Terminale S/Annales sur les nombrescomplexes

1.Algèbre :

Exercice 3190

Partie A. Restitution organisée de connaissances

Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants :Si z est un nombre complexe non nul, on a l’équivalencesuivante :|z| = r

arg z = θ à 2π près⇐⇒

z = r

(cos θ + i sin θ

)r > 0

Pour tous nombres réels a et b :cos

(a+b

)= cos a cos b− sin a sin b

sin(a+b

)= sin a cos b+ sin b cos a

Soient z1 et z2 deux nombres complexes non nuls.Démontrer les relations :|z1z2| = |z1| · |z2| ; arg(z1·z2)=arg(z1)+arg(z2) à 2π près.

Partie B

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse etproposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dansle cas d’une proposition fausse, la démonstration consistera àfournir un contre-exemple. Une réponse sans démonstrationne rapporte pas de point.

On rappelle que si z est un nombre complexe, z désigne leconjugué de z et z désigne le module de z :

1. Si z=−1

2+1

2·i, alors z4 est un nombre réel.

2. Si z+z=0, alors z=0.

3. Si z+1

z=0, alors z=i ou z=−i.

4. Si |z|=1 et si |z+z′|=1, alors z′=0.

Exercice 3122

Le plan (P ) est muni du repère orthonormal direct(O ; I ; J

)(unité graphique : 2 cm). A tout point M du plan (P ) estassocié le nombre complexe z, affixe du point M .

1. a. Déterminer le module et un argument de chacundes nombres complexes :

z1 = −1 ; z2 =1− i

√3

2; z3 = −1− i

√3.

b. Déterminer le module et un argument de chacun descubes z1

3, z23, z33 des nombres complexes ci-dessus,puis la partie réelle et la partie imaginaire de z1

3, dez2

3, de z33.

2. a. Si z=x+i·y=ρ·eiθ est un nombre complexe (avec yet θ réels et ρ réels supérieur à zéro), déterminer lapartie réelle et la partie imaginaire de z3 en fonctionde x et de y, puis le module et un argument de z3 enfonction de ρ et θ.

b. Déterminer l’ensemble (E) des points M d’affixe z

caractérisé par : z3 est un nombre réel.

c. Déterminer et tracer l’ensemble (E′) des points M

d’affixe z, caractérisé par : z3 est un nombre réel et1⩽z3⩽8.

2.Géométrie sans les propriétés de l’argument :

Exercice 5430

Le plan complexe est muni d’un repère(O ;−→u ;−→v)

or-thonormé direct.

On note i le nombre complexe tel que : i2=−1.

Soit A le point d’affixe zA=1 et B le point d’affixe zB=i.

A tout point M d’affixe zM =x+iy, avec x et y deux réelstels que y =0, on associe le point M ′ d’affixe :

zM ′ = −i·zMOn désigne par I le milieu du segment [AM ].

Le but de l’exercice est de montrer que pour tout point Mn’appartient pas à (OA), la médiane (OI) du triangle OAMest aussi une hauteur du triangle OBM ′ (propriété 1) et que

Terminale S - Annales sur les nombres complexes - https ://chingatome.fr

BM ′=2·OI (propriété 2).

1. Dans cette question et uniquement dans cette question,on prend : zM =2·e−i

π3 .

a. Déterminer la forme algébrique de zM .

b. Montrer que zM ′ =−√3−i. Déterminer le module et

un argument de zM ′ .

c. Placer les points A, B, M , M ′ et I dans le repère(O ;−→u ;−→v)

en prenant 2 cm pour unité graphique.Tracer la droite (OI) et vérifier rapidement les pro-priétés 1 et 2 à l’aide du graphique.

2. On revient au cas général en prenant zM =x+iy avecy =0.

a. Déterminer l’affixe du point I en fonction de x et y.

b. Déterminer l’affixe du point M ′ en fonction de x et y.

c. Ecrire les coordonnées des points I, B et M ′.

d. Montrer que la droite (OI) est une hauteur du triangleOBM ′.

e. Montrer que : BM ′ = 2·OI.

Exercice 6262

On note C l’ensemble des nombres complexes.Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé(O ;−→u ;−→v). On prendra comme unité 2 cm sur chaque axe.

Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré etcomplété au fur et à mesure des questions.

On considère la fonction f qui à tout nombre complexe zassocie :

f(z) = z2 + 2·z + 9

1. Calculer l’image de −1+i·√3.

2. Résoudre dans C l’équation : f(z)=5.Ecrire sous forme exponentielle les solutions de cetteéquation

Construire alors sur le graphique, à la règle et au com-pas, les points A et B dont l’affixe est solution del’équation (A étant le point dont l’affixe a une partieimaginaire positive).On laissera les traits de construction apparents.

3. Soit λ un nombre réel. On considère l’équation f(z)=λd’inconnue z.Déterminer l’ensemble des valeurs de λ pour lesquellesl’équation f(z)=λ admet deux solutions complexes con-juguées.

4. Soit (F ) l’ensemble des points du plan complexe dontl’affixe z vérifie : |f(z)−8|=3

Prouver que (F ) est le cercle de centre Ω(−1 ; 0) et derayon

√3.

Tracer (F ) sur le graphique.

5. Soit z un nombre complexe, tel que z=x+i·y où x et ysont des nombres réels.

a. Montrer que la forme algébrique de f(z) est :(x2 − y2 + 2·x+ 9

)+ i·

(2·x·y + 2·y

).

b. On note (E) l’ensemble des points du plan complexedont l’affixe z est telle que f(z) soit un nombre réel.

Montrer que (E) est la réunion de deux droites D1 etD2 dont on précisera les équations.Compléter le graphique de l’annexe en traçant cesdroites.

6. Déterminer les coordonnées des points d’intersection desensembles (E) et (F ).

Exercice 6778

Le plan complexe est rapporté à un repère(O ;−→u ;−→v)

or-thonormé direct.On considère le point A d’affixe 4, le point d’affixe 4·i et lespoints C et D tels que ABCD est un carré de centre O.Pour tout entier naturel non-nul n, on appelle Mn le pointd’affixe : zn =

(1 + i

)n.

1. Ecrire le nombre 1+i sous forme exponentielle.

2. Montrer qu’il existe un entier naturel n0, que l’on pré-cisera, tel que, pour tout entier n⩾n0, le point Mn està l’extérieur du carré ABCD.

Exercice 6779

On munit le plan complexe d’un repère(O ;−→u ;−→v)

or-thonormé direct.

On note C l’ensemble des points M du plan d’affixe z telsque :

∣∣z−2∣∣=1

1. Justifier que C est un cercle, dont on précisera le centreet le rayon.

2. Soit a un nombre réel. On appelle D la droite d’équationy=a·x.Déterminer le nombre de points d’intersection entre Cet D en fonction des valeurs de a.

Exercice 6777

Le plan est muni du repère orthonormé direct(O ;−→u ;−→v).

On donne le nombre complexe : j=−1

2+i·

√3

2

Le but de cet exercice est d’étudier quelques propriétés dunombre j et de mettre en évidence un lien de ce nombre avecles triangles équilatéraux.

Partie A : propriétés du nombre j

1. a. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexesl’équation :z2 + z + 1 = 0

b. Vérifier que le nombre complexe j est une solution decette équation.

2. Déterminer le module et un argument du nombre com-plexe j, puis donner sa forme exponentielle.

3. Démontrer les égalités suivantes :

a. j3 = 1 b. j2 = −1− j

4. On note P , Q, R les images respectives des nombrescomplexes 1, j et j2 dans le plan.Quelle est la nature du triangle PQR? Justifier laréponse.

Partie B

Terminale S - Annales sur les nombres complexes - https ://chingatome.fr

Soit a, b, c trois nombres complexes vérifiant l’égalité :a+ j·b+ j2·c = 0

On nota A, B, C les images respectives des nombres a, b, cdans le plan.

1. En utilisant la question A 3. b. , démontrer l’égalité :

a− c = j·(c− b

)2. En déduire que : AC=BC

3. Démontrer l’égalité : a−b=j2·(b−c

)4. En déduire que le triangle ABC est équilatéral.

3.Géométrie avec argument :

Exercice 3852

Pour chaque question, une seule des trois propositions estexacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de laquestion et la lettre correspondant à la réponse choisie. Au-cune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacteenlève 0,25 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point.Sit le total est négatif, la note est ramenée à zéro.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé dorectd’origine O.

1. Une solution de l’équation 2·z+z=9+i est :

a. 3 b. i c. 3 + i

2. Soit z un nombre complexe ; |z+i| est égal à :

a. |z|+ 1 b. |z − 1| c. |i·z + 1|

3. Soit z un nombre complexe non nul d’argument θ. Un

argument de−1+i·

√3

zest :

a. −π

3+ θ b.

2π

3+ θ c.

2π

3− θ

4. Soit n un entier naturel. Le complexe(√

3+i)n est un

imaginaire pur si, et seulement si :

a. n = 3

b. n = 6·k + 3, avec k relatif

c. n = 6k avec k relatif

5. Soit A et B deux points d’affixe respective i et −1.L’ensemble des points M d’affixe z vérifiant |z−i|= |z+1|est :

a. La droite (AB)

b. Le cercle de diamètre [AB]

c. La droite perpendiculaire à (AB) passant par O.

6. Soit Ω le point d’affixe 1−i. L’ensemble des points Md’affixe z=x+i·y vérifiant |z−1+i|= |3−4·i| a pour équa-tion :

a. y = −x+ 1

b. (x− 1)2 + y2 =√5

c. z = 1− i + 5·ei·θ

7. Soient A et B les points d’affixes respectives 4 et 3·i.L’affixe du point C tel que le triangle ABC soit isocèle

avec(−−→AB ;

−→AC

)=

π

2est :

a. 1− 4·i b. −3·i c. 7 + 4·i

8. L’ensemble des solutions dans C de l’équationz−2z−1

=z

est :

a.1−i

b. L’ensemble vide. c.

1−i ; 1+i

Exercice 6085

Le plan est rapporté au repère orthonormal(O ;−→i ;−→j). Soit

A(1 ; 0) et B(−1 ; 0).

A tout point M d’affixe z =0, on associe le point M ′ d’affixez′ défini par : z×z′=1

1. a. Construire M ′ quand : z=2(1+i)

b. Dans le cas général, monter que la droite (AB) est

bissectrice de l’angleÄ−−→OM ;

−−−→OM ′

äet que :

OM×OM ′=OA2.

2. a. Vérifier que :

∀z∈C∗,(z + z′

2− 1

)(z + z′

2+ 1

)=

(z − z′

2

)2

b. Soit I le milieu de [MM ′]. En utilisant a. montrerque :IA×IB = IM2

et que pour M =A et M =B la droite (MM ′) est bis-

sectrice de l’angleÄ−→IA ;−→IBä

Exercice 3857

Le plan complexe est rapporté à un repère(O ;−→u ;−→v)

or-thonormal direct d’unité graphique : 4 cm.

On considère le point A d’affixe zA=2+i et le cercle (Γ) decentre A et de rayon

√2.

1. Faire une figure qui sera complétée tout au long del’exercice.

2. a. Déterminer les affixes des points d’intersection de

(Γ) et de l’axeÄO ;−→uä.

b. On désigne par B et C les points d’affixes respectiveszB=1 et zC=3. Déterminer l’affixe zD du point Ddiamétrialement opposé au point B sur le cercle (Γ).

3. Soit M le point d’affixe3

5+6

5·i

a. Calculer le nombre complexe :zD−zMzB−zM

.

b. Interpréter géométriquement l’argument du nombreTerminale S - Annales sur les nombres complexes - https ://chingatome.fr

zD−zMzB−zM

; en déduire que le point M appartient au

cercle (Γ).

4. On note (Γ′) le cercle de diamètre [AB]. La droite (BM)recoupe le cercle (Γ′) en un point N .

a. Montrer que les droites (DM) et (AN) sont parallèles.

b. Déterminer l’affixe du point N .

5. On désigne par M ′ l’image du nombre complexe z′ véri-fiant la relation :

z′ − zBzM − zB

= −i

a. Déterminer l’écriture algébrique du nombre complexez′.

b. Quelle est la nature du triangle MM ′B?

c. Montrer que le point M ′ appartient au cercle (Γ′).

4. Suites de complexes :

Exercice 6045

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé(O ;−→u ;−→v). Pour tout entier naturel n, on note An le point

d’affixe zn défini par :

z0 = 1 ; zn+1 =(34+

√3

4·i)·zn pour tout n∈N

On définit la suite(rn)

par :rn=|zn| pour tout entier naturel n.

1. Donner la forme exponentielle du nombre complexe :3

4+

√3

4·i.

2. a. Montrer que(rn)

est géométrique de raison√3

2.

b. En déduire l’expression de rn en fonction de n.

c. Que dire de la longueur OAn lorsque n tend vers +∞?

3. On considère la fonction f d’un algorithme suivant :

Fonction f(p)

r ← 1

n ← 0

Tant que r>p

n ← n+1

r ←√3

2R

Fin Tant que

Renvoyer n

a. Quelle est la valeur renvoyée par l’appel à la fonctionf avec la valeur 0,5 pour l’argument p?

b. Pour p=0,01, on obtient n=33. Quel est le rôle decette fonction?

4. a. Démontrer que le triangle OAnAn+1 est rectangleen An+1.

b. On admet que : zn = rn·ei·nπ6

Déterminer les valeurs de n pour lesquelles An est unpoint de l’axe des ordonnées.

c. Compléter la figure donnée ci-dessous en représentantles points A6, A7, A8 et A9.Les traits de construction seront apparents.

A1

A2A3

A4

A5

A0

O

Exercice 6904

On considère la suite(zn

)de nombres complexes définie pour

tout entier naturel n par :z0 = 0

zn+1 =1

2·i×zn + 5

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on noteMn le point d’affixe zn. On considère le nombre complexezA=4+2·i et A le point du plan d’affixe zA.

1. Soit(un

)la suite définie pour tout entier naturel n par :

un = zn − zA.

a. Montrer que, pour tout entier naturel n :

un+1 =1

2·i×un

b. Démontrer que, pour tout entier naturel n :

un =(12·i)n

·(−4− 2·i

)2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points A,

Mn et Mn+4 sont alignés.

Exercice 3170

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct(O ;−→u ;−→v). On prendra pour unité graphique 5 cm.

On pose z0=2 et, pour tout entier naturel n, zn+1=1+i

2zn.

On note An le point du plan d’affixe zn.

1. Calculer z1, z2, z3, z4 et vérifier que z4 est un nombre

Terminale S - Annales sur les nombres complexes - https ://chingatome.fr

réel.Placer les points A0, A1, A2, A3 et A4 sur une figure.

2. Pour tout entier naturel n, on pose : un= |zn|.Justifier que la suite (un) est une suite géométrique puisétablir que, pour tout entier naturel n :

un = 2·( 1√

2

)n

3. A partir de quel rang n0 tous les points An

appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1?

4. a. Etablir que, pour tout entier naturel n :zn+1 − zn

zn+1= i.

En déduire la nature du triangle OAnAn+1.

b. Pour tout entier naturel n, on note ℓn la longueur dela ligne brisée A0A1A2 . . . An−1An.On a ainsi : ℓn = A0A1 +A1A2 + · · ·+An−1An.Exprimer ℓn, en fonction de n. Quelle est la limite dela suite (ℓn)?

Exercice 6255

On définit, pour tout entier naturel n, les nombres complexesz par : z0 = 16

zn+1 =1 + i

2·zn pour tout entier naturel n.

On note rn le module du nombre complexe zn : rn = |zn|.Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct d’origineO, on considère les points An d’affixes zn.

1. a. Calculer z1, z2 et z3.

b. Placer les points A1 et A2 sur le graphique donné ci-dessous.

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

-2

2

4

6

8

A0

A3

A4

A5 A6

c. Ecrire le nombre complexe1+i

2sous forme trigono-

métrique.

d. Démontrer que le triangle OA0A1 est isocèle rectangleen A1.

2. Démontrer que la suite(rn)

est géométrique de raison√2

2.

La suite(rn)

est-elle convergente?Interpréter géométriquement le résultat précédent.

On note In la longueur de la ligne brisée qui relie le pointA0 au point An en passant successivement par les points A1,A2, A3. . .

Ainsi : Ln =n−1∑i=0

AiAi+1 = A0A1 +A1A2 + · · ·+An−1An

3. a. Démontrer que pour tout entier naturel n :

AnAn+1 = rn+1

b. Donner une expression de Ln en fonction de n.

c. Déterminer la limite éventuelle de la suite(Ln

).

Exercice 6349

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé di-rect.On considère l’équation :

(E) : z2 − 2·z·√3 + 4 = 0

1. Résoudre l’équation (E) dans l’ensemble C des nombrescomplexes.

2. On considère la suite(Mn

)des points d’affixes définie

pour n⩾1 par : zn = 2n·ei·(−1)n·π6 .

a. Vérifier que z1 est une solution de (E).

b. Ecrire z2 et z3 sous forme algébrique.

c. Placer les points M1, M2, M3 et M4 sur la figure don-née ci-dessous et tracer les segments [M1M2], [M2M3]et [M3M4].

3. Montrer que, pour tout entier n⩾1 :

zn = 2n·(√3

2+

(−1)n·i2

).

4. Calculer les longueurs M1M2 et M2M3.

Pour la suite de l’exercice, on admet que, pour tout entiern⩾1 : MnMn+1 = 2n·

√3.

5. On note ℓn = M1M2 +M2M3 + · · ·+MnMn+1.

a. Montrer que, pour tout entier naturel n⩾1 :ℓn = 2

√3·(2n − 1

).

b. Déterminer la plus petit entier n tel que : ℓn⩾1000.

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

Exercice 6937

On considère les nombres complexes zn définis, pour tout en-tier naturel n, par :

z0=1 ; zn+1 =(1 + i·

√3

3

)·zn

Terminale S - Annales sur les nombres complexes - https ://chingatome.fr

On note An le point d’affixe zn dans le repère(O ;−→u ;−→v)

orthonormé donné ci-dessous :

−→u

−→v

O A0

A1

A2

A3A4

A6

L’objet de cet exercice est d’étudier la construction des pointsAn.

1. a. Vérifier que : 1+i·√3

3=

2√3·eiπ6

b. En déduire z1 et z2 sous forme exponentielle.

2. a. Montrer que pour tout entier naturel n :

zn=

Ç2√3

ån

·ei·n·π6

b. Pour quelles valeurs de n, les points O, A0 et An sont-ils alignés?

3. Pour tout entier naturel n, on pose : dn=∣∣zn+1−zn

∣∣.a. Interpréter géométriquement dn.

b. Calculer d0.

c. Montrer que pour tout entier naturel n non nul :

zn+2 − zn+1 =(1 + i·

√3

3

)·(zn+1 − zn

).

d. En déduire que la suite(dn

)est géométrique puis que

pour tout entier naturel n :

dn =

√3

3·Ç

2√3

ån

4. a. Montrer que pour tout entier naturel n :∣∣zn+1

∣∣2 =∣∣zn∣∣2 + dn

2

b. En déduire que, pour tout entier naturel n, le triangleOAnAn+1 est rectangle en An.

c. Construire, à la règle non graduée et au compas, lepoint A5 sur la figure ci-dessus.

d. Justifier cette construction.

Exercice 6941

On veut modéliser dans le plan la coquille d’un nautile àl’aide d’une ligne brisée en forme de spirale. On s’intéresse àl’aire délimité par cette ligne.

On munit le plan d’un repère orthonormal direct(O ;−→u ;−→v).

Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Pour tout entier k al-lant de 0 à n, on définit les nombres complexes :

zk =(1 +

k

n

)·ei 2kπ

n

et on note Mk le point d’affixe zk.

Dans ce modèle, le pourtour du nautile est la ligne briséereliant tous les points Mk avec 0⩽k⩽n.Par exemple, pour les entiers n=6, n=10 et n=20, on ob-

tient les figures ci-dessous :

-2

-2

-1

-1

1

1

2

2

0 -2

-2

-1

-1

1

1

2

2

0 -2

-2

-1

-1

1

1

2

2

0

Partie A : Ligne brisée formée à partir de sept points

Dans cette partie, on suppose que n=6. Ainsi, pour 0⩽k⩽6,

on a : zk=(1+

k

6

)·ei 2kπ

6

1. Déterminer la forme algébrique de z1.

2. Vérifier que z0 et z6 sont des entiers que l’on détermin-era.

3. Calculer la longueur de la hauteur issue de M1 dans letriangle OM0M1 puis établir que l’aire de ce triangle est

égale à7√

3

24.

Partie B : Ligne brisée formée à partir de n+1 points

Dans cette partie, n est un entier supérieur ou égal à 2.

1. Pour tout entier k tel que 0⩽k⩽n, déterminer lalongueur OMk.

2. Pour k entier tel que 0⩽k⩽n−1, déterminer une mesure

des anglesÄ−→u ;−−−→OMk

äetÄ−→u ;−−−−−→OMk+1

ä.

En déduire une mesure de l’angleÄ−−−→OMk ;

−−−−−→OMk+1

ä.

3. Pour k entier tel que 0⩽k⩽n−1, démontrer que lalongueur de la hauteur issue de Mk+1 dans le triangle

OMkMk+1 est égale à(1+

k+1

n

)·sin

(2πn

).

4. On admet que l’aire du triangle OMkMk+1 est égale à :

ak =1

2· sin

(2πn

)·(1 +

k

n

)(1 +

k+1

n

)et que l’aire totale délimitée par la ligne brisée est égaleà : An=a0+a1+···+an−1

On considère la fonction f d’un algorithme donnée ci-dessous, prenant pour argument un entier n et renvoy-ant la valeur de la variable A correspondant à l’aire An

correspondant au rang n :

Fonction f(n)

A ← 0

Pour k allant de 0 à n−1A ← A+

1

2sinÄ2πn

äÄ1+

k

n

äÄ1+

k+1

n

äFin Pour

Renvoyer A

On appelle la fonction f avec la valeur 10 pourl’argument n.Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui recueilletoutes les valeurs prises les variables k et A lors de l’appelà la fonction f.

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A 0,323 0,711 1,170 1,705 2,322 3,027 3,826 4,726

5. On admet que A2=0 et que la suite(An

)converge et

que : limn7→+∞

An=7π

3≈7,3

Terminale S - Annales sur les nombres complexes - https ://chingatome.fr

Recopier et compléter la lignes ℓ.3 afin qu’à la fin de sonexécution, la valeur de la variable n représentant le pluspetit entier n tel que An⩾7,2. On ne demande pas dedéterminer n

ℓ.1 n ← 2

ℓ.2 1 ← 0

ℓ.3 Tant que ...

ℓ.4 n ← n+1

ℓ.5 A ← 0

ℓ.6 Pour k allant de 0 à n−1ℓ.7 A ← A+

1

2sinÄ2πn

äÄ1+

k

n

äÄ1+

k+1

n

äℓ.8 Fin Pour

ℓ.9 Fin tant que

Terminale S - Annales sur les nombres complexes - https ://chingatome.fr