STK 203 TEORI STATISTIKA I -...

III. Peubah Acak Kontinu 1

STK 203TEORI STATISTIKA I

III. PEUBAH ACAK KONTINU


PEUBAH ACAK KONTINUIngat definisi peubah acak !

Definisi :Peubah acak Y adalah suatu fungsi yang memetakan seluruh anggota ruang contoh S ke himpunan bilangan nyata R; Y : S R.


Peubah Acak Kontinu

Definisi 3.1. (Peubah Acak Kontinu):

Jika Y adalah suatu peubah acak dengan ruang contoh S yang terdiri dari suatu selang (interval) atau gabungan dari beberapa selang, serta f(y) adalah fungsi non negatif sedemikian sehingga ∫S f(y) dy = 1 dan jika ada fungsi P(A), A ⊂ S dapat dinyatakan sebagaiP(A) = P(Y ∈ A) = ∫A f(y) dy , maka Y disebut peubah acak kontinu dan f(y) disebut fungsi kepekatan peluang (fkp) dari Y.


Jika f(y) adalah fkp peubah acak Y dan A = {y|a < y < b} maka P(A) = P(Y ∈ A) dapat ditulis sbb

P(a < Y < b) = ∫ab f(y) dy

Jika A = {a}, maka

P(A) = P(Y ∈ A) = P(Y = a) = ∫aa f(y) dy = 0,

artinya jika Y peubah acak kontinu, maka peluang setiap himpunan yang terdiri dari satu titik adalah nol. Dengan demikian P(a < Y < b) = P(a ≤ Y ≤ b)


Jika FY(y) adalah fungsi sebaran (kumulatif) suatu peubah acak kontinu Y dimana FY(y) = ∫-∞y f(t) dt , maka berlaku :

1. 0 ≤ FY(y) ≤ 12. FY(y) merupakan fungsi tidak turun3. limy -∞ FY(y) = 0 dan Limy ∞ FY(y) = 14. FY(y) merupakan fungsi kontinu kanan,

limy a+ FY(y) = FY(a)

≤

Sifat Fungsi Sebaran Peubah Acak Kontinu


Ilustrasi 3.1.Pada suatu percobaan, dipilih satu titik secara acak dari selang [a, b] dimana a < b. Misalkan Y adalah fungsi identitas yang terdefinisi pada selang [a, b], dengan demikian ruang contoh SY = [a, b]. Anggap jika suatu interval A adalah anak gugus dari SY, maka peluang kejadian A sebanding terhadap panjang A. Jika A = [a, y], y ≤ b maka P(A) = P(Y ∈ A) = P(a ≤ Y ≤ y) = c (y - a), dimana c konstanta keproporsionalan.Jika y = b maka P(A) = P(a ≤ Y ≤ b) = c (b - a) = 1, sehingga c = 1/(b-a).


Ilustrasi (cont):Dengan demikian kita akan mempunyai suatu model peluang jika fungsi sebaran Y, yaitu FY(y) didefinisikan :

Sehingga fY(y)=F’Y(y)dapat dituliskan sbb:

≤≤≤−−

<=

yb, 1

byaa),(ba)(y

ay, 0

(y)FY

≤≤−

=selainnya, 0

bya, a)(b1(y)fY


Jika Y peubah acak kontinu dengan fungsi sebaran FY(y), maka fungsi kepekatan peluang (fkp) bagi Y, dinotasikan fY(y) adalah

asalkan turunan pertama dari FY(y) terdefinisi. Dengan demikian berdasarkan kaidah kalkulus maka juga dapat ditulis

Sifat dari fY(y):

;

Hubungan FY(y) dengan fY(y)


Ilustrasi 3.2.Jika diketahui Y memiliki fkp fY(y) sbb.

y lainnya

Untuk menentukan FY(y) kita perlu menghitung P(Y ≤ y) untuk semua kemungkinan nilai y.

• Untuk y ≤ 0, kita peroleh

• Untuk 0 < y < 2, kita peroleh

• Untuk y ≥ 2, kita peroleh

• Jadi FY(y) yang dimaksud adalah


Sifat fkpJika Y peubah acak kontinu dengan fkp fY(y), maka

(i)

(ii)

(iii)


Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu

Nilai harapan suatu peubah acak kontinu Y adalah :

Ilustrasi 3.3. Jika diketahui

y lainnyaSehingga


Jika Y adalah suatu peubah acak kontinu dengan fkp fY(y) dan g(Y) adalah suatu fungsi dari peubah acak Y, maka…

y lainnya

Ilustrasi 3.4.Jika diketahui

• Jika g(Y) = ln Y, maka E(ln Y) :

• Jika g(Y) = Y2, maka E(Y2) :


Bentuk-bentuk khusus nilai harapan

Jika Y peubah acak diskret dengan fmp f(y) dan y terdefinisi pada a1, a2, a3, … maka akan berlakuE(Y) = a1 f(a1) + a2 f(a2) + a3 f(a3) + … yang tidak lain adalah rataan terboboti atau disebut juga rataan aritmetik atau nilai tengah suatu peubah acak.

Dengan demikian nilai tengah µY dari suatu peubah acak Y, jika ada, adalah µY = E(Y) berlaku untuk Y diskret atau kontinu.


Bentuk khusus nilai harapan ragam

Perhatikan untuk g(Y) = (Y - µY)2

E[g(Y)] = ∫y g(y) fY(y) dy

= ∫y (y - µY)2 fY(y) dy

adalah ragam Y, dinotasikan σ2Y.

σ2Y = E[(Y - µY)2]

= E[Y2 – 2Y µY + µY2]

= E(Y2) - 2 µY2 + µY

2

= E(Y2) - µY2


Bentuk khusus nilai harapan fungsi pembangkit momen

Perhatikan untuk g(Y) = etY

E[g(Y)] = ∫y etY fY(y) dyadalah fungsi pembangkit momen peubah acak Y dan dinotasikan dengan mY(t).

Jika dua buah peubah acak memiliki fungsi pembangkit momen yang sama, maka keduanya juga memiliki sebaran yang sama. Fungsi pembangkit momen bersifat unik dan menentukan sebaran peubah acak.


Dengan demikian kita bisa menyatakan suatu peubah acak Y secara unik dalam tiga bentuk :

1. Fungsi sebaran, FY(y)2. Fungsi kepekatan peluang, fY(y)3. Fungsi pembangkit momen, mY(t)


Momen suatu peubah acak

Jika MY(t) adalah fungsi pembangkit momen peubah acak Y dan M(i)

Y(t) adalah turunan ke-i terhadap t dari MY(t), maka :

M(1)Y(t) = ∫y y ety fY(y) dy

dan untuk t = 0, maka M(1)Y(t) = ∫y y fY(y) dy = E(Y)

M(2)Y(t) = ∫y y2 ety fY(y) dy

dan untuk t = 0, maka M(2)Y(t) = ∫y y2 fY(y) dy = E(Y2)

Dengan demikian M(k)

Y(t) = ∫y yk ety fY(y) dydan untuk t = 0, maka M(k)

Y(t) = ∫y yk fY(y) dy = E(Yk)adalah momen ke-k dari peubah acak Y.



Menentukan nilai tengah dan ragam melalui fpm


Ilustrasi 3.5.

Perhatikan peubah acak Y dengan fkp sbb.

y lainnya

Fungsi pembangkit momen serta nilai harapan dan ragamnya adalah :

untuk t < 0

Jadi E(Y), E(Y2) dan V(Y) adalah :


Sifat nilai harapan

Perhatikan peubah acak kontinu Y dengan fkp fY(y) dan g1, g2, …, gk adalah fungsi dari Y serta c adalah suatu konstanta, maka :


Y ~ Seragam (θ1, θ2)

(1) fkp peubah acak Y :

y lainnya

(2) Fungsi pembangkit momen :

(3) Nilai harapan dan ragam :

Penurunan dan bukti sebagai latihan !!!


y lainnya

Y ~ Normal (µ, σ2)


Akan diperlihatkan bahwa fY(y) adalah fkp. Misal dan

I > 0 dan jika fY(y) fkp, maka I = 1 sehingga I2 = 1


Y ~ Normal (µ, σ2)

Misal x = r cos θ, y = r sin θ sehingga x2 + y2 = r2 dan dxdy = r drdθ, maka I2

dapat ditulis sbb. yang merupakan bentuk koordinat polar.


Y ~ Normal (µ, σ2)(2) Fungsi pembangkit momen :

Misal , sehingga

dengan


Y ~ Normal (µ, σ2)(2) Fungsi pembangkit momen :

Dengan demikian mY(t) =

akhirnya mY(t) =


~ N (0, 1)

Ilustrasi 3.6.

Perlihatkan bahawa yika Y ~ N (µ, σ2) maka

Bukti :

⇒ adalah fpm N(0, 1)


(fungsi gamma)

y lainnya

Y ~ Gamma (α, β)


Akan diperlihatkan bahwa fY(y) adalah fkp. Misal danmaka :

karena untuk t > 0


Y ~ Gamma (α, β)

(2) fpm peubah acak Y :

dengan maka suku sebelah kanan dapat ditulis sbb.

fkp

dengan demikian fpm peubah acak Y adalah


Y ~ Eksponensial (β)


y lainnya

(2) fpm peubah acak Y :, misal

, untuk . Kenapa ?


Latihan :

Jika Y ~ Gamma (α, β).

(1) Untuk α = 1, maka Y ~ Eksponensial (β)

(2) Untuk α = v/2 dan β = 2, maka Y ~ χ2(v)

STK 203 TEORI STATISTIKA I -...

Documents

Transcript of STK 203 TEORI STATISTIKA I -...