Theoretische Physik III: Quantenmechanik

Prof. F.Wegner, Universitat Heidelberg, SS043. Ubungsblatt, Prasenzubung 7.05.04, Hausaufgaben Abgabetermin: 10.05.04

P2. Gauss’sches WellenpaketEine allgemeine Losung eines 1–dim.Hamilton Operators H(p, x) zu beliebi-gen Anfangsbedingung ψ0 laßt sich mitHilfe des Propagators K(x, x′, t) wie folgtausdrucken:

P2. Gaussian wave packetA general solution of a 1–d HamiltonianH(p, x) for an arbitrary initial conditionψ0 can be expressed in terms of the prop-agator K(x, x′, t) as follows

ψ(x, t) =∫

dx′K(x, x′, t)ψ0(x′) .

i) Zeigen Sie daß der Propagator folgendeEigenschaften erfullen muß

i) Show that the propagator has to meetwith the following conditions

(

ihd

dt−H(p, x)

)

K(x− x′, t) = 0 , t ≥ 0

K(x− x′, 0) = δ(x− x′) .

ii) Finden Sie den Propagator eines freienTeilchens, benutzen Sie dabei die Losungvon H2.

ii) Find the propagator of a free particle.Use the solution of H2.

ψ(x, t) =

√

σ

∆√2π

exp[

− 1

4∆(x0 − x+ 2iσ2p0/h)

2 − σ2p20/h2 + ix0p0/h

]

∆ = σ2 + iht

2m

und verandern Sie die Anfangsbedingungentsprechend. Benutzen Sie die Darstel-lung der δ– Distribution

and modify the initial condition appropri-ately. Use the representation of the δ–distribution

δ(x) = limt→0

1√2πt

exp

(

−x2

2t

)

.

H6. WahrscheinlichkeitsstromdichteBerechnen Sie die Stromdichte fur die 1–dWellenfunktion

H6. Probability current densityCalculate the current density for the 1–dwave function

ψ(x) = c1 exp(ikx) + c2 exp(−ikx) , c1, c2 complex . (2P)

H7. Virialsatz und Ehrenfest’schesTheoremGegeben sei der Hamiltonoperator

H7. Virial theorem and EhrenfesttheoremConsider the Hamilton operator

H =p2

2m+ V (x)

i) Beweisen Sie fur einem stationaren Zu-stand |ψ〉 den Virialsatz

i) prove for a stationary state |ψ〉 the virialtheorem

〈ψ|p2|ψ〉 = m〈ψ|x · ∇V (x)|ψ〉 . (2P)

ii) Beweisen Sie fur den Drehimpuls L =r× p das zweite Ehrenfest’sche Theorem

ii) Prove for the angular momentum L =r× p the second theorem of Ehrenfest

d

dt〈L〉 = −〈r×∇V 〉 . (2P)

H8. KumulantenDie charakteristische Funktion

H8. CumulantsThe generating function

χ(τ) =∫

dx exp(−iτx)w(x)

einer Wahrscheinlichkeitsverteilung w(x)erzeugt das n–te Moment 〈xn〉 derVerteilung durch die Vorschrift

of a probability distribution w(x) gener-ates the n–th moment of the distributionthrough the rule

〈xn〉 = indn

dτnχ(τ)

∣

∣

∣

τ=0.

Eine andere nutzliche Große sind die Ku-mulanten Cn, die sich aus dem Loga-rithmus der charakteristischen Funktionableiten lassen

Another useful quantity are the cumulantsCn, which are generated by the logarithmof the generating function

Cn = indn

dτnlnχ(τ)

∣

∣

∣

τ=0.

i) Drucken Sie C1, C2, C3 durch die Mo-mente aus. (3 P)ii) Bestimmen Sie alle KumulantenC1 . . . C∞ der Gaußverteilung

i) Express C1, C2, C3 in terms of the mo-ments. (3 P)ii) Derive all cumulants C1 . . . C∞ of theGaussian distribution

w(x) =1

σ√2π

exp

(

−(x− x0)2

2σ2

)