TEHNIKA DOKUMENTACIJA

91

METOD TRANSFORMACIJA

Na slici 10.9 prikazan je postupak transformacije za dobijanje presjeka jedne kose trostrane piramide ABCS ( sa osnovom u projekcijskoj ravni 1) sa proizvoljnom ravni .

Slika 10.9. Ortogonalno predstavljanje odreivanja presjeka piramide

sa proizvoljnom ravni postupkom transformacije

10 PRESJECI I MREE

92

Prvo se formira trag e3 ravni , posredstvom proizvoljne take V na drugom tragu e2 ravni , tj. posredstvom rastojanja zv. Spajanjem take V sa takom e1 dobije se poloaj treeg traga e3 ravni , a koritenjem odstojanja take vrha S od ose 1x2 tj. odstojanja zs dobiemo treu projekciju S take vrha date piramide. Tree projekcije poligona presjeka piramide sa ravni dobije se na samom tragu e3, a iz dobijene tree projekcije presjenog poligona povratnim projekcijskim zrakama dobie se tlocrtna projekcija istog.

Po izvrenoj provjeri tanosti poloaja presjenog poligona u tlocrtnoj projekcijskoj ravni 1, a posredstvom postupka kolineacije, povratnim zracima iz tlocrtne projekcije presjenog poligona dobie se nacrtna projekcija istog.

Prvi trag e1 je u primjeru i osa afiniteta, u koji se projiciraju zrake afiniteta odgovarajuih vrhova D C B A . Sa rotacijom taaka u treoj projekciji do ose 1x3, npr. D u 0 D oko take M, dobiva se na presjeku afinitetnog zraka i normale na osu 1x3 taka D0. Na presjeku spone 0 ID i afinitetnog zraka

kroz C je odreena taka 0 C.

10.2. MREE GEOMETRIJSKIH TIJELA

10.2.1. Mrea prizme

A0

A BCDA

AD

1

2=20

3=30

4

1

10

Slika 10.10. Mrea presjeene uspravne prizme

TEHNIKA DOKUMENTACIJA

93

Tijela kod kojih su baze paralelne sa 1 (2), te se baze projiciraju u nacrtu (tlocrtu) u pravoj veliini i obliku, a u tlocrtu (nacrtu) kao dui, paralelne sa osom 1x2. Kod uspravne prizme, u tom sluaju se visina projicira u nacrtu (tlocrtu) u svojoj pravoj veliini.

Prizma je uspravna, to znai da ivice prizme zaklapaju sa ravni bazisa pravi ugao. Prema tome, ivica koja prolazi kroz A zaklapa pravi ugao sa stranom AB bazisa, a isto tako i sa stranom AD. Na mrei se pokazuje sve u pravoj veliini, pa e i taj pravi ugao ostati prav, to znai da e se na mrei strane AB i AD pokazati kao jedna prava okomita na ivicu iz A.

to vai za ivicu A, vai i za sve ostale ivice prizme. Iz toga slijedi da e se linija bazisa kod prave prizme pokazati na mrei kao prava okomita na ivice prizme.

Poto je i bazis samo jedan presjek prizme, moe se konstatovati sljedee:

Presjeeni poligon neke prizme sa ravni okomitom na ivice prizme pokazuje se na mrei kao prava okomita na ivice.

Konstrukcija mree u predhodnom sluaju je vrlo jednostavna (slika 10.10). Povue se jednu prava i na njoj od take A nanesu se redom strane bazisa AB do DA. Njihove prave veliine su u tlocrtu. Time je ucrtana linija bazisa. Iz dobivenih taaka povuku se prave okomite na liniju bazisa, koje na mrei predstavljaju ivice prizme. Sve su ivice podjednake duine i pokazuju se u nacrtu u svojoj pravoj veliini. Njihove duine nanose se od taaka donjeg bazisa, a time i linije gornjeg bazisa na mrei.

Mrea omotaa je u ovom sluaju pravougaonik koji je sastavljen od etiri pravougaonika, tj. etiri strane prizme.

Linija presjeka odreuje se vrlo lako, jer se odstojanja taaka presjeka 1, 2, 3, 4 do taaka bazisa A-D pokazuju u nacrtu u svojoj pravoj veliini, odnosno lee na drugom tragu e2 druge projektne ravni . Odmjere se direktno i nanesu na mreu. Prava veliina presjeka se definie upotrebom afiniteta (slika 10.11). Potrebno je provjeri da li se tako odreene prave veliine strana slau sa pravom veliinom u oborenoj ravni.

Na kraju se ucrtaju na mrei poligoni bazisa i presjeka.

10 PRESJECI I MREE

94

Slika 10.11. Odreivanje prave veliine i oblika presjeka

10.2.2. Kontura i vidljivost ivica

Poto su geometrijska tijela ograniena povrinama, ivicama i rogljevima, to e se projekcije tih tijela na projekcijske ravni dobiti projiciranjema njihovih povrina, ivica i rogljeva i njihovim spajanjem onako kako su spojeni i u prostoru. Radi vee preglednosti i razumljivosti tijela se predstavljaju kao neprozirna, tako da se razlikuje vidljivi i nevidljivi dio njihovih kontura. Kod projekcije tijela na ravan vidljive su samo one povrine, ivice i rogljevi koji su blii posmatrau, odnosno dalji od projekcijske ravni. Ivice koje dijele vidljivi dio povrina od nevidljivog zovu se konturne ivice tijela u toj projekciji. Konturne ivice tijela su uvijek vidljive. Ako je rogalj (vrh) unutar konture vidljiv, onda su vidljive i sve ivice koje iz njega izlaze i obrnuto.

TEHNIKA DOKUMENTACIJA

95

10.2.3. Mrea piramide

Kao primjer za odreivanje mree piramide izraen je zadatak na slici 10.12. Najprije je metodom kolineacije odreen presjek etvorostrane uspravne piramide sa drugom projektnom ravni (ravan koja je okomita na projicirajuu ravan 2).

Pri razvoju omotaa (plata) piramide razvije se najprije nepresjeena piramida. Mrea se sastoji od etvorougla bazisa i od omotaa sastavljenog od etiri trougla. Poto se mrea crta upotrebom pravih veliina potrebnih elemenata, to je potrebno da se odrede prave veliine svih dui. Pravu veliinu bazisa nalazi se u tlocrtu, poto piramida prostorno bazisom lei u projicirajuoj ravni 1. Da bi se odredile prave veliine pojedinih bridova piramide, bridovi se rotiraju da budu paralelni sa projicirajuom ravani 2.

Sada se moe pristupiti konsruiranju mree omotaa. Povue se proizvoljna prava i oznai na njoj taka S. Tada se nanese od S na pravoj prava veliina brida SG(=SG0). Predpostavi se da je SG jedna strana plohe GFS piramide, pa se konstruira taj trougao. Iz G se opie krug r=GF, a iz S krug r=SF0. U presjeku tih krugova je taka F, to omoguava da se nacrta trougao. Zatim, na isti nain na strani SF se docrta trougao FSE i tako redom sve ostali trouglovi omotaa. Izlomljena liniju GFEHG se naziva linijom bazisa. Na bilo koju stranu te linije doda se poligon bazisa. Na navedenoj slici poligon bazisa dodan je na stranu HG, a kako je taj poligon u nacrtu ve u pravoj veliini, najlake se prenese pomou strana i dijagonala.

Poto na mrei ve postoje sve ivice piramide, treba samo ucrtati na njima take od A0 do D0. Stoga e se odrediti prave veliine dui od take bazisa do take presjeka. Za taku A0 na primjer, poto je ve odreena okretanjem prave veliine ivice ES, dovoljno je da se nae u okrenutom poloaju i taka A0. Kako ta taka pri okretaju ne mjenja visinu, bie A0 na horizontalnoj pravoj povuenoj iz A. Na ivici ES mree se nanesu dui E0A0 i time se na mrei odredi presjena taka. Isto se uradi i za preostale take presjeka. Dobivene take se spoje, to na mrei definie liniju presjeka.

Na kraju se treba dodati prava veliina presjeka, koji se doda na bilo koju stranu linije presjeka.

Prava veliina presjeka A0B0C0D0 odredi se sa poznatim metodama obaranja, kolineacijom ili afinitetom.

10 PRESJECI I MREE

96

Slika 10.12. Odreivanje prave veliine duine ivica presjeene piramide

Slika 10.13. Mrea presjeene piramide

TEHNIKA DOKUMENTACIJA

97

10.2.4. PRESJEK I MREA VALJKA (OBLICE)

Presjek uspravnog valjka sa ravninom je krug, pravougaonik ili elipsa. Presjek je krug onda kada je ravan presjecanja paralelna sa krugom bazisa. Kada je ravan presjecanja paralelna sa izvodnicama valjka, presjek je pravougaonik. Ukoliko ravan koja presjeca valjak, zaklapa sa izvodnicama valjka ugao koji je manji od 90, a vei od 0, presjek je onda elipsa.

10.2.4.1. Kosi presjek valjka

Slika 10.14 i slika 10.15 prikazuje eliptiki presjek uspravnog valjka. Izveden je presjek uspravnog valjka (sa krugom bazisa na tlocrtnoj projekcijskoj ravni 1) sa drugom projektnom ravni . Presjek je elipsa koja se u nacrtu projektuje u du 6 0 . Tlocrt te elipse poklapa se sa tlocrtom kruga bazisa valjka. Prava veliina udaljenosti pojedinanih taaka presjeka od ose 1x2 vidljiva je u nacrtu, to takoe omoguava da se prikae projekcija elipse u bokocrtnoj ravni 3.

Slika 10.14. Prostorno predstavljanje kosog presjeka uspravnog valjka

10 PRESJECI I MREE

98

Slika 10.15. Kosi presjek uspravnog valjka

Slika 10.16. Presjek uspravnog valjka sa vie ravni presjecanja

TEHNIKA DOKUMENTACIJA

99

Na slici 10.16 dat je presjek uspravnog valjka, koji se presjeca vie puta. Plat presjeenog valjka razdjeli se na vie jednakih dijelova, npr. 8, koji ravan (e2) presjeca u osam taaka.To znai da se povezuju 4 produetka do presjeka e2 u 4". Ravan (f2) je presjeena u 5 taaka. Tako dobivene presjene take na e2 i f2 prenesu se u bokocrt (3) i poveu se u presjene krivulje.

10.3. Odreivanje prave veliine i oblika presjeka

10.3.1. Odreivanje prave veliine i presjeka pomou afiniteta

Slika 10.17. Odreivanje prave veliine presjeka pomou afiniteta

Na slici 10.17 prikazan je afinitet izmeu kruga baze i presjeka elipse. Prvi trag presjene ravni e1 je osa afiniteta, a sredita M0 i M odgovarajui par taaka. Sredinja taka M0 prave veliine presjeka odredi se obaranjem

10 PRESJECI I MREE

100

drugog traga druge projektne ravni u projicirajuu ravan 1. Na proizvoljno izabranoj duini koja povezuju take krunice i ista takva na drugom dijelu pravougaonika, npr. B F i D H , dobije se pomou metode afiniteta prenika elipse 0 0B F i 0 0D H, koji vie nisu izmeu sebe okomiti. Proizvoljno izabrana tetiva na krug baze, koja je paralelna sa D H , npr. E G , C A , daje u elipsi pravu veliinu takoe paralelnih tetiva 0 0E G, 0 0C, A.

10.3.2. Odreivanje prave veliine i oblika presjeka pomou obrtanja

Pri obrtanju presjeka rotiraju se po obodu take plata, koje su u nacrtu na drugom tragu ravni e2 (slika 10.18). Rotacija se izvodi oko take x u ravan projiciranja 1. Take 00,10,20,... u produetku tlocrtne projekcije su definisane na presjecitima spona (okomice na e1) iz taaka u tlocrtu i okomica povuene kroz rotirane take sa ose 1x2. Povezivanjem dobijenih taaka dobiva se krivulja koja predstavlja pravu veliinu i oblik presjeka.

Slika 10.18. Odreivanje prave veliine presjeka pomou obaranja presjeka

Isti postupak se moe izvesti rotacijom taaka u nacrtnoj ravni. Take na krugu baze (tlocrt) projiciraju se okomito na prvi trag e1, a zatim rotiraju oko sredita x, do oborenog traga e10.

TEHNIKA DOKUMENTACIJA

101

Na presjeku spona povuenih iz obrnutih taaka iz tlocrta paralelno sa tragom e2, te okomica povuenih iz istih taaka na trag e2, odreuju se obrnute take u nacrtu (00,10,20,...). U prvom sluaju prava veliina male ose elipse 2060 jednaka je duini ose 6 2 , dok je u drugom sluaju velika osa elipse 0040 jednaka duini ose u nacrtu 4 0 .

10.3.3. Presjek uspravnog valjka sa proizvoljnom ravni

Slika 10.19 prikazuje presjek valjka sa ravni u proizvoljnom poloaju. U tom sluaju poznati su tragovi ravni e1 i e2, te tlocrtna projekcija kruga baze koji lei u tlocrtnoj ravni 1. Elipsu u nacrtu, sa pomonim takama 0", 1", ..., se dobije tako, da se obim kruga u tlocrtu podjeli na jednak broj dijelova, a iz graninih taka 0, 1, 2, ... sutranjicama i normalama na osu 1x2 projiciraju se u nacrtu.

Slika 10.19. Presjek valjka sa proizvoljnom ravni

10 PRESJECI I MREE

102

Prava veliina i oblik presjeka odredi se pomou afiniteta, preko traga e1 koji odreuje osu afiniteta i definisanim parom sredinjih taaka 0 M M. Pri tome kao pomo koristi se ravan 3, koja je okomita na 1 i na ravan , a osa 1x3 okomita je na prvi trag e1.

10.3.3. Mrea valjka

Na slici 10.20 data je mrea donji dio presjeenog valjka. Prvo se mora konstruirati duina kojoj bi duljina bila priblino jednaka obimu kruga (2r), to se moe uraditi pomou metode Kochanskega (r). Osnovni krug valjka se podjeli u 12 jednakih dijelova i upie na duini jednak broj dijelova. Iz taaka 01 ... povlae se normale na duinu i nanose prave duine izvodnica ija se odstojanja nanose iz nacrta, gdje su ve u pravoj veliini, npr. h4/h8 na normale iz taaka 4 i 8. Dobivena krivulja koja nastaje spajanjem tih taaka je gornja granica razvijenog plata valjka.

Slika 10.20. Mrea presjeenog valjka