1

Proses Stokastik

Semester Ganjil 2011

Sebaran yang Berhubungan dengan Proses Poisson: Interarrival and waiting times

t

X(t)

S1S0 S2 S3

W1 W2 W3 W4

1

2

3

4

W0

X(t): Jumlah kedatangan sampai dengan waktu t, dengan laju λ

!

Prx

etxtXtx

Wn, n =0, 1, …: Waktu tunggu sampai dengan kedatangan ke nSn, n =0, 1, …: Waktu antar kedatangan (interarrival times), atau sojourn time

1

0

n

iin SW

Waktu antar Kedatangan (Interarrival Times): Sojourn times

Waktu antar kedatangan S0, S1, … adalah peubah acak exponential yang saling bebas dengan rata-rata 1/ (i.i.d):

tt

eettXtS

!0

0PrPr0

0

Jika tidak terdapat kedatangan sampai dengan waktu t berarti bahwa:Waktu tunggu (waiting time) dari kedatangan pertama (W1) atau sistem sojourn pada state 0 (S0) lebih dari t

tetS 1Pr 0Funsi Sebaran Kumulatif (cdf) dari sebaran exponential dengan rata-rata (mean) 1/λ

0, sesf sS

Waktu Tunggu (Waiting Time)

Waktu tunggu adalah jumlah dari n waktu antar kedatangan (interarrival/sojourn times).

Waktu antar kedatangan (interarrival times) menyebar secara exponential

1

0

n

iin SW

Dengan pendekatan fungsi pembangkit moment:

111

teEtM ts

S Fungsi pembangkit moment dari sojourn times, S

tMtMtMnSSW 10

Fungsi pembangkit moment dari waiting time, W

n

nSW ttMtM

111

Dengan sifat i.i.d. dari sojourn times

n

W ttM

11

Yang merupakan fungsi pembangkit momen dari sebaran Gamma (n, λ), dengan fungsi: 0,1

wew

nwf wn

W

Ringkasan Jika jumlah kedatangan sampai dengan waktu t, X(t) adalah

proses Poisson dengan laju λ Maka waktu antar kedatangan (interarrival times), S akan

menyebar secara exponential dengan rata-rata (mean) 1/ λ Dan waktu tunggu sampai dengan kedatangan ke n, W

mempunyai sebaran gamma dengan parameter (n, λ)

!

Prx

etxtXtx

0, tetf tS

0,1

tetn

tf tnW

Contoh Suatu sumber radioaktif memancarkan partikel mengikuti

proses Poisson dengan laju λ=2 partikel per menit. Berapa peluang bahwa partikel pertama akan muncul

setelah tiga menit? 3Pr 1 W 3Pr 0 S 03Pr X

3Pr13Pr 00 SS 311 e

6e

!0303Pr

30

eX

6e

Berapa peluang bahwa partikel pertama muncul setelah menit ke-3 menit akan tetapi sebelum menit ke-5?

53Pr 1 W 53Pr 0 S 03 and 15Pr XX

3Pr5Pr53Pr 000 SSS 35 11 ee 53 ee

106 ee

Proses Poisson dan Sebaran BinomialTeorema Diberikan X(t) suatu proses Poisson dengan laju λ>0,

maka untuk 0<u<t dan 0 ≤ k ≤n

knk

tu

tu

knknntXkuX

1

!!!Pr

Bukti:

ntXntXkuXntXkuX

Pr

,PrPr

ntX

knuXtXkuX

Pr,Pr

ntX

knuXtXkuX

PrPrPr

ntX

knuXtXkuXntXkuX

PrPrPrPr

!

Prk

eukuXuk

!Prkn

eutknutXutkn

!

Prn

etntXtn

!/

!/!/Prnet

kneutkeuntXkuXtn

utknuk

!/

!/!/Prnet

kneutkeuntXkuXtn

utknuk

nknk

t

utu

tutu

knkn

eeentXkuX

!!

!Pr

nknk

tutu

knknntXkuX

!!!Pr

n

knk

n

knk

n

knk

tutu

tutu

n

knk

tutu

n

knk

tutu

knk

knknk

k

tut

tuut

ttu

nknk

tutu

knknntXkuX

!!!Pr

knk

tut

tu

knkn

!!!

knk

tu

tu

knkn

1

!!!

Contoh:

Jika 6 pelanggan datang pada setelah 3 jam fasilitas dibuka, berapa peluang bahwa terdapat 2 pelanggan datang selama jam pertama fasilitas tersebut dibuka?

X(t): jumlah kedatangan pelanggan ke suatu fasilitas umum

Adalah proses Poisson dengan laju =2 pelanggan/jam

6)3(|2)1( XXP

0<1<3 and 0 ≤2≤6

nktuntXkuX 0,0,Pr

knk

tu

tu

knknntXkuX

1

!!!Pr

42

32

31

!4!2!66)3(|2)1(

XXP

42

32

31

!4!2!66)3(|2)1(

XXP 329.0

Definisi Proses Kelahiran dan Kematian(Birth and Death Process)Adalah proses Markov untuk waktu kontinyu X(t)

dengan: State space yang bersifat diskrit Kemungkinan state: i = 0, 1, 2, ... sedemikian

sehingga Transisi state hanya mungkin terjadi antara state

yang bertentangga , i→ i+1 or i→ i-1 Transisi tersebut terjadi pada selang waktu

tertentu dari t sampai dengan (t+∆t)

Birth and Death ProcessDigunakan untuk memodelkan Proses reproduksi organisme Penyebaran penyakit menular Sistem antrian

Laju transisi:

selainnya 0

1 ketika 1 ketika

, ijij

q i

i

ji

Ketika sistem berada pada state i

Peluang kelahiran pada selang waktu ∆t adalah λi∆t

Peluang kematian pada selang waktu ∆t adalah μi∆t

Peluang Equilibrium Probability dari Birth and Death Process Adalah peluang dari proses berada di state i, tanpa

tergantung waktu Pada saat equilibrium total aliran peluang (net flow) adalah 0

State 0 dapat dijangkau dari state 1 dengan peluang π1 dan laju μ1

State 0 dengan peluang π0 dapat berubah menjadi state 1 dengan laju λ0

Secara umum: State k dapat dijangkau dari k+1 dengan peluang πk+1 dan

laju μk+1

State k dengan peluang πk dapat berubah menjadi state k+1 dengan laju λk

Hubungan berikut mendefinisikan net flow balance:

,2,1,0 ,11 kkkkk

kk

kk

11

01

01 ,0

k 0

1

0

2

11

2

12 ,1

k

Dst secara rekursif: 0

1

0 10

1

01

k

i i

i

k

kk

Dengan batasan sedemikian sehingga fungsi peluang dapat terdefinisi dengan baik:

1k

k

1

0 1k

k

π0 menentukan syarat di atas

1

1

0 101

k

k

i i

i

11

1

0 100

k

k

i i

i

11

1

1

0 10

k

k

i i

i

1

1

0 1

0

1

1

k

k

i i

i

111

1

0 10

k

k

i i

i

Contoh: Proses kelahiran dan kematian berawal dari X(0)=0 dan

0, 1, 2, 3 adalah kemungkinan state , dengan parameter kelahiran dan kematian

2,3,1 210 1,3,2 321

Berapa peluang bahwa pada kondisi equilibrium proses akan berada pada state 0?

1

1

0 1

0

1

1

k

k

i i

i

3

1

1

0 1

0

1

1

k

k

i i

i

321

210

21

10

1

00

1

1

Berapa peluang bahwa pada kondisi equilibrium proses akan berada pada state1?

2,3,1 210 1,3,2 321

321

210

21

10

1

00

1

1

31

66

63

211

10

0

1

0 1

k

i i

ik 0

1

01

61

31

21