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The 8 th Romanian Master of Mathematics Competition D´ ıa 2: S´ abado, 27 de febrero del 2016, Bucarest Language: Spanish Problema 4. Sean x y y reales positivos tales que x + y 2016 ≥ 1. Pruebe que x 2016 + y> 1 - 1/100. Problema 5. Un hex´ agono convexo A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3 est´ a inscrito en una circunferencia Ω de radio R. Las diagonales A 1 B 2 , A 2 B 3 y A 3 B 1 concurren en X . Para i =1, 2, 3, sea ω i la circunferencia tangente a los segmentos XA i y XB i , y al arco A i B i de Ω que no contiene otros v´ ertices del hex´ agono; sea r i el radio de ω i . (a) Pruebe que R ≥ r 1 + r 2 + r 3 . (b) Si R = r 1 + r 2 + r 3 , pruebe que los seis puntos de tangencia de las circunferencias ω i con las diagonales A 1 B 2 , A 2 B 3 , A 3 B 1 son conc´ ıclicos. Problema 6. Un conjunto de n puntos en el espacio euclidiano tridimen- sional, que no contiene cuatro puntos coplanares, es particionado en dos subconjuntos A y B. Un AB-´arbol es una configuraci´ on de n - 1 segmen- tos, cada uno de los cuales tiene un extremo en A y el otro en B, tal que no existe un subconjunto de segmentos que formen un ciclo. Un AB-´ arbol es transformado en otro de la siguiente forma: escogemos tres segmentos distintos A 1 B 1 , B 1 A 2 y A 2 B 2 en el AB-´ arbol tales que A 1 est´ a en A y A 1 B 1 + A 2 B 2 >A 1 B 2 + A 2 B 1 , y quitamos el segmento A 1 B 1 para reem- plazarlo por el segmento A 1 B 2 . Dado cualquier AB-´ arbol, pruebe que toda secuencia de transformaciones sucesivas termina (ninguna transformaci´ on adicional es posible) despu´ es de un n´ umero finito de pasos. Cada uno de los tres problemas vale 7 puntos. Tiempo permitido 4 1 2 horas.
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The 8th Romanian Master of Mathematics Competition
Dıa 2: Sabado, 27 de febrero del 2016, Bucarest
Language: Spanish
Problema 4. Sean x y y reales positivos tales que x + y2016 ≥ 1. Pruebeque x2016 + y > 1− 1/100.
Problema 5. Un hexagono convexo A1B1A2B2A3B3 esta inscrito en unacircunferencia Ω de radio R. Las diagonales A1B2, A2B3 y A3B1 concurrenen X. Para i = 1, 2, 3, sea ωi la circunferencia tangente a los segmentos XAi
y XBi, y al arco AiBi de Ω que no contiene otros vertices del hexagono; seari el radio de ωi.
(a) Pruebe que R ≥ r1 + r2 + r3.
(b) Si R = r1 + r2 + r3, pruebe que los seis puntos de tangencia de lascircunferencias ωi con las diagonales A1B2, A2B3, A3B1 son concıclicos.
Problema 6. Un conjunto de n puntos en el espacio euclidiano tridimen-sional, que no contiene cuatro puntos coplanares, es particionado en dossubconjuntos A y B. Un AB-arbol es una configuracion de n − 1 segmen-tos, cada uno de los cuales tiene un extremo en A y el otro en B, tal queno existe un subconjunto de segmentos que formen un ciclo. Un AB-arboles transformado en otro de la siguiente forma: escogemos tres segmentosdistintos A1B1, B1A2 y A2B2 en el AB-arbol tales que A1 esta en A yA1B1 + A2B2 > A1B2 + A2B1, y quitamos el segmento A1B1 para reem-plazarlo por el segmento A1B2. Dado cualquier AB-arbol, pruebe que todasecuencia de transformaciones sucesivas termina (ninguna transformacionadicional es posible) despues de un numero finito de pasos.
Cada uno de los tres problemas vale 7 puntos.
Tiempo permitido 4 12 horas.
