Relativity

Εισαγωγή στην Σχετικότητα - Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

Περιεχόμενα

Εισαγωγή

1. Ειδική Θεωρία Σχετικότητας 1.1 Ανασκόπηση των Μετασχηματισμών Lorentz

1.2 Συστολή του Μήκους

1.3 Διαστολή του Χρόνου

1.4 Πρόσθεση ταχυτήτων

1.5 Μερικοί ορισμοί

1.6 Αιτιότητα

1.7 Χωροχρονικά Διαγράμματα

2. Βαθμωτά, Διανύσματα και Τανυστές 2.1 Πίνακας Μετασχηματισμού Lorentz

2.2 4-διανύσματα

2.3 Τανυστές

2.4 4-ταχύτητα, 4-ορμή και 4-επιτάχυνση

2.5 Συναλλοιώτητα Φυσικών Νόμων

2.6 4-δύναμη

2.7 Σχετικιστικό φαινόμενο Doppler

2.8 Η 4-απόκλιση και ο κυματικός τελεστής

3. Ηλεκτρομαγνητισμός σε συναλλοίωτη μορφή 3.1 Ο Ηλεκτρομαγνητικός Τανυστής

3.2 Μετασχηματισμός πεδίου

3.3 Ηλεκτρομαγνητικό πεδίο κινούμενου φορτίου

4. Ο Τανυστής Ενέργειας και Ορμής 4.1 Ορισμός τανυστή ενέργειας και ορμής

4.2 Γενικά Ρευστά 4.3 Διατήρηση Ενέργειας - Ορμής

4.4 Ιδανικά Ρευστά 5. Εισαγωγή στη Γενική Σχετικότητα 5.1 Προβλήματα της Ειδικής Σχετικότητας

1


5.2 Η αρχή του Mach

5.3 Η αρχή της Ισοδυναμίας 5.4 Βαρυτική Ερυθρή Μετατόπιση

5.5 Βαρυτική Διαστολή του Χρόνου

5.6 Σύνοψη Βασικών Αρχών 5.7 Η καμπυλότητα του χωροχρόνου

5.8 Η Έννοια της Καμπυλότητας 5.9 Ακτίνα Καμπυλότητας

6. Τανυστές και Καμπύλος Χωρόχρονος 6.1 Συναλλοίωτα-Ανταλλοίωτα Μεγέθη 6.2 Τανυστές και Νόμοι της Φυσικής

6.3 Παραγώγιση των τανυστών

6.4 Η συναλλοίωτη παράγωγος

6.5 Υπολογισμός Συμβόλων Christoffel: Ένα Παράδειγμα

6.6 Καμπυλότητα: Μαθηματικός Ορισμός

6.7 Τανυστές καμπυλότητας που προκύπτουν από τον τανυστή του

Riemann

7. Περιγραφή της ύλης στην Γενική Σχετικότητα

7.1 Γεωδαισιακές

7.2 Γεωδαισιακή Απόκλιση

7.3 Ο τανυστής ενέργειας και ορμής στην Γενική Σχετικότητα

8. Η εξίσωση Einstein 8.1 Φυσικοί περιορισμοί 8.2 Η εξίσωση Einstein

8.3 Η Κοσμολογική Σταθερά

8.4 Οι εξισώσεις Einstein στο κενό

9. Κενό με σφαιρική συμμετρία: Η λύση Schwarzchild 9.1 Συμμετρίες – Φυσικοί περιορισμοί

9.2 Σύμβολα Christoffel

9.3 Ο τανυστής του Riemann

9.4 Ο τανυστής Ricci

9.5 Η λύση Schwarzchild

10. Παρατηρησιακή επιβεβαίωση της Γενικής Σχετικότητας

2


10.1 Το Θεώρημα του Birkhoff

10.2 Ελέγχοντας την Γενική Σχετικότητα στο Ηλιακό Σύστημα

10.3 Σύγχρονες παρατηρήσεις για τον έλεγχο της Γενικής Σχετικότητας

11. Ιδιότητες της λύσης Schwarzchild 11.1 Η ακτίνα Schwarzchild

11.2 Οι τροχιές του φωτός στην γεωμετρία Schwarzchild

11.3 Συστήματα σύν/νων

11.4 Ιδιότητες των Μαύρων Τρυπών

12. Κοσμολογία 12.1 Κοσμολογική Αρχή

12.2 Χώροι με σταθερή καμπυλότητα

12.3 Η μετρική Robertson-Walker

12.4 Ύλη

12.5 Οι εξισώσεις Einstein

Εισαγωγή

Η Θεωρία της Σχετικότητας του Einstein στην Ειδική και στην Γενική της μορφή

αποτελεί έναν από τους θεμέλιους λίθους της κλασσικής φυσικής και έχει κεντρική

θέση στην κατανόηση πολλών περιοχών της αστροφυσκής, της κοσμολογίας και

γενικότερα της θεμελιώδους φυσικής.

Η Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας προέκυψε στις αρχές του 19ου αιώνα από την

ανάγκη κατανόησης πειραματικών (πειραμα Michelson Morley) και θεωρητικών

(εξισώσεις Maxwell) δεδομένων που έδειχναν ότι η ταχύτητα του φωτός παραμένει η

ίδια σε όλα τα συστήματα αναφοράς. Το σημαντικό αυτό δεδομένο μπορεί να γίνει

κατανοητό μόνα αν εγκαταλειφθούν οι γνωστοί μετασχηματισμοί το Γαλιλαίου και

αντικατασταθούν από τους μετασχηματισμούς Lorentz που ενοποιούν τον χώρο και

τον χρόνο σε ένα 4-διάστατο συνεχές και εισάγουν την σχετικότητα του χρόνου:

ρολόγια κινούμενων παρατηρητών χτυπούν με διαφορετικό ρυθμό.

Η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας προέκυψε αμέσως μετά την Ειδική Θεωρία με

στόχο την κατανόηση της βαρύτητας στα πλαίσια της αρχής της ισοδυναμίας. Όπως

θα δούμε στο κείμενο που ακολουθεί, σύμφωνα με την αρχή της ισοδυναμίας η

3


βαρύτητα στο εσωτερικό ενός ανελκυστήρα που βρίσκεται σε ακινησία μέσα σε πεδίο

βαρύτητας, είναι πειραματικά ισοδύναμη με ανελκυστήρα που επιταχύνεται προς τα

πάνω εκτός πεδίου βαρύτητας. Το σημαντικό αυτό πειραματικό αποτέλεσμα οδηγεί

μονοσήμαντα στον γεωμετρικό χαρακτήρα της βαρύτητας: Η βαρύτητα μπορεί να

γίνει κατανοητή ως καμπύλωση του χώρου που προκαλείται από την μάζα-ενέργεια

των υλικών σωμάτων στο Σύμπαν.

Το κείμενο που ακολουθεί έχει σαν στόχο την εισαγωγή των προπτυχιακών φοιτητών

στην θεωρία της σχετικότητας του Einstein: Ειδική και Γενική. Δεν απαιτείται

προηγούμενη γνώση προχωρημένης φυσικής μαθηματικών παρά μόνο βασικές

γνώσεις διανυσματικής ανάλυσης και ηλεκτρομαγνητισμού (κατανόηση εξισώσεων

Maxwell σε διαφορική μορφή). Ακόμα, προηγούμενη γνώση των μετασχηματισμών

Lorentz θα είναι χρήσιμη αλλά όχι απαραίτητη. Γίνεται προσπάθεια να εισαχθούν

σχεδόν όλες οι έννοιες εκ του μηδενός ελαχιστοποιώντας τις προϋποθέσεις

προηγούμενων γνώσεων χωρίς όμως να γίνονται εκπτώσεις όσον αφορά το εύρος των

θεμάτων που καλύπτονται. Θέματα όπως ο τανυστής ενέργειας και ορμής, οι

εξισώσεις Einstein, η λύση σφαιρικής συμμετρίας Schwarchild και οι

κοσμολογικές εξισώσεις Friedmann καλύπτονται με ικανοποιητική πληρότητα,

δυσανάλογη με την σχετικά μικρή έκταση του κειμένου. Υπάρχουν ακόμα και αρκετά

παραδείγματα-εφαρμογές για την καλύτερη εμπέδωση των εννοιών.

Στο κεφάλαιο 1 γίνεται ανασκόπηση των μετασχηματισμών Lorentz και ορισμένων

βασικών θεμάτων της Ειδικής Σχετικότητας (συστολή μήκους, διαστολή χρόνου κλπ)

χωρίς την χρήση μετρικής, 4-διανυσμάτων και τανυστών. Στο κεφάλαιο 2 εισάγονται

οι έννοιες του 4-διανύσματος, της μετρικής Minkowski και των τανυστών και

μελετώνται ορισμένες χρήσιμες εφαρμογές όπως το σχετικιστικό φαινόμενο Doppler,

η 4-δύναμη κλπ. Στο κεφάλαιο 3 θα δούμε μια εφαρμογή χρήσης τανυστών: τις

εξισώσεις του Maxwell γραμμένες με σχετικιστική μορφή και τους

μετασχηματισμούς ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου που προκύπτουν. Στο

κεφάλαιο 4 θα δούμε την γενίκευση της έννοιας της ενέργειας για συνεχή μέσα στα

πλαίσια της σχετικότητας . Η γενίκευση αυτή γίνεται με την εισαγωγή ενός πίνακα

4x4 (τανυστή) του οποίου οι συνιστώσες περιγράφουν την πυκνότητα ενέργειας, την

πυκνότητα ορμής και τις αντίστοιχες ροές ενέργειας και ορμής. Στο κεφάλαιο 5 θα

ξεκινήσουμε την μελέτη της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας περιγράφοντας

4


πρώτα τον θεμέλιο λίθο της που είναι η Αρχή της Ισοδυναμίας. Θα δούμε πως από

την αρχή αυτή προκύπτουν διάφορες απλές πειραματικά επαληθεύσιμες προβλέψεις

όπως η βαρυτική ερυθρή μετατόπιση, η βαρυτική διαστολή του χρόνου και η

καμπύλωση του φωτός. Θα δούμε ακόμα πως οι προβλέψεις αυτές μπορούν να

περιγραφούν εισάγωντας την έννοια της καμπυλότητας του χώρου. Στο κεφάλαιο 6

θα δούμε πως μπορεί να περιγραφεί η καμπυλότητα του χωρόχρονου με χρήση

τανυστών και τα εισάγουμε τον την συναλλοίωτη παράγωγο και τον τανυστή του

Riemann που είναι θεμελιώδους σημασίας στην Γενική Θεωρία της Σχετικότητας.

Στο κεφάλαιο 7 θα δούμε την έννοια των γεωδαισιακών και την κινητική

συμπεριφορά της ύλης σε καμπύλους χώρους. Στο κεφάλαιο 8 θα δούμε πως

καμπυλώνεται ο χωρόχρονος με την παρουσία της ύλης και γενικότερα της ενέργειας.

Η σχέση αυτή μεταξύ καμπυλότητας και ύλης περιγράφεται μέσω των εξισώσεων

Einstein. Στο κεφάλαιο 9 θα λύσουμε τις εξισώσεις Einstein για να βρουμε την

γεωμετρία ενός σφαιρικά συμμετρικού κενού χώρου έξω από σφαιρικά συμμετρική

κατανομή μάζας. Έτσι θα βρούμε και θα μελετήσουμε την μετρική Schwarzchild.

Στο κεφάλαιο 10, θα δούμε συνοπτικά τις βασικές παρατηρήσεις που επιβεβαιώνούν

και στηρίζουν την Γενική Σχετικότητα έναντι άλλων θεωριών της βαρύτητας όπως η

Νευτώνεια θεωρία. Στο κεφάλαιο 11, θα γυρίσουμε πίσω στην λύση Schwarzchild

και θα συζητήσουμε ορισμένες περίεργες ιδιότητές της όπως οι απειρισμοί της

γεωμετρίας (μοναδικότητες), ή έννοια του ορίζοντα πέρα από τον οποίο τίποτε δεν

μπορεί να γυρίσει πίσω, και η κβαντική ακτινοβολία Hawking. Θα τελειώσουμε με το

κεφάλαιο 12 όπου θα δούμε την μορφή που παίρνει η γεωμετρία του χωρόχρονου και

οι εξισώσεις Einstein για κοσμολογικά συστήματα που χαρακτηρίζονται από

ομοιογένεια και ισοτροπία. Οι εξισώσεις αυτές λέγονται εξισώσεις Friedmann και

αποτελούν τον θεμέλιο λίθο της σύγχρονης κοσμολογίας.

5


1. Ειδική Θεωρία Σχετικότητας 1.1 Ανασκόπηση των Μετασχηματισμών Lorentz

Υπάρχουν δύο θεμελιώδεις υποθέσεις στις οποίες βασίζεται η ειδική θεωρία της

σχετικότητας. Οι υποθέσεις αυτές είναι:

1. Σχετικότητα: Οι νόμοι της φύσης είναι οι ίδιοι σε όλα τα αδρανειακά συστήματα.

2. Απόλυτη ταχύτητα του φωτός: Η ταχύτητα των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων

(άρα και του φωτός) είναι η ίδια σε όλα τα αδρανειακά συστήματα.

Η δεύτερη υπόθεση δεν είναι συμβατή με τον κλασικό μετασχηματισμό του

Γαλιλαίου, σύμφωνα με τον οποίο, αν ένα αδρανειακό σύστημα F κινείται με

ταχύτητα σχετικά με άλλο σύστημα F΄, τότε οι συντεταγμένες ενός γεγονότος ˆvi

3, )1 2( , ,x x x′ ′

( , , ,

t′ ′

)

όπως παρατηρείται στο F΄ σχετίζονται με τις αντίστοιχες συντεταγμένες

x y z t στο F μέσω του μετασχηματισμού:

vtxx −=′ , yy =′ , zz =′ , tt =′ (1.2)

Αν το διάνυσμα της ταχύτητας v είναι αυθαίρετο, τότε ο μετασχηματισμός του

Γαλιλαίου γράφεται:

vtxx −=′// , ⊥⊥ =′ xx , tt =′ (1.3)

όπου // και ⊥ συμβολίζουν τις διανυσματικές συνιστώσες που είναι παράλληλες και

κάθετες στο σταθερό διάνυσμα v .

Ο αντίστοιχος μετασχηματισμός ταχυτήτων είναι:

vudt

vtxdtdxd

u −=−

=′′

=′ //////

//)(

(1.4)

⊥⊥⊥

⊥ ==′′

=′ udtxd

tdxdu (1.5)

Ενώ για το μετασχηματισμό των επιταχύνσεων έχουμε:

adt

vudtduda =

−=

′′

=′ )( (1.6)

Σύμφωνα με το μετασχηματισμό του Γαλιλαίου (1.4), η παρατηρούμενη ταχύτητα

(κύματος ή σωματίων) δεν είναι η ίδια σε δύο διαφορετικά αδρανειακά συστήματα,

σε αντίθεση με το πόρισμα που προκύπτει από τις εξισώσεις του Maxwell.

6


Η υπόθεση του Γαλιλαίου ότι τα χωρικά μήκη και τα χρονικά διαστήματα είναι

απόλυτες ποσότητες 1 1( , )x x t t′Δ = Δ Δ = Δ

cc

′ οδήγησε στη σχετικότητα της ταχύτητας

(1.4). Η πειραματικά διαπιστωμένη απόλυτη τιμή της ταχύτητας του φωτός (πείραμα

Michelson-Morley, 1887) c ( ′= ) όμως μας αναγκάζει να αμφισβητήσουμε την

απόλυτη τιμή των μηκών και των χρονικών διαστημάτων 1 1( , )x x t t′ ′Δ ≠ Δ Δ ≠ Δ .

Σχήμα 1.1: Το πείραμα Michelson-Morley. Σύμφωνα με την θεωρία του

αιθέρα (εξάρτηση του c από το σύστημα αναφοράς) η χρονική διαφορά μεταξύ των

δύο ακτίνων που ακολουθούν διαφορετικές διαδρομές θα έπρεπε να είναι 2

1 2 2

Lvt t tc

Δ = − ≈ με αποτέλεσμα την μετακίνηση των κροσών συμβολής στην οθόνη

(για λεπτομέρειες δείτε ‘Σύγχρονη Φυσική’ Serway τόμος IV)

Άσκηση: Οι Νευτώνειες εξισώσεις κίνησης ενός συστήματος σωματίων που

αλληλεπιδρούν βαρυτικά είναι

όπου είναι η μάζα του Ν σωματίου και Nm Nx είναι το διάνυσμα θέσης του την

χρονική στιγμή t. Δείξτε την αναλοιότητα των εξισώσεων αυτώ κάτω από

7


μετασχηματισμους του Γαλιλαίου.

Ο μετασχηματισμός που σέβεται την απόλυτη τιμή της ταχύτητας του φωτός c

θυσιάζοντας την απόλυτη τιμή μηκών και χρονικών διαστημάτων λέγεται

μετασχηματισμός Lorentz.

Για να βρούμε τη μορφή του μετασχηματισμού Lorentz, θεωρούμε πάλι τα

αδρανειακά συστήματα F και F΄ που κινούνται με σχετική ταχύτητα και οι

αρχές τους συμπίπτουν τη στιγμή

v v i∧

=

' 0t t= = .

Έστω φωτεινός παλμός που εκπέμπεται στη θέση 0=x την 0t = ως προς το . Τη

χρονική στιγμή η ακτίνα του σφαιρικά διαδιδόμενου φωτεινού κύματος είναι και

οι συντεταγμένες

F

ctt

( ), ,x y z του σφαιρικού μετώπου κύματος ικανοποιούν τη σχέση:

2 2 2 21 1 3

2x x x c t+ + = (1.7)

Σύμφωνα με τη δεύτερη υπόθεση της σχετικότητας και τις εξισώσεις του Maxwell, το

μέτωπο κύματος στο σύστημα ' έχει συντεταγμένες F 1 2 3, ,x x x′ ′ ′ που ικανοποιούν τη

σχέση: 2 2 2 2 2 2

1 2 32x x x c t c t′ ′ ′ ′ ′+ + = = (1.8)

Είναι, επομένως, και πάλι ένα σφαιρικό κύμα με ακτίνα . Πώς σχετίζονται τα 'ct

( )1 2 3, , ,x x x t με τα 1 2 3( , , , )x x x t′ ′ ′ ′ , με δεδομένο ότι ισχύουν οι (1.7) και (1.8);

Αντικαθιστώντας στη (1.8) το μετασχηματισμό

1 1( )x x vtγ′ = − , 2 2x x′ = , 3 3x x′ = , (1.9) 21( /t t vx cγ′ = − )

όπου

2

2

1

1

cv

−

=γ (1.10)

μπορούμε εύκολα να δείξουμε ότι προκύπτει η (1.7).

8


Σχήμα 1.2: Καθως η ταχύτητα πλησιάζει την ταχύτητα του φωτός το γ μετρά την

ισχύ των σχετικιστικών φαινομένων αυξάνει πολύ γρήγορα.

Ο μετασχηματισμός (1.9) είναι ο μετασχηματισμός Lorentz, που διατηρεί σταθερή

την ταχύτητα του φωτός σε όλα τα αδρανειακά συστήματα, αλλά εισάγει τη

σχετικότητα στα μήκη και τα χρονικά διαστήματα.

Ο μετασχηματισμός Lorentz (1.9) μπορεί να γραφεί και με την μορφή

(1.11)

όπου vc

β = . Παρατηρήστε την συμμετρία που εμφανίζεται αν θεωρήσουμε το ct σαν

συν/νη. Ο μετασχηματισμός Lorentz είναι ο μόνος γραμμικός μετασχηματισμός

(εκτός από τις στροφές στο χώρο) που ικανοποιεί τις δύο αρχές της σχετικότητας.

Ακόμα, ο μετασχηματισμός Lorentz ανάγεται στον μετασχηματισμό του Γαλιλαίου

στο όριο 1vc

<< .

Μπορούμε ακόμα να ορίσουμε την χωροχρονική απόσταση μεταξύ δύο

χωροχρονικών σημείων σαν

2 2 2 21 2s c t x xΔ = − Δ + Δ + Δ + Δ 2

3x (1.12)

Αυτή η απόσταση είναι αναλλοίωτη κάτω από μετασχηματισμούς Lorentz

Παράδειγμα:

9


Η χωροχρονική απόσταση μεταξύ ενός σημείου στην αρχή των συν/νων και του

σημείου ορίζεται ως

(1.13)

Δείξτε ότι η απόσταση αυτή είναι αναλλοίωτη ως προς μετασχηματισμό Lorentz κατά

μήκος του άξονα 1x .

Λύση

Ο μετασχηματισμός Lorentz κατά μήκος του άξονα 1x έχει την μορφή

(1.14)

Αρχίζοντας με την σχέση

(1.15)

και αντικαθιστώντας με χρήση του παραπάνω μετασχηματισμού θέτοντας

παίρνουμε που αποδεικνύει την

ζητούμενη αναλλοιώτητα (η έκφραση είναι η ίδια και στα δύο συστήματα συν/νων).

Η γενική μορφή του μετασχηματισμού Lorentz για γενική σχετική ταχύτητα είναι: v

)( //// vtxx −=′ γ , ⊥⊥ =′ xx , (1.16) )/( 2// cvxtt −=′ γ

ενώ ο αντίστροφος μετασχηματισμός είναι:

)( //// tvxx ′+=′ γ , ⊥⊥ ′= xx , (1.17) 2//( /t t vx cγ′ ′ ′= + )

Σχήμα 1.3: Το σύστημα κινείται με ταχύτητα στην διεύθυνση F ′ v x ως προς το

σύστημα F

10


Ο αντίστροφος μετασχηματισμός είναι ισοδύναμος με αντιμετάθεση του ( ), tx και

του ( ), tx ′′ και αντικατάσταση του v από το – v , αφού το F κινείται με ταχύτητα – v

σχετικά με το αδρανειακό σύστημα. 'F

1.2 Συστολή του Μήκους

Αν στο σύστημα ' μετρήσουμε το μήκος ενός αντικειμένου με όρια στις

συντεταγμένες

F

1x′ και 2x′ (μετρημένες την ίδια χρονική στιγμή: 0t′Δ = ) τότε από τον

παραπάνω μετασχηματισμό παίρνουμε

(1.18)

Σχήμα 1.4: Η συστολή του μήκους

Παράδειγμα

Η Αλίκη έχει αγοράσει νέο διαστημόπλοιο ικανό να ταξιδεύει κοντά στην ταχύτητα του

φωτός. Όμως της διέφυγε ότι το διαστημόπλοιο με μήκος 20m είναι 4m μεγαλύτερο από

το γκαράζ της. Αποφασίζει να εκμεταλλευθεί τη συστολή Lorentz για να το κάνει να

χωρέσει στο γκαράζ της, και ζητά από τον φίλο της τον Κώστα κλείσει την πόρτα μόλις

το διαστημόπλοιο μπεί τελείως μέσα στο γκαράζ. α) Πόσο γρήγορα πρέπει να ταξιδεψει

ώστε το σκάφος της να χωρέσει στο γκαράζ; β) Ποιο είναι το μήκος του γκαράζ όπως

το βλέπει η Αλίκη; γ) Ο Κώστας κλείνει την πόρτα μόλις βρεθεί μέσα το σκάφος.

Παρατηρεί όμως ότι στην ίδια στιγμή το μέτωπο του σκάφους συντρίβεται στον πέρα

τοίχο. Ποια είναι η ακολουθία γεγονότων σύμφωνα με την Αλίκη;

Λύση

11


α) Το διαστημόπλοιο έχει μήκος 20m και το γκαράζ είναι 16m. Χρησιμοποιώντας την

συστολή Lorentz στο σύστημα του Κώστα έχουμε

και επομένως .

β) Στο σύστημα της Αλίκης κινείται το γκαράζ και επομένως το μήκος του είναι

.

γ) Κατά την άποψη της Αλίκης το σκάφος δεν χωράει στο γκαράζ. Επομένως θα δει τη

μύτη του σκάφους να συντρίβεται στον πέρα τοίχο ενώ η πίσω πόρτα είναι ακόμα

ανοικτή και το σκάφος προεξέχει στο πίσω μέρος. Η πληροφορία για την σύγκρουση

δεν έχει φθάσει ακόμα στο πίσω μέρος του σκάφους και έτσι αυτό συνεχίζει την πορεία

του μέχρι που φθάνει στην πόρτα του γκαράζ οπότε συμβαίνει το δεύτερο γεγονός: ο

Κώστας κλείνει την πόρτα του γκαράζ την στιγμή φθάνει εκεί που το πίσω μέρος του

σκάφους. Στο σύστημα αναφοράς του Κώστα, τα δύο γεγονότα (συντριβή του

μπροστινού μέρους και είσοδος του πίσω μέρους) συμβαίνουν ταυτόχρονα.

1.3 Διαστολή του Χρόνου

Μια συνέπεια των μετασχηματισμών Lorentz είναι ότι τα κινούμενα ρολόγια πάνε πιο

σιγά. Θεωρείστε ένα παλμό φωτός που ανακλάται σε ένα καθρέφτη που βρίσκεται σε

απόσταση L . Σύστημα αναφοράς που κινείται παράλληλα με τον καθρέφτη με

ταχύτητα η διαδρομή που διάνυσε το φως φαίνεται μεγαλύτερη. v

Σχήμα 1.5: Διαστολή του Χρόνου: Κινούμενα ρολόγια χτυπούν πιο αργά.

Σύστημα 1:

Σύστημα 2: όπου

12


Συνδυασμός των παραπάνω σχέσεων δίνει

(1.19)

Θεωρείστε το φως που εκπέμπεται και ανιχνεύεται στο σύστημα F σε διαδοχικούς

χτύπους του ρολογιού. Αφού , το ρολόι του κινούμενου παρατηρητή S’ όπως

αυτό γίνεται αντιληπτό από τον ακίνητο παρατηρητή, χτυπά πιο αργά. Η κατάσταση

είναι συμμετρική και έτσι όποτε βλέπουμε ένα κινούμενο ρολόι, το βλέπουμε να

χτυπά πιο αργά από το δικό μας.

t′Δ > Δt

Η διαστολή του χρόνου επιβεβαιώνεται (μεταξύ άλλων) και από την παρατήρηση του

χρόνου ζωής των μιονίων. Τά μιόνια είναι γνωστά στοιχειώδη σωμάτια (λεπτόνια

παρόμοια με τα ηλεκτρονία αλλά βαρύτερα και ασταθή). Στη δεκαετία του '50

παρατηρήθηκε ότι τα μιόνια έχουν μια μέση διάρκεια ζωής στο σύστημα ηρεμίας

τους sec. Από αυτό προκύπτει ότι στην κορυφή ενός βουνού ο αριθμός

των μιονίων που παράγονται στην ατμόσφαιρα από κοσμικές ακτίνες θα πρέπει να

είναι αρκετά μεγαλύτερος από ότι στους πρόποδες του βουνού. Εντούτοις, λόγω

διαστολής του χρόνου, πολλά περισσότερα μιόνια φθάνουν στη στάθμη θάλασσας

από ότι προβλέπεται χωρίς την διαστολή του χρόνου. Συγκεκριμένα, χωρίς χρονική

διαστολή και με διάρκεια ζωής δευτερολέπτων

62.2 10−×

62.2 10−× sec τά μιόνια μπορούν να

διανύσουν μόνο 660 m με ταχύτητα σε 0,998 c. Με τη χρονική διαστολή, η διάρκεια

ζωής των μιονίων είναι 634.8 10−× sec που τους επιτρέπουν να ταξιδεψουν 10.400

μέτρα. Έτσι φθάνουν χαμηλά στη γήινη ατμόσφαιρα.


Ένα μιόνιο, με έχει χρόνο ημιζωής sec, δημιουργείται στην ατμόσφαιρα

30km επάνω από την επιφάνεια της γης. Υποθέτοντας δεν έχει καμία περαιτέρω

αλληλεπίδραση και ταξιδεύει άμεσα προς τη γη, ποιά είναι η ελάχιστη ταχύτητα (σε

μονάδες της ταχύτητας του φωτός) που πρέπει να έχει έτσι ώστε έχει τουλάχιστον

πιθανότητα 50% να φθάσει στη γήινη επιφάνεια πριν αποσυντεθεί;

-61/2t = 2,2 10

Λύση

Δύο πιθανές μέθοδοι: είτε χρήση χρονικής διαστολής χρήσης για το γρήγορο μιόνιο στο

δικό μας σύστημα αναφοράς, είτε χρήση συστολής Lorentz της ατμόσφαιρας στο

σύστημα αναφοράς του μιονίου.

13


Στην πρώτη περίπτωση, ο υπολογισμός μπορεί να απλοποιηθεί υποθέτοντας ότι το

μιόνιο κινείται με την ταχύτητα του φωτός στο δικό μας σύστημα αναφοράς. Σημειώστε

ακόμα ότι ο χρόνος ημιζωής είναι ακριβώς ο χρόνος που απαιτείται ώστε το μιόνιο να

έχει 50% πιθανότητα να επιβιώσει χωρίς να αποσυντεθεί.

Χρησιμοποιώντας τη συστολή Lorentz: Στο σύστημα του μιονίου το πάχος της

ατμόσφαιρας είναι . Μέσα σε , το μιόνιο ταξιδεύει

απόσταση . Η ελάχιστη ταχύτητα επομένως δίνεται από την σχέση

-61/2t = 2,2 10

-62,2 10 v×

που γράφεται και σαν

από την οποία προκύπτει .

1.4 Πρόσθεση ταχυτήτων

Θεωρείστε ένα σύστημα S σε ηρεμία και ένα σύστημα S’ που κινείται με ταχύτητα v.

Στο κινούμενο σύστημα S’ υπάρχει ένα σωμάτιο που κινείται με ταχύτητα u’ (δείτε

σχήμα 1.6).

Σχήμα 1.6: Το σωμάτιο φαίνεται από το σύστημα S να κινείται με ταχύτητα

. 'u v u< +

Το σωμάτιο φαίνεται από το σύστημα S να κινείται με ταχύτητα (εξ. (1.12)):

(1.20)

που διαφέρει από το αντίστοιχο Νευτώνειο για μεγάλες ταχύτητες και δεν επιτρέπει

στην u να ξεπεράσει την ταχύτητα του φωτός c.

14


1.5 Μερικοί ορισμοί

Δύο γεγονότα είναι ταυτόχρονα αν συμβαίνουν την ίδια χρονική στιγμή ενώ

ταυτόχωρα είναι όταν συμβαίνουν στο ίδιο σημείο του χώρου. Προσέξτε ότι

διαφορετικοί παρατηρητές δεν συμφωνούν γενικά για το κατά πόσο δύο γεγονότα

είναι ταυτόχρονα (ή ταυτόχωρα). Δύο γεγονότα συμπίπτουν όταν είναι και

ταυτόχρονα και ταυτόχωρα. Αν δύο γεγονότα συμπίπτουν για ένα παρατηρητή τότε

θα συμπίπτουν για όλους τους παρατηρητές.

1.6 Αιτιότητα

Θεωρείστε δύο γεγονότα. Πάντα υπάρχει ένας μετασχηματισμός του Γαλιλαίου (1.3)

που κάνει τα δύο γεγονότα ταυτόχωρα αλλά δεν υπάρχει τέτοιος μετασχηματισμός

που να τα κάνει ταυτόχρονα εκτός αν είναι ταυτόχρονα σε όλα τα συστήματα. Όμως

για τους μετασχηματισμούς Lorentz της ειδικής σχετικότητας τα πράγματα είναι πιο

περίπλοκα.

Θεωρείστε ένα παρατηρητή S που βλέπει ένα γεγονός Α στην θέση Ax να συμβαίνει

πριν από ένα γεγονός Β στην θέση Bx (δηλ. 0B At t− > ). Υποθέτουμε ότι τα Ax και

Bx βρίσκονται πάνω στον άξονα x. Ποια συνθήκη θα πρέπει να ικανοποιείται ώστε

όλοι οι παρατηρητές να βλέπουν το γεγονός Α να συμβαίνει πρώτο;

Χρησιμοποιούμε τον μετασχηματισμό Lorentz και έχουμε

(1.21)

Αυτό είναι θετικό μόνον όταν . Έτσι, αν το είναι

αρκετά μεγάλο η σειρά των γεγονότων εξαρτάται από τον παρατηρητή ενώ αν δεν

είναι τότε η σειρά είναι απόλυτα καθορισμένη για όλους τους παρατηρητές. Η

κρίσιμη έννοια είναι η έννοια της αιτιότητας (causality). Το γεγονός Α μπορεί να

επηρεάσει το γεγονός Β μόνα αν μπορεί να του στείλει κάποιο σήμα. Ένα σήμα όμως

δεν μπορεί να ταξιδεύσει γρηγορότερα από το φως. Επομένως το γεγονός Α μπορεί

να προκαλέσει το γεγονός Β αν

(1.22)

Αυτή ακριβώς είναι και η συνθήκη για να υπάρχει καλά

ορισμένη σειρά γεγονότων αφού 1β < για όλους τους παρατηρητές. Επομένως, η

15


σχετικότητα σέβεται την αιτιότητα. Γενικότερα, ένα γεγονός Α μπορεί να επηρεάσει

ένα γεγονός Β αν η χωροχρονική τους απόσταση 2 2 2 21 2s c t x x 2

3xΔ = − Δ + Δ + Δ + Δ είναι

.

2 0sΔ <

1.7 Χωροχρονικά Διαγράμματα

Τα χωροχρονικά διαγράμματα είναι μέθοδοι για την γραφική αναπαράσταση

γεγονότων. Στην Ειδική Σχετικότητα λέμε ότι ένα γεγονός συμβαίνει σε δεδομένο

σημείο του χωρό-χρονου που καθορίζεται από τις τιμές τεσσάρων συν/νων. Η

συμβατική κλιμακα των αξόνων είναι τέτοια ώστε το φώς να ακολουθεί τροχιά σε

που είναι ευθεία σε γωνιά . 045

Η επιφάνεια που καθορίζεται από τις δυνατές τροχιές ακτίνων φωτός που ξεκινούν

από την αρχή Ο λέγεται κώνος φωτός. Αποτελείται από όλα τα σημεία που

ικανοποιούν , όπου το είναι η αναλλοίωτη χωροχρονική απόσταση (εξ.

(1.12)). Σημειώστε ότι κάθε σημείο του χωρόχρονου έχει τον δικό του κώνο φωτός. Ο

κώνος φωτός διαιρεί τον χωρόχρονο σε τρεις περιοχές, χρονοειδές μέλλον,

χρονοειδές παρελθόν, και χωροειδές [ δείτε σχήμα (1.7)]. Μόνο τα γεγονότα στο

χρονοειδές παρελθόν του Ο μπορούν να τον επηρεάσουν, και μπορεί μόνο να

επηρεάσει τα σημεία στο χωροειδές μέλλον του. Τα χρονειδή γεγονότα χωρίζονται

από ένα διάστημα

0sΔ = sΔ

2 0sΔ < ενώ τα χωροειδή έχουν χωροχρονική απόσταση . [

Στην πραγματικότητα, τα πρόσημα είναι ένα θέμα σύμβασης. Μερικοί συγγραφείς

ορίζουν το ως το αντίθετο του ορισμού που χρησιμοποιούμε εδώ και

εμφανίζονται έτσι τα αντίθετα πρόσημα]. Η κοσμική γραμμή είναι η τροχιά στον

χωρόχρονο που ακολουθείται από οποιοδήποτε σωμάτιο ή παρατηρητή.

2sΔ 0>

2sΔ

16


Σχήμα 1.7: Ο κώνος φωτός


Σχεδιάστε ένα χωροχρονικό διάγραμμα όπου να φαίνονται οι παρακάτω κοσμικές

γραμμές:

a) Ενός στατικού αντικειμένου.

b) Ενός αντικειμένου που κινείται με σταθερή ταχύτητα μικρότερη του φωτός

c) Ενός αντικειμένου που εκτελεί απλή αρμονική κίνηση στον άξονα x.

d) Τον χρόνικό και χωρικό άξονα ( ),t x′ ′ ενός συστήματος που κινείται με ταχύτητα

u στην διεύθυνση +x.

17


Σχήμα 1.8: Κοσμικές Γραμμές

18


2. Βαθμωτά, Διανύσματα και Τανυστές 2.1 Πίνακας Μετασχηματισμού Lorentz

Για να απλοποιήσουμε τον συμβολισμό, γράφουμε 0x ct= , και συμβολίζουμε τις

συντεταγμένες συλλογικά ως xμ πού ο δείκτης μ παίρνει τις τιμές 0,1,2,3.

Σκεφτόμαστε το xμ σαν διάνυσμα με τέσσερεις συνιστωσες. Μπορούμε τότε να

γράψουμε το μετασχηματισμό Lorentz ως πολλαπλασιασμό πινάκων της μορφής

(2.1)

όπου

(2.2)

για την ειδική περίπτωση μετασχηματισμού στην κατεύθυνση της συντεταγμένης 1x .

Γενικά, υπάρχει ένας πίνακας για κάθε μετασχηματισμό Lorentz . Ένας τέτοιος

μετασχηματισμός θα μπορούσε για παράδειγμα να προκύψει πολλαπλασιάζοντας

πίνακες μεταχηματισμών στις διευθύνσεις των βασικών αξόνων. Μπορούμε να

γράψουμε την παραπάνω εξίσωση (2.1) σαν την δράση ενός πίνακα πάνω σ’ ένα

διάνυσμα.

Ο συμβολισμός που θα χρησιμοποιήσουμε είναι ο εξής: Οι ελληνικοί δείκτες θα

παίρνουν τις τιμές 0,1,2,3, ενώ οι λατινικοί δείκτες θα καλύπτουν μόνο τις χωρικές

συντεταγμένες 1,2,3. Τέλος, μια χρήσιμη σύμβαση είναι η σύμβαση αθροίσματος

Einstein, η οποία δηλώνει ότι εάν ένας δείκτης επαναλαμβάνεται τότε υποτίθεται ότι

υπάρχει άθροισμα πάνω σ’ εκείνο τον δείκτη. Θα δούμε αργότερα ότι ο ένας

αθροιζόμενος δείκτης πρέπει πάντα να είναι πάνω καο ο άλλος κάτω. Για παράδειγμα

(2.3)

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα πίνακα για να εκφράσουμε την χωροχρονική

απόσταση μεταξύ σημείων. Συμβολίζοντας τις διαφορές σύν/νων σαν xΔ γράφουμε

(2.4)

19


που μπορεί να εκφραστεί σαν

(2.5)

όπου

(2.6)

Αυτό είναι ένα παράδειγμα μετρικής που είναι γνωστή σαν μετρική Minkowski. Η

μετρική επομένως είναι ένας πίνακας (θα δούμε αργότερα ότι είναι τανυστής) που

μετατρέπει διαφορές συντεταγμένων σε αποστάσεις στον χωρό-χρονο. Στην γενική

σχετικότητα η μετρική γενικεύεται και περιέχει όρους που μπορούν να εξαρτώνται

από τις συν/νες και παράγει τις αποστάσεις μόνο μεταξύ απειροστά κοντινών

σημείων. Έτσι έχουμε

(2.7)

2.2 4-διανύσματα

Ορισμός: κάθε αντικείμενο aμ με τέσσερεις συνιστώσες που συμπεριφέρεται όπως το

xμ κάτω από μετσχηματισμούς συν/νων λέγεται ανταλλοίωτο 4-διάνυσμα.

Επομένως

(2.8)

όπου χρησιμοποιήσαμε την σύμβαση αθροίσματος Einstein. Δεν είναι 4-διανύσματα

όλα τα αντικείμενα με τέσσερεις συνιστώσες.

Πολλαπλασιάζουμε διανύσματα χρησιμοποιώντας την μετρική. Ορίζουμε το

εσωτερικό γινόμενο σαν

(2.9)

Ένα τέτοιο γινόμενο είναι αναλλοίωτο κάτω από μετασχηματισμούς Lorentz.

Η θέση των δεικτών (πάνω ή κάτω) είναι σημαντική γιατί ορίζει διαφορετικά

αντικείμενα. Η διαδικασία με την οποία κατεβαίνουν οι δείκτες γίνεται

20


πολλαπλασιάζοντας με την μετρική. Ορίζουμε το συναλλοίωτο 4-διάνυσμα bμ ως

(2.10)

και επομένως 00b b= − και . Για να υψώνουμε δείκτες θα πρέπει να ορίσουμε

μια μετρική με τους δείκτες πάνω. Αυτό γίνεται με την σχέση

iib b=

(2.11)

όπου το δ του Kronecker μρδ ισούται με 1 αν μ ρ= και 0 σε κάθε άλλη περίπτωση.

Επομένως μπορούμε να υψώνουμε δείκτες ως εξής

(2.2)

Μπορούμε να ελέγξουμε αν αυτός ο ορισμός είναι συμβατός με την διαδικασία

διαδοχικού χαμηλώματος και υψώματος των δεικτών επαληθεύοντας ότι

επιστρέφουμε στο ίδιο αντικείμενο

(2.13)

Τα συναλλοίωτα διανύσματα μετασχηματίζονται διαφορετικά κάτω από

μετσχηματισμούς Lorentz:

(2.14)

όπου χρησιμοποιήσαμε την μετρική για να κατεβάσουμε τον πρώτο δείκτη του

μετασχηματισμού Lorentz καθώς και το γεγονός ότι b b b b b bμ μ ν μμ μν μη= = . Μπορεί ο

ρμΛ επιφανειακά να μοιάζει με τον μετασχηματισμό Lorentz αλλά η θέση των

δεικτών είναι σημαντική (γι αυτό υπάρχει και η μετακίνησή τους).


Χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό αθροίσματος Einstein ο μετασχηματισμός Lorentz

γράφεται σαν

(2.15)

ενώ η στοιχειώδης απόσταση στον χωρόχρονο είναι

(2.16)

Δείξτε ότι από την αναλλοιώτητα της απόστασης αυτής κάτω από μετασχηματισμούς

Lorentz προκύπτει ότι

21


(2.17)

Λύση

Αντικαθιστούμε τον μετασχηματισμό Lorentz στην έκφραση για την

χωροχρονική απόσταση και βρίσκουμε

(2.18)

όπου η τελευταία ισότητα προκύπτει από την αναλλοιώτητα της απόστασης. Η

ταλευταία ισότητα θα πρέπει να ισχύει για κάθε επιλογή dxρ και dxσ . Επομένως θα

πρέπει να ισχύει η ζητούμενη σχέση .

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Lorentz προκύπτει από τον αντίστροφο πίνακα και

συμβολίζεται σαν . Με τον μετασχηματισμό αυτό γυρίζουμε πίσω στο αρχικό

(ακίνητο) σύστημα. Μπορεί να δειχτεί ότι

(2.19)

Απόδειξη:

Από την αναλλοιώτητα του εσωτερικού γινομένου κάτω από μετασχηματισμούς

Lorentz έχουμε:

a a a a a a a a a aμ ρ μ ρ λ μ κ λ κ κμ μρ μρ λ κ λκ κη η η′ ′ ′ ′= = Λ Λ = = (2.20)

Επομένως από την προτελευταία ισότητα:

( ) ( ) ( )( )

1 1 1

1

ρ μ μ ρλ μ ρλ ρμρ λ κ λκ μλ κ λκ μλ κ λκ κ

κ ρ ρρ μ ρ ρ μ ρ μμ κ κ μ κ μ σσ σ

ρρσ σ

η η η η η η δ

δ δ− − −

−

Λ Λ = ⇒ Λ Λ = ⇒ Λ Λ = =

⇒ Λ Λ = ⇒ Λ Λ Λ = Λ ⇒ Λ = Λ ⇒

⇒ Λ = Λ

σ

που είναι η ζητούμενη σχέση.

Επομένως συμπαιρένουμε ότι τα συναλλοίωτα 4-διανύσματα μετασχηματίζονται με

τους αντίστροφους μετασχηματισμούς Lorentz (δείτε και το παράδειγμα).


Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Lorentz παριστάνεται σαν και ορίζεται

έτσι ώστε . Θεωρώντας την ειδική περίπτωση μετασχηματισμού

22


Lorentz με ταχύτητα υ στην διεύτθυνση 1x δείξτε ότι ο αντίστροφος

μετασχηματισμός προκύπτει με αντικατάσταση .

Λύση

Ο μετασχηματισμός Lorentz με ταχύτητα υ στην διεύτθυνση 1x είναι

(2.21)

Επομένως με έχουμε / cβ υ β= → − και γ γ→ παίρνουμε

(2.22)

όπου οι δείκτες έχουν επιλεγεί κατάλληλα ώστε να ακολουθήσει πολλ/σμος. Έτσι

παίρνουμε ( ) ( )μ ν μν ρ ρυ υ δΛ Λ − = .

2.3 Τανυστές

Οι τανυστές γενικεύουν την έννοια των διανυσμάτων εισάγωντας περισσότερες

συνιστώσες. Στην ουσία είναι πίνακες με συγκεκριμένες ιδιότητες μετασχηματισμού.

Ένα παράδειγμα τανυστή είναι το γινόμενο δύο διανυσμάτων:

(2.23)

που μετασχηματίζεται ως εξής:

(2.24)

Προσέξτε ότι υπάρχει ένας πίνακας μετασχηματισμού για κάθε δείκτη. Άλλο

παράδειγμα τανυστή είναι η μετρική. Δεν γράφονται όμως όλοι οι τανυστές με δύο

δείκτες σαν γινόμενα διανυσμάτων. Γενικά, ο παραπάνω μετασχηματισμός (2.24)

μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ο ορισμός τανυστών με δύο δείκτες.

Ο αριθμός των δεικτών αποτελεί την τάξη (rank) του τανυστή. Ένα 4-διάνυσμα είναι

ένας τανυστής τάξης 1 ενώ ένα βαθμωτό είναι ένας τανυστής μηδενικής τάξης. Οι

τανυστές μπορούν να είναι ανταλλοίωτοι (όλοι οι δείκτες πάνω), συναλλοίωτοι (όλοι

οι δείκτες κάτω ή μικτοί. Οι δείκτες ανεβαίνουν και κατεβαίνουν χρησιμοποιώντας

23


τον τανυστή της μετρικής.

Η τάξη ενός τανυστή μπορεί να αλλάξει με διάφορους τρόπους, πχ πολλαπλασιασμός,

παραγώγιση, συστολή αντιστοιχουν στα παραδείγματα:

(2.25)


Αναπτύξτε σε μορφή συνιστωσών την διανυσματική εξίσωση

χωρίς καμμία υπόθεση για την μορφή του . Αν δείξτε

ότι

.

Λύση

Θα πρέπει απλά να γράψουμε 4 εξισώσεις (μία για κάθε συνιστώσα). Για την

μηδενική συνιστώσα, θέτουμε 0μ = και παίρνουμε

κλπ

Για , ο μόνος όρος που επιβιώνει στο άθροισμα είναι ο όρος με το .

Ανάλογα ισχύουν και για τις άλλες συνιστώσες. Επομένως .


Δείξτε ότι

Λύση

Η σχέση προκύπτει απλά ως το ίχνος του γινομένου δύο πινάκων. Εναλλακτικά,

χρησιμοποιούμε τον ορισμό με μ ρ= . Έτσι παίρνουμε

όπου η τελευταία ισότητα προκύπτει με άθροισμα πάνω στα μ.

Οι παρακάτω κανόνες πρέπει να ικανοποιούνται όταν οι τανυστές εμφανίζονται σε

μαθηματικές σχέσεις:

24


• Επαναλαμβανόμενοι δείκτες σε συγκεκριμένο όρο αθροίζονται. Δεν θα πρέπει

να χρησιμοποιούνται οι ίδιοι δείκτες σε δύο διαφορετικά αθροίσματα για να

μην γίνεται σύγχιση.

• Οι ελεύθεροι δείκτες σε διαφορετικούς όρους πρέπει να ταιριάζουν και να

είναι στο ίδιο επίπεδο (πάνω ή κάτω).

• Τα συγκεκριμένα σύμβολα που χρησιμοποιούνται ως δείκτες δεν έχουν

σημασία και μπορούν να αλλάζουν κατά βούληση εφόσον δεν παραβιάζονται

οι παραπάνω κανόνες.


Βρείτε αν οι παρακάτω ισότητες μεταξύ τανυστών μπορούν να ισχύουν

Λύση

a) Δεν μπορεί να ισχύει διότι δεν ταιριάζουν οι δείκτες

b) Μπορεί να ισχύει διότι κάθε πλευρά της ισότητας είναι βαθμωτό

c) Δεν μπορεί να ισχύει: το ρ εμφανίζεται 3 φορές στον ίδιο όρο και επίσης δεν

ταιριάζουν οι δείκτες

d) Μπορεί να ισχύει διότι κάθε πλευρά είναι τανυστής τάξης 1 (διάνυσμα).

e) Μπορεί να ισχύει διότι κάθε πλευρά είναι τανυστής τάξης 2

f) Μπορεί να ισχύει διότι κάθε πλευρά είναι τανυστής τάξης 4 (το μηδέν έχει όποια

τάξη θέλουμε)

2.4 4-ταχύτητα, 4-ορμή και 4-επιτάχυνση

Για την δημιουργία μιας ταχύτητας που θα μετασχηματίζεται σαν διάνυσμα δεν

μπορούμε να παραγωγίσουμε ως προς τον χρόνο διότι δεν συμφωνούν όλοι οι

παρατηρητές για την ίδια τιμή του χρόνου. Αντι για τον χρόνο παραγωγίζουμε ως

προς τον ιδιοχρόνο 2

22

dsdc

τ = όπου ds είναι αναλλοίωτη κατά Lorentz απόσταση.

Ορίζουμε την 4-ταχύτητα ως

25


(2.26)

Ο ιδιοχρόνος είναι ο χρόνος που καταγράφεται από ένα ρολόι που κινείται μαζί με το

αντικείμενο του οποίου η 4-ταχύτητα είναι uμ . Είναι ο χρόνος που καταγράφεται από

κινούμενους παρατηρητές όπως μπορεί να δειχτεί με μετασχηματισμό στο σύστημα

όπου ο παρατηρητής είναι ακίνητος:

Υποθέστε ότι ο παρατηρητής έχει μια 3-ταχύτητα σε κάποιο σύστημα. Τότε η 4-

ταχύτητά του είναι

iv

(2.27)

Μετασχηματίζουμε στο σύστημα S’ όπου ο παρατηρητής είναι ακίνητος κα έχουμε

(2.28)

Σ’ αυτό το σύστημα dt dτ′ = αφού 0idx′ = και επομένως ο τ είναι πραγματικά ο

χρόνος που καταγράφεται από τον παρατηρητή. Γνωρίζουμε ακόμα ότι

και επομένως

και η σχέση (2.27) γίνεται

(2.29)

Στην ειδική περίπτωση στατικού αντικειμένου έχουμε . Αυτό είναι

ένα παράδειγμα της γενικής αρχής ότι όλα τα αντικείμενα κινούνται στο χωρόχρονο

με την ταχύτητα του φωτός c πράγμα που εκφράζεται μαθηματικά με την σχέση:

(2.30)

Παρατηρείστε ότι χρειάζεται να πάρούμε το εσωτερικό γινομενο για να μετρήσουμε

το μήκος ενός 4-διανύσματος.

Από την 4-ταχύτητα ορίζουμε την 4-ορμή ως

(2.31)

όπου είναι η μάζα ηρεμίας δηλ. η μάζα σ’ ένα σύστημα όπου το αντικείμενο είναι

ακίνητο. Παρατηρείστε ότι αν θέλουμε να ορίσουμε την σχέση μεταξύ 3-ταχύτητας

και 3-ορμής θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε την σχετικιστική μάζα

0m

26


από την οποία προκύπτει ότι τα κινούμενα αντικείμενα είναι

και βαρύτερα.


α) Η 4-ταχύτητα ενός αντικειμένου που κινείται με 3-ταχύτητα είναι

της μορφής . Δείξτε ότι .

β) Η 4-ορμή ενός κινούμενου αντικειμένου ορίζεται χρησιμοποιώντας την μάζα

ηρεμίας του ως 0m . Αν ορίσουμε την μάζα χρησιμοποιώντας την 3-

ορμή και την 3-ταχύτητα έτσι ώστε να βρείτε την σχέση μεταξύ

και . m 0m

Λύση

α) Ενας τρόπος είναι να πάμε απλά στο σύστημα ηρεμίας και μετα να

χρησιμοποιήσουμε την αναλλοιώτητα. Εναλλακτικά, χαμηλώνουμε τους δείκτες

πολλαπλασιάζοντας με την μετρική και παίρνουμε . Με

πολλάπλασιασμό και άθροιση πάνω στα μ παίρνουμε

και αντικαθιστώντας παίρνουμε

το ζητούμενο .

β) Αφού , έχουμε και επομένως, από τον ορισμό της 3-ορμής

παίρνουμε . Έτσι όσον αφορά την 3-ορμή, τα κινούμενα αντικείμενα

γίνονται βαρύτερα.

Για την τετραορμή ισχύει ότι (λογω των σχέσεων (2.30), (2.31)) 2

0p p mμμ = − c (2.32)

Η μηδενική συνιστώσα της 4-ορμής είναι η ενέργεια δια c:

00

Ep m c mcc

γ= = =

2 20E m c mcγ= =

v c<<

και έτσι έχουμε

(2.33)

Για παίρνουμε

27


(2.34)

Ο δεύτερος όρος είναι η κινητική ενέργεια ένω ό πρώτος όρος είναι η ενέργεια

ηρεμίας του σωματίου. Από την σχέση 20p p mμ

μ = − c παίρνουμε

2 2 4 2 2 4 2 20 0i iE m c p p c m c p c= + = + (2.35)

όπου 0 0

ii i dxp m u m

dtγ= = είναι η 3-ορμή του σωματίου. Αφού καθώς v c

συμπεραίνουμε ότι κανένα σωμάτιο με μη μηδενική μάζα ηρεμίας δεν μπορεί να

φθάσει την ταχύτητα του φωτός. Για φωτόνια που ταξιδεύουν στην διεύθυνση x

έχουμε και επομένως τα φωτόνια έχουν μηδενική μάζα ηρεμίας.

m → ∞ →

10 0E cp m= ⇔ =

Ανάλογα με την 4-ορμή, μπορούμε να ορίσουμε την 4-επιτάχυνση σαν

(2.36)

2.5 Συναλλοιώτητα Φυσικών Νόμων

Η ταύτιση της ορμής και της ενέργειας με τις συνιστώσες του τετραδιανύσματος

( , )p E c pμ = εξασφαλίζει ότι, αν η διατήρηση της ορμής και της ενέργειας ισχύει

σε ένα σύστημα αναφοράς, θα ισχύει αναγκαστικά και σε οποιοδήποτε άλλο

συνδέεται με το πρώτο με ένα μετασχηματισμό Lorentz μνΛ . Αν δηλαδή

όP P όμ μ

αρχικ τελικ= σε ένα σύστημα, τότε:

' 'ό ό όP P Pμ μ ν μPμ νν ν ό (2.37) αρχικ αρχικ τελικ= Λ τελικ= Λ =

1 2T T

Η πρώτη υπόθεση της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας, ότι δηλαδή οι νόμοι της

φύσης έχουν την ίδια μορφή σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς, είναι

ισοδύναμη με την απαίτηση έκφρασης όλων των φυσικών νόμων ως ισοτήτων

τανυστών ή τετραδιανυσμάτων. Αν, για παράδειγμα, ένας φυσικός νόμος έχει τη

μορφή: μν μν=

1 2' '

(2.38)

σε ένα σύστημα αναφοράς F, τότε σε άλλο σύστημα αναφοράς F΄ έχει τη μορφή: μν μνΤ = Τ

διότι:

28


1 1 2' 'μ ν μ να β α β 2

μν αβ αβ αβΤ = Λ Λ Τ = Λ Λ Τ = Τ (2.39)

Λέμε ότι οι φυσικοί νόμοι είναι συναλλοίωτοι, διατηρούν δηλαδή την ίδια μορφή σε

όλα τα συστήματα αναφοράς.

2.6 4-δύναμη

Ο νόμος του Νεύτωνα

dtpdtxF =),( (2.40)

δεν είναι γραμμένος σε συναλλοίωτη μορφή, αφού τα p και F δεν είναι

τετραδιανύσματα.

Η γενίκευσή του σε συναλλοίωτη μορφή είναι:

μμ

τK

ddp

= (2.41)

όπου η μK λέγεται δύναμη Minkowski και dτ είναι ο στοιχειώδης ιδιοχρόνος που

είναι βαθμωτό (αναλλοίωτος κάτω από μετασχηματισμούς Lorentz). Η σχέση της

δύναμης Minkowski μK με τη Νευτώνεια δύναμη F προκύπτει εύκολα ως εξής:

2 2

// 1 /

dp dp dt FKd d dt v cτ τ

= = =−

(2.42)

2 2

1 // 1 /

oo dp dE dE dt F v cK

d c d cd dt v cτ τ τ⋅

= = = =−

/ (2.43)

όπου dxvdt

= είναι η 3-ταχύτητα.

Η γενίκευση του νόμου του Νεύτωνα σε συναλλοίωτη μορφή οδηγεί σε αλλαγή της

μορφής του (π.χ. οι χωρικές συνιστώσες της δύναμης Minkowski διαφέρουν από τη

Νευτώνεια δύναμη). Αυτό όμως δε συμβαίνει με τις εξισώσεις του Maxwell, οι οποίες

είναι, από κατασκευής, συμβατές με την ειδική θεωρία της σχετικότητας και δε

χρειάζονται καμία αλλαγή.

Για να γίνει εμφανής αυτή η συναλλοιότητα των εξισώσεων του Maxwell, θα πρέπει

να γράφουν ως ισότητες μεταξύ τανυστών (δείτε κεφάλαιο 3).

29


2.7 Σχετικιστικό φαινόμενο Doppler

Θεωρείστε ένα φωτόνιο που κινείται σε σύστημα S σε γωνία α με τον άξονα x. Αφού

(όπου f η συχνότητα και h η σταθερά του Planck), η 4-ορμή του είναι E pc hf= =

1 2 3, , , , cos , sin ,0E hf hf hfp p p pc c c c

μ α α⎛ ⎞ ⎛= =⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

(2.44)

Σε σύστημα S’ που κινείται με 3-ταχύτητα ( ),0,0v ως προς το S η συχνότητα του

φωτονίου είναι f ′ . Χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό Lorentz παίρνουμε 0 0 0 0 0

01

1p p p= Λ pμμ′ = Λ + Λ . Επομένως

2

v hfc

coshf hfc c

γ α′

= −⎣ ⎦⎡⎢

⎤⎥ (2.45)

από όπου προκύπτει ότι

2

2

1 cos

1

vf cf v

c

α−′=

−

0

(2.46)

Αν α = οπότε το φωτόνιο κινείται στην ίδια διεύθυνση με το σύστημα S’ έχουμε

1

1

vf c

vfc

−′=

+ (2.47)

H μεταβολή αυτή της συχνότητας λόγω κίνησης του συστήματος αναφοράς που

αποτελεί το σχετικιστικό φαινόμενο Doppler.

Για μικρές ταχύτητες v παίρνουμε c<<

1f vf c′

= − (2.48)

που είναι το γνωστό μη σχετικιστικό αποτέλεσμα f vf c

Δ= για το φαινόμενο Doppler.

Για 2πα = οπότε το φωτόνιο κινείται κάθετα με το σύστημα S’ παίρνουμε

ff

γ′

= (2.49)

που είναι το εγκάρσιο σχετικιστικό φαινόμενο Doppler και οφείλεται στην διαστολή

του χρόνου. Το εγκάρσιο σχετικιστικό φαινόμενο Doppler είναι καθαρά

σχετικιστικό και δεν έχει μη σχετικιστικό ανάλογο.

30


2.8 Η 4-απόκλιση και ο κυματικός τελεστής

Θεωρείστε τον τελεστή

(2.50)

Μοιάζει με 4-διάνυσμα αλλά τι είδους; Ο κανόνας μετασχηματισμού του προκύπτει

από τον κανόνα της αλυσίδας:

(2.51)

Όμως

(2.52)

Παραγωγίζοντας την τελευταία σχέση ως προς x ρ′ παίρνουμε

(2.53)

όπου ο τελευταίος όρος είναι νρδ . Επομένως

(2.54)

και η παράγωγος xμ

∂∂

μετασχηματίζεται σαν συναλλοίωτο 4 διάνυσμα. Συνήθως

γράφουμε .


Βρείτε τον τρόπο που μετασχηματίζεται το . Είναι σωστό να γραφεί το σαν

όπου με δεδομένο τον κανόνα μετασχηματισμού του ;

Λύση

Ο κανόνας μετασχηματισμού για το συναλλοίωτο 4-διάνυσμα είναι

. Επομένως . Η παράγωγος ως προς

31


μετασχηματίζεται σαν και επομένως το

μετασχηματίζεται σαν ανταλλοίωτο 4-διάνυσμα.

Από τον ορισμό και ο κανόνας μετσχηματισμύ για την παράγωγο με το

δείκτη κάτω είναι . Επομένως

που και πάλι προκύπτει

να είναι ανταλλοίωτο 4-διάνυσμα όπως αναμενόταν.

Ο κυματικός τελεστής (η D’Alambertian) ορίζεται ως

(2.55)

και γράφεται συντομογραφικά σαν

(2.56)

32


3. Ηλεκτρομαγνητισμός σε συναλλοίωτη μορφή 3.1 Ο Ηλεκτρομαγνητικός Τανυστής

Η Νευτώνεια δύναμη Lorentz που δρα σε φορτισμένο σωμάτιο σε συγκεκριμένο

σύστημα αναφοράς είναι:

(dp F qE q v Bdt

= = + × ) (3.1)

όπου dxvdt

= είναι η 3-ταχύτητα.

Χρησιμοποιώντας τις (2.42), (2.43), μπορούμε να βρούμε την αντίστοιχη δύναμη

Minkowski ως:

( ) 0

221

qE q v B EK qucv

c

+ ×= = +

−qu B× (3.2)

0

2 21qE v EK

cv c⋅

= =−

qu ⋅ (3.3)

όπου dxudτ

= είναι το χωρικό μέρος της 4-ταχύτητας.

Η δύναμη Minkowski είναι, γενικά, τετραδιάνυσμα, και επομένως η έκφρασή της

συναρτήσει ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου θα πρέπει να είναι και αυτή

τετραδιάνυσμα. Για να γίνει αυτό εμφανές, θα πρέπει το δεξί μέλος των (3.2), (3.3) να

εκφραστεί συναρτήσει τετραδιανυσμάτων και τανυστών.

Για το σκοπό αυτό ορίζουμε τον αντισυμμετρικό πίνακα (θα δούμε

παρακάτω ότι είναι τανυστής) ως:

4 4x μνF

kijk

ij BF ε= (3.4)

cEFF

iii =−= 00 (3.5)

Ο πίνακας αυτός έχει τη μορφή:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

−−=

0

0

0

0

123

132

231

321

BBcE

BBcE

BBcE

cE

cE

cE

F μν (3.6)

33


Η δύναμη Minkowski μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει του πίνακα ως: μνF

0i

iijk

EK qu q u Bc

ε= + j k

)ij

(3.7)

ή

(3.8) ( 00

i ijK q u F u F= +

(0 000

jj

jEK qu q u F u Fc

= = + )0 j (3.9)

όπου χρησιμοποιήσαμε τις σχέσεις 00u u= − , j

ju u= .

Από τις (3.8) και (3.9) προκύπτει η σχέση:

vK qu Fμ μν= (3.10)

Για να είναι η δύναμη Minkowski ανταλλοίωτο τετραδιάνυσμα στη (3.10) και να

μετασχηματίζεται σύμφωνα με το μετασχηματισμό Lorentz (δεδομένου ότι η vη είναι

συναλλοίωτο τετραδιάνυσμα), θα πρέπει ο πίνακας να είναι ανταλλοίωτος

τανυστής 2ης τάξης.

μνF

Έτσι, η εξίσωση κίνησης φορτισμένου σωματίου γράφεται σε συναλλοίωτη μορφή

ως:

vdp qu Fd

μμν

τ= (3.11)

Ο τανυστής λέγεται ηλεκτρομαγνητικός τανυστής πεδίου και μπορεί να

χρησιμοποιηθεί για να γραφούν οι εξισώσεις του Maxwell σε συναλλοίωτη μορφή.

μνF

Συγκεκριμένα, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις: 0

F E cx

ν

ν

∂= ∇ ⋅

∂ (3.12)

tE

cB

xF i

∂∂

⋅−×∇=∂∂

2

1ν

ν

(3.13)

οι εξισώσεις του Maxwell που συσχετίζουν πηγές με πεδία (νόμος Gauss και νόμος

Ampere-Maxwell) γράφονται ως:

μν

μν

μ Jx

F0=

∂∂ (3.14)

όπου

34


⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

≡

z

y

x

JJJc

JJJc

J

ρρ

μ

3

2

1 (3.15)

είναι το τετραδιάνυσμα ρεύματος που μετασχηματίζεται ως ανταλλοίωτο

τετραδιάνυσμα, δεδομένου ότι στη (3.14) ο είναι ανταλλοίωτος τανυστής 2ης

τάξης, ενώ το

μνF

μx∂∂ είναι συναλλοίωτο τετραδιάνυσμα.

Χρησιμοποιώντας το , η εξίσωση συνεχείας μJt

J∂∂

−=⋅∇ρ γράφεται σε

συναλλοίωτη μορφή ως:

0=∂∂

μ

μ

xJ (3.16)

Οι άλλες δύο εξισώσεις Maxwell που περιέχουν μόνο πεδία γράφονται σε

συναλλοίωτη μορφή ως:

0=∂

∂ν

μν

xG

όπου μνG είναι άλλος

(3.17)

αντισυμμετρικός τανυστής, που λέγεται δυϊκός τανυστής πεδίου

και ορίζεται ως:

αβμναβμν ε FG 1

=2

(3.18)

όπου είναι ο ολικά αντισυμμετρικός τανυστής σε 4 διαστάσεις ( είναι +1 μναβε

ν το

με ναβ

ή –1 α μναβ είναι άρτια ή περιττή μετάθεση του 0123).

μνΟι συνιστώσες του είναι: G

cEFG

kijij αβ1

ijkεε αβ −==2

(3.19)

ijk

ijkii BFGG ==−= 000

21 ε (3.20)

και επομένως ο προκύπτει από τον με τις αντικαταστάσεις μνG μνF BcE

→ και

cEB −→ :

35


⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

−−=

0

0

0

0

123

132

231

321

cE

cEB

cE

cEB

cE

cEB

BBB

G μν (3.21)

Έτσι, η (3.17) με 0=μ ισοδυναμεί με το νόμο του Gauss ( )0=⋅∇ B , ενώ για τις

χωρικές συνιστώσες η (3.17) ισοδυναμεί με το νόμο του Faraday ( 1, 2, 3= )μ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∂∂

+×∇ 0tBE (3.22)

Ο ηλεκτρομαγνητικός τανυστής πεδίου μνF μπορεί να γραφεί συναρτήσει του

διανυσματικού δυναμικού ως:

ν

μ

μ

νμν

xA

xAF

∂∂

−∂∂

= (3.23)

όπου

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

3

2

1

AAA

cV

Aμ (3.24)

είναι η συναλλοίωτη γενίκευση σε τετραδιάνυσμα του διανυσματικού δυναμικού

( txA , ) με χρήση και του βαθμωτού δυναμικού ( )txV , .

Η (3.23) προκύπτει εύκολα με χρήση των (3.6) και των γνωστών από τον

ηλεκτρομαγνητισμό σχέσεων μεταξύ πεδίων και δυναμικών AE Vt

∂= −∇ −

∂ και

B A= ∇× . Οι εξισώσεις του Maxwell που δεν περιέχουν πηγές ικανοποιούνται

αυτόματα αν τα πεδία εκφραστούν συναρτήσει ( )txV , , ( )txA , , άρα και η (3.17)

ικανοποιείται αυτόματα αν ο μνF εκφραστεί μέσω της (3.23).

3.2 Μετασχηματισμός πεδίου

Ο μνF είναι τανυστής 2ης τάξης και, επομένως, κάτω από μετασχηματισμούς

Lorentz μετασχηματίζεται ως:

( ) ( )' 'F x F xμν μ ν ρσρ σ= Λ Λ (3.25)

36


όπου 'x xμ μ λ

λ= Λ (3.26)

Ας θεωρήσουμε, για απλότητα, μετασχηματισμό όπου σύστημα κινείται με

ταχύτητα σε σχέση με σύστημα

F ′

v i∧

F .

Τότε, ο μετασχηματισμός Lorentz δίνεται από τη (1.15).

Αντικαθιστώντας τη (1.15) στη (1.61), έχουμε:

( ) 101102012

101' ' EcFFcFcEcF ==−+== βγγ (3.27)

( ) ( )'02 02 122 2'cF E c F c F E vBγ βγ γ= = − = − 3 (3.28)

( ) ( )'03 03 133 3'cF E c F c F E vBγ βγ γ= = − = + 2

F

(3.29)

όπου χρησιμοποιήσαμε τη σχέση 0 0' i iF ρσ

ρ σ= Λ Λ (3.30)

Αντίστοιχα, για το μαγνητικό πεδίο στο σύστημα F ′ έχουμε: i jk j kB F F ρσ

ρ σ′ ′= = Λ Λ (3.31)

όπου είναι κυκλική μετάθεση των 1, 2, 3. Για ijk 1i = έχουμε και η

μόνη μη μηδενική συνιστώσα του αθροίσματος είναι:

)3,2(),( =kj

2 3 231 2 3 1B F′ = Λ Λ = B (3.32)

για έχουμε ) , και επομένως: 2=i 1,3(),( =kj

31 3 1 30 3 1 31 30 31 32 3 0 3 1 2 2( vEB F F F F F B

cβγ γ γ′ = = Λ Λ + Λ Λ = − + = + ) (3.33)

και

23 3 2( vEB B

cγ′ = − ) (3.34)

Οι μετασχηματισμοί αυτοί προφανώς αναμειγνύουν ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία.

Αυτό είναι αναμενόμενο, γιατί αν σε σύστημα F ′ υπάρχουν στατικά φορτία και

επομένως μόνο ηλεκτρικά πεδία, σε σύστημα F που κινείται με ταχύτητα v−

σχετικά με το F ′ τα στατικά φορτία κινούνται με ταχύτητα v+ , και επομένως

περιμένουμε την ύπαρξη ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων.

3.3 Ηλεκτρομαγνητικό πεδίο κινούμενου φορτίου

37


Έστω φορτίο q που κινείται με ταχύτητα σε σύστημα F. Έστω ακόμα F΄ το

σύστημα ηρεμίας του q, που κινείται με ταχύτητα ως προς το F. Στο σύστημα F΄,

όπου ηρεμεί το q, έχουμε:

ˆvi

ˆvi

0)( =′xB (3.35)

30

( )4

q xE xxπε

′′ =

′ (3.36)

Τα πεδία ( , ), ( , )E x t B x t στο σύστημα F που κινείται με ταχύτητα iv− ως προς το F΄

υπολογίζονται εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Lorentz στα πεδία (3.35), (3.36) και

στις συντεταγμένες . x ′

Έχουμε:

ˆˆ ˆ( )x x vt i yj zkγ′ = − + + (3.37)

Από τις (3.27)-(3.29) με , λόγω των (3.35), (3.36), έχουμε: )( vv −→

1 1 2 2 3, , 3E E E E E Eγ′ ′= = = γ ′ (3.38)

Από τις (3.32)-(3.33) με ) , λόγω των (3.35), (3.36), έχουμε: ( vv −→

3 21 2 320, , E EB B v B v

c cγ γ

′2

′= = − = (3.39)

Αντικαθιστώντας τη (3.36) στη (3.38) και χρησιμοποιώντας τη (3.37), βρίσκουμε το

),( txE ως:

3 22 2 2 20

ˆˆ ˆ( )( , )4 ( )

q x vt i yj zkE x tx vt y z

γπε γ

− + +=

⎡ ⎤− + +⎣ ⎦

(3.40)

Αντίστοιχα, από τις (1.74) προκύπτει, λόγω των (1.71) και (1.72) για το μαγνητικό

πεδίο:

32 22 2 2 20

ˆˆ( )( , )4 ( )

q v zj ykB x tc x vt y z

γπε γ

− +=

⎡ ⎤− + +⎣ ⎦

(3.41)

Παρατηρούμε ότι για ταχύτητες που προσεγγίζουν την ταχύτητα του φωτός οι

δυναμικές γραμμές του ηλεκτρικού πεδίου χάνουν τη σφαιρική συμμετρία τους και

συμπιέζονται σ’ ένα «δίσκο» κάθετο στη διεύθυνση της κίνησης, ενώ το μέγεθος του

πεδίου αυξάνει κατά έναν παράγοντα

v c

γ .

38


Παρατηρητής σε ηρεμία στο σημείο ) του F θα αντιλαμβανόταν έναν

απότομο παλμό πεδίου τη στιγμή

,,( 000 zyx

vx

t 0= .

Αντίστοιχα, το μαγνητικό πεδίο είναι εφαπτομενικό σε κύκλο γύρω από τον άξονα

κίνησης του φορτίου.

39


4. Ο Τανυστής Ενέργειας και Ορμής 4.1 Ορισμός τανυστή ενέργειας και ορμής

Θεωρείστε μια κατανομή σωματίων που έχουν αμελητέες ταχύτητες σε ακίνητο

σύστημα και δεν αλληλεπιδρούν. Τέτοια σωμάτια λέγονται ‘σκόνη’ και δεν ασκούν

πίεση. Έστω η μάζα ηρεμίας τους και η αριθμητική πυκνότητα τους στο

σύστημα ηρεμίας (ακίνητο σύστημα).

0m 0n

Η πυκνότητα των σωματίων στο ακίνητο σύστημα είναι

0 0m nρ = (4.1)

Σε ένα γενικό σύστημα αναφοράς η αριθμητική πυκνότητα αυξάνεται κατά ένα

παράγοντα γ λόγω συστολής του μήκους που μειώνει τον όγκο κατά τον ίδιο

παράγοντα

0n 0nγ→

0m

(4.2)

Ακόμα

0mγ→ (4.3)


(4.4)

Επομένως η πυκνότητα μάζας ρ (σε αντίθεση με την πυκνότητα φορτίου) δεν είναι

συνιστώσα 4-διανύσματος. Θα δούμε ότι είναι συνιστώσα ενός τανυστή 2ης τάξης.

Ας ορίσουμε ένα νέο 4-διάνυσμα ροής αριθμητικής πυκνότητας

( 1 2 30 0 0 0, , ,n n u cn n n nμ μ )0γ υ υ υ= = (4.5)

όπου i

i dxdt

υ = είναι οι συνιστώσες της 3-ταχύτητας, 0inγ υ είναι η ροή ανά μονάδα

επιφανείας που διασχίζει μια επιφάνεια κάθετη στην διεύθυνση ix και 0nγ μπορεί να

θεωρηθεί ως η ροή στην διεύθυνση t. Επομένως το nμ συνδυάζει την ροή και την

αριθμητική πυκνότητα σε ένα 4-διάνυσμα. Παρατηρήστε ότι

(4.6)

όπου είναι σταθερή (η αριθμητική πυκνότητα στο σύστημα ηρεμίας).

2 20n c= −

0n

n nμμ

Το nμ είναι ανάλογο της 4-ταχύτητας και επομένως μετασχηματίζεται σύμφωνα με

τον μετασχηματισμό Lorentz.

40


Ορίζουμε τον τανυστή ενέργειας και ορμής T p nαβ α= β ως την ροή της α

συνιστώσας της ορμής pα που διασχίζει μια επιφάνεια με σταθερό xβ .

Ας θεωρήσουμε πρώτα το : Ορίζεται ως η ροή της 0-συνιστώσας της ορμής

(ενέργεια δια c) που διασχίζει μια επιφάνεια με σταθερό t . Έτσι προκύπτει η

πυκνότητα ενέργειας

00T

00 0 0 20T p n u cρ= =

0iT

(4.7)

Όμοια είναι η ροή ενέργειας δια c που διασχίζει μια επιφάνεια με σταθερό ix :

(4.8)

Ακόμα είναι η ροή της i-συνιστώσας της ορμής επί c που διασχίζει μια

επιφάνεια με σταθερό t :

0 00

i iT p n u=

0iT

00

i iT p n u=

ijT

0ij i jT p n u=

0 (4.9)

Τέλος είναι η j-συνιστώσα της ροής της i-ορμής:

(4.10)

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η γενική μορφή του T αβ για ‘σκόνη’ είναι

0 0T p n n m u uαβ α β α β= = και επομένως είναι συμμετρικός: T Tαβ βα= . Όπως θα δούμε

αυτή είναι μια γενική ιδιότητα του τανυστή T αβ .

Ο τανυστής ενέργειας και ορμής T αβ είναι πλήρως ορισμένος όταν είναι γνωστός σε

κάποιο σύστημα αναφοράς.

Για σύστημα ‘σκόνης’ στο ακίνητο σύστημα, ο T αβ έχει ιδιαίτερα απλή μορφή. Στο

σύστημα αυτό δεν υπάρχει κίνηση των σωματίων και έτσι όλες οι i-ορμές και οι

χωρικές συνιστώσες των ροών είναι 0. Επομένως, για την ‘σκόνη’ στο ακίνητο

σύστημα έχουμε

(4.11)

Σε άλλο (κινούμενο) σύστημα οι συνιστώσες του T αβ παίρνουν την μορφή 00 0 0 2 2T u u cρ γ ρ′ ′ ′= =

0 0 2i iT u u

(4.12) icρ γ ρ υ′ ′ ′= = ′

i

(4.13) 0 0 2i iT u u cρ γ ρ υ′ ′ ′= = ′ (4.14)

41


2ij i j i jT u uρ γ ρυ υ′ ′ ′ ′= = ′ (4.15)

όπου i

i dxdt

υ′

′ =′

είναι οι συνιστώσες της 3-ταχύτητας στο κινούμενο σύστημα και

ρ είναι σταθερή (η πυκνότητα στο σύστημα ηρεμίας του ρευστού). Προσέξτε ότι

κατά τους μετσχηματισμούς δεν μετασχηματίζουμε τις σταθερές ποσότητες

0, 0m n, ρ .

4.2 Γενικά Ρευστά

Ένα γενικό ρευστό έχει πίεση p (τυχαίες ταχύτητες) και τριβές (αλληλεπιδράσεις

μεταξύ σωματίων). Ο T αβ

0i

έχει την ίδια ερμηνεία όπως στην περίπτωση της σκόνης

αλλά οι συνιστώσες και δεν είναι πλέον 0 στο ακίνητο σύστημα.

Συγκεκριμένα οι αντιπροσωπεύουν αγωγή θερμότητας οι αντιπροσωπεύουν

δυνάμεις τάσης μεταξύ γειτονικών στοιχείων του ρευστού (η i συνιστώσα δύναμης

ανα μονάδα επιφανείας που ασκείται πάνω σε επιφάνεια με σταθερό

Ti

ijT0T ijT

jx )

4.3 Διατήρηση Ενέργειας - Ορμής

Ο T αβ αντιπροσωπεύει το περιεχόμενο ενέργειας και ορμής και επομένως μπορεί να

χρησιμοποιηθεί για να εκφραστούν οι νόμοι διατήρησης ενέργειας και ορμής.

Σχήμα 4.1: Διατήρηση της ενέργειας: Η μεταβολή της ενέργειας στο εσωτερικό του

κύβου ισούται με την ενέργεια που ρέει μέσα από τις έδρες του.

Θεωρείστε ένα κυβικό στοιχείο ρευστού (Σχ. 2.1) πλευράς a (η διεύθυνση z μπαίνει

μέσα στο σχήμα). Η ροή ενέργειας μπορεί να διασχίζει όλες τις πλευρές. Ο ρυθμός

42


ροής κατά μήκος της πλευράς (4) είναι ( )2 01 0a cT x = ενώ κατά μήκος της πλευράς

(2) είναι ( )2 01a cT x a− = . Ο δεύτερος όρος έχει πρόσημο μείον διότι η συνιστώσα

αναπαριστά ενέργεια που ρέει στην θετική x κατεύθυνση που είναι προς το

εξωτερικό το κύβου μέσα από την έδρα (2). Όμοια, η ενέργεια που ρέει στην

διεύθυνση y είναι

01T

( ) ( )01cT y a=2 0a c 1 20T y a= − . Το άθροισμα αυτών των όρων για

κάθε έδρα πρέπει να ισούται με τον ρυθμό αύξησης της ενέργειας μέσα στον κύβο

( 3 0a Tt

∂∂

)0 . Έτσι εξασφαλίζεται η διατήρηση της ενέργειας. Επομένως έχουμε:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3 00 2 01 01 02 02 03 030 0 0a T a c T x T x a T y T y a T z T z at

∂ ⎡ ⎤= = − = + = − = + = −⎣ ⎦∂)=

Διαιρώντας με και παίρνοντας το όριο για έχουμε 3a 0a →

00 01 02 031 2 3T c T T T

t x x x∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤

⎥= − + +⎢∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ (4.16)

όπου θέσαμε 1x x→ , 2y x→ , . Διαιρώντας με το c παίρνουμε: 3z x→

( )00 01T T 02

1 2 Tx∂

∂03

3 Tx∂

+∂

0ct

=∂ ∂x

∂ ∂+ + (4.17)

και αφού 0x ct=

021 ,2T+ +

παίρνουμε

(4.18) 00

,0T T 01,

03,3T+ 0=

ή 0

, 0T αα =

, 0iT αα =

(4.19)

Αυτή η εξίσωση εκφράζει τον νόμο διατήρησης της ενέργειας.

Κατά παρόμοιο τρόπο εκφράζεται και η διατήρηση της ορμής. Ισχύει η ίδια απόδειξη

με αντικατάσταση του δείκτη 0 από τον δείκτη i (χωρικές συνιστώσες) και το

αποτέλεσμα είναι

(4.20)

Έτσι, η γενική έκφραση για την διατήρηση ενέργειας και ορμής είναι

(4.21)

και ισχύει για κάθε υλικό στα πλαίσια της Ειδικής Σχετικότητας.

, 0T αβα =

43


4.4 Ιδανικά Ρευστά

Ιδανικό ρευστό είναι το ρευστό που δεν παρουσιάζει αγωγή θερμότητας ( ) στο

ακίνητο σύστημα. Αποτελεί γενίκευση του ιδανικού αερίου στην θερμοδυναμική. Στο

ακίνητο σύστημα οι συνιστώσες του T

0 0iT =

αβ είναι

(4.22)

Μπορεί να δειχτεί ότι σε κινούμενο σύστημα έχουμε

2

pT u uc

pαβ α β αβρ η⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.23)

όπου οι ρ και p είναι σταθερές που ορίζονται στο σύστημα ηρεμίας και δεν

μετασχηματίζονται κατά τους μετασχηματσμούς. Αυτή είναι η γενική έκφραση του

τανυστή ενέργειας και ορμής ιδανικού ρευστού.

44


5. Εισαγωγή στη Γενική Σχετικότητα 5.1 Προβλήματα της Ειδικής Σχετικότητας

Η Ειδική Σχετικότητα (ΕΣ) επιτυγχάνει μια πολύ ικανοποιητική περιγραφή των

φυσικών φαινομένων που αφορούν πεδία και σωματία που κινούνται με

ταχύτητες που προσεγγιζουν την ταχύτητα του φωτός. Επομένως αποτελεί μια

σημαντική βελτίωση της Νευτώνειας μηχανικής. Όμως έχει και αυτή τα δικά της

όρια που συνοψίζονται ως εξής:

• Ο χωρόχρονος της Ειδική Σχετικότητα αποτελεί απλά την ‘αρένα’ όπου

συμβαίνουν τα φυσικά φαινόμενα-γεγονότα. Η επίδραση του ίδιου του

χωρόχρονου στην εξέλιξη των γεγονότων καθορίζεται στην Ειδική

Σχετικότητα.

• Η Ειδική Σχετικότητα επιλέγει τα αδρανειακά συστήματα όπου οι φυσικοί

νόμοι παραμένουν αναλλοίωτοι. Σε μη αδρανειακά συστήματα οι φυσικοί

νόμοι αλλάζουν και παίρνουν πιο περίπλοκη μορφή. Η Ειδική Σχετικότητα

όμως δεν ξεκαθαρίζει γιατί τα αδρανιακά συστήματα είναι προνομιακά σε

σχέση με τα υπόλοιπα.

• Η βαρύτητα δεν ενσωματώνεται στην Ειδική Σχετικότητα.

5.2 Η αρχή του Mach

Πώς μπορούμε να ξέρουμε αν το σύστημά μας είναι αδρανειακό; Θεωρείστε για

παράδειγμα ένα δοχείο με νερό που περιστρέφεται. Πως ξέρουμε ότι περιστρέφεται

το δοχείο και όχι εμείς γύρω από το δοχείο; Μήπως τελικά είναι το σύστημα του

δοχείου το αδρανειακό σύστημα; Η αρχή του Mach απαντά στα ερωήματα αυτά ως

εξής: Το αδρανειακό σύστημα καθορίζεται από τα μακρινά αντικείμενα με μεγάλη

μάζα (π.χ. μακρινοί γαλαξίες). Οι αδρανειακές δυνάμεις (π.χ. φυγόκεντρος κλπ) είναι

πραγματικές δυνάμεις που οφείλονται σε αλληλεπιδράσεις με τα μακρινά αυτά

αντικείμενα.

5.3 Η αρχή της Ισοδυναμίας

Έστω σωμάτιο με μάζα m που δέχεται βαρυτική δύναμη μέτρου από μάζα F M και

επιταχύνεται με επιτάχυνση μέτρου a. Η αδρανειακή μάζα του σωματίου ορίζεται από

τον 2ο νόμο του Νεύτωνα και η (παθητική) βαρυτική μάζα gm ορίζεται από

τον νόμο της παγκόσμιας έλξης . Οι δύο μάζες είναι ίσες

45


(επιπλέον είναι ίσες και με την ενεργητική βαρυτική μάζα του σωματίου

δηλ. με την μάζα που καθορίζει όχι την δύναμή που θα δεχτεί το σωμάτιο αλλά την

δύναμη που ασκεί σε άλλο σωμάτιο στα πλαίσια του νόμου της παγκόσμιας έλξης).

Λόγω αυτής της σύμπτωσης μεταξύ αδρανειακής και βαρυτικής μάζας όλα τα

αντικείμενα που είναι αρκετά μικρά ώστε να μη συνεισφέρουν στο βαρυτικό πεδίο

έχουν την ίδια επιτάχυνση λόγω βαρύτητας. Αυτή η σημαντική ιδιότητα διαχωρίζει

την βαρύτητα από τις άλλες αλληλεπιδράσεις που δρούν διαφορετικά σε διαφορετικά

αντικείμενα παρέχοντας ξεχωριστές επιταχύνσεις. Ακόμα, η ιδιότητα αυτή επιτρέπει

την τοπική εξουδετέρωση όλων των βαρυτικών φαινομένων σε συτήματα αναφοράς

που βρίσκονται σε ελεύθερη πτώση δηλ. επιταχύνονται όπως και τα αντικείμενα που

βρίσκονται στο πεδίο βαρύτητας.

Για παράδειγμα αν αφήσουμε ένα αντικείμενο να πέσει αυτό ακολουθεί τροχιά

. Σε σύστημα που κινείται με επιτάχυνση a έχουμε .

Επομένως στο κινούμενο σύστημα η επιτάχυνση του αντικειμένου είναι

20 / 2x x gt= + 2 / 2x x at′ = −

( )2 2

22 2 / 2d da x x at g

dx dx′ ′= = − = a− (5.1)

και η επιτάχυνση a′ του αντικειμένου μηδενίζεται όταν το επιταχυνόμενο σύστημα

αναφοράς είναι σε ελεύθερη πτώση ( a g= ) (Προσέξτε ότι ο μετασχηματισμός μας

δεν είναι μετασχηματισμός Lorentz και αφού προς το παρόν αγνοούμε την

σχετικότητα δεν χρειάζεται να μετασχηματίσουμε το χρόνο από t σε t’). Στο σύστημα

αναφοράς σε ελεύθερη πτώση ισχύουν οι νόμοι του Νεύτωνα χωρίς την παρουσία

βαρυτικού πεδίου.

Αρχή της Ισοδυναμίας: σε μικρό εργαστήριο που βρίσκεται σε ελεύθερη πτώση σε

βαρυτικό πεδίο, οι φυσικοί νόμοι είναι ίδιοι με αυτούς που παρατηρούνται σε

αδρανειακό σύστημα αναφοράς χωρίς την παρουσία βαρυτικού πεδίου.

Το εργαστήριο θα πρέπει να είναι μικρό (στην ιδανική περίπτωση απειροστά μικρό)

και λέγεται ‘τοπικά αδρανειακό σύστημα’. Σε εργαστήριο πεπερασμένου μεγέθους οι

παλιρροϊκές δυνάμεις είναι ανιχνεύσιμες δηλ. οι βαρυτικές δυνάμεις μπορεί να μην

ακολουθούν παράλληλους φορείς και επομένως να είναι ανιχνεύσιμες ακόμα και σε

σύστημα ελεύθερης πτώσης. Τέτοιου είδους πειράματα απαλοιφής ή τεχνητής

δημιουργίας βαρυτικών αλληλεπιδράσεων είναι γνωστά ως ‘πειράματα

ανελκυστήρα’.

Αντίστροφα, ένα επιταχυνόμενο σύστημα αναφοράς συμπεριφέρεται σαν βαρυτικό

46


πεδίο (π.χ. οριζόντια βολή μέσα σε επιταχυνόμενο διαστημόπλοιο στο διάστημα έχει

την ίδια τροχιά για επιτάχυνση g όπως οριζόντια βολή στην επιφάνεια της γης).

Επομένως, η βαρύτητα είναι αδρανειακή δύναμη (εμφανίζεται λόγω της μη χρήσης

του κατάλληλου τοπικά αδρανειακού συτήματος). Τα συστήματα σε ελεύθερη πτώση

είναι αδρανειακά συστήματα. Τοπικοί παρατηρητές (αρκετά μικρά εργαστήρια) δεν

μπορούν να ξεχωρίσουν βαρυτικά φαινόμενα από φαινόμενα που οφείλονται στην

επιτάχυνση του συστήματος αναφοράς.

5.4 Βαρυτική Ερυθρή Μετατόπιση

Το μήκος κύματος του φωτός αλλάζει με την παρουσία βαρυτικού πεδίου. Η

μεταβολή αυτή είναι συνέπεια της αρχής της ισοδυναμίας και έχει επιβεβαιωθεί

πειραματικά.

Η απόδειξη της μεταβολής αυτής του μήκους κύματος (βαρυτική ερυθρή μετατόπιση)

με χρήση της αρχής της ισοδυναμίας γίνεται ως εξής:

Θεωρείστε ένα διαστημόπλοιο μήκους R επιταχυνόμενο με επιτάχυνση a προς τα

εμπρός. Φως εκπέμπεται από το μπροστινό μέρος προς τα πίσω. Η εκπεμπόμενη

συχνότητα είναι ν. Το φως χρειάζεται χρόνο για να διασχίσει το

διαστημόπλοιο. Μέσα στο χρόνο tΔ το πίσω μέρος του διαστημοπλοίου έχει

αναπτύξει επιπλέον ταχύτητα . Έτσι, κατά την ανίχνευση έχουμε μια

μετατόπιση Doppler

Σχήμα 5.1: Η αρχή της ισοδυναμίας συνεπάγεται την ερυθρά μετατόπιση του φωτός.

47


(5.2)

όπου υποθέσαμε ότι το διαστημόπλοιο κινείται με μη σχετικιστική ταχύτητα. Όμως,

από την αρχή της ισοδυναμίας περιμένουμε το ίδιο πειραματικό αποτέλεσμα αν αντί

για επιτάχυνση έχουμε την παρουσία βαρυτικού πεδίου που προκαλείται από μάζα

στο πίσω μέρος ακίνητου διαστημοπλοίου. Επομένως, καθώς το φως κινείται προς το

κέντρο βαρύτητας θα πρέπει η συχνότητα του να αυξάνεται. Στην περίπτωση του

βαρυτικού πεδίου η μεταβολή του βαρυτικού δυναμικού είναι όπου

προκειμένου τα συστήματα να είναι ισοδύναμα. Συγκρίνοντας με την σχέση

(5.2) έχουμε την βαρυτική μεταβολή της συχνότητας (κυανή μετατόπιση):

g a=

(5.3)

Εύκολα μπορούμε να αντιστρέψουμε τις συνθήκες του προηγούμενου νοητού

πειράματος για να διαπιστώσουμε ότι φως που εκπέμπεται προς τα πάνω σε βαρυτικό

πεδίο υφίσταται ερυθρή μετατόπιση.

Το φαινόμενο της βαρυτικής ερυθρής μετατόπισης επιβεβαιώθηκε πειραματικά για

πρώτη φορα από τους Pound και Rebka (1960) και αργότερα από τους Rebka και

Snider (1964) Χρησιμοποιώντας ακτίνες γ εκπεμπόμενες από κρύσταλλο σιδήρου

(φαινόμενο Mossbauer). Επιβεβαίωσαν την αναμενόμενη μεταβολή στην συχνότητα

με ακρίβεια περίπου 1%. Το φαινόμενο αυτό επιβεβαιώνεται πλέον τακτικά με

αστρονομικές παρατηρήσεις.


Η συχνότητα φωτονίου που εξέρχεται από βαρυτικό πεδίο είναι

όπου είναι η συχνότητα εκπομπής και έχουμε υποθέσει την ορθότητα χρήσης

Νευτώνειου δυναμικού. Δείξτε ότι η παρατηρούμενη συχνότητα από παρατηρητή στο

άπειρο είναι . Ποια είναι η παρατηρούμενη συχνότητα στο άπειρο

για φως που εκπεμπεται στην ; Αν Μ είναι η μάζα της Γής τότε ποια είναι

αυτή η ακτίνα;

(Δίνεται 246 10M kgηΓ = × , και )

Λύση

48


Το δυναμικό στο άπειρο είναι 0 ενώ στην θέση r είναι και έτσι το

πρώτο ερώτημα προκύπτει αμέσως. Όμοια, με αντικατάσταση προκύπτει ότι

. Αντικαθιστώντας τις τιμές που δίνονται προκύπτει ότι .

Άλλη σημαντική πρόβλεψη της αρχής της ισοδυναμίας είναι η καμπύλωση της

τροχιάς του φωτός μέσα σε βαρυτικό πεδίο. Το νοητό πείραμα που απαιτείται είναι

παρόμοιο με το προηγούμενο με την διαφορά ότι το φως δεν εκπέμπεται κατακόρυφα

προς τα κάτω αλλά οριζόντια.

Σχήμα 5.2: Ο ανελκυστήρας βρίσκεται σε ελεύθερη πτώση σε πεδίο βαρύτητας g και

φως εκπέμπεται οριζόντια μέσα στον ανελκυστήρα στο σημείο Α. Εξωτερικός

παρατηρητής συμπεραίνει ότι το φώς ακολουθεί καμπυλωμένη τροχιά που κατάλήγει

στο σημείο C. Λόγω ισοδυναμίας μεταξύ επιτάχυνσης και βαρύτητας η παρόμοια

καμπυλομένη τροχιά του φωτός θα ακολουθείται σε πεδίο βαρύτητας. Αφού το φως

ακολουθεί γεωδαισιακές (γραμμές ελαχίστου μήκους – αρχή Fermat) άρα η βαρύτητα

καμπυλώνει τις γεωδαισιακές και επομένως αλλάζει την γεωμετρία του χώρου!


Σύμφωνα με την αρχή της ισοδυναμίας αναμένεται καμπύλωση του φωτός σε

βαρυτικό πεδίο. Θεωρείστε μια ακτίνα φωτός που κινείται οριζόντια στην επιφάνεια

της Γης ( ). 2 810 / sec , 3 10 / secg m c m= = ×

a. Μετά από οριζόντια μετατόπιση 10km πόση θα είναι η κάθετη πτώση;

b. Πόσο έχει χαμηλώσει το έδαφος (λόγω καμπυλότητας της επιφάνειας

της Γής, 3500R kmγη = ) στην ίδια απόσταση;

49


c. Πόσο θα πρέπει να μεταβληθεί η μάζα της γης ώστε να συμπέσουν οι

απαντήσεις στα a) και b);

Λύση

a) Το φως χρειάζεται 53.3 10 sec− για να διανύσει 10km. Έτσι έχουμε ×

b) Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή γωνία στον Βόρειο Πόλο της γης και

μια κορυφή στο κέντρο της γης. Η μία από τις κάθετες πλευρες ΑΓ είναι

εφαπτομενική στην επιφάνεια της γης και περίπου ίση με 10km. Το ζητούμενο

‘χαμήλωμα’ ΒΓ ισούται με την διαφορά της υποτείνουσας μείον την ακτίνα

της γης ΟΓ. Το αποτέλεσμα είναι 8km.

c) Αφού η επιτάχυνση λόγω βαρύτητας είναι ανάλογη της μάζας, η μάζα θα

πρέπει να αυξηθεί κατά τον λόγο των αποστάσεων που βρέθηκαν στα b) και

a), δηλ. 91.5 10 .× Αν συμβεί αυτό, τότε το φως θα βρεθεί σε τροχιά γύρω από

την γή.

Τα παραπάνω αποτελέσματα διαφέρουν κατά ένα παράγοντα 1/2 από την

πρόβλεψη της Γενικής Σχετικότητας διότι αγνοούν την καμπύλωση του χώρου

λόγω του βαρυτικού πεδίου.

Σχήμα 5.3: Εφαπτομενική εκπομπή ακτίνα φωτός στην επιφάνεια της Γής.

5.5 Βαρυτική Διαστολή του Χρόνου

Η βαρυτική ερυθρή μετατόπιση μπορεί να ερμηνευθεί εναλλακτικά και σαν βαρυτική

διαστολή του χρόνου. Θεωρείστε μια ακτίνα φωτός με περίοδο ταλάντωσης

ηλεκτρομαγητικών πεδίων που εκπέμπεται προς τα πάνω από την θέση r και

έστω ότι περίοδος ταλάντωσης ηλεκτρομαγνητικού πεδίου του φωτός

χρησιμοποιείται ως μονάδα μέτρησης του χρόνου. Το φως που ανιχνεύεται από

παρατηρητή στο άπειρο έχει υποστεί ερυθρή μετατόπιση. Επομένως έχει αυξηθεί και

( )t rΔ

50


η περίοδός του στην τιμή ( ) ( )t tΔ ∞ > Δ r . H αύξηση αυτή μπορεί να ερμηνευθεί ως

βαρυτική διαστολή του χρόνου για την οποία ισχύει

(5.4)

Επομένως, ένας παρατηρητής στο άπειρο, που παρατηρεί ένα ρολόι μέσα σ’ ένα

βαρυτικό πεδίο, το βλέπει να χτυπάει πιο αργά απ’ ότι το βλέπει ένας παρατηρητής

που είναι στην ίδια θέση με το ρολόι.

5.6 Σύνοψη Βασικών Αρχών

Αρχή της Γενικής Σχετικότητας: Όλοι οι παρατηρητές, επιταχυνόμενοι και μη, είναι

ισοδύναμοι όσον αφορά την περιγραφή των φυσικών νόμων. Δηλ. οι φυσικοί νόμοι

έχουν την ίδια μορφή για όλους τους παρατηρητές.

Αρχή της Γενικής Συναλλοιώτητας: Οι φυσικοί νόμοι έχουν την μορφή ισότητας

μεταξύ τανυστών ώστε να έχουν την ίδια μορφή για όλους τους παρατηρητές.

Αρχή της Αντιστοιχίας: Νέοι φυσικοί νόμοι θα πρέπει να τείνουν σε παλαιότερους

όταν πάρουμε τα κατάλληλα όρια. Για παράδειγμα, η γενική σχετικότητα

μετατρέπεται σε ειδική σχετικότητα στο όριο έλλειψης βαρύτητας. Η ειδική

σχετικότητα ανάγεται σε Νευτώνεια μηχανική στο όριο χαμηλών ταχυτήτων .

Η γενική σχετικότητα ανάγεται στην Νευτώνεια βαρύτητα στο όριο ασθενών

βαρυτικών πεδίων και χαμηλών ταχυτήτων.

v c<<

5.7 Η καμπυλότητα του χωροχρόνου

Τα νοητά πειράματα και τα αποτελέσματά τους που προκύπτουν από την αρχή της

ισοδυναμίας υποδεικνύουν ότι τα αποτελέσματα της βαρύτητας επιδέχονται

γεωμετρική ερμηνεία σύμφωνα με την οποία η βαρύτητα προκαλεί καμπύλωση του

χωρόχρονου. Ορισμένες από τις ενδείξεις που οδηγούν σ’ αυτό το συμπέρασμα είναι

οι εξής:

• Οι τροχιές του φωτός καμπυλώνονται με την παρουσία της βαρύτητας όπως

προκύπτει από την αρχή της ισοδυναμίας και από παρατηρήσεις. Σύμφωνα με

την αρχή του Fermat, το φώς ταξιδεύει σε καμπύλες ελαχίστου μήκους. Η

αλλοίωση αυτών των καμπυλών με την παρουσία της βαρύτητας οδηγεί στο

συμπέρασμα ότι βαρύτητα αλλοιώνει την γεωμετρία του χωρόχρονου

μεταβάλλοντας την καμπυλότητά του.

51


• Η καμπυλότητα ενός χώρου είναι εσωτερική ιδιότητα του χώρου και δεν

μπορεί να εξαφανιστεί συνολικά με την κατάλληλη επιλογή συστήματος

συν/νων. Τοπικά όμως με κατάλληλη επιλογή συστήματος συν/νων η

καμπυλότητα μπορεί να αγνοηθεί. Όμοια, η αρχή της ισοδυναμίας, επιτρέπει

την απαλοιφή των αποτελεσματων της βαρύτητας μόνο τοπικά και με την

κατάλληλη επιλογή συστήματος αναφοράς. Αυτή η ομοιότητα επίσης

παραπέμπει στη γεωμετρική ερμηνεια της βαρύτητας ως καμπύλότητα του

χωροχρόνου.

• Η βαρυτική διαστολή του χρόνου που προκύπτει από την αρχή της

ισοδυναμίας και επιβεβαιώνεται πειραματικά, αποτελεί μια ακόμα ένδειξη για

την επίδραση της βαρύτητας στην γεωμετρία του χωρόχρονου. Ο ρυθμός των

ρολογιών εξαρτάται από την θέση στον χώρο (ένταση βαρυτικού πεδίου) ενώ

στην ειδική σχετικότητα κάθε σύστημα αναφοράς έχει ομοιόμορφη ροη του

χρόνου.

Συμπέρασμα: Από την αρχή της ισοδυναμίας προκύπτει ότι η βαρύτητα φαίνεται να

σχετίζεται με τις γεωμετρικές ιδιότητες του χωροχρόνου και συγκεκριμένα με την

καμπυλότητα. Αλλά ποιος είναι ο ακριβής φυσικός νόμος που συσχετίζει την

βαρύτητα με την καμπυλότητα του χωρόχρονου;

5.8 Η Έννοια της Καμπυλότητας

Ας θεωρήσουμε την απλή περίπτωση μιας δισδιάστατης επιφάνειας. Θα πρέπει κατ

αρχή να διαχωρίσουμε την εσωτερική από την εξωτερική καμπυλότητα. Έχουμε

συνηθίσει να λέμε ότι μια επιφάνεια δυο διαστάσεων είναι καμπυλομένη (εξωτερικά)

όταν φαίνεται καμπυλομένη η αναπαράστασή της εμβαπτισμένη σε τρείς χωρικές

διαστάσεις. Όμως, είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι για πραγματικά

καμπυλομένες επιφάνειες (εσωτερικά) η καμπυλότητα μπορεί να ορισθεί χωρίς να

εμβαπτίσουμε την επιφάνεια σε χώρο περισσότερων διαστάσεων από όσες έχει η

επιφάνεια. Για παράδειγμα ένας κύλινδρος φαίνεται να είναι καμπυλομένος

(εξωτερικά) αλλά δεν έχει πραγματική (εσωτερική) καμπυλότητα. Αντίθετα, για μια

σφαίρα μπορούμε να διαπιστώσουμε ποσοτικά την καμπυλότητά της (εσωτερική

καμπυλότητα) χωρίς να χρειαστεί να καταφύγούμε στην εποπτική εικόνα της που

προκύπτει από την εμβάπτισή της σε τρείς χωρικές διαστάσεις. Για παράδειγμα, το

άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου πάνω σε μια σφαίρα είναι μεγαλύτερο από . 0180

52


Σχήμα 5.3: Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου πάνω σε μια σφαίρα είναι

μεγαλύτερο από . 0180

Ακόμα, η περιφέρεια ενός κύκλου πάνω στην σφαίρα είναι μικρότερο από 2 rπ .

Όπως θα δούμε αργότερα, η ιδιότητα αυτή είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για τον ορισμό της

καμυλότητας σ’ ένα σημείο της επιφάνειας (ακτίνα καμπυλότητας).

Η καμπυλότητα του χωρόχρονου προσδιορίζεται από την μετρική gμν που όπως στην

ειδική σχετικότητα ‘μεταφράζει’ διαφορές συν/νων σε αποστάσεις

(5.5)

Η πιθανότητα καμπυλότητας του χωροχρόνου προκύπτει από το γεγονός ότι στην

περίπτωση αυτή επιτρέπουμε στο gμν να μεταβάλεται στον χώρο και στον χρόνο.

Λόγω αυτής της μεταβλητότητας είμαστε αναγκασμένοι να περιοριστούμε σε σημεία

που βρίσκονται σε απειροστά κοντινές αποστάσεις. Επομένως η μετρική μας δίνε την

απόσταση μεταξύ (απειροστά) κοντινών σημείων στο χωρόχρονο.

Παραδείγματα μετρικής σε δύο διαστάσεις:

1. Καρτεσιανές συν/νες σε επίπεδη επιφάνεια:

(5.6)

2. Περιγραφή της ίδιας (επίπεδης) επιφάνειας με χρήση πολικών συν/νων:

(5.7)

που οδηγεί σε και η μετρική στην μορφή αυτή μεταβάλλεται

στο χώρο

(5.8)

53


Όμως, η αλλαγή σύν/νων δεν συνεπάγεται αλλαγή των ιδιοτήτων της επιφάνειας που

βεβαίως παραμένει επίπεδη. Συμεραίνουμε λοιπον ότι από μόνο του το γεγονός της

χωρικής εξάρτησης των συνιστωσών της μετρικής δεν συνεπάγεται την ύπαρξη

καπμυλότητας στην επιφάνεια. Μπορεί να υπάρχουν συν/νες στις οποίες η μετρικά θα

είναι σταθερή στο χωρόχρονο.

3. Περιγραφή της επιφάνειας μια σφαίρας (ύπαρξη εσωτερικής καμπυλότητας): Η

απόσταση μεταξύ δύο σημείων που βρίσκονται σε σφαιρική επιφάνεια ακτίνας R με

συν/νες ( ),θ φ και ( ),d dθ θ φ φ+ + είναι

(5.9)

Επομένως η μετρική είναι της μορφής

(5.10)

( )2

2 2

00 si

RR

2 d n

dds d

dθ

γιατί θ φφθ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎟⎜⎝ ⎠⎝ ⎠

= ⎜ ⎟ . Αυτός ο χώρος 2 διαστάσεων είναι

πραγματικά καμπύλος. Δεν είναι δυνατόν να βρούμε σύστημα συν/νων που να κάνει

την μετρική σταθερή σε κάθε σημείο του χώρου.

Σχήμα 5.4: Η στοιχεώδης απόσταση πάνω σε σφαίρα

Θα μπορούσαμε λοιπόν για κάθε μετρική να ψάχνουμε όλους τους δυνατούς

μετασχηματισμούς συν/νων και αν κανεις απ’ αυτούς δεν μας έδινε σταθερή μετρική

τότε θα λέγαμε ότι ο χώρος μας έχει μη μηδενική καμπυλότητα. Προφανώς όμως

αυτή η μέθοδος δεν είναι πρακτική αφού δεν είναι δυνατόν να ελέγξουμε όλους τους

δυνατούς μετασχηματισμούς. Θα δούμε αργότερα μια πιο αποτελεσματική και

αυστηρή μέθοδο για να ελέγχουμε αν κάποιος χώρος (ή χωρόχρονος) έχει μη

μηδενική καμπυλότητα.

54



Βρείτε τις μετρικές επίπεδου χώρου 3-διαστάσεων σε a) κυλινδρικές συν/νες b)

σφαιρικές συν/νες

Λύση

5.9 Ακτίνα Καμπυλότητας

Η ακτίνα καμπυλότητας μας παρέχει μια μέθοδο για την κατανόηση και τον

υπολογισμό της καμπυλότητας χώρων που έχουν μία ή δύο διαστάσεις (καμπύλες και

επιφάνειες).

Μία Διάσταση: Η καμπύλη σε αρκετά μικρή περιοχή δεδομένου σημείου μπορεί να

προσεγγιστεί ως τόξο ενός κύκλου. Η ακτίνα αυτού του κύκλου αντιστοιχεί στην

ακτίνα καμπυλότητας της καμπύλης στο δεδομένο σημείο. Η ακτίνα καμπυλότητας

γενικά μεταβάλλεται κατά μήκος μιας καμπύλης. Όμως, η ακτίνα καμπυλότητας που

προκύπτει με την μέθοδο αυτή δεν αντιστοιχεί σε εσωτερική καμπυλότητα αφού η

εύρεσή της απαιτεί την χρήση διαστάσεων έξω από τον υπο μελέτη χώρο (την

καμπύλη)

Δύο Διαστάσεις: Μπορούμε και πάλι να χρησιμοποιήσουμε παρόμοια μέθοδο για τον

ορισμό και την εύρεση της ακτίνας καμπυλότητας. Υποθέστε ότι έχουμε μια σφαίρα

ακτίνας R και πάνω της σχεδιάζουμε ένα μικρό κύκλο ακτίνας a η οποία μετριέται

πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας. Η περίμετρος του κύκλου είναι

(5.11)

55


Σχήμα 5.5: Κύκλος ακτίνας a πάνω σε σφαιρική επιφάνεια

Ας ορίσουμε την καμπυλότητα της σφαιρικής επιφάνειας ως . Τότε από

την σχέση (5.11) προκύπτει ότι η μέτρηση της περιφέρειας C μικρού κύκλου ακτίνας

a πάνω στην επιφάνεια αρκεί για τον υπολογισμό της τοπικής καμπυλότητας K μέσω

της σχέσης

(5.12)

Η παραπάνω διαδικασία μπορεί να γενικευτεί για οποιαδήποτε επιφάνεια για την

οποία η καμπυλότητα μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο.

Σχήμα 5.6: Η καμπυλότητα εξαρτάται από τον λόγο της περιφέρειας του κύκλου

προς την ακτίνα

Γενικά ή (εξωτερική) καμπυλότητα σε δεδομένο σημείο μπορεί να είναι διαφορετική

σε δύο διαφορετικές διευθύνσεις γι’ αυτό χρειάζονται δύο για να καθοριστεί η

εξωτερική καμπυλότητα σε δεδομένο σημείο. Για τον καθορισμό της εσωτερικής

καμπυλότητας μια επιφάνειας όμως όπου δεν απαιτείται χρήση εξωτερικών

διαστάσεων αρκεί ο προσφιορισμός μιας και μόνο αναλλοίωτης ποσότητας όπως

περιγράφηκε παραπάνω.


Για δυσδιάστατες διαγώνιες μετρικές, ο Gauss έδειξε ότι η καμπυλότητα προκύπτει

από την σχέση

Υπολογίστε την καμπυλότητα για την μετρική

(5.13)

όπου ( )f r αυθαίρετη συνάρτηση. Βρείτε την καμπυλότητα αν

(5.14)

56


Λύση

Έχουμε . Με αντικατάσταση βλέπουμε ότι οι

περισσότεροι όροι μηδενίζονται και έχουμε

(5.15)

Οπότε για τις δύο περιπτώσεις παίρνουμε .


Στο προηγούμενο παράδειγμα υποθέστε ότι . Ποια είναι

καμπυλότητα στην περίπτωση αυτή;

Λύση

Η καμπυλότητα είναι πάντα 0. Πραγματικά, αλλάζοντας μεταβλητή και θέτοντας

(αφού λύσουμε την ) η μετρική παίρνει την

Ευκλείδεια μορφή .

57


6. Τανυστές και Καμπύλος Χωρόχρονος 6.1 Συναλλοίωτα-Ανταλλοίωτα Μεγέθη Ο μετασχηματισμός Lorentz είδαμε ότι είναι γραμμικός μετασχηματισμός μεταξύ

συστημάτων συντεταγμένων. Στην Γενική Σχετικότητα θεωρούμε μετασχηματισμούς

στους οποίους οι νέες συν/νες είναι γενικές συναρτήσεις των παλαιών συν/νων

(6.1)

Ο μετασχηματισμός των διαφορικών συν/νων είναι

(6.2)

και ο μετσχηματισμός Lorentz αποτελεί ειδική περίπτωση.

Αντίστοιχα, οι παράγωγοι μετασχηματίζονται με τον κανόνα της αλυσίδας σαν

(6.3)

όπου ένας δείκτης πάνω στον παρονομαστή ισοδυναμεί με κάτ δείκτη στον αριθμητή.

Ανταλλοίωτα 4-διανύσματα είναι τα διανύσματα που μετασχηματίζονται όπως το

ενώ τα συναλλοίωτα 4-διανύσματα μετασχηματίζονται όπως η

δηλ.

(6.4)

Έχουμε δηλ. απλές γενικεύσεις των σχέσεων που έχουμε ήδη δεί στην Ειδική

Σχετικότητα. Παρόμοιες γενικεύσεις ισχύουν και για τανυστές ψηλότερης τάξης.

Ο τανυστής της μετρικής είναι ένα παράδειγμα συναλλοίωτου τανυστή 2ης τάξης.

Μετασχηματίζεται σαν

(6.5)

Με τον μετασχηματισμό αυτό εξασφαλίζεται η αναλλοιώτητα της απόστασης

κάτω από μετασχηματισμούς σύν/νων. Ο τανυστής της μετρικής χρησιμοποιήται για

το χαμήλωμα των δεικτών ενώ μπορούμε να υψώνουμε δείκτες χρησιμοποιώντας τον

αντίστροφο της μετρικής που ορίζεται από την σχέση . Αντίθετα

από την Ειδική Σχετικότητα, η αντίστροφη μετρική συνήθων δεν έχει τις ίδιες

συνιστώσες με την μετρική.

6.2 Τανυστές και Νόμοι της Φυσικής

58


Όπως έχουμε δεί, σύμφωνα με την Αρχή της Γενικής Συναλλοιώτητας οι νόμοι της

φυσικής θα πρέπει να εκφράζονται ως ισότητες μεταξύ τανυστών έτσι ώστε η μορφή

τους να παραμένει η ίδια σε όλα τα συστήματα αναφοράς. Είμαστε τώρα σε θέση να

δούμε γιατί συμβαίνει αυτό. Μια ισότητα που συνδέει δυο τανυστές θα έχει

συγκεκριμένη τάξη που αντιστοιχεί στους ελεύθερους (μη αθροιζόμενους) δείκτες

κάθε πλευράς της. Αν αλλάξουμε σύστημα συν/νων, θα πρέπει να εισάγουμε τους

ίδιους όρους της μορφής και σε κάθε πλευρά της ισότητας

αφού οι ελεύθεροι δεικτες κάθε πλευράς είναι οι ίδιοι. Οι όροι αυτοί κατόπιν μπορούν

να απλοποιηθούν από κάθε πλευρά της ισότητας αφήνοντας της αρχική μορφή της

ισότητας αλλά εκφρασμένη στις νέες συν/νες.

Επομένως αν γράφουμε όλες τις ισότητές με την μορφή ισοτήτων μεταξύ τανυστών

έχουμε εξασφαλίσει ότι οι ισότητες αυτές έχουν την ίδια μορφή σε κάθε σύστημα

συν/νων δηλ. ότι οι φυσικοί νόμοι έχουν την ίδια μορφή για όλους τους παρατηρητές.

6.3 Παραγώγιση των τανυστών

Αν επιτρέψουμε στον χωρόχρονο να έχει καμπυλότητα τότε η παραγώγιση τανυστών

θέλει ιδιαίτερη προσοχή ώστε να παραμείνει χρήσιμη στην περιγραφή φυσικών

νόμων. Θα χρειαστεί να ορίσουμε μια νέα έννοια: την συναλλοίωτη παράγωγο.

Για να ορίσουμε την παράγωγο ενός συναλλοίωτου 4-διανύσματος πρέπει να

θεωρήσουμε την διαφορά της τιμής του μεταξύ δύο γειτονικών σημείων του

χωρόχρονου. Κανονικά η παράγωγος ορίζεται σαν

(6.6)

Άραγε είναι η μορφή αυτή τανυστης; Ας το ελέγξουμε κάνοντας ένα

μετασχηματισμό: Το είναι τανυστής και επομένως . Ακόμα

έχουμε ότι

(6.7)

Πως μετασχηματίζεται το

59


(6.8)

Ο πρώτος όρος είναι αυτός που απαιτείται ώστε να είναι το 4-διάνυσμα. Όμως ο

δεύτερος όρος καταστρέφει τον αναμενόμενο μετσχηματισμό. Επομένως το

δεν είναι τανυστής και επομένως δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως έχει

σε εκφράσεις φυσικών νόμων.

6.4 Η συναλλοίωτη παράγωγος

Είναι γεγονός ότι δεν μπορούμε να εκφράσουμε τους φυσικούς χωρίς την χρήση

κάποιου είδους παραγώγισης. Χρειαζόμαστε επομένως ένα κανόνα που να μας λέει

πώς να συγκρίνουμε δύο κοντινά διανύσματα όταν ο χώρος έχει καμπυλότητα.

Θέλουμε να ορίσουμε ένα νέο διαφορικό που να μετασχηματίζεται σαν

τανυστής. Ουσιαστικά χρειάζεται να προσθέσουμε ένα νέο όρο στην απλή παράγωγο

της σχέσης (6.6) του οποίου ο μετασχηματισμός θα ακυρώσει τον επιπλέον όρο που

βρήκαμε στην σχέση (6.8). Η εύρεση του όρου αυτού είναι κάπως μακροσκελής και

είναι εκτος των σκοπών της παρούσης εισαγωγής. Γι’ αυτό δίνουμε κατ’ ευθείαν το

αποτέλεσμα. Ορίζουμε το διαφορικό

(6.9)

όπου το είναι γνωστό ως σύμβολο Christoffel και ορίζεται από την μετρική με

την σχέση

(6.10)

Οι ιδιότητες του συμβόλου Christoffel συνοψίζονται ως εξής:

• Το σύμβολο Christoffel δεν είναι τανυστής αλλά μπορεί να χρησιμοποιηθεί

για την κατασκευή τανυστών. Αν ήταν τανυστής δεν θα μπορούσε να παίξει

το ρόλο συμπληρώματος ώστε να μετατραπεί το απλό διαφορικό σε

τανυστή.

60


• Επειδή δεν είναι τανυστής, οι δεικτες του δεν μπορουν να μετακινηθούν

πάνω ή κάτω. Πάντα εμφανίζεται με ένα δείκτη πάνω και δύο δείκτες κάτω.

Είναι όμως συμμετρικός ως προς εναλλαγή των δύο κάτω δεικτών

λόγω των ιδιοτήτων συμμετρίας της μετρικής .

• Σε επίπεδο χωρόχρονο έχουμε και η συναλλοίωτη παράγωγος

ταυτίζεται με την συνήθη παράγωγο.

Για την συνήθη παράγωγο χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό Ορίζουμε

την συναλλοίωτη παράγωγο σαν

(6.11)

και επομένως λόγω της σχέσης (6.9) έχουμε

(6.12)

Η αντίστοιχη σχέση για την συναλλοίωτη παράγωγο ανταλλοίωτου 4-διανύσματος

είναι

(6.13)


Η συναλλοίωτη παράγωγος για ένα συναλλοίωτο 4-διάνυσμα είναι

(6.14)

Θεωρείστε την έκφραση (όπου bρ είναι αυθαίρετο διάνυσμα) και υποθέστε ότι

ισχύει ο κανόνας γινομένου για την συναλλοίωτη παράγωγο. Δείξτε ότι για την

συναλλοίωτη παράγωγο ανταλλοίωτου 4-διανύσματος ισχύει

(6.15)

Λύση

Για την συναλλοίωτη παράγωγο βαθμωτού ισχύει

(6.16)

Ακόμα, χρησιμοποιώντας τον κανόνα γινομένου για την συναλλοίωτη παράγωγο έχουμε

(6.17)

Εξισώνοντας τα δεξιά μέρη των δύο προηγούμενων σχέσεων παίρνουμε

(6.18)

61


και επειδή το bρ είναι αυθαίρετο, προκύπτει η ζητούμενη σχέση.

Για την συναλλοίωτη παραγώγιση τανυστών μεγαλύτερης τάξης χρειαζόμαστε ένα

σύμβολο Christoffel για κάθε δείκτη με πρόσημο θετικό ή αρνητικό ανάλογα με το

είδος του δείκτη π.χ.

(6.19)

Η συναλλοίωτη παράγωγος βαθμωτού είναι απλά η συνήθης μερική παράγωγος αφού

το βαθμωτό δεν έχει δείκτες.


Χρησιμοποιήστε το γεγονός ότι η μετρική είναι συναλλοίωτα σταθερή (και συμμετρική)

για να δείξετε ότι

(6.20)

Λύση

Ο ορισμός της συναλλοίωτης παραγώγου δίνει

(6.21)

Αντικαθιστώντας τον ορισμό των συμβόλων Christoffel παίρνουμε

Τα γινόμενα των μετρικών δίνουν δέλτα Kronecker (π.χ. ) και

αντικαθιστώντας κατάλληλα τους δείκτες (π.χ. ) βλέπουμε ότι η παράσταση

μηδενίζεται.

Το σύμβολο Christoffel είναι στενά συνδεδεμενό με την έννοια της παράλληλης

μετατόπισης. Για να συγκρίνουμε διανύσματα σε διαφορετικά σημεία θα πρέπει να τα

φέρουμε κοντά και πρέπει να διαλέξουμε μια διαδρομή για να γίνει η μεταφορά. Όταν

οριστεί η διαδρομή, μπορούμε να κανουμε την μεταφορά των διανυσμάτων

χρησιμοποιώντας παράλληλη μετατόπιση. Σε καμπύλους χώρους, ένα διάνυσμα που

μετατοπίζεται παράλληλα κατά μήκος κλειστής διαδρομής, δεν συμπίπτει απαραίτητα

με το αρχικό διάνυσμα.

62



Αν Aμ και Bν είναι συναλλοίωτα 4-διανύσματα δείξτε ότι

(6.22)

Λύση

Παρατηρούμε ότι το γινόμενο είναι συναλλοίωτος τανυστής 2ης τάξης και έχουμε

(6.23)


Δείξτε ότι για μια βαθμωτή ποσότητα ( )xφ ισχύει δηλ. ότι η σειρά δύο

διαδοχικών συναλλοίωτων παραγώγων δεν έχει σημασία.

Λύση

Έχουμε

(6.24)

Όπου στην πρώτη ισότητα χρησιοποιήσαμε το ότι το φ είναι βαθμωτό ενώ στην δεύτερη

το ότι το ,μφ είναι συναλλοίωτο 4-διάνυσμα. Ακόμα στην 3η ισότητα χρησιμοποιήσαμε

την συμμετρία των συμβόλων Cristoffel.

6.5 Υπολογισμός Συμβόλων Christoffel: Ένα Παράδειγμα

Ας θεωρήσουμε μια δισδιάσταη σφαίρα με μετρική .

Για διαγώνιες μετρικές, η μετρική με τους δείκτες πάνω έχει απλά τις αντίστροφες

συνιστώσες από τις συνιστώσες της μετρικής με τους δείκτες κάτω. Από τον ορισμό

έχουμε

(6.25)

Χρησιμοποιώντας τις συνιστώσες της μετρικής ,

63


βρίσκουμε όλες τις συνιστώσες του συμβόλου Christoffel

(6.26)

Το γεγονός ότι ορισμένες από τις συνιστώσες του συμβόλου Chritoffel είναι μη

μηδενικές αποτελεί ένδειξη αλλά όχι απόδειξη για την ύπαρξη μη μηδενικής

καμπυλότητας στον υπό μελέτη χώρο (επιφάνεια σφαίρας). Θα μπορούσε όμως η

ύπαρξη μη μηδενικών συνιστωσών να οφείλεται στην επιλογή του λάθος συτήματος

συν/νων και όχι στην καμπυλότητα του χώρου. Χρειαζόμαστε λοιπόν ένα πιο

αντικειμενικό και ποσοτικό κριτηρίο για την ανίχνευση της καμπυλότητας σε

δεδομένο χώρο.

6.6 Καμπυλότητα: Μαθηματικός Ορισμός

Οι συνήθεις παράγωγοι μετατίθενται μεταξύ τους. Ισχύει δηλ. . Οι

συναλλοίωτες παράγωγοι όμως γενικά δεν μετατίθενται ακριβώς λόγω της ύπαρξης

καμπυλότητας. Η ιδιότητα αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ορίσουμε ποσοτικά

την καμπυλότητα ενός γενικού χωρόχρονου. Η ποσοτικοποίηση αυτή επιτυγχάνεται

μέσω ενός τανυστή με τέσσερεις δείκτες που λέγεται τανυστής του Riemann ή

τανυστής της καμπυλότητας. Ο τανυστής αυτός ορίζεται από την σχέση

(6.27)

Χρησιμοποιώντας το ορισμό της συναλλοίωτης παραγώγου και μετά από αρκετές

πράξεις μπορούμε να εκφράσουμε το τανυστή του Riemann συναρτήσει των

συμβόλων Christoffel ως εξης

(6.28)

Η γεωμετρική ερμηνεία αυτής της περίπλοκης έκφρασης είναι η διαφορά των

παράλληλων μετατοπίσεων ενός διανύσματος μέσω δυο διαφορετικών διαδρομών

64


όπως φαίνεται στο Σχήμα (6.1)

Σχήμα 6.1: Η παράλληλη μεταφορά ενός διανύσματος από το σημείο 1 στο σημείο 2

μέσω της διαδρομής α-β.

Για να συγκρίνουμε τα διανύσματα στα σημεία 1 και 2 θα πρέπει να τα φέρουμε

κοντά. Οι γραμμές συμβολίζουν τις συν/νες α και β και μπορούμε να φέρουμε τα

διανύσματα κοντά μετακινώντας πρώτα στην διεύθυνση α και μετά στην διεύθυνση β

ή αντίστροφα. Σε έναν χώρο με καμπυλότητα το αποτέλεσμα των δύο μεταφορών θα

είναι διαφορετικό αφού σε καμπύλο χώρο η παράλληλη μεταφορά διανύσματος σε

κλειστή τροχιά δεν το επαναφέρει στην μορφή που ξεκίνησε. Ο τανυστής του

Riemann ποσοτικοποιεί αυτή την διαφορά μεταξύ των δύο παράλληλων

μετατοπίσεων.


Οι συναλλοίωτες παράγωγοι 4-διανυσμάτων ορίζονται από τις σχέσεις

και ο τανυστής της καμπυλότητας από την σχέση

(

Δείξτε ότι από τα παρ

6.29)

απάνω προκύπτει ότι

(6.30)

Λύση

ν παράγωγο ως προς a παίρνουμε Εκτελώντας πρώτα τη

65


(6.31)

Η συναλλοίωτη παράγωγος ως προς β θα πρέπει να δράσει και στους δύο δείκτες (μ

και α). Έτσι παίρνουμε

Οι πρώτοι τρεις όροι προκύπτουν με μερική παραγώγιση ως προς β. Ο πρώτος όρος

fel

στην αγκύλη είναι το σύμβολο Christoffel που προκύπτει από την συναλλοίωτη

παράγωγο ως προς τον δείκτη μ και η δεύτερη αγκύλη είναι το σύμβολο Christof

που προκύπτει από την συναλλοίωτη παράγωγο ως προς τον δείκτη α.

Αντίστοιχα η συναλλοίωτη παράγωγος είναι η ίδια αλλά με αντιμετάθεση των

με αρκ

ρισμένες βασικές ιδιότητες του τανυστή του Riemann είναι οι εξής:

λα Christoffel

αι επίπεδος τότε

δεικτών α και β. Έτσι με αφαίρεση έχου ετές απλοποιήσεις και μένουν οι

τέσσερεις όροι της ζητούμενης σχέσης.

Ο

• Ο τανυστής του Riemann είναι τανυστής παρόλο που τα σύμβο

δεν είναι τανυστές. Η ιδιότητα του αυτή προκύπτει από τον ορισμό του (σχέση

(6.30)) και από το γεγονός ότι η συναλλοίωτη παράγωγος ενός τανυστή είναι

ένας νέος τανυστής.

• Αν ό χωρόχρονος είν . Αυτό προκύπτει εύκολα

διότι αν θα έχουμε και .

• Ο τανυστής του Riemann έχει διάφορες ιδιότητες συμμετρίας. Για παράδειγμα

από τον ορισμό του προκύπτει ότι είναι αντισυμμετρικός ως προς τους

τελευταίους δύο δείκτες . Υπάρχουν ακόμα ιδιότητες

συμμετρίας και στους δύο δείκτες.

• Ένας γενικός τανυστής με 4 δείκτες σε 4 διασ

πρώτους

τάσεις έχει

συνιστώσες. Όμως λόγω των ιδιοτήτων συμμετρίας του, ο το

Riemann έχει μόνο 20 συνιστώσες. Ο τανυστής αυτός αποτελεί μια πλήρη

περιγραφή της καμπυλότητας του χωρόχρονου.

• Αν ο χωρόχρονος έχει n διαστάσεις τότε μπορει

τανυστής υ

να δειχτεί ότι ο αριθμός των

ανεξάρτητων συνιστωσών είναι . Έτσι σε δύο διαστάσεις

υπάρχει μόνο μία ανεξάρτητη συ α που μετράει την εσωτερική νιστώσ

καμπυλότητα που είδαμε προηγουμένως.

66


Υπολογισμός του τανυστή του Riemann: Ένα Παράδειγμα

ς συνεχίσουμε με την δυσδιάστατη επιφάνεια σφαίρας για την οποία υπολογίσαμε

α τον τανυστή του

Α

τα σύμβολα Christoffel. Χρησιμοποιώντας την σχέση (6.30) γι

Riemann έχουμε

αφού περιέχει μόνο που είναι 0

για τον ίδιο λόγο

(6.32)

να υπολογίσετε αλλά αφου Υπάρχουν πολλές ακόμα συνιστώσες που μπορείτε

υπάρχει μόνο μια ανεξάρτητη συνιστώσα, όλες θα είναι της μορφής πιθανώς

πολλάπλασιασμένη και με την μετρική.


a) Θεωρείστε ένα γενικό δυσδιάστατο χώρο με συν/νες , θ φ

ann που

. Ποιος είναι ο

τος αριθμός συνιστωσών του τανυστή Riem απαιτείται για τον ελάχισ

υπολογισμό της συνιστώσας Rθθ του τανυστή Ricci;

b) Υποθέστε ότι ο δυσδιάστατος χώρος είναι μια σφαιρική επιφάνεια με ακτίνα

a. Τα σύμβολα Christoffel στην περίπτωση αυτή είναι (δείτε και σχέσεις

(6.26))

(6.33)

Χρησιμοποιήστε τα για να υπολογίσετε την συνιστώσα Rθθ .

c) Δεδομένου ότι 2sinRφφ θ= + , υπολογίστε το βαθμωτό Ricci .

a) Έχουμε

Λύση

Riemann οι

και επομένως απαιτούνται δύο συνιστώσες του

τανυστή και . Προσέξτε ότι παρόλο που υπάρχει

ανεξάρτητη και μόνο μια συνσιτώσα, θα πρέπει γενικά να τις υπολογίσουμε

67


τις δύο για να βρούμε σχετικά πρόσημα κλπ. Όμως η συνιστώσα θα

προκύψει σίγουρα 0 λόγω αντισυμμετρίας ως προς εναλλαγή των τελευταίων

δύο δεικτών.

b) Έχουμε

με βάση το παραπάνω επιχείρημα (ή με υπολογισμό

ορισμούβάσει του ) ενώ

επομένως

c)

.7 Τανυστές καμπυλότητας που προκύπτουν από τον τανυστή του Riemann

θρ

6

Με ά οιση πάνω στους δείκτες του τανυστή Riemann προκύπτουν άλλοι χρήσιμοι

τανυστές καμπυλότητας με λιγότερους δείκτες. Οι πιο σημαντικοί είναι

• Ο τανυστής του Ricci

• Το βαθμωτό του Ricci

Επειδή προκύπτουν με άθροισ συνιστώσεςη πάνω στις του τανυστή του Riemannn,

ορίσουμε έναν ειδικό συνδυασμό του τανυστή Ricci με το

περιέχουν και λιγότερη πληροφορία. Ο τανυστής του Ricci είναι συμμετρικός και

επομένως περιέχει 10 ανεξάρτητες συνιστώσες ενώ το βαθμωτό Ricci έχει προφανώς

μόνο μία συνιστώσα.

Τέλος, μπορούμε να

βαθμωτό Ricci που όπως θα δούμε έχει ιδιαίτερη σημασία:

• Τον τανυστή Einstein:

68


7. Περιγραφή της ύλης στην Γενική Σχετικότητα

ες γενικεύουν την ιδέα της ευθείας γραμμής σε χώρους με

πτόμενο διανυσματικό πεδίο

λη καθορίζεται από μια διανυσματική συνάρτηση της μορφής

7.1 Γεωδαισιακές

Οι γεωδαισιακές καμπύλ

καμπυλότητα. Γεωδαισιακή είναι η τροχιά που ακολουθεί ένα αντικείμενο στο οποίο

δεν δρουν άλλες δυνάμεις εκτός από την βαρύτητα.

Η γεωδαισιακή είναι μια καμπύλη της οποίας το εφα

συμπίπτει με τον εαυτό του μετά από παράλληλη μεταφορά. Παράδειγμα μη

τετριμμένης γεωδαισιακής είναι ένας μέγιστος κύκλος πάνω σε δυσδιάστατη

σφαιρική επιφάνεια.

Η γεωδαισιακή καμπύ

όπου λ είναι μια παράμετρος που μετράει το μήκος της καμπύλης. Σε κάθε

της καμπύλης υπάρχει ένα εφαπτόμενο διάνυσμα που ορίζεται από την σχέσσημείο η

. Ικανοποιεί την εξίσωση της γεωδαισιακής:

(7.1)

ή ισοδύναμα

(7.2)

Αυτή είναι η γενίκευση του 2ου νομου του Νεύτωνα

(7.3)

στα πλαίσια της Γε

ροειδείς, μηδενικές ή φωτοεδείς και

νικής Σχετικότητας.

Υπάρχουν τριών ειδών γεωδαισιακές: χω

χρονοειδείς ανάλογα με το αν το γινόμενο είναι αντίστοιχα θετικό, μηδ

αρνητικό. Αντικείμενα με μάζα κινούνται σ νοειδείς γεωδαισιακές οπότε το ρόλ

της παραμέτρου λ παίζει ο ιδιοχρόνος του αντικειμένου. Το φως κινείται σε μηδενικές

γεωδαισιακές γι αυτό λέγονται και φωτοειδείς.

έν ή

ε χρο ο

.2 Γεωδαισιακή Απόκλιση

ξίσωση που περιγράφει το πώς συμπεριφέρονται

ν

7

Υπάρχει μια άλλη σημαντική ε

γειτονικές γεωδαισιακές. Σε επίπεδο χωρόχρονο, δύο παράλληλες γραμμές

παραμένου για πάντα παράλληλες σε όλο το μήκος τους. Αυτό όμως δεν συμβαίνει

69


όταν υπάρχει καμπυλότητα. Η εξίσωση που μας δίνει την εξέλιξη της διαφοράς

συν/νων κατά μήκος γειτονικών γεωδαισιακών είναι η εξίσωση γεωδαισιακής

απόκλισης

(7.4)

Η απόδειξη της σχέσης (7.4) είνα

τα αντικείμενα στα πλαίσια καμπύλου

.3 Ο τανυστής ενέργειας και ορμής στην Γενική Σχετικότητα

με ια της ειδικής

Η ζητούμενη αυτή σχέση θα πρ κριμένες απαιτήσεις

είναι

α πρέπει να είναι σε συναλλοίωτη μορφή. Ο γενικός

νυστή που να περιγράφει το ενεργειακό περιεχόμενο της ύλης

τή ενέργειας και ορμής γενικεύεται στην Γενική Σχετικότητα

αντικαθιστώντας την απλή παράγωγο της σχέσης (4.21) από συναλλοίωτη παράγωγο.

Η σχέση που προκύπτει είναι

ι έξω από τους στόχους μας στην παρούσα εισαγωγή

αλλά είναι σημαντικό να παρατηρήσετε ότι είναι η καμπυλότητα του χωρόχρονου

(μέσω του τανυστη Riemann) αυτή που καθορίζει το πώς πλησιάζουν ή

απομακρύνονται γειτονικές γεωδαισιακές.

Οι γεωδαισιακές μας λένε πως κινούνται

χωρόχρονου αλλά δεν μας λένε πως δημιουργείται η ίδια η καμπυλοτητα.

7

Έχου ήδη μελετήσει τον τανυστή ενέργειας και ορμής στα πλαίσ

σχετικότητας και είδαμε ότι ο τανυστής αυτός εκφράζει το περιεχόμενο της ύλης σε

ενέργεια-ορμή. Ταυτόχρονα, γνωρίζουμε ότι η ύλη είναι υπεύθυνη για τις βαρυτικές

δυνάμεις και δεδομένου ότι η βαρύτητα ισοδυναμεί με καμπυλότητα θα πρέπει να

υπάρχει μια σχέση που να συνδέει την ύλη με την καμπυλότητα

Καμπυλότητα <=>Ύλη

έπει να ικανοποιεί συγκε

• Μόνο τανυστές θα πρέπει να περιέχονται στην σχέση προκειμένου να

αυτή συναλλοίωτη

• Κάθε παραγώγιση θ

κανόνας είναι ότι οι φυσικοί νόμοι σε επίπεδο χωρόχρονο αποκτώνται με

αντικατάσταση των απλών διανυσματικών παραγώγων με συναλλοίωτες.

• Οι νέοι φυσικοί νόμοι (η ζητούμενη σχέση) ανάγονται σε προηγούμενους

(συγκεκριμένα στην ειδική σχετικότητα) στο όριο που η καμπυλότητα

μηδενίζεται.

Χρειαζόμαστε ένα τα

και ο προφανής υποψήφιος είναι ο τανυστής ενέργειας και ορμής που όπως είδαμε

είναι δεύτερης τάξης.

Η διατήρηση του τανυσ

70


Στην παραγματικότητα πρόκειται για 4 σχέσεις (μια για κάθε τιμή του δείκτη μ). Για

μ=0 παίρνουμε όπως έχουμε δει την διατήρηση της πυκνότητας ενέργειας (μείωση

πυκνότητα ενέργειας σε δεδομένο όγκο = ροή ενέργειας έξω από τα όρια του όγκου) ς

ενώ για τις υπόλοιπες τιμές του μ έχουμε την διατήρηση της πυκνότητας της ορμής.

Ειδικές περιπτώσεις:

• Σκόνη: Όπως έχουμε δει πρόκειται για στατικά σωμάτια που δεν

αλληλεπιδρούν. Έχουν όπου ρ η πυκνότητα μάζας του υλικου

στο σύστημα ηρεμίας ενώ όλες οι άλλες συνιστώσες είναι 0.

τώρα

διαγώνιες

• Ιδανικό Ρευστό: Η 00 συνιστώσα είναι η ίδια με της σκόνης αλλά

υπάρχει και η πίεση στις συνιστώσες που στο ακίνητο σύστημα

είναι της μορφής .

Στην επόμενη ενότητα θα δούμε πως συνδέεται ο τανυστής ενέργειας και ορμής με

την καμπυλότητα.

71


8. Η εξίσωση Einstein .1 Φυσικοί περιορισμοί

ή μορφή της εξίσωσης που ψάχνουμε. Θα πρέπει να

υ χωρόχρονου με τις ιδιότητες της ύλης όπως αυτές

8

Γνωρίζουμε πλέον την γενικ

συσχετίζει την καμπυλότητα το

εκφράζονται με τον τανυστή ενέργειας και ορμής. Όπως έκανε ο Einstein θα

προσπαθήσουμε να μαντέψουμε την σωστή εξίσωση. Τα συστατικά που έχουμε για

την κατασκευή της ζητούμενης εξίσωσης είναι:

• Για την καμπυλότητα:

• Για την Ύλη: Ο τανυστής ενέργειας και ορμής διατηρείται

συναλλοίωτα δηλ. .

iemannΠρώτος περιορισμός: Δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τανυστή του R

υ iemann έχει τέσσερεις δείκτες ενώ ο τανυστής Μαθηματικός λόγος: Ο ταν στής του R

ενέργειας και ορμής έχει δύο.

Φυσικός λόγος: Στον κενό χώρο έχουμε . Αν ο τανυστής του Riemann

ήταν στην εξίσωση θα ήταν ίσο

Επομένως, σε κάθε σημείο όπου δεν υπάρ καμπυλότητα θα ήταν 0 και

επομένως δεν θα υπηρχε βαρυτικό πεδίο σε χώρο οπου δεν υπάρχει ύλη. Κάτι τέ

αντιβαίνει στις παρατηρήσεις. Μια μικρή δοκιμαστική μάζα στον κενο χώρο γύρ

από άλλη μάζα υπόκειται σε βαρυτικές δυνάμεις και επομένως στο κενό μπορεί να

υπαρχει καμπυλότητα.

Δεύτερος Περιορισμός: Δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μόνο τον τανυστή Ricci

ς με το 0 σε κάθε σημείο όπου δεν υπάρχει ύλη.

χει ύλη η

τοιο

ω

Θα μπορούσαμε να R Tμν μσταθερα= × ν αλλά δυστυχώς η δοκιμάσουμε

συναλλοίωτη παράγωγος του τανυστή Ricci δεν μηδενίζεται, .

8.2 Η εξίσωση Einstein

Χρειαζόμαστε έναν τανυστή 2ης τάξης που να περιγράφει καμπυλότητα και να

απλούστερος υποψήφιος τανυστής που μπορούμε να διατηρείται συναλλοίωτα. Ο

κατασκευάσουμε με τα συστατικά που έχουμε είναι όπου C μια

σταθερά. Μπορεί να δειχτεί (δείτε παράδειγμα που ακολουθεί) ότι ο τανυστής αυτός

διατηρείται συναλλοίωτα (έχει μηδενική συναλλοίω αν τη παράγωγο) 12

C = − .

Επομένως μια κατάλληλη εξίσωση είναι

72


(8.1)

ι να καθοριστεί πειραματικά. Αυτή είναι η

εξίσωση Einstein. Η αρχή της αντιστοιχίας απαιτεί την αναγωγή της εξίσωσης

Einstein στην Νευτώνεια θεωρία

Όπου κ είναι μια σταθερά που θα πρέπε

βαρύτητας για ασθενή βαρυτικά πεδία. Η απαίτηση

αυτή προσδιορίζει την σταθερά κ στην τιμή .

Ιδιότητες της εξίσωσης Einstein:

• Οι δύο πλευρές της εξίσωσης Einstein αντισντοιχούν σε συμμετρικούς

τανυστές 2ης τάξης σε τέσσερεις διαστάσεις. Επομένως ουσιαστικά πρόκειται

λόγω συμμετριών ότι η ζητούμενη μετρική είναι διαγώνια τότε

γειας και ορμής

λη συμμετρία οι οποίες όμως

ερα κάθε μία από τις τέσσερεις συν/νες

για δέκα εξισώσεις.

• Ο σκοπός των εξισώσεων Einstein είναι ο προσδιορισμός των δέκα

συνιστωσών της μετρικής. Επομένως γενικά χρειάζονται ακριβως δέκα

εξισώσεις.

• Αν κάποιο συγκεκριμένο φυσικό σύστημα έχει συμμετρίες, τότε ορισμένες

από τις εξισώσεις Einstein θα ικανοποιούνται αυτόματα. Για παράδειγμα αν

γνωρίζουμε

έχουμε να προσδιορίσουμε μόνο τέσσερεις συνιστώσες. Επομένως θα

υπάρχουν το πολύ τέσσερεις ανεξάρτητες εξισώσεις Einstein.

• Η διατήρηση ενέργειας και ορμής εμπεριέχεται στις εξισώσεις Einstein.

Όμως, όπως και στην κλασσική μηχανική, συχνά είναι χρήσιμο να

χρησιμοποιούμε ορισμένες από τις εξισώσεις διατήρησης ενέρ

αντί για ορισμένες από τις εξισώσεις Einstein.

• Οι εξισώσεις Einstein είναι συζευγμένες μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις

και γενικά είναι ιδιαίτερα δύσκολο να λυθούν. Εξαίρεση αποτελούν ειδικές

περιπτώσεις φυσικών προβλημάτων με μεγά

έχουν και μεγάλο φυσικό ενδιαφέρον.

• Οι εξισώσεις Einstein είναι ανεξάρτητες από το σύστημα συν/νων που

χρησιμοποιήται αφού η βασική εξίσωση είναι ισότητα τανυστών. Μπορούμε

επομένως να μετασχηματίσουμε ελεύθ

ώστε να ικανοποιούνται τετριμμένα τέσσερεις από τις δέκα εξισώσεις

Einstein. Επομένως, τέσσερεις από τις εξισώσεις Einstein είναι ισοδύναμες με

μετασχηματισμούς σύν/νων και μένουν το πολύ έξι εξισώσεις που είναι

73


γραμμικά ανεξάρτητες (σε περιπτώσεις συμμετρίας οι ανεξάρτητες εξισώσεις

είναι ακόμα λιγότερες)


Μια σημαντική συμμετρία του τανυστή Riemann είναι η ταυτότητα Bianchi

(8.2)

Πολλ/ζοντας την έκφραση αυτή με δείξτε ότι ο τανυστής Einstein διατηρείται

συναλλοίωτα δηλ.

(8.3)

Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το γεγονός ότι η συναλλοίωτη παράγωγος της μετρικής

μηδενίζεται

την υπόδειξη, εισάγουμε το

Λύση

Χρησιμοιποιώντας μέσα στην συναλλοίωτη

γο και έχουμε παράγω

(8.4)

Χρησιμοποιώντας ιδιότητες συμμετρίας των δεικτών καθως και του ορισμούς του

τανυστή Ricci και του αντίστοιχου βαθμωτού παίρνουμε

(8.5)

έχουμε και αλλάζοντας τα Πολλ/ζοντας με το

ονόματα των δεικτών παίρνουμε το ζητούμενο

(8.6)

.3 Η Κοσμολογική Σταθερά

τανυστής Einstein δεν είναι ο πιο γενικός τανυστής δεύτερης τάξης που περιγράφει

αλλοίωτη παράγωγο. Δεδομένου ότι η

8

Ο

καμπυλότητα και έχει μηδενική συν

συναλλοίωτη παράγωγος της μετρικής μηδενιζεται, μπορούμε να προσθέσουμε τον

τανυστή της μετρικής στον τανυστή του Einstein πολλαπλασιασμένη με μια

74


αυθαίρετη σταθερά

(8.7)

Η σταθερά Λ είναι γνωσ

ές φορές από τότε στα

.4 Οι εξισώσεις Einstein στο κενό

απ εξισώσεων Einstein είναι η εύρεση των

τή ως ‘η κοσμολογική σταθερά’ και όταν είναι θετική παίζει

τον ρόλο απωστικής βαρύτητας που κυριαρχεί σε μεγάλες (κοσμολογικές) κλιμακες.

Ο Einstein την εισήγαγε για να επιτρέψει την εξουδετέρωση της ελκτικής βαρύτητας

της ύλης σε μεγάλες κλίμακες επιτρέποντας ταυτόχρονα την ύπαρξη στατικών

κοσμολογικών μοντέλλων. Τέτοια μοντέλλα ήταν σε συμφωνία με τις κοσμολογικές

παρατηρήσεις στις αρχε΄ς του 20ου αιώνα. Όταν αργότερα έγινε κατανοητό ότι το

Σύμπαν διαστέλλεται και έπομένως δεν υπαρχει ανάγκη για στατικά κοσμολογικά

μοντέλλα και κοσμολογική σταθερα, ο Einstein αποκάλεσε την εισαγωγή της

κοσμολογικής σταθεράς ‘το μεγαλύτερο λάθος της ζωής του’.

Παρά ταύτα η κοσμολογική σταθερά έχει επανακάμψει αρκετ

πλαίσια χρήσιμων κοσμολογικών μοντέλλων και μάλιστα τα τελευταία χρόνια έχει

χρησιμοποιείται στα πλαίσια του πιο δημοφιλούς μοντέλλου που επιχειρεί να

εξηγήσει την παρατηρούμενη επιταχυνόμενη διαστολή του Σύμπαντος. Όμως ακόμα

και στις περιπτώσεις που εμπεριέχεται η κοσμολογική σταθερά συνήθως μεταφέρεται

στο δεξί μέλος των εξισώσεων Einstein και θεωρείται μέρος του τανυστή ενέργειας

και ορμής.

8

Μια ό τις πιο σημαντικές εφαρμογές των

βαρυτικών αποτελεσμάτων και της μετρικής στον κενό χώρο γύρω από διάφορες

κατανομές μάζας. Ο κενός χώρος έχει και επομένως οι εξισώσεις Einstein

παίρνουν την μορφή

(8.8)

Πολλαπλασιάζοντας με την μετρική και αθροίζοντας στα πλαίσια του

συμβολισμού Einstein παίρνουμε

(8.9)

Δεδομένου ότι και παίρνουμε και αντικαθιστώντας στις

εξισώσεις Einst νό καταλήγουμε στην σχέσein στο κε η

(8.10)

75


9. Κενό μ

χωρόχρονου στο κενό γύρω από ένα

ρέπει και και η

ίναι σφαιρική και επομένως θα

ε σφαιρική συμμετρία: Η λύση Schwarzchild 9.1 Συμμετρίες – Φυσικοί περιορισμοί

Η λύση Schwarzchild είναι η μετρική του

σφαιρικό αντικείμενο. Για να βρούμε την μετρική Schwarzchild βρίσκουμε πρώτα

την κατάλληλη γενική μορφή της μετρικής που εμπεριέχει τις αναμενόμενες

συμμετρίες. Οι βασικοί περιορισμοί της μετρικής αυτής είναι οι εξής:

• Αφού το σφαιρικό αντικείμενο στο κέντρο είναι στατικό θα π

μετρική να είναι χρονικά ανεξάρτητη.

• Η συμμετρία του συστήματος ε

χρησιμοποιήσουμε σφαιρικές συν/νες. Σε σφαιρικές συν/νες η μετρική δεν θα

πρέπει να εξαρτάται από τις γωνίες θ και φ παρά μόνο με τον τρόπο που

αντιστοιχεί σε μετρική επιφάνειας σφαίρας σε δεδομένη ακτίνα r.

• Οι βαρυτικές δυνάμεις θα πρέπει να μηδενίζονται σε άπειρη απόσταση από

της μορφής

το κέντρο όπου βρίσκεται η μάζα.

Οι παραπάνω περιορισμοί μας οδηγούν σε μετρικές

(9.1)

όπου οι συναρτήσεις A(r) και B(r) θα πρέπει να τείνουν στην μ .

θα ακολουθήσουμε είναι τα εξής:

μετρική.

offel μεσω του τανυστή

ων δύο εξισώσεων Einstein που προκύπτουν με τις κατάλληλες

.2 Σύμβολα Christoffel

γεί στα 13 μη μηδενικά σύμβολα Christoffel. Η γενική

σχέση που χρησιμοποιείται είναι

ονάδα καθώς r → ∞

Αυτή είναι η πιο γενική μετρική συμβατή με τους περιορισμούς και τις συμμετρίες

του συστήματός μας. Ο στόχος μας είναι η εύρεση των συναρτήσεων A(r) και B(r)

λύνοντας τις εξισώσεις Einstein. Θυμηθείτε ότι για διαγώνιες μετρικές οι συνιστώσες

της μετρικής με δείκτες πάνω είναι ίσες με ένα δια τις συνιστώσες της μετρικής με

δείκτες κάτω.

Τα βήματα που

• Εύρεση των συμβόλων Christoffel από την

• Εύρεση του τανυστή Ricci από τα σύμβολα Christ

Riemann.

• Επίλυση τ

οριακές συνθήκες και εύρεση των A(r) και B(r).

9

Λεπτομερής υπολογισμός οδη

76


(9.2)

Έχουμε ήδη υπολογίσει (σχέσεις (6.26)) τα σύμβολα Christoffel που περιέχουν μόνο

τους δείκτες θ και φ . Είναι της μορφής

(9.3)

Δεδομένου ότι η μετρική είναι διαγώνια, ο μόνος όρος που συνεισφέρει στο άθροισμα

του δείκτη ρ (σχέση (9.2)) είναι ο όρος όπου το ρ ισούται με τον πάνω δείκτη του

συμβόλου Christoffel. Επιπλέον, μόνο οι παράγωγοι ως προς r θα είναι μη μηδενικές.

Συμβολίζουμε αυτές τις παραγώγους με τόνο (’). Δύο παραδείγματα υπολογισμών

είναι

(9.4)

και

(9.5)

Οι υπόλοιπες μη μηδενικές συνιστώσες είναι

(9.6)

9.3 Ο τανυστής του Riemann

φού θέλουμε να βρούμε δύο άγνωστες συναρτήσεις θα υπάρχουν και δύο

μο όμως να βρούμε τρείς από τις εξισώσεις

Α

ανεξάρτητες εξισώσεις. Είναι χρήσι

Einstein: αυτές που αντιστοιχούν στις συνιστώσες και . Οι ο

που χρειαζόμαστε είναι

ρισμοί

(9.7)

και

(

θείτε ότι ο τανυστής του Riemann αντισυμμετρικός ως προς εναλλαγή των δύο

πρώτων ή των

9.8)

Θυμη

δύο τελευταίων δεικτών δηλ.

77


(9.9)

Η συμμετρία αυτή βοηθά στην μείωση των συνιστωσών του τανυστή Riemann Που

χρειάζεται να υπολογιστούν για τον υπ

ηθείτε

ολογισμό του τανυστή Ricci. Για παράδειγμα,

όταν οι δύο πρώτοι ή οι δύο τελευταίοι δείκτες είναι ίσοι ο τανυστής Riemann

μηδενίζεται. Όπως θα δούμε παρακάτω, αρκούν 6 συνιστώσες του τανυστή Riemann

για τον υπολογισμό του τανυστή Ricci. Οι συνιστώσες αυτές είναι οι εξής (θυμ

ότι μόνο οι παράγωγοι ως προς r είναι μη μηδενικές):

(9.10)

Ενώ οι υπόλοιπες υπολογίζονται με παρόμοιο τρόπο και είναι

(9.10)

(9.11)

9.4 Ο τανυστής Ricci

α προσθέσουμε τις κατάλληλες συνιστώσες του τανυστή του Riemann για να

με τανυστή Ricci. Θα κανουμε χρήση των συμμετριών του

εν

Θ

βρου τις συνιστώσες του

τανυστή του Riemann για να βρούμε όσες συνιστώσες του χρειαζόμαστε αλλά δ

έχουμε υπολογίσει από τα σύμβολα Christoffel. Για παράδειγμα η συνιστώσα

που δεν έχουμε υπολογίσει, προκύπτει με χρήση συμμετριών από την συνιστώσα

που έχουμε υπολογίσει ως εξής

(9.12)

γίνεται ως εξής Ο υπολογισμός της συνιστώσας

78


ενώ για τις άλλες δύο έχουμε

(9.13)

9.5 Η λύση Schwarzchild

Σχήμα 9.1: Η καμπύλωση του χωρόχρονου γύρω από σφαιρική κατανομή μάζας

Πρέπει τώρα να λύσουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν εξισώνοντας τα συνιστώσες

του τανυστή Ricci με το μηδέν. Ο λόγο που υπολογίσαμε και την ς και την

είναι ότι ο συνδυασμός τους δίνει μια απλή εξίσωση. Θεωρώντας τον συνδυασμό

παίρνουμε

(9.14)

Αντικαθιστώντας την (9.14) στην (9.13) παίρνουμε

(9.15)

που μπορεί να λυθεί με χωρισμό μεταβλητών ως εξής

(9.16)

79


Για την ολοκλήρωση του αριστερού μέρους το χωρίζουμετα σε κλάσματα

(9.17)

και με ολοκλήρωση παίρνουμε

(9.18)

όπου a είναι σταθερά ολοκλήρωσης. Θέτοντας ως εκθέτη στο e παίρνουμε

(9.19)

και λύνοντας ως προς A(r)

(

που ικανοποιεί αυτόμ

9.20)

ατα για κάθε a την οριακή συνθήκη ( ) 1A r → για .

Για να βρούμε το Β(r) χρησιμοποιούμε την σχέση μεταξύ Α και Β (9.14) από την

οποία προκύπτε

r → ∞

ι ότι όπου b είναι μια άλλη σταθερά. Απαιτώντας

( ) 1B r → για r → ∞ βρίσκουμε ότι 1b = και επομένως έχουμε

(9.21)

Ποια είναι η φυσική της σταθεράς a; Είχαμε δει στην σχέση (5.4

ρολό βρίσκεται κοντά ζα πάει πιο αργά σε σχ

σημασία ) ότι ένα

ι που μά έση με ρολόι που βρίσκεται σε

άπειρη απόσταση ( ) και συγκεριμένα η χρονική απόσταση μεταξύ δύο

χτύπων το ρολογ

dt dt′ >

ιού κοντά στην μάζα όπως το βλέπει παρατηρητής στο άπειρο είναι

(9.22)

όπου dt η χρονική απόσταση διαδοχικών χτύπων του ίδιου ρολογιού όταν είναι σε

άπειρη απόσταση. Από την παραπάνω σχέση (9.22) προκύπτει η χρονική συνιστώσα

της μέσω της σχέσης μετρικής ttg ( ) ( )2 2ds g dt g r dt 2tt tt ′= ∞ = από την οποία

παίρνουμε (για μικρά Φ) . Δεδομένου ότι το Νευτώνειο δυναμικό

είναι , από την αρχή της αντιστοιχίας προκύπτει ότι

(9.23)

είναι ανάλογη της

ικό πεδίο και η

Επομένως, η σταθερά a μάζας του σώματος που προκαλεί το

βαρυτ τελική μορφή της μετρικής Schwarzchild είναι

80



Από την σχέση (9.12):

(9.24)

σαΥπολογίστε την συνιστώ

μοναδικότητα

του τανυστή Riemann ως συνάρτηση της ακτίνας.

Που είναι η τιμή της στην 0r = και πάνω στην ακτίνα Schwarzchild;

Λύση

Έχουμε απο α μμετριά στα ζεύγη δεικτών ντισυ ( )1, 2 και ( )3, 4 . Μετά

χρησιμοποιούμε την σχέση για ύψωμα δείκτη . Η αντίστροφη

μετρική είναι διαγώνια και επομένως

(9.25)

σχέσεις και Για το υπολογισμό της χρησιμοποιούμε τις

και παίρνουμε . Εκτελώντας την παραγώγιση στο

βρίσκουμε

(9.26)

έχουμεΠάνω στον ορίζοντα ενώ έχουμε απειρισμό πάνω

όταν 0r → .

ραγματικές ιδιότητες του χωρόχρονου.

στην

μοναδικότητα Η πεπερασμένη τιμή πάνω στον ορίζοντα είναι ένδειξη

ότι ο απειρισμός της μετρικής πάνω στον ορίζοντα οφείλεται στην επιλογή συν/νων

και όχι στις π


Μια μαύρη τρύπα με μάζα Μ και φορτίο Q έχει μετρική

Όπου για απλότητα έχουμε θέσει τις σταθερές G και c ίσες με την μονάδα. Αυτή η

ισχύει για Q M< . μετρική είναι γνωστή ως η μετρική Reissner-Nordstrom και

81


a) Βρείτε τις τιμές του r για τις οποίες η μετρική έχει απειρισμούς.

b) Τι συμβαίνει με τους απειρισμόύς για Q M= (οριακή μαύρη τρύπα Reissner

α. Οι άλλοι

απειρισμοί εμφανίζονται εκεί μηδενίζεται η παράσταση

-

Nordstrom) ;

Λύση

a) Για r=0 η συνιστώσα ttg απειρίζεται και έχουμε μοναδικότητ

που

όπου και αποκλίνει η Αυτό συμβαίνει εκεί που μηδενίζεται η συνιστώσα rrg .

παράσταση δηλ στις θέσεις

Εφόσον Q M< οι λύσεις είναι πραγματικές και έτσι υπαρχούν συνολικά τρεις

απειρισμοί (μοναδικότητες

(9.27)

).

b) Για μια οριακή μαύρη τρύπα Reissner-Nordstrom οι δύο μοναδικότητες με

πεπερασμένο r συγχωνεύον που είναι η μισή τιμή της ται σε μία, στην θέση

συνήθους Schwarzchild.

ακτίνας

82


10. Παρατηρησιακή επιβεβαίωση της Γενικής Σχετικότητας 0.1 Το Θεώρημα του Birkhoff

ύμφωνα με το θεώρημα του Birkhoff ο χωρόχρονος έξω από ένα σφαιρικό, μη

εριστρεφόμενο αντικείμενο, δίνεται από την μετρική του Schwarzchild. Ένα

σφαιρική

νομή μάζας είναι χωρόχρονος Minkowski. Σε

του περιηλίου του Ερμή


1

Σ

π

πόρισμα που προκύπτει από το θεώρημα είναι ότι ο χωρόχρονος σε μια

κοιλότητα μέσα σε σφαιρική κατα

πολλά αστροφυσικά συστήματα η επριστροφή είναι αρκετά αργή ώστε να μπορούμε

να χρησιμοποιήσουμε την λύση Schwarzchild. Ένα τέτοιο παράδειγμα αποελεί το

ηλιακό μας σύστημα.

10.2 Ελέγχοντας την Γενική Σχετικότητα στο Ηλιακό Σύστημα

Η Γενική Σχετικότητα κάνει τρείς βασικές ελέγξιμες προβλέψεις για κινήσεις μέσα

στο ηλιακό μας σύστημα που διαφέρουν από τις αντίστοιχες Νευτώνειες προβλέψεις.

1. Η μετάπτωση

Δέσμιες τροχιές στα πλαίσια των νόμων του Kepler είναι ελλειπτικές

είναι κλειστές περιοδικές τροχιές. Διαταραχές από άλλες πηγές όμως μπορούν να

καταστρέψουν αυτή την απλή εικόνα.

Σχήμα 10.1: Η μετάπτωση του περιηλίου

Η ανάλυση όλων των πηγών που διαταράσσουν τις τροχιές, χρησιμοποιώντας την

Νευτώνια θεωρία, δίνει μια μετάπτωση του περιηλίου της τάξης των 5558 arcsecs

ανά αιώνα. Εντούτοις ακόμ και στα χρόνια του Einstein είχε μετρηθεί με αρκετή

αιώνα, με ακρίβεια περίπου ένα arcsec

η

ακρίβεια μια μετάπτωση 5601 arcsecs ανά

ανα αιώνα. Έτσι προκύπτει μια απόκλιση μεταξύ Νευτώνειας θεωρίας και

παρατήρησης 43 arcsecs ανά αιώνα. Για ασθενές πεδίο βαρύτητας, από την Γενική

Σχετικότητα (λύση Schwarzchild) προκύπτουν γραμμικοί όροι που συμφωνούν με τη

Νευτώνεια πρόβλεψη, συν μη γραμμικές διορθώσεις που είναι μικρές αλλά

μετρήσιμες. Ένας σχετικά μακροσκελής υπολογισμός με χρήση διαταρραχών οδηγεί

83


σε μια πρόβλεψη 43,03 arcsecs επιπλέον (σε σχέση με την Νευτώνεια πρόβλεψη)

ανά αιώνα. Αυτό είναι σε πολύ καλή συμφωνία με τις παρατηρήσεις.

1. Καμπύλωση του Φωτός

Όπως είδαμε από την αρχή της ισοδυναμίας προκύπτει ότι οι τροχιές φωτεινών

ακτίνων καμπυλώνονται στην περιοχή αντικειμένων με μάζα. Η καμπύλωση αυτή

και στα πλαίσια της μορφής μια φωτοειδούς μπορεί να γίνει κατανοητή

γεωδαισιακής σε καμπύλο χωρόχρονο. Επειδή το φαινόμενο αυτό είναι πολύ

ασθενές, μπορεί να γίνει αντιληπτό μόνο για φωτεινές ακτίνες από μαρινά άστρα

που περνούν πολύ κοντα από την επιφάνεια του Ήλιου.

Σχήμα 10.2: Η καμυλωση του φωτός στην περιοχή του Ηλίου.

Όμως, η μεγάλη λαμπρότητα του Ηλίου δυσκολεύει την παρατήρηση φωτόα από

Ευτυχώς, κατά τη

ιάρκεια των ηλιακών εκλείψεων ο ήλιος καλύπτεται και έτσι είναι δυνατό να

μακρινά άστρα που περνούν κοντα από την επιφάνειά του.

δ

μελετηθεί η φαινομενική μετακίνηση των αστεριών πίσω από αυτόν.

Η σχέση που δίνει την καμπύλωση των φωτεινών τροχιών είναι

(10.1)

που περνά

οριακά κοντά από την επιφάνεια του Ηλίου προβλέπεται να αλλάξει πορεία κατά

1.75 arcsecs. Η

φωτεινής ακτίνας λόγω βαρύτητας αλλά στη μισή γωνία από αυτή της Γενικής

όπου r είναι η απόσταση μέγιστης προσέγγισης. Μια φωτεινή ακτίνα

Νευτώνεια θεωρία προβλέπει επίσης αλλαγή πορείας της

c

84


Σχετικότητας.

Ένα διάσημο ταξίδι που οργανώθηκε από τον Eddington το 1919 επιδίωξε να

επιβεβαιώσει την πρόβλεψη της Γενικής Σχετικότητας, και θεωρήθηκε ότι το

πέτυχε αν και στην πραγματικότητα το πειραματικό αποτέλεσμα ήταν αρκετά

αμφίβολο. Το α

Einstein στο επίπεδο της επιστημονικής διασημότητας.

Η πρόβλεψη της Γενικής Σχετικότητας έχει πλέον επιβεβαιωθεί με ακρίβεια πο

καλύτερη από 10% ώστε μπορεί πλέον με αρκετή σιγουριά να αποκλείσει τη

Νευτώνεια πρόβλεψη.

2. Καθυστερήσεις αντανακλάσεων από radar

ποτέλεσμα αυτό προώθησε σημαντικά τη σταδιοδρομία την

λύ

τικό

σε πλανήτη καθυστερεί να επιστρέψει στην Γη όταν η

ενο με μεγάλη μάζα. Αυτό το

10.

Οι κ

για ς

παρατηρήσεις είναι αυτές του διπλού pulsar PSR-1913+16 όπου έχουν συσσωρευθεί

υν τις

Το 3ο κλασσικό πείραμα με σκοπό να ελέγξει την Γενική Σχετικότητα

ανακαλύφθηκε το 1964 από τον Shapiro. Ανακάλυψε ότι ένα ηλεκτρομαγνη

σήμα που ανακλάται

τροχιά του σήματος περνά κοντά από αντικείμ

φαινόμενο οφείλεται στην χρονική διαστολή που προβλέπεται από την μετρική

του Schwarzchild. Σύγχρονες εκδόσεις αυτού του πειράματος παρέχουν την πιο

ακριβή επιβεβαίωση της Γενικής Σχετικότητας με ακρίβεια της τάξης του 0.1%.

3 Σύγχρονες παρατηρήσεις για τον έλεγχο της Γενικής Σχετικότητας

αλύτερες παρατηρήσεις προέρχονται από περιοχές με ισχυρά βαρυτικά πεδία αντί

τα ασθενή πεδία του ηλιακού μας συστήματος. Οι πιο επιτυχημένες τέτοιε

μετρήσεις σε διάστημα πάνω από 25 ετών. Οι μετρήσεις αυτές περιγράφο

τροχιακες ιδιότητες του ζεύγους αστέρων με σημαντική ακρίβεια και όχι μόνο

επιβεβαιώνουν την ορθότητα της Γενικής Σχετικότητας αλλά παρέχουν ισχυρές

ενδείξεις για ένα νέο μηχανισμό απώλειας ενέργειας του συστήματος δηλ. μέσω

εκπομπής βαρυτικών κυμάτων (διαδιδόμενες κυμάνσεις όπου ταλαντώνεται ο ίδιος ο

χωρόχρονος). Η απευθείας ανίχνευση των βαρυτικών κυμάτων αποτελεί τον στόχο

πολλών σημαντικών πειραμάτων που βρίσκονται σε εξέλιξη.

85


11. Ιδιότητες της λύσης Schwarzchild 1.1 Η ακτίνα Schwarzchild

μετρική Schwarzchild είναι της μορφής

1

Η

(11.1)

α το εξωτερικό μια σφαιρικής κατανομής μάζας με

Ένα ενδιαφέρον χαρακτηριστικό αυτής της μετρικής είναι ότι απειρίζεται για

και για

και κ θορίζει τον χωρόχρονο σ

ολική μάζα M.

0r =

2

2GMrc

Ορισμένες τυπικ

= . Η τελευταία αυτή ακτίνα είναι γνωστή σαν ακτίν

ές τιμές της ακτίνας Schwarzchild είναι οι εξής:

Ήλιος):

Σε κάθε τις παραπάνω περιπτώσεις το αντικείμενο εκτείνεται έξω από την

αντίστοιχη ακτίνα Schwarzchild και επομένως η λύση Schwarzchild δεν ισχύει στην

αντίστο πορεί να υπάρξουν περιπτώσεις όπου η μάζα ενός

αντικειμ εται σ περιχές μικρότερες από την ακτίνα Schwarzchild. Οι

ρίζεται στην θέση αυτή. Για

α Schwarzchild.

2510 kg (Γη): 1cm 3010 kg ( μερικά km

2710 kg− 5410 m− (πρωτόνιο):

μια από

ιχη περιοχή. Αλλά μ

ένου συμπιέζ ε

περιπτώσεις αυτές είναι οι λεγόμενες μαύρες τρύπες.

Για να μελετήσουμε την φύση αυτών των απειρισμών είναι χρήσιμο να μελετήσουμε

τις συνιστώσες του τανυστή Riemann στις αντίστοιχες θέσεις. Είναι ενδιαφέρον το

ότι ορισμένες από τις συνιστώσες του τανυστή Riemann είναι πεπερασμένες στην

ακτίνα Schwarzchild παρ’ όλο που η μετρική απει

παράδειγμα η συνιστώσα που έχει την μορφή . Όμως, η ακριβής

μορφή των συσνιστωσών του τανυστή Riemann εξαρτάται από την επιλογή των

συντεταγμένων που χρησιμοποιούνται και αν ορισμένες συνιστώσες απειρίζονται,

αυτό μπορεί να οφείλεται σε κακή επιλογή του συστήματος σύν/νων και όχι στο

γεγονός ότι ο χωρόχρον χει προβληματική συ στο συγκεκριμένο

σημείο. Σε περίπτωση που μια διαφορετική επιλογή συν/νων μπορεί να εξαφανίσει

τους απειρισμούς τότε έχουμε την λεγόμενη μοναδικότητα συντεταγμένων

(coordinate singularity). Το γεγονός ότι ορισμένες από τις συνιστώσες του τανυστή

Riemann είναι πεπερασμένες στην ακτίνα Schwarzchild αποτελεί ένδειξη ότι ίσως ο

ος έ μπεριφορά

86


συγκεκριμένος απειρισμός της μετρικής να μην αντιστοιχεί πραγματική

μοναδικότητα.

Αντίθετα, υπάρχουν αναλλοίωτοι συνδυασμοί του τανυστή Riemann που

απειρίζονται στην θέση 0r . Για παρά ειγμ , το βαθμωτό δ α =

απειρίζεται στην θέση επειδή είναι αναλλοίωτο, θα απειρίζεται για κάθε 0 και r =

επιλογή συστήματος συν/νων. Επομένως, στην θέση 0r = έχουμε μια πραγματικά

ανώμαλη συμπεριφορά χωρόχρονου γνωστή και σαν

καμπυλότητας (curvature singularity).

11.2 Οι ροχιές του φω ός στην γεωμετρία Schwarz hild

Οι τροχιές των φωτεινών ακτίνων αποτελο

του μοναδικότητα

τ τ c

ύν κλειδί στην κατανόηση του χωρόχρονου

chwarzchild. Το φως ταξιδεύει σε φωτοειδείς γεωδαισιακές με Θεωρείστε 2 0ds = . S

ακτινική κίνηση του φωτός με . Τότε η εξίσωση της φωτοειδούς

γεωδαισιακής γίνεται

(11.2)

Με ολοκλήρωση βρίσκουμε ότι οι λύσεις εξαρτώνται από το αν η φωτεινή ακτίνα

κατευθύνεται προς τα μέσα ή προς τα έξω και από το αν βρίσκεται στο εσωτερικό ή

στο εξωτερικό της ακτίνας Schwarzchild. Για το εξωτερικό έχουμε 2

2

2 ln 1 κινηση προς τα εξω 2

GM rcct rc GM

στ θ⎛ ⎞

= + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

(11.3) α

22GM rc⎛ ⎞2 ln 1 κινηση προς τα μεσα

2ct r

c GMσταθ− = + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (11.4)

ενώ για το εσωτερικό 2

2

2 ln 1 κινηση προς τα εξω 2

GM rcct rc GM

σταθ⎛ ⎞

= − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

(11.5)

2

2

2GM rc⎛ln 1 κινηση προς τα μεσα

2ct r

c GMσταθ

⎞− = − − +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (11.6)

87


Σχήμα 11.1: Οι φωτοειδείς γεωδαισιακές στην γεωμετρία Schwarzchild

Οι παραπάνω φωτοειδείς γεωδαισιακές φαίνονται στο σχήμα (11.1). Παρατηρήστε

ότι στο συγκεκριμένο σύστημα συν/νων οι φωτοειδείς γεωδαισιακές δεν διασχίζουν

την ακτίνα Schwarzchild. Το συγκεκριμένο όμως σύστημα συν/νων όπου απειρίζεται

η μετρική είναι κάπως παραπλανητικό. Μπορεί να δειχτεί ότι ένα άπειρο χρονικό

διάστημα μετρημένο με χρήση της χρονικής συν/νης t (παρατηρητής στο άπειρο)

αντιστοιχεί σε πεπερασμένο χρονικό διάστημα ιδιοχρόνου ενός παρατηρητή που

πέφτει προς το κέντρο της μαύρης τρύπας και φθάνει στην ακτίνα Schwarzchild

(ορίζοντας γεγονότων). Επομένως χρειαζόμαστε καλύτερο σύστημα συν/νων. Ένα

αλλό ανησυχητικό στοιχείο των συν/νων Schwarzchild είναι ότι στο εσωτερικό της

ακτίνας Schwarzchild, η συν/νη r παίρνει τον ρόλο της χρονικής συν/νης (αφού

) και το t γίνεται χωρική συν/νη. 0rrg <

11.3 Συστήματα σύν/νων

Δυστυχώς είναι δύσκολο να βρεθούν καλά συστήματα συν/νων. Χρειάστηκαν σχεδόν

50 χρόνια από την ανακάλυψη της λύσης Schwarzchild για να βρεθούν σημαντικά

καλύτερο σύστημα συν/νων. Βελτιωμένα συστήματα αποτελούν οι Ισοτροπικές

συν/νες, και συν/νες Eddington-Finkelstein. Αλλά το καλύτερο σύστημα είναι οι

συν/νες Kruskal-Szekeres.

Ο μετασχηματισμός στις συν/νες αυτές είναι της μορφής

88


για και ο ίδιος με ανεστραμμένη την τετραγωνική ρίζα για .

Ο μετασχηματισμός αυτός, φέρνει την μετρική στην μορφή

όπου το r εξαρτάται από τα u και v μέσω της σχέσης

(11.7)

Τα πλεονεκτήματα αυτού του συστήματος συν/νων είναι τα εξής:

1. Η συν/νη v παίζει πλέον παντου το ρόλο χρονικής συν/νης ( 0vvg < ) και η u

είναι παντού χωρική συν/νη.

2. Ακτινικές τροχιές φωτός ικανοποιούν την σχέση , δηλ. το φως

κίνειται σε ευθείες κλίσης 045 όπως στην ειδική σχετικότητα.

3. Γραμμές σταθερού r είναι υπερβολές ενώ γραμμές σταθερού t είναι ευθείες

που διέρχονται από την αρχή των συν/νων Kruskal.

Το Σχήμα 11.2 δείχνει τον χωρόχρονο στο σύστημα συν/νων . Στο σύστημα

αυτό, η μοναδικότητα εμφανίζεται σαν μια χωροειδής επιφάνεια στο πάνω

μέρος, ενώ ο ορίζοντα γεγονότων (ακτίνα Schwarzchild)

0r =

είναι μια

φωτοειδής γραμμή . Η Περιοχή ΙΙ είναι στο εξωτερικό της μαύρης τρύπας ενώ η

Περιοχή Ι είναι στο εσωτερικό της. Οι άλλες περιοχές δεν έχουν φυσικό περιεχόμενο.

Οι διακεκομμένες γραμμές δείχνουν δύο φυσικές τροχιές, μία που αποφεύγει την

μαύρη τρύπα και μια που εισέρχεται σ’ αυτή. Αυτές οι συν/νες δείχνουν ξεκάθαρα ότι

είναι δυνατον να διασχίσουμε τον ορίζοντα γεγονότων προς το εσωτερικό της μάυρης

τρύπας αλλά αυτό γίνεται χωρίς επιστροφή. Όταν διασχίσουμε τον ορίζοντα

γεγονότων η συνάντηση με την μοναδικότητα στο κέντρο της μαύρης τρύπας είναι

αναπόφευκτη!

89


Σχήμα 11.2: Χωρόχρονος και φωτοειδείς τροχιές στις συν/νες Kruskal


Θεωρείστε την μετρική Schwarzchild και ορίστε μια νέα συν/νη ρ στην θέση της r ως

εξής:

(11.8)

Γράψτε την μετρική Schwarzchild στην απλούστερη δυνατή μορφή χρησιμοποιώντας

την νέα συν/νη (η μορφή αυτή είναι γνωστή ως ‘ισοτροπική μορφή’).

Λύση

Από την βρίσκουμε

. Μετά από αντικατάσταση στην μετρική

Schwarzchild και αρκετές πράξεις-απλοποιήσεις φθάνουμε στην μορφή

που είναι γνωστή ως η ισοτροπική λόγω της απλής παραγοντοποιημένης μορφής του

χωρικού τμήματος (που έχει όμως σημαντικό κόστος στην απλότητα του χρονικού

τμήματος της μετρικής).

90


Στην μορφή αυτή και δεδομένου ότι 0ρ > , ο μοναδικός απειρισμός συμβαίνει για

ρ=0. Επομένως ο απειρισμός της μετρικής στην ακτίνα Schwarzchild οφειλόταν στην

επιλογή συν/νων και όχι σε ιδιότητες του χωρόχρονου.

11.4 Ιδιότητες των Μαύρων Τρυπών

Από τα παραπάνω προκύπτουν οι εξής ιδιότητες για τις μάυρες τρύπες:

• Τίποτε δεν μπορεί να διαφύγει από μια μάυρη τρύπα. Η ακτίνα Schwarzchild

ορίζει μια σφαίρα που είναι γνωστή ως ο ορίζοντας των γεγονότων (event

horizon).

• Ο ορίζοντας γεγονότων δεν είναι πραγματική μοναδικότητα και οι

παρατηρητές μπορούν να το διασχίσουν προς τα μέσα σε χρόνο που σύμφωνα

με τα δικά τους ρολόγια είναι πεπερασμένος. Μάλιστα όταν τον διασχίσουν

θα οδηγηθούν αναγκαστικά προς την μοναδικότητα που είναι στο κέντρο της

μαύρης τρύπας μέσα σε πεπερασμένο χρόνο.

• Ένας παρατηρητής στο άπειρο που βλέπει ένα άλλο παρατηρητή να πέφτει

προς τον ορίζοντα γεγονότων βλέπει το ρολόι του παρατηρητή που πέφτει να

επιβραδύνει διαρκώς καθώς πλησιάζει τον ορίζοντα και χρειάζεται άπειρο

χρόνο (μετρημένο από τον παρατηρητή στο άπειρο) να φθάσει στον ορίζοντα.

Ακόμα καθώς ο παρατηρητής που πέφτει πλησιάζει τον ορίζοντα το φως που

εκπέμπει υφίσταται όλο και μεγαλύτερη ερυθρή μετατόπιση.

• Η ακτίνα μια μαύρης τρύπας είναι ανάλογη με την μάζα της. Άρα η

πυκνότητά της μειώνεται καθώς αυξάνει η μάζα της.

• Υπάρχουν διαφορετικές γνωστές λύσεις για περιστρεφόμενες και φορτισμένες

μαύρες τρύπες.

• Σύμφωνα με την υπόθεση της κοσμικής λογοκρισίας (cosmic censorship

conjecture) που δεν έχει όμως αποδειχθεί, όλες οι μοναδικότητες (απειρισμοί

της καμπυλότητας) είναι κρυμμένες πίσω από ορίζοντες γεγονότων και

επομένως δεν μπορούν να επικοινωνήσουν με παρατηρητές που βρίσκονται

έξω από τον ορίζοντα.

• Υπάρχουν πολλές ενδείξεις για την ύπαρξη μαύρων τρυπών σε αστροφυσικά

παρατηρησιακά δεδομένα και σε θεωρητικά μοντέλλα εξέλιξης συστημάτων.

Για παράδειγμα, το τελευταίο στάδιο της ζωής άστρων με μεγάλη μάζα

προβλέπεται θεωρητικά ότι είναι μια μαύρη τρύπα. Ακόμα, υπάρχουν

91


παρατηρησιακές ενδείξεις για την ύπαρξη μεγάλων μαύρων τρυπών στα

κέντρα γαλαξιών από τις οποίες εκπέμπονται ακτίνες Χ με μεγάλη ισχύ λόγω

της επιταχυνόμενης πτώσης φορτισμένων σωματίων μέσα στις μαύρες τρύπες.

• Ο Hawking έδειξε το 1975 ότι παρόλο που δεν μπορεί να δραπετεύσει ύλη

από το εσωτερικό μια μαύρης τρύπας, σύμφωνα με την καβαντομηχανική οι

μαύρες τρύπες ακτινοβολούν ενέργεια και μπορούν ακόμα και να εξαυλωθούν

πλήρως. Η ακτινοβολία τους έχει το φάσμα μέλανος σώματος με

χαρακτηριστική θερμοκρασία δηλ. οι μικρές μαύρες τρύπες είναι και

οι θερμότερες που εξαυλώνονται γρηγορότερα.

92


12. Κοσμολογία 12.1 Κοσμολογική Αρχή

Θα τελειώσουμε με ένα παράδειγμα χωρόχρονου όπου περιέχεται ύλη αλλά η λύση

είναι απλή λόγω ύπαρξης μεγάλης συμμετρίας. Η βασική μας υπόθεση θα είναι η

τέλεια Κοσμολογική Αρχή σύμφωνα με την οποία όλοι οι παρατηρητές στο Σύμπαν

είναι ισοδύναμοι. Επομένως, η περιγραφή του Σύμπαντος δεν θα πρέπει να εξαρτάται

από την θέση από την οποία γίνεται και συνεπώς το Σύμπαν θεωρείται ομογενές και

ισοτροπικό. Ας δούμε λοιπόν ποια κατηγορία μετρικών είναι συμβατή με τις

παραπάνω συμμετρίες.

12.2 Χώροι με σταθερή καμπυλότητα

Λόγω ισοτροπίας μπορούμε να ένα σύστημα σφαιρικών συν/νων για τον χώρο μας. Ο

γενικός ισοτροπικός τρισδιάστατος χώρος έχει μετρική

(12.1)

όπου είναι η στοιχειώδης απόσταση στο χωρικό μέρος της μετρικής. Ήδη έχουμε

υπολογίσει τα στοιχεία του τανυστή Riemann για την μετρική αυτή στα πλαίσια της

μελέτης της μετρικής Schwarzchild (σχέση (11.1)) με την διαφορά ότι τώρα έχουμε

μόνο χωρικό μέρος και έτσι θα πρέπει να θέσουμε ( ) 0B r = . Έτσι παίρνουμε

(12.2)

Από την υπόθεση της ομοιογένειας προκύπτει ότι η καμπυλότητα είναι η ίδια σε όλες

τις διευθύνσεις. Επομένως θα είναι ίσες και οι χωρικές συνιστώσες του τανυστή

Riemann, έστω ίσες με μια σταθερά k. Άρα από τις σχέσεις (12.2) παίρνουμε

(12.3)

Που επαληθεύεται από 1A = και από

(12.4)

Επομένως το χωρικό μέρος της ζητούμενη μετρική είναι της μορφής

(12.5)

που είναι η πιο γενική χωρική μετρική με σταθερή καμπυλότητα.

93


Για την λεπτομερέστερη κατανοήση αυτής της μετρικής θα δούμε ότι χρειάζεται να

αλλάξουμε σύστημα συν/νων .

0k = : Στην περίπτωση αυτή παίρνουμε τον συνιθισμένο επίπεδο χώρο σε σφαιρικές

συν/νες.

0k > : Στην περίπτωση αυτή έχουμε έναν απειρισμό για αλλά οφείλεται

στην επιλογή των συν/νων (μοναδικότητα συν/νων). Για να την απαλείψουμε

εισάγουμε νέα συν/νη χ που ορίζεται από την σχέση . Τότε η μετρική

γίνεται

(12.6)

που είναι η μετρική μιας 3-σφαίρας (σφαιρική ‘επιφάνεια’ που δεν είναι δυσδιάστατη

αλλά τρισδιάστατη) ακτίνας .

0k > : Η περίπτωση αυτή είναι πιο δύσκολη να γίνει κατανοητή παραστατικά.

Θέτοντας όμως δεν προκύπτει σφαιρικός αλλά υπερβολικός χώρος.

Σε κάθε περίπτωση η σταθερά k μετρά την καμπυλότητα του χώρου. Μπορούμε να

ορίσουμε μια νέα ακτινική συν/νη έτσι ώστε το k να παίρνει μόνο τις

τιμές -1, 0, +1.


Η εξίσωση μιας 3-σφαίρας που είναι εμβαπτισμένη σε 4-διαστατο Ευκλείδειο χώρο

είναι όπου . Μετασχηματίστε σε 4-διάστατες σφαιρικές

σύν/νες που ορίζονται από τις σχέσεις

(12.7)

και δείξτε ότι η στοιχειώδης απόσταση σε ‘επιφάνεια’ σταθερού ρ είναι

(12.8)

Λύση

Παρατηρείστε ότι οι μοιάζουν με συνήθεις σφαιρικές σύν/νες σε τρεις

διαστάσεις με . Επομένως

94


Ακόμα έχουμε

και

Επομένως

(12.9)

που για σταθερό ρ γίνεται

(12.10)

12.3 Η μετρική Robertson-Walker

Τώρα που έχουμε το χωρικό μέρος της μετρικής που αντιστοιχεί σε σταθερή

καμπυλότητα μπορούμε να το ενσωματώσουμε στον χωρόχρονο. Αν δεν θέλουμε να

καταστρέψουμε την ομοιογένεια και την ισοτροπία, η μόνη επιπλέον εξάρτηση που

μπορούμε να εισάγουμε είναι χρονική εξάρτηση μέσω ενός παράγοντα διαστολής

a(t). Μέσω του παράγοντα αυτού ο χώρος μπορεί να διαστέλεται ή να συστέλλεται με

τον χρόνο. Έτσι οδηγούμαστε στην μετρική Robertson-Walker

(12.11)

Αν και θα μπορούσε να υπάρχει μια επιπλέον συνάρτηση του χρόνου πχ πριν

από το , μια τέτοια συνάρτηση μπορεί να απορροφηθεί με επαναορισμό της

χρονικής συν/νης ως

( )2b t

2dt

και έτσι δεν την χρησιμοποιούμε.

Η μετρική (12.1) ανακαλύφθηκε για πρώτη φορά από τον Robertson και ανεξάρτητα

από τον Walker κατά την δεκαετία του 1930. Η συνάρτηση a(t) είναι γνωστή σαν

παράγοντας διαστολής του Σύμπαντος και μετρά το μέγεθος των χωρικών συν/νων σαν

συνάρτηση με τον χρόνο.

12.4 Ύλη

Στα πλαίσια της ομοιογένειας και ισοτροπίας, το περιεχόμενο του Σύμπαντος μπορεί

να περιγραφεί σαν ιδανικό ρευστό με εξάρτηση μόνο από τον χρόνο

(12.12)

όπου ρ είναι η πυκνότητα και p η πίεση.

12.5 Οι εξισώσεις Einstein

95


Θα βρούμε τις εξισώσεις Einstein για την μετρική Robertson-Walker με στόχο την

εύρεση της χρονικής εξάρτησης του παράγοντα διαστολής. Αρχίζουμε με τα σύμβολα

Christoffel . Συμβολίζουμε τις χρονικές παραγώγους με τελείες. Υπάρχουν 13 μη

μηδενικοί όροι. Μερικοί από αυτούς είναι

Από αυτούς μπορούμε να βρούμε τον τανυστή Ricci πιο εύκολα με τον ένα δείκτη

πάνω ως εξής

(12.13)

καθώς και το βαθμωτό Ricci

(12.14)

Επομένως, η t-t συνιστώσα των εξισώσεων Einstein

(12.15)

δίνει

(12.16)

Η εξίσωση αυτή είναι γνωστή ως Εξίσωση Friedmann.

H r-r συνιστώσα των εξισώσεων Einstein δίνει μια δεύτερη εξίσωση. Είναι όμως

ευκολότερο να χρησιμοποιήσουμε την διατήρηση του τανυστή ενέργειας και ορμής

που σε ανάπτυγμα γράφεται

. (12.17)

Χρησιμοποιώντας τις τιμές των συμβόλων Christoffel παίρνουμε

(12.18)

ή ισοδύναμα

Αυτή η εξίσωση είναι γνωστή σαν Εξίσωση Ρευστού.

Κάνοντας διάφορες υποθέσεις για την σχέση μεταξύ πίεσης και πυκνότητας ενέργειας

(εξίσωση κατάστασης του ρευστού), οι εξισώσεις αυτές μπορούν να λυθούν δίνοντας

την χρονική εξάρτηση του a(t). Η περίπτωση της ύπαρξης κοσμολογικής σταθεράς

96


μπορεί να μελετηθεί σαν μια ειδική περίπτωση ( ( )tρ σταθ= δίνει μέσω της

εξίσωσης ρευστού 2p cρ= − ).

Βιβλιογραφία

1. Γενική σχετικότητα, Martin, J. L. (2005), Πανεπιστημιακές Εκδόσεις

Κρήτης Κατανοητό βιβλίο για προπτυχιακούς φοιτητές. Αρκετά πλήρες.

2. Γενική σχετικότητα, Schutz, Bernard F. (1997), Εκδ. Τραυλός Πολύ χρήσιμο εισαγωγικό βιβλίο για προπτυχιακούς φοιτητές.

3. Εισαγωγή στην ειδική σχετικότητα, Rindler W. (2001), Leader Books Εισαγωγικό βιβλίο για προπτυχιακούς φοιτητές με μεγάλη συλλογή προβλημάτων.

4. Ειδική θεωρία της σχετικότητας, Κρέτζας, Δ. (2003), Εκδ. Ζήτη 5. Γενική θεωρία της σχετικότητας, Κρέτζας, Δ. (2005), Εκδ. Ζήτη

Απλό και καλογραμμένο. 6. Ο Αϊνστάιν και η σχετικότητα, Αραμπατζής, Θ. (2005) ,

Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης Εκλαϊκευμένο ενδιαφέρον βιβλίο με έμφαση σε ιστορικές πρεοεκτάσεις.

7. Η ειδική θεωρία της σχετικότητας, Einstein A., (1998) , Εκδ. Τροχαλία Κλασσικό και απλό βιβλίο χρήσιμο και από ιστορικής άποψης

8. Σύγχρονη Φυσική, SERWAY (2004), Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης Πολύ χρήσιμο για την κατανόηση των μετσχηματισμών Lorentz

9. Εισαγωγή στην ηλεκτροδυναμική, Griffiths D. (2005), Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης Καλύπτει τις εξισώσεις Maxwell με πολύ κατανοητό τρόπο

10. Είχε δίκιο ο Einstein; Will C. (1995), Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης Εκλαϊκευμένο ενδιαφέρον βιβλίο.

11. Τα πρώτα τρία λεπτά, Weinberg S., (2005) Κλασσικό εκλαϊκευμένο βιβλίο σε θέματα κοσμολογίας.

12. General Relativity: An Introduction to the Theory of the Gravitational Field, 2nd ed., Stephani H., (1990), Cambridge University Press Χρήσιμο εισαγωγικό βιβλίο στα Αγγλικά

13. Gravitation, Misner, Thorne, Wheeler, (1973), Εκδ. W. H. Freeman & Company. Βιβλίο αναφοράς, ογκόδες πλήρες, όχι πολύ ευανάγνωστο.

14. Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, Weinberg S. (1972). Εκδ. John Wiley & Sons, 1972. Πολύ χρήσιμο, πλήρες, κλασσικό, κατανοητό βιβλίο μεταπτυχιακού επιπέδου.

97


98

15. Problem book in Relativity and Gravitation, Lightman A., Price R. (1975), Princeton University Press Συλλογή λυμένων προβλημάτων Γενικής Σχετικότητας

Χρήσιμοι Σύνδεσμοι 1. http://en.wikipedia.org/wiki/General_relativity :

Ενδιαφέρον εισαγωγικό άρθρο από την Wikipedia

2. http://www.math.ucr.edu/home/baez/physics/Administrivia/rel_booklis

t.html#intro_sr

Χρήσιμη συλλογή βιβλίων σχετικότητας

3. http://www.astro.ucla.edu/~wright/relatvty.htm

Χρήσιμες σημειώσεις για Χωροχρονικά Διαγράμματα

4. http://archive.ncsa.uiuc.edu/Cyberia/NumRel/NumRelHome.html

Ενδιαφέρον απλό υπερκείμενο – απλή εισαγωγή στην σχετικότητα

5. http://www-history.mcs.stand.ac.uk/HistTopics/General_relativity.html

Ενδιαφέρουσα ιστορική αναδρομή

6. http://casa.colorado.edu/~ajsh/sr/sr.shtml

Ενδιαφέρον υπερκείμενο εισαγωγής στην ειδική σχετικότητα.

7. http://www.mth.uct.ac.za/omei/gr/index.html

Ενδιαφέρον πλήρες μάθημα για την σχετικότητα (ειδική και γενική) σε

μορφή υπερκειμένου.

8. http://www.marxists.org/reference/archive/einstein/works/1910s/relativ

e/index.htm

Ιστορικά ενδιαφέρουσες σημειώσεις του Einstein

http://en.wikipedia.org/wiki/General_relativity

http://www.math.ucr.edu/home/baez/physics/Administrivia/rel_booklist.html#intro_sr

http://www.math.ucr.edu/home/baez/physics/Administrivia/rel_booklist.html#intro_sr

http://www.astro.ucla.edu/%7Ewright/relatvty.htm

http://archive.ncsa.uiuc.edu/Cyberia/NumRel/NumRelHome.html

http://www-history.mcs.stand.ac.uk/HistTopics/General_relativity.html

http://casa.colorado.edu/%7Eajsh/sr/sr.shtml

http://www.mth.uct.ac.za/omei/gr/index.html

http://www.marxists.org/reference/archive/einstein/works/1910s/relative/index.htm

http://www.marxists.org/reference/archive/einstein/works/1910s/relative/index.htm

Relativity

Documents

Transcript of Relativity