Anne Universitaire 2013-2014

Facult des Sciences Dpartement de Physique

Travaux dirigs dElectricit 1SMA/SMI

Srie 2

I- Un anneau fin de rayon R porte une densit linique de charges qui varie avec l'angle des

coordonnes polaires selon la loi = o cos . o une constante positive.

Calculer le potentiel et le champ au centre de l'anneau.

II- 1- Calculer le champ et le potentiel cres, en tout point M de l'espace, par une distribution

volumique de charges, de densit uniforme , contenue entre deux sphres concentriques de rayon R1 et R2 (R1 < R2).

2- Tracer les courbes E(r) et V(r) avec r = OM. E et V sont-ils continues ?

3- Retrouver les valeurs de E et V si R1 tend vers R2. E et V reste-ils continues ?

III- Un diple lectrique de moment dipolaire iqap = est constitu de deux charges ponctuelle -q

et +q places dans le vide aux points A et B de l'axe OX de part et d'autre de O. La distance AB = a.

Un point M loign des charges est repr par ses coordonnes polaires r et .

1- Calculer V(M).

2- En dduire le module et l'orientation du champ lectrostatique au point M.

Le diple est maintenant plac dans un champ extrieur uniforme E0 orient suivant l'axe OX. Le

potentiel de ce champ est nul l'origine O

3- Donner l'expression du potentiel lectrostatique au point M.

4- Quelles sont les surfaces quipotentielles V = 0

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Anne Universitaire 2013-2014

Facult des Sciences Dpartement de Physique

Travaux dirigs dElectricit 1SMA/SMI

Srie 2 - Solution

I- Remarquons dabord que les charges sont concentres autour de = 0 et = pi et quil y a

absence de charge = pi /2. On peut chercher le champ et le potentiel en un point quelconque de

laxe OZ et les appliquer au centre. En plus le cosinus est positif quand 0 < < pi /2 et il est ngatif

quand pi /2 < < pi

( )jsinicosjsinicosR

dq4

1u

R

dq4

1u

R

dq4

1dEdEdE

20220

12021

pipipi+=+=+=

( ) icosR

dl4

2icos2

R

dq4

1dE

2020

pi

pi

==

=> E est port par OX et il est oppos idl = Rd , la seule variable dans cette expression est .

i4

2sin2R1

42

id2

2cos1R1

42

idcosR1

42

E00

0

00

0

0

2

0

0pipipi

pi

pi

pi

+=

+=

= i

2R1

42

E0

0 pi

pi

= Soit iR

14

E0

0

=

En M le potentiel cre par une charge lmentaire dq = dl est :

20

020 R

dRcos4

1

R

dl4

1dV

pi

pi

== soit 0dcosR4

V2

00

0==

pi

pi

En O, le potentiel des charges plus compense celui des charges ngatives de sorte que le potentiel total soit nul.N.B : expliquez aux tudiants que lon ne peut pas utiliser ici la relation VgradE =

2

2u

2dE1u

1dE------

--

-- ++

++

++

++

+

+

II- 1- En un point M de lespace le champ est radial et il est constant sur tous les points ayant la

mme distance r de O. =S v0

dv1

dSE S tant la surface de Gauss et v le volume charg

inclus dans S.

Si r > R2, ( )13230

2 RR34

r4E = pi

pi soit

( )20

31

32

r

13

RRE

=

VgradE = ( )

r1

3RR

EdrV0

31

32

== , la constante dintgration est nulle car V() = 0

Si R2> r > R1, ( )1330

2 Rr34

r4E = pi

pi soit

( )2

133

0 r

Rr3

E =

VgradE = 13

12

0C

rR

2r

3EdrV +

+==

Si r < R1, absence de charge dans la surface ferme, E = 0. V = C2.

Dtermination de C 1 et C 2

Quand M est la distance R1 de O : )r(Vlim)r(Vlim

11 RrRr+

=

. Soit

11

31

21

02 CR

R2

R3

C +

+=

A la distance R2 de O : )r(Vlim)r(Vlim

22 RrRr+

=

. Soit

( )20

31

32

12

31

22

0 R1

3RR

CRR

2R

3

=+

+

=> 220

1 R323

C

= et donc ( )2122

02 RR32

3C =

On regroupe les rsultats dans le tableau :

r > R2( )

20

31

32

r

13

RRE

=

( )r1

3RR

V0

31

32

=

R2> r > R1( )

2

31

3

0 r

Rr3

E

=

+

=

r2R2r

2R3

3V

31

322

0

r < R1 E = 0 ( )21220

RR32

3V =

2-

3

Le champ et le potentiel sont des fonctions continues la traverse dun volume charg.

3- Si R1 tend vers R2, on obtient une seule sphre charge en surface de distribution : 2R4Q

pi =

Deux cas uniquement sont possibles r < R et r > R. On peut rappliquer le thorme de Gauss ou directement remplacer par son expression en fonction de la charge.

r > R 20

2

r

1RE

=

r1R

V0

2

=

r < R E = 00

RV

=

III/ 1-

R1 R2 r

E

R2R1

r

V

R1 R2

4

21

21

0120 rrrr

4q

r1

r1

4q

)M(V

=

=

pipi

rcos2a

M'H'AHr1 ++= et 2rcos2a

HMOHr ++=

On en dduit : cosarr 21 et 222

221 rcos4

arrr =

Soit : 20 rcosa

4q)M(V

pi=

2- VgradE = => 30r

r

cosa24

qrV

E

pi=

= et 30 r

sina4

qVr1

E

pi=

=

1cos3r

a4

qsinacosa4

r

14

qEEE 2

30

222230

22r +=+=+= pi

pi

Lorientation du champ peu tre dfinie par langle que fait E avec OM : tg21

EE

tgr

==

3- Le nouveau potentiel est la somme du potentiel du diple et du potentiel extrieur issu de E0. V(M) = V(M) + V0.

iEE 00 = et la relation VgradE = donnent : +== CtexEdxEV 000A lorigine V0(O) = 0 => Cte = 0, do V0 = - E0 x. avec x = r cos .

pi

cosrEr

cosa4

q)M(V 020

Total =

4- VTotal = 0 => 0cosrEr

a4

q020

=

pi

=> 0rEr

a4

q020

=

pi et dans ce cas 3

00 Ea

4q

rpi

= , ce qui dfinit une sphre de rayon r et de

centre O comme surface quipotentielle.

Ou cos = 0 => = pi / 2, ce qui dfinit le plan mdiateur OY comme surface quipotentielle.

ErEE

e reM

O

HH

a

-q q

BA

r = OM = OH + HMr

1 = AM = AH + HM

r2 = BM

r >> a =>

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