5/11/2010

1

Teoría cinético molecular

Química 4042

1

Química 4042

Ileana Nieves Martínez

Tería Cinético molecular

Termodinámica (empírico)Macroscópico: P, V, ρ, T Independiente de modelo molecular

Teoría atómica molecular Interpretación macroscópica a base de

comportamiento de moléculas y átomos. Estructura, fuerza de interacción. Construcción de un modelo

2

Construcción de un modelo Usando leyes de mecánica clásica y mecánica estadística. Se usa para predecir propiedades macroscópicas y

compararlas con valores experimentales. Establecer si el modelo funciona.

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2

Modelo gas ideal

Hipótesis Un número grande de moléculas o partículas (masas-

punto) pequeñas separadas por una distancia mayorpunto) pequeñas separadas por una distancia mayor que el tamaño de las partículas. El tamaño del envase es mayor que el de las partículas.

Movimiento perpetuo y al azar en forma rectilínea en ausencia de campo eléctrico o gravitacional.

Choques elásticos que implican que la energía cinética antes del choque es igual a la energía cinética después del choque

3

cinética después del choque. No hay energía interna, esto es, la energía traslacional no se

transforma a energía vibracional ni a energía rotacional. Se conserva el momentum lineal.

El movimiento sigue la ley de Newton. (Sigue también las leyes de mecánica cuántica).

Ley de Newton.

F ma m

dv

dt

d mv

dt

dp

dt

dt dt dt

W

lz

4

ly

lx

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3

Definiciones vi

velocidad de una molécula i.

Es un vector y tiene componentes en el eje de x y z Es un vector y tiene componentes en el eje de x, y, z.

Puede ser positiva, negativa o cero.

Estos componentes (escalares) son:

Se expresan con la ecuación:

v v vx y zi i i, ,

v i v jv kvi x y zi i i

d d k

5

Magnitud de la velocidad es la rapidez (+, -, 0) y se calcula por:

donde i j y k son vectores unitarios,

v v v v v vi i i i i i 2

Definiciones (continuación)

En términos de los componentes de velocidad:

2

Visualización de choques contra la pared W:

v v v i v jv kv i v jv kv

v v v v

i i i x y z x y z

i x y z

i i i i i i

i i i

2

2 2 2 2

vyi

6

vyi

Plano x-z

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4

Ángulo y componente de velocidad El ángulo θ incidente es igual al reflejado.

El componente de velocidad en y antes es el negativo del componente después. Esto es:

Pero como la rapidez se relaciona a:

v vyantes

ydespues

i i

v v v vi x y zi i i

2 2 2 2

7

Ésta no cambia a pesar del cambio de dirección y tampoco cambia la energía cinética ya que:

i x y zi i i

tras imv 12

2

Aplicación del modelo para determinar presión.

pFuerza

Area

Suposiciones: No hay choques con otras moléculas

Solo se consideran choques con la pared denominada W, ya que son los que afectan el componente en y de la velocidad

8

componente en y de la velocidad.

El ciclo de movimiento está en el intervalo de tiempo desde t1 a t2 que se definen como antes del choque con W y antes del segundo choque con W, respectivamente.

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5

Componente del Vector de Fuerza

Determinación del componente de fuerza sobre la partícula i de masa m en el eje de y.p j y

Por lo tanto la fuerza que actúa sobre la partícula ies el negativo de la fuerza que actúa sobre la

d W f di i

F ma m

dv

dt

d mv

dt

dP

dty y

y y y

i i

i i i

9

pared W ya que son fuerzas en direcciones opuestas.

Componente del Vector de Fuerza Determinación de cambio en momentum.

Tiempo de la colisión es bien pequeño y se puede decir que es desde el tiempo t’ hasta el tiempo t”. El cambio en momentum en

l i t t d l h :el instante del choque es:

" "

' "

"

'

" '

yi

i i

yi

i i i

P t t

y y

P t t

t

y y y

t

dP F dt

P t P t F dt Integral de impulso

despues antes

10

"

'

"

'

2

i i i i

i i

t

y y y y

t

t

y y

t

despues antes

mv mv mv F dt

P F dt

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6

Componente del Vector de Fuerza

La fuerza sobre la partícula es el negativo de la fuerza sobre la pared esto es:de la fuerza sobre la pared, esto es:

F F

P mv F dt

w y

y y w

t

i i

i i i 2

'

"

11

mv F dt

t

y wt

t

i i2

'

'

"

Componente del Vector de Fuerza

El límite del integral se puede cambiar a t1 y t2(ciclo de movimiento) ya que el intervalo del ( ) y qchoque (t’ a t”) donde ocurre el cambio en momentum está dentro de t1 y t2 y el resto del tiempo la fuerza sobre la pared y la partícula es cero. Por lo tanto la ecuación anterior se puede re-escribir:

12

21

2

mv F dty wt

t

i i

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7

Definición de valor promedio/tiempo

F tt t

F t dtt

t

1

2 1 1

2

Promedio independiente de tiempo

1

FF

n

ii

n

1

13

n

Definición de valor promedio/tiempo Si se divide el tiempo desde t1 hasta t2 en

número infinito de intervalos Δt tendiendo a cero entonces la sumatoria se puede escribir:cero entonces la sumatoria se puede escribir:

12

1

1 1 1 2nF t F t t F t t F t F

multiplicando port

t

14

12

1

1 1 1 2

2 1 1

2

n tF t t F t t t F t t t F t t F

t tF t dt F t

t

t

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8

Definición de valor promedio/tiempo

2 1

Sustituyendo este resultado en la ecuación de canbio en momentum:

2 t

y w wmv F dt F t t 1

2 1

2 1

2 1

donde:

: es la fuerza promedio sobre la pared W por la partícula i en el inervalo

.

: es el ciclo de mo

i i i

i

y w w

t

wF

t t

t t vimiento o el tiempo o el tiempo que le toma a la molécula

i recorrer la distancia 2l en la dirección y Por lo tanto:

15

y

2 12 1

i recorrer la distancia 2l en la dirección y. Por lo tanto:

2 2

i

i

y y yy

y

d l lv t t

t t t v

Definición de valor promedio/tiempoSustituyendo este resultado en el integral de momentum

y despejando para: obtenemosiwF

2

2

que es la fuerza promedio sobre la pared

por una partícula. Para N partículas:

i

i

i

yw

y

N N

mvF

l

mF F v

16

1 1

i iw w yi iy

w

F F vl

F 2 2 2

1

1ya que:

i i i

N

y y yiy

mNv v v

l N

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9

Presión para N partículas

2 2y yw w

El valor de fuerza promedio se sustituye en presión:

mN v mN vF FP dirección del eje de y

w x y x y z

P dirección del eje de y.A l l l l l V

En tres dimensiones (en otras direcciones) para una partícula:

v v v v

Para N

v v v v

i x y zi i i

2 2 2 2

12 2 2 2

17

v v v v

v v v v

v v v v

x y z

x y z

i x y zN N N

1

22 2 2 2

2 2 2 2

1 1 1

2 2 2

2 2 2 2

2 1 1 1 1i i i

N N N N

i x y zi i i i

Sumando y dividiendo por N a ambos lados:

v v v vv

N N N N

2 2 2 2x y z

N N N N

v v v v

En movimiento isotópico:

2

2 2 2 2 2 233x y z y y

vv v v v v v

18

2

3

32 2

Sustituyendo en la ecuación de presión para N partículas

mN ven dirección y: P con unidades de dinas/cm o Newton/m

V

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10

Relación del resultado con EC

2 212

2tras trasm v m v

2

2

2

3 3

2

tras

tras tras total

mN vPV N

N E entonces

19

2

3 trasPV E

Relación del modelo con Temperatura

Para el sistema 1 y el sistema 2, Energía cinética de 1 > 2, g ,

< εtras>1 > < εtras>2

habrá una transferencia de energía a nivel molecular en forma de flujo de calor a nivel macro.

En equilibrio termal: temperaturas de sistema 1 y 2 son iguales. las energías cinéticas de ambos sistemas son

20

las energías cinéticas de ambos sistemas son iguales.

La temperatura en la escala absoluta es función de la energía traslacional promedio, <εtras>.

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11

Macroscópico y microscópico

Combinando el resultado con la ley de gases ideales tenemos:

2

3 trasPV E

g

2 2

3 33

:2

3

tras tras

tras

nRT PV E nRT E

macroscópico E nRT

Nó E N RT

21

0

0

3

2

3 3

2 2

tras tras

tras B

Nmicroscópico E N RT

N

RT k T

N

Temperatura como medida de EC

Temperatura es una medida de energía cinética traslacional promedio de un número grande de partículas

Tres componentes:

v v v v

m v m v m v m v

x y z

x y z

2 2 2 2

2 2 2 21

2

1

2

1

2

1

23

22

kT

kT por ser isotropico

tras tras tras tras

tras

x y z

x

3

21

2

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Aplicaciones

Igualando energías cinéticas a T iguales

2 21 12 2

1 2

2 21 1 2 2

1 1

2 21 2

1 1

2 2

tras Av tras Av

tras tras

E N N m v M v

Para dos gases y a una T

E E

M v M v

23

21 122

1 22

2 2

rms

rms

v vMrms root mean square

M vv

Velocidad cuadrática media (rms) y Temperatura

Relación con masa molar A una T rapidez es inversamente proporcional a Masa A una T rapidez es inversamente proporcional a Masa

molar

21 3

2 2

3

tra sE M v R T

R T

24

2 3 rm s

R Tv v

M

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13

Energía termal y capacidad calórica

Modelo de masa punto no considera energía interna (rotación y vibración)( y )Gases ideales monoatómicos

3

2 trasE U RT

25

3322

V

V

RTU

C RT T

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1

Distribución de velocidadDistribución de velocidad

Particularidades de una Distribución

Movimiento de las partículas es al azar y está variando continuamente. La mayoría de las partículas tienen una velocidad promedio. Muy pocas tiene velocidades grandes y muy pocas tienen pocas tiene velocidades grandes y muy pocas tienen velocidades pequeñas.

Las propiedades macroscópicas son constantes en estado de equilibrio, por lo tanto la distribución de velocidades es constante aunque las propiedades microscópicas estén cambiando constantemente.

Las distribuciones sirven para :p dividir un grupo de cosas en clases. determinar propiedades de equilibrio calcular promedios Hay que ejercer precaución al escoger el tamaño del

intervalo para que guarde precisión y significado.

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2

Construcción de una distribución {g(vx)}.

vx - componente de velocidad en el eje de x. División en intervalos Δvx

Número de moléculas con v en Δv Número de moléculas con vx en Δvx. Histograma - es una representación gráfica de una

distribución que incluye la fracción de moléculas con velocidades en ese intervalo divida por el tamaño del intervalo.

Tiene una forma simétrica alrededor de vx = 0, esto es: N Nesto es:

El histograma tiende a una continua cuando el intervalo vx tiende a cero

La función g(vx) es continua = densidad de probabilidad o distribución

N Nv vx x

Histogramas vs distribuciónfrac

vx

.

vx

frac de part

con v y v v

vx x x

x

. .

g vx

0 vx vx0

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3

Definiciones para construcción de la distribución (gas ideal)

Velocidad (vx) Rapidez (v)número de moléculas que tienen velocidad

número de moléculas que tienen rapidez (v) dNvx vdN

(vx) entre vx y vx + dvx entre v y v + dv

fracción de moléculas con velocidad (vx) en el intervalo vx y vx + dvx

fracción de moléculas con rapidez (v) en el intervalo v y v + dv

fracción de moléculas l id d ( )

fracción de moléculas id ( ) l

dN

Nv

a

x

dNd

vx vdNdv

0

v

a

dN

N

con velocidad (vx) en el intervalo vx y vx + dvx es proporcional al intervalo

con rapidez (v) en el intervalo v y v + dv es proporcional al intervalo

Ndv

v

xx v dv

N

Definiciones para construcción de la distribución (gas ideal)

Velocidad RapidezLa distribución g(vx) es la constante de proporcionalidad

La distribución G(v) es la constante de proporcionalidad

dN

Ng v dv

v

x xx vdN

G v dvN

proporcionalidad entre la fracción de moléculas con velocidad (vx) en el intervalo vx y vx + dvx con el intervalo

proporcionalidad entre la fracción de moléculas con rapidez (v) en el intervalo v y v + dvcon el intervalo

función de distribución de velocidad molecular

función de distribución de rapidez molecular

N

g vx G vp

Densidad de probabilidad por unidad de intervalo

Densidad de probabilidad por unidad de intervalo

g vdN

Ndvx

v

x

x vdNG v

Ndv

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4

Propiedades de función de distribución,g(vx)

Es independiente de la dirección en el eje de x: g v g vx x

Por lo tanto se puede decir que:

Lo mismo se puede establecer para los otros ejes de y y de z.

Al considerar las tres dimensiones:

g v g vx x 2

dN

Nel de part entre v y v dv

v y v dv v y v dv

v v v

x x x

y y y z z z

x y z

# .

;

Tres dimensiones

Los componentes de velocidad son perpendiculares por lo tanto son mutuamente independientes por esto sus probabilidades son independientes. Por esta razón aplica TEOREMA:

Si las probabilidades son independientes, la probabilidad combinada es el producto de las probabilidades independientes.

dN dN dN dNv v v v v vx y z x y z

N N N N

g v g v g v dv dv dv

v v

x y z x y z

x y z x y z

2 2 2

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5

Representación gráficavz

dvy

dvz

dvx

Espacio de velocidades, representación de la probabilidad:

vx

vy

probabilidad:

dN

N

v v vx y z

Elementos de la representación gráfica

Maxwell asumió que los componentes de velocidad son independientes de la orientación y solo dependen de la magnitud del vector de velocidad.

El elemento de volumen de una cajita en el punto del vector de velocidad cuyos lados son

La probabilidad para todos los vectores de velocidad con igual magnitud será la misma no

dv dv dvx y z

velocidad con igual magnitud será la misma no importa la dirección u orientación del vector.

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6

Ejemplo del cálculo

Si vx = 1, vy=2 y vz= 3 km/s la magnitud del vector es:

2 2 2 2 2 21 2 3 14

Daría el mismo resultado si vx = 2, vy=3 y vz= 1 km/s

v v vx y z2 2 2 2 2 21 2 3 14

Independencia de dirección

Debido a que no dependen de la dirección de movimiento podemos definir la función a continuación:

dN

No g v g v g v

v v v

x y z

x y z 2 2 2

Esta función no es la función de distribución de rapideces, esto es:

g v g v g v vx y z2 2 2 2

v G v2

Esta función se utiliza para derivar la forma matemática de la distribución de velocidad usando los Multiplicadores de Lagrange.

v 2

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7

Multiplicadores de LagrangeLagrange

Derivación de la función G

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

1.

2.

x y z

x y z

x x

g v g v g v v

g v g v g v v

v v

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

3. '

La regla de cadena establece que :

Por definición:

x y zx x x

v v vv vg v g v g v

v v v v v

dd dv

dv

1

2 2 22 2 2 2 24. x y z xv v v v entonces v v v

2 2 2

12 2 2 2

Por lo tanto:

15. 2

2

y z

xx y z x

x

v

vvv v v v

v v

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8

2 2 2

2 2 2 2

Sustituyendo (5) en (3):

6. ' '

dividendo a ambos lados por:

xx y z

x x y z x

vg v g v g v

v

v g v g v g v v v

2

2 2 2 2

' ' 1 '7.

La ecuación (7) se puede re-escribir:

18.

x x

x x x x y z

g v v

v vv g v v g v g v g v

g v

2

2

1 1 'xg vb

v v v

g v

2 2

2 2

De forma análoga:

1 1 1 ' 1 1 1 '9a. 9b.

x xx

y z

y y z zy z

v v v

g v g vb b

v v v v v vg v g v

2

10. Ecuación (8) = (9a) =(9b)= constante= -b

Separando variables e integrando:

xbvbvdg

Solución de Lagrange

2

2

2

2

2

11. ln2

ln2

x

x

y

xx x

v

bvy

y y

v

bvdgbv dv g c g Ae

g

g Ae

bvdgbv dv g c g Ae

g

ln2

yv

zz z

g Ae

bvdgbv dv g

g

2

2

2z

z

bv

v

c g Ae

g Ae

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9

Evaluación de las constantes A Normalización – Probabilidad 100% en todo el espacio.

2 1

x

x

vx x v

dNg v dv o N dN

N

2 2

2

0

1

1donde es constante

2

x x xv v vx x

ax

dNAe dv A e dv

N

pero e dx aa

2

2 22

, 1

x

x xx x

vx

v vv vx x

x

entonces A e dv A A

dN dNe dv o g v e

N Ndv

Evaluación de la constante Se usa promedio conocido de velocidad en el eje de

x para calcular

n x n x n x n x n x n x1 1 2 2 1 1 2 2

1 2

1 21 2 1 1 2 2

N N N N

N

NN N N

n x n x n x n x n x n xx

n n n N

n n nx x x x Px P x P x

N N N

1

N

ii i i

i

nx Px ya que P probabilidad

N

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10

Evaluación de la constante La distribución es la constante de proporcionalidad entre

la probabilidad y el intervalo entonces, P x g x x entonces

TEOREMA:Si g(x) es una función de distribución para i bl ti d i l b bilid d d

x xP x x g x x y para x

x xg x dx

i

x

x

0

min

max

una variable continua x, es decir, la probabilidad de que la variable x tenga un valor promedio de cualquier función de la variable x es:

f x f x g x dx f xdN

Nx

x

x

min

max

Evaluación de la constante Transformar el promedio de energía cinética en el eje de x en

términos del promedio de la velocidad en el eje de x.

tras x xm v kT vkT

m

1

2

1

22 2

Por la definición de promedio expresada en la parte anterior podemos expresar la velocidad promedio en el eje de x como:

m2 2

v v g v dv v e dvkT

m

pero x e dx

x x x x xv

x

ax

x2 2 2 2

2

2

2 1

2

pa

vkT

m

entoncesm

kT

x2

2

1

2

1

2

2

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11

Distribución en los tres ejes

Eje de x:

En los tres ejes

dN

NAe dv e dv

m

kTe dv

v vx

vx

mv

kTx

x x x

x

2 2

2

2

12

2

3 32 2 2

Usos de la distribución Propiedades de equilibrio

dN

N

m

kTe dv dv dv

m

kTe dv dv dv

v v vm v v v

kTx y z

m v

kTx y z

x y zx y z

2 2

32

2

32

2

2 2 2 2

v v

m

kTe dv dv dvx x

m v v v

kTx y z

x y z

2

32

2

2 2 2

kT

vm

kTv e dv

m

kTe dv

m

kTe dv

vm

kTv e dv

x x

mv

kTx

mv

kTy

mv

kTz

x x

mv

kTx

x y z

x

2

2 2 2

2

12

2

12

2

12

2

12

2

2 2 2

2

1 1 0

1

Distribución de rapidezG(v)G(v)

1

Transformación de espacio de velocidad al de rapidez

vz

dvy

dvz

dvx

vz

dvy

dvz

dvx

vx

vy

vx

vy

y

Todas las orientaciones son igualmente probables.

C d d t i d d fé i

2

Coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas o polares.

v v v v v v

dv dv dv v d d dv

z x y

x y z

cos sin cos sin sin

sin

2

2

Distribución en coordenadas esféricas

Distribución

Probabilidad de rapidez entre v a v + dv en la dirección a

dN

N

m

kTe v dv d d

vmv

kT

2

32

2 2

2

sin

Probabilidad de rapidez entre v a v dv en la dirección a + d entre o y y la dirección a + d entre o y 2

dN

N

m

kTe v dv d d

dN

N

m

kTe v dv

vmv

kT

vmv

kT

2

22

32

2 2

0 0

2

32

2 20

2

2

sin

cos

3

• Distribución de Maxwell

N kT

dN

N

m

kTe v dv G v dvv

mv

kT

2

42

0

32

2 2

2

Distribución de Maxwell

Relación con la distribución de velocidad

G v g v g v g v vx y z 2 2 2 24 Representación gráfica de la distribución de Maxwell

• V 0 exp 1 y curva parábola

• V aumenta, v2 aumenta por lo tanto G(v) aumenta

g g gx y z

14

2

32

2 2

2

N

dN

dvG v

m

kTe vv

mv

kT

G(v)

v

v2e-av2

4

, p ( )

• V grande exponente domina y G(v) disminuye.

• T altas el ancho de la distribución aumenta.

3

Usos de la ley de distribución

Determinación de valor promedio de vrms

v v G v dv vdN

Nv

m

kTe v dvv

mv

kT2 2 2 2

32

2 242

2

• Este resultado es comparable con el resultado obtenido por l t í i éti l l t bl l id

N kT

vm

kTv e dv x e dx

a a

vm

kT

k T

m

kT

m

mv

kT ax

0 0 0

2

32

4 2

0

42

12

0

2

32 2 2

2

2

42

3

8

42

3

8

4 2

2

2

12 3kT

m

5

la teoría cinético molecular que establece que la rapidez cuadrática media (“root mean square”) es:

12 2 3 3

rms

kT RTv v

m M

Usos de la ley de distribución

Rapidez promedio

2

2

32

2 32

0 0 0

14 :

2 2

mvaxkTm

v vG v dv v e v dv Tablas x e dxkT a

Rapidez mas probable

2

0 0 0

3 3 3 2 22 2 23 2

2 20

12

1 44 4 4

2 2 2 22

2

8

mv

kTm m m k Tv v e dv

kT kT kT mmkT

kTv

m

6

• Derivada de la distribución G(v) con respecto a v igualar a cero.• Resultado de tres raices: v = 0, v = ∞ y v

kT

mmp 2

4

Usos de la ley de distribución

Rapidez mas probable

3

2 2 22 22 20 4 0

2

mv mvkT kT

G v mv e Kv e

kT

2 2 2 2

22 2 2

2

2

20 2 2

2

2: 0; ; 2 0

mv mv mvkT kT kT

mp

v v kT v

G v mv mvK v e Kv e K v e

v kT kT

mv kTRaices son v v v

kT m

G(v)

7

vmp

<v>

vrms

G(v)

v

Energías moleculares

Transformación de la

8

distribución

5

Energía Cinética

211.

2

2

tr mv

1 1

2 2

31

22.

1 2 13.

2 2Transformación de la distribución:

1 2

tr

tr tr

vm

dv d dm m

dN m

9

12

3

31 12 22

1 24. 4

22

Agrupando y re-arreglando:

5. 2

trkTtr tr

kTtr tr

dN me d

N m mkT

dNkT e d

N

31 12 22

'1

UTILIDAD

6. 2

1

tr kTtr tr

NkT e d

N

N

12

32 '

1 12 22 2

17. 2

Este integral no aparece en tablas de integrales. Haciendo la sustitución:

8.

se transf

tr kTtr

tr

Ne d

N kT

kT x entonces kT x y d kTd x

orma el inegral en:

10

2

12

2

3 223

2'

2

18. 2

29.

xtr

kT

xtr

NkT x e d x

N kT

Nx e d x

N

6

2 2

2 2

1 12 2

2

' '

pero:

10.

por lo tanto:

2 211.

x x

x xtr

kT kT

d e e d x

Nx d e x d e

N

2

2

Integrando por partes:

,

entonces

kT kT

x

x

udv uv vdu

sea dv d e u x

v e du dx

11

212. trN

xeN

2 2

12

12

2

12

''

1 '2

'

2 '13a.

x x

kTkT

xtr kT

kT

e dx

Ne e dx

N kT

2

12

2

1 '2

'

' 2 ' 213b.

Definiendo:

2

xkT

kT

us

Ne e dx

N kT

f d

2

2

0

0

214.

2 215. 1 donde: 0 1

2

Sumando:

2

s

s

erf u e ds

erf e ds erf u

12

2

2

2a ambos lados de ( )

2

s

u

s

u

e ds erf u

e ds erf

2 2

0

2 2 us s

u

u e ds e ds

7

2 2

2

0

2 21

21

s s

u

s

u

e ds erf u e ds

despejando

e ds erf u

1 1'2 2

1 '2

por lo tanto:

2 '16. 1

por lo tanto:

2

u

tr kT

tr kT

Ne erf

N kT kT

Ne

13

eN kT

12

ya que

' 'lim 1 0erf

kT kT

2

2

2 1

12

32

2 kTdN e dkT dNN

Razón de poblaciones con E diferentes

11

2

12 1

32

2

2kT

kT

kT

kT dNN edN dNe dN kT

Ne

N

14

1N

8

Choques contra la pared

15

1.

2.

3. 0

w

y y y

y

dN

v a v dv

v

# de moléculas que chocan con w en dt

Velocidad para que choque

Condiciones para que choque

24.

5.

y

w y y

w

d v dt

dN Ng v dv

dN

N

Probabilidad con esa velocidad

16

6. y

y

v dt

l Fracción de moléculas dentro de la

distancia vy dt en largo ly Probabilidad de encontrar una molécula en

ese espacio

9

2

7.

8.

yw

y

y yw y

y y

v dtdN

N l

v dt vdN Ng v dv dt

l l

Probabilidad de estar y tener esa velocidad

Número total de moléculas con componentes de velocidad en y que chocan

2

2

2

0

9.

10.

y y

y yy x z

w y y

Ng v v dv dt Ng v v dv dt

l l l V

aNdN g v v dv dt

V

velocidad en y que chocan en dt

Número de choques por área en tiempo dt

Número total de choques en área a en dt

17

2

2

0

11.2

ymv

kTw y y

aN mdN v e dv dt

V kT

Sustituyendo distribución en número total de choques en área a en dt

2 2 4w

vaN kT aN RT aNdN dt dt dt

V m V M V

Ley de Groham

2Número de choques contra W/seg-cm :

1 813.

4 4

14 rapidez de efusión molecular: Ley de Gröham

w Av

w

vdN PNN RT

adt V RT M

dN

18

1 2

12

14. rapidez de efusión molecular: Ley de Gröham

f

f

dt

r M

Mr

1

Resultado de colisiones

Se sustituyó la definición de velocidad promedio que predice la Teoría Cinético Molecular de los gases ideales:gases ideales:

El número de colisiones cuando ambas partículas se mueven entonces es: para A = B

vRT

MAA

8

z v dN

VAA AA 2 2

para A ≠ B

V

z r rRT

M M

N

VAB A BA B

B

2

128 1 1

Colisiones totales

La rapidez de colisión total por unidad de volumen se representa por ZAB o ZAA y se expresa:p p AB AA y p

ZN

Vz r r

RT

M M

N

V

N

VABA

AB A BA B

A B

2

128 1 1

N N RT P N 1 1 1 82

12 2

Z zN

Vv d

N

Vd

RT

M

P N

RTAA AAA

A AA

AA

A

1

2

1

22

1

2

82 2 0

2

Trayectoria libre media

Definición: distancia total recorrida en un segundo entre el número total de choques de una partícula.partícula.

dist total recorrida en un seg

total de choques de una paart

v dt

z

v

dN

RT

d PN

AA

A

.

# .

2 222

d vN

Vd PN

ya queN

V

nN

V

PN

RT

AA A Av

A Av Av:

2 22

Trayectoria libre media

A presiones altas habrá choques entre partículas y la trayectoria libre media serápartículas y la trayectoria libre media será más pequeña. Al vacío la trayectoria libre media puede ser bien grande (160 metros).

Medidas de trayectoria libre media son yútiles para describir las propiedades de transporte de gases.