Priprema za ispit - RJEŠENJA

1. Odredi duljinu stranice c i kutove trokuta ABC ako je a = 16 cm, b = 11.2 cm te α + β = 93⁰.

a = 16 cm b = 11.2 cm α + β = 93⁰ c, α, β, γ = ? Najprije ćemo izračunati kut γ jer je γ = 180⁰ - (α + β) γ = 87⁰

No, sada znamo tri elementa trokuta ABC – dvije stranice (a i b) i kut između njih (γ) pa primjenom poučka o kosinusu možemo izračunati stranicu c:

c2 = a

2 + b

2 – 2*a*b*cos γ

Preostaje nam još izračunati kutove α i β. To ćemo napraviti primjenom poučka o sinusima:

����� = �

����

Unakrsnim množenjem najprije dobijemo

� ∙ ���� = � ∙ ����

te nakon dijeljenja cijele jednadžbe sa c:

���� = � ∙ �����

I na kraju, iz α + β = 93⁰ slijedi: β = 93⁰ - α

2. Zbroj duljina dviju stranica trokuta jednak je 49 cm, a nasuprot tim stranicama nalaze se kutovi

od 99⁰ i 53⁰. Izračunaj duljinu treće stranice trokuta.

a + b = 49 α = 99⁰ β = 53⁰ c = ? Lako je primijetiti da je γ = 180⁰ - (99⁰ + 53⁰) = 28⁰ Da bi dobili stranicu c morali bi izračunati jednu od stranica a i b. Prema zadanim podacima treba u trokutu „uočiti“ stranice a i b te kutove α i β i primijeniti poučak o sinusima:

�

���� = ����

c b

a

β γ

α

c b

a

β γ

α

Lako je primijetiti da u toj jednadžbi imamo dvije nepoznanice pa je potrebno iskoristiti i činjenicu da je a + b = 49 iz čega je jednostavno izraziti jednu nepoznanicu npr. a = 49 – b. Ako to uvrstimo u poučak o sinusima imamo:

� − ���� =

����

Unakrsnim množenjem se rješavamo nazivnika pa dobivamo jednadžbu:

�� − � ∙ ���� = ∙ ����

Kada razmnožimo zagradu te članove s nepoznanicom b grupiramo na lijevoj strani jednadžbe dobijemo:

− ∙ ���� − ∙ ���� = −�

Množenjem sa -1 te izlučivanjem faktora b na lijevoj strani jednadžba prelazi u:

∙ ����� + ����� = �

Dijeljenjem cijele jednadžbe sa ����� + ����� dobijemo:

= � ���� + ����

Sada primijenimo poučak o sinusima na parove b, β i c, γ:

����� =

����

Pomnožimo li gornju jednadžbu sa ���� dobijemo izraz

� = ∙ ��������

iz kojega dobijemo traženu stranicu c.

3. Opseg trokuta ABC jednak je 30 cm, α = 47⁰, β = 65⁰. Izračunaj duljine stranica trokuta.

o = 30 α = 47⁰ β = 65⁰ a, b, c = ?

S obzirom da znamo dva kuta možemo izračunati i kut γ = 180⁰ - (47⁰ + 65⁰), γ = 68⁰.

Napišimo poučak o sinusima:

����� =

���� = ����� = � ∙ �

Izrazimo stranice trokuta pomoću polumjera R trokutu opisane kružnice:

� = � ∙ � ∙ ���� � = � ∙ � ∙ ���� � = � ∙ � ∙ ����

i uvrstimo to u izraz za opseg:

a + b + c = 30

� ∙ � ∙ ���� + � ∙ � ∙ ���� + � ∙ � ∙ ���� = 30

Dijeljenjem s 2 i izlučivanjem R-a dobijemo:

R (sinα + sin β + sin γ) = 15 a kad sve podijelimo sa (sinα + sin β + sin γ) moguće je izračunati

polumjer:

� = ������� + ���� + �����

a samim tim i stranice a, b i c.

4. Opseg trokuta jednak je 30 cm, a njegovi su unutarnji kutovi u omjeru 5 : 7 : 8. Kolike su duljine

stranica trokuta?

o = 30 α : β : γ= 5 : 7 : 8 a, b, c = ?

Sada je postupak identičan onome iz prošlog zadatka (vidi 3. Zadatak):

Napišimo poučak o sinusima:

����� =

���� = ����� = � ∙ �

Izrazimo stranice trokuta pomoću polumjera R trokutu opisane kružnice: � = � ∙ � ∙ ���� � = � ∙ � ∙ ���� � = � ∙ � ∙ ����

i uvrstimo to u izraz za opseg:

a + b + c = 30

� ∙ � ∙ ���� + � ∙ � ∙ ���� + � ∙ � ∙ ���� = 30

Dijeljenjem s 2 i izlučivanjem R-a dobijemo:

R (sinα + sin β + sin γ) = 15 a kad sve podijelimo sa (sinα + sin β + sin γ) moguće je izračunati

polumjer:

� = ������� + ���� + �����

a samim tim i stranice a, b i c.

Najprije veličine α, β i γ izrazimo kao: α = 5k β=7k γ = 8k

te iskoristimo činjenicu da je zbroj kutova u trokutu 180⁰:

5k + 7k + 8k = 180⁰ iz čega slijedi k = 9 odnosno: α = 45⁰ , β = 63⁰, γ = 72⁰

5. U trokutu ABC je α = 96⁰ 45´, c = 7 cm, va = 5.5 cm. Kolike su duljine stranica a i b tog trokuta?

α = 96⁰ 45´ c = 7 cm va = 5.5 cm a, b = ?

Ako označimo sve poznate elemente na trokutu primijetiti ćemo da u lijevom pravokutnom trokutu

(iscrtano) imamo poznatu hipotenuzu c kao i katetu v pa možemo primjenom trigonometrije

pravokutnog trokuta izračunati kut β:

���� = ��

Naravno, kad znamo dva kuta jednostavno je izračunati i treći: γ = 180⁰ - (α + β).

Sada nam preostaje da primjenom poučka o sinusima najprije izračunamo stranicu a pomoću:

����� = �

����

odnosno, nakon množenja sa sinα:

� = � ∙ ��������

te nakon toga stranicu b sa:

���� = �

����

odnosno, nakon množenja sa sinβ:

= � ∙ ��������

6. Duljina hipotenuze pravokutnog trokuta jednaka je 15 cm, a jedan šiljasti kut trokuta iznosi 42⁰

28´. Odredi duljinu odsječka simetrale pravog kuta koji se nalazi unutar trokuta.

c = 15 α = 42⁰28´ s = ? S obzirom da znamo dva elementa pravokutnog trokuta moguće je izračunati i preostale elemente koji su nam potrebni za računanje duljine dijela simetrale.

c b

a

β γ

α

v

Simetrala kuta je pravac koji prolazi vrhom kuta i dijeli kut na

dva jednaka dijela (raspolavlja ga)

a c

b

β

α

s

Vidimo da je simetrala „stvorila“ još dva trokuta te „postala“ stranica tih trokuta. Potrebno je vidjeti u kojem je trokutu lakše doći do tri poznata elementa jer je onda moguće izračunati i simetralu primjenom jednog od poučaka trokuta. Lagano je uočiti da u desnom trokutu već dva kuta znamo – α je zadan, a kut između simetrale i katete b je 45⁰ (jer simetrala dijeli pravi kut na dva jednaka dijela). Saznamo li još duljinu katete b to bi bio treći poznati element u tom trokutu pa bi mogli izračunati i simetralu s. Stoga privremeno „zanemarimo“ simetralu pravog kuta te primijenimo trigonometriju pravokutnog trokuta na hipotenuzu c, kut α i katetu b uz kut α (dakle, funkcija cos): � �� =

�

odnosno, nakon množenja s c: = � ∙ � ��

Sada kad imamo i katetu b uočimo „desni“ trokut: S obzirom da znamo samo jednu stranicu moramo primijeniti poučak o sinusima (poučak o kosinusu primjenjujemo kada imamo barem dvije stranice). Prije toga ćemo izračunati kut nasuprot stranice b (nazovimo ga φ):

φ = 180⁰ - (45⁰ + α) Konačno primijenimo poučak o sinusima na parove (s, α) i (b, φ):

����� =

���!

te množenjem cijele jednadžbe sa sinα možemo doći do veličine s:

� = ∙ �������!

7. Duljine stranica trokuta u omjeru su 4 : 3 : 6. Koliki je najmanji kut ovog trokuta?

a : b : c = 4 : 3 : 6 β = ? Najmanji kut trokuta leži nasuprot najmanjoj stranici, a to je b jer njoj pripada najmanji broj u produženom omjeru. S obzirom da smo omjerom povezali sve tri stranice iskoristit ćemo poučak o kosinusu primijenjen na stranicu b (jer se nalazi nasuprot kuta kojeg treba izračunati):

� = �� + �� − � ∙ � ∙ � ∙ "#$ �

s

α

b

45⁰

a c

b

β

α

Nakon prebacivanja člana s cosβ lijevo i b2 desno te dijeljenjem s 2ac imamo:

"#$ � = �� + �� − �

� ∙ � ∙ �

iz čega izračunamo kut β.

8. U trokutu ABC je a = 5.3 cm, c = 6 cm, vc = 4.2 cm. Kolika je duljina stranice b ovoga trokuta?

a = 5.3 cm c = 6 cm vc = 4.2 cm b = ? U trokutu ABC znamo samo dva elementa (a i c) Pa je potrebno iz jednog od pravokutnih trokuta Koje smo dobili povlačenjem visine na stranicu c Pronaći još jedan element (kut α ili kut β). Lako je vidjeti da u osjenčanom pravokutnom trokutu imamo zadanu hipotenuzu a i katetu v koja se nalazi nasuprot nama „interesantnog“ kuta β, pa primjenom funkcije sinus imamo:

$%& � = ��

Međutim, sada u trokutu ABC znamo dvije stranice (a i c) i kut između njih (β) pa primjenom poučka

o kosinusu na stranicu b možemo riješiti zadatak tj. izračunati tu stranicu:

� = �� + �� − � ∙ � ∙ � ∙ "#$ �

9. Površina trokuta iznosi 33 cm2, dva njegova kuta su 53⁰ 16´ i 62⁰ 18´. Kolika je duljina najkraće

stranice ovoga trokuta?

P = 33 cm2 α = 53⁰ 16´ β = 62⁰ 18´ a = ?

Stranicu a ćemo jednostavno izračunati koristeći formulu za površinu trokuta kada su poznata sva tri

kuta i jedna stranica:

' = �� ∙ $%& � ∙ $%& �� ∙ $%& �

Prije uvrštavanja treba jednadžbu najprije pomnožiti s 2 ∙ sin � pri čemu dobijemo:

� ∙ $%& � ∙ ' = �� ∙ $%& � ∙ $%& �

A nakon dijeljenja sa ��� � ∙ ��� ,:

�� = � ∙ $%& � ∙ '$%& � ∙ $%& �

Iz čega lagano izračunamo stranicu a.

a b

c

β α

γ

v

Najprije izračunajmo i treći kut kako bi usporedbom sva tri kuta znali koja je

stranica najkraća:

γ = 180⁰ - (α + β) = 64⁰ 26´ Dakle, najmanja je stranica a.

10. Površina trokuta jednaka je 30.2 cm2, zatim je a*b = 64 cm2, te α = 42⁰ 25´. Odredi duljine

stranica i kutove trokuta.

P = 30.2 cm2 a*b = 64 cm2 α = 42⁰ 25´ a, b, c, β, γ = ?

Iz zadanih podataka najbolje je iskoristiti činjenicu da postoji formula za površinu trokuta s dvije

stranice i kutom između njih. Napišimo onu varijantu te formule koja u sebi ima stranice a i b:

- = 12 � ∙ � ∙ sin ,

Izrazimo sin , iz te formule, a zatim izračunajmo kut γ:

sin , = 2 ∙ -� ∙ �

Naravno, lako je naći i treći kut: β = 180⁰ - (α + γ)

U „potragu“ za stranicama polazimo pomoću poučka o sinusima primijenjenim na parove a, α i b, β:

�$%& � =

$%& �

Bitno je uočiti da u toj jednadžbi imamo dvije nepoznanice, pa nam je nužna još jedna jednadžba s te

iste dvije nepoznanice.

Takvu jednadžbu već imamo. To je a*b = 64.

Sada treba pristupiti kreiranju nove jednadžbe u kojoj ćemo imati samo jednu nepoznanicu. To se

postiže tako da iz jedne od gore spomenute dvije jednadžbe izlučimo jednu nepoznanicu

(nepoznanica mora ostati sama na jednoj strani jednadžbe) a zatim je uvrstimo u drugu jednadžbu.

Pomnožimo jednadžbu �

$%& � = $%& � sa sinα kako bi nepoznanica a „ostala sama“ na lijevoj strani:

� = ∙ $%& �$%& �

Uvrstimo dobiveni izraz za a u drugu jednadžbu (a*b = 64):

∙ $%& �$%& � ∙ = /�

Množenjem sa sin � i dijeljenjem sa sin � dobijemo izraz iz kojeg izračunamo b:

� = /� ∙ $%& �$%& �

Dalje je relativno jednostavno i razumljivo – najprije ćemo izračunati a uvrštavanjem u � = 0∙123 4123 5 ili u

a = 64/b a zatim naći i c (to zadovoljstvo prepuštam vama ☺ )

11. Odredi duljinu stranica b i c te kutove trokuta ABC ako je površina trokuta 142 cm2, a = 35.2

cm, α + β = 98⁰ 15´.

P = 142 cm2 a = 35.2 cm

α + β = 98⁰ 15´ b, c, α, β, γ = ? Površinu možemo izraziti preko dvije stranice i kuta između njih. Jedna stranica neka bude a jer je zadana, a druga, s obzirom da je jedini kut koji znamo γ, neka bude stranica koja sa a zatvara taj kut γ tj. stranica b:

' = �� � ∙ ∙ $%& �

Iz te formule je moguće izračunati stranicu b tako da cijelu jednadžbu pomnožimo s 2, a zatim podijelimo sa asinγ:

= � ∙ '$%& �

Ali, sada u trokutu znamo dvije stranice (a i b) i kut među njima (γ) pa primjenom kosinusovog poučka lagano izračunamo stranicu c:

�� = �� + � − � ∙ � ∙ ∙ "#$ �

Preostaje nam još izračunati kutove α i β. Koristit ćemo poučak o sinusima primjenjujući ga na parove

a, α i c, γ:

�$%& � = �

$%& �

Te unakrsnim množenjem najprije doći do

� ∙ $%& � = � ∙ $%& �

A zatim dijeljenjem sa c do konačnog izraza za računanje kuta α:

$%& � = � ∙ $%& ��

Na kraju, izračunamo i kut β: β = 98⁰ 15´ - α.

12. Odredi duljine stranica trokuta ABC ako je va = 8.7 cm, vb = 10.3 cm te γ = 48⁰ 35´.

va = 8.7 cm vb = 10.3 cm γ = 48⁰ 35´ a, b, c = ?

Kut γ izračunamo odmah: γ = 180⁰ - (α + β) = 81⁰ 45´

U ovom zadatku je važno da se ne crtaju odmah

obje visine već jedna po jedna kako se ne bi

dogodilo da od previše linija ne uočite trokut

od kojeg bi trebalo krenuti u računanje

nepoznatih podataka.

Stoga nacrtajmo najprije samo visinu va:

c b

a

β γ

α

v

Vidljivo je da u desnom pravokutnom trokutu (bijeli trokut) možemo primjenom trigonometrije

pravokutnog trokuta povezati hipotenuzu b tog trokuta, kut γ i katetu v nasuprot kuta γ funkcijom

sinus:

$%& � = �

Odnosno nakon množenja s b i dijeljenja sa sinγ :

= �$%& �

Sada bi trebalo skicirati trokut ABC i unutar njega prikazati samo visinu vb: Iz slike se vidi da je iz donjeg trokuta (iscrtano) moguće povezati hipotenuzu a, kut γ i katetu v nasuprot kuta γ funkcijom sinus:

$%& � = ��

i dobiti stranicu a slično kao prethodno stranicu b:

� = �$%& �

Na kraju iskoristimo činjenicu da smo izračunavanjem stranica a i b u „glavnom“ trokutu ABC dobili

dvije stranice te da nam je poznat kut γ između tih stranica pa primjenom kosinusovog poučka

računamo i treću stranicu c:

�� = �� + � − � ∙ � ∙ ∙ "#$ �

13. Izračunaj duljine stranica trokuta ABC ako je α = 36⁰ 25´, β = 51⁰ 28´, a duljina polumjera

trokutu opisane kružnice iznosi 24 cm.

α = 36⁰ 25´ β = 51⁰ 28´ R = 24 a, b, c = ?

Uzmimo najprije 1. I 4. član iz poučka o sinusima te pomnožimo sa sinα :

� = � ∙ � ∙ $%& �

Na sličan način iz 2. I 4. člana iz poučka o sinusima dobijemo :

= � ∙ � ∙ $%& �

te kombiniranjem 3. I 4. člana (uz prethodno računanje kuta γ = 180⁰ - (α + β) ):

� = � ∙ � ∙ $%& �

c b

a

β γ

α

v

�sin � = �

sin � = �sin , = 2 ∙ 6

S obzirom da je poznat polumjer opisane kružnice trebalo bi krenuti od poučka

o sinusima:

14. U trokutu ABC je c = 11 cm, R = 12 cm te β = 50⁰ 33´ 28´´. Kolika je površina trokuta?

Zadatak se rješava na isti način kao i prethodni, 13. Zadatak ☺

15. Površina trokuta ABC iznosi 113 cm2, te je α = 33⁰, β = 44⁰. Izračunaj duljine stranica trokuta.

P = 113 α = 33⁰ β = 44⁰ a, b, c = ?

16. Na zidu visokom 4 m nalazi se stup visok 6 m. Koliko je udaljena točka od podnožja zida iz koje

se zid i stup vide pod jednakim kutom?

17. Dva su kuta trokuta ABC jednaka 44⁰ i 72⁰. Duljina dijela simetrale trećeg kuta koji je unutar

trokuta iznosi 15 cm. Kolika je duljina stranice nasuprot tom trećem kutu?

18. Duljine stranica paralelograma jednake su 15 cm i 20 cm, a duljina jedne njegove dijagonale

iznosi 32 cm. Koliki su unutarnji kutovi paralelograma i kolika je duljina njegove druge

dijagonale?

a = 15 b = 20 e = 32 α, β, f= ?

Lako je uočiti da u iscrtanom dijelu paralelograma imamo poznata 3 elementa pa je moguće,

primjenom kosinusovog poučka izračunati kut α:

7� = �� + � − � ∙ � ∙ ∙ "#$ �

Odnosno, nakon sređivanja:

"#$ � = �� + � − 7�

� ∙ � ∙

- = �8 ∙ sin � ∙ sin ,2 ∙ sin � - = �8 ∙ sin � ∙ sin ,

2 ∙ sin �� - = �8 ∙ sin � ∙ sin �2 ∙ sin ,

�8 = 2 ∙ P ∙ sin �sin � ∙ sin , �8 = 2 ∙ P ∙ sin �

sin � ∙ sin , �8 = 2 ∙ P ∙ sin ,sin � ∙ sin �

Primijenimo formule za površine trokuta ako su poznata sva tri kuta i jedna stranica

te iz njih izrazimo stranice:

a

a α

b b

e

Sada izračunajmo kut β koristeći činjenicu da susjedni kutovi paralelograma zajedno daju 180⁰:

β = 180⁰ - α

Preostaje nam još izračunati drugu dijagonalu. Nacrtajmo ponovno paralelogram i ucrtajmo

dijagonalu koju želimo izračunati (dijagonalu čiju duljinu znamo nemojte crtati):

Primjenom kosinusovog poučka lagano je izračunati dijagonalu f:

:� = �� + � − � ∙ � ∙ ∙ "#$ �

19. Površina paralelograma jednaka je 14.8 cm2, a duljine dijagonala jednake su 5cm i 8 cm. Kolike

su duljine stranica i koliki su unutarnji kutovi paralelograma?

P = 14.8 e = 5 f = 8 a, b, α, β = ? Povlačenjem dijagonala paralelograma nastalo je nekoliko trokuta ali ni jedan od njih nema tri poznata elementa. No, ako pogledamo formule za površinu paralelograma:

' = � ∙ � i ' = �� ∙ 7 ∙ : ∙ $%& !

i usporedimo ih sa zadanim podacima vidjet ćemo da je moguće iz druge formule izračunati kut ;

između dijagonala paralelograma:

$%& ! = � ∙ '7 ∙ :

Ali, sada imamo trokut u kojem znamo tri elementa Pa primjenom kosinusovog poučka računamo stranicu a:

�� = <:�=

�+ >7

�?�

− � ∙ :� ∙ 7

� ∙ "#$ !

Ako bi iz paralelograma izdvojili trokut sa stranicama b, e/2 i f/2 iz njega bi mogli izračunati stranicu b jer je kut između stranica e/2 i f/2 moguće izračunati (180⁰ - ; ): Naravno, opet primjenjujemo poučak o kosinusu:

� = <:�=

�+ >7

�?�

− � ∙ :� ∙ 7

� ∙ "#$��@A − !�

Ako uzmemo u obzir da je cos(180⁰ - φ) = -cos φ dobijemo:

� = <:�=

�+ >7

�?�

+ � ∙ :� ∙ 7

� ∙ "#$ !

a α

b b

f

β

a α

b b

f

β

e

e/2

a

f/2 !

f/2

e/2

b �@A − !

Kutove α i β dobit ćemo ako u paralelogramu povučemo samo jednu dijagonalu te odaberemo jedan od dva trokuta na koji ta dijagonala podijeli paralelogram: Napišimo poučak o kosinusu primijenjen na trokut:

7� = �� + � − � ∙ � ∙ ∙ "#$ �

te izrazimo cos α:

"#$ � = �� + � − 7�

� ∙ � ∙

Kut β je lagano dobiti iz β = 180⁰ - α.

20. Odredite duljine stranica a i b te kutove trokuta ABC ako je c = 18.8 cm, tc = 14.2 cm i vc =

11.8 cm.

21. Duljine osnovica trapeza jednake su a = 7.2 cm i c = 3 cm, a duljine krakova b = 5.5 cm i d = 3.8

cm. Koliki su unutarnji kutovi trapeza i kolike su dijagonale trapeza?

a = 7.2 c = 3 b = 5. d = 3.8 α, β, γ, δ = ? e, f = ? Ucrtavanjem jedne dijagonale dobili smo dva trokuta, ali ni u jednom nemamo dovoljno elemenata koji bi nam omogućili da izračunamo dijagonalu. Ako bi uspjeli saznati kut β problem bi bio riješen jer bi tada imali poznate dvije stranice (a i b) i kut između njih (β). Kutove α i β na osnovici trapeza možemo pokušati izračunati iz trokuta koji nastaje kada trapez podijelimo na paralelogram i trokut (trapez = trokut + paralelogram) Vidljivo je u iscrtanom trokutu da su mu poznate sve tri stranice pa je moguće primjenom poučka o kosinusu dobiti kutove α i(li) β:

B� = � + �� − ��� − � ∙ ∙ �� − �� ∙ "#$ �

Iz čega slijedi:

"#$ � = � + �� − ��� − B�

� ∙ ∙ �� − ��

Sada je moguće izračunati dijagonalu e iz prije spominjanog trokuta:

7� = �� + � − � ∙ � ∙ ∙ "#$ �

a α

b b

e

c

a

b d

α β

γ δ

e

c

a

b d

α β

γ δ

β

a - c

b

c

Pomoću istog trokuta iz kojega smo izračunali kut α moguće je izračunati i kut α. Primijenimo ovaj put poučak o sinusima na parove d,β i b,α :

B

$%& � = $%& �

a onda izrazimo sinα:

$%& � = B ∙ $%& �

Sada, kad imamo kut α nacrtajmo trapez i drugu dijagonalu unutar njega, te primijenimo poučak o kosinusu na trokut s kutom α:

:� = �� + B� − � ∙ ∙ B ∙ "#$ �

„Gornje“ kutove unutar trapeza dobijemo Koristeći činjenicu da je zbroj kutova uz Krakove trapeza jednak 180⁰. Stoga imamo:

γ = 180⁰ - β, δ = 180⁰ - α

22. Duljine osnovica trapeza jednake su 12.5 cm i 4 cm, a dva su šiljasta kuta jednaka 72⁰ i

58⁰. Izračunaj površinu tog trapeza.

a = 12.5 cm c = 4 cm α = 72⁰ β = 58⁰ P = ?

- = � + �2 ∙ C

Ponovno ćemo trapez razdijeliti na trokut i paralelogram i primijetiti da u trokutu imamo poznata tri elementa, što znači da možemo izračunati i preostale elemente. Kada znamo da nam za računanje površine nedostaje visina trapeza jasno je da treba izračunati jedan od krakova trapeza. Tada ćemo u pravokutnom trokutu kojeg stvorimo povlačeći visinu trapeza znati katetu (visina) kut nasuprot katete (α ili β) i hipotenuzu. Idemo izračunati jedan krak, npr. b. Izračunajmo najprije treći kut trokuta δ = 180⁰ - (α + β) = 50⁰ a zatim primijenimo poučak o sinusima na parove b,α i a-c, δ: odnosno

= �� − �� ∙ $%& �$%& D

c

a

b d

α β

γ δ

f

c

a

b d

α β

γ δ

β

a - c

b

c

$%& � = � − �$%& D

Ucrtajmo sada visinu trapeza te primijenimo funkciju sinus na pravokutni trokut koji pri tom nastane i izračunajmo visinu:

$%& � = �

� = ∙ $%& �

I sada visinu uvrstimo u formulu za površinu.

a - c

α β

d b v