T-16 PEMETAAN = z w 1 DAN HASIL PEMETAANNYA Oleh : H. A.

Click here to load reader

  • date post

    08-Dec-2016
  • Category

    Documents

  • view

    219
  • download

    1

Embed Size (px)

Transcript of T-16 PEMETAAN = z w 1 DAN HASIL PEMETAANNYA Oleh : H. A.

  • PROSIDING ISBN:9789791635332

    Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 1127

    T-16

    PEMETAAN

    =

    zw 1 DANHASILPEMETAANNYA

    Oleh:H.A.Parhusip1danSulistyono2

    ProgramStudiMatematikaIndustridanStatistikaFakultasSainsdanMatematika(FSM)

    UniversitasKristenSatyaWacana(UKSW)(www.uksw.edu)[email protected]

    2mahasiswaS1,matematikaFSMUKSW Abstrak:Pemetaan )/1( zw = ,dengan Z (himpunanbulatnegatif)dan )1,0( sertahasilpemetaannyaditunjukkanpadamakalah ini.Dapatditunjukkanpemetaan ini konformal.Hasil pemetaan diperoleh denganmelakukan transformasigeometri.Katakunci:pemetaankonformal,fungsianalitik,persegi1. Pendahuluan

    Pemetaan konformal adalah pemetaan yangmempertahankan besaran dan

    arahsudutdiantarasebarangduakurvayangberpotongandisuatutitiktertentu.Pada

    makalah terdahulu (Parhusip dan Sulisyono, 2009) ditunjukkan hasil pemetaan

    =

    zw 1 untuk 1= dan 2= .Hasilpemetaanditunjukkandenganterlebihdahulu

    ditunjukkan untuk pemetaan garis vertikal dan garis horizontal secara terpisah.

    Selanjutnya dilakukan pemetaan untuk 1 bidang persegi.Untuk persegi lebih dari 1

    dilakukan denganmenggunakan transformasi geometri seperti pencerminan. Pada

    makalahiniakanditunjukkanpemetaan

    =

    zw 1 untukberbagainilai .

    PadaBab IIditunjukkanpemetaan konformalw=1/z danhasilpemetaannya

    yangmerupakanhasilpenelitiansebelumini(ParhusipdanSulisyono,2009).PadaBab

    IIIdijelaskan caramelakukanpenelitian ini.HasildanPembahasanditunjukkanpada

    BabIV.SelanjutnyakesimpulanditunjukkanpadaBabterakhir.

    2. Pemetaankonformalw=1/zdanhasilpemetaannya

    Pemetaangarisvertikaldangarishorizontal

  • PROSIDING ISBN:9789791635332

    Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 1128

    Telahdiketahuibahwapemetaangarisvertikaldanharishorisontalolehw=1/z

    merupakan persamaan lingkaran (Parhusip dan Sulisyono, 2009). Beberapa hasil

    pemetaan untuk garis vertikal dan horizontal ditunjukkan pada Gambar 13.

    Sedangkanuntuky=adangarisx=b(a,b 0 )denganfungsipemetaanw=1/z

    untukberbagainilaiadanbyangberbeda,yaitua,b>0,a>0danb0danb

  • PROSIDING ISBN:9789791635332

    Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 1129

    penuh) jika kita juga membatasi perseg yang terbentuk pada Gambar 4a, yaitu

    Gambar4adiubahsedemikiansehinggaterbentukGambar5.

    Gambar5.PersegiABCOdanbayangannyadenganpemetaanw=1/z.

    Bayangan padaGambar 5b diperoleh pertama kalimencari batas dari bayangannya

    yaitutitik 'A , 'B dan 'C dankemudianmenghubungkantitiktitiktersebut.Untuktitik

    asal tetap dipetakkan ke titik asal, karena titik asalO(0,0) adalah titik singular atau

    kesingularandariw=1/z.UntuktitikA(0,a)padabidangzakandipetakkanolehfungsi

    w=1/zketitik )1,0('a

    A padabidangw.HalinikarenatitikA(0,a)padabidangzdapat

    ditulis sebagai z = 0+ia, sehinggaaiaz

    w 10

    11=

    +== dan karenaw = u + ivmaka

    diperolehtitik )1,0('a

    A .

    UntuktitikB(b,a)padabidangzakandipetakkanolehfungsipemetaanw=1/z

    ketitik

    +

    + 2222,'

    baa

    babB padabidangw.Titik 'B diperolehdenganmenuliskantitik

    Bsebagaiz=b+ia,sehinggadiperoleh 22 baiabw

    +

    = sehinggadiperolehkoordinat 'B

    tersebut. Untuk selanjutnya titik C(b,0) pada bidang z dipetakkan ke titik

    0,1'

    bC

    padabidangwolehfungsipemetaanw=1/zKemudiantitiktitiktersebutdihubungkan

    untuk memperoleh Gambar 5b. Untuk selanjutnya kita dapat menyusun hasil

    pemetaan untuk tiap persegi pada kuadran yang lain dengan cara melakukan

    pencerminan.

    Matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu x dan sumbu u

    adalah

  • PROSIDING ISBN:9789791635332

    Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 1130

    =10

    01RX (3)

    sehingga jika koordinat suatu titik A dinyatakan dalam notasi vektor posisi

    A

    A

    yx

    dengan koordinat bayangannya adalah 'A sebagai vektor posisi

    ''

    A

    A

    yx

    maka dapat

    ditulis

    =

    A

    AR

    A

    A

    yx

    Xyx

    '

    ' .

    Kita dapat melakukan transformasi pencerminan untuk titik B dan C untuk

    mendapatkan koordinat pencerminannya berturutturut 'B dan 'C . Kita dapat

    melakukanpencerminandengancaraserupasehinggadapatdiperolehberbagaihasil

    pemetaanyangditunjukkanpadaGambar6.Gambar6diperolehdenganmelakukan

    pencerminan Gambar 5a dan Gambar 5b terhadap Sumbu y dan sumbu v secara

    berturutturut menggunakan matriks transformasi

    =10

    01RX dan

    =

    1001

    RX .

    Gambar6.Pemetaan1persegidanhasilpemetaannyamelaluipencerminan.

    2.3Bayanganperseguntuknxnpersegi

  • PROSIDING ISBN:9789791635332

    Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 1131

    Dengan menggabungkan hasil gambargambar yang diperoleh pada subbab

    sebelum ini beserta bayangannya, diperoleh beberapa hasil pemetaan sebagaimana

    ditunjukkan pada Gambar 7. Untuk persegi dengan jumlah yang lebih banyak,

    bayangannyadapatdiperolehdenganlangkahlangkahyangsama.

    Gambar 7a. Ilustrasi persegu 4 x 4yang dipetakkan (kiri) dan hasilpemetaannya(kanan)olehw=1/z.

    Gambar7b.Ilustrasipersegu14x14yang dipetakkan (kiri) dan hasilpemetaannya(kanan)olehw=1/z.

    Modifikasipemetaanw=1/zdanhasilpemetaannya

    Modifikasi yang ditunjukkan pada makalah ini adalah menyusun pemetaan

    =

    zw 1 dan N (himpunanbilanganasli).Dapatditunjukkanbahwapemetaanini

    merupakan pemetaan konformal denganmenyatakanw dalam koordinat polar dan

    memenuhipersamaanCauchyRiemann.Untukpersegiyangdibentukdaripersegi14

    x14yangdipetakkanoleh21

    =

    zw ditunjukkanpadaGambar10.

    Gambar10.Pemetaanpersegi14x14(kiri)oleh2

    11

    =

    zw danhasilpemetaannya

    (kanan).

    3.METODEPENELITIANDalamtahapinidibagidalambeberapakasus,yaitu:

  • PROSIDING ISBN:9789791635332

    Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 1132

    3.1Menunjukkanbahwapemetaan

    =

    zw 1 dengan Z (himpunanbulatnegatif)

    adalahpemetaankonformal

    3.2 Mengilustrasikan hasil pemetaan

    =

    zw 1 , = dan 2= untuk bidang

    persegiyangdipetakkan.

    3.3 Menunjukkan bahwa pemetaan

    =

    zw 1 dengan )1,0( adalah pemetaan

    konformal.

    3.4Mengilustrasikan hasil pemetaan

    =

    zw 1 , 5.0= untuk bidang persegi yang

    dipetakkan.4.HASIL&PEMBAHASAN

    4.1Pemetaan

    =

    zw 1 dengan Z (himpunanbulatnegatif)

    Untuk Z maka dapat dituliskan sebagai = dengan N (himpunanbilanganasli)sehingga

    =

    zw 1 =

    zz

    =

    1.Sebutlah 1wzw ==

    dengan ivuw +=1 .

    (4.1)

    Teorema4.1.Pemetaan

    zz

    =

    1dengan N merupakanpemetaankonformal.

    Bukti.Perluditunjukkanbahwa 1wzw == merupakanpemetaananalitikyangdapat

    ditunjukkan2carayaitudenganKoefisienBinomial(caraI)dankoordinatkutub(caraII).Padabagianiniditunjukkankeduacara.Cara1.Karena z=x+ iymaka zw =1 =

    )( iyx + .DenganmenggunakankoefisienBinomialdiperoleh

    zw =1 =)( iyx + = jj

    jj iyxC )(

    0

    =

    = ...55544

    433

    322

    21

    10 ++++ yxiCyxCyxiCyxCyxiCxC . (4.a)

    Denganmenuliskanbagianriildanbagiankhayaldaripersamaan (4.a)berturutturutdiperoleh

    jjj

    k

    j

    j yxCyxCyxCyxCxu 2220

    666

    444

    222 )1(...

    =

    =++= ,

  • PROSIDING ISBN:9789791635332

    Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 1133

    12)12(12

    0

    555

    555

    333

    1 )1(... +++=

    =+++= jjjk

    j

    j yxCyxCyxCyxCyxu

    Sehingga

    jjj

    k

    j

    j yxCjxu 212

    20

    )2()1( =

    = (5.a)

    1222

    02)1(

    = =

    jjj

    k

    j

    j yxjCyu (5.b)

    12)1(212

    0)12()1( +++

    =

    = jjj

    k

    j

    j yxCjxv , (5.c)

    jjj

    k

    j

    j yxCjyv 2)1(2

    120

    )12()1( ++=

    += (5.d)

    dengan

    =

    2k .Dari persamaan (5.a)(5.b) belum terlihat bahwa

    persamaan tersebut memenuhi persamaan CauchyRiemann

    =

    =

    xv

    yu

    yv

    xu dan . Oleh karena itu masingmasing turuna parsial

    padapersamaan(5.a)(5.d)dijabarkandiperoleh

    ( ) ( ) ...,42 45423210 ++= yxCyxCxC

    xu (6.a)

    ...,6420 56634

    42

    2 +++= yxCyxCyxC

    yu (6.b)

    ...,)5()3()1( 56534

    32

    1 ++= yxCyxCyxCxv (6.c)

    ...,53 45523

    31

    1 ++= yxCyxCxCyv (6.d)

    Dengan menggunakan identitas 0!=1, maka 10 ==aa

    a CC , aC a =1 dana

    baab CC = .

    Selainitu

    =

    =)!(!

    )!))(1()...(2)(1()!(!

    !bab

    babaaaabbab

    abbC ab

    =

    )!1(!))1()...(3)(2)(1(

    bbbaaaaab

    =

    )!1())1()...(3)(2)(1())1((

    bbaaaaaba

  • PROSIDING ISBN:9789791635332

    Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 1134

    Maka didapatkan ( ) ( ) ( ) 342312 34,23,12 CCCCCC === dan

    seterusnya sehingga persamaan (6.a)(6.d) diperoleh

    =

    =

    xv

    yu

    yv

    xu dan .

    Yangberarti 1w memenuhipersamaanCauchyRiemann.