J. A. M. Felippe de Souza Integrais (resumo e tabela)

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Integrais A integral indefinida de uma funo f(t) representada como

d)(f Por outro lado, a integral definida, representada como

ba d)(f , b 3 d)(f ou a d)(f faz a Soma de Riemann que calcula a rea sob a curva em m intervalo bem definido como por exemplo: [ a , b ] , ] - , b ] ou [ a , [. Este nome acima dado em aluso ao matemtico alemo Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866). A integral um processo inverso do da derivada de funes pois,

( ) ( ) Ctfdfdtdt

)t(dfdt)t(dtdfdttf +====

ou ( ) )t(fdt)t(fdtd = .

Mais precisamente:

= ta dt)t(f)t(F chamada de primitiva de f(t). Este resultado chamado de Teorema Fundamental do Clculo e faz a interligao entre o Clculo Diferencial (seco anterior) e o Clculo Integral (desta seco). Algumas regras de integrao de funes em geral

( ) ( ) Cdttfadttfa += (regra da homogeneidade) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) Cdttgdttfdttgtf ++=+ (regra da aditividade) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) += dttg)t(f)t(gtfdttgtf (regra da integral por partes)

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Se definirmos )t(g)t(u = e )t(f)t(v = ento dt)t(gdu = e dt)t(fdv = e a regra da integral por partes pode ser escrita doutra forma:

= duvuvdvu Por outro lado, se )t(f)t(u = e dt)t(fdu = , ento a integral definida calculada como:

] )a(u)b(uudu baba ==

Fig. 1 A rea S sob a curva f(t) no intervalo definido [ a, b ].

A integral definida desde a at b da funo f

Sd)(fb

a=

a rea S sob a curva, conforme ilustrado na figura 1.

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A figura 2 mostra dois exemplos da integral definida desde a at b da funo f, onde reas abaixo do eixo das abcissas contam negativamente.

21

b

a 1SSd)(f =

e

321

b

a 2SSSd)(f +=

Fig. 2 Dois exemplos da rea sob a curva f(t) no intervalo definido [a, b]. As

reas abaixo do eixo das abcissas contam negativamente. A figura 3 mostra dois exemplos da integral definida em intervalos infinitos: ] -, b ] e [ a , [.

'Sd)(fb

3 = e ''Sd)(fa 4 =

Fig. 3 Dois exemplos da rea sob a curva f(t) definidos em intervalos infini-

tos: ] - , b] e [ a , [.

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Apresentamos agora uma tabela das integrais das principais funes.

Integrais de funes racionais:

Cudu += 1n,C

)1n(uduu

1nn ++=

+

Culnu

duduu 1 +== C

auarctg

a1dt

au1

22 +

=+ 22

22 a>u,Cauauarctg

a21

audu +

+=

Integrais de funes irracionais:

Cauulnau

du 2222

+++=+

Cauulnau

du 2222

++=

Causecarc

a1

auudu

22+

=

22

22a

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[ ] C)ta(lnln)ta(lnt

dt += Integrais de funes exponenciais:

0a,1a,C)a(ln

aduau

u >+= (**) Cdu uu += ee [caso particular a = e da integral (**) acima]

C)b(ln

ba1dtb

atat += (***)

Ca1dt atat += ee [caso particular b = e da integral (***) acima]

C)1at(a

dtt 2at

at += ee dtt

ant

a1dtt at1natnatn eee =

1b,0b,dtbt)bln(a

n)bln(a

btdtbt at1natn

atn >=

( ) [ ] C)btcos(b)bt(senabadt)tb(sen 22at

at ++= ee

( ) [ ] C)bt(senb)btcos(abadt)tbcos( 22at

at +++= ee Integrais de funes trigonomtricas:

( ) ( ) Cucosduusen += ( ) ( ) Cusenduucos +=

( ) ( ) C)u(seclnduutg += ( ) C)u(senlnduugcot += ( ) ( ) C)u(tg)u(seclnduucos

1duusec ++==

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( ) ( ) C)u(gcot)u(eccoslnduusen1duueccos +==

( ) ( ) ( )( ) C)u(secduusenutgduutguecs +==

( ) ( ) ( ) ( ) C)u(eccosduutgusen1duutgcoueccos +==

( ) ( ) C)u(tgduucos1duuecs 2

2 +==

( ) ( ) C)u(gcotduusen1duueccos 2

2 +==

( ) ( ) Ctacosa1dttasen +=

( ) ( ) Ctasena1dttacos +=

( ) ( ) Ca4

ta2sen2tdttasen2 +=

( ) ( ) Ca4

ta2sen2tdttacos2 ++=

Frmula de recorrncia para integrais de potncias de funes trigonomtricas:

( ) ( ) + =

duuasenn

1nan

)uacos()ua(senduuasen 2n1n

n

( ) ( ) + =

duuacosn

1nan

)ua(sen)ua(cosduuacos 2n1n

n

( ) ( ) ( ) =

duuatg1na

)ua(tgduuatg 2n1n

n

( ) ( ) ( ) =

duuagcot1na

)ua(gcotduuagcot 2n1n

n

( ) ( ) ( ) +

=

duuasec1n2n

1na)ua(tg)ua(secduuasec 2n

2nn

( ) ( ) ( ) +

=

duuaeccos1n2n

1na)ua(gcot)ua(eccosduuaeccos 2n

2nn

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Integrais de outras funes trigonomtricas:

( ) ( ) [ ] [ ] 22 ba,C)ba(2

t)ba(cos)ba(2

t)ba(cosdttbcostasen ++

+=

( ) ( ) [ ] [ ] 22 ba,C)ba(2

t)ba(sen)ba(2

t)ba(sendttbsentasen +++

=

( ) ( ) [ ] [ ] 22 ba,C)ba(2

t)ba(sen)ba(2

t)ba(sendttbcostacos ++++

=

( ) ( ) Ca4

)ta2(cosdttacostasen +=

( ) ( )( ) ( ) Ctacoslna1dt

tacostasendttatg +==

( ) ( )( ) ( ) Ctasenlna1dt

tasentacosdttagcot +==

( ) C)ta(cosat)ta(sen

a1dttasent 2 +=

( ) C)ta(sinat)ta(cos

a1dttacost 2 ++=

( ) dt)ta(costan)ta(cos

atdttasent 1n

nn +=

( ) dt)ta(sentan)ta(sen

atdttacost 1n

nn =

Integrais de funes hiperblicas:

C)at(cosha1dt)at(senh +=

C)at(senha1dt)at(cosh +=

C2t

a4)at2(senhdt)at(senh 2 +=

C2t

a4)at2(senhdt)at(cosh 2 ++=

C)at(senha1)at(cosh

atdt)at(senht 2 +=

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C)at(cosha1)at(senh

atdt)at(cosht 2 +=

Cdt)at(coshtan)at(cosh

atdt)at(senht 1n

nn +=

Cdt)at(senhtan)at(senh

atdt)at(cosht 1n

nn +=

[ ] C)at(coshlna1dt

)at(cosh)at(senhdt)at(tanh +==

C)at(senhlna1dt

)at(senh)at(coshdt)at(coth +==

Integrais definidas:

= 21dtt0 -te

a21dt

0

a2x = e

= 21dt0 t2e

6dt

1t 2

0

=

te

15dt

1t 4

0

3 =

te

2dt

t)t(sen

0

= ( )!1n)n(dtt

0

t1n == e [funo gama]

( ) ( )

== 3mpareirointnse,

2)1n(753n642

2pareirointnse,2n642

)1n(521

dttcosdttsen2

0

n2

0

n

LL

LL