Respuesta en Frecuencia de Sistemas Continuosadelantada/retrasada en el factor h(ω). Nótese que...

© UdeC - DIE

0 5 10 15 20 25 30 35 402

0

2

4Posición y fuerza normalizada

0

Zal rkfixed CI 0, tf, nf, D,( ):=CI A1−

− b u 0( )⋅ γ+( )⋅:=D t x,( ) A x0x1( )T⋅ b u t( )⋅+ γ+:=

u t( ) f t( ):=f t( ) 15 sin 0.5 t 1−( )⋅[ ] esc t 1−( ) esc t 20−( )−( )⋅ sin 1 t 20−( )⋅[ ] esc t 20−( )⋅−[ ]⋅:=

esc t( ) Φ t( ):=n 0 nf..:=nf 1000:=tf 40:=

Simulación. En t = 0 el resorte está estirado.

lo es la distancia

entre el techo y el

centro de m con el

resorte en reposo.

c 1 0( ):=γ

0

k lo⋅

mg+

:=b

0

1

m

:=A

0

k−

m

1

d−

m

:=

Matrices de Parámetros y Señales de Prueba

g 9.8:=d 3:=

k 20:=m 1.5:=lo 0.50:=

Parámetros

Masa suspendida.Caso 1

k

d

F(t)

m

x(t)

Ilustrar el Diagrama de Bode a partir de una F. de T. y/o de una representación A, b, c, d.Problema

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Continuos

Capítulo VI - Análisis en Frecuencia 1 de 27 Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214

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f t( ) 15 sin 2 t 1−( )⋅[ ] esc t 1−( ) esc t 13−( )−( )⋅ sin 3 t 13−( )⋅[ ] esc t 13−( ) esc t 26−( )−( )⋅+sin 4 t 26−( )⋅[ ] esc t 26−( )( )⋅+

...

⋅:= u t( ) f t( ):=

D t x,( ) A x0x1( )T⋅ b u t( )⋅+ γ+:= CI A

1−− b u 0( )⋅ γ+( )⋅:= Zal rkfixed CI 0, tf, nf, D,( ):=

0 5 10 15 20 25 30 35 402

0

2


0

f t( ) 15 sin 5 t 1−( )⋅[ ] esc t 1−( ) esc t 13−( )−( )⋅ sin 6 t 13−( )⋅[ ] esc t 13−( ) esc t 26−( )−( )⋅+sin 7 t 26−( )⋅[ ] esc t 26−( )( )⋅+

...

⋅:= u t( ) f t( ):=

D t x,( ) A x0x1( )T⋅ b u t( )⋅+ γ+:= CI A

1−− b u 0( )⋅ γ+( )⋅:= Zal rkfixed CI 0, tf, nf, D,( ):=

0 5 10 15 20 25 30 35 401

0

1

2


0

k

d

F(t)

m

x(t)


© UdeC - DIE

k

d

F(t)

m

x(t)

0 2 4 6 8 10200

150

100

50

0

Fase

0 2 4 6 8 100

0.025

0.05

0.075

0.1

Magnitud

F n( )180

πarg g j ω n( )⋅( )( )( )⋅:=M n( ) g j ω n( )⋅( ):=

ω n( ) fmin 10n ratio⋅

⋅:=ratio logfmax

fmin

1

nmax

⋅:=fmax 101

:=fmin 101−

:=n 1 nmax..:=nmax 250:=Gráfico

g s( )1

s2m⋅ s d⋅+ k+

:=g s( ) 1 0( ) s identity 2( )⋅

0

k−

m

1

d−

m

−

1−

⋅

0

1

m

⋅:=

g s( ) c s identity 2( )⋅ A−( )1−

⋅ b⋅:=c 1 0( ):=γ

0

k lo⋅

mg+

:=b

0

1

m

:=A

0

k−

m

1

d−

m

:=F. de T.


© UdeC - DIEDiagrama de Bode

Problema Presentación del Diagrama de Bode a partir de una F. de T. y/o de una representación A, b, c, d.

h(t)

u(t) y(t)

La salida del sistema se puede escribir como,

( ) ( )* ( ) ( ) ( )y t h t u t h u t d∞

−∞= = τ − τ τ∫ ,

donde h(t) es la respuesta a impulso del S.L.I.. Considerando la entrada como u(t) = ejωt,

que corresponde a la base de generación de señales periódicas, en particular sinusoidales,

se tiene que,

( )

( ) ( ) ( ) ( )j t j t j j t j

y t h e d h e e d e h e d∞ ∞ ∞ω −τ ω − ωτ ω − ωτ

−∞ −∞ −∞= τ τ = τ τ = τ τ∫ ∫ ∫ ,

donde el término integral corresponde a la T.F. de la respuesta a impulso del sistema; es

decir,

( ) ( )j

h h e d∞ − ωτ

−∞ω = τ τ∫ ,

luego, la señal de salida queda como,

( ) ( ) j ty t h e ω= ω ,

donde se ve claramente que la señal periódica de entrada, ejωt, se ve reflejada en la salida

como una señal de igual frecuencia a la señal de entrada, pero atenuada/amplificada y

adelantada/retrasada en el factor h(ω). Nótese que h(ω) es una propiedad del sistema y es

un número complejo, el cual se puede representar en un plano complejo o en módulo y

ángulo. Recordar que para obtener la T.F. de una señal se puede reemplazar s por jω en su T.L. bilateral.

Notar que,

1

0 1 1 0 1

1

1 1 0

0 1

( )( )

( )( )

( )

mmi

m m ii

i m m i

n nn ni n

i i

i i

s zb sb s b s b s b n s

h ss a s a s a d s

a s s p

−= − =

−−

= =

++ + + +

= = = =+ + + + +

∑ ∏

∑ ∏L

L

h(s) = c(sI – A)-1b + d = c( )

s

s

−−I A

I A

Adj

detb + d


© UdeC - DIE

Caso 2 Diagrama de Bode de la Masa Suspendida.

g s( )1

s2m⋅ s d⋅+ k+

:=

nmax 250:= n 1 nmax..:= fmin 101−

:= fmax 102

:= ratio logfmax

fmin

1

nmax

⋅:= ω n( ) fmin 10n ratio⋅

⋅:=

M n( ) 20 log g j ω n( )⋅( )( )⋅:= F n( )180

πarg g j ω n( )⋅( )( )( )⋅:=

0.1 1 10 10080

60

40

20

0

Magnitud

0.1 1 10 100200

150

100

50

0

Fase


© UdeC - DIE

Caso 3 Sistemas Tipo N o de la forma: 1/sN.

g s N,( )1

sN

:=

nmax 250:= n 1 nmax..:= fmin 102−

:= fmax 102

:= ratio logfmax

fmin

1

nmax


⋅:=

M n N,( ) 20 log g j ω n( )⋅ N,( )( )⋅:= F n N,( )180

πarg g j ω n( )⋅ N,( )( )( )⋅:=

0.01 0.1 1 10 10040

20

0

20

40N = 1, 2

Magnitud

0.01 0.1 1 10 100210

180

150

120

90

60

30

0N = 1, 2

Fase


© UdeC - DIE

Caso 4 Sistemas de la forma: 1/(s+a).

g s a,( )1

s a+( ):= ga s a,( ) if s a<

1

a,

1

s,

:=

nmax 250:= n 1 nmax..:= fmin 101−

:= fmax 103

:= ratio logfmax

fmin

1

nmax


⋅:=

M n a,( ) 20 log g j ω n( )⋅ a,( )( )⋅:= F n a,( )180

πarg g j ω n( )⋅ a,( )( )( )⋅:=

Ma n a,( ) 20 log ga j ω n( )⋅ a,( )( )⋅:= Fa n a,( )180

πarg ga j ω n( )⋅ a,( )( )( )⋅:=

0.1 1 10 100 1 .10340

20

0a = 10,

Magnitud

0.1 1 10 100 1 .103135

90

45

0

45

90

135a = 10

Fase


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Caso 5 Sistemas de la forma: s+a.

g s a,( ) s a+:= ga s a,( ) if s a< a, s,( ):=

nmax 250:= n 1 nmax..:= fmin 101−

:= fmax 103

:= ratio logfmax

fmin

1

nmax


⋅:=

M n a,( ) 20 log g j ω n( )⋅ a,( )( )⋅:= F n a,( )180

πarg g j ω n( )⋅ a,( )( )( )⋅:=

Ma n a,( ) 20 log ga j ω n( )⋅ a,( )( )⋅:= Fa n a,( )180

πarg ga j ω n( )⋅ a,( )( )( )⋅:=

0.1 1 10 100 1 .1030

20

40a = 10,

Magnitud

0.1 1 10 100 1 .103135

90

45

0

45

90

135a = 10

Fase


© UdeC - DIE

ζζζζ = 0.5ωωωωn = 1

0.1 1 10225

180

135

90

45

0k = 0.1, 0.3, 1.0

Fase

0.1 1 1040

20

0

20k = 0.1, 0.3, 1.0

Magnitud

k = 1

ωωωωn = 1

0.1 1 10225

180

135

90

45

0psi = 0.2, 0.5, 1.5

Fase

0.1 1 1040

20

0

20psi = 0.2, 0.5, 1.5

Magnitud

F n k, ζ, ωn,( ) 180

πarg g j ω n( )⋅ k, ζ, ωn,( )( )( )⋅:=M n k, ζ, ωn,( ) 20 log g j ω n( )⋅ k, ζ, ωn,( )( )⋅:=


⋅:=ratio logfmax

fmin

1

nmax

⋅:=fmax 101

:=fmin 101−

:=n 1 nmax..:=nmax 250:=

g s k, ζ, ωn,( ) kωn

2

s2

2 ζ⋅ ωn⋅ s⋅+ ωn2

+

⋅:=

Sistemas de la forma: kωωωωn2/(s2+ 2ζζζζωωωωns + wn

2).Caso 6


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0.1 1 1040

20

0

20wn = 0.4, 1.0, 2.0

Magnitud

0.1 1 10225

180

135

90

45

0wn = 0.4, 1.0, 2.0

Fase

k = 1

ζζζζ = 0.2


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0.1 1 10 100 1 .103 1 .104225

180

135

90

45

0

45

90

135Fase

0.1 1 10 100 1 .103 1 .10420

0

20

40

Magnitud

Fa n( )180

πarg ga j ω n( )⋅( )( )( )⋅:=Ma n( ) 20 log ga j ω n( )⋅( )( )⋅:=

F n( )180

πarg g j ω n( )⋅( )( )( )⋅:=M n( ) 20 log g j ω n( )⋅( )( )⋅:=


⋅:=ratio logfmax

fmin

1

nmax

⋅:=fmax 104

:=fmin 101−

:=n 1 nmax..:=nmax 500:=

ga s( ) k if s a< a, s,( )⋅ if s b<1

b,

1

s,

⋅ if s ωn< 1,ωn

2

s 109−

+( )2,

⋅:=

g s( ) k s a+( )⋅1

s b+⋅

ωn2

s2

2 ζ⋅ ωn⋅ s⋅+ ωn2

+

⋅:=g s( ) ks a+

s b+⋅

ωn2

s2

2 ζ⋅ ωn⋅ s⋅+ ωn2

+

⋅:=

b 10:=a 1:=k 10:=ωn 1000:=ζ 0.2:=Sistemas arbitrarios.Caso 7


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0.01 0.1 1 10180

150

120

90

60

30

0

30

Fase

0.01 0.1 1 1020

0

20

40

Magnitud

F n tr,( ) 180

πarg g j ω n( )⋅ tr,( )( )( )⋅:=M n tr,( ) 20 log g j ω n( )⋅ tr,( )( )⋅:=


⋅:=ratio logfmax

fmin

1

nmax

⋅:=fmax 101

:=fmin 102−

:=n 1 nmax..:=nmax 500:=

tr2 0.15:=tr1 0.07:=tr0 0.0:=g s tr,( ) k1

s b+⋅ e

tr− s⋅⋅:=

b 0.5:=k 20:=Sistemas con retardo.Caso 8


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gwTl s( )1−

Jl

if s zw1−< zw1−, s,( )⋅ if s p1−<1

p1−,

1

s,

⋅ if s p2−<1

p2−,

1

s,

⋅:=

gwva s( )km

Jl L⋅if s p1−<

1

p1−,

1

s,

⋅ if s p2−<1

p2−,

1

s,

⋅:=

p2 21.442−=p1 3.151−=zw1 24−=

p2

R

L

d

Jl

+

−R

L

d

Jl

+

2

4km

2d R⋅+

Jl L⋅⋅−−

2:=p2

R

L

d

Jl

+

−R

L

d

Jl

+

2

4km

2d R⋅+

Jl L⋅⋅−−

2:=

p1

R

L

d

Jl

+

−R

L

d

Jl

+

2

4km

2d R⋅+

Jl L⋅⋅−+

2:=p1

R

L

d

Jl

+

−R

L

d

Jl

+

2

4km

2d R⋅+

Jl L⋅⋅−+

2:=Polos

zw1R−

L:=no hayCeros

hwTl s( )1−

Jl

sR

L+

s2 R

L

d

Jl

+

s⋅+

km2

d R⋅+

Jl L⋅+

⋅:=hwva s( )km

Jl L⋅

1

s2 R

L

d

Jl

+

s⋅+

km2

d R⋅+

Jl L⋅+

⋅:=

ω hwva s( ) va⋅ hwTl s( ) Tl⋅+=F. de T.,

salida es la

velocidad ωωωω

Jl 0.135:=L 50 103−

⋅:=km 0.6:=

R 1.2:=d 0.08:=

ParámetrosMotor de

Corriente

Continua.

Obtener la F. de T. de un sistema electromecánico.Problema

Función de Transferencia de Sistemas Eléctromecánicos


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0.1 1 10 100 1 .103360

270

180

90

0

90Fase

0.1 1 10 100 1 .10360

40

20

0

20

Magnitud

Fa n( )180

πif arg gwva j ω n( )⋅( )( ) 0> arg gwva j ω n( )⋅( )( ) 2 π⋅−, arg gwva j ω n( )⋅( )( ),( )( )⋅:=Ma n( ) 20 log gwva j ω n( )⋅( )( )⋅:=

F n( )180

πarg hwva j ω n( )⋅( )( )( )⋅:=M n( ) 20 log hwva j ω n( )⋅( )( )⋅:=hwva(s)


⋅:=ratio logfmax

fmin

1

nmax

⋅:=fmax 103

:=fmin 101−

:=n 1 nmax..:=nmax 500:=

D. de B.

giava s( )1

Lif s zia1−< zia1−, s,( )⋅ if s p1−<

1

p1−,

1

s,

⋅ if s p2−<1

p2−,

1

s,

⋅:=

p2 21.442−=p1 3.151−=zia1 0.593−=Ceros

no hayzia1

d−

Jl

:=

hiaTl s( )km

Jl L⋅

1

s2 R

L

d

Jl

+

s⋅+

km2

d R⋅+

Jl L⋅+

⋅:=hiava s( )1

L

sd

Jl

+

s2 R

L

d

Jl

+

s⋅+

km2

d R⋅+

Jl L⋅+

⋅:=

ia hiava s( ) va⋅ hiaTl s( ) Tl⋅+=F. de T.,

salida es la

corriente ia


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hwTl(s) M n( ) 20 log hwTl j ω n( )⋅( )( )⋅:= F n( )180

πarg hwTl j ω n( )⋅( )( )( )⋅ 360−:=

Ma n( ) 20 log gwTl j ω n( )⋅( )( )⋅:= Fa n( )180

πarg gwTl j ω n( )⋅( )( )( )⋅ 360−:=

0.1 1 10 100 1 .10360

40

20

0

20

Magnitud

0.1 1 10 100 1 .103360

270

180

90

0

90

Fase

hiava(s)

M n( ) 20 log hiava j ω n( )⋅( )( )⋅:= F n( )180

πarg hiava j ω n( )⋅( )( )( )⋅:=

Ma n( ) 20 log giava j ω n( )⋅( )( )⋅:= Fa n( )180

πarg giava j ω n( )⋅( )( )( )⋅:=

0.1 1 10 100 1 .10360

40

20

0

20

Magnitud

0.1 1 10 100 1 .103360

270

180

90

0

90

Fase


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∆hnu s( ) kpd

2 ζ⋅ ωn⋅ s⋅ ωn2

−

s2

2 ζ⋅ ωn⋅ s⋅+ ωn2

+

⋅=

ζ1

2 R⋅ C⋅1

L C⋅1 do−( )⋅

⋅

:=

∆hnp s( ) kpe

ωn2

s2

2 ζ⋅ ωn⋅ s⋅+ ωn2

+

⋅=

kpd

do

1 do−−:= kpe 1:=

Diagramas de Bode Asintótico y Exacto.

mmax 500:= m 1 mmax..:= ωmin 101

:= ωmax 104

:= ratio logωmax

ωmin

1

mmax

⋅:= ω m( ) ωmin 10m ratio⋅

⋅:=

∆hnd s( ) kpd

2 ζ⋅ ωn⋅ s⋅ ωn2

−

s2

2 ζ⋅ ωn⋅ s⋅+ ωn2

+

⋅:= ga s( ) kpd if sωn

2 ζ⋅< ωn

2−, 2 ζ⋅ ωn⋅ s⋅,

⋅ if s ωn<1

ωn2

,1

s2

,

⋅:=

Ma m( ) 20 log ga j ω m( )⋅( )( )⋅:= Fa m( )180

πif arg ga j ω m( )⋅( )( ) 0> arg ga j ω m( )⋅( )( ) 2π−, arg ga j ω m( )⋅( )( ),( )( )⋅:=

Md m( ) 20 log ∆hnd j ω m( )⋅( )( )⋅:= Fd m( )180

πif arg ∆hnd j ω m( )⋅( )( ) 0> arg ∆hnd j ω m( )⋅( )( ) 2π−, arg ∆hnd j ω m( )⋅( )( ),( )( )⋅:=

Elevador

de Tensión

Parámetros

L 5 103−

⋅:= C 200 106−

⋅:= R 12:=

+

-

L

e(t)

i(t) C

+

-

v(t) R

Sw(t)

do 0.5:= eo 6:=

vo

eo

1 do−:= vo 12= io

vo

R 1 do−( )⋅:= io 2= uo do:= po eo:=

t∆vn

d

d

1−

R C⋅∆vn⋅

1

R C⋅∆in⋅+

do−

R C⋅ 1 do−( )⋅∆dn⋅+= Modelo

Normalizado

y Ordenado

t∆in

d

d

R−

L1 do−( )2⋅ ∆vn⋅

R

L1 do−( )⋅ do⋅ ∆dn⋅+

R

L1 do−( )2⋅ ∆en⋅+=

Función de Transferencia Definiendo

ωn1

L C⋅1 do−( )⋅:=


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10 100 1 .103 1 .10440

20

0Magnitud

10 100 1 .103 1 .104270

180

90

0

Fase

∆hne s( ) kpe

ωn2

s2

2 ζ⋅ ωn⋅ s⋅+ ωn2

+

⋅:= ga s( ) kpe if s ωn< 1,ωn

2

s2

,

⋅:=

Ma m( ) 20 log ga j ω m( )⋅( )( )⋅:= Fa m( )180

πif arg ga j ω m( )⋅( )( ) 0> arg ga j ω m( )⋅( )( ) 2π−, arg ga j ω m( )⋅( )( ),( )( )⋅:=

Me m( ) 20 log ∆hne j ω m( )⋅( )( )⋅:= Fe m( )180

πif arg ∆hne j ω m( )⋅( )( ) 0> arg ∆hne j ω m( )⋅( )( ) 2π−, arg ∆hne j ω m( )⋅( )( ),( )( )⋅:=

10 100 1 .103 1 .10440

20

0

Magnitud

10 100 1 .103 1 .104270

180

90

0

Fase

+

-

L

e(t)

i(t) C

+

-

v(t) R

Sw(t)


© UdeC - DIE

Zno rkfixed CI 0, tf, nf, D,( ):=CI

Znonf

1

tf fo⋅⋅ 1,

Znonf

1

tf fo⋅⋅ 2,

:=D t x,( ) An

x0

x1

⋅ bn ∆un t( )⋅+ en ∆pn t( )⋅+:=

La CI se

calcula para

estar en S.S.

en t = 0.

Zno rkfixed CI 0, tf, nf, D,( ):=CI0

0

:=D t x,( ) An

x0

x1

⋅ bn ∆un t( )⋅+ en ∆pn t( )⋅+:=

cn 1 0( ):=en

0

R

L1 do−( )2⋅

:=bn

do−

R C⋅ 1 do−( )⋅

R

L1 do−( )⋅ do⋅

:=An

1−

R C⋅

R−

L1 do−( )2⋅

1

R C⋅

0

:=

n 0 nf..:=nf 1000:=tf 0.1:=

Entrada Sinusoidal - Simulación.

+

-

L

e(t)

i(t) C

+

-

v(t) R

Sw(t)

Entrada Sinusoidal. fo 25:=

∆un t( ) 0.2 sin 2 π⋅ fo⋅ t⋅( ) 1

5sin 10 π⋅ fo⋅ t⋅ π−( )⋅+

1

7sin 14 π⋅ fo⋅ t⋅ π−( )⋅+

0

11sin 22 π⋅ fo⋅ t⋅( )⋅+

0

13sin 26 π⋅ fo⋅ t⋅( )⋅+

⋅:=

∆pn t( ) 0:=

∆vda1 ∆hnd j 2⋅ π⋅ fo⋅( ):= ∆vda1 1.101= ∆vdf1 Fd log2 π⋅ fo⋅

ωmin

1

ratio⋅

:= ∆vdf1 30.868−=

∆vda5 ∆hnd j 5⋅ 2⋅ π⋅ fo⋅( ):= ∆vda5 0.838= ∆vdf5 Fd log5 2⋅ π⋅ fo⋅

ωmin

1

ratio⋅

:= ∆vdf5 190.888−=

∆vda7 ∆hnd j 7⋅ 2⋅ π⋅ fo⋅( ):= ∆vda7 0.491= ∆vdf7 Fd log7 2⋅ π⋅ fo⋅

ωmin

1

ratio⋅

:= ∆vdf7 215.845−=

∆vd_c t( ) 0.2 ∆vda1 sin 2 π⋅ fo⋅ t⋅ ∆vdf1π

180⋅+

⋅∆vda5

5sin 10 π⋅ fo⋅ t⋅ π− ∆vdf5

π

180⋅+

⋅+

∆vda7

7sin 14 π⋅ fo⋅ t⋅ π− ∆vdf7

π

180⋅+

⋅+

...

⋅:=


© UdeC - DIE

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10.5

0

0.5Tensión y corriente simuladas

0

Znon 1,

Znon 2,

Znon 0,

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

0

d y e normalizados

∆un n tf⋅ nf1−⋅

∆pn n tf⋅ nf1−⋅

Znon 0,

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.5

0

0.5Tensión calculada y simulada

0∆vd_c n

tf

nf

⋅

Znon 1,

n

tf

nf

⋅ Znon 0,

,

+

-

L

e(t)

i(t) C

+

-

v(t) R

Sw(t)


© UdeC - DIERespuesta en Frecuencia de Sistemas Discretos

Problema Presentación del Diagrama de Bode a partir de una F. de T. y/o de una representación A, b, c, d.

La salida de estos sistemas puede expresarse como la convolución entre la entrada y la

respuesta a impulso de éste. Así, para una entrada arbitraria se tiene que,

( ) ( )* ( ) ( ) ( )i

y kT h kT u kT h iT u kT iT∞

=−∞

= = −∑ ,

donde h(kT) es la respuesta impulso del S.L.I. tiempo discreto. Considerando la entrada

como u(kT) = j kTe Ω , que corresponde a la base de generación de señales periódicas, en

particular sinusoidales, se tiene,

( )( ) ( ) ( ) ( )j kT iT j kT j iT j kT j iT

i i i

y kT h iT e h iT e e e h iT e∞ ∞ ∞

Ω − Ω − Ω Ω − Ω

=−∞ =−∞ =−∞

= = =∑ ∑ ∑ ,

donde el término sumatoria corresponde a la T.F.T.D. de la respuesta a impulso del

sistema; es decir,

( ) ( ) j iT

i

h h iT e∞

− Ω

=−∞

Ω = ∑ ,

luego, la señal de salida queda como,

( ) ( ) j kTy kT h e Ω= Ω ,

donde se ve claramente que la señal periódica de entrada, j kTe Ω , se ve reflejada en la

salida como una señal de igual frecuencia a la señal de entrada, pero atenuada

/amplificada y adelantada/retrasada en el factor h(Ω). Nótese que h(Ω) es una propiedad del sistema y es un número complejo, el cual se puede representar en un plano complejo

o en módulo y ángulo. Recordar que para obtener la T.F.T.D. de una señal discreta se

puede reemplazar z por j Te Ω en su T. Z. Es importante notar que la función j Te Ω es

periódica de periodo 2π/T. Esta característica se debiera observar en el D. de B. de estos sistemas.

El D. de B. de sistemas tiempo discreto es también el gráfico del módulo, en dB, y la

fase, en grados, de una F. de T. con z = j Te Ω en función de la frecuencia en base

logarítmica. Sin embargo, como se ilustrará con un ejemplo, los D. de B. de sistemas

discretos quedan mejor graficados al utilizar una escala de frecuencia lineal. Notar que el

D. de B. depende de Ω y de T, que es el período de muestreo, el cual se considera constante durante el análisis.

Notar que,

1

0 1 1 0 1

1

1 1 0

0 1

( )( )

( )( )

( )

mmi

m m ii

i m m i

n nn ni n

i i

i i

z zb zb z b z b z b n z

h zz a z a z a d z

a z z p

−= − =

−−

= =

++ + + +

= = = =+ + + + +

∑ ∏

∑ ∏L

L

h(z) = c(zI – A)-1b + d = c( )

z

z

−−I A

I A

Adj

detb + d


© UdeC - DIE

0.1 1 10 10090

60

30

0Fase

0.1 1 10 10040

20

0

Magnitud

F n( )180

πarg g j ω n( )⋅( )( )( )⋅:=M n( ) 20 log g j ω n( )⋅( )( )⋅:=


⋅:=ratio logfmax

fmin

1

nmax

⋅:=fmax 102

:=fmin 10

1−:=n 1 nmax..:=nmax 250:=

bo

ao

Ganancia:sp ao−=Polo en:g s( )bo

s ao+:=bo 1:=ao 10:=

Sistema de Primer Orden.Caso I

Ilustrar el Diagrama de Bode a partir de una F. de T. discreta.Problema

Diagrama de Bode en Sistemas Discretos


© UdeC - DIE

0.1 1 10 10090

60

30

0Tm = 0.5, 0.2, 0.02

Fase

0.1 1 10 10040

20

0Tm = 0.5, 0.2, 0.02

Magnitud

F n Tm,( ) 180

πarg f e

j Ω n( )⋅ Tm⋅Tm,

⋅:=M n Tm,( ) 20 log f e


⋅:=

Ω n( ) fmin 10n ratio⋅

⋅:=ratio logfmax

fmin

1

nmax

⋅:=fmax 102

:=fmin 101−

:=n 1 nmax..:=nmax 250:=

f z Tm,( )bbo Tm( )

z aao Tm( )+:=bbo Tm( ) 1 aao Tm( )+( )

bo

ao

⋅:=aao Tm( ) exp ao− Tm⋅( )−:=

Parámetros Discretos

bbo

1 aao+Ganancia:zp aao−=Polo en:y k 1+( ) aao y k( )⋅+ bbo u k( )⋅=

Caso discreto.


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Caso discreto.

p1 Tm( ) exp ζ− ωn⋅ ωn ζ2

1−⋅+

Tm⋅

:= p2 Tm( ) exp ζ− ωn⋅ ωn ζ

21−⋅−

Tm⋅

:=

aa1 Tm( ) p1 Tm( )− p2 Tm( )−+:= aao Tm( ) p1 Tm( ) p2 Tm( )⋅:=

bbo Tm( ) kp 1 p1 Tm( )−( )⋅ 1 p2 Tm( )−( )⋅:= f z Tm,( )bbo Tm( )

z2

aa1 Tm( ) z⋅+ aao Tm( )+:=

nmax 250:= n 1 nmax..:= fmin 101−

:= fmax 101

:= ratio logfmax

fmin

1

nmax

⋅:= Ω n( ) fmin 10n ratio⋅

⋅:=

M n Tm,( ) 20 log f ej Ω n( )⋅ Tm⋅

Tm,

⋅:= F n Tm,( ) 180

πarg f e


⋅:=

Caso II Sistema de Segundo Orden.

ωn 1:= ζ 0.2:= kp 1:= g s( ) kp

ωn2

s2

2 ζ⋅ ωn⋅ s⋅+ ωn2

+

⋅:=

nmax 250:= n 1 nmax..:= fmin 101−

:= fmax 101

:= ratio logfmax

fmin

1

nmax


⋅:=

M n( ) 20 log g j ω n( )⋅( )( )⋅:= F n( )180

πarg g j ω n( )⋅( )( )( )⋅:=

0.1 1 1040

20

0

20

Magnitud

0.1 1 10180

150

120

90

60

30

0

Fase

k = 1

ωωωωn = 1

ζζζζ=0.5


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0.1 1 1040

20

0

20Tm = 0.5, 0.2, 0.02

Magnitud

0.1 1 10180

150

120

90

60

30

0Tm = 0.5, 0.2, 0.02

Fase

Periodicidad del Bode.

nmax 250:= n 0 nmax..:= fmin 0:= fmax 40:= Ω n( )fmax fmin−

nmax

n⋅ fmin+:=

M n Tm,( ) 20 log f ej Ω n( )⋅ Tm⋅

Tm,

⋅:= F n Tm,( ) 180

πarg f e


⋅:=

0 5 10 15 20 25 30 35 4040

20

0

20Tm = 0.5, 0.2

Magnitud

2π

0.5

2π

0.2

La señal en frecuencia es priódica pues

corresponde a f(z) con z = ejΩTm, que es

periodica en Ω con un periodo de 2π/Tm.


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ω hwva s( ) va⋅ hwTl s( ) Tl⋅+=

hwva s( ) 0 1( ) s identity 2( )⋅ Ac−( ) 1−⋅ bc⋅:= hwTl s( ) 0 1( ) s identity 2( )⋅ Ac−( ) 1−

⋅ ec⋅:=

F. de T.,

salida es la

corriente ia

ia hiava s( ) va⋅ hiaTl s( ) Tl⋅+=

hiava s( ) 1 0( ) s identity 2( )⋅ Ac−( ) 1−⋅ bc⋅:= hiaTl s( ) 1 0( ) s identity 2( )⋅ Ac−( ) 1−

⋅ ec⋅:=

Sistema

DiscretoTm 0.25:= T eigenvecs Ac( ) 1−

:= ΦT t( )

exp eigenvals Ac( )0 t⋅( )0

0

exp eigenvals Ac( )1 t⋅( )

:= Φc t( ) T1−ΦT t( )⋅ T⋅:=

Ad Φc Tm( ):= bd

0

Tm

τΦc Tm τ−( ) bc⋅( )0

⌠⌡

d

0

Tm

τΦc Tm τ−( ) bc⋅( )1

⌠⌡

d

:= ed

0

Tm

τΦc Tm τ−( ) ec⋅( )0

⌠⌡

d

0

Tm

τΦc Tm τ−( ) ec⋅( )1

⌠⌡

d

:=

F. de T.,

salida es la

velocidad ωωωω

ω fwva z( ) va⋅ fwTl z( ) Tl⋅+=

fwva z( ) 0 1( ) z identity 2( )⋅ Ad−( ) 1−⋅ bd⋅:= fwTl z( ) 0 1( ) z identity 2( )⋅ Ad−( ) 1−

⋅ ed⋅:=

F. de T. del Modelo Discreto de un Sistema Eléctromecánico

Problema Obtener la F. de T. de un sistema electromecánico.

Motor de

Corriente

Continua.

Parámetros

d 0.08:= R 1.2:=

km 0.6:= L 50 103−

⋅:= Jl 0.135:=

Modelo. Ac

R−

L

km

Jl

km−

L

d−

Jl

:= bc

1

L

0

:= ec

0

1−

Jl

:= Variables de Estado

x1 ia= x2 ω=

F. de T.,

salida es la

velocidad ωωωω


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0.1 1 10 100360

270

180

90

0

90Fase

0.1 1 10 10060

40

20

0

20

Magnitud

2π

Tm

Fd n( )180

πarg fwva e

j Ω n( )⋅ Tm⋅

⋅:=Md n( ) 20 log fwva e

j Ω n( )⋅ Tm⋅

⋅:=

hiaTl(s)

F n( )180

πarg hwva j ω n( )⋅( )( )( )⋅:=M n( ) 20 log hwva j ω n( )⋅( )( )⋅:=hwva(s)

Ω n( ) fmin 10n ratio⋅

⋅:=ratio logfmax

fmin

1

nmax

⋅:=fmax 102

:=fmin 101−

:=n 1 nmax..:=nmax 500:=


⋅:=ratio logfmax

fmin

1

nmax

⋅:=fmax 102

:=fmin 101−

:=n 1 nmax..:=nmax 500:=D. de B.

fiaTl z( ) 1 0( ) z identity 2( )⋅ Ad−( ) 1−⋅ ed⋅:=fiava z( ) 1 0( ) z identity 2( )⋅ Ad−( ) 1−

⋅ bd⋅:=

ia fiava z( ) va⋅ fiaTl z( ) Tl⋅+=F. de T.,

salida es la

corriente ia


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hwTl(s) M n( ) 20 log hwTl j ω n( )⋅( )( )⋅:= F n( )180

πarg hwTl j ω n( )⋅( )( )( )⋅ 360−:=

Md n( ) 20 log fwTl ej Ω n( )⋅ Tm⋅

⋅:= Fd n( )

180

πarg fwTl e

j Ω n( )⋅ Tm⋅

⋅ 360−:=

0.1 1 10 10060

40

20

0

20

Magnitud

2π

Tm

0.1 1 10 100360

270

180

90

0

90

Fase

hiava(s) M n( ) 20 log hiava j ω n( )⋅( )( )⋅:= F n( )180

πarg hiava j ω n( )⋅( )( )( )⋅:=

Md n( ) 20 log fiava ej Ω n( )⋅ Tm⋅

⋅:= Fd n( )

180

πarg fiava e

j Ω n( )⋅ Tm⋅

⋅:=

0.1 1 10 10060

40

20

0

20

Magnitud

2π

Tm

0.1 1 10 100360

270

180

90

0

90

Fase


Respuesta en Frecuencia de Sistemas Continuosadelantada/retrasada en el factor h(ω). Nótese que...

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