Serie4.12 13 Solution
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Université Ibn Tofail Faculté des Sciences Kénitra TD Electricité 3 (Filière SMP-S4) Années Universitaire 12-13 SOLUTION Exercice Complémentaire 1. Rappeler les équations de Maxwell dans le vide, dans le cas ou la densité de charge ρ et le vecteur densité de courant J sont nuls et en déduire l'équation générale de propagation: 0 t E c 1 E 2 2 2 = ∂ ∂ − Δ c étant la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide Les équations de Maxwell dans le vide, en l'absence de densités de charges et de courants s'écrivent: 1. 0 E div = (théorème de Gauss 0 S q E fermée ε ∑ = Φ int ) ( ) 2. t B E rot ∂ ∂ − = ( E dérive d’un potentiel t A V grad E ∂ ∂ − − = ) 3. t E B rot 0 0 ∂ ∂ = μ ε (Théorème d’Ampère ∫ ∑ = C 0 I l d B int . μ ) 4. 0 B div = (flux de B conservatif A rot B = ) Calculons le rotationnel de l'équation de Maxwell - Faraday en utilisant la relation d'analyse vectorielle: E E div grad E rot rot Δ − = avec z z y y x x e E e E e E E Δ + Δ + Δ = Δ en coordonnées cartésiennes, il vient: ) ( ) ( B rot t t B rot E rot rot ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = et 0 E div grad = l'équation de Maxwell - Faraday conduit alors à:
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Université Ibn Tofail Faculté des Sciences
Kénitra TD Electricité 3
(Filière SMP-S4) Années Universitaire 12-13
SOLUTION
Exercice Complémentaire
1. Rappeler les équations de Maxwell dans le vide, dans le cas ou la
densité de charge ρ et le vecteur densité de courant J
sont nuls et en déduire
l'équation générale de propagation:
0tE
c1E 2
2
2
=
∂
∂−Δ
c étant la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide
Les équations de Maxwell dans le vide, en l'absence de densités de charges et de
courants s'écrivent:
1. 0Ediv =
(théorème de Gauss 0
S
qE
fermée ε∑=Φ int)(
)
2. tBErot∂
∂−=
(E
dérive d’un potentiel tAVgradE∂
∂−−=
)
3. tEBrot 00 ∂
∂=
µε (Théorème d’Ampère ∫ ∑=C 0 IldB int. µ
)
4. 0Bdiv =
(flux de B
conservatif ArotB
= )
Calculons le rotationnel de l'équation de Maxwell - Faraday en utilisant la relation d'analyse vectorielle:
EEdivgradErotrot
Δ−= avec zzyyxx eEeEeEE
Δ+Δ+Δ=Δ
en coordonnées cartésiennes, il vient:
)()( Brottt
BrotErotrot
∂
∂−=
∂
∂−= et 0Edivgrad
=
l'équation de Maxwell - Faraday conduit alors à:
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Kénitra TD Electricité 3
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0tE
c1E 2
2
2
=
∂
∂−Δ avec 002c
1εµ=
2. Un guide d'ondes est constitué par un parallélépipède conducteur dont
la section intérieure est rectangle. On considère que le milieu est parfait et que le
milieu dans le guide est le vide.
L'axe longitudinal est pris pour axe Oz. Les axes Ox et Oy forment avec Oz un
trièdre orthonormé direct Oxyz. Les côtés parallèles à Ox et Oy ont pour longueurs
respectivement a et b. La solution du problème ne nécessite aucune connaissance
préalable des guides d'ondes.
Le tube étant conducteur, le champ électrique doit être normal aux parois
(éventuellement nul en tout point de ces parois). Montrer que le champ dont les
composantes de l'amplitude complexe sont:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=
−−
0E
eaxEE
0E
z
kzti0y
x
)()cos( ωπ
satisfait à cette condition. Quelle est sa direction de propagation ?
ü sur les parois 2ax ±= (parois latérales du tube)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
0E0E0E
z
y
x
E
est nul sur les parois 2ax ±=
ü sur les parois 2by ±= (parois supérieurs et inférieures du tube)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠
=
0E0E0E
z
y
x
yEE
= ; E
est alors perpendiculaire aux parois 2by ±=
O z
x y
a b
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Kénitra TD Electricité 3
(Filière SMP-S4) Années Universitaire 12-13
La direction de propagation de l'onde peut être déduite à partir du résultat du
produit rk⋅ . En effet on constate dans l'expression du champ électrique que ce
terme vaut:
zkzkykxkezeyexekekekrk
zyx
zyxzzyyxx
⋅=⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=⋅ )()(
Par identification on en conclut que les composantes du vecteur d'onde sont les
suivantes:
kket0kk zyx ===
par conséquent le vecteur d'onde s'écrit zz ekk⋅= et la direction de propagation est
celle de l'axe Oz.
3. Montrer que l'équation de propagation impose la valeur de k
; la
calculer en fonction de a, ω et c et en déduire la vitesse de phase c' de l'onde. Est-
elle plus grande ou plus petite que c ? Quelle est la valeur de ω en dessous de
laquelle il n'est pas possible d'avoir de propagation ?
L'équation de propagation étant:
0tE
c1E 2
2
2
=
∂
∂−Δ
2
2
2
2
2
2
zE
yE
xEE
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=Δ
or ),( zxEE y
=
d'où EkEaz
ExEE 2
2
2
2
2
2
⋅−⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
∂
∂+
∂
∂=Δ
π
et EtE 22
2
⋅−=∂
∂ω
l'équation de propagation se réduit alors à: 0c
ka
22
2
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−
ωπ
ainsi l'expression imposée au vecteur d'onde k est:
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2
22222
ac1
ck
ac1
cack
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=
ωπω
ωπωπω
On peut alors écrire k sous la forme: 'c
k ω= avec c
ac1
cc2〉
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
ωπ
'
La vitesse de phase est supérieure à la vitesse c de propagation d'une onde
électromagnétique dans le vide; en fait, cette limitation est valable pour les particules,
ou les signaux transportant une certaine énergie. Elle ne s'applique pas à la vitesse
de phase, qui apparaît comme une grandeur mathématique qui n'est pas soumise à
la limitation relativiste.
L'expression trouvée pour k impose que celle-ci n'admet de solutions réelles
que si : 0ac1
2
〉⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
ωπ et ca
cω
πω =〉
ωc est appelée pulsation de coupure et représente la valeur critique de ω en
dessous de laquelle il n'y a pas de propagation possible.
4. Calculer les composantes zyx BetBB , de l'induction magnétique B
de
l'onde. Que devient-elle sur les parois 2ax ±= ?
Nous pouvons déterminer les composantes du l'induction magnétique à partir de
l'équation de Maxwell suivante tBErot∂
∂−=
tBtBtB
xE0zE
0E0
z
y
x
z
y
x
∂
∂∂
∂∂
∂
−=
∂
∂
∂
∂−
=∧
∂∂∂
∂∂
∂
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)cos()cos()cos(
)cos(
)(
)(
kztaxkE
eaxkE
B
dteaxikEB
0kzti0x
kzti0x
−−=−=
=
−−
−−∫
ωπω
πω
π
ω
ω
)sin()sin()sin(
)sin(
)(
)(
kztax
aE
eax
iaE
B
dteax
aEB
0kzti0z
kzti0z
−=−=
=
−−
−−∫
ωπω
ππ
ωπ
ππ
ω
ω
5. Calculer les composantes Rx, Ry et Rz du vecteur de Poynting R
à
l'intérieur du guide. Quelle est la valeur moyenne, de Rz(z,t) de Rz sur la section
droite d'abscisse z? En déduire le flux ),( tzφ de R
à travers une section droite
orientée dans le sens des z croissants et sa valeur moyenne dans le temps φ
=∧
=0
BERµ
)sin()sin(
)cos()cos(
)cos()cos(kzt
ax
aE
0
kztaxkE
0
kztaxE0
1
0
0
00
−
−−
∧−=
ωπω
π
ωπω
ωπµ
)(cos)(cos
)(sin)(sin
kztaxkE0
kzt2ax2
a2E
R22
0
20
0
20
−
−
=
ωπωµ
ωπωµ
π
La valeur moyenne de la composante Rz du vecteur de poynting sur une section
du tube perpendiculaire à l'axe Oz peut être retrouvée à partir de la relation:
∫ ⋅= dSRS1R zZ sachant que dS = dx.dy et S= ab
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)(cos
sin)(cos
cos)(cos
)(cos)(cos
kzt2kE
ax2
2axkzt
a2kE
dx2
ax21
kztakE
dydxkztaxkE
ab1R
2
0
20
2a
2a
2
0
20
2a
2a
2
0
20
2a
2a
2b
2b
22
0
20
z
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−=
+−=
⋅⋅−=
−
−
− −
∫
∫ ∫
ωωµ
ππ
ωωµ
π
ωωµ
ωπωµ
Le flux du vecteur de poynting à travers une section droite orientée dans le sens
des z croissants est:
∫∫=S
SdR
.φ or zz
zx
edydxedSSd
RRR
⋅⋅==
+=
zS zS z RabdydxRdSR ⋅=⋅== ∫∫∫∫ ..φ
)(cos kzt2abkE 2
0
20 −= ωωµ
φ
Sa valeur moyenne dans le temps vaut:
ωµ
ωωωµ
ωωµ
ωωµ
φ
0
20
T
00
20
T
00
20
T
0
2
0
20
4abkE
kzt221t
T4abkE
dt2
kzt21T2
abkE
dtkzt2abkE
T1
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+=
−+=
⋅−=
∫
∫
)(sin
)(cos
)(cos
