1

22.11.2007 1

Luento 7• Lineaaristen järjestelmien analyysi taajuustasossa

– Taajuusvaste– Stabiilisuus

22.11.2007 2

LTI-järjestelmät

• Tarkastellaan lineaarista aikainvarianttia järjestelmää

• Käytetään pyörivää osoitinta herätteenä

ja arvataan, että vaste on muotoa

h(t)u(t) y(t)

2( ) i ftu t e π=

2( ) ( ) i fty t H f e π=

1 1

1 0 1 01 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),n n m m

n m mn n m m

d d d dy t a y t a y t b u t b u t b u t n mdt dt dt dt

− −

− −− −= − − − + + + + ≥

2

22.11.2007 3

LTI-järjestelmät• Sijoittamalla heräte sekä arvattu vaste

differentiaaliyhtälöön saadaan

• Joten taajuudella f pyörivää osoitin generoi vasteeksi samalla taajuudella pyörivän osoittimen, jonka amplitudi ja vaihe ovat muuttuneet

( ) ( ) ( )1

2 2

0 02 2 ( ) 2

n mn l ki ft i ft

l kl k

i f a i f H f e b i f eπ ππ π π−

= =

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠⇒

∑ ∑

2 2 arg ( )( ) ( ) ( )i ft i ft i H fy t H f e H f eπ π += =

( )

( ) ( )0

1

0

2( )

2 2

mk

kk

nn l

lk

b i fH f

i f a i f

π

π π

=−

=

=+

∑

∑

Siirtofunktio

22.11.2007 4

Taajuusvaste• Järjestelmän taajuusvaste saadaan syöttämällä sisään

eri taajuisia sini-muotoisia signaaleja ja katsomalla kuinka niiden amplitudi ja vaihe muuttuvat kulkiessaan järjestelmän läpi.

Lineaarinen järjestelmä ei aiheuta taajuuden muuntumista.

( ) ( )

( )

2 2

2 * 2

2 arg( ( )) 2 arg( ( ))

1( ) cos 22

1 1( ) ( ) ( )2 21 1( ) ( ) ( )2 2

( ) ( ) cos 2 arg ( )

i ft i ft

i ft i ft

i ft i H f i ft i H f

u t ft e e

y t H f e H f e

y t H f e H f e

y t H f ft H f

π π

π π

π π

π

π

−

−

+ − −

= = +

= +

= +

= +

3

22.11.2007 5

Esimerkki (1/1)• 1. asteen differentiaali yhtälö

• Ratkaisu syötteelle :

• Ratkaisu syötteelle :

• Ratkaisu syötteelle :

( ) ( ) ( )d y t ay t bu tdt

= − +2( ) i ftu t e π=

2( )2

i ftby t ei f a

π

π=

+

2( ) i ftu t e π−=

2( )2

i ftby t ei f a

π

π−=

− +

( ) ( )2 21( ) cos 22

i ft i ftu t ft e eπ ππ −= = +

2 21( )2 2 2

i ft i ftb by t e ei f a i f a

π π

π π−⎛ ⎞

= +⎜ ⎟+ − +⎝ ⎠

22.11.2007 6

Esimerkki (1/2)– Ratkaisu voidaan kirjoittaa muotoon

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )

( )

2 22 22 2

2 22 arctan 2 arctan2 22 2

2 2

2 22 arctan 2 arctan

2 2

2

2 21( )2 2 2

2 212 2

12 2

1

2

i ft i ft

f fi ft i i ft ia a

f fi ft i fta a

b i f a b i f ay t e e

f a f a

f a e f a e

f a

e e

f a

f a

π π

π ππ π

π ππ π

π π

π π

π π

π

π

π

−

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞− + += +⎜ ⎟

⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

+ + +=

+

+=

+

=+

( )

2

arg ( )( )

2cos 2 arctan

H fH f

fftaππ

+

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟− ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )

2 2

1

arg arctan

a iba ib a b

ba iba

−=

+ +⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

4

22.11.2007 7

Taajuusvaste• Taajuusvaste on järjestelmän vaste sini-muotoiseen

herätteeseen.• Siirtofunktio

– Amplitudivaste (amplitudi funktio)

– Vaihevaste (vaihefunktio)

– Vaiheviive (kantoaallon viive) [phase/carrier delay]Vaihesiirto vastaa aikatasossa signaalin viivästymistä

( )( ) arg ( )f H fφ = −

( )arg ( ) ( )( ) ( ) ( ) ej H f j fH f H f e A f φ−= =

( ) ( )A f H f=

{ } 2( ) di ftdF t t e πδ −− =

td(f)=φ(f)/2πf

22.11.2007 8

Taajuusvaste• Vasteen y(t) Fourier-muunnos: Y(f)=H(f)U(f)• Vasteen y(t) spektritiheys saadaan impulssivasteen ja

herätteen spektritiheyksien tulona:

• Järjestelmä suodattaa signaalia u(t)

2 2 2( ) ( ) ( )Y f H f U f=

2( )H f

2( )U f 2( )Y f

2( )H f Tehonsiirtofunktio

5

22.11.2007 9

Boden käyrät • Vahvistuskäyrä

– Tehonsiirtofunktio logaritmi kulmataajuuden ω=2πf (rad/s) funktiona20 log10(|H(ω/(2π))|)

• Vaihekäyrä– Vaihevaste asteina

φ(f) · 180°/(π)kulmataajuuden ω=2πf (rad/s) funktionaφ(ω/(2π))

-40

-30

-20

-10

0

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

22.11.2007 10

Amplitudi ja vaihevääristymät• Halutaan siirtää signaali u(t) järjestelmän läpi, ilman

että signaalin muoto vääristyy.– Ideaalitapauksessa y(t)=a·u(t-τd), missä a>0 on

vakio– Tätä vastaa taajuusvaste Y(f)=a · U(f) · e-i2πfτd

– Tällöin järjestelmän siirtofunktion pitää olla vakio H(f)=a ·e-i2πfτd koko signaalin u(t) kaistalla

– Käytännössä näin ei tapahdu, vaan signaali vääristyy• Amplitudi vääristymä: A(f)≠ A • Vaihevääristymä: φ(f)≠ 2πfτ

6

22.11.2007 11

Amplitudi ja vaihevääristymät• Ryhmäkulkuaika

kuvaa vaiheen muutosta taajuuden funktiona.• Ideaalisessa tapauksessa on taajuudesta riippumaton

vakio. • Vaihevääristymä kaistanpäästösignaalille u(t) kaistalla

(fc-B/2, fc+B/2), fc kantoaallon taajuus

1( ) ( )2g

dt f fdf

φπ

=

gt

( )( ) ( )

2, 2max

c cg g g c

f f B f Bt t f t f

∈ − +Δ = −

2f f

gf

d t fφ φ π+Δ

Δ = ≤ Δ Δ∫Vaiheen muutos taajuuden muutoksen suhteen

22.11.2007 12

Vaihevääristymät• Tarkastellaan lineaarisesti moduloitua signaalia, jonka

kaistanleveys on B

• Signaali kulkee kanavan (järjestelmän) läpi. • Kanavan siirtofunktio on

• Vaiheviive

• Ryhmäviive

( )( ) ( ) cos 2 cu t x t f tπ=1 1( ) ( ) ( )2 2c cU f X f f X f f= + + −

( )02 sgn

0

( )( )( ) 2 , 0

gi f f

g

H f aeA f a

f f f

π τ φ

φ π τ φ

− +=== + >

AmplitudivasteVaihevaste

0( )2d gt f

fφ

τπ

= +

1 ( )( )2g g

d ft fdf

φ τπ

= =

7

22.11.2007 13

Vaihevääristymät• Ulostulosignaali taajuustasossa

• ja aikatasossa

2 21 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

g d g di f i i f ic cY f H f U f X f f ae X f f eπ τ φ π τ φ− + − −= = + + −

( )( )( ) ( ) cos 2g c g dy t x t f tτ π τ φ= − − −

( )( )( )( ) ( )cos 2g c d cy t x t f t t fτ π= − − ( ) 02d gt f φ

τπ

= +

( ){ } ( ) ( )cos 2 i ic c cF f t f f e f f eφ φπ φ δ δ−+ = + + −

Vaiheviive / kantoaallon viiveRyhmäviive

22.11.2007 14

Vaihevääristymät• Pelkkä vakio vaiheensiirto φ0 voi aiheuttaa signaalin

vakavaa vääristymistä

0 5 10-4

-2

0

2

4

x(t)

t0 5 10

-4

-2

0

2

4

u(t)

t

0 5 10-4

-2

0

2

4

x(t- τ

g)

0 5 10-4

-2

0

2

4

y(t)

t

( )( )( ) ( )cos 2g c dy t x t f tτ π τ= − −

Kantataajuinen signaali Moduloitu signaali

Vaihesiirretty moduloitu signaali

8

22.11.2007 15

Esimerkki I (1/4)• Tarkastellaan T:n mittaista jännitepulssia uin(t), jonka

amplitudi on A.

• RC-suodattimen impulssivaste h(t)=1/τe-t/τ, τ=RC

• Ratkaistaan suodattimen ulostulo uout(t)

2( )in

Ttu t A

T

⎛ ⎞−⎜ ⎟= Π ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

T

A

1/τ

22.11.2007 16

Esimerkki I (2/4)• Jännitepulssin Fourier-muunnos

• Impulssivasteen Fourier-muunnos

• Suodatettu signaali

{ }22

2 12( ) ( ) sinc( )2

T i fTi

in in

Tt eU f F u t F A AT fT e AT i f

ππ

π

−−

⎧ ⎫⎛ ⎞−⎪ ⎪⎜ ⎟ −⎪ ⎪= = Π = =⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

sinc( )tF A AT fTT

⎧ ⎫⎛ ⎞Π =⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

{ } 2( ) ( ) i fF x t X f e π ττ −− =

{ } { } 1( ) ( )2 1

tH f F h t F ei f

ττπ τ

−= = =+

21( ) ( ) ( ) ( )2

i fT

out ineU f H f U f A H f

i f

π

π

−−= =

9

22.11.2007 17

Esimerkki I (3/4)• Ulostulojänniteen Fourier-muunnos

• Ratkaistaan X(f):n käänteismuunnos

• Ulostulojänniteen lausekkeeksi saadaan

( )( )2

X fF x t dti fπ

⎧ ⎫⇔⎨ ⎬

⎩ ⎭∫

{ } 2( ) ( ) i fF x t X f e π ττ −− =

( )2

2

1( ) ( ) ( ) ( ) 12

1( ) ( ) , ( ) ( )2

i fTout in

i fT

U f H f U f A H f ei f

X f X f e X f A H fi f

π

π

π

π

−

−

= = −

= − =

{ }1 1

1 10

1 1 01( ) ( ) ( )2

0

t t tA e dt A e t

x t F X f F A H fi f

t

τ τ

τπ

− −

− −

⎧ ⎛ ⎞= − ≥⎧ ⎫ ⎪ ⎜ ⎟= = =⎨ ⎬ ⎨ ⎝ ⎠

⎩ ⎭ ⎪ < +⎩

∫

{ } { }1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i fTout outu t F U f F X f X f e x t x t Tπ− − −= = − = − −

22.11.2007 18

Esimerkki I (4/4)• Suodatettu pulssi

( )

1

1 1

0 0

( ) 1 0t

out

t T t

t

u t A e t T

A e e t T

τ

τ τ

−

− − −

⎧⎪

<⎪⎪ ⎛ ⎞⎪= − ≤ ≤⎨ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪⎪ ⎛ ⎞⎪ − >⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

10

22.11.2007 19

Esimerkki II (1/6)• Tarkastellaan RC-suodinta

~( )inu t ( )outu tC

R ( ) ( )outdi t C u tdt

=( )i t

( ) ( ) ( )in outu t Ri t u t= +

( )1( ) ( ) ( )out in outd u t u t u tdt RC

= −

Impulssivaste

( )

( )

1( ) ( ) ( )

12 ( ) 1 ( )

1

( ) 12

d h t t h tdt RC

i fH f H fRC

RCH fi f

RC

δ

π

π

= −

⇒ = −

⇒ =+

11

11( ) 12

tRCRCh t F e

RCi fRC

π

−−

⎧ ⎫⎪ ⎪

= =⎨ ⎬⎪ ⎪+⎩ ⎭

22.11.2007 20

Esimerkki II (2/6)• Jos RC=1, niin

-40

-30

-20

-10

0

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

h(t)

{ }( ) arg ( ) arctan(2 )f H f fφ π= − =

( )A f =

ω=2π f

11

22.11.2007 21

Esimerkki II (3/6)• Ryhmäviive

• Ryhmäviiveen muutos kaistalla f∈[1/(2π), 3/(2π)]

( )1 ( ) 1( ) 22 2

1arctan(2 )1 2

gd f dt f

df dff

fφ

π ππ

π= = =

+

( )1 3,

2 2

2max 0.32g g g

ft t f t

π ππ⎛ ⎞∈⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞Δ = − ≈⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 30

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

2π*f|t g(f)

-t g(f c)|

22.11.2007 22

Esimerkki II (4/6)• Vaihevääristymä

• Vaihevääristymä kaistalla f∈[1/(2π), 3/(2π)]

• Ryhmäviiveen avulla laskettu yläraja

( )( ) ( )

( )2

1 arctan(2 ) 2 arctan( 2 arctan 22

g

f f f ft f

f ff f

f

d df

d f df f f fdf

φ φ φ π

π π π ππ

+Δ +Δ

+Δ

Δ = ⇒ Δ =∫ ∫

⎛ ⎞= = + Δ −∫ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ( )arctan 3 arctan 1 0.4636 rad 26.5651φΔ = − ≈ ≈

22 2 0.3 0.6 rad 34.37752gt fφ π ππ

Δ ≤ Δ Δ = = ≈i i

12

22.11.2007 23

Esimerkki II (5/6)

-40

-30

-20

-10

0

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Δφ

Β

( ) ( )arctan 3 arctan 1 0.4636 rad 26.5651φΔ = − ≈ ≈

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 30.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

2π*f

t g(f)

gtΔ

22.11.2007 24

Esimerkki II (6/6)• Tarkastellaan herätettä

• Suodattomen vast on tällöin( ) cos( ) cos(3 )u t t t= +

( )( )

( )( )

1 1( ) cos arg2 2

3 1cos 3 arg2 2

1 cos arctan 121 cos 3 arctan 310

y t H t H

H t H

t

t

π π

π π

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

= −

+ −0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Time

Am

plitu

de

Original signalFiltered signalu(t)

y(t)

≈0.2 s viive

13

22.11.2007 25

Taajuusvasteen tekijät• Taajuustasossa osoittajan tekijöiden itseisarvot

kerrotaan keskenään ja ne jaetaan nimittäjän tekijöiden itseisarvoilla. Osoittajan tekijöiden napakulmat lasketaan yhteen ja niistä vähennetään nimittäjän tekijöiden napakulmat.

( )( ) ( )

{ } { } { } { }

2 2

2 22 2

2( ) ( 2 ) ( )( )( ) ( 2 )( 2 )

22( )

2 2 2 2

( ) 2 2 2

s a i f aG s G i f G fs b s c i f b i f c

i f ai f aG f

i f b i f c i f b i f c

G f i f a i f b i f c

πππ π

πππ π π π

π π π

− −= ⇒ =

− − − −

+−= =

− ⋅ − + ⋅ +

∠ = ∠ − −∠ − −∠ −

s-tason siirtofunktio f-tason siirtofunktio

∠ kompleksi luvun kulma (arg)

22.11.2007 26

Taajuusvasteen tekijät• Tehonsiirtofunktio esitetään usein desibeleinä

( ) ( ) ( )1 21 2 3

3

log log log logp p p p pp

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ( )

( )

( )

210 10

10 10

10 10 10

10log ( ) 20log ( )

220log ( ) 20log

2 2

20 log 2 log 2 log 2

G f G f

i f aG f

i f b i f c

i f a i f b i f c

ππ π

π π π

=

⎛ ⎞−= = ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⋅ −⎝ ⎠= ⋅ − − − − −

14

22.11.2007 27

Taajuusvasteen tekijät• Desibelin yksikkö dB on suhteellinen yksikkö• Tehonsiirron tapauksessa yksikkö on

– dBW (dB verrattuna 1 W:iin)– dBm (dB verrattuna 1 mW:iin)– dBp (dB verrattuna 1 pW:iin)– dBf (dB verrattuna 1 fW:iin)

3

3

10 10

1 10

1010log 30log 10

30

mW W

W dBWW

dBW

−

−

=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠= −

( )

( )

10 103

10

10 10

200 0.20.2 20010log 10log

10 110log 200 23

0.210log 10log 200 71

mW WW mWW mW

dBm dBm

W dBW dBWW

−

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ≈

⎛ ⎞ = ≈ −⎜ ⎟⎝ ⎠

22.11.2007 28

Taajuusvasteen tekijät• Jännitesignaalin tapauksessa amplitudivasteen |G(f)|:n

yksikkö on volttia V– dBV (dB verrattuna 1 V:iin)– dBmV(dB verrattuna 1 mV:iin)

10log10(|G(f)|) dBV mutta 20log10(|G(f)|) dBW

15

22.11.2007 29

Vakiokerroin• Siirtofunktio on reaalinen ja vakio

{ } { }1 2

1 2

( ) ( )

( ) 0, ( )

G f G f K

G f G f π

⎧ = =⎪⎨∠ = ∠ = −⎪⎩ rad =-180°

ImReK

ImRe-K

20lgK 0

-180

Boden vahvistuskäyrä Boden vaihekäyrä

Boden vaihekäyrä

ω

ω

ω

deg

deg20lgK

Boden vahvistuskäyrä

ω

ω=2π f

22.11.2007 30

Integraattori ja derivaattori

{ } { }

1

2

1 2

1 2

( ) 21 1( )

2 21( ) 2 , ( )

2

( ) , ( )2 2

G f i f

G f ii f f

G f f G ff

G j G j

π

π π

ππ

π πω ω

=⎧⎪⎨ = = −⎪⎩⎧ = =⎪⎪⎨⎪∠ = ∠ = −⎪⎩

ImRe

ImRe

-jω −1

jωDerivaattorin siirtofunktio

Integraattorin siirtofunktio

0

-90

Boden vahvistuskäyrä Boden vaihekäyrä

Boden vaihekäyrä

ωω

ω

deg

deg

20dB/dek

Boden vahvistuskäyrä

ω

90

-20dB/dek

1

1

rad = -90°

16

22.11.2007 31

Viive• Viive aikatasossa vastaa vaihesiirtoa taajuustasossa

{ } ( )

2

2 2

( )cos(2 ) sin(2 )

( ) cos (2 ) sin (2 ) 1 1

sin(2 )( ) arctan arctan tan(2 ) 2cos(2 )

i fG f ef j f

G f f f

fG f f ff

π τ

π τ π τ

π τ π τ

π τ π τ π τπ τ

−== − ⋅

= + = =

⎛ ⎞−∠ = = − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

0

Boden vahvistuskäyrä Boden vaihekäyrä

ωωdeg

0

Im

Re

1

22.11.2007 32

Ensimmäisen kertaluvun termit• 1. kertaluvun siirtofunktiot

• Approksimaatio Boden diagrammille

1

2

( ) 2 1, 01( )

2 1

G f i fTT

G fi fT

π

π

= +⎧⎪ >⎨ =⎪ +⎩

Boden vahvistuskäyrä

ω1/T

Boden vaihekäyrä

ω

deg

0 00.1/T 10/T

90

Boden vahvistuskäyräω1/T

Boden vaihekäyrä

ω

deg

0 00.1/T 10/T

-90

20dB/dek

-20dB/dek

17

22.11.2007 33

Ensimmäisen kertaluvun termit• 1. kertaluvun järjestelmän Boden kuvaaja

-40

-30

-20

-10

0

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

21( )

2 1G f

i fπ=

+

22.11.2007 34

Toisen kertaluvun termit• Toisenkertaluvun siirtofunktio

( )( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 22

22

( ) ( )2 2 2 2

1 Resonanssitaajuus: 1 21 ( 2 ) 2 ( 2 )

n n

n n n n

r nn n

G s G fs s f i f

f f j

ω ωζω ω ω π π ζω

ω ω ζπ ω ζ π ω

= ⇒ =+ + − +

= = −− + ⋅

-40 dB/decnω

Boden vahvistuskäyrä (ζ=1)

-180°

0.1 nω

Boden vaihekäyrä (ζ=1)10 nω

18

22.11.2007 35

Toisen kertaluvun termitw0=1;w=logspace(-1,1,100);zeta=0.1:0.1:1;

for k=1:length(zeta)sys{k}=tf([0 0 w0^2],[1 2*zeta(k)*w0 w0^2]);[mag(k,:),pha(k,:)]=bode(sys{k},w);

end;

subplot(2,1,1)semilogx(w/w0,20*log10(mag))xlabel('\omega/\omega_0')ylabel('dB')

subplot(2,1,2)semilogx(w/w0,pha,w/w0,-

180*ones(size(w)),'k--')xlabel('\omega/\omega_0')ylabel('deg')

10-1 100 101-60

-40

-20

0

20

ω/ω0

dB10-1 100 101

-200

-150

-100

-50

0

ω/ω0de

g

ζ=0.1

ζ=1

ζ=0.1

ζ=1-180°

22.11.2007 36

Esimerkki (1/2)• Tarkastellaan järjestelmää

( )1 1 2 1( ) ( ) 2 12 1 2 2 1 2 2 1s i fG s G f i fs i f i f

πππ π

+ += ⇒ = + =

+ + +i

1/2

1/20 5

ω

ω

1

1/10 10

ω

ω

ω

ω

+ =

19

22.11.2007 37

Esimerkki 2/2

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

-20

-15

-10

-5

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

22.11.2007 38

Stabiilisuus• Tarkastellaan stabiilin järjestelmää

• Tarkastellaan sini-muotoista herätettä

H(f)( )U f ( )Y f

( )( )

( )( ) ( )( ) cos 2

( ) ( )cos 2 ( )

i fH f A f eu t f

y t A f f f

φ

π

π φ

−=

=

= −

( )( ) ( ) i fH f A f e φ−=

20

22.11.2007 39

Stabiilisuus• Myötäkytkentä

• Jos vaihesiirtoa on 180° erosignaali e(t) interferoi konstruktiivisesti (merkki vaihtuu)

( )U f +-

( )E f

H(f)

( ) ( ) ( ) ( )E f U f H f U f= +

( ) ( )( ) cos 2 ( )cos 2 ( )e t f A f f fπ π φ= − −

( ) ( )( ) 1 ( ) cos 2e t A f fπ= +( ) ( )e t u t>

22.11.2007 40

Stabiilisuus• Tehdään negatiivinen takaisinkytkentä

– Jos järjestelmän H vaihesiirto on -180°, niin signaaliin u(t) summautuu se itse A(f):llä skaalattuna rekursiivisesti

– Summa 1+A(f)+A(f)2+.. konvergoi arvoon 1/(1-A(f)), jos A(f)<1, jolloin y(t) pysyy rajoitettuna

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )1 ( )

E f U f Y fY f H f E f

H fY f U fH f

= −⎧⎨ =⎩

⇒ =+

H(f)+-

( )E f( )U f ( )Y f

0

1 02

2 21

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 1) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) 1) ( )

( ) ( ( ) ( ) ... ( ) 1) ( )k kk

e t u te t A f e t u t A f u t

e t A f e t u t A f A f u t

e t A f A f A f u t−

=

= + = +

= + = + +

= + + + +

21

22.11.2007 41

Stabiilisuus kriteeri• Sillä taajuudella, jolla vaihe

leikkaa -180° vahvistuksen pitääolla 20log10(A(f))<0 dB

• Vahvistusvara: Kuinkapaljonvahvistusta voidaan kasvattaa ennen kuin takaisinkytketystäjärjestelmästä tulee epästabiili

• Vaihevara: Kuinkapaljon vaihetta voidaan jätättää ennen kuin järjestelmästä tulee epästabiili

Boden vahvistuskäyrä

0 dB

-180°

Vahvistusvara

Vaihevara

22.11.2007 42

Esimerkki I (1/2)• Ensimmäisenkertaluvun systeemi voidaan tulkita

takaisinkytketyksi integraaliksi

• Avoimen silmukan siirtofunktio

( )2( )2 1 ( )1

2

KK H fi fG f Ki f K H f

i f

ππ

π

= = =+ ++

1( )2

H f Ki fπ

=

22

22.11.2007 43

Esimerkki I (2/2)• Jos K<0 se vastaa -180° vaihesiirtoa ja 20log10(|K|)

vahvistusta• Jos K>0 se vastaa 0 ° vaihesiirtoa ja 20log10(|K|) vahvistusta

• Jos K<1 vaihe on -270° kaikilla f, koska |H(f)|→ ∞ f→ 0, ei takaisinkytketty järjestelmä ole stabiili

• Jos K>1 vaihe on -90° kaikilla f, joten takaisinkytketty järjestelmäon stabiili

-180°

|K|>1

|K|<1

K<0

K>0

22.11.2007 44

Esimerkki II (1/2)• Tarkastellaan 3. kertaluvun suodatinta

• Ratkaistaan suurin mahdollinen K:n arvo, jolla takaisinkytketty järjestelmä on stabiili

( )21( )

2 1H f K

i fπ=

+ H(f)+-

( )E f( )U f ( )Y f

23

22.11.2007 45

Esimerkki II (2/2)• Boden diagrammi

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

-270

-180

-90

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Vahvistusvara ≈ 16 dB

1620

16 20log10( )

10 6.3

K

K

≈

⇒ ≈ =