

k

kd

1

1δ

Παράδειγμα.

Έστω πρέπει να εξοφλήσουμε τέσσερα τιμολόγια, τα οποία είναι:

Ημέρα Πληρωμής Αξία(ki) (δi)Τιμ. 1 1/3/2000 100.000Τιμ. 2 10/3/2000 80.000 10Τιμ. 3 20/3/2000 60.000 20Τιμ. 4 30/3/2000 60.000 30

Εφαρμόζοντας τον τύπο έχουμε

000.60000.60000.80000.10030000.6020000.6010000.800000.100

+++×+×+×+×=d

000.300000.800.3=d

666666,12=d

Αν «κόψουμε» την επιταγή μας με λήξη 14/3/2000 και αξία 300.000 προκύπτουν 90δρχ χρεωστικοί τόκοι, αν όμως την κόψουμε με 13/3/2000 προκύπτουν 70 δρχ πιστωτικοί τόκοι. Οπότε προτιμούμε τη στρογγυλοποίηση προς τα κάτω.

16