1

Leonardo Štrac, dipl. ing. Končar energetski transformatori d.o.o.

PRORAČUN NAPONA KRATKOG SPOJA TRANSFORMATORA METODOM KONAČNIH ELEMENATA

SAŽETAK Sa sveprisutnom težnjom za skraćivanjem vremena projektiranja i izrade transformatora i

smanjivanja njegovih dimenzija, sve je veća potreba za modeliranjem i simuliranjem transformatora pomoću računala. U ovom članku opisana je metodologija proračuna napona kratkog spoja energetskih transformatora te metoda konačnih elemenata. Za proračun je korišten programski paket Ansoft Maxwell. Uspoređen je 2D i 3D model s rezultatima mjerenja za transformator 200MVA. Na osnovu usporedbe dana je preporuka za modeliranje.

Ključne riječi: energetski transformator, napon kratkog spoja, metoda konačnih elemenata

FINITE ELEMENT CALCULATION OF SHORT-CIRCUIT VOLTAGE

ABSTRACT In production of power transformers, there is an increased tendency of cutting down projecting

and manufacturing time as well as shrinking transformers dimensions. This process is increasing the need for computer modeling and simulation of transformers. Article describes methods for short-circuit voltage calculation and the finite element method. Calculations and finite method analysis are made with software package Ansoft Maxwell. 2D and 3D models of 200MVA transformer are compared with the experimental results and based on those conclusions it is given a recommendation for modeling.

Key words: power transformer, short-circuit voltage, finite element method

1. UVOD Na tržištu energetskih transformatora konkurencija je sve veća. Zahtjev za smanjenjem vremena

izrade transformatora stalno je prisutan. Težnja za profitom, konkurencija i standardi stalno smanjuju dimenzije transformatora, no pri tome ostaje zahtjev za kvalitetom i ugovorenim tehničkim karakteristikama transformatora. S obzirom na karakter proizvodnje energetskih transformatora – komadna proizvodnja po narudžbi i cijenu proizvoda – red veličine 1 000 000 €, nemoguće je napraviti prototip koji bi služio za ispitivanje, provjeru projektantskih jednadžbi i rješenja. Iz tog je razloga nužno modeliranje transformatora pomoću računala i simuliranje pojava.

Napon kratkog spoja važna je tehnička karakteristika transformatora. U pravilu, kupac ga točno definira s obzirom na karakteristike svoje energetske mreže ili pak transformatora koji će raditi u

2

paralelnom radu. Ugovorom su često propisane tolerancije i novčani penali u slučaju odstupanja od ugovorenih vrijednosti. Sve je to samo razlog više za provjeru projektnih rješenja na računalnom modelu.

Končar energetski transformatori od 2001. godine posjeduje simulacijski paket Ansoft Maxwell kojim se mogu analizirati magnetostatski, elektrostatski, tranzijentni i termički problemi, utjecaj vrtložnih struja, izmjeničnog elektromagnetskog polja i dr. u 2-D i 3-D modelima.

2. NAPON KRATKOG SPOJA Napon kratkog spoja je onaj napon koji će uz kratko spojeni sekundarni namot kroz primarni

namot potjerati nazivnu struju. Najčešće se izražava kao postotak nazivnog napona:

n k n kk% 2

n n

I Z S Zu 100 100U U⋅ ⋅

= ⋅ = ⋅ , (1)

gdje su Zk impedancija kratkog spoja, a Sn, In, i Un nazivne vrijednosti snage, struje i napona. Nadalje, djelatna i jalova komponenta napona kratkog spoja računaju se prema jednadžbama:

n kr%

n

I Ru 100U⋅

= ⋅ (2)

n k%

n

I Xu 100Uσ

⋅= ⋅ , (3)

gdje su Rk i Xk radna i jalova komponenta impedancije kratkog spoja, In nazivna struja. U pokusu kratkog spoja u kojem se uk% određuje, narinuti napon je puno manji od nazivnog, pa

su i gubici u jezgri puno manji, te se kod ovog pokusa zanemaruju. Amperzavoji primarnog i sekundarnog namota su približno jednaki i suprotni te je gotovo sav tok u transformatoru rasipni. Napon kratkog spoja i rasipni induktivitet vezani su jednadžbom:

2

2 2nk% r%

n

UL u u100 Sσ = ⋅ −

⋅ω ⋅, (4)

gdje su Uk% i Ur% napon kratkog spoja i njegova radna komponenta, a Un i Sn nazivni napon i

snaga. Rasipni induktivitet može se izračunati iz energije rasipnog magnetskog toka Wσ što je osobito

pogodno za računanje metodom konačnih elemenata:

21W L I2σ σ= ⋅ ⋅ (5)

2

WL 2

Iσ

σ = ⋅ (6)

V

1W B H dV2σ σ σ= ⋅ ⋅∫ , (7)

gdje je Lσ rasipni induktivitet, Bσ i Hσ indukcija i jakost rasipnog magnetskog polja, a I struja

namota.

3

3. METODA KONAČNIH ELEMENATA

3.1. Općenito

Rješavanje elektromagnetskih problema metodom konačnih elemenata uključuje nekoliko osnovnih koraka. Prvi korak je crtanje modela koji dimenzijama odgovara fizičkom modelu. Model može biti prikazan u 2D kartezijevom sustavu, u rotacijsko simetričnom odnosno cilindričnom sustavu ili u 3D kartezijevom sustavu.

Drugi korak je definiranje materijala za svaki dio modela. Materijali se definiraju isključivo kroz svoje električne i magnetske karakteristike (vodljivost, permeabilnost i sl.) jer njihova mehanička i druga svojstva nemaju utjecaja na raspodjelu elektromagnetskog polja u prostoru.

Sljedeći korak je definiranje izvora električnih i magnetskih polja: električni potencijali, naboj, struje ili pak eksplicitno navedeni izvori polja.

Sada je moguće pristupiti rješavanju problema. Da bi se prikazalo električno ili magnetsko polje u raznim područjima modela, model je podijeljen na velik broj manjih elemenata – trokuta u 2D modelu, odnosno tetraedara u 3D modelu. Polje u svakom elementu predstavljeno je zasebnim polinomom. Skup svih trokuta ili tetraedara predstavlja mrežu konačnih elemenata.

3.2. Ansoft Maxwell Ansoft Maxwell je program za rješavanje elektromagnetskog polja metodom konačnih elemenata.

U programu je moguće modelirati 2D i 3D modele te rješavati probleme s vremenski promjenjivim magnetskim poljem te elektrostatske i magnetostatske probleme.

Maxwell koristi iterativnu metodu stvaranja mreže usitnjavajući mrežu na mjestima s najvećom greškom. Tako se izbjegava zagušenje kapaciteta računala, a opet osigurava ciljana točnost rješenja. Točnost izračunatog polja ovisi o veličini pojedinih elemenata, a točnost cjelokupnog rješenja ovisi o točnosti polja u svakom pojedinom elementu. Što je veličina elementa manja, to je polje ujednačenije unutar njegovih granica. Međutim, generiranja rješenja polja uključuje invertiranje matrice sa približno onoliko elemenata koliko ima vrhova tetraedara (trokuta) što za mreže s velikim brojem elemenata zahtijeva znatnu količinu memorije i procesne snage.

3.3. Magnetostatski problem Rješavanje magnetostatskog problema odvija se u dva koraka. U prvom se računa gustoća struje J u vodičima prema zadanim izvorima istosmjerne struje. Ako

je gustoća struje J eksplicitno zadana, ovaj korak se preskače. Na objektima koji su definirani kao savršeni vodiči računaju se površinske struje jer polje u takve objekte ne prodire. S obzirom da u statičnom polju nema gibanja naboja, vrijedi jednadžba (8). Kada se u (8) uvrsti (9), dobije se jednadžba (10) koja se rješava u prvom koraku rješavanja magnetostatskog problema.

div J 0t

∂ ρ= =∂

(8)

J E grad= σ ⋅ = −σ ⋅ ϕ (9) div ( grad ) 0σ ⋅ ϕ = , (10)

gdje je J gustoća struje, ρ gustoća naboja, σ specifična vodljivost, a ϕ električni potencijal. U drugom koraku računa se statično magnetsko polje H s gustoćom struje kao izvorom polja

prema jednadžbama:

4

rot H J= (11)

div B 0= (12)

0 rB H= µ µ , (13) gdje je H jakost magnetskog polja, J gustoća struje, B magnetska indukcija, a 0µ i rµ

permeabilnost vakuuma i relativna permeabilnost. Energija magnetskog polja računa se u linearnim materijalima prema (14).

L

V

1W B H dV2

= ⋅ ⋅∫ (14)

gdje je H jakost magnetskog polja, a B magnetska indukcija.

4. 2D MODEL TRANSFORMATORA ZA PRORAČUN NAPONA KRATKOG SPOJA Modelirani autotransformator snage je 200MVA i ima pet namota: visokonaponski (VN) nisko-

naponski (SN), tercijar koji nije opteretiv već služi za stabilizaciju (NN) te dva regulacijska (FRA i FRB) čiji se zavoji dodaju ili oduzimaju visokonaponskom namotu radi promjene napona visokonaponske mreže. Simulirano je šest radnih položaja: protjecane su kombinacije namota SN-VN, NN-VN, NN-VN±FRA/B i SN-VN±FRA/B. Zavoji regulacijskih namota dodaju se zavojima visokonaponskog kada je visokonaponska mreža na višem naponu od nazivnog – plus položaj, a oduzimaju kada je visoko-naponska mreža na naponu nižem od nazivnog – minus položaj regulacije.

Rješenja elektromagnetskih polja 2D modela dobivena su u osam koraka adaptivnog usitnjavanja mreže i imaju približno 42 000 trokuta.

Slika 1: crtež 2D modela u cilindričnom koordinatnom sustavu s ucrtanim pomoćnim linijama 1–5

NN SN VN

FRA

FRB

z

r

JEZGRA

linija 1

linija 2

linija 3

linija 4

linija 5

5

Tablica I: protjecanja namota za 200MVA (protjecanje NN za 24MVA)

efektivno protjecanje [Az]

kombinacija NN SN VN FRA FRB VN(-)/NN -37333 15017 28825 -3905 -2604 VN(+)/NN -37333 11134 21373 2896 1930 VN(0)/NN -37333 12788 24545 0 0 VN(-)/SN 0 -186288 240622 -32600 -21734 VN(+)/SN 0 -218044 177878 24100 16066 VN(0)/SN 0 -204544 204544 0 0

Nakon dobivanja konvergentnih rješenja, za svaku kombinaciju protjecanja izračunata je ukupna

energija u prostoru problema prema jednadžbi 15. Za rješavanje takvih problema koristi se Maxwellov field calculator u postprocesoru.

uk

r z

W Wdrdz= ∫∫ , (15)

gdje je W energija u prostoru. Kad je poznata ukupna energija u prostoru, napon kratkog spoja lako se izračuna prema

jednadžbi:

uk uk ukk%

f f f f f

2 W 2 f 2 W 200 WuI U I U S

ω⋅ ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ π ⋅= = =

⋅ ⋅, (16)

gdje su Sf, Uf i If fazna snaga, napon i struja, Wuk ukupna energija u prostoru, f frekvencija, a ω

kružna frekvencija.

Tablica II: snaga, energija u prostoru i napon kratkog spoja za različite kombinacije protjecanja

S [MVA] Wuk [J] uk [%]

VN(-)/NN 24 375,89 2,95 VN(+)/NN 24 468,68 3,68 VN(0)/NN 24 410,26 3,22 VN(-)/SN 200 10966,75 10,34 VN(+)/SN 200 16606,21 15,65 VN(0)/SN 200 12900,47 12,16

6

Slika 2: z komponenta indukcije Bz[T] za kombinacija protjecanja SN-VN–

Slika 3: magnetski tok Φ[Wb] za kombinacija protjecanja SN-VN–

7

5. 3D MODEL TRANSFORMATORA ZA PRORAČUN NAPONA KRATKOG SPOJA 3D model transformatora razlikuje se od 2D rotacijsko-simetričnog modela u izgledu jarma, dok

su namoti i stup jezgre jednaki. Model je prepolovljen tri puta po tri ravnine simetrije tako da je proračun napravljen s osminom cijelog modela. Crtež nacrta, bokocrta i nebocrta prikazana je na slici 8. Protjecanja namota dana su u tablici I.

Rješenja elektromagnetskog polja 3D modela dobivena su u šesnaest koraka adaptivnog usitnjavanja mreže, a imaju približno 180 000 tetraedara.

Slika 4: crtež 3D modela s ucrtanim pomoćnim linijama

Za svaku kombinaciju protjecanja izračunata je u postprocesoru ukupna energija prostora

(jednadžba 17) te je napon kratkog spoja izračunat prema jednadžbi 17. Izračunate vrijednosti prikazane su u tablici III.

uk

dx dy dz

W Wdxdydz= ∫∫∫ , (17)

gdje je W energija u prostoru.

Tablica III: snaga, energija u prostoru i napon kratkog spoja za različite kombinacije protjecanja

S [MVA] Wuk [J] uk [%]

VN(-)/NN 24 366,00 2,87 VN(+)/NN 24 449,42 3,53 VN(0)/NN 24 397,16 3,12 VN(-)/SN 200 10621,13 10,01 VN(+)/SN 200 15788,80 14,88 VN(0)/SN 200 12434,90 11,72

8

Slika 5: z komponenta indukcije B[T] za kombinaciju protjecanja SN-VN0

Slika 6: indukcija B[T] za kombinaciju protjecanja SN-VN0

9

6. USPOREDBA REZULTATA 2D I 3D MODELA S MJERENJIMA Tablica IV pokazuje da 3D model daje točnije rezultate nego 2D. Srednje odstupanje simuliranih

od mjerenih vrijednosti kod 2D modela je: |p|=4,33%, dok je kod 3D modela |p|=1,43%. Ti podaci govore da je 3D proračun pouzdaniji i ima manje rasipanje rezultata. Još je važnije pogledati apsolutna odstupanja koja kod 2D proračuna mogu prelaziti i 1%.

Tablica IV: usporedba rezultata simulacije 2D i 3D modela s mjerenjima

S [MVA] uk [%] - 2D uk [%] - 3D uk [%] - mjereno (mj-2D)/mj [%] (mj-3D)/mj [%]

VN(-)/NN 24 2,95 2,87 2,92 -1,03 1,71 VN(+)/NN 24 3,68 3,53 3,54 -3,95 0,28 VN(0)/NN 24 3,22 3,12 3,14 -2,55 0,64 VN(-)/SN 200 10,34 10,01 9,70 -6,60 -3,20 VN(+)/SN 200 15,65 14,88 14,53 -7,71 -2,41 VN(0)/SN 200 12,16 11,72 11,68 -4,11 -0,34

7. ZAKLJUČAK Usporedbom rezultata simulacije i mjerenja pokazuju da proračun metodom konačnih elemenata

može dati dovoljno točne rezultate za potrebe projektiranja transformatora. Za primjene s manjom zahtijevanom točnošću svakako je bolje odlučiti se za 2D model. 2D model

je bitno jednostavniji i brži u svim koracima izrade projekta, a rezultati se nalaze u okviru ±10% odstupanja od mjerenih vrijednosti. Pored toga, zahtjev za količinom memorije i procesnom snagom bitno je manji u odnosu na 3D modeliranje.

Kada je potrebna veća točnost proračuna, svakako treba odabrati 3D model koji puno bolje opisuje fizikalni izgled modeliranog objekta, te je stoga i odstupanje od mjerenih vrijednosti gotovo tri puta manje nego kod 2D modela. Srednje postotno odstupanje |p|=1,43% i najveće apsolutno odstupanje 0,35% prihvatljive su vrijednosti, te se 3D model može sa sigurnošću prihvatiti kao projektantski alat.

8. LITERATURA

[1] T. Kelemen: Transformator, Tehnička enciklopedija svezak 13, Zagreb 1997. [2] Ansoft Maxwell 9: Online help, June 2002. [3] Z. Haznadar, Ž. Štih: Elektromagnetizam, Zagreb 1997. [4] H. Wang: Finite Element Analysis of Internal Winding Faults in Distribution Transformers, IEEE transactions on power delivery, vol. 16, no. 3, July 2001.