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1. Winkelfunktionen: Die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens gelten nur im rechtwinkligen Dreieck! γ γ γ = 90° ; a und b sind Katheten, c ist die Hypotenuse b a b a b a c c c = = = = = = Der „Sinus “ eines Winkels Der „Kosinus “ eines Winkels Der „Tangens “ eines Winkels im rechtwinkligen Dreieck im rechtwinkligen Dreieck im rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis aus ist das Verhältnis aus ist das Verhältnis aus Gegenkathete zu Ankathete zu Gegenkathete zu Hypotenuse. Hypotenuse. Ankathete 2. Sinussatz: Der Sinussatz gilt in jedem Dreieck! Er gilt also im spitzwinkligen, im rechtwinkligen und im stumpfwinkligen Dreieck. b a c In jedem Dreieck gilt: Der „Sinus eines Winkels“ zu seiner gegenüberliegenden Seite ist gleich dem „Sinus eines zweiten Winkels“ zu seiner gegenüberliegenden Seite. 3. Kosinussatz: Der Kosinussatz gilt in jedem Dreieck! Er gilt also im spitzwinkligen, im rechtwinkligen und im stumpfwinkligen Dreieck. b a c a² = b² + c² – 2·b·c·cos α Gesuchte Seite a liegt α gegenüber! b² = a² + c² – 2·a·c·cos ß Gesuchte Seite b liegt ß gegenüber! c² = a² + b² – 2·a·b·cos γ Gesuchte Seite c liegt γ gegenüber! In jedem Dreieck gilt: - Seite a zum Quadrat ist gleich Seite b zum Quadrat plus Seite c zum Quadrat minus 2 mal b mal c mal dem Kosinus von α. - Seite b zum Quadrat ist gleich Seite a zum Quadrat plus Seite c zum Quadrat minus 2 mal a mal c mal dem Kosinus von ß. - Seite c zum Quadrat ist gleich Seite a zum Quadrat plus Seite b zum Quadrat minus 2 mal a mal b mal dem Kosinus von γ. © H. Bauer γ α ß γ α ß γ α ß sin α a c sin ß b c cos α b c cos ß a c tan α a b tan ß b a γ α ß sin α a = sin ß b = sin γ c a sin α = b sin ß = c sin γ oder γ α ß Tri_U1 Merkblatt: Trigonometrie – Winkelfunktionen / Sinussatz / Kosinussatz Tipp: Beginne beim Sinussatz immer mit dem gesuchten Stück in der oberen Formel- zeile. Die folgende Umstellung ist dann leichter! Tipp: Stelle den Kosinussatz immer erst so auf wie du ihn unter dargestellt siehst, egal ob eine Seite oder ein Winkel gesucht ist! Ein umgestellter Kosinussatz: a² = b² + c² – 2·b·c·cos α wird zu c b a c b ⋅ ⋅ - + = 2 cos 2 2 2 α
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1. Winkelfunktionen: Die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens gelten nur im rechtwinkligen Dreieck! γγγγ = 90° ; a und b sind Katheten, c ist die Hypotenuse
b a b a b a
c c c = = = = = =
Der „Sinus“ eines Winkels Der „Kosinus“ eines Winkels Der „Tangens“ eines Winkels im rechtwinkligen Dreieck im rechtwinkligen Dreieck im rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis aus ist das Verhältnis aus ist das Verhältnis aus Gegenkathete zu Ankathete zu Gegenkathete zu Hypotenuse. Hypotenuse. Ankathete
2. Sinussatz: Der Sinussatz gilt in jedem Dreieck! Er gilt also im spitzwinkligen, im rechtwinkligen und im stumpfwinkligen Dreieck. b a
c
In jedem Dreieck gilt: Der „Sinus eines Winkels“ zu seiner gegenüberliegenden Seite ist gleich dem „Sinus eines zweiten Winkels“ zu seiner gegenüberliegenden Seite.
3. Kosinussatz: Der Kosinussatz gilt in jedem Dreieck! Er gilt also im spitzwinkligen, im rechtwinkligen und im stumpfwinkligen Dreieck. b a c a² = b² + c² – 2·b·c·cos α Gesuchte Seite a liegt α gegenüber! b² = a² + c² – 2·a·c·cos ß Gesuchte Seite b liegt ß gegenüber! c² = a² + b² – 2·a·b·cos γγγγ Gesuchte Seite c liegt γ gegenüber!
In jedem Dreieck gilt: - Seite a zum Quadrat ist gleich Seite b zum Quadrat plus Seite c zum Quadrat minus 2 mal b mal c mal dem Kosinus von α. - Seite b zum Quadrat ist gleich Seite a zum Quadrat plus Seite c zum Quadrat minus 2 mal a mal c mal dem Kosinus von ß. - Seite c zum Quadrat ist gleich Seite a zum Quadrat plus Seite b zum Quadrat minus 2 mal a mal b mal dem Kosinus von γγγγ. © H. Bauer
γγγγ
α
ß
γγγγ
α
ß
γγγγ
α
ß
sin α
a c
sin ß
b c
cos α
b c
cos ß
a c
tan α
a b
tan ß
b a
γγγγ
α
ß
sin α a
=
sin ß b
=
sin γγγγ c
a sin α
=
b sin ß
=
c
sin γγγγ oder
γγγγ
α
ß
Tri_U1 Merkblatt: Trigonometrie – Winkelfunktionen / Sinussatz / Kosinussatz
Tipp: Beginne beim Sinussatz immer mit dem gesuchten Stück in der oberen Formel-zeile. Die folgende Umstellung ist dann leichter!
Tipp: Stelle den Kosinussatz immer erst so auf wie du ihn unter dargestellt siehst, egal ob eine Seite oder ein Winkel gesucht ist!
Ein umgestellter Kosinussatz: a² = b² + c² – 2·b·c·cos α wird zu
cb
acb
⋅⋅−+=
2cos
222
α
![Kapitel 5 | Trigonometrie · Kapitel 5 | Trigonometrie De nition 5.1 (Winkelfunktionen) Name D W Sinus sin R [ 1;1] Cosinus cos R [ 1;1] Tangens tan R nf2k+1 2 ˇjk2Z g R Cotangens](https://static.fdocument.org/doc/165x107/5e09aa41c36eb245c90b5343/kapitel-5-trigonometrie-kapitel-5-trigonometrie-de-nition-51-winkelfunktionen.jpg)
