SCHIMBREA DE VARIABILA ÎN INTEGRALA NEDEFINITĂ

Prof.Vasile Arsinte

Liceul Teoretic CALLATIS Mangalia

2010Teoreme de schimbare de variabila

TEOREMA DE SCHIMBARE

DE VARIABILA• Fie I,J R intervale, φ :IR, f: J R cu φ

derivabilã . Atunci: • (I) Dacã f admite primitive, F fiind o

primitiva a sa, atunci (foφ).φ’ admite primitive, Foφ fiind o primitiva a sa.

• (I) se mai numeşte prima metodã de schimbare de variabilã

(II) Dacã φ, in plus, e bijectivã şi cu derivata nenulã pe I, iar h= (foφ).φ’ admite primitive, H fiind o primitivã a sa, atunci f admite primitive, Hoφ-1

fiind o primitiva a sa.(II) se mai numeşte a doua metodã de

schimbare de variabilã.

• Faptul Fo e o primitivă a lui (foφ).φ’ se scrie astfel :

f(φ(t))φ’(t) dt = Foφ + C, • iar faptul cã Hoφ-1 e o primitivã a lui f,

în(II), se scrie astfel: f(x)dx=Ho φ-1 +C

b.Prima metodã de schimbare de

variabilã• Avem urmãtorul algoritm de aplicare a

primei metode de schimbare de variabilã:

• (i) Se cere sã se determine primitivele unei funcţii h: I → R ce admite primitive;

(ii) Se cautã J R un interval și două funcții φ: I→J , f: J→R astfel încît sã putem scrie h(t)= f(φ(t))φ’(t) , ()tI;(iii) Se cautã o primitivã F a lui f, adicã f(x)dx= F(x)+C (iv) H= Fo,va fi o primitivã a lui (foφ)φ’ , adicã h(t)dt=f(φ(t))φ’(t) dt = F(φ(t)) + C

OBSERVATIE

• In cãrţile mai vechi, uneori, se substituie formal φ(t) cu x şi φ’(t)dt cu dx în ∫f(φ(t)).’(t)dt şi se scrie “egalitatea” :

• ∫f(φ(t))φ’(t)dt= ∫f(x)dx care e o preluare formalã , fãrã sens, a formulei de schimbare de variabilã din integrala definitã .