Project Scheduling Resource-constraint Kantzari Maria

1

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ-ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ

“ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ”

ΚΚΑΑΝΝΤΤΖΖΑΑΡΡΗΗ ΜΜΑΑΡΡΙΙΑΑ

ΜΜΟΟΝΝΤΤΕΕΛΛΑΑ ΓΓΙΙΑΑ ΤΤΟΟΝΝ ΧΧΡΡΟΟΝΝΟΟΠΠΡΡΟΟΓΓΡΡΑΑΜΜΜΜΑΑΤΤΙΙΣΣΜΜΟΟ

ΕΕΡΡΓΓΩΩΝΝ ΜΜΕΕ ΠΠΕΕΡΡΙΙΟΟΡΡΙΙΣΣΜΜΕΕΝΝΟΟΥΥΣΣ ΠΠΟΟΡΡΟΟΥΥΣΣ

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΠΑΤΡΑ 2010

3

Στους γονείς μου

5

ΠΕΡΕΧΟΜΕΝΑ

Σελίδα

ΠΕΡΙΛΗΨΗ 7

ABSTRACT 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΟΥ

1.1 Εισαγωγή 11

1.2 Τι είναι έργο 12

1.3 Διαχείριση έργου 14

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΟΥ

2.1 Διάγραμμα Gantt 17

2.2 Γέννηση των τεχνικών διαχείρισης έργου 19

2.3 Η διαχείριση έργου ως επάγγελμα 20

2.4 Λογισμικά διαχείρισης έργου 21

2.5 Η εργοκεντρική διοίκηση (Management as Project Management) 22

2.6 Διαχείριση έργου με δίκτυα. Οι τεχνικές PERT/CPM 22

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΓΟΥ ΜΕΣΩ ΔΙΚΤΥΩΝ

3.1 Το δίκτυο ενός έργου 25

3.2 Κατασκευή του δικτύου ενός έργου 27

3.3 Ένα πρότυπο παράδειγμα 28

3.4 Κανόνες δικτύου AOA και υλοποίηση του παραδείγματος §3.3 29

3.5 Κανόνες του δικτύου AON και υλοποίηση του παραδείγματος §3.3 33

3.6 Δομική ανάλυση έργου 34

3.7 Παρακολούθηση και έλεγχος του έργου 37

3.8 Ανάθεση ευθυνών 37

6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΧΡΟΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΟΥ

4.1 Τεχνική αποτίμησης και αναθεώρησης προγράμματος (PERT) 39

4.2 Διάρκειες δραστηριοτήτων 40

4.3 Αβεβαιότητα χρονικής διάρκειας δραστηριοτήτων 40

4.4 Αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσης του έργου 47

4.5 Το πρότυπο παράδειγμα της §3.3 49

4.6 Καθορισμός πιθανότητας ολοκλήρωσης του έργου εντός ορισμένου χρόνου 56

4.7 Περίπτωση περισσοτέρων της μίας κρίσιμων διαδρομών 57

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΕΡΓΟΥ

5.1 Μέθοδος της κρίσιμης διαδρομής (CPM) 59

5.2 Παράγοντες βελτιστοποίησης κόστους του έργου 59

5.3 Βελτιστοποίηση κόστους του έργου με τη μέθοδο CPM 62

5.4 Γραμμικός προγραμματισμός μια προσέγγιση για την CPM ανάλυση 77

5.5 Το γραμμικό μοντέλο της συμπίεσης 80

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ MICROSOFT OFFICE PROJECT 2007

6.1 Παράδειγμα Gantt 87

6.2 Προβολή διαγράμματος δικτύου (Network Diagram) 93

6.3 Παρακολούθηση έργου σύμφωνα με το χρονοδιάγραμμά του 94

6.4 Παράδειγμα PERT με το Microsoft Office Project 97

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 104

7

ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Η παρούσα εργασία παρουσιάζει το μαθηματικό υπόβαθρο της διαχείρισης των

έργων. Η πολυπλοκότητα του όλου εγχειρήματος, έχει οδηγήσει στην ανάπτυξη ενός

διακλαδικού κλάδου με βάση την Επιχειρησιακή Έρευνα.

Στο πρώτο κεφάλαιο δίνονται οι αναγκαίοι ορισμοί, ενώ στο δεύτερο καταγράφεται

η ιστορική εξέλιξη της διαχείρισης των έργων. Στο τρίτο κεφάλαιο δίνεται η προσέγγιση

του προβλήματος μέσω της δικτυωτής ανάλυσης. Το τέταρτο κεφάλαιο ασχολείται με

τη μέθοδο PERT, η οποία με τη βοήθεια της Θεωρίας Πιθανοτήτων εκτιμά το χρόνο

περάτωσης του έργου μέσω σταθμισμένων μέσων όρων. Για το σκοπό αυτό γίνεται

σύγκριση διαφόρων υποθέσεων για τις κατανομές των χρόνων περάτωσης των επιμέρους

δραστηριοτήτων. Στη διαχείριση των έργων σημαντικό ρόλο για την επίτευξη των

στόχων παίζει η αποδοτική αξιοποίηση των διαθέσιμων πόρων. Έτσι, στο πέμπτο

κεφάλαιο παρουσιάζεται η μέθοδος της κρίσιμης διαδρομής (CPM) για την εκτίμηση

της βέλτιστης σχέσης χρόνου-κόστος ενός έργου. Το κεφάλαιο ολοκληρώνεται με μία

αναφορά στη χρήση του γραμμικού μοντέλου στη διαχείριση των έργων. Ακολουθεί η

επίλυση ενός υποθετικού αλλά ρεαλιστικού προβλήματος με τη χρήση του λογισμικού

Microsoft Project 2007© παράλληλα με οδηγίες χρήσης του.

9

ABSTRACT

The present work presents the mathematic background of project management. The

complexity of all undertaking, has led to the growth of one of intersectorial branch with

base the Operational Research.

In the first chapter are given the necessary definitions, while in second is recorded

the historical development of project management. In the third chapter is given the

approach of problem via the reticular analysis. The fourth chapter deals with the method

of PERT, which with the help of Theory of Probabilities appreciates per year

finalization of work via parked means. For this aim becomes comparison of various

affairs for the distributions of years of finalization of individual activities. In the project

management important role for the achievement of objectives plays the efficient

exploitation of available resources. Thus, in the fifth chapter is presented the method of

critical path (CPM) for the estimate of most optimal relation of time-cost of project. The

chapter is completed with a report in the use of linear model in the project management.

Follows the resolution of hypothetical but realistic problem with the use of software

Microsoft Project 2007© in step with its directives of use.

11

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΟΥ

1.1 Εισαγωγή

Η ιστορική εξέλιξη του πολιτισμού και της ανθρώπινης κοινωνίας είναι συνυφασμένη

με την υλοποίηση έργων, δηλαδή εγχειρημάτων κατά τα οποία ανθρώπινοι και οικονομική

πόροι οργανώνονται ώστε να παραχθεί συγκεκριμένο μετρήσιμο επωφελές αποτέλεσμα,

τέτοιο ώστε η κατάσταση (της κοινωνικής πραγματικότητας) μετά το πέρας του έργου

να έχει σαφή διαφορά από την κατάσταση κατά την έναρξη του έργου. Ανεξάρτητα από

το είδος του έργου (έργο υποδομής, ερευνητικό έργο, στρατιωτική επιχείρηση, τραπεζικές

διαδικασίες ή οτιδήποτε άλλη επιχειρηματική δραστηριότητα), η μεθοδική οργάνωση

της υλοποίησής του, ο συντονισμός της διαχείρισης του έργου, είναι αναγκαία προϋπόθεση

για την επιτυχία του εγχειρήματος.

Αν και δεν διαθέτουμε επαρκή ιστορική τεκμηρίωση, είναι βέβαιο ότι τα μεγάλα

επιτεύγματα του παρελθόντος προϋπόθεταν υψηλό, για την εποχή τους, επίπεδο

διαχείρισης. Είναι ολοφάνερο ότι οι ογκώδεις και πολύπλοκες κατασκευές, όπως το

Σινικό τείχος, η Ακρόπολη ή οι πυραμίδες της Αιγύπτου, είναι χτισμένες σύμφωνα με

υψηλές προδιαγραφές. Τόσο για την υλοποίηση των παραπάνω κατασκευών όσο και

για την υλοποίηση άλλων επιτευγμάτων, όπως οι στρατιωτικές εκστρατείες του

Μεγάλου Αλεξάνδρου, απαιτήθηκε τεράστιο ανθρώπινο δυναμικό για να ολοκληρωθούν.

Γνωρίζουμε, όμως, σχετικά λίγα για τις διοικητικές τεχνικές που χρησιμοποιήθηκαν

κατά την πραγματοποίησή τους.

Παράλληλα, η ιστορία βρίθει από «αποτυχημένα» εγχειρήματα, όπως η κατασκευή

της διώρυγας σύνδεσης του Νείλου με την ερυθρά θάλασσα, που άρχισε από τον Φαραώ

Σέτι Α΄ και δεν ολοκληρώθηκε ούτε επί του διαδόχου του Νεχώ, αλλά πολύ αργότερα

από του κατακτητές Πέρσες, επί Δαρείου. Δεν γνωρίζουμε πόσοι υπεύθυνοι του έργου

έχασαν το κεφάλι τους τότε, αλλά σήμερα η κατάσταση δεν είναι πολύ ευκολότερη για

τους ομολόγους τους.

Στις μέρες μας, η ραγδαίως μεταβαλλόμενη τεχνολογία, ο σκληρός ανταγωνισμός

στην διεθνή αγορά για διασφάλιση μεριδίου, η στενότητα των διαθέσιμων πόρων, η

12

επιρροή που ασκούν ισχυρές ομάδες πίεσης, η αστάθεια των οικονομικών συνθηκών-

παραμέτρων, έχουν υποχρεώσει τις επιχείρησης να αλλάξουν τα συστήματα διοίκησης

που χρησιμοποιούσαν. Στον αγώνα για επιβίωση που χαρακτηρίζει τη σύγχρονη αγορά,

η επιστημονική διαχείριση έργων φαίνεται να προσφέρει πραγματικές λύσεις στα

προβλήματα που δημιουργούνται. Αν και οι πρώτες σύγχρονες τεχνικές εμφανίστηκαν

στις αρχές του 20ου αιώνα, η επιστήμη της διαχείρισης των έργων αναπτύχθηκε ουσιαστικά

κατά τη διάρκεια του Β΄ Παγκοσμίου πολέμου και μετά.

Η επιστημονική διαχείριση των έργων αντλεί γνώσεις και τεχνικές από πολλά

επιστημονικά πεδία. Προϋποθέτει χρονικό προγραμματισμό με βάση την θεωρία δικτύων,

μαθηματικό (γραμμικό ή μη) προγραμματισμό, επεξεργασία δεδομένων, θεωρία προτύπων

και συστημάτων, ανάλυση κόστους-οφέλους, μεθόδους επιλογής εναλλακτικών λύσεων,

θεωρία αποφάσεων και παιγνίων, τεχνικές ελέγχου, διαχείριση κινδύνου (risk) και

επιπλέον εξειδικευμένες γνώσεις, ανάλογα με τη φύση του κάθε έργου. Ωστόσο, δεν

είναι το απλό άθροισμα όλων αυτών. Η επιστημονική διαχείριση απαιτεί επιπλέον την

διαδικασία σύνθεση/ολοκλήρωσης όλων όσων πρέπει να γίνουν ώστε να υλοποιηθούν

οι στόχοι του έργου.

Παραδοσιακά, η διαχείριση έργου λειτούργησε στα πλαίσια της «σκληρής» γραφειο-

κρατικής ιεραρχικής οργανωτικής δομής. Στην ταχέως μεταβαλλόμενη εποχή μας,

όμως, αυξάνονται ολοένα και περισσότερο τα έργα που απαιτούν όχι μόνο λειτουργική

ευελιξία αλλά και εμπλοκή πολλαπλών ειδικοτήτων και τμημάτων και στα οποία

εμπλέκονται σύνθετες και πολυεθνικές εταιρείες. Για τον λόγο αυτό παρατηρείται η

τάση να υιοθετούνται συχνότερα ομάδες έργου, δομές οργάνωσης τύπου μητρώου και

γενικά εργοκεντρική διοίκηση. Ο διευθυντής του έργου, ως υπεύθυνος του έργου, έχει

καθήκον να δημιουργήσει μια ευέλικτη δομή που να ικανοποιεί εξίσου τις ανάγκες του

έργου, τις ανάγκες της οργάνωσης, τις ανάγκες των εμπλεκόμενων και τις ανάγκες των

ατόμων που απασχολούνται στο έργο.

1.2 Τι είναι έργο

Η βασική διαφορά ανάμεσα στη διαχείριση έργου και το γενικό μάνατζμεντ σχετίζεται

με τον ορισμό του έργου και στα τελικά παραδοτέα. Οι δύο πλησιέστερη ορισμοί είναι

οι εξής:

Το εγχειρίδιο που εξέδωσε το Project Management Institute (PMI), ορίζει ως έργο

το …προσωρινό εγχείρημα που στοχεύει στη δημιουργία ενός μοναδικού προϊόντος

ή υπηρεσίας. Προσωρινό σημαίνει ότι κάθε έργο έχει καθορισμένο τέλος. Μοναδικό

13

σημαίνει ότι το προϊόν ή η υπηρεσία διαφέρει κατά διακριτό τρόπο από όλα τα

υπόλοιπα παρόμοια προϊόντα ή υπηρεσίες.

Ο Turner ορίζει ως έργο το …εγχείρημα κατά το οποίο ανθρώπινοι πόροι, μηχανές,

οικονομική πόροι και πρώτες ύλες οργανώνονται κατά καινοφανή τρόπο, με στόχο

την ανάληψη συγκεκριμένου αντικειμένου εργασιών που έχουν συγκεκριμένες προδια-

γραφές και υπόκεινται σε δεδομένους κοστολογικούς και χρονικούς περιορισμούς,

ώστε να παραχθεί μία επωφελής μεταβολή, η οποία ορίζεται μέσω ποσοτικών και

ποιοτικών στόχων.

Στους παραπάνω ορισμούς πρέπει να προσθέσουμε τις υποδομές (χώροι, εγκαταστάσεις).

Εκ παραδόσεως, οι εργασίες που εκτελούνται, κυρίως, στον κατασκευαστικό κλάδο

και οι αμυντικές προμήθειες θεωρούνται έργα. Πρόσφατα όμως, ολοένα και περισσότερες

εταιρείες προνοούν οργανώνοντας τις εργασίες τους ως έργα (εργοκεντρική διοίκηση)

και χρησιμοποιούν τεχνικές διαχείρισης έργου για να εξασφαλίσουν την επιτυχή

ολοκλήρωση αυτών των εργασιών.

Τα έργα ποικίλουν ως προς το μέγεθος, το αντικείμενο εργασιών, το κόστος και τον

απαιτούμενο χρόνο για την περάτωσή τους. Όλα τα έργα όμως, κατασκευαστικά ή όχι,

μικρά ή μεγάλα, παρουσιάζουν κοινά γενικά χαρακτηριστικά. Οι διαφορές τους μπορεί

να είναι ποσοτικές ή να ανάγονται στην έμφαση που δίνεται σε κάθε συντελεστή τους.

Έτσι, για παράδειγμα, σε ένα έργο πληροφορικής δίνεται περισσότερο σημασία στις

μελέτες και την ανθρώπινη εργασία, ενώ σε ένα κατασκευαστικό έργο θα πρέπει να

εξεταστεί επιπρόσθετα το θέμα του εξοπλισμού και των υλικών. Σε ένα μικρό έργο η

διοίκηση μπορεί να αρκείται από ένα μόνο άτομο, ενώ σε ένα μεγάλο έργο θα χρειαστούν

επιτροπές και επιτελεία στο πλευρό του υπεύθυνου του έργου. Παραδείγματος χάριν, τα

παρακάτω μπορούν να θεωρηθούν έργα:

• Η μελέτη και η κατασκευή κτιρίου, σπιτιού, κ.λπ.

• Ο σχεδιασμός και ο έλεγχος κάποιο νέου μοντέλου αυτοκινήτου ή ηλεκτρικής συσκευής.

• Η εισαγωγή νέων προϊόντων στην αγορά (διαφήμιση, μάρκετινγκ).

• Η υλοποίηση συστημάτων πληροφορικής (έργα πληροφορικής).

• Ο σχεδιασμός και η υλοποίηση νέων οργανωτικών δομών (έργα ανθρωπίνων πόρων).

• Ο σχεδιασμός και η άσκηση επιθεωρήσεων (έργα διαχείρισης ποιότητας).

• Η βελτίωση της παραγωγικότητας εντός καθορισμένης χρονικής περιόδου.

• Η ανάκτηση από καταστροφή (περιορισμός των ζημιών που έχουν προκληθεί από

φωτιά, πλημμύρα, ατύχημα).

14

• Οι Ολυμπιακοί Αγώνες (αθλητικά γεγονότα)

• Μεταφορές και διακίνηση προϊόντων

• Μετακομίσεις ή διακοπές (έργα οικιακής κλίμακας).

1.3 Διαχείριση έργου

Το εγχειρίδιο για τη διαχείριση έργου (Project Management Body Of Knowledge,

PMBOK) ορίζει ως διαχείριση έργου τη διαδικασία κατά την οποία: …εφαρμόζουμε

γνώσεις, δεξιότητες, εργαλεία και τεχνικές κατά την εκτέλεση των δραστηριοτήτων του έργου,

με στόχο να ικανοποιήσουμε τις απαιτήσεις και τις προσδοκίες των συμμέτοχων.

Η διαχείριση έργου (Project Management, PM) μπορεί, επίσης, να οριστεί ως ένας

τρόπος δόμησης πολύπλοκων εγχειρημάτων που χαρακτηρίζονται από πολλαπλές

ανεξάρτητες μεταβλητές που αναφέρονται στο χρόνο, το κόστος, τους πόρους και την

ανθρώπινη συμπεριφορά. Ο αποτελεσματικός σχεδιασμός και έλεγχος του έργου απαιτεί

σφαιρική θεώρηση, λογική σκέψη, σημασία στη λεπτομέρεια, ικανότητες επικοινωνίας

και δέσμευση χρόνου, οικονομικών πόρων, υποδομών και ανθρώπινου δυναμικού για

την ολοκλήρωση του έργου. Η διαχείριση έργου καλείται να συνδυάσει με τον καλύτερο

δυνατό τρόπο τα παραπάνω έτσι ώστε η υλοποίηση του έργου να πραγματοποιηθεί

σύμφωνα με τις συμφωνηθέντες προδιαγραφές. Χρονικές και κοστολογικές υπερβάσεις

μειώνουν το κέρδος, δυσφημούν τον διευθυντή του έργου και την εργολήπτρια εταιρεία

ή υπονομεύουν την ολοκλήρωση του έργου.

Στις μέρες μας, η φύση των επιχειρήσεων αλλάζει, καθώς ολοένα και περισσότερες

επιχειρήσεις οργανώνουν τις επιχειρηματικές τους δραστηριότητες ως έργα. Η εργοκεντρική

διοίκηση αξιοποιήθηκε τα τελευταία είκοσι χρόνια στο σχεδιασμό τεχνολογικών

εφαρμογών, τις κατασκευές κτιρίων, την αεροδιαστημική και την άμυνα. Σήμερα τη

συναντάμε και σε άλλου τύπου οργανώσεις: φαρμακοβιομηχανίες, οργανισμούς του

κλάδου υγείας, εταιρείες που δραστηριοποιούνται στο χώρο των τηλεπικοινωνιών, της

ανάπτυξης λογισμικού και της ανάπτυξης συστημάτων, οργανισμούς παραγωγής ενέργειας,

εκπαιδευτικούς οργανισμούς, βιομηχανικές εταιρείες και εταιρείες παροχής υπηρεσιών.

Η αποτελεσματικότητα της εργοκεντρικής διοίκησης ήταν το κύριο θέμα στο συνέδριο

διαχείρισης έργου που διοργάνωσε η Διεθνής Ένωση Διαχείρισης Έργου (International

Project Management Association, IPMA) στη Βιέννη, το 1990.

Είμαστε μάρτυρες μιας σιωπηλής επανάστασης, της μετάβασης από τη συμβατική

λειτουργική ιεραρχημένη διοίκηση στην δικτυωμένη εργοκεντρική διοίκηση. Για τη

15

μετάβαση αυτή είναι απαραίτητη η συνεργασία ατόμων καταρτισμένων σε διάφορους

επιστημονικούς τομείς, όπως τα μαθηματικά (μοντελοποίηση συστημάτων, στατιστική,

θεωρία πιθανοτήτων), την πληροφορική, την διοίκηση επιχειρήσεων, τη μηχανολογία,

τα οικονομικά, τις επιστήμες συμπεριφοράς και φυσικά τις ειδικές τεχνικές της

επιχειρησιακής έρευνας. Αυτό σημαίνει ότι το πρόβλημα της οργάνωσης ενός έργου

απαιτεί τη δημιουργία ενός ανοικτού δυναμικού δικτύου συνεργασιών, του οποίου το

μέγεθος και η σύνθεση ποικίλουν ανάλογα με το μέγεθος και τη φύση του έργου.

17

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΟΥ

Η διαχείριση έργων ιστορικά ήταν ενταγμένη στην τέχνη της διοίκησης. Διαφοροποιείται

ως κλάδος (της διοίκησης) μετά τον Taylor κατά τον πρώτο παγκόσμιο πόλεμο με την

εμφάνιση του γραμμικού διαγράμματος χρονικού προγραμματισμού εργασιών.

2.1 Διάγραμμα Gantt

Παρότι ο Henry Gantt θεωρείται πατέρας των τεχνικών σχεδιασμού και ελέγχου,

είναι κοινά αποδεκτό ότι η ανάπτυξη συγκεκριμένων τεχνικών παρατηρήθηκε στα

πλαίσια των στρατιωτικών και αεροδιαστημικών έργων που υλοποιήθηκαν στις Ηνωμένες

Πολιτείες και τη Μεγάλη Βρετανία κατά τις δεκαετίες του 1950 και 1960. Η σύγχρονη

ιστορία της διαχείρισης έργου, όμως, αρχίζει με την ανάπτυξη του γραμμικού διαγράμματος

στις αρχές τις δεκαετίας του 1900. Η τεχνική της κατασκευής γραμμικών διαγραμμάτων

εγκαινιάστηκε κατά τον Πρώτο Παγκόσμιο Πόλεμο, όταν ο Αμερικανός Henry Gantt

(1861-1919) επινόησε το γραμμικό διάγραμμα ως εποπτικό εργαλείο προγραμματισμού

και ελέγχου των ναυπηγικών έργων με τα οποία ασχολούνταν. Η συμβολή του στη

διαχείριση έργου είχε ως αποτέλεσμα τα γραμμικά διαγράμματα προγραμματισμού να

ονομάζονται διαγράμματα Gantt.

Το διάγραμμα Gantt αποτελεί μια μορφή γραφικής αναπαράστασης ενός χρονο-

διαγράμματος. Η τεχνική σύνταξης του διαγράμματος είναι η εξής: αναλύεται, αρχικά,

όλο το έργο σε επί μέρους εργασίες γνωστές με τον όρο δραστηριότητες. Για κάθε μία

από τις επί μέρους εργασίες καθορίζονται η μέθοδος εκτέλεσής της, οι απαιτούμενοι

πόροι και ο απαιτούμενος χρόνος για την εκτέλεσή της. Οι επιμέρους αυτές εργασίες

τίθενται σε ένα διάγραμμα όπως αυτό του σχήματος 2.1.

Στην πρώτη στήλη του διαγράμματος αναγράφονται ιεραρχημένες οι επί μέρους

εργασίες ονομαστικά ή κωδικοποιημένες. Στον οριζόντιο άξονα του διαγράμματος

σχεδιάζεται η χρονική κλίμακα του έργου (σε ημέρες, εβδομάδες ή μήνες). Ο

προγραμματισμός κάθε εργασίας αντιστοιχεί στη χάραξη μιας οριζόντιας ράβδου από

την ημερομηνία έναρξης έως την ημερομηνία λήξης της εργασίας. Το μήκος αυτής της

18

ράβδου υποδεικνύει την διάρκεια της αντίστοιχης εργασίας.

Σχήμα 2.1. Μορφή του διαγράμματος Gantt

Ο Gantt διεύρυνε τη χρήση του διαγράμματος ώστε να απεικονίσει και την πρόοδο

των εργασιών. Χάραξε μία δεύτερη ράβδο, κατά μήκος της ράβδου που απεικόνιζε την

προγραμματισμένη εργασία (γραμμή προγραμματισμού). Η δεύτερη ράβδος (γραμμή

προόδου) απεικονίζει το τμήμα της εργασίας που έχει ήδη εκτελεστεί. Η θέση της

γραμμής προόδου σε σχέση με τη γραμμή προγραμματισμού υποδείκνυε το ποσοστό

ολοκλήρωσης της εργασίας και την υπολειπόμενη διάρκεια μέχρι την αποπεράτωσή

της. Η σύγκριση αυτή γίνεται με μία κάθετη γραμμή που υποδηλώνει τη χρονική στιγμή

που γίνεται ο έλεγχος προόδου του έργου. Η θέση της γραμμής προόδου σε σχέση με

την ένδειξη χρονική στιγμή ελέγχου υποδήλωνε την πρόοδο του έργου που υλοποιήθηκε σε

σχέση με τον αρχικό προγραμματισμό.

Το διάγραμμα Gantt, παρά την προφανή χρησιμότητά του, δεν επαρκεί για

περίπλοκους σχεδιασμούς έργων, διότι δεν απεικονίζονται οι σχέσεις αλληλεξάρτησης

των επί μέρους εργασιών. Δεν είναι δηλαδή εμφανές, ποιες εργασίες πρέπει να

αποπερατωθούν ώστε να καταστεί δυνατή η έναρξη εκτέλεσης μιας ορισμένης εργασίας

και δεν παρουσιάζει την επίδραση μιας καθυστέρησης ή επίσπευσής σε κάποια φάση

του έργου.

Το διάγραμμα Gantt άντεξε στην δοκιμασία του χρόνου. Έγιναν τροποποιήσεις και

διορθώθηκαν αδυναμίες του. Στα διαγράμματα Gantt προστέθηκαν ορόσημα (milestones)

που δείχνουν συγκεκριμένα σημεία στο χρόνο (συνήθως ανά εξάμηνο) που πρέπει να

έχουν ολοκληρωθεί ορισμένες εργασίες και σταδιοδείκτες που δείχνουν πότε άρχισε και

πότε τελείωσε η συγκεκριμένη εργασία. Επάνω στις συμπαγείς ράβδους τοποθετούνται

σημεία ενδεικτικά της σημασίας κάθε εργασίας (κρίσιμοι έλεγχοι, αναθεωρήσεις). Στην

περίπτωση αυτή οι μονάδες χρόνου αντικαθίστανται από ημερομηνίες. Οι σχέσεις

αλληλεξάρτησης των επιμέρους εργασιών μπορούν να απεικονιστούν με βέλη που

συνδέουν τις ράβδους (εργασίες) καθιστώντας έτσι το διάγραμμα Gantt δίκτυο. Πολλές

φορές, όμως, είναι απλούστερο να έχουμε χωριστά το διάγραμμα Gantt και το δίκτυο

19

συσχέτισης των εργασιών του έργου.

2.2 Γέννηση των τεχνικών διαχείρισης έργου

Σχεδόν όλες οι ειδικές τεχνικές της διαχείρισης έργου που χρησιμοποιούνται

σήμερα αναπτύχθηκαν κατά τη διάρκεια των δεκαετιών του 1950 και 1960 από την

αμυντική και αεροδιαστημική βιομηχανία των Ηνωμένων Πολιτειών (Υπουργείο Άμυνας

και NASA). Συγκεκριμένα αναφερόμαστε στη τεχνική εκτίμησης και αναθεώρησης

προγράμματος (Program Evaluation and Review Technique, PERT), τη διαχείριση

στοιχειοθέτησης (configuration management), τη μέθοδο πιστοποιημένης αξίας (earned

value) και τη δομική ανάλυση έργου (Work Breakdown Structure, WBS). Η μέθοδος

της κρίσιμης διαδρομής (Critical Path Method, CPM) και η μέθοδος διαγράμματος

διαδοχής (Precedence Diagram Method, PDM) αναπτύχθηκαν στα πλαίσια του

κατασκευαστικού κλάδου όπου η ανάγκη προγραμματισμού και τεχνικής διαχείρισης

είναι επείγουσα, γεγονός που ενθάρρυνε την υιοθέτηση διαγραμμάτων δικτύου

(network diagrams).

Μέχρι τα μέσα της δεκαετίας του 1950, τα έργα εκτελούνταν, συνήθως, από

εταιρείες που είχαν την οργανωτική δομή των παραδοσιακών λειτουργικών ιεραρχιών.

Αυτό σήμαινε ότι το έργο περνούσε σταδιακά από το ένα τμήμα στο άλλο. Καθώς,

όμως, αυξάνονταν σταδιακά η πολυπλοκότητα των έργων, ιδιαίτερα των αεροδιαστημικών

και στρατιωτικών, η τήρηση του προϋπολογισμού και η παράδοση του έργου σε

προκαθορισμένη ημερομηνία αποκτούσαν ολοένα και μεγαλύτερη σημασία. Άρχισε να

γίνεται περισσότερο αναγκαία η συμμετοχή, στο ίδιο έργο, διαφορετικών ειδικοτήτων,

διαφορετικών τμημάτων της εταιρείας ακόμα και διαφορετικών εταιρειών. Εξ ανάγκης,

λοιπόν, άρχισαν να αναπτύσσονται οι πρώτες εργοκεντρικές οργανωτικές δομές.

Αξιοσημείωτα γεγονότα της περιόδου:

1950-60. Ανάπτυξη των μεθόδων PERT και CPM.

1960. Η NASA πειραματίζεται με οργανωτικές δομές τύπου πινάκων που

περιγράφουν το δίκτυο του έργου.

1962. Η NASA εισάγει το σύστημα PERT για τον έλεγχο του κόστους και υιοθετεί τη

δομική ανάλυση εργασιών (WBS).

1963. Η αεροπορία των Ηνωμένων Πολιτειών υιοθετεί τον κύκλο ζωής έργου

(project life-cycle) και τη μέθοδο πιστοποιημένης αξίας.

1963. Το Polaris ήταν το πρώτο βρετανικό έργο στο οποίο οι συμβαλλόμενοι

20

υποχρεώθηκαν από την ίδια τη σύμβαση έργου να χρησιμοποιήσουν εξελιγμένα

συστήματα διαχείρισης.

1964. Η NASA υιοθέτησε τη διαχείριση στοιχειοθέτησης, δηλαδή ένα σύνολο

διοικητικών διαδικασιών με βάση τις οποίες μπορούσαν, αφενός, να προσδιοριστούν

και να τεκμηριωθούν τα λειτουργικά και τα υλικά χαρακτηριστικά των συστημάτων

και αφετέρου, να ελεγχθούν οι προτεινόμενες αλλαγές.

1965. Σημαντική αύξηση του αριθμού των έργων στα οποία χρησιμοποιήθηκαν

σύγχρονες τεχνικές διαχείρισης έργου.

1969. Ιδρύθηκε το Ινστιτούτο διαχείρισης έργου (PMI), το πρώτο επίσημο ίδρυμα

του κλάδου.

2.3 Η διαχείριση έργου ως επάγγελμα

Ο πόλεμος του Βιετνάμ, οι πετρελαϊκές κρίσεις και η δημιουργία οικολογικών

ομάδων ήταν τα σημαντικότερα γεγονότα που καθόρισαν τις ραγδαίες εξελίξεις της

δεκαετίας του 1970 και έθεσαν περιορισμούς στην εκτέλεση έργων σε πολλούς

μεταποιητικούς και εμπορικούς κλάδους. Περιβαλλοντικά ζητήματα όπως μόλυνση,

πυρηνικά απόβλητα, ηχορύπανση και επιπτώσεις στην ύπαιθρο από την κατασκευή

δρόμων, άρχισαν να επηρεάζουν την εκτέλεση έργων.

Κατά την περίοδο αυτή, η διαχείριση έργου εκλεπτύνθηκε καθώς άρχισαν να

ανακύπτουν διάφορα προβλήματα από τη χρήση ξεχωριστών εργαλείων και τεχνικών.

Στα έργα του δημόσιου τομέα παρατηρήθηκαν μεγάλα ποσοστά αποτυχίας, γεγονός που

οφειλόταν είτε στον ελλιπή ορισμό της έννοιας του έργου (διαχείριση του αντικειμένου

εργασιών) είτε στην κακή εκτίμηση των επιπτώσεων των εξωτερικών παραγόντων.

Πέρα από την αμυντική βιομηχανία και τον κλάδο των κατασκευών, άρχισαν να

χρησιμοποιούν συστήματα διαχείρισης έργου και οι εταιρείες υψηλής τεχνολογίας. Η

διαχείριση έργου μετεξελίσσεται σε επάγγελμα, εξειδίκευση του μάνατζμεντ το οποίο,

ενώ αντλεί γνώσεις από πολλές διαφορετικές γνωστικές περιοχές, διαθέτει τις δικές του

τεχνικές και εργαλεία. Συγκεκριμένα, οι ενώσεις σε Αμερική (Project Management

Institute) και Μ. Βρετανία (Association of Project Managers) επέβαλαν τη διαχείριση

έργου ως επάγγελμα. Καθοριστικό ρόλο στη διαδικασία αυτή έπαιξε η συσσώρευση

εμπειριών, η οποία υποσκέλισε τις αβάσιμες θεωρητικές αντιλήψεις και επέτρεψε την

ενίσχυση εννοιών που επιβεβαιώνονταν από τα πρακτικά αποτελέσματα των διαφόρων

έργων που είχαν εκτελεστεί.

21

Ενώ τα εργαλεία και οι τεχνικές της διαχείρισης έργου που αναπτύχθηκαν στη

δεκαετία του 1960 εκλεπτύνθηκαν στη δεκαετία του 1970, στη δεκαετία του 1980

ολοκληρώθηκαν και διαμορφώθηκαν οι πρακτικές που είναι αποδεκτές και

χρησιμοποιούνται σήμερα. Η ενοποίηση ως ισορροπία χρόνου, κόστους, ποιότητας,

παρίσταται συμβολικά με το τρίγωνο του σχήματος 2.2, στο οποίο η μεταβολή

οποιασδήποτε επηρεάζει τις υπόλοιπες.

Σχήμα 2.2. Σχηματική αναπαράσταση της σχέσης: «Χρόνος- Κόστος- Ποιότητα»

2.4 Λογισμικά διαχείρισης έργου

Η κύρια καινοτομία της δεκαετίας του 1980 ήταν η εκρηκτική αύξηση των

προσωπικών ηλεκτρονικών υπολογιστών και λογισμικού με τη δημιουργία όχι μόνο

γενικών εφαρμογών για επιχειρήσεις αλλά και εξειδικευμένων προγραμμάτων διαχείρισης

έργου. Το 1983 παρουσιάζεται το πρώτο λογισμικό πακέτο προγραμματισμού έργων, το

Harvard Project Manager.

Το 1968, το Project Management Institute δημοσίευσε το πρώτο εγχειρίδιο που

αναφέρονταν στον κορμό γνώσεων για τη διαχείριση έργου (PMBOK). Η δημοσίευσή

του αποτελούσε μέρος της προσπάθειας του Ινστιτούτου να παρουσιάσει τη διαχείριση

έργου ως μια συστηματοποιημένη, επιστημονική περιοχή με μεθοδολογία και έρευνα.

Έως τότε η διαχείριση έργου ήταν μια συλλογή εργαλείων και τεχνικών, χρήσιμων

κατά περίπτωση.

Από τη χρονολόγηση των γεγονότων φαίνεται ότι προηγήθηκε η ανάπτυξη των

τεχνικών διαχείρισης έργου και ακολούθησε η ανάπτυξη του αντίστοιχου λογισμικού.

Όμως, μετά το 1990 τα πράγματα αντιστρέφονται. Η εξέλιξη των δυνατοτήτων των

υπολογιστών οδηγεί πλέον τις εξελίξεις των τεχνικών διοίκησης. Επειδή δεν υπήρχε

συστηματικό πρόγραμμα σπουδών, παρά μόνο στα πλαίσια της διοίκησης επιχειρήσεων

22

και της επιχειρησιακής έρευνας, δημιουργούνται τα πρώτα μεταπτυχιακά προγράμματα

σε Project Management.

Στις μέρες μας η ανάπτυξη της επιστημονικής διαχείρισης έργων συνοδεύεται από

πληθώρα λογισμικών διαχείρισης έργων. Στον παρακάτω πίνακα παρατίθενται τα

κυριότερα από αυτά.

ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Timeline Symantic Instaplan Instaplan Project Scheduler Scitor Mac Project Clavis FlowCharting Patton & Patton Project Management Primavera Systems Project Microsoft

Πίνακας 2.1. Λογισμικά Διαχείρισης Έργων

2.5 Η εργοκεντρική διοίκηση (Management as Project Management)

Στη δεκαετία του 1990, ο έντονος ανταγωνισμός που εκδηλώθηκε από την

δυναμική που αναπτύχθηκε στις χώρες της Άπω Ανατολής, συντέλεσε στη δημιουργία

οργανωτικών δομών που ήταν πιο επιθετικές, λιγότερο ιεραρχημένες, περισσότερο

δικτυωμένες και πιο ευέλικτες. Οι μεγάλες επιχειρήσεις διαπίστωσαν ότι, εφαρμόζοντας

εργοκεντρική και όχι ιεραρχημένη διοίκηση, μπορούσαν να αναθέτουν επιμέρους

δραστηριότητες σε διαφορετικές μικρές ομάδες, οι οποίες μπορούσαν να αντιδρούν

τάχιστα στις καινοτομίες και τον ανταγωνισμό. Με τον τρόπο αυτό, οι μεγάλες

επιχειρήσεις μπόρεσαν να διατηρήσουν ενεργό μέσα τους το πνεύμα της μικρής

επιχειρηματικής εταιρείας. Χαρακτηριστικά γεγονότα της δεκαετίας αυτής είναι η

εκτεταμένη απελευθέρωση των αγορών, ο περιορισμός των δασμολογικών φραγμών

και η αυξανόμενη χρήση διαδικτύου ως μέσου επικοινωνίας.

Η εργοκεντρική διοίκηση προέκυψε από την ανάγκη να αναπτυχθούν και να

υλοποιηθούν μεγάλα έργα στο μικρότερο δυνατό χρονικό διάστημα σε ένα ασταθές και

ταχέως μεταβαλλόμενο πολύπλοκο περιβάλλον.

2.6 Διαχείριση έργου με δίκτυα. Οι τεχνικές PERT/CPM

Για να είναι αποτελεσματικό το χρονοδιάγραμμα ενός έργου θα πρέπει να λαμβάνει

υπόψη του όχι μόνο τη διάρκεια της κάθε δραστηριότητάς του, αλλά και τις λογικές

23

σχέσεις που συνδέουν τις δραστηριότητες μεταξύ τους. Είναι πολύ σημαντικό να

προσδιορίσουμε αυτές τις λογικές σχέσεις για να μπορέσουμε να προβλέψουμε τι

επίδραση θα έχει στην εξέλιξη του έργου οποιαδήποτε ενδεχόμενη αλλαγή του

χρονοδιαγράμματος. Με την πάροδο του χρόνου το μέγεθος και η πολυπλοκότητα των

έργων αυξήθηκαν, οπότε διαπιστώθηκε ότι το διάγραμμα Gantt υστερούσε να απεικονίσει

τέτοιας μορφής σχέσεις. Επίσης, κατά τη διάρκεια της δεκαετίας του 1950, παρατηρήθηκαν

συχνότατες υπερβάσεις κόστους και χρόνου των έργων τόσο στη βιομηχανία όσο και

στο εμπόριο. Στην αρχή υποστηρίχτηκε ότι αυτό συμβαίνει διότι οι εκτιμήσεις σχετικά

με την εξέλιξη των έργων ήταν πολύ αισιόδοξες. Αυτή η άποψη σιγά-σιγά εγκαταλείφτηκε

διότι οι μελετητές των έργων κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι οι υπερβάσεις αυτές ήταν

αποτέλεσμα του γεγονότος ότι οι διαθέσιμες τεχνικές προγραμματισμού και ελέγχου για

τη διαχείριση έργων ήταν ανεπαρκείς.

Οι παραπάνω δυσκολίες οδήγησαν στην ανάπτυξη μεθοδολογιών χρονικού

προγραμματισμού που μπορούσαν να ενσωματώσουν ως παραμέτρους τις αγορές, τους

πόρους και το κόστος. Αυτό συντέλεσε στη γέννηση της τεχνικής προγραμματισμού

που στηρίζεται στην κατασκευή λογικών δικτύων (βλέπε 3ο κεφάλαιο).

Στη δικτυακή διάταξη κάθε δραστηριότητα απεικονίζεται ως ένα τετράγωνο ή

κύκλο, ενώ η λογική αλληλουχία του έργου απεικονίζεται από τον τρόπο που

διατάσσονται τα τετράγωνα/κύκλοι από αριστερά προς τα δεξιά. Αυτό απεικονίζεται

στο παρακάτω σχήμα 2.3.

Σχήμα 2.3. Διάγραμμα δικτύου (δείχνει τις λογικές σχέσεις μεταξύ των δραστηριοτήτων)

Στενά συνδεδεμένες με τα διαγράμματα δικτύου είναι τόσο η PERT όσο και η

CPM τις οποίες συνηθίζεται να τις γράφουμε ως PERT/CPM και είναι αυτές που θα μας

απασχολήσουν εκτενέστερα στην συνέχεια αυτής της εργασίας.

24

I) CPM (Critical Path Method)

Αναπτύχθηκε για πρώτη φορά την περίοδο Δεκ.1956 – Φεβρ.1959 από τις DuPond

Company and Remington Rand Univac, με στόχο την ελαχιστοποίηση του χρόνου

επιδιόρθωσης συντήρησης και κατασκευής μεγάλων κτιριακών μονάδων (εργοστασίων). Ο

τρόπος συνίστατο στη βέλτιστη αξιοποίηση του έμψυχου και άψυχου διαθέσιμου

υλικού, ώστε να μην μένουν άτομα ανενεργά μετά την ολοκλήρωση κάποιων

δραστηριοτήτων. Η τεχνική CPM είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για προγράμματα κατασκευής

τεχνικών έργων, αλλά μπορεί να χρησιμοποιηθεί με επιτυχία και σε προγράμματα

ανάπτυξης νέων προϊόντων, συναρμολογήσεως μεγάλων μηχανολογικών κατασκευών

κλπ. Βάσει της μεθόδου αυτής, υπολογίζεται ένας συγκεκριμένος νωρίτερος και

αργότερος χρόνος έναρξης και λήξης για κάθε δραστηριότητα, σύμφωνα με την

καθορισμένη σειρά αλληλουχίας του δικτύου.

ΙΙ) PERT (Program Evaluation Review Technique)

Αναπτύχθηκε για πρώτη φορά το 1958 κατά την κατασκευή των οπλικών συστημάτων

Polaris από το Αμερικανικό Ναυτικό. Το έργο ήταν πολύπλοκο και οι συμμετέχοντες

αισθάνθηκαν την ανάγκη ενός ολοκληρωμένου σχεδιασμού που να λαμβάνει υπόψη την

εμπειρία των ειδικών αλλά και πιθανοθεωρητικά φαινόμενα. Η πρώτη φάση στην

ανάπτυξη της τεχνικής αυτής έγινε γνωστή ως PERT-Time, επειδή ενδιέφερε περισσότερο

ο χρόνος του έργου που σχεδιαζόταν. Η δεύτερη φάση που ονομάστηκε PERT/Cost

επειδή ενδιέφερε περισσότερο το κόστος, αναπτύχθηκε μεταγενέστερα, αλλά δεν

αποδείχθηκε αποτελεσματική στην πράξη και έχει σχεδόν εγκαταλειφθεί. Η μέθοδος

χρησιμοποιεί έναν σταθμισμένο μέσο της εκτιμώμενης διάρκειας για να υπολογίσει την

διάρκεια των δραστηριοτήτων. Η PERT διαφέρει από την CPM κυρίως στο ότι θεωρεί

ότι ο χρόνος μπορεί να υπολογιστεί από το μέσο μίας κατανομής (μέση διάρκεια) κι όχι

από την πιο πιθανή διάρκεια, όπως η CPM.

25

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΓΟΥ ΜΕΣΩ ΔΙΚΤΥΩΝ

3.1 Το δίκτυο ενός έργου

Τα διαγράμματα δικτύου χρησιμοποιούνται για τον σχεδιασμό, τον προγραμματισμό

και τον έλεγχο της προόδου ενός έργου. Πρόκειται για ένα διάγραμμα του σχεδιασμού

της δουλειάς του έργου που πρόκειται να γίνει και για το λόγο αυτό απεικονίζουν τις

δραστηριότητες του έργου, τη λογική αλληλουχία τους, την αλληλεξάρτησή τους, και

στις περισσότερες περιπτώσεις και τον χρόνο που πρέπει να αρχίσει και τελειώσει

έκαστη εκ των δραστηριοτήτων. Μπορούμε να πούμε ότι τα δίκτυα χρησιμοποιούνται

από τους διαχειριστές έργου για να παίρνουν αποφάσεις σχετικά με το χρόνο, το κόστος

και την προετοιμασία του.

Για τη διαμόρφωση της δικτυωτής γραφικής αναπαράστασης ενός έργου, αυτό

χωρίζεται σε αυτοτελείς ανεξάρτητες εργασίες (δραστηριότητες) και στη συνέχεια

καθορίζεται η σειρά με την οποία αυτές πρέπει να εκτελεστούν καθώς επίσης και ο

χρόνος που απαιτείται έκαστη εξ αυτών. Ο σχεδιασμός του δικτύου γίνεται με τέτοιο

τρόπο ώστε όχι μόνο μπορούμε να αναγνωρίσουμε κάθε εργασία, αλλά και όλες τις

εργασίες που προηγούνται από αυτή, καθώς επίσης και όλες που την ακολουθούν.

Εύκολα συμπεραίνει κανείς ότι τα δίκτυα παίζουν καθοριστικό ρόλο στον

προγραμματισμό και στην οργάνωση ενός έργου, εφόσον απεικονίζουν τόσο την σχέση

μεταξύ των διαφόρων δραστηριοτήτων όσο και – επιγραμματικά – το συνολικό σχέδιο

για την επίτευξη του έργου. Με το δίκτυο δηλαδή, παρουσιάζεται ο τρόπος με τον

οποίο σχετίζονται οι εργασίες αυτές χρονικά και λειτουργικά. Το δίκτυο αποτελείται

από κόμβους, που συνήθως συμβολίζονται με ένα τετράγωνο και από ακμές που

συνήθως συμβολίζονται με βέλη (βλ. σχήμα 2.3).

Δραστηριότητα (activity) ονομάζουμε μια εργασία ή λειτουργία που πρέπει να

εκτελεστεί στα πλαίσια του έργου και η οποία απαιτεί για την υλοποίησή της χρόνους

και πόρους. Οι δραστηριότητες αποτελούν τις στοιχειώδεις δομικές και λειτουργικές

μονάδες του έργου.

Πακέτο εργασίας (work package) ονομάζουμε ένα σύνολο δραστηριοτήτων που

26

έχουν κοινό παραδοτέο.

Παράλληλες δραστηριότητες. Είναι οι δραστηριότητες που μπορούν να συμβούν την

ίδια χρονική στιγμή (εάν βέβαια και ο διαχειριστής έργου το επιθυμεί).

Μονοπάτι. Είναι μια αλληλουχία από εξαρτημένες δραστηριότητες.

Κρίσιμο μονοπάτι. Ο όρος αυτός σημαίνει το μεγαλύτερο μονοπάτι(-ια) στο δίκτυο.

Εάν μια δραστηριότητα στο κρίσιμο μονοπάτι καθυστερήσει τότε το έργο καθυστερεί

τόσο χρόνο όσο καθυστέρησε η συγκεκριμένη δραστηριότητα.

Γεγονός (event). Αυτός ο όρος χρησιμοποιείται για να αντιπροσωπεύσει τη χρονική

στιγμή κατά την οποία μια δραστηριότητα αρχίζει ή τελειώνει.

Ορόσημο (milestone) ονομάζεται ένας κόμβος που προσδιορίζει την έναρξη και τη

λήξη του έργου, την έναρξη και τη λήξη συναφών πακέτων εργασίας, τον έλεγχο της

πορείας του έργου.

Έχοντας δώσει τους κυριότερους ορισμούς που χρησιμοποιούμε στο διάγραμμα

δικτύου καταγράφουμε στη συνέχεια τους βασικούς κανόνες που ακολουθούνται

προκειμένου να φτιάξουμε ένα διάγραμμα δικτύου:

1. Τα δίκτυα φτιάχνονται από τα αριστερά προς τα δεξιά.

2. Μια δραστηριότητα δεν μπορεί να αρχίσει αν δεν έχουν ολοκληρωθεί όλες οι

δραστηριότητες που προηγούνται πριν από αυτήν.

3. Οι ακμές στο δίκτυο απεικονίζουν την προτεραιότητα και τη ροή των

δραστηριοτήτων.

4. Κάθε δραστηριότητα θα πρέπει να έχει έναν μοναδικό ξεχωριστό αριθμό.

5. Ο μοναδικός ξεχωριστός αριθμός της κάθε δραστηριότητας θα πρέπει να είναι

μεγαλύτερος από τον μοναδικό ξεχωριστό αριθμό των δραστηριοτήτων που

προηγούνται από αυτήν.

6. Δεν επιτρέπεται να χρησιμοποιηθεί μια δραστηριότητα που ήδη έχει

χρησιμοποιηθεί νωρίτερα.

7. Δεν επιτρέπονται υποθέσεις της μορφής “εάν κάτι είναι επιτυχία τότε πράξε μια

συγκεκριμένη δραστηριότητα διαφορετικά μην κάνεις τίποτα”. Αυτό μας δίνει να

καταλάβουμε ότι το διάγραμμα δικτύου δεν είναι ένα δέντρο απόφασης.

8. Πολλοί αρχικοί κόμβοι δεν δίνουν μια ξεκάθαρη αρχή στο δίκτυο. Έτσι, η επιλογή

ενός μόνο αρχικού κόμβου δίνει μια πιο ξεκάθαρη εικόνα της αρχής του δικτύου.

Το ίδιο ισχύει και για τους τελικούς κόμβους. Πολλοί τελικοί κόμβοι δεν δίνουν

ένα ξεκάθαρο τέλος στο δίκτυο, η επιλογή ενός μόνο τελικού κόμβου δίνει ένα

καθαρό τέλος στο δίκτυο.

27

3.2 Κατασκευή του δικτύου ενός έργου

Το διάγραμμα δικτύου ενός έργου μπορεί να είναι:

Είτε διάγραμμα δραστηριότητας επί της ακμής (AOA, activity-on-arrow). Αυτό

απεικονίζεται στο σχήμα 3.1 κι είναι γνωστό με τον όρο τοξωτό δίκτυο.

Είτε διάγραμμα δραστηριότητας επί του κόμβου (AON, activity-on-node). Αυτό

απεικονίζεται στο σχήμα 3.2 κι είναι γνωστό με τον όρο κομβικό δίκτυο.

Σχήμα 3.1. Μορφή διαγράμματος δικτύου AOA

Σχήμα 3.2. Μορφή διαγράμματος δικτύου AON

Σε ένα διάγραμμα AOA ο σχεδιασμός του έργου γίνεται τοποθετώντας τα

παραδοτέα στο χρόνο. Οι ημερομηνίες έναρξης και περάτωσης εργασιών αποτελούν

τους κόμβους των γεγονότων του έργου. Οι δραστηριότητες του έργου αποτελούν τις

συνδέσεις (ακμές) μεταξύ των κόμβων γεγονότων. Στο δίκτυο AOA απαραίτητα

υπάρχει ο κόμβος έναρξης και ο κόμβος λήξης του έργου, οι οποίοι είναι μοναδικοί. Το

δίκτυο AOA είναι πάντα κατευθυνόμενο από τον κόμβο έναρξης προς τον κόμβο

λήξης.

Στο γράφημα AON οι δραστηριότητες του έργου αποτελούν τους κόμβους του

γραφήματος. Δύο κόμβοι συνδέονται αν η πρώτη δραστηριότητα (κόμβος) πρέπει να

περατωθεί για να αρχίσει η δεύτερη δραστηριότητα (κόμβος). Το γράφημα AON μπορεί

28

να αρχίζει και να τελειώνει με πολλές δραστηριότητες. Στην πράξη, για να υπάρχει

αντιστοιχία με το τοξωτό δίκτυο, και το κομβικό δίκτυο αρχίζει και τελειώνει με

μοναδικά ορόσημα έναρξης και λήξης.

Τα πρώτα διαγράμματα δικτύου έργων ήταν τύπου AOA. Όμως τα διαγράμματα

AON έχουν μερικά πλεονεκτήματα ως προς τα AOA παρέχοντας ακριβώς τις ίδιες

πληροφορίες, για παράδειγμα: (i) η κατασκευή των κομβικών δικτύων είναι πιο εύκολη

από εκείνη των τοξωτών, (ii) η κατανόηση των κομβικών δικτύων είναι πιο εύκολη από

τους ανθρώπους που δεν έχουν εξοικειωθεί με το θέμα, (iii) η αναθεώρηση των

κομβικών δικτύων είναι πιο εύκολη από εκείνη των τοξωτών.

3.3 Ένα πρότυπο παράδειγμα

Μια αεροδιαστημική εταιρεία έχει συνάψει συμφωνία με την NASA για την τελική

συναρμολόγηση του θαλαμίσκου ενός διαστημόπλοιου για μια ανερχόμενη αποστολή.

Μια ομάδα μηχανικών της συγκεκριμένης εταιρείας έχουν καθορίσει τις

δραστηριότητες που πρέπει να γίνουν για την συναρμολόγηση, τους περιορισμούς που

υπάρχουν καθώς και τους εκτιμώμενους χρόνους κάθε δραστηριότητας, όλα αυτά

απεικονίζονται στον παρακάτω πίνακα.

Activity Symbol Preceding activities

Time estimate (days)

Construct Shell of module A - 30 Order life support system and scientific experimentation package from same supplier

B

-

15

Order components of control and navig-ational system

C

-

25

Wire module D A 3

Assembly control and navigational system

E C 7

Preliminary test of life support system

F B 1

Install life support in module

G D ,F 5

Install scientific experimentation package in module

H

D,F

2

Preliminary test of control and navigational system

I

E,F

4

Install control and navigational system in module

J

H,I

10

29

Final testing and debugging

K

G, J 8

3.4 Κανόνες δικτύου AOA και υλοποίηση του παραδείγματος §3.3

Στο διάγραμμα δικτύου AOA κάθε δραστηριότητα αναπαριστάτε από μια ακμή η

οποία έχει μια αρχή και ένα τέλος όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Σχήμα 3.3. Αρχή και τέλος στο AOA

Προκειμένου να κατασκευάσουμε ένα διάγραμμα AOA ακολουθούμε τους κανόνες:

Κανόνας 1: Κάθε δραστηριότητα αντιπροσωπεύεται από μια και μόνο ακμή στο

δίκτυο.

Κανόνας 2: Δύο δραστηριότητες δεν μπορεί να προσδιοριστούν απευθείας από

γεγονότα ίδιας αρχής και τέλους. Μια τέτοια κατάσταση προκύπτει όταν δύο ή

περισσότερες δραστηριότητες είναι παράλληλες. Στο σχήμα 3.4a απεικονίζονται

δυο παράλληλες δραστηριότητες, οι A και B. Το ερώτημα που τίθεται είναι πως θα

ξεπεράσουμε αυτήν την δυσκολία. Λύση σε αυτό δίνουν οι ψευδό-δραστηριότητες

(Dummy activities) μεταξύ του A ή B. Στη συγκεκριμένη περίπτωση υπάρχουν 4

διαφορετικές αλλά ισοδύναμες περιπτώσεις όπως φαίνεται στο σχήμα 3.4b. Οι

ψευδό-δραστηριότητες δεν καταναλώνουν ούτε χρόνο, ούτε πόρους. Στο δίκτυο

συμβολίζονται με μια διακεκομμένη γραμμή. Οι χρησιμότητα τους έγκειται στο

γεγονός να απεικονίσουμε λογικές σχέσεις στο δίκτυο οι οποίες δεν μπορούν να

αναπαρασταθούν διαφορετικά.

Σχήμα 3.4. Παράλληλες δραστηριότητες-Χρήση ψευδό-δραστηριοτήτων

30

Έστω ότι μας ζητείται να φτιάξουμε το διάγραμμα AOA της σχέσης που θα

περιγράψουμε ευθύς αμέσως: υποθέτουμε ότι σε ένα συγκεκριμένο έργο οι δραστηριότητες

A και B προηγούνται της C, ενώ η δραστηριότητα B προηγείται της E. Αρκετοί από

εμάς θα έφτιαχναν το διάγραμμα που απεικονίζεται στο σχήμα 3.5. Δυστυχώς όμως

αυτή η απεικόνιση είναι λάθος καθώς υπονοείται ότι oι δραστηριότητες A και B

προηγούνται της E κάτι το οποίο έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση που έχουμε.

Λύση σε αυτό δίνει η ψευδό-δραστηριότητα D1, έτσι το σωστό δίκτυο είναι αυτό που

απεικονίζεται στο σχήμα 3.6.

Σχήμα 3.5. Λάθος αναπαράσταση Σχήμα 3.6. Σωστή αναπαράσταση

Κανόνας 3: Για να βεβαιωθούμε ότι το διάγραμμα AOA που δομούμε είναι σωστό,

θα πρέπει να απαντάμε στις ακόλουθες ερωτήσεις, κάθε φορά που εισάγουμε μια

νέα δραστηριότητα στο δίκτυο:

1. Ποιες δραστηριότητες πρέπει να ολοκληρωθούν πριν ξεκινήσει η νέα δραστηριότητα

που θα εισάγουμε;

2. Ποιες δραστηριότητες πρέπει να ακολουθήσουν αμέσως μετά από την νέα

δραστηριότητα που εισάγαμε;

3. Ποιες δραστηριότητες πρέπει να συμβούν ταυτόχρονα με την δραστηριότητα

που εισάγουμε;

Άλλες, χρήσιμες πληροφορίες, προκειμένου να φτιάξουμε το διάγραμμα AOA είναι οι

παρακάτω:

• Αρχικά εντοπίζουμε τις δραστηριότητες που δεν έχουν δραστηριότητες να

προηγούνται πριν από αυτές και τις ενώνουμε με έναν μοναδικό κόμβο αρχής.

Κάθε δραστηριότητα τερματίζει σε έναν μόνο κόμβο.

• Μόνο ο αρχικός κόμβος στο δίκτυο συμβολίζεται με τον αριθμό (1), όλοι οι άλλοι

κόμβοι αριθμούνται όταν έχουμε τελειώσει την κατασκευή του δικτύου.

• Προσθέτουμε τις ψευδό-δραστηριότητες όπου είναι απαραίτητες.

• Όταν όλες οι δραστηριότητες καθώς και οι σχέσεις που συνδέουν αυτές έχουν

αναπαρασταθεί στο διάγραμμα δικτύου μπορούμε να απαλείψουμε τις ψευδό-

31

δραστηριότητες που είναι «περιττές» (μια ψευδό-δραστηριότητα καλείται

«περιττή» εάν είναι η μοναδική δραστηριότητα που αρχίζει ή τελειώνει σε ένα

δοσμένο γεγονός).

• Έχοντας ολοκληρώσει το διάγραμμα δικτύου αριθμούμε τα γεγονότα από

αριστερά προς τα δεξιά προσέχοντας πάντα το τέλος να έχει μικρότερο αριθμό από

την αρχή ενός γεγονότος.

Με τη βοήθεια των ανωτέρω κανόνων θα φτιάξουμε το διάγραμμα δικτύου AOA

(Activity On Arrow) των δεδομένων της παραγράφου 3.3.

Αρχικά, παρατηρούμε ότι οι δραστηριότητες A, B και C δεν έχουν δραστηριότητες

που να προηγούνται πριν από αυτές, συνεπώς τις ενώνουμε σε έναν μοναδικό αρχικό

κόμβο τον οποίο αριθμούμε με το 1. Ακολούθως, καθώς οι δραστηριότητες D, E και F

έχουν μόνο μια δραστηριότητα να προηγείται πριν από αυτές, τις A, C και B αντίστοιχα

μπορούμε να τις τοποθετήσουμε αμέσως στο διάγραμμα όπως φαίνεται στο σχήμα 3.7.

Σχήμα 3.7. 1η φάση στην κατασκευή του δικτύου ΑΟΑ του παραδείγματος της §3.3

Οι δραστηριότητες G και H είναι παράλληλες. Προκειμένου να ξεκινήσουν θα

πρέπει να έχουν ολοκληρωθεί οι δραστηριότητες D και F. Στο συγκεκριμένο σημείο, θα

γίνει χρήση της ψευδό-δραστηριότητας D1 προκειμένου να προκύψει μια λογική

αλληλουχία μεταξύ των δραστηριοτήτων F και D, καθώς δεν υπάρχει κάποια σχέση που

να τις συνδέει. Έτσι, το διάγραμμα του σχήματος 3.7 συμπληρώνεται με τις

δραστηριότητες G, H και D1 όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα 3.8.


Ακολούθως, για να γίνει η δραστηριότητα I θα πρέπει να έχουν ολοκληρωθεί οι E και

F. Στο σημείο αυτό γίνεται χρήση της ψευδό-δραστηριότητας D2 προκειμένου να

32

υπάρξει λογική αλληλουχία μεταξύ των δραστηριοτήτων E και F, καθώς δεν υπάρχει

κάποια σχέση που να τις συνδέει. Έτσι, προκύπτει το σχήμα 3.9.


Επιπρόσθετα, για να ξεκινήσει η δραστηριότητα J θα πρέπει να έχουν ολοκληρωθεί οι

H και I. Παρατηρούμε από τα δεδομένα της παραγράφου 3.3 ότι οι δραστηριότητες H

και I δεν προηγούνται από καμία άλλη δραστηριότητα παρά μόνο από την J. Συνεπώς,

οι δραστηριότητες H και I μπορούν να τερματίζουν στον ίδιο κόμβο (γεγονός) δηλαδή

στην αρχή του J. Οπότε το σχήμα 3.9 παίρνει τη μορφή που απεικονίζει το σχήμα 3.10.


Τέλος, για να αρχίσει η δραστηριότητα K θα πρέπει να έχουν ολοκληρωθεί οι G και J.

Παρατηρούμε από τα δεδομένα της παραγράφου 3.3 ότι οι δραστηριότητες G και J δεν

προηγούνται από καμία άλλη δραστηριότητα παρά μόνο από την K. Συνεπώς,

μπορούμε να έχουμε τις ακμές που αντιπροσωπεύουν τις δραστηριότητες G και J να

τερματίζουν στον ίδιο κόμβο (γεγονός) δηλαδή στην αρχή του K. Συνεπώς, το διάγραμμα

που προκύπτει είναι αυτό που φαίνεται στο σχήμα 3.11.


33

Εφόσον έχουν παρασταθεί όλες οι δραστηριότητες καθώς και οι σχέσεις που τις

συνδέουν, μπορούμε να αριθμήσουμε τα γεγονότα αρχίζοντας από τα αριστερά προς τα

δεξιά όπως απεικονίζεται στο σχήμα 3.12. Σημειώνουμε ότι τα γεγονότα αριθμούνται

με τέτοιο τρόπο ώστε για κάθε μονοπάτι που συνδέει τους κόμβους i και j να ισχύει i<j.

(Στην πραγματικότητα, από την θεωρία γραφημάτων γνωρίζουμε ότι ένα ευθύ γράφημα

είναι ακυκλικό εάν και μόνο αν οι κόμβοι του μπορούν να αριθμηθούν με τέτοιο τρόπο

ώστε για όλα τα βέλη (i, j) να ισχύει i<j).


Εν κατακλείδι, αν στο διάγραμμα δικτύου του σχήματος 3.12 συμπληρώσουμε για κάθε

δραστηριότητα τη χρονική της διάρκεια (οι ψευδό-δραστηριότητες θα έχουν μηδενική

χρονική διάρκεια), τότε προκύπτει το τελικό διάγραμμα δικτύου AOA.

Σχήμα 3.13. Υλοποίηση του δικτύου AOA του παραδείγματος της §3.3

3.5 Κανόνες του δικτύου AON και υλοποίηση του παραδείγματος §3.3

Το παράδειγμα της παραγράφου 3.3 θα το υλοποιήσουμε και με την βοήθεια του

AON, αφού πρώτα δώσουμε τους κανόνες υλοποίησής του. Η δικτυωτή ανάλυση επί

του κόμβου (AON) αποτελεί μια εναλλακτική προσέγγιση για την αναπαράσταση των

διαγραμμάτων δικτύου. Στο διάγραμμα δικτύου AON οι ακμές απεικονίζουν τις σχέσεις

που υπάρχουν μεταξύ των διαφόρων δραστηριοτήτων. Το βασικότερο πλεονέκτημα

αυτής της αναπαράστασης είναι ότι δεν χρειάζονται ψευδό-δραστηριότητες ανάμεσα

στις διάφορες δραστηριότητες προκειμένου να προκύψουν λογικές σχέσεις μεταξύ

34

τους. Προκειμένου να φτιάξουμε το διάγραμμα δικτύου AON λαμβάνουμε υπόψη τους

παρακάτω κανόνες:

Όλοι οι κόμβοι με εξαίρεση τον τελικό κόμβο θα πρέπει να έχουν το λιγότερο ένα

κόμβο διαδοχής.

Όλοι οι κόμβοι με εξαίρεση τον αρχικό θα πρέπει να έχουν το λιγότερο έναν

κόμβο που να προηγείται πριν από αυτόν.

Θα πρέπει να υπάρχει τουλάχιστον ένας αρχικός και τουλάχιστον ένας τελικός

κόμβος.

Κάθε ακμή έχει μια αρχή και ένα τέλος.

Μια ακμή καθορίζει τις σχέσεις μεταξύ δύο ή περισσότερων δραστηριοτήτων.

«Κύκλοι» στο διάγραμμα δικτύου δεν επιτρέπονται.

Λαμβάνοντας υπόψη τα δεδομένα της παραγράφου 3.3 και τους παραπάνω

κανόνες, το AON έχει τη μορφή που φαίνεται στο σχήμα 3.14.

Σχήμα 3.14. Υλοποίηση του δικτύου AON του παραδείγματος της §3.3.

Σημειώστε τέλος ότι, για τη συνέχεια αυτής της εργασίας, όλα τα δίκτυα είναι τύπου

ΑΟΝ.

3.6 Δομική ανάλυση έργου

Κατά την δομική ανάλυση έργου (Work Breakdown Structure, WBS) οι

δραστηριότητες ομαδοποιούνται σε πακέτα εργασιών, τα οποία συνδέονται με τα

βασικά παραδοτέα. Η δομική ανάλυση έργου αποτελεί ιεραρχημένο χάρτη ανάλυσης

του έργου με συνιστώσες (πακέτα εργασιών-Work Packages, WP). Κάθε πακέτο

εργασιών εμπεριέχει συναφείς δραστηριότητες (activities) που κάθε μία αποτελεί μία

συγκεκριμένη εργασία (task). Ως αποτέλεσμα μιας καλής δομικής ανάλυσης,

35

περιορίζεται η πολυπλοκότητα του έργου στα πακέτα εργασίας, τα οποία είναι

σημαντικά πιο εύκολα στο χειρισμό τους. Για παράδειγμα, οι δομικές αναλύσεις έργων

που οδηγούν σε πλασματικές δραστηριότητες για να είναι συμβατό το δίκτυο έργου με

το γράφημα δραστηριοτήτων, όπως στα σχήματα 3.8 και 3.9, βελτιώνονται και δεν είναι

αναγκαία η εμφάνιση/δημιουργία των πλασματικών δραστηριοτήτων.

Η δομική ανάλυση έργου αναπτύχθηκε αρχικά στη δεκαετία του 1960, με στόχο

τη βελτίωση του προσδιορισμού του έργου, αλλά πολύ σύντομα εξελίχθηκε και

αποτελεί πλέον βασικό εργαλείο προγραμματισμού και ελέγχου μέσω των πακέτων

εργασίας. Η δομική ανάλυση έργου εφαρμόζεται σε κάθε είδους έργο, π.χ. στην

επιστημονική έρευνα έχει καθιερωθεί από τη δεκαετία του 1990 τόσο στα ευρωπαϊκά

(European Commission) όσο και στα αμερικανικά (National Science Foundation,

National Institute of Health) προγράμματα.

Συχνά, έργα εντελώς διαφορετικά μεταξύ τους περιέχουν πανομοιότυπα πακέτα

εργασίας, όπως για παράδειγμα η ανέγερση μιας κατοικίας και η ανέγερση ενός

βιομηχανικού κτιρίου (τοπογράφηση χώρου, θεμελίωση,…). Αυτό επιτρέπει τη

μεταφορά εμπειρίας, η οποία αποκτήθηκε κατά την υλοποίηση διαφορετικών έργων, σε

ένα νέο έργο. Η επαναλαμβανόμενη διαδικασία της τμηματοποίησης από έργο σε έργο

επιτρέπει στον διευθυντή του έργου, από κάποιο σημείο και έπειτα, να προχωρήσει

στην τυποποίηση πακέτων εργασίας έτσι ώστε, στην εμφάνιση ενός νέου έργου να μην

απαιτείται η ανάλυσή του σε πακέτα εργασίας αλλά να γίνεται σύνθεση από τα ήδη

υπάρχοντα. Επιπλέον, τα δίκτυα διαφορετικών έργων ενδέχεται να έχουν την ίδια

μαθηματική δομή.

Η δομική ανάλυση ενός έργου μπορεί να προσδιοριστεί με δύο τρόπους.

Διαγραμματικά:

Σχήμα 3.15. Διαγραμματική αναπαράσταση της WBS για κατασκευή κατοικίας

ή ως κείμενο ιεραρχικής στοίχισης:

36

1.0.0 κατασκευή κατοικίας 1.1.0 Οικοδομικά 1.1.1 θεμέλια 1.1.2 τοίχοι & οροφή 1.2.0 Υδραυλικά 1.2.1 σωληνώσεις ύδρευσης 1.2.2 σύστημα αποχέτευσης 1.3.0 Ηλεκτρολογικά 1.3.1 καλωδιώσεις 1.3.2 συσκευές

Με κάθε επιπλέον επίπεδο δραστηριοτήτων που προστίθεται στην WBS, οι

εργασίες υποδιαιρούνται σε περισσότερα πακέτα εργασίας, με αντίστοιχη αύξηση του

βαθμού λεπτομέρειας. Στην πράξη, τρία ή τέσσερα επίπεδα ανάλυσης αρκούν για να

επιτευχθεί ένα αρκετά καλό επίπεδο προγραμματισμού και ελέγχου. Αν προστεθούν

περισσότερα επίπεδα, η βάση της πυραμίδας που διαμορφώνει η WBS θα γίνει πιο

«πλατιά» και δύσκολη στο χειρισμό της. Ο αριθμός των επιπέδων εξαρτάται από τους

παρακάτω παράγοντες όπως:

το επίπεδο λεπτομερούς ανάλυσης

το επίπεδο κινδύνου/ρίσκου

το επίπεδο ελέγχου

η επιθυμητή ακρίβεια εκτιμήσεων

το κόστος πακέτων εργασίας

οι εργατοώρες των πακέτων εργασίας.

Σε περίπτωση που απαιτούνται περισσότερα από τέσσερα επίπεδα, το πρόβλημα

επιλύεται συνήθως θεωρώντας το αρχικό έργο ως δύο ή περισσότερα έργα. Αυτό είναι

σύνηθες σε περιπτώσεις κατά τις οποίες ο κύριος ανάδοχος χρησιμοποιεί πολλούς

υπεργολάβους.

Ένα από τα μεγαλύτερα πλεονεκτήματα της WBS είναι ότι παρέχει τη δυνατότητα

μοναδικού κωδικού τόσο για κάθε δραστηριότητα όσο και για κάθε πακέτο εργασίας. Η

συγκεκριμένη κωδικοποίηση/αρίθμηση κάθε πακέτου εργασίας ή κάθε δραστηριότητας

χρησιμοποιείται ως κρίκος σύνδεσης με την αποθήκη, το λογιστήριο της εταιρείας και

του πελάτη, με τη βοήθεια σύγχρονων λογισμικών πακέτων (τύπου ERP).

Το σύστημα κωδικοποίησης μπορεί να είναι αλφαβητικό, αριθμητικό ή

αλφαριθμητικό. Όλα τα έργα έχουν όνομα. Για παράδειγμα, έργα κατασκευής πλοίων

φέρουν το όνομα του πλοίου. Ακόμη ερευνητικά προγράμματα φέρουν σύμπτυξη

37

κάποιου ονόματος, ώστε να είναι εύκολη η απομνημόνευσή τους.

3.7 Παρακολούθηση και έλεγχος του έργου

Το επίπεδο ελέγχου εξαρτάται από την πολυπλοκότητα του έργου και τους

κινδύνους που αυτό ενέχει. Έλεγχος έργου σημαίνει καθοδήγηση από την έναρξη μέχρι

την ολοκλήρωσή του, δίνοντας ιδιαίτερη προσοχή σε σημεία που θεωρήθηκαν ορόσημα

κατά το σχεδιασμό του.

Για την επίτευξη του στόχου αυτού, πρέπει η WBS να αντικατοπτρίζει το επίπεδο

κινδύνου και αβεβαιότητας του έργου. Στα σημεία όπου ο κίνδυνος κρίνεται υψηλός, η

WBS θα πρέπει να υποδιαιρείται περαιτέρω, ώστε να προκύψουν περισσότερες

πληροφορίες και κατά συνέπεια να μειωθεί ο κίνδυνος.

3.8 Ανάθεση ευθυνών

Η ανάθεση ευθυνών είναι μία από τις σημαντικές λειτουργίες της διαχείρισης

έργου και μπορεί να γίνει μέσω της διασύνδεσης ανάμεσα στην WBS και την OBS

(Organization Breakdown Structure). Αποτυπώνει ποιο άτομο (συνήθως συντονιστής

ομάδας) είναι υπεύθυνο για την παράδοση των παραδοτέων κάθε πακέτου εργασίας.

Η διασύνδεση αυτή μπορεί να απεικονιστεί και στο διάγραμμα Gantt του έργου.

Αυτό επιτυγχάνεται χρησιμοποιώντας κάποιο νέο πεδίο, το οποίο προσδιορίζει την

ευθύνη ή εναλλακτικά, αναγράφοντας μετά από κάθε δραστηριότητα το όνομα του

ατόμου που είναι υπεύθυνο για την εκτέλεσή και την ολοκλήρωσή της, όπως φαίνεται

στο σχήμα 3.16.

Σχήμα 3.16. Διάγραμμα Gantt με καταμερισμό ανθρώπινου δυναμικού στο Microsoft Project 2007

39

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4

ΧΡΟΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΟΥ

Ο στόχος του χρονικού προγραμματισμού ενός έργου είναι ο προσεγγιστικός

προσδιορισμός της χρονικής διάρκειας, της έναρξης και λήξης των δραστηριοτήτων,

των φάσεων και ολόκληρου του έργου. Συνήθως ο υπολογισμός της χρονικής διάρκειας

ενός έργου γίνεται με τη χρήση των μεθόδων PERT και CPM. Στο παρόν κεφάλαιο

αναπτύσσεται η μέθοδος PERT ενώ στο κεφάλαιο 5 παρουσιάζεται η μέθοδος CPM, η

οποία σχετίζεται και με το κόστος του έργου.

4.1 Τεχνική αποτίμησης και αναθεώρησης προγράμματος (PERT)

Στα τέλη της δεκαετίας του 1950, το Αμερικανικό Ναυτικό συνέστησε μια

ερευνητική ομάδα υπό τον ναύαρχο Red Raborn σε συνεργασία με την εταιρεία

Lockheed Aircraft Corporation και την εταιρεία συμβούλων Booz Allen & Hamilton, η

οποία ανέλαβε να σχεδιάσει ένα ενιαίο σύστημα προγραμματισμού και ελέγχου, το

οποίο θα έδινε τη δυνατότητα διοικητικού συντονισμού των εκατοντάδων υπεργολάβων

που εμπλέκονταν στο σχεδιασμό, την κατασκευή και τον έλεγχο του πυραυλικού

συστήματος υποβρυχίων Polaris.

Η τεχνική PERT (Program Evaluation and Review Technique) χρησιμοποιήθηκε

για πρώτη φορά το 1958 ως εργαλείο στατιστικού χειρισμού των πιθανών τιμών που

μπορεί να πάρει η χρονική διάρκεια του έργου.

Η επιτυχία του έργου Polaris συνέβαλε στην καθιέρωση της PERT ως εργαλείου

προγραμματισμού και την υιοθέτησή της από διάφορες επιχειρήσεις κατά τη δεκαετία

του 1960. Η PERT θεωρήθηκε ως η βασική αιτία της επιτυχίας του Polaris ενώ την ίδια

περίοδο η μέθοδος CPM δεν είχε ευρεία αναγνώριση, παρ’ ότι πρόσφερε λύση στο

πρόβλημα της κατανομής πόρων.

Στις μέρες μας, οι αρχικές διαφορές των CPM και PERT έχουν γεφυρωθεί σε

τόσο μεγάλο βαθμό που οι δύο όροι χρησιμοποιούνται πλέον εναλλακτικά και

υποδηλώνουν την συνολική διαδικασία προγραμματισμού και ελέγχου του έργου.

40

4.2 Διάρκειες δραστηριοτήτων

Συνήθως θεωρούμε ότι η διάρκεια κάθε δραστηριότητας στο δίκτυο του έργου

έχει καθορισμένη τιμή, η οποία προσδιορίζεται από την προϋπάρχουσα εμπειρία, καθώς

και από δεδομένα παρόμοιων έργων. Στην περίπτωση αυτή, οι περαιτέρω υπολογισμοί

επί του δικτύου γίνονται θεωρώντας κάθε διάρκεια ως αναμενόμενο χρόνο εκτέλεσης

της εκάστοτε δραστηριότητας. Πρέπει να τονίσουμε ότι, εφόσον οι διάρκειες

εκτιμώνται ως καθορισμένες δεν υπάρχει καμία μεταβλητότητα στο χρόνο.

Η επιτυχία αυτής της παραδοσιακής ντετερμινιστικής αντιμετώπισης περιορίζεται

σε απλό προγραμματισμό μικρών έργων, όπου οι δραστηριότητες ενέχουν ελάχιστο

ρίσκο. Ιστορικά η ντετερμινιστική θεώρηση ήταν απόρροια της ανάγκης του ανθρώπου

για βεβαιότητα, που εκφράζεται ως «συμμόρφωση» της πράξης-έργου με τις σκέψεις-

βούληση-σχεδιασμό. Στην πράξη όμως, διαπιστώθηκε, πολλές φορές οδυνηρά, ότι

υπάρχει εγγενής αβεβαιότητα λόγω της συνεργασίας αστάθμητων παραγόντων που

επάγουν αλλαγές στον τρόπο εκτέλεσης κάθε δραστηριότητας. Η αβεβαιότητα αυτή

εκδηλώνεται ως διακυμάνσεις στην διάρκεια και στο κόστος του έργου. Είναι πιο

ρεαλιστικό, λοιπόν, να θεωρήσουμε τις διάρκειες των δραστηριοτήτων ως στοχαστικές

μεταβλητές.

Η πρώτη απόπειρα εισαγωγής της στοχαστικής ανάλυσης στα δίκτυα έργων

οδήγησε στην τεχνική PERT.

4.3 Αβεβαιότητα χρονικής διάρκειας δραστηριοτήτων

Εφαρμόζοντας τη στοχαστική ανάλυση στο δίκτυο έργου, θεωρούμε ότι οι

χρονικές διάρκειες των δραστηριοτήτων ακολουθούν μία κατανομή, την οποία

εκτιμούμε είτε βάσει προηγούμενης ανάλογης εμπειρίας, είτε στατιστικά. Στα πλαίσια

αυτής της εργασίας θα περιοριστούμε στην απλούστερη παραδοχή ότι οι χρονικές

διάρκειες των δραστηριοτήτων είναι ανεξάρτητες και ισόνομες στοχαστικές

μεταβλητές. Η παραδοχή αυτή επιτρέπει να εφαρμόσουμε τα κλασσικά αποτελέσματα

(νόμος μεγάλων αριθμών, κεντρικό οριακό θεώρημα) που απλουστεύουν τους

υπολογισμούς και οδηγούν συνήθως σε ικανοποιητικές πρώτες εκτιμήσεις.

Η επικρατέστερη εκτίμηση για την κατανομή των χρόνων διάρκειας των

δραστηριοτήτων είναι ότι ακολουθούν την Βήτα κατανομή. Η εκτίμηση αυτή απορρέει

από την εμπειρία και χρησιμοποιείται συνήθως στην πράξη. Η μέθοδος PERT με την

Βήτα κατανομή είναι αρκετά αποτελεσματική.

41

Στο εγχειρίδιο PMBOK παρουσιάζεται ένας συγκεντρωτικός πίνακας σύγκρισης

των αποτελεσμάτων που δίνει η Βήτα κατανομή με τα αποτελέσματα που δίνει η

Τριγωνική κατανομή στην μέθοδο PERT, χωρίς να παρατίθεται κανένας υπολογισμός.

Δεν βρήκαμε εκτιμήσεις της μεθόδου PERT για άλλη κατανομή πιθανότητας. Η

τριγωνική κατανομή χρησιμοποιείται επίσης, σε πλήθος προβλημάτων της θεωρίας

λήψης αποφάσεων, καθώς και σε προσομοιώσεις (Sipper, D., Bulfin, R.L.,1997).

Στην παρούσα εργασία θεωρήσαμε ενδιαφέρον να συγκρίνουμε τα αποτελέσματα

που δίνουν οι δύο παραπάνω κατανομές καθώς και οι κατανομές Εκθετική, Weibull στη

μέθοδο PERT.

4.3.1 Διάρκειες δραστηριοτήτων που ακολουθούν την Βήτα κατανομή

Θεωρούμε ότι οι χρονικές διάρκειες των δραστηριοτήτων του έργου είναι

ανεξάρτητες και ισόνομες στοχαστικές μεταβλητές, που ακολουθούν την Βήτα

κατανομή. Στην Βήτα κατανομή μπορούμε να προσαρμόσουμε μεγάλο πλήθος

στοχαστικών μεταβλητών. Η στοχαστική συμπεριφορά των χρόνων των

δραστηριοτήτων μπορεί να περιγραφεί ικανοποιητικά από την παραπάνω κατανομή,

γιατί όπως φαίνεται στο σχήμα 4.1, έχει μια πιθανότερη τιμή ενώ οι δύο τιμές που

τέμνουν τον άξονα αντιστοιχούν σε πεπερασμένες θετικές τιμές.

Η καμπύλη της Βήτα κατανομής μοιάζει με την καμπύλη της κανονικής κατανομής,

με τη διαφορά ότι δεν είναι πάντα συμμετρική και τα άκρα της τέμνουν τον άξονα των

χρόνων t σε δύο σημεία at και bt , αντί να τον πλησιάζουν ασυμπωτικά (σχήμα 4.1).

Οι παράμετροι της Βήτα κατανομής ( )tf που χρησιμοποιήθηκε στη μέθοδο PERT,

επιλέχθηκαν ώστε η αναμενόμενη τιμή et της μεταβλητής t να δίνεται από τη σχέση

6

4 bmae

tttt

++=

και η μεταβλητότητά της 2te

σ από τη σχέση

2

2t 6e

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= ab ttσ ,

42

Σχήμα 4.1. Βήτα Κατανομή

όπου mt η πιθανότερη τιμή του t .

Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μιας στοχαστικής μεταβλητής t που

ακολουθεί την Βήτα κατανομή με παραμέτρους γ>0 και δ>0 είναι

( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

≥≤<<−⋅−⋅

=b

bαb

tttttt

και

δγ

a

a

tttttCtf

,0,

,

Όπου ( ) ( )∫ −⋅−

=b

a

t

ta ttt

Cdtt

1

bδγ

Η πιθανότερη τιμή mt της μεταβλητής t , η οποία αντιστοιχεί στην μέγιστη τεταγμένη

της καμπύλης, υπολογίζεται μηδενίζοντας την πρώτη παράγωγο της ( )tf :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )

( ) ( ) 0t-tt

0t

t-tttt-t

0tt-t

tt-tδ-tt-t

αb

b

ab1

b1

α

bα

1bαb

1α

=⋅−−⋅

⇒=−⋅−

⋅−−⋅⋅−⋅

⇒=−⋅

−⋅⋅−⋅⋅=

−−

−−

δγ

δγ

γ

δγ

δγ

δγ

δγδγ

tttt

tt

ttt

dttdf

a

Από την τελευταία εξίσωση προκύπτει ότι δγδγ

+⋅+⋅

= αbm

ttt .

Η αναμενόμενη τιμή της στοχαστικής μεταβλητής t είναι

( ) ( )

21t1

t be ++

+⋅++⋅=

δγγδat

και η διασπορά της είναι

( ) ( ) ( )( ) ( )32

112

22te ++⋅++

+⋅+⋅−=

δγδγδγσ ab tt (4.1)

43

Συνεπώς για τον προσδιορισμό της συνάρτησης ( )tf θα πρέπει να καθορισθούν οι

παράμετροι ,t,t bα γ και δ. Στην περίπτωση χρησιμοποίησης της Βήτα κατανομής στην

μέθοδο PERT, οι παράμετροι γ και δ ορίζονται με τέτοιο τρόπο ώστε να προκύψει

γραμμική σχέση μεταξύ των et και mt . Έτσι ορίζουμε

22 +=γ και 22 −=δ .

Με αντικατάσταση των παραπάνω τιμών στις παραμέτρους γ και δ προκύπτουν οι

σχέσεις

( ) ( )

4t2tt2 bbα

matt

−⋅++⋅=

και ( ) ( )

6t2tt2 bbα

ebaa ttt

t++−⋅++⋅

= .

Συνδυάζοντας τις δύο προηγούμενες σχέσεις προκύπτει ότι:

6

4 bmae

tttt

++= .

Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι δίνεται μεγαλύτερο βάρος στην πιθανότερη

τιμή mt , ενώ στους άλλους δύο εκτιμητές μικρότερα και ίσα μεταξύ τους βάρη.

Επίσης με αντικατάσταση των τιμών γ και δ στη σχέση (4.1) προκύπτει:

( )36122

te⋅−= ab ttσ ,

δηλαδή

2

2t 6e

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= ab ttσ .

Μετά την παραδοχή, ότι οι χρονικές διάρκειες των δραστηριοτήτων του έργου

ακολουθούν την βήτα κατανομή, τα μεγέθη et και 2te

σ θεωρούνται αντιστοίχως, ο

αναμενόμενος χρόνος ( )it και η μεταβλητότητα του χρόνου αυτού ( )i2σ της

δραστηριότητας (i).

Για τον υπολογισμό των παραπάνω μεγεθών, καθορίζονται για κάθε δραστηριότητα

τρεις χρόνοι ως εξής:

1) Ο αισιόδοξος χρόνος ( )ita . Ο χρόνος αυτός είναι ο ελάχιστος δυνατός, ο οποίος θα

επιτευχθεί αν η εκτέλεση της δραστηριότητας πραγματοποιηθεί κάτω από ιδανικές

συνθήκες εργασίας.

2) Ο πιθανότερος χρόνος ( )itm . Ο χρόνος αυτός αποτελεί την πιθανότερη εκτίμηση

44

για τον απαιτούμενο χρόνο εκτέλεσης της δραστηριότητας.

3) Ο απαισιόδοξος χρόνος ( )itb . Ο χρόνος αυτός είναι ο μέγιστος δυνατός, ο οποίος

θα επιτευχθεί αν η εκτέλεση της δραστηριότητας πραγματοποιηθεί κάτω από τις

πιο δυσμενείς συνθήκες εργασίας.

4.3.2 Διάρκειες δραστηριοτήτων που ακολουθούν την Τριγωνική κατανομή

Θεωρούμε ότι οι χρονικές διάρκειες των δραστηριοτήτων του έργου είναι

ανεξάρτητες και ισόνομες στοχαστικές μεταβλητές, που ακολουθούν την Τριγωνική

κατανομή. Διαπιστώνονται εύκολα κοινά χαρακτηριστικά της Τριγωνικής κατανομής

και της Βήτα κατανομής. Τα άκρα της καμπύλης της Τριγωνικής κατανομής τέμνουν

τον άξονα των χρόνων t σε δύο σημεία α και b, ενώ το c είναι η αντίστοιχη πιθανότερη

τιμή σχήμα 4.2. Όπως στην Βήτα κατανομή έτσι και στην Τριγωνική κατανομή

μπορούμε να προσαρμόσουμε μεγάλο πλήθος στοχαστικών μεταβλητών.

Σχήμα 4.2. Τριγωνική κατανομή


ακολουθεί την Τριγωνική κατανομή είναι

( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤<−⋅−

−⋅

≤≤⋅

⋅

=b,2

ctα,α-cα-b

α-t2

tccbab

tbtf

όπου [ ]bac ,∈ .

Η αναμενόμενη τιμή της μεταβλητής t είναι

3

cbate++

=


( ) ( )( )[ ]1818

22222te

bcacabbcacabcba −−+−=

−−−++=σ .

45


ακολουθούν την Τριγωνική κατανομή, τα μεγέθη et και 2te



δραστηριότητας (i).

Για τον υπολογισμό των παραπάνω μεγεθών, καθορίζονται, όπως και στην

περίπτωση της Βήτα κατανομής, για κάθε δραστηριότητα τρεις χρόνοι ως εξής:

1) Ο αισιόδοξος χρόνος ( )ia . Ο χρόνος αυτός είναι ο ελάχιστος δυνατός, ο οποίος θα

επιτευχθεί αν η εκτέλεση της δραστηριότητας πραγματοποιηθεί κάτω από ιδανικές

συνθήκες εργασίας.

2) Ο πιθανότερος χρόνος ( )ic . Ο χρόνος αυτός αποτελεί την πιο πιθανή εκτίμηση για

τον απαιτούμενο χρόνο εκτέλεσης της δραστηριότητας.

3) Ο απαισιόδοξος χρόνος ( )ib . Ο χρόνος αυτός είναι ο μέγιστος δυνατός, ο οποίος

θα επιτευχθεί αν η εκτέλεση της δραστηριότητας πραγματοποιηθεί κάτω από τις

πιο δυσμενείς συνθήκες εργασίας.

4.3.3 Διάρκειες δραστηριοτήτων που ακολουθούν την Εκθετική κατανομή

Θεωρούμε ότι οι διάρκειες των δραστηριοτήτων του έργου είναι ανεξάρτητες και

ισόνομες στοχαστικές μεταβλητές, που ακολουθούν την Εκθετική κατανομή με

παραμέτρους ( ) 0i >λ , ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∞<i

1λ , για κάθε δραστηριότητα i (βλ. Jan Magott, Kamil

Skudlarski, 1993).


ακολουθεί την Εκθετική κατανομή είναι

( )⎩⎨⎧

<≥⋅

=⋅

0,00t,eλ t-λ

ttf

και η γραφική παράσταση της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας δίνεται στο σχήμα

4.3, όπου παρουσιάζεται η καμπύλη της Εκθετικής κατανομής για τρεις τιμές της

παραμέτρου λ.

46

Σχήμα 4.3. Εκθετική κατανομή


λ1

=et


22t

1e λ

σ = .


ακολουθούν την Εκθετική κατανομή, τα μεγέθη et και 2te



δραστηριότητας ( )i με παράμετρο ( )iλ .

4.3.4 Διάρκειες δραστηριοτήτων που ακολουθούν την Weibull κατανομή

Θεωρούμε ότι οι διάρκειες των δραστηριοτήτων του έργου είναι ανεξάρτητες και

ισόνομες στοχαστικές μεταβλητές, που ακολουθούν την Weibull κατανομή με

παραμέτρους ( ) 0i >κ , ( ) 0i >λ , για κάθε δραστηριότητα i (βλ. Yousry H. Abdelkader,

2004).


ακολουθεί την Weibull κατανομή είναι

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≥⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

=

−

0,0

0,e)(-

1

t

tttf

t κ

λκ

λλκ

47

και η γραφική παράσταση της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας δίνεται από το

σχήμα 4.4, όπου παρουσιάζεται η καμπύλη της Weibull κατανομής για διάφορες τιμές

των παραμέτρων κ και λ.

Σχήμα 4.4. Weibull κατανομή


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ=

κλ 11et


⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ=

222 1121

κκλσ

et

όπου

ψψα α d∫+∞ −=Γ

0

ψ-1e)( (το ολοκλήρωμα αυτό είναι γνωστό σαν Γάμμα συνάρτηση).


ακολουθούν την Weibull κατανομή, τα μεγέθη et και 2te



δραστηριότητας ( )i με παραμέτρους ( )iκ και ( )iλ .

4.4 Αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσης του έργου

Μετά την κατασκευή του δικτύου του έργου γίνεται εκτίμηση της διάρκειας κάθε

δραστηριότητας με τρόπο που περιγράφτηκε παραπάνω. Οι διάρκειες των

48

δραστηριοτήτων χρησιμοποιούνται για να υπολογιστούν τόσο ο ενωρίτερος χρόνος

έναρξης/λήξης όσο και ο βραδύτερος χρόνος έναρξης/λήξης κάθε δραστηριότητας.

Ενωρίτερος Χρόνος Έναρξης – ES (Early Start) μιας δραστηριότητας είναι η

συντομότερη χρονική στιγμή έναρξής της, εφόσον οι προηγούμενες δραστηριότητες απ’

αυτή έχουν ολοκληρωθεί. Ο χρόνος αυτός είναι ίσος με τη μεγαλύτερη διαδρομή (σε

διάρκεια) από τη δραστηριότητα έναρξης μέχρι τη συγκεκριμένη. Ο υπολογισμός των

ενωρίτερων χρόνων έναρξης γίνεται με σάρωση του δικτύου από τη δραστηριότητα

έναρξης (κόμβος Start) προς τη δραστηριότητα λήξης (κόμβος Finish) υπολογίζοντας

διαδοχικά τον ενωρίτερο χρόνο έναρξης που θα πραγματοποιηθεί κάθε δραστηριότητα,

αν κάθε προηγούμενη δραστηριότητα πραγματοποιηθεί στο μέγιστο ενωρίτερο χρόνο

λήξης της. Συνεπώς, ES=maximumEF από τις αμέσως προηγούμενες

δραστηριότητες. Ο ενωρίτερος χρόνος έναρξης της δραστηριότητας έναρξης (κόμβος

Start) είναι μηδενικός.

Ενωρίτερος Χρόνος Λήξης – EF (Early Finish) μιας δραστηριότητας είναι η

συντομότερη χρονική στιγμή πραγματοποίησής της. Ο υπολογισμός των ενωρίτερων

χρόνων λήξης γίνεται με σάρωση του δικτύου από τη δραστηριότητα έναρξης (κόμβος

Start) προς τη δραστηριότητα λήξης (κόμβος Finish) προσθέτοντας στον ενωρίτερο

χρόνο έναρξης τη διάρκεια (Duration) της εκάστοτε δραστηριότητας δηλαδή

EF=ES+Dur.

Βραδύτερος Χρόνος Έναρξης – LS (Late Start) μιας δραστηριότητας είναι η

αργότερη χρονική στιγμή έναρξής της χωρίς να επηρεασθεί η συνολική διάρκεια του

έργου. Ο υπολογισμός των χρόνων αυτών γίνεται με σάρωση του δικτύου από την

δραστηριότητα λήξης προς την δραστηριότητα έναρξης (από τα δεξιά προς τα

αριστερά) αφαιρώντας την διάρκεια (Duration) από τον βραδύτερο χρόνο λήξης της

εκάστοτε δραστηριότητας δηλαδή LS=LF-Dur.

Βραδύτερος Χρόνος Λήξης – LF (Late Finish) μιας δραστηριότητας είναι η

αργότερη χρονική στιγμή πραγματοποίησής της χωρίς να επηρεασθεί η συνολική

διάρκεια του έργου. Ο χρόνος αυτός είναι ίσο με τη μικρότερη διαδρομή (σε διάρκεια)

από τη δραστηριότητα λήξης μέχρι τη συγκεκριμένη. Ο υπολογισμός των βραδύτερων

χρόνων λήξης γίνεται με σάρωση του δικτύου από τη δραστηριότητα λήξης προς τη

δραστηριότητα έναρξης (από τα δεξιά προς τα αριστερά) υπολογίζοντας κάθε φορά το

βραδύτερο χρόνο λήξης κάθε δραστηριότητας, αν κάθε προηγούμενη δραστηριότητα

που ακολουθεί πραγματοποιηθεί στον μικρότερο βραδύτερο χρόνο έναρξης της.

Συνεπώς, LF=minimumLS από τις αμέσως προηγούμενες δραστηριότητες. Στην αρχή

49

της διαδικασίας ο βραδύτερος χρόνος λήξης της δραστηριότητας λήξης θα ισούται με

τον μεγαλύτερο από τους χρόνους έναρξης.

Χρονικό περιθώριο – SL (Slack) μιας δραστηριότητας είναι η διαφορά μεταξύ του

ενωρίτερου και του βραδύτερου χρόνου έναρξής της δηλαδή LS-ES=SL ή η διαφορά

μεταξύ του ενωρίτερου και του βραδύτερου χρόνου λήξης της δηλαδή LF-EF=SL. Το

χρονικό περιθώριο μιας δραστηριότητας είναι ο χρόνος που μπορεί να καθυστερήσει η

υλοποίησή της χωρίς να καθυστερήσει ο χρόνος ολοκλήρωσης του έργου.

Δραστηριότητες με μηδενικό χρονικό περιθώριο αποτελούν δραστηριότητες που η

καθυστέρησή τους συνεπάγεται την καθυστέρηση του έργου.

Μια διαδρομή στο δίκτυο, οι δραστηριότητες της οποίας έχουν μηδενικό χρονικό

περιθώριο, ονομάζεται κρίσιμη διαδρομή. Οι δραστηριότητες που ανήκουν στην

κρίσιμη διαδρομή ονομάζονται κρίσιμες δραστηριότητες. Η κρίσιμη διαδρομή στο

δίκτυο έργου αποτελεί τη διαδρομή με τη μεγαλύτερη διάρκεια.

Ο αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσης του έργου ισούται με το άθροισμα των

αναμενόμενων διαρκειών των δραστηριοτήτων, που ανήκουν στην κρίσιμη διαδρομή.

Επειδή οι διάρκειες των δραστηριοτήτων υπετέθησαν ανεξάρτητες στοχαστικές

μεταβλητές, για έργα με πολλές δραστηριότητες, από το κεντρικό οριακό

θεώρημα, προκύπτει ότι η κατανομή πιθανότητας του αθροίσματος είναι η

κανονική κατανομή. Ο αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσης του έργου δίνεται από τη

σχέση

( )∑∈

=Ci

itT

ενώ η μεταβλητότητα του χρόνου αυτού ισούται με το άθροισμα των μεταβλητοτήτων

των διαρκειών των κρίσιμων δραστηριοτήτων και θα δίνεται αντίστοιχα από τη σχέση

( )∑∈

Τ =Ci

i22 σσ

όπου C το σύνολο των κρίσιμων δραστηριοτήτων.

4.5 Το πρότυπο παράδειγμα της §3.3

Θεωρούμε το έργο του παραδείγματος 3.3. Οι χρόνοι εκτιμήσεις της καθεμιάς

δραστηριότητας δίνονται στον κατωτέρω πίνακα

50

Εκτίμηση χρόνων (σε ημέρες)

Περίπτωση 1

Θεωρούμε ότι οι διάρκειες των δραστηριοτήτων ακολουθούν τη Βήτα κατανομή. Τότε

Το φύλλο εισαγωγής δεδομένων για την Βήτα κατανομή στο WinQSB δίνεται στον

πίνακα 4.1.

Πίνακας 4.1. Τα δεδομένα για την εκτίμηση των τριών χρόνων

Τα συγκεντρωτικά στοιχεία όπως αυτά προέκυψαν από τα δεδομένα του πίνακα 4.1

για τους χρόνους, την μέση τιμή και την τυπική απόκλιση των δραστηριοτήτων

Δραστηριότητα Αισιόδοξος Πιθανότερος Απαισιόδοξος A 25 30 45 B 10 15 20 C 20 25 35 D 3 3 5 E 5 7 12 F 1 1 1 G 4 5 7 H 2 2 3 I 4 4 6 J 8 10 14 K 6 8 15

Δραστηριότητα i tα tm tb t(i) σ2(i) σ(i) A 25 30 45 190/6 400/36 20/6 B 10 15 20 90/6 100/36 10/6 C 20 25 35 155/6 25/4 5/2 D 3 3 5 20/6 1/9 1/3 E 5 7 12 45/6 49/36 7/6 F 1 1 1 1 0 0 G 4 5 7 31/6 1/4 1/2 H 2 2 3 13/6 1/36 1/6 I 4 4 6 26/6 1/9 1/9 J 8 10 14 62/6 1 1 K 6 8 15 53/6 9/4 3/2

51

απεικονίζονται στον παρακάτω πίνακα 4.2.

Πίνακας 4.2. Αποτελέσματα για την εκτίμηση των τριών χρόνων

Συνεπώς, η κρίσιμη διαδρομή του έργου αποτελείται από τις δραστηριότητες C-E-I-

J-K. Κατά συνέπεια

• ο αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσης του έργου είναι

T=tC+tE+tI+tJ+tK=25.8333+7.5+4.3333+10.3333+8.8333=56.8332≅ 56.83 ημέρες

• και η μεταβλητότητα του χρόνου αυτού είναι

97.1025.2111.036.125.6)5.1(1)3333.0()1667.1()5.2( 2222222

J22

E2C

2

=++++==++++=++++= ΚΙ σσσσσσ T

Περίπτωση 2 Έστω ότι οι διάρκειες των δραστηριοτήτων ακολουθούν την Τριγωνική κατανομή.

Τότε

Το φύλλο εισαγωγής δεδομένων για την Τριγωνική κατανομή στο WinQSB δίνεται

στον πίνακα 4.3.

Δραστηριότητα i α c b t(i) σ2(i) σ(i) A 25 30 45 100/3 325/18 4.2492 B 10 15 20 45/3 75/18 2.0412 C 20 25 35 80/3 175/18 3.1180 D 3 3 5 11/3 4/18 0.4714 E 5 7 12 24/3 39/18 1.4720 F 1 1 1 3/3 0/18 0 G 4 5 7 16/3 7/18 0.6236 H 2 2 3 7/3 1/18 0.2357 I 4 4 6 14/3 4/18 0.4714 J 8 10 14 32/3 28/18 1.2472 K 6 8 15 29/3 67/18 1.9293

52

Πίνακας 4.3. Τα δεδομένα για την Τριγωνική κατανομή




Πίνακας 4.4. Αποτελέσματα για την Τριγωνική κατανομή

Με βάση τον πίνακα 4.4 συμπεραίνουμε ότι έχουν προκύψει δύο κρίσιμες

διαδρομές οι A-D-H-J-K και C-E-I-J-K. Προκειμένου να αποφασίσουμε ποια κρίσιμη

διαδρομή θα επιλέξουμε, υπολογίζουμε την μεταβλητότητα του χρόνου ολοκλήρωσης

κάθε κρίσιμης διαδρομής και η μεγαλύτερη από αυτές λαμβάνεται ως η μεταβλητότητα

του χρόνου ολοκλήρωσης του έργου.

Μεταβλητότητα της A-D-H-J-K

( ) ( ) ( ) ( ) ( )61.236111,237222.35555.10555.02222.00557.18

9293.12472.12357.04714.02492.4 2222222J

22D

2A

2

≅=++++==++++=++++= Κσσσσσσ HT

Μεταβλητότητα της C-E-I-J-K

53

( ) ( ) ( ) ( ) ( )39.173885.177222.35555.12222.01667.27219.9

9293.12472.14714.04720.11180.3 2222222J

22E

2C

2

≅=++++==++++=++++= Κσσσσσσ IT

Συνεπώς η κρίσιμη διαδρομή του έργου αποτελείται από τις δραστηριότητες

A-D-H-J-K. Άρα


T=tA+tD+tH+tJ+tK=33.3333+3.6667+2.3333+10.6667+9.6667=59.667≅ 59.67

ημέρες


( ) ( ) ( ) ( ) ( )61.236111,237222.35555.10555.02222.00557.18

9293.12472.12357.04714.02492.4 2222222J

22D

2A

2

≅=++++==++++=++++= Κσσσσσσ HT

Περίπτωση 3

Υποθέτουμε ότι οι διάρκειες των δραστηριοτήτων ακολουθούν την Εκθετική

κατανομή. Στον παρακάτω πίνακα 4.5 δίνεται ο πίνακας εισαγωγής δεδομένων στο

WinQSB.

Πίνακας 4.5. Τα δεδομένα για την Εκθετική κατανομή




54

Πίνακας 4.6. Αποτελέσματα για την Εκθετική κατανομή

Στην περίπτωση αυτή προκύπτει ότι η κρίσιμη διαδρομή του έργου αποτελείται από

τις δραστηριότητες C-E-I-J-K.

Κατά συνέπεια


T=tC + tE + tI + tJ + tK=37+11+9+13+16=86 ημέρες


711642512542515 2222222J

22E

2C

2 =++++=++++=++++= Κσσσσσσ IT

Περίπτωση 4 Υποθέτουμε ότι οι διάρκειες των δραστηριοτήτων ακολουθούν την Weibull

κατανομή. Στον παρακάτω πίνακα 4.7 δίνεται ο πίνακας εισαγωγής δεδομένων στο

WinQSB.

Πίνακας 4.7. Τα δεδομένα για την Weibull κατανομή




55

Πίνακας 4.8. Αποτελέσματα για την Weibull κατανομή

Στην περίπτωση αυτή προκύπτει ότι η κρίσιμη διαδρομή του έργου αποτελείται από

τις δραστηριότητες A-D-H-J-K.

Κατά συνέπεια


T=tA + tD + tH + tJ + tK=54.6296+5.7545+3.7860+17.6351+13.7253=95.53 ημέρες


62.261822379.239917124.070862724.042133081.039803481.069105969.0)6318.0()8418.0()6491.0()6309.0()8313.0( 2222222

J22

D2A

2

≅=++++==++++=++++= Κσσσσσσ HT

Ο πίνακας που ακολουθεί συγκεντρώνει τους υπολογισμούς και για τις τέσσερις

περιπτώσεις κατανομών.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ

Βήτα Τριγωνική Εκθετική Weibull

Κρίσιμη διαδρομή C-E-I-J-K A-D-H-J-K C-E-I-J-K A-D-H-J-K

Αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσης

56.83 59.67 86 95.53

Τυπική απόκλιση χρόνου ολοκλήρωσης

3.31 4.86 8.43 1.62

56

4.6 Καθορισμός πιθανότητας ολοκλήρωσης του έργου εντός ορισμένου χρόνου

Ο χρόνος ολοκλήρωσης Τ του έργου υποθέτουμε ότι ακολουθεί την κανονική

κατανομή, όπως αναφέρθηκε στην ενότητα 4.4. Η υπόθεση αυτή ισχύει βάσει του

κεντρικού οριακού θεωρήματος για μεγάλα έργα και δίνει καλές εκτιμήσεις και για

μικρομεσαία έργα. Μπορούμε έτσι, να εκτιμήσουμε την πιθανότητα ολοκλήρωσης του

έργου εντός ορισμένου χρόνου αφού έχει βρεθεί η κρίσιμη διαδρομή και έχει

υπολογιστεί η αναμενόμενη τιμή και η μεταβλητότητά της.

Από τη θεωρία πιθανοτήτων, αν μία τυχαία μεταβλητή Χ έχει την κατανομή Ν(μ, σ2),

τότε η τυχαία μεταβλητή σμ−

=XZ

, που λέγεται ανηγμένη της Χ, ακολουθεί την

Ν(0,1). Η τυποποιημένη κανονική κατανομή συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Ζ,

έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

( ) ∞<<−∞=Ζ

−z

z

,e21 2

2

πφ

και συνάρτηση κατανομής

( ) .e

21z

z

-

2t2

dt∫∞

=Φπ

Αν θέλουμε να βρούμε την Φ(z) για z<0 , τότε από τη συμμετρία της πυκνότητας

Φ(z) ως προς z=0 έχουμε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ).z11z −Φ−=−<−=−≥=≤=Φ zZPzZPzZP

Επίσης μπορούμε να βρούμε την πιθανότητα οποιαδήποτε κανονική κατανομή να

βρίσκεται σε ένα διάστημα (α,β). Αν Χ~Ν(μ,σ2) έχουμε

( ) .μ-αP ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Φ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Φ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≤Ζ≤=≤Χ≤σμα

σμβ

σμβ

σβαP

Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε ότι ο αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσης T του

έργου, είναι 56.83 χρονικές μονάδες και η μεταβλητότητα του χρόνου αυτού είναι

10.97, δηλαδή T~N(56.83, 10.97). Εξετάζεται δηλαδή η περίπτωση 1, όπου οι διάρκειες

των δραστηριοτήτων ακολουθούν την βήτα κατανομή. Η πιθανότητα να τελειώσει η

57

συναρμολόγηση του θαλαμίσκου του διαστημόπλοιου σε 54 ημέρες (όπως προκύπτει

από την ανάλυση του διαγράμματος δικτύου AON, σελ. 66) είναι

( ) ( ) %77.191977.08023.0185.0185.031.383.2

31.383.5654

==−=≤−=−≤=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≤=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≤ ZPZPZPZP

Ο διαχειριστής του έργου, θέλει να βρει, ποια θα είναι η αναμενόμενη διάρκεια

ολοκλήρωσης της συναρμολόγησης του θαλαμίσκου του διαστημόπλοιου με

πιθανότητα 90%. Προκειμένου να βρούμε την αναμενόμενη διάρκεια εργαζόμαστε ως

εξής:

ρεςημέttttZP 6108335.6125335.483.56285.131.3

83.5690.031.3

83.56≈=⇒=−⇒=

−⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≤

Άρα η αναμενόμενη διάρκεια ολοκλήρωσης της συναρμολόγησης του θαλαμίσκου

του διαστημόπλοιου με πιθανότητα 90% θα είναι 61 ημέρες.

4.7 Περίπτωση περισσοτέρων της μίας κρίσιμων διαδρομών

Όπως προαναφέρθηκε, για τον υπολογισμό της μεταβλητότητας σ2 του χρόνου

ολοκλήρωσης του έργου υποθέτουμε χάριν απλότητας μία μόνον κρίσιμη διαδρομή.

Βάσει της παραδοχής αυτής υπολογίστηκε η πιθανότητα εκτελέσεως του έργου εντός

ορισμένου χρόνου.

Πολλές φορές στην πράξη παρουσιάζονται περιπτώσεις, κατά τις οποίες το δίκτυο

έργου έχει περισσότερες από μία κρίσιμες διαδρομές. Στις περιπτώσεις αυτές, ο

υπολογισμός της μεταβλητότητας του χρόνου ολοκλήρωσης του έργου ενδέχεται να

είναι εξαιρετικά πολύπλοκος.

Η απλούστερη παραδοχή είναι ότι στις περιπτώσεις πολλών κρίσιμων διαδρομών

υπολογίζονται οι μεταβλητότητες που αντιστοιχούν σε κάθε κρίσιμη διαδρομή του

έργου και η μεγαλύτερη από αυτές λαμβάνεται ως η μεταβλητότητα του χρόνου

ολοκλήρωσης του έργου. Στη συνέχεια οι απαιτούμενοι υπολογισμοί

πραγματοποιούνται με την ίδια διαδικασία όπως και στην περίπτωση του δικτύου μίας

κρίσιμης διαδρομής. Δηλαδή, αγνοείται η επίδραση των υπολοίπων κρίσιμων

διαδρομών στην τιμή της πιθανότητας ολοκλήρωσης του έργου εντός ορισμένου

χρόνου, αγνοώντας τις μεταξύ τους αλληλεξαρτήσεις. Δύο κρίσιμες διαδρομές

58

αλληλοεξαρτώνται αν και μόνο αν έχουν τουλάχιστον μία κοινή κρίσιμη

δραστηριότητα.

Όταν διαπιστώνεται ότι οι αλληλεξαρτήσεις δεν μπορούν να αγνοηθούν ο

υπεύθυνος του έργου ανάλογα με το δίκτυο έργου που προκύπτει καλείται να κάνει

ποιοτικές εμπειρικές εκτιμήσεις, βάσει των δεδομένων εκάστης κρίσιμης διαδρομής,

του βαθμού της αλληλεξάρτησης (πόσες και ποιες κοινές κρίσιμες δραστηριότητες

έχουν) καθώς και των συνολικών προδιαγραφών και επιπτώσεων του έργου. Στην

ποιοτική εκτίμηση ιδιαίτερη μέριμνα πρέπει να ληφθεί για τις διαδρομές, οι οποίες δεν

είναι κρίσιμες, παρουσιάζουν όμως πολύ μικρό χρονικό περιθώριο και μεγάλη

μεταβλητότητα.

Δεδομένου ότι όλες οι κρίσιμες διαδρομές δίνουν ως αποτέλεσμα τον αυτό

αναμενόμενο χρόνο ολοκλήρωσης του έργου αλλά οι μεταβλητότητες μπορεί να

διαφέρουν, ως ολική εκτίμηση της διάρκειας του έργου μπορεί ίσως να χρησιμοποιηθεί

η κοινή αναμενόμενη τιμή για τον χρόνο ολοκλήρωσης των κρίσιμων διαδρομών, με

σφάλμα ίσο με το μέσο όρο των μεταβλητοτήτων των κρίσιμων διαδρομών.

59

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ

Η εκτίμηση και η διαχείριση του κόστους του έργου αποτελεί καθοριστικό

παράγοντα τόσο για την ανάληψή του όσο και για την επιτυχή ολοκλήρωσή του.

Κόστος του έργου αποτελούν οι δαπάνες που γίνονται και αφορούν το έργο.

Περιλαμβάνει το κόστος των πόρων και των υπηρεσιών που συμβάλλουν στην

διεκπεραίωση του έργου.

5.1 Μέθοδος της κρίσιμης διαδρομής (CPM)

Η μέθοδος CPM (Critical Path Method), η οποία αποκαλείται επίσης και ανάλυση

κρίσιμης διαδρομής (CPA, Critical Path Analysis), αναπτύχθηκε γύρω στο 1957 από

την εταιρεία Remington Rand Univac, η οποία χρειαζόταν ένα εργαλείο

προγραμματισμού και ελέγχου που θα την βοηθούσε να βελτιώσει το χρόνο απόκρισής

της, από την παραγωγή ως την πώληση του προϊόντος. Τα πλεονεκτήματα της μεθόδου

έγιναν γρήγορα ορατά και τα έξοδα έρευνας αποσβέστηκαν.

Η CPM δημιουργήθηκε αρχικά για να αντιμετωπίσει τη σχέση χρόνου-κόστους που

προβλημάτιζε πολύ συχνά τους διευθυντές έργου και προέκυπτε από το γεγονός ότι η

σχέση ανάμεσα στο χρόνο μέχρι την ολοκλήρωση (time to complete) και το κόστος

μέχρι την ολοκλήρωση (cost to complete) είναι εξαιρετικά πολύπλοκη.

5.2 Παράγοντες βελτιστοποίησης κόστους του έργου

Ο πρωταρχικός στόχος του προγραμματισμού είναι η επίτευξη του βέλτιστου

κόστους του έργου τηρώντας τους χρονικούς περιορισμούς, έτσι το πρόβλημα της

βελτιστοποίησης του έργου ανάγεται στον υπολογισμό της «χρυσής τομής» για την

σχέση «χρονική διάρκεια-κόστους έργου». Οι παράγοντες που επηρεάζουν τη

διαδικασία βελτιστοποίησης του κόστους ποικίλουν ανάλογα με το είδος του έργου και

είναι οι εξής:

60

5.2.1 Χρονική συμπίεση δραστηριοτήτων

Από τη φύση τους, ορισμένες δραστηριότητες κάποιου έργου μπορούν να

υλοποιηθούν ταχύτερα από την προγραμματισμένη διάρκεια τους και άλλες είναι

αδύνατον να επιταχυνθούν. Έτσι για δραστηριότητες που με κάποιο τρόπο μπορεί να

μειωθεί ο χρόνος υλοποίησής τους λέμε ότι μπορούν να συμπιεστούν ενώ για άλλες που

ο απαιτούμενος χρόνος υλοποίησής τους δεν μπορεί να μειωθεί λέμε ότι δεν

επιδέχονται συμπίεση. Επιπλέον για κάθε συμπιεστή δραστηριότητα μπορεί να

καθοριστεί ο αριθμός των δυνατών χρονικών μονάδων συμπίεσης δεδομένου ότι δεν

μπορεί να συμπιέζεται απεριόριστα. Αν η προγραμματισμένη χρονική διάρκεια μιας

δραστηριότητας θεωρηθεί ως η κανονική, τότε η χρονική διάρκεια της ίδιας

δραστηριότητας κατόπιν μέγιστης συμπίεσης θεωρείται ως η ελάχιστη δυνατή διάρκεια

της δραστηριότητας.

5.2.2 Κόστος

Η κατανομή του κόστους κάθε δραστηριότητας στο χρόνο δεν είναι ομοιόμορφη εν

γένει. Όταν παραβιάζονται οι χρονικοί περιορισμοί το κόστος δύναται να αυξάνει

δραματικά. Για να μπορέσουμε να έχουμε μία πρώτη εκτίμηση του προβλήματος θα

θεωρήσουμε την απλούστερη περίπτωση γραμμικής σχέσης κόστους-χρόνου. Θα

διακρίνουμε στα πλαίσια της γραμμικής υπόθεσης τα κόστη σε δύο κλάσεις: έμμεσο

κόστος, δεν καταγράφεται άμεσα σε κάποια συγκεκριμένη δραστηριότητα του έργου

παρόλα αυτά επιβαρύνει το έργο και άμεσο κόστος που περιλαμβάνει τις δαπάνες που

γίνονται αποκλειστικά για τις δραστηριότητες.

Η μείωση της διάρκειας του έργου μπορεί να απαιτεί περισσότερους πόρους ανά

χρονική μονάδα, άρα μεγαλύτερο κόστος. Για τον λόγο αυτό προς τη λήξη του έργου το

κόστος συνήθως αυξάνει θεαματικά επειδή γίνεται προσπάθεια απορρόφησης των

καθυστερήσεων και επίσπευσης των εργασιών. Επειδή το συνολικό άμεσο κόστος του

έργου είναι το άθροισμα του άμεσου κόστους όλων των δραστηριοτήτων του, η

προσπάθεια ελέγχου του επικεντρώνεται στον προγραμματισμό και στον σχεδιασμό

κάθε επί μέρους δραστηριότητας.

Η σχέση «άμεσο κόστος ανά χρονική μονάδα-χρονική διάρκεια δραστηριότητας»

είναι αντιστρόφως ανάλογη δηλαδή για να μειωθεί η διάρκεια μιας δραστηριότητας

πρέπει ν’ αυξηθεί το κόστος των πόρων κατά χρονική μονάδα και στην πράξη

λαμβάνεται σαν γραμμική. Έτσι αν θεωρηθεί ότι:

61

• η ελάχιστη διάρκεια υλοποίησης μιας δραστηριότητας είναι tmin η οποία

επιτυγχάνεται όταν διαθέτουμε το επιπλέον από το κανονικό (μέγιστο) κόστος

(ανά μονάδα χρόνου) Kmax της συντομότερης διάρκειά της

• η κανονική διάρκεια υλοποίησης μιας δραστηριότητας είναι tmax η οποία

επιτυγχάνεται όταν διαθέτουμε το συνηθισμένο (ελάχιστο) κόστος (ανά μονάδα

χρόνου) Kmin της κανονικής της διάρκειας

τότε η επίσπευση της δραστηριότητας κατά μια χρονική μονάδα αυξάνει το άμεσο

κόστος της κατά

minmax

minmax

ttKK

−−

το οποίο αποτελεί το κόστος συμπίεσης (compression cost) αυτής της δραστηριότητας.

Το έμμεσο κόστος προσδιορίζεται στο ξεκίνημα του έργου ή διαμορφώνεται κατά τη

διάρκεια εκτέλεσής του. Στη γενικότερη περίπτωση το έμμεσο κόστος εξελίσσεται

γραμμικά, συνεπώς το συνολικό έμμεσο κόστος είναι ανάλογο του χρόνου δηλαδή

αυξάνεται ή μειώνεται κατά ένα σταθερό ποσό κάθε φορά που η συνολική διάρκεια του

έργου επιμηκύνεται ή συντομεύεται αντίστοιχα κατά μια μονάδα χρόνου.

Όμως το συνολικό κόστος της δραστηριότητας διαμορφώνεται τόσο από το έμμεσο

όσο και από το άμεσο κόστος. Κατά συνέπεια είναι πιθανό να υπάρχει μια χρονική

διάρκεια topt μεταξύ των tmin και tmax για την οποία το συνολικό κόστος είναι ελάχιστο

όπως απεικονίζεται στο σχήμα 5.1.

Σχήμα 5.1. Χρονική εξέλιξη συνολικού κόστους

Επειδή, όμως, η βέλτιστη χρονική διάρκεια της δραστηριότητας εξαρτάται άμεσα

από τη σχέση μεταξύ άμεσου και έμμεσου κόστους, παρατηρούμε τα ακόλουθα:

62

• Εφόσον το έμμεσο κόστος υπερτερεί σε αυτή τη σχέση, τότε η βέλτιστη διάρκεια

topt θα μετακινείται προς την κατεύθυνση του tmin το οποίο σημαίνει ότι επιδίωξη

αποτελεί η συντομότερη υλοποίηση της δραστηριότητας.

• Αντίθετα, εφόσον υπερτερεί το άμεσο κόστος τότε η βέλτιστη διάρκεια topt θα

μετακινείται προς την κατεύθυνση του tmax το οποίο σημαίνει ότι επιδίωξη

αποτελεί η βραδύτερη υλοποίηση της δραστηριότητας.

5.3 Βελτιστοποίηση κόστους του έργου με τη μέθοδο CPM

Το συνολικό κόστος του έργου προκύπτει αθροίζοντας τα κόστη των

δραστηριοτήτων. Το βέλτιστο κόστος του έργου όμως δεν προκύπτει αθροίζοντας τα

βέλτιστα κόστη των δραστηριοτήτων. Αυτό συμβαίνει γιατί στον υπολογισμό του

βέλτιστου κόστους κάθε δραστηριότητας δεν λαμβάνονται υπόψη οι σχέσεις

αλληλεξάρτησης των δραστηριοτήτων, ενώ στον υπολογισμό του βέλτιστου κόστους

του έργου λαμβάνονται υπόψη οι αλληλεξαρτήσεις των δραστηριοτήτων.

Επειδή στην πράξη η εύρεση της μαθηματικής έκφρασης της καμπύλης του

συνολικού κόστους του έργου σε σχέση με τη διάρκειά του είναι δύσκολη,

χρησιμοποιούνται προσεγγιστικές εκτιμήσεις όπως η μέθοδος CPM, με την οποία

προσδιορίζονται σημεία της καμπύλης και τοπικά ελάχιστα. Εάν χρειάζεται εκτίμηση

της καμπύλης γίνεται με παρεμβολή (interpolation).

5.3.1 Προϋποθέσεις εφαρμογής της CPM

Στην αρχή της διαδικασίας ο διαχειριστής του έργου (Project Manager) με βάση το

κόστος των πόρων και το αντίστοιχο χρονοδιάγραμμα του έργου, εκτιμά για κάθε

δραστηριότητα:

• Τη μέγιστη διάρκειά της tmax, η οποία εκφράζει τον προβλεπόμενο χρόνο για την

υλοποίησή της κάτω από κανονικές συνθήκες.

• Την ελάχιστη δυνατή διάρκειά της tmin, η οποία εκφράζει τον ελάχιστο δυνατό

χρόνο για την υλοποίησή της. Οι χρόνοι tmax και tmin εκτιμώνται από την εμπειρία

ανάλογων έργων κατά το παρελθόν.

• Το χρονικό περιθώριο συμπίεσης, το οποίο προκύπτει από τη διαφορά tmax- tmin.

63

• Το συνολικό άμεσο κόστος της σε κάθε περίπτωση (Kmin και Kmax αντίστοιχα) με

βάση το κόστος των πόρων που μπορεί να της ανατεθούν.

• Το άμεσο κόστος συμπίεσης για κάθε χρονική μονάδα, δηλαδή το πόσο κοστίζει η

μείωση της χρονικής διάρκειας της δραστηριότητας κατά μια χρονική μονάδα με

βάση την σχέση minmax

minmax

ttKK

−−

.

Επίσης απαιτείται να γνωρίζουμε το έμμεσο κόστος ανά χρονική μονάδα.

5.3.2 Χρονικά στοιχεία δραστηριότητας

Στα γραφήματα δραστηριοτήτων, για κάθε δραστηριότητα ορίζονται:

i. Ο ενωρίτερος χρόνος έναρξης – ES

ii. Ο ενωρίτερος χρόνος λήξης – EF

iii. Ο βραδύτερος χρόνος έναρξης – LS

iv. Ο βραδύτερος χρόνος λήξης – LF

5.3.3 Υπολογισμός κρίσιμης διαδρομής

Παρακάτω περιγράφεται ο αλγόριθμος για την εύρεση της κρίσιμης διαδρομής με

τη μέθοδο CPM σε γραφήματα δραστηριοτήτων (όλες οι λογικές συνδέσεις είναι τύπου

FS).

Αλγόριθμος υπολογισμού κρίσιμης διαδρομής σε γραφήματα δραστηριοτήτων

Αρίθμηση δραστηριοτήτων

Βήμα 1: Δώσε τον αριθμό 0 στην δραστηριότητα έναρξης.

Βήμα 2: Δώσε τον επόμενο αύξοντα αριθμό σε οποιαδήποτε μη αριθμημένη

δραστηριότητα, οι προαπαιτούμενες δραστηριότητες της οποίας έχουν ήδη αριθμηθεί.

Επανέλαβε το Βήμα 2 ώστε να αριθμηθεί και η τελευταία δραστηριότητα/λήξη.

Σάρωση προς τα εμπρός

Βήμα 1: Θεωρούμε ES(0)=0 και EF(0)=0.

Για j=1,2,3,…,n (όπου n η τελευταία δραστηριότητα), έχουμε

Βήμα 2: ES( j )=maximumEF( i )/ i=0,1,…,j-1 και σij=1

σij=1, i<j σημαίνει ότι η δραστηριότητα i είναι προαπαιτούμενη για την

δραστηριότητα j.

Βήμα 3: EF( j )=ES( j )+Dj όπου Dj η χρονική διάρκεια της δραστηριότητας j.

64

Σάρωση προς τα πίσω

Βήμα 1: Έστω L(n) η απαιτούμενη χρονική διάρκεια για την ολοκλήρωση του έργου.

Τότε LS(n)=L(n) και LF(n)=L(n).

Για i=n-1,n-2,…,0, έχουμε

Βήμα 2: LF( i )=minimumLS( j )/ j=i+1, i+2,…,n και σij=1

όπου το ελάχιστο υπολογίζεται σε σχέση με όλες τις δραστηριότητες ( j ), οι οποίες

έχουν ως προαπαιτούμενη δραστηριότητα την i.

Βήμα 3: LS( i )=LF( i )-Di .

Θεωρούμε το έργο του παραδείγματος της §3.3. Σημειώνουμε ότι τις

δραστηριότητες της έχουμε ονομάσει με γράμματα όπου στον κόμβο Start αντιστοιχεί

το 0, στην δραστηριότητα Α το 1, στην Β το 2, στην C το 3,…, στον τελευταίο κόμβο

Finish το 13.

Εφαρμόζοντας το πρώτο στάδιο του αλγορίθμου προκύπτει το παρακάτω γράφημα.

Στη συνέχεια προχωρούμε στη σάρωση του δικτύου από την έναρξη προς τη λήξη του

έργου (από τα αριστερά προς τα δεξιά), όπως περιγράφεται στο δεύτερο στάδιο του

αλγορίθμου. Έτσι έχουμε:

0)(0)( =→= StartEFSatrtES

30300)(0)( =+=→= AEFAES

15150)(0)( =+=→= BEFBES

25250)(0)( =+=→= CEFCES

33330)(30)( =+=→= DEFDES

16115)(15)( =+=→= FEFFES

32725)(25)( =+=→= EEFEES

38533)(3316,33max)( =+=→== GEFGES

35233)(3316,33max)( =+=→== HEFHES

65

36432)(3232,16max)( =+=→== IEFIES

461036)(3636,35max)( =+=→== JEFJES

54846)(4646,38max)( =+=→== KEFKES

54)(54)( =→= FinishEFFinishES

Στο τρίτο στάδιο, σαρώνουμε το δίκτυο από τη λήξη προς την έναρξη του έργου (από

τα δεξιά προς τα αριστερά). Έτσι έχουμε:

54)(54)( =→= FinishLSFinshLF

46854)(54)( =−=→= KLSKLF

41546)(46)()( =−=→== GLSKLSGLF

361046)(46)()( =−=→== JLSKLSJLF

34236)(36)()( =−=→== HLSJLSHLF

32436)(36)()( =−=→== ILSJLSILF

31334)(3434,41min)( =−=→== DLSDLF

31132)(3232,34,41min)( =−=→== FLSFLF

25732)(32)( =−=→= ELSELF

13031)(31)( =−=→= ALSALF

161531)(31)( =−=→= BLSBLF

02525)(25)( =−=→= CLSCLF

0)(00,16,1min)( =→== StartLSStartLF

Υπολογισμός του χρονικού περιθωρίου − SL για κάθε δραστηριότητα:

000)( =−=StartSL

101)( =−=ASL

16016)( =−=BSL

000)( =−=CSL

13031)( =−=DSL

161531)( =−=FSL

02525)( =−=ESL

83341)( =−=GSL

13334)( =−=HSL

66

03232)( =−=ISL

03636)( =−=JSL

04646)( =−=KSL

05454)( =−=FinishSL

Οι δραστηριότητες έναρξη/Start και λήξη/Finish αποτελούν ορόσημα και δεν έχουν

πραγματική διάρκεια.

Παρατηρούμε πως ορισμένες από τις δραστηριότητες έχουν μηδενικό χρονικό

περιθώριο. Αυτό δείχνει πως πιθανή καθυστέρηση ολοκλήρωσης μιας από αυτές τις

δραστηριότητες συνεπάγεται καθυστέρηση περάτωσης του έργου. Συμπεραίνουμε ότι

οι δραστηριότητες με μηδενικό χρονικό περιθώριο θα πρέπει να αρχίζουν και να

ολοκληρώνονται σύμφωνα με το πρόγραμμα. Είναι δηλαδή κατά κάποιο τρόπο πιο

σημαντικές από τις υπόλοιπες με μη μηδενικό χρονικό περιθώριο και κατά την

υλοποίηση του έργου πρέπει να δίνεται ιδιαίτερη προσοχή. Εξαιτίας αυτής της

ιδιαιτερότητάς τους ονομάζονται κρίσιμες δραστηριότητες.

Έχοντας ολοκληρώσει τους υπολογισμούς των χρονικών στοιχείων κάθε

δραστηριότητας συνοψίζουμε τα αποτελέσματα στον παρακάτω πίνακα 5.1.

Πίνακας 5.1. Χρονικά στοιχεία κάθε δραστηριότητας

Με βάση τα στοιχεία του πίνακα 5.1 η κρίσιμη διαδρομή είναι η Start-C-E-I-J-K-

FINISH και απεικονίζεται στο παρακάτω διάγραμμα δικτύου σχήμα 5.2 από το οποίο

συμπεραίνουμε ότι ο αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσης του έργου είναι 54 ημέρες.

Δραστηριότητα Αναμενόμενη διάρκεια

ES

EF

LF

LS

SL

Κρίσιμη

Start - 0 0 0 0 0 ναι A 30 0 30 31 1 1 όχι B 15 0 15 31 16 16 όχι C 25 0 25 25 0 0 ναι D 3 30 33 34 31 1 όχι E 7 25 32 32 25 0 ναι F 1 15 16 32 31 16 όχι G 5 33 38 46 41 8 όχι H 2 33 35 36 34 1 όχι I 4 32 36 36 32 0 ναι J 10 36 46 46 36 0 ναι K 8 46 54 54 46 0 ναι Finish - 54 54 54 54 0 ναι

67

Σχήμα 5.2. Κρίσιμη διαδρομή

5.3.4 Βελτιστοποίηση κόστους

Αρχικά κατασκευάζονται δύο διαγράμματα δικτύου του έργου, το πρώτο με τις

ελάχιστες και το δεύτερο με τις κανονικές διάρκειες των δραστηριοτήτων αντίστοιχα.

Καθορίζονται με τον τρόπο αυτόν τα χρονικά όρια για τη διάρκεια ολοκλήρωσης του

έργου, πάντα κατά τη φάση του σχεδιασμού. Υπολογίζεται το συνολικό κόστος στην

περίπτωση της μεγαλύτερης διάρκειας.

Στη συνέχεια, με βάση το διάγραμμα δικτύου με τη μεγαλύτερη διάρκεια, αρχίζει η

διαδικασία χρονικής συμπίεσης των δραστηριοτήτων κατά μια χρονική μονάδα, ενώ

παράλληλα σε κάθε φάση της υπολογίζεται το αντίστοιχο συνολικό κόστος. Εφόσον

κατά τη συμπίεση το συνολικό κόστος μειώνεται, η διαδικασία συμπίεσης συνεχίζεται

μέχρι τη στιγμή που θ’ αρχίσει αυτό το κόστος ν’ αυξάνεται. Το τελευταίο μικρότερο

συνολικό κόστος αποτελεί και το ελάχιστο συνολικό κόστος του έργου και η αντίστοιχη

χρονική διάρκεια τη βέλτιστη χρονική διάρκεια του έργου.

Η επιλογή των δραστηριοτήτων που κάθε φορά συμπιέζονται ακολουθεί τους

παρακάτω ιεραρχημένους κανόνες:

i. Συμπιέζονται οι δραστηριότητες της κρίσιμης διαδρομής που παρουσιάζουν το

ελάχιστο κόστος συμπίεσης.

ii. Σε περίπτωση ύπαρξης περισσότερων της μίας κρίσιμων διαδρομών υπάρχουν δύο

εναλλακτικές λύσεις:

1) Συμπιέζεται η κοινή δραστηριότητα με το ελάχιστο κόστος συμπίεσης (εφόσον

υπάρχει).

2) Συμπιέζονται από μια δραστηριότητα με το ελάχιστο κόστος συμπίεσης σε κάθε

κρίσιμη διαδρομή.

Κριτήριο επιλογής μιας εκ των δύο λύσεων (εφόσον υπάρχει τέτοια επιλογή), είναι

ποια λύση δίνει το μικρότερο κόστος συμπίεσης.

68

Σε κάθε φάση συμπίεσης σχεδιάζεται το αντίστοιχο διάγραμμα δικτύου και

εντοπίζονται οι κρίσιμες διαδρομές.

Θεωρούμε το έργο του παραδείγματος της §3.3. Οι κανονικοί χρόνοι (normal time),

οι συμπιεσμένοι χρόνοι (crash time), το κανονικό κόστος (normal cost) και το

«συμπιεσμένο» κόστος (crash cost) καθεμιάς δραστηριότητας δίνονται στον πίνακα 5.2.

Δραστηριότητα

Κανονικοί χρόνοι

Συμπιεσμένοι χρόνοι

Κανονικά κόστη

Συμπιεσμένα κόστη

A

30

27

620,000

860,000

B

15

13

430,000

490,000

C

25

22

330,000

510,000

D

3

1

180,000

260,000

E

7

5

210,000

270,000

F

1

-

100,000

-

G

5

3

250,000

350,000

H

2

1

180,000

280,000

I

4

3

160,000

200,000

J

10

8

260,000

340,000

K

8

5

200,000

380,000

Πίνακας 5.2. Κανονικά (normal) και συμπιεσμένα (crash) κόστη-Κανονικοί, συμπιεσμένοι χρόνοι

Από τον παραπάνω πίνακα 5.2 η πρόσθεση του κανονικού και του συμπιεσμένου

κόστους των δραστηριοτήτων είναι $2920 million και $3940 million αντίστοιχα.

Επίσης δίνεται ότι:

• Σαν χρονική μονάδα λαμβάνεται η εργάσιμη ημέρα.

• Τα ποσά εκφράζονται σε εκατομμύρια δολάρια ($ million).

• Το έμμεσο ημερήσιο κόστος εκτιμάται σε $45,000 million.

Επίλυση του Προβλήματος

Ο πίνακας που ακολουθεί περιέχει τα συγκεντρωτικά στοιχεία όπως αυτά προέκυψαν

από τα δεδομένα του πίνακα 5.2 για το χρονικό περιθώριο συμπίεσης (maximum

reduction in time) καθώς και το κόστος συμπίεσης για κάθε μια χρονική μονάδα (crash

cost per day saved) κάθε δραστηριότητας.

69

Δραστηριότητα Κανονικοί χρόνοι

Συμπιεσμένοι χρόνοι

Κανονικά κόστη

Συμπιεσμένα κόστη

Περιθώριο συμπίεσης

Άμεσο κόστος συμπίεσης ανά χρονική μονάδα ($)

A

30

27

620,000

860,000

3

80,000

B

15

13

430,000

490,000

2

30,000

C

25

22

330,000

510,000

3

60,000

D

3

1

180,000

260,000

2

40,000

E

7

5

210,000

270,000

2

30,000

F

1

-

100,000

-

-

-

G

5

3

250,000

350,000

2

50,000

H

2

1

180,000

280,000

1

100,000

I

4

3

160,000

200,000

1

40,000

J

10

8

260,000

340,000

2

40,000

K

8

5

200,000

380,000

3

60,000

Πίνακας 5.3. Κόστος και χρονικό περιθώριο συμπίεσης

1) Κατασκευή του διαγράμματος δικτύου AON με τους «συμπιεσμένους» (ελάχιστους)

χρόνους των δραστηριοτήτων:

Σχήμα 5.3. Διάγραμμα δικτύου AON για τους συμπιεσμένους χρόνους

Σαρώνοντας το δίκτυο του σχήματος 5.3 από αριστερά προς τα δεξιά (forward)

υπολογίζουμε τους ενωρίτερους χρόνους έναρξης και λήξης, ενώ σαρώνοντας το δίκτυο

από δεξιά προς τα αριστερά (backward) υπολογίζουμε τους βραδύτερους χρόνους

έναρξης/λήξης. Στη συνέχεια υπολογίζουμε το χρονικό περιθώριο κάθε

δραστηριότητας. Ο πίνακας που ακολουθεί περιέχει τα συγκεντρωτικά στοιχεία για

τους χρόνους των δραστηριοτήτων.

70

Δραστηριότητα Αναμενόμενη διάρκεια

ES

EF

LS

LF

SL

Κρίσιμη

Start 0 0 0 0 0 0 ναι A 27 0 27 1 28 1 όχι B 13 0 13 14 27 14 όχι C 22 0 22 0 22 0 ναι D 1 27 28 28 29 1 όχι E 5 22 27 22 27 0 ναι F - 13 13 27 27 14 όχι G 3 28 31 35 38 7 όχι H 1 28 29 29 30 1 όχι I 3 27 30 27 30 0 ναι J 8 30 38 30 38 0 ναι K 5 38 43 38 43 0 ναι Finish 0 43 43 43 43 0 ναι Πίνακας 5.4. Αποτελέσματα για το δίκτυο AON του σχήματος 5.3

Συνεπώς, η κρίσιμη διαδρομή αποτελείται από τις δραστηριότητες Start-C-E-I-J-K-

Finish και απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα 5.4.

Σχήμα 5.4. Κρίσιμη διαδρομή για την ελάχιστη διάρκεια του έργου

Η ελάχιστη διάρκεια της συναρμολόγησης του θαλαμίσκου του διαστημόπλοιου

προβλέπεται να είναι 43 εργάσιμες ημέρες και το συνολικό κόστος θα είναι

$3940+(43×45,000) =$3940+$1935=$5875 millions.

2) Κατασκευή του διαγράμματος δικτύου AON με τους κανονικούς χρόνους (έχει ήδη

υπολογισθεί για την εύρεση της κρίσιμης (κρίσιμων) διαδρομής (διαδρομών))

ακολουθεί στο σχήμα 5.5.

Σχήμα 5.5. Κρίσιμη διαδρομή για την μέγιστη διάρκεια του έργου

71

Συνοψίζοντας:

Η μέγιστη διάρκεια του έργου είναι 54 εργάσιμες ημέρες.

Η κρίσιμη διαδρομή είναι Start-C-E-I-J-K-Finish.

Συνεπώς ο βέλτιστος αναζητούμενος χρόνος με το ελάχιστο κόστος της

συναρμολόγησης του θαλαμίσκου του διαστημόπλοιου θα βρίσκεται μεταξύ των

43 και 54 ημερών.

Για την μέγιστη διάρκεια του έργου προβλέπεται: Φύση Κόστους Ημέρες Ημερήσιο

κόστος($ millions)

Σύνολο ($ millions)

Συνολικό άμεσο Κόστος

2920

Συνολικό έμμεσο κόστος

54 45,000 2430

Συνολικό κόστος έργου 5350

3) Πρώτη συμπίεση του χρόνου

Από τις δραστηριότητες Start-C-E-I-J-K-Finish που ανήκουν στην κρίσιμη διαδρομή

με βάση τον πίνακα 5.3 αυτή που έχει το μικρότερο κόστος συμπίεσης είναι η

δραστηριότητα E και κοστίζει $30,000. Επιπλέον έχει περιθώριο συμπίεσης δύο ημέρες.

Συνεπώς επιλέγεται για συμπίεση μιας ημέρας. Οπότε προκύπτει το επόμενο δίκτυο

AON του σχήματος 5.6.

Σχήμα 5.6. Δίκτυο AON με συμπίεση της δραστηριότητας E

Τα στοιχεία για τους χρόνους των δραστηριοτήτων όπως αυτά προέκυψαν από τη

σάρωση του δικτύου του σχήματος 5.6 από αριστερά προς τα δεξιά (forward) και από

δεξιά προς τα αριστερά (backward) συγκεντρώνονται στον πίνακα 5.5. Δραστηριότητα Αναμενόμενη

διάρκεια

ES

EF

LS

LF

SL

Κρίσιμη

Start 0 0 0 0 0 0 ναι A 30 0 30 0 30 0 ναι B 15 0 15 15 30 15 όχι C 25 0 25 0 25 0 ναι D 3 30 33 30 33 0 ναι E 6 25 31 25 31 0 ναι

72

F 1 15 16 30 31 15 όχι G 5 33 38 40 45 7 όχι H 2 33 35 33 35 0 ναι I 4 31 35 31 35 0 ναι J 10 35 45 35 45 0 ναι K 8 45 53 45 53 0 ναι Finish 0 53 53 53 53 0 ναι Πίνακας 5.5. Αποτελέσματα για το δίκτυο του σχήματος 5.6

Στο σημείο αυτό προέκυψαν δύο κρίσιμες διαδρομές οι Start-A-D-H-J-K-Finish και

Start-C-E-I-J-K-Finish και απεικονίζονται στο παρακάτω σχήμα 5.7.

Σχήμα 5.7. Κρίσιμες διαδρομές από τη συμπίεση της δραστηριότητας E


Η διάρκεια του έργου είναι τώρα 53 εργάσιμες ημέρες.

Οι κρίσιμες διαδρομές είναι Start-A-D-H-J-K-Finish και Start-C-E-I-J-K-Finish.

Γι’ αυτήν τη διάρκεια του έργου προβλέπεται: Φύση Κόστους Ημέρες Ημερήσιο




2920

Άμεσο κόστος συμπίεσης δραστηριότητας E

1

30,000

30,000


53

45,000

2385


Παρατηρείται μείωση του συνολικού κόστους (προηγούμενο συνολικό

κόστος=$5350 millions) άρα η συμπίεση του χρόνου μπορεί να συνεχιστεί.

4) Δεύτερη συμπίεση του χρόνου

Η δραστηριότητα J είναι κοινή των δύο κρίσιμων διαδρομών και το κόστος

συμπίεσής της ($40,000) είναι μικρότερο από το κόστος συμπίεσης της κοινής

73

δραστηριότητας K ($60,000). Επιπλέον έχει περιθώριο συμπίεσης δύο ημέρες. Συνεπώς

επιλέγεται η J για συμπίεση μιας ημέρας. Έτσι προκύπτει το δίκτυο του σχήματος 5.8.

Σχήμα 5.8. Δίκτυο AON με συμπίεση της δραστηριότητας J

Υπολογίζοντας με τη γνωστή διαδικασία τους συντομότερους χρόνους έναρξης και

λήξης καθώς και τους βραδύτερους χρόνους έναρξης/λήξης των δραστηριοτήτων του

σχήματος 5.8 προκύπτει ο παρακάτω πίνακας 5.6. Δραστηριότητα Αναμενόμενη

διάρκεια

ES

EF

LS

LF

SL

Κρίσιμη

Start 0 0 0 0 0 0 ναι A 30 0 30 0 30 0 ναι B 15 0 15 15 30 15 όχι C 25 0 25 0 25 0 ναι D 3 30 33 30 33 0 ναι E 6 25 31 25 31 0 ναι F 1 15 16 30 31 15 όχι G 5 33 38 39 44 6 όχι H 2 33 35 33 35 0 ναι I 4 31 35 31 35 0 ναι J 9 35 44 35 44 0 ναι K 8 44 52 44 52 0 ναι Fimish 0 52 52 52 52 0 ναι Πίνακας 5.6. Αποτελέσματα για το δίκτυο του σχήματος 5.8

Οι κρίσιμες διαδρομές είναι Start-A-D-H-J-K-Finish και Start-C-E-I-J-K-Finish και

απεικονίζονται στο παρακάτω σχήμα 5.9.

Σχήμα 5.9. Κρίσιμες διαδρομές από τη συμπίεση της δραστηριότητας J




74





2920


1

30,000

30,000

Άμεσο κόστος συμπίεσης δραστηριότητας J

1

40,000

40,000


52

45,000

2340




5) Τρίτη συμπίεση του χρόνου

Και πάλι επιλέγεται η δραστηριότητα J (για συμπίεση) καθώς διαθέτει ακόμα

περιθώριο συμπίεσης μιας ημέρας. Προκύπτει το δίκτυο του σχήματος 5.10.

Σχήμα 5.10. Δίκτυο AON με συμπίεση της δραστηριότητας J


λήξης καθώς και τους βραδύτερους χρόνους έναρξης/λήξης των δραστηριοτήτων του

σχήματος 5.10 προκύπτει ο πίνακας 5.7. Δραστηριότητα Αναμενόμενη

διάρκεια

ES

EF

LS

LF

SL

Κρίσιμη

Start 0 0 0 0 0 0 ναι A 30 0 30 0 30 0 ναι B 15 0 15 15 30 15 όχι C 25 0 25 0 25 0 ναι D 3 30 33 30 33 0 ναι E 6 25 31 25 31 0 ναι F 1 15 16 30 31 15 όχι G 5 33 38 38 43 5 όχι H 2 33 35 33 35 0 ναι I 4 31 35 31 35 0 ναι J 8 35 43 35 43 0 ναι K 8 43 51 43 51 0 ναι

75

Finish 0 51 51 51 51 0 ναι Πίνακας 5.7. Αποτελέσματα για το δίκτυο του σχήματος 5.10

Οι κρίσιμες διαδρομές είναι Start-A-D-H-J-K-Finish και Start-C-E-I-J-K-Finish και

απεικονίζονται στο σχήμα 5.11.

Σχήμα 5.11. Κρίσιμες διαδρομές από τη συμπίεση της δραστηριότητας J








2920


1

30,000

30,000


2

40,000

80,000


51

45,000

2295




6) Τέταρτη συμπίεση του χρόνου

Η δραστηριότητα J έχει εξαντλήσει το περιθώριο συμπίεσής της. Επομένως, από τις

δύο κρίσιμες διαδρομές συμπιέζεται η κοινή δραστηριότητα K η οποία έχει περιθώριο

συμπίεσης τρείς ημέρες και κόστος $60,000. Προκύπτει το δίκτυο του σχήματος 5.12.

76

Σχήμα 5.12. Δίκτυο AON με συμπίεση της δραστηριότητας K


λήξης καθώς και τους βραδύτερους χρόνους έναρξης/λήξης των δραστηριοτήτων

προκύπτει ο παρακάτω πίνακας 5.8. Δραστηριότητα Αναμενόμενη

διάρκεια

ES

EF

LS

LF

SL

Κρίσιμη

Start 0 0 0 0 0 0 ναι A 30 0 30 0 30 0 ναι B 15 0 15 15 30 15 όχι C 25 0 25 0 25 0 ναι D 3 30 33 30 33 0 ναι E 6 25 31 25 31 0 ναι F 1 15 16 30 31 15 όχι G 5 33 38 38 43 5 όχι H 2 33 35 33 35 0 ναι I 4 31 35 31 35 0 ναι J 8 35 43 35 43 0 ναι K 7 43 50 43 50 0 ναι Finish 0 50 50 50 50 50 όχι Πίνακας 5.8. Αποτελέσματα για το δίκτυο του σχήματος 5.12

Οι κρίσιμες διαδρομές είναι Start-A-D-H-J-K-Finish και Start-C-E-I-J-K-Finish

και απεικονίζονται στο παρακάτω σχήμα 5.13.

Σχήμα 5.13. Κρίσιμες διαδρομές από τη συμπίεση της δραστηριότητας K



Οι κρίσιμες διαδρομές είναι και πάλι οι Start-A-D-H-J-K-Finish και Start-C-E-I-J-

K-Finish.

Γι’ αυτήν τη διάρκεια του έργου προβλέπεται:

77

Φύση Κόστους Ημέρες Ημερήσιο κόστος($ millions)



2920


1

30,000

30,000


2

40,000

80,000

Άμεσο κόστος συμπίεσης δραστηριότητας K

1

60,000

60,000


50

45,000

2250


Τώρα παρατηρείται αύξηση του συνολικού κόστους (προηγούμενο συνολικό

κόστος=$5325 millions) άρα η διαδικασία τερματίζεται.

7) Συμπεράσματα

Η βέλτιστη χρονική διάρκεια της συναρμολόγησης του θαλαμίσκου του

διαστημόπλοιου σε σχέση με το συνολικό κόστος είναι 51 εργάσιμες ημέρες.

Το βέλτιστο κόστος του έργου για τις 51 εργάσιμες ημέρες είναι $5325 millions.

Σημειώνουμε ότι στην παραπάνω διαδικασία σε περίπτωση που κάποιο από το

συνολικό κόστος προέκυπτε ίσο με το προηγούμενο συνολικό κόστος τότε η

διαδικασία θα τερματίζονταν.

5.4 Γραμμικός προγραμματισμός μια προσέγγιση για την CPM ανάλυση

Το πρόβλημα της εύρεσης του συντομότερου χρόνου υλοποίησης ενός έργου

μπορεί να αναπαρασταθεί με τη βοήθεια ενός γραμμικού μοντέλου. Προκειμένου να

φτιάξουμε ένα γραμμικό πρόγραμμα για ένα πρόβλημα, υποθέτουμε ότι έχουμε ένα

διάγραμμα δικτύου AON (Activity On Node) και τους ακόλουθους ορισμούς:

• N= σύνολο κόμβων.

• Dij= η διάρκεια της δραστηριότητας που αρχίζει στον κόμβο i και τελειώνει στον

κόμβο j.

• Xi= ο ενωρίτερος χρόνος έναρξης (ES) της δραστηριότητας που παριστάνεται από

τον κόμβο i, i∈N.

78

Η μορφή που θα έχει το γραμμικό μοντέλο που θα προγραμματίζει όλες τις

δραστηριότητες με έναν εφικτό τρόπο, έτσι ώστε το έργο να τελειώνει όσο πιο σύντομα

γίνεται, υποθέτοντας ότι αρχίζει τη χρονική στιγμή XStart=0 είναι η εξής:

Αντικειμενική συνάρτηση min Xn (5.1)

υπό τις συνθήκες

Xj-Xi≥Dij για όλες τις δραστηριότητες i∈N (5.2)

XStart=0 , Xi≥0 για όλα τα i∈N (5.3)

Σημειώνουμε ότι οι μη αρνητικοί περιορισμοί Xi≥0 είναι περιττή. Tο τελευταίο

γεγονός Xn σηματοδοτεί τη λήξη του έργου. Επιπροσθέτως, για να βρούμε το συνολικό

περιθώριο από μια δραστηριότητα χρειάζεται να γίνει ανάλυση ευαισθησίας στη λύση

του γραμμικού προγράμματος. Η ανάλυση ευαισθησίας για το δεξιό μέλος Dij ενός

περιορισμού αποσκοπεί στον καθορισμό ενός διαστήματος τιμών που ονομάζεται εύρος

εφικτότητας. Καθώς το Dij παίρνει τιμές μέσα στο διάστημα, η τιμή της αντικειμενικής

συνάρτησης μεταβάλλεται μ’ ένα προσδιοριζόμενο σταθερό ρυθμό.

5.4.1Υλοποίηση γραμμικού προγραμματισμού

Στο σημείο αυτό θα υλοποιήσουμε το γραμμικό μοντέλο για το πρόβλημα της

§3.3. Προκειμένου να γίνει αυτό θα χρησιμοποιήσουμε το παρακάτω διάγραμμα

δικτύου AON όπως αυτό προέκυψε από τα δεδομένα του προβλήματος.

Αντικειμενική συνάρτηση: min XFinish (5.4)

υπό τους περιορισμούς:

XA-XStart≥30, XB-XStart≥15, XC-XStart≥25, XD-XA≥3, XF-XB≥1, XE-XC≥7,

XG-XD≥5, XG-XF≥5, XH-XD≥2, XH-XF≥2, XI-XF≥4, XI-XE≥4, XJ-XH≥10,

XJ-XI≥10, XK-XG≥8, XK-XJ≥8, XFinish-XK≥0, XStart=0.

79

5.4.2 Η επίλυση του μοντέλου

Για να επιλύσουμε το μοντέλο (5.4) με τη μέθοδο simplex, χρησιμοποιούμε το

πρόγραμμα WinQSB. Στην εικόνα 5.1 δίνουμε τον πίνακα εισαγωγής δεδομένων στο

WinQSB όπου φαίνονται όλα τα στοιχεία του μοντέλου.

Εικόνα 5.1. Το φύλλο εισαγωγής δεδομένων στο WinQSB

Η άριστη λύση του προβλήματος βρέθηκε μετά από 13 επαναλήψεις της μεθόδου

Simplex και δίνεται στην εικόνα 5.2 από το WinQSB.

80

Εικόνα 5.2. Τα αποτελέσματα από τοWinQSB

Από τα αποτελέσματα της εικόνας 5.2 για το πρόβλημα της συναρμολόγησης του

θαλαμίσκου του διαστημόπλοιου προκύπτει ότι ο ελάχιστος χρόνος υλοποίησης του

είναι 54 ημέρες όπως και υποδείχτηκε από την επίλυση του διαγράμματος δικτύου

AON.

5.5 Το γραμμικό μοντέλο της συμπίεσης

Το πρόβλημα της εύρεσης του λιγότερου δαπανηρού τρόπου για την συμπίεση των

δραστηριοτήτων και κατ’ επέκταση για την ελάχιστη χρονική διάρκεια με το ελάχιστο

κόστος μπορεί να αναπαρασταθεί με τη βοήθεια ενός γραμμικού μοντέλου. Έστω Ζ το

συνολικό κόστος από τις συμπιεσμένες δραστηριότητες. Το πρόβλημα ανάγεται στο να

81

ελαχιστοποιήσουμε την Ζ, κάτω από τους περιορισμούς ότι η διάρκεια του έργου θα

γίνει μικρότερη ή ίση του χρόνου που ο διαχειριστής έργου επιθυμεί.

Έτσι, η αντικειμενική συνάρτηση θα είναι της μορφής Minimize Z=Άθροισμα του

κόστους συμπίεσης όλων των δραστηριοτήτων του έργου. Οι μεταβλητές απόφασης θα

είναι:

• iX ο ενωρίτερος χρόνος έναρξης (ES) της δραστηριότητας που παριστάνεται από

τον κόμβο i.

• iY οι χρονικές στιγμές που μπορεί να επισπευτεί η διάρκεια της δραστηριότητας

που παριστάνεται από τον κόμβο i.

Κάτω από τους περιορισμούς:

• Η χρονική στιγμή έναρξης ix μιας δραστηριότητας i μπορεί να γίνει αφού όλες οι

προαπαιτούμενες δραστηριότητες της j ολοκληρωθούν, λαμβάνοντας υπόψη την

πιθανή συμπίεση τους δηλαδή θα είναι της μορφής jjji YtXX −+≥ (όπου jt

είναι ο κανονικός (normal) χρόνος της δραστηριότητας j). Από αυτόν τον

περιορισμό μπορεί να εξαιρεθεί η δραστηριότητα με την οποία αρχίζει το έργο

διότι δεν έχει προαπαιτούμενες δραστηριότητες άρα «αυτόματα» λαμβάνει την

τιμή μηδέν. Επίσης για κάθε δραστηριότητα που έχει μόνο μια προκάτοχο

δραστηριότητα να προηγείται πριν από αυτή έχουμε έναν μόνο περιορισμό ενώ για

κάθε δραστηριότητα που έχει περισσότερες από μια προκατόχους δραστηριότητες

έχουμε τόσους περιορισμούς όσες οι προκάτοχες δραστηριότητες.

• Των άνω φραγμάτων για τους χρόνους συμπίεσης.

• Του άνω φράγματος για το συνολικό χρόνο υλοποίησης του έργου δηλαδή

DX FINISH ≤ .

5.5.1 Παράδειγμα για το γραμμικό μοντέλο της συμπίεσης

Θεωρούμε το έργο του παραδείγματος της §3.3. Με τη βοήθεια του πίνακα 5.3 της

§5.3 έχουμε

Αντικειμενική συνάρτηση:

MinZ=80YA+30YB+60YC+40YD+30YE+0YF+50YG+100YH+40YI+40YJ+60YK (5.5)

υπό τους περιορισμούς:

YA≤3, YB≤2, YC≤3, YD≤2, YE≤2, YG≤2, YH≤1, YI≤1, YJ≤2, YK≤3,

YA≥0, YB≥0, YC≥0, YD≥0, YE≥0, YG≥0, YH≥0, YI≥0, YJ≥0, YK≥0,

82

XD≥0, XE≥0, XF≥0, XG≥0, XH≥0, XI≥0, XJ≥0, XK≥0, XFinish≥0,

XD+YA ≥30, XF+YB ≥15 ,XE+YC ≥25 ,XFinish -XK +YK ≥8, XG -XD +YD ≥ 3,

XG -XF +YF ≥ 1, XH -XF +YF ≥ 1 , XH-XD+YD ≥3, XI-XF+YF≥1, XI-XE+YE≥7,

XJ-XH+YH≥2 , XJ-XI+YI ≥ 4, XK-XG+YG ≥ 5, XK-XJ+YJ ≥ 10, XFinish≤51.

5.5.2 Η επίλυση του μοντέλου

Για να επιλύσουμε το μοντέλο (5.5) με τη μέθοδο simplex, χρησιμοποιούμε το

πρόγραμμα WinQSB. Στην εικόνα 5.3 δίνουμε τον πίνακα εισαγωγής δεδομένων στο

WinQSB όπου φαίνονται όλα τα στοιχεία του μοντέλου.

83

Εικόνα 5.3. Το φύλλο εισαγωγής δεδομένων στο WinQSB

Η άριστη λύση του προβλήματος βρέθηκε μετά από 20 επαναλήψεις της μεθόδου

Simplex και δίνεται στην εικόνα 5.4 από το WinQSB.

84

Εικόνα 5.4. Τα αποτελέσματα από τοWinQSB

Από την παραπάνω εικόνα 5.4 των αποτελεσμάτων για το πρόβλημα της

συναρμολόγησης του θαλαμίσκου του διαστημόπλοιου προκύπτουν τα εξής:

• Οι δραστηριότητες που συμπιέζονται είναι οι YE,YJ οι οποίες συμπιέζονται κατά

μία και δύο ημέρες αντίστοιχα.

85

• Το κόστος συμπίεσης των δραστηριοτήτων YE και YJ για τις μία και δύο ημέρες

με βάση τη στήλη Total Contribution είναι $30,000 million και $80,000 million

αντίστοιχα.

• Το συνολικό κόστος συμπίεσης των δραστηριοτήτων YE και YJ προκειμένου να

τελειώσει η συναρμολόγηση του θαλαμίσκου του διαστημόπλοιου σε 51 ημέρες

είναι $110,000 millions.

Επιπροσθέτως γνωρίζουμε ότι:

Το συνολικό άμεσο κόστος όλων των δραστηριοτήτων είναι $2920 millions.

Το έμμεσο κόστος των 51 ημερών είναι 51 ημέρες×$45,000=$2295 millions.

Το συνολικό κόστος συμπίεσης των δραστηριοτήτων YE και YJ είναι $110,000

millions.

Συνεπώς, το συνολικό κόστος του έργου είναι $2920+$2295+$110,000=$5325

millions.

87

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6

ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ MICROSOFT OFFICE PROJECT 2007

Το Microsoft Office Project 2007 είναι μια μηχανή προγραμματισμού δηλαδή ένας

υπολογιστικός «εγκέφαλος» ικανός να διαχειριστεί ζητήματα όπως οι αλυσιδωτές

επιπτώσεις που μπορεί να προκύψουν σε ένα έργο. Αυτή η μηχανή προγραμματισμού,

όταν υπολογίζει την ημερομηνία έναρξης και ολοκλήρωσης μιας εργασίας, λαμβάνει

υπόψη της το μη εργάσιμο χρόνο, όπως τα σαββατοκύριακα.

6.1 Παράδειγμα Gantt

Παρακάτω θα παρουσιάσουμε το παράδειγμα της συναρμολόγησης του

θαλαμίσκου του διαστημόπλοιου της §3.3 με την βοήθεια του Microsoft Office Project.

Το πρώτο βήμα με το Microsoft Office Project είναι να εισάγουμε τις πληροφορίες

για τις διάφορες δραστηριότητες. Αυτό θα γίνει ως εξής: Επιλέγουμε από το μενού την

ένδειξη View και ακολούθως διαλέγουμε την επιλογή Table. Εν’ συνεχεία εισάγουμε τα

ονόματα των δραστηριοτήτων στην στήλη Task Name, την διάρκεια των

δραστηριοτήτων στη στήλη Duration, μια αρχική ημερομηνία για την πρώτη

δραστηριότητα και τις προκατόχους εργασίες για κάθε δραστηριότητα στην στήλη

Predecessors. Το πρόγραμμα αυτόματα «χτίζει» τον υπόλοιπο πίνακα καθώς και το

αντίστοιχο διάγραμμα στα δεξιά καθώς εισάγονται οι πληροφορίες. Έτσι προκύπτει το

παρακάτω σχήμα 1.

Σχήμα 1. Διάγραμμα Gantt

88

Σχήμα 1. Διάγραμμα Gantt

Για το παραπάνω διάγραμμα Gantt (σχήμα 1) έχουμε ότι:

1. Οι έντονες γκρίζες στήλες υποδηλώνουν ότι τα σαββατοκύριακα δεν

υπολογίζονται σαν εργάσιμη ημέρα και επομένως δεν λαμβάνονται υπόψη στον

υπολογισμό της συνολικής διάρκειας του έργου.

2. Οι εργασίες συνδέονται με την σχέση τέλους-αρχής δηλαδή η ημερομηνία

ολοκλήρωσης της προκατόχου εργασίας καθορίζει την ημερομηνία έναρξης της

διαδόχου. Για παράδειγμα στην συναρμολόγηση του θαλαμίσκου του

διαστημόπλοιου για να γίνει η εργασία D πρέπει πρώτα να γίνει η εργασία A.

Από τα δεδομένα του σχήματος 1 μπορούμε να υπολογίσουμε το χρονικό περιθώριο

καθώς και τον βραδύτερο χρόνο έναρξης (Late Start) και λήξης (Late Finish) κάθε

δραστηριότητας, ακλουθώντας τα παρακάτω βήματα:

• Στην γραμμή μενού επιλέγουμε το View.

• Ακολούθως το Table: Entry

• Τέλος «τσεκάρουμε» την επιλογή Schedule.

Έτσι προκύπτει το παρακάτω σχήμα 2.

89

Σχήμα 2. Υπολογισμοί χρονικού περιθωρίου, βραδύτερου χρόνου έναρξης και λήξης

Σχήμα 2. Υπολογισμοί χρονικού περιθωρίου, βραδύτερου χρόνου έναρξης και λήξης

Επιπροσθέτως από τα δεδομένα του σχήματος 1 μπορούμε να απεικονίσουμε σε

διάγραμμα Gantt την κρίσιμη διαδρομή, τη μη κρίσιμη διαδρομή καθώς και το χρονικό

περιθώριο των μη κρίσιμων διαδρομών, ακλουθώντας τα παρακάτω βήματα:

1. Στο μενού View επιλέγουμε More Views.

2. Στο πλαίσιο View, επιλέγουμε Detail Gantt και «πατάμε» το Apply.

90

Το έργο θα εμφανιστεί σε προβολή λεπτομερειών Gantt όπως φαίνεται στο παρακάτω

σχήμα 3.

Σχήμα 3. Κρίσιμη διαδρομή, μη κρίσιμη διαδρομή και χρονικό περιθώριο των μη κρίσιμων διαδρομών

91

Σχήμα 3. Κρίσιμη διαδρομή, μη κρίσιμη διαδρομή και χρονικό περιθώριο των μη κρίσιμων διαδρομών

Όπως μπορούμε να δούμε από το διάγραμμα Gantt του σχήματος 3 οι κρίσιμες

δραστηριότητες απεικονίζονται με κόκκινες γραμμές ενώ οι μη κρίσιμες

δραστηριότητες απεικονίζονται με τις μπλε γραμμές. Επίσης για τις μη κρίσιμες

δραστηριότητες αναγράφεται και το χρονικό τους περιθώριο το οποίο απεικονίζεται με

μια πράσινη λεπτή γραμμή. Το κρίσιμο μονοπάτι είναι το C-E-I-J-K.

Στο σημείο αυτό θέλουμε να μάθουμε την διάρκεια του έργου. Δεν έχουμε

καταχωρήσει ρητά τη συνολική διάρκεια του έργου ή την ημερομηνία ολοκλήρωσης

του, αλλά το Project έχει υπολογίσει τις τιμές αυτές με βάση την διάρκεια κάθε

δραστηριότητας και τις σχέσεις μεταξύ των δραστηριοτήτων. Ένας εύκολος τρόπος για

να δούμε την προγραμματισμένη ημερομηνία ολοκλήρωσης είναι να χρησιμοποιήσουμε

το πλαίσιο διαλόγου Project Information (Πληροφορίες έργου).

1. Από το μενού Project επιλέγουμε τη διαταγή Project Information.

Θα εμφανιστεί το πλαίσιο διαλόγου Project Information.

92

Παρατηρούμε ότι η ημερομηνία ολοκλήρωσης είναι η Παρασκευή 29 Μαΐου 2009.

Σημειώνουμε ότι δεν μπορούμε να αλλάξουμε την ημερομηνία ολοκλήρωσης

απευθείας, επειδή ο χρονοπρογραμματισμός του έργου έχει γίνει με βάση την

ημερομηνία έναρξης. Το Project υπολογίζει την ημερομηνία ολοκλήρωσης του έργου

με βάση το συνολικό αριθμό των εργάσιμων ημερών που απαιτούνται για να

ολοκληρωθούν οι δραστηριότητες, ξεκινώντας από την ημερομηνία έναρξης του έργου.

Στη συνέχεια, θα δούμε πιο αναλυτικά τις πληροφορίες διάρκειας.

2. Πατάμε το κουμπί Statistics (Στατιστικά στοιχεία).

Θα εμφανιστεί το πλαίσιο διαλόγου Project Statistics (Στατιστικά στοιχεία έργου).

Από το παραπάνω πλαίσιο προκύπτει ότι η τρέχουσα ημερομηνία ολοκλήρωσης

(Current Finish) είναι η Παρασκευή 29 Μαΐου 2009 και η τρέχουσα διάρκεια (Current

Duration) της συναρμολόγησης του θαλαμίσκου του διαστημόπλοιου είναι 54 ημέρες.

3. Πατάμε το κουμπί Close προκειμένου να κλείσει το πλαίσιο διαλόγου Project

Statistics (Στατιστικά στοιχεία έργου).

Τώρα θα εμφανίσουμε ολόκληρο το έργο, αλλάζοντας την κλίμακα χρόνου στην

προβολή Διαγράμματος Gantt.

1. Από το μενού View, επιλέγουμε τη διαταγή Zoom (βαθμός μεγέθυνσης). Θα

εμφανιστεί το πλαίσιο διαλόγου Zoom.

93

2. Επιλέγουμε Entire Project και πατάμε ΟΚ.

Στην οθόνη θα εμφανιστεί ολόκληρο το έργο όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα 4.

Σχήμα 4. Συναρμολόγηση του θαλαμίσκου του διαστημόπλοιου με αλλαγή της κλίμακας χρόνου

6.2 Προβολή διαγράμματος δικτύου (Network Diagram)

Μια άλλη συνηθισμένη προβολή που χρησιμοποιείται στη διαχείριση έργων είναι

η προβολή Διαγράμματος δικτύου (Network Diagram). Προκειμένου να φτιάξουμε ένα

διάγραμμα δικτύου στο Microsoft Office Project 2007 ακολουθούμε τα εξής βήματα:

1. Εισάγουμε τα δεδομένα του προβλήματος της συναρμολόγησης του θαλαμίσκου

του διαστημόπλοιου.

2. Από το μενού View επιλέγουμε το Network Diagram (Διάγραμμα δικτύου).

Έτσι προκύπτει το διάγραμμα δικτύου που απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα 5.

94

Σχήμα 5. Διάγραμμα δικτύου

Κάθε πλαίσιο της προβολής διαγράμματος δικτύου εμφανίζει πληροφορίες για μια

δραστηριότητα όπως την ημερομηνία έναρξης και ολοκλήρωσης καθώς και την

διάρκεια κάθε δραστηριότητας. Οι γραμμές μεταξύ των πλαισίων δείχνουν τις σχέσεις

μεταξύ των δραστηριοτήτων.

Τα κόκκινα πλαίσια και οι κόκκινες γραμμές που συνδέουν τις δραστηριότητες

μεταξύ τους υποδηλώνουν την κρίσιμη διαδρομή. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα (σχήμα

5) η κρίσιμη διαδρομή είναι η C-E-I-J-K. Ενώ τα μπλε πλαίσια και οι μπλε γραμμές που

συνδέουν τις διάφορες δραστηριότητες υποδηλώνουν τις μη κρίσιμες δραστηριότητες.

6.3 Παρακολούθηση έργου σύμφωνα με το χρονοδιάγραμμά του

Με βάση τα αποτελέσματα που δόθηκαν στην παράγραφο 6.1 το έργο της

συναρμολόγησης του θαλαμίσκου του διαστημόπλοιου αν αρχίσει την Τρίτη 17

Μαρτίου 2009 θα ολοκληρωθεί την Παρασκευή 29 Μαΐου 2009 δηλαδή θα διαρκέσει

54 ημέρες χωρίς να λαμβάνονται υπόψη τα σαββατοκύριακα.

Ο διευθυντής του έργου θέλει να γνωρίζει ποιες δραστηριότητες θα έχουν

ολοκληρωθεί μέχρι τις 5 Μαΐου. Προκειμένου να δώσουμε απάντηση σε αυτό το

ερώτημα θα ακολουθήσουμε τα παρακάτω βήματα. Σημειώνουμε ότι τα δεδομένα του

προβλήματος της συναρμολόγησης του θαλαμίσκου του διαστημόπλοιου είναι αυτά της

§3.3.

95

1) Στο μενού View, επιλέγουμε Gantt Chart (Διάγραμμα Gantt). Θα εμφανιστεί η


2) Στο μενού Tools, δείχνουμε την επιλογή Tracking (Παρακολούθηση) και μετά

πατάμε στη διαταγή Update Project (Ενημέρωση έργου). Θα εμφανιστεί το

πλαίσιο διαλόγου Update Project.

3) Ελέγχουμε αν έχει ενεργοποιηθεί η επιλογή Update Work As Complete Through

(Ενημέρωση εργασίας ως ολοκληρωμένης μέχρι). Στο παρακάτω πλαίσιο

ημερομηνίας πληκτρολογούμε ή επιλέγουμε 4/5/09.

4) Πατάμε OK.

Το Project θα καταγράψει το ποσοστό ολοκλήρωσης για τις δραστηριότητες που

είχαν προγραμματιστεί να ξεκινήσουν πριν από την 5η Μαΐου. Κατόπιν θα εμφανίσει

την πρόοδό τους σχεδιάζοντας ράβδους προόδου (progress bars) στις ράβδους του

διαγράμματος Gantt των δραστηριοτήτων αυτών. Αυτό απεικονίζεται στο παρακάτω

σχήμα 6.

96

Σχήμα 6. Πρόοδος εργασιών

97

Από το σχήμα 6 προκύπτει ότι στην προβολή διαγράμματος Gantt, η ράβδος

προόδου δείχνει το ποσοστό που έχει ολοκληρωθεί από κάθε δραστηριότητα. Επειδή οι

δραστηριότητες 1 ,2, 3, 4, 5, 6, 8 και 9 έχουν ολοκληρωθεί, στη στήλη ενδείξεων των

δραστηριοτήτων αυτών εμφανίζεται ένα σημάδι ελέγχου και οι ράβδοι προόδου

καλύπτουν όλο το μήκος των αντίστοιχων ράβδων του διαγράμματος Gantt.

6.4 Παράδειγμα PERT με το Microsoft Office Project

Παρακάτω θα παρουσιάσουμε το παράδειγμα της συναρμολόγησης του θαλαμίσκου

του διαστημόπλοιου με βάση τα δεδομένα της §4.5 (κεφ.4). Το Microsoft Office

Project δίνει τη δυνατότητα να υπολογιστεί η μέση τιμή για κάθε δραστηριότητα. Αυτό

μπορεί να γίνει ακλουθώντας τα παρακάτω βήματα:

1. Στο μενού View επιλέγουμε Table Entry: More Tables. Θα εμφανιστεί το

παρακάτω πλαίσιο

2. Από το παραπάνω πλαίσιο επιλέγω PA_PERT Entry και στη συνέχεια το Apply.

3. Ακολούθως στον πίνακα που θα προκύψει εισάγω τις τρεις εκτιμήσεις την

αισιόδοξη, την πλέον πιθανή εκτίμηση (η πλέον πιθανή εκτίμηση αναφέρεται ως

expected duration) και την απαισιόδοξη. Έτσι προκύπτει το παρακάτω σχήμα 7.

98

Σχήμα 7. Τρεις εκτιμήσεις

Στην γραμμή εργαλείων που απεικονίζεται στο σχήμα 7 αν πατήσουμε την εικόνα

με το «κομπιουτεράκι» θα αλλάξει όχι μόνο η διάρκεια κάθε δραστηριότητας αλλά θα

εμφανιστεί και το διάγραμμα Gantt βασιζόμενο στις τρεις εκτιμήσεις . Αυτή η διάρκεια

θα είναι και η μέση τιμή κάθε δραστηριότητας. Όλα αυτά απεικονίζονται στο παρακάτω

σχήμα 8.

Σχήμα 8

99

Σχήμα 8

Σχήμα 8

100

Επιπροσθέτως, βασιζόμενη στις νέες διάρκειες των δραστηριοτήτων του πίνακα του

σχήματος 8 μπορούμε να απεικονίσουμε σε διάγραμμα Gantt την κρίσιμη διαδρομή, τη

μη κρίσιμη διαδρομή καθώς και το χρονικό περιθώριο των μη κρίσιμων

δραστηριοτήτων. Αυτό θα γίνει ακλουθώντας τα παρακάτω βήματα.

1. Στο μενού View επιλέγουμε More Views.

2. Στο πλαίσιο View, επιλέγουμε Detail Gantt και πατάμε το Apply.

Το έργο θα εμφανιστεί σε προβολή λεπτομερειών Gantt όπως φαίνεται στο

παρακάτω σχήμα 9.

Σχήμα 9. Μέθοδος PERT

101



Όπως μπορούμε να δούμε από το διάγραμμα Gantt του σχήματος 9 το κρίσιμο

μονοπάτι παρόλο που οι διάρκειες των δραστηριοτήτων έχουν αλλάξει είναι και πάλι το

C-E-I-J-K. Για να βρούμε την αναμενόμενη διάρκεια του έργου ακολουθούμε τα

παρακάτω βήματα:

1. Από το μενού Project επιλέγουμε τη διαταγή Project Information. Θα εμφανιστεί

το πλαίσιο διαλόγου Project Information.

102

2. Παρατηρούμε ότι η ημερομηνία ολοκλήρωσης είναι η Τρίτη 2 Ιουνίου 2009.

Στη συνέχεια, θα δούμε πιο αναλυτικά τις πληροφορίες διάρκειας.

3. Πατάμε το κουμπί Statistics (Στατιστικά στοιχεία). Θα εμφανιστεί το πλαίσιο

διαλόγου Project Statistics (Στατιστικά στοιχεία έργου).

Από το παραπάνω πλαίσιο προκύπτει ότι η τρέχουσα ημερομηνία ολοκλήρωσης

(Current Finish) είναι η Τετάρτη 3 Ιουνίου 2009 και η τρέχουσα διάρκεια (Current

Duration) της συναρμολόγησης του θαλαμίσκου του διαστημόπλοιου είναι 56,83

ημέρες.

4. Πατάμε το κουμπί Close προκειμένου να κλείσει το πλαίσιο διαλόγου Project

Statistics (Στατιστικά στοιχεία έργου).

Τώρα θα εμφανίσουμε ολόκληρο το έργο, αλλάζοντας την κλίμακα χρόνου στην


5. Από το μενού View, επιλέγουμε τη διαταγή Zoom (βαθμός μεγέθυνσης). Θα

εμφανιστεί το πλαίσιο διαλόγου Zoom.

6. Επιλέγουμε Entire Project και πατάμε ΟΚ.

Στην οθόνη θα εμφανιστεί ολόκληρο το έργο όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα 10.

103

Σχήμα 10. Διάγραμμα Gantt για την PERT με αλλαγή της κλίμακας χρόνου

Έτσι η συνολκή διάρκεια της συναρμολόγησης του θαλαμίσκου του διαστημόπλοιου

χρησιμοποιώντας τις τρεις εκτιμήσεις φαίνεται στην προβολή του διαγράμματος Gantt

στο σχήμα 10.

104

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ H.Y. Abdelkader (2004). Evaluating project completion times when activity times are

Weibull distributed. European Journal of Operational Research 157, pp. 704-715.

Bonnie Biafore (2007). Microsoft Project 2007: The Missing Manual. O'Reilly Media /

Pogue Press.

C. Chatfield and T. Johnson (2007). Microsoft® Office Project 2007 Step by Step.

Microsoft Press.

S.E. Elmagraby (2000). On Criticality and Sensitivity in Activity Networks. European

Journal of Operational Research 127, pp. 220-238.

F.S. Hillier and G.L. Lieberman (2004). Introduction to Operations Research. 8th ed.

Mc Graw Hill.

B.P. Lientz and K.P. Rea (1995). Project Management for the 21st Century. Academic

Press.

R. Loolou and T. Beale (1976). A comparison of Variance Techniques in PERT

Simulations. Canadian Journal of Operations Research and Information Processing 14,

pp. 259-269.

J. Magott and Kamil Skudlarski (1993). Estimating the mean completion time of PERT

networks with exponentially distributed durations of activities. European Journal of

Operational Research 71, pp. 70-79..

D. Sipper, D. and R.L. Bulfi, Jr. (1997). Production: Planning, control, and integration.

McGraw-Hill.

A. Shtub, J. Bard and and S. Globerson (2004). Project Management. 2nd ed. Pearson.

J.D. Wiest and F.K. Levy (1977). A Management Guide to PERT/CPM with GERT,

PDM, DCPM and Other Networks. 2nd ed. Prentice Hall.

Project Scheduling Resource-constraint Kantzari Maria

Documents

Transcript of Project Scheduling Resource-constraint Kantzari Maria