Theoria Ton Paignion
25
1 ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. Γενικά Σε μαθήματα όπως η επιχειρησιακή έρευνα και ή λήψη αποφάσεων αναφέραμε τις αποφάσεις κάτω από συνθήκες βεβαιότητας, στις οποίες και εφαρμόζονται κυρίως οι τεχνικές της επιχειρησιακής έρευνας. Επίσης, σε αυτά τα μαθήματα μελετήθηκαν οι αποφάσεις κάτω από συνθήκες κινδύνου, στις οποίες γνωρίζουμε τις πιθανότητες εμφάνισης των διαφόρων καταστάσεων της φύσης, και σε συνέχεια ασχοληθήκαμε με βασικές έννοιες της θεωρίας των πιθανοτήτων, το θεώρημα του Bayes, τα δένδρα αποφάσεων και την διαδικασία Markov. Υπάρχει όμως και μια ιδιαίτερη κατηγορία αποφάσεων κάτω από συνθήκες αβεβαιότητας που αφορούν τα προβλήματα ανταγωνισμού ή συγκρούσεων. Τα προβλήματα αυτά δημιουργούνται όταν η αποτελεσματικότητα εφαρμογής μιας απόφασης που παίρνει ένα πρόσωπο Α (ή μία ομάδα προσώπων Α) περιορίζεται εξαιτίας της εφαρμογής μιας απόφασης που παίρνει άλλο πρόσωπο Β (ή ομάδα προσώπων Β). Το χαρακτηριστικό λοιπόν γνώρισμα αυτών των αποφάσεων είναι ότι ούτε ο Α ούτε ο Β μπορούν να επιτύχουν τον αντικειμενικό στόχο που επιδιώκουν, εφαρμόζοντας τη μια ή την άλλη στρατηγική (όπως, αντίθετα, συμβαίνει στα προβλήματα π.χ. γραμμικού προγραμματισμού, όπου επιλέγεται η στρατηγική με την οποία πραγματοποιείται ο αντικειμενικός στόχος της μεγιστοποίησης του κέρδους ή ελαχιστοποίησης του κόστους κτλ.). Τα προβλήματα αυτά λέγονται προβλήματα «παιγνίων», και για την αντιμετώπιση τους αναπτύχθηκε η «θεωρία των παιγνίων» (Game Theory). Η θεωρία των παιγνίων διατυπώθηκε για πρώτη φορά από τους μαθηματικούς Gardan, Pascal, Galileo, Waldergrave τον XVII και XVIII αιώνα και χρησιμοποιήθηκε κυρίως για την επίλυση προβλημάτων στρατιωτικής φύσης. Η σημερινή όμως εξέλιξη της θεωρίας των παιγνίων οφείλεται στον John von-Neumann (δημοσίευσε το 1944 το έργο «Theory and Practice of Games and Economic Behavior»), που σε συνεργασία με τον Oskar Morgenstern δημοσίευσε το 1947 το γνωστό έργο «Η θεωρία των παιγνίων και η οικονομική συμπεριφορά», (Theory of Games and Economic Behavior). Σύμφωνα με τη θεωρία αυτή, η οικονομική ζωή είναι ένα παιχνίδι παικτών, που ο καθένας παίζει για δικό του λογαριασμό (μπορεί και να συνάψει συμμαχία με άλλους), προβλέπει δε να εξασφαλίσει το μεγαλύτερο κέρδος ή την ελάχιστη ζημία έναντι του άλλου (ή άλλων παικτών). Έτσι και η επιχείρηση επιδιώκει, εφαρμόζοντας διάφορες στρατηγικές, ορισμένους αντικειμενικούς στόχους που συγκρούονται με τους στόχους άλλης (ή άλλων επιχειρήσεων). Εκείνο που βασικά προσφέρει η θεωρία των παιγνίων στον οικονομολόγο (ή τον πολιτικό ή τον στρατιωτικό) δεν είναι τόσο ο καθορισμός μιας κάποιας στρατηγικής που θα επιλέξει, διότι το πεδίο εφαρμογής της είναι περιορισμένο, αλλά κυρίως ένα τρόπο σκέψης, γιατί αυτή καθεαυτή η θεωρία των παιγνίων είναι μια αυστηρή λογική, ένα ορθολογισμός, καθώς και ένα καλύτερο σημείο εκκίνησης για την έρευνα και μελέτη των πολύπλοκων και δύσκολων προβλημάτων ανταγωνισμού ή συγκρούσεων .
-
Upload
nikos-kasimatis -
Category
Documents
-
view
12 -
download
2
description
οικονομια
Transcript of Theoria Ton Paignion
1 I. , ., , , ,Bayes, Markov. . () ( ). , (,, .. , .). , (Game Theory). Gardan,Pascal,Galileo,WaldergraveXVIIXVIII . John von-Neumann (1944TheoryandPracticeofGamesandEconomic Behavior),OskarMorgenstern1947 ,(Theoryof GamesandEconomicBehavior)., , ( ), (). ,, ( ). () , ,, ,, . 2 II. , : ) . )( ) . , . , :, ' () . , , . : ) . ( ) ( ) , . . (zero-sum games) . ) (non zero-sum games). ., ,, 0. .., , , . . III.(Two-person,zero-sum games) , . : 3 74: ( ). : i=() .Yj= .A(aij) = () i-j.i=i( ).qj = j ( ). () ( ). . , (purestrategy)., ,, , (mixed-strategy), , , . ( ), (value of the game). ( ),,V. 4 ,V, ( ). , V < 0, ,V>0, , , V =0, . ', minimax-maximin(Wald). minimax, ( ) ().,, ' , , . , . 1.(Strictlydeterminedgames)- : . , :1: . 2: . 3: . : 1: . 2: . , ( ) ( ): (. ) . , 5 (. ) . : , (.) 1 2 3. 1. 2 1. 2 3. 3 1 11. , . :' , , . minimax, . minimax . ( 3) 1 ( ), ( 1) 1 ( , ' ). (maximin strategy), 6 ()(maximinvalue)., (minimaxstrategy), ()(minimaxvalue). , V, : () V ( ) : ( ) = = 1 (saddle point), , (3,1) .,V,1(1 ) . , , ,,(31 ). , ( X3 = 1.0) ( 1 = 1.0). , V, (a3l=1), ( ). ( . ). 7 : () 3 3 2 ( )(ii) 1 1 3 1 ( )(iii) 1 1 0 ( ) 2.(Non-strictlydeterminedgames)- , , . 8 : maxinin, 2, 7. , 1, 9. ,, 1 1 ( 2). , , 2, 6 ( 9) . , , . . ,,, ,, .p1, p2, ... , pm q1, q2, ,qn , (. ), : minimax, , . pi, ,qj, 9 . , .. , , . , . , ..,maximin : minimax : , : () ( ). i j} ,, () , V, : = = V. ( ) . . , : 2x2 ( ). m x 2 2 x n ( ). 2x2 m x 2 2 x . m x n ( ). ) 2x2 . 10
2x2 11 ,1p1=p22. 1, (.) : ./1 =(p1 x 9) +[(1 p1)x7] =9p1 +7 7p1 =2p1 +7 , 2 : ./2 =(p1x6) +[(1 1) x11] =-5p1 +11 , ,./1./2 : 2p1 +7 =-5p1 +117p1=4 1 =4/7 1 p1 =3/7=p2. , 1 2 4:3, , V, : 91 +7(1 p1) =(9 x 4/7) +(7 x 3/7) =57/7 =8.14 :q1 1. , 1 q1 =q2 2. 1, (.): ./2 =(q1x 9) +[(1 q1) x 6] =9q1 +6 - 6q1 =3q1 +6 , 2, : ./2 =(q1 x 7) +[(1 q1) x 11] =7q1+11 - 11q1 =-4q1 +11 : ./1 = ./2 3q1+6 =-4q1+11 7q1=5 q1 =5/7, 1 q1 =2/7 =q2 ,1 2, 5:2. : V =(9x5/7) +(6x2/7) =57/7=8.14 8.14,8.14( 11 ). ( 2 x 2), ,,, .2x2 : 8.14,8.14( ).(2x2), ,,, .2x2 : :
q1 =q,q2 =1 - q p1 =p, p2 =1 - p 1 2, q1 q2 V : ,(1),, : 1, 1 - 2. B 1, : ./1 =a p +(1 - p) c =a p +c-c p : ./2 =b p +(1 - p) d =b p +d-d p : ./1 = ./2 :a p +c - c p =b p +d- d p a p - c p - b p +d p =d - cp (a - c - b +d) =d - cp =d-c/a+b-d-c... 2x212 : : ./1=2p1 +7(1) p1 = 1 (. 1), : ./1 =9 p1 = 0 (. 2), : ./1 =7 , : ./2 =-5p1 +11 (2) : p1 = 1, ./2 =6p1 = 0, ./2 =11 (1)(2) , . ( 1) , (2) . p1, 1 (1) (2). V , p, 0 1. 13 minimax, . V.V, : = V = 8.14 p1 =4/7, p2 =3/7 , ( 4/7 , 3/7 ). : , : : ./1 =3q1 +6 q, = 1, : ./1 =9 q, = 0, : ./1 =6 ./2 =-4q1 +11 q1 = 1, : ./2 =7 q1 = 0, : ./2 =1114 . 'V , () q1 0 1. minimax, . V. , V = 8.14 () ( 5/7 , 2/7 ). ) , . ,, ,, 2x2 ( ) mx2 2xn ( ). : 15 ) :( ) , , ' ( ). ): ,' . : 2x2, : 16 ) m x 2 2 x n ,. . ,, ( )., 2x2 : (1); : 2x2, , : ./1=p1 +(1-p1) 4=-3p1 +4 (1) p1 =1, ./1 =1 p1 =0, ./1 =4 ./2=4p1 +(1-p1) 3=p1 +3 (2) p1 =1, ./2 =4 p1 =0, ./2 =3 ./3=5p1 +(1-p1)=4p1 +1 (3) p1 =1, ./3 =5 p1 =0, ./3 =1 17 , ,, , . , V" V,( , ). V V =2.70 A (3/7, 4/7). , V (1, 3). maximin , (1) (3), (2), 0. 2 x 2, : , , , : 18 , (4/7,3/7). (2): : : ./1 =(-6p1) +[(1 p1) x (-5)] =-p1 - 5(1) p1=1,./1 =-6 p1=0,./1 =-5 ./2 =(-3p1) +[(1 p1) x (-6)] =3p1 - 6 (2) p1=1,./2 =-3 p1=0,./2 =-6 ./3 =(-8p1) +[(1 p1) x (-4)] =-4p1 - 4(3) p1=1,./3 =-8 p1=0,./3 =-4 ./2 =(-7p1) +(1 p1)=-8p1 +1 (4) p1=1,./4 =-7 p1=0,./4 = 1 19 .,, , V. V(1,2), , V = -5,25 ( ) ,p1=0.25=1/4p2=0.75=3/4. 2x2, . : q1 =3/4 q2 =1/4 V=-5.25 , (3/4,1/4). ) m n ( Simplex) : 20 2, , *: , ., , , V* (V**,V )p1, p2, p3 1, 2, 3, : 4p1+p2+p3V* 3p1+4p2+p3V* 4p1+p2+2p3V* p1+p2+p3=1 V* : p1/V*=x1, p2/V*=x2, p3/V*=x3, : 4x1+x2+x31 3x1+4x2+x31 x1+x2+2x31 x1+x2+x3=1/V* 21 V* 1/V*., , : x1, x2, x3 : 4x1+x2+x3- x4 +x7 =1 3x1+4x2+x3 - x5+x8=1 x1+x2+2x3 -x6+x9=1 : : max z=V
V . . , , , V* q1 q2,q3,1,2,3, : V* 22 q1/V*=y1, q2/V*=y2, q3/V*=y3, : V* 1/V* . y4, y5, y6 : y1, y2,y3 : : simplex , , , . I ( simplex) 23 II III
24 IV ( ) (IV) : : (1/3, 3/13, 9/13). , IV , ( 4, 5, 6), : X1=3/22, X2=1/22, X3=9/22 25 ,(3/13, 1/13, 9/13). ,V,V*=-2, V=(22/13)-2 =4/13( : 4/13 o A: -4/13).
![[B][Lukeiou] Mathimatika Kateuthinsis Kefalaio 3 - Theoria-Askiseis](https://static.fdocument.org/doc/165x107/54507bedaf795929148b4909/blukeiou-mathimatika-kateuthinsis-kefalaio-3-theoria-askiseis.jpg)
