PCSI 1 EXERCICES : Suites et fonctions complexes Page 1

Suites Complexes

Exercice 1

Soit (ρn)n∈IN et (θn)n∈IN deux suites réelles convergentes.

Etablir la convergence de la suite(ρne

iθn)n∈IN .

Indication

Exercice 2

Etudier la suite complexe définie par

u0 ∈ C et un+1 =1

2(un + i)

Indication Solution

Exercice 3

Etant donné θ ∈ IR , montrer que la suite(en i θ

)n∈IN converge si, et seulement

si, θ ∈ 2π ZZ .Indication

Exercice 4

Soit u la suite définie par u0 = ρ eiθ ∈ C et

∀n ∈ IN, un+1 =1

2(un + |un|)

Exprimer un en fonction de n et étudier la convergence de un .Indication Solution

Exercice 5

Etant donné ρ ∈ ]0, 1[ et θ ∈ IR , on pose un =n∑p=0

ρp cos(p θ).

Exprimer le plus rapidement possible un en fonction de n de façon à pouvoirétablir la convergence de la suite (un)n∈IN et en calculer la limite.Indication Solution

Exercice 6Etant donné α , β , a et b des réels tels que (α, β) 6= (1, 0) et (a, b) 6= (0, 0) , onconsidère les suites réelles définies par x0 = a , y0 = b et

∀n ∈ IN, xn+1 = αxn − β yn et yn+1 = β xn + α yn.

1. Exprimer xn + i yn en fonction de α , β , a , b et n .Indication Solution

2. Montrer que si α2 + β2 < 1 , alors les deux suites x et y convergent.Indication Solution

3. Etudier la réciproque.Indication Solution

Exercice 7Déterminer

limn→∞

n−1∑k=0

sin

((k + 1)π

2n

) (cos

k π

2n− cos

(k + 1)π

2n

).

Donner une interprétation géométrique, en termes d’aire, du résultat obtenu.Indication Solution

Exercice 8Réciproque de l’exercice (1)

1. Soit (zn)n∈IN une suite de complexes de modules 1 convergeant vers 1 .

Montrer l’existence d’une suite (θn)n∈IN d’éléments de [−π, π] telle que

∀n ∈ IN, zn = eiθn

Indication

2. Calculer le module de 1− zn et en déduire lim θ = 0.

On pourra utiliser, après justification, l’inégalité :

∀x ∈[−π2 ,

π2

], | sinx| > 2

π |x|

Indication Solution

Lycée Privé Sainte Geneviève (JMC) 1 21 avril 2012

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3. Soit (zn)n∈IN une suite ayant une limite non nulle. Montrer qu’il existe deuxsuites réelles convergentes (ρn)n∈IN et (θn)n∈IN telles que

∀n ∈ IN, zn = ρneiθn .

Indication Solution

4. Peut-on généraliser le résultat précédent à une suite convergeant vers 0 ?Indication Solution

Fonctions complexesExercice 9

Calculer∫cosx sinhx dx

Indication Solution

Exercice 10

Calculer∫x2 ex sinx dx

Indication

Exercice 11

Soit α ∈ C \ {−1} .

1. Définir

fα : IR∗+ → Ct 7→ tα

et montrer qu’une primitive de fα est 1α+1 fα+1.

Indication Solution

2. En déduire une primitive de g définie par g(t) =√t cos(ln t) .

Indication Solution

Exercice 12

Soit P =n∑k=0

ak xk un polynôme à coefficients réels.

1. Etablir ∀Q ∈ IR[X],

∫ 1

−1Q(x) dx = −i

∫ π

0

Q(eit) eit dt

2. Etablir∫ π

0

P (eit)P (e−it) dt =∑j,k

aj ak

∫ π

0

e(j−k)it dt = π

n∑k=0

a2k .

3. En déduire∫ 1

−1P 2(t) dt 6 π

n∑k=0

a2k .

Solution

Exercice 13

Soit n un entier naturel

1. Vérifier

(cos 2u+ i sin 2u cos θ) =(cosu+ i eiθ sinu

) (cosu+ i e−iθ sinu

)et :

1

2π

∫ 2π

0

(n∑k=0

ak ek i θ

)(n∑k=0

bk e−k i θ

)dθ =

n∑k=0

ak bk.

2. Pour t ∈ [0, 1] , en déduire

1

2π

∫ 2π

0

(t+ i

√1− t2 cos θ

)ndθ =

1

2n

n∑p=0

(−1)p (Cpn)2(1− t)p (1 + t)

n−p

puis :

1

2π

∫ 2π

0

(t+ i

√1− t2 cos θ

)ndθ =

(−1)n

2n n!Dn( (

t2 − 1)n )

3. Etablir : ∀t ∈ [0, 1],∣∣∣∣ 1

2n n!Dn[(t2 − 1

)n]∣∣∣∣ 6 1

Solution

Lycée Privé Sainte Geneviève (JMC) 2 21 avril 2012