Primjene klasi cne algebre vektora i analiti cke...

Kristalografske koordinate Mrezne ravnine Reciprocni prostor

Primjene klasicne algebre vektora i analitickegeometrije prostora u kristalografiji

Franka Miriam Bruckler


Kristalografske koordinate

Podsjetimo se: Kristalografska baza jednostavno je opca (desna)baza prosotra zadana svojim parametrima a, b, c, α, β, γ i uz odabirishodista odreduje kristalografski koordinatni sustav. (Primitivna)kristalna resetka je skup svih tocaka prostora koje u(kristalografskom) koordinatnom sustavu imaju cjelobrojnekoordinate.

Bazni vektori razapinju paralelepiped koji se naziva jedinicna celija

i njegov volumen je V = (−→a ,−→b ,−→c ).Jedinicna celija se sastoji od tocaka cije koordinate su izmedu 0 i1: To je skup {(x , y , z) : 0 ≤ x , y , z < 1}.

Zadatak

Koje su koordinate sredista jedinicne celije? Ovisi li Vas odgovor okristalografskim parametrima?



Podsjetimo se: Kristalografska baza jednostavno je opca (desna)baza prosotra zadana svojim parametrima a, b, c, α, β, γ i uz odabirishodista odreduje kristalografski koordinatni sustav. (Primitivna)kristalna resetka je skup svih tocaka prostora koje u(kristalografskom) koordinatnom sustavu imaju cjelobrojnekoordinate.Bazni vektori razapinju paralelepiped koji se naziva jedinicna celija

i njegov volumen je V = (−→a ,−→b ,−→c ).

Jedinicna celija se sastoji od tocaka cije koordinate su izmedu 0 i1: To je skup {(x , y , z) : 0 ≤ x , y , z < 1}.

Zadatak





i njegov volumen je V = (−→a ,−→b ,−→c ).Jedinicna celija se sastoji od tocaka cije koordinate su

izmedu 0 i1: To je skup {(x , y , z) : 0 ≤ x , y , z < 1}.

Zadatak





i njegov volumen je V = (−→a ,−→b ,−→c ).Jedinicna celija se sastoji od tocaka cije koordinate su izmedu 0 i1: To je skup {(x , y , z) : 0 ≤ x , y , z < 1}.

Zadatak



Mrezne ravnine

U kristalografiji su od zanimanja samo odredene, tzv. mrezneravnine: to su ravnine koje prolaze kroz tri (i stoge beskonacnomnogo) tocaka resetke. Pritom se medusobno paralelne mrezneravnine (u smislu rasta kristala) smatraju ekvivalentnim ukoliko senalaze s iste strane ishodista.Konkretan makroskopski kristal je poliedar omeden plohama(stranama poliedra) cije ravnine pripadaju pojedinom skupumedusobno ekvivalentnih mreznih ravnina.


O

Promotrimo prvodvodimenzionalni analog kristalne

resetke odreden bazom {−→a ,−→b }.Na slici su ucrtana dva odmogucih smjerova mreznihpravaca.Vidimo da zadani smjer pravacaima jednadzbe u segmentnomobliku

x

mλ+

y

nλ= 1

gdje su m, n, λ ∈ Z, λ > 0(uz fiksirane m i n za razlicite λ dobivamo razlicite, ali medusobnoparalelne, mrezne pravce). Analogno, u prostoru ce odabrani smjerravnina u kristalnoj resetki biti opisan jednadzbama segmentnogoblika

x

mλ+

y

nλ+

z

pλ= 1

s m, n, p, λ ∈ Z, λ > 0.


Vidimo da su s trojkom (m, n, p) karakterizirane sve medusobnoparalelne mrezne ravnine jednog smjera. Nacelno, ta se trojka mozeodabrati proizvoljno, no uobicajena konvencija je da se (m, n, p) sebiraju tako da su m, n i p relativno prosti cijeli brojevi1. Ti brojevizovu se Weissovi parametri plohe na kristalu, tocnije smjera njenihmreznih ravnina. Kaze se da ploha ima Weissove parametre

ma : nb : pc.

U slucaju da je ravnina paralelna nekoj od koordinatnih osi,dogovorno se pripadni Weissov parametar oznacava s ∞.

Primjer

Ploha paralelna s −→a i−→b ima Weissove parametre

∞a :∞b : pc.Ploha paralelna sa −→c ima Weissove parametre ma : nb :∞c .

1Ili pak racionalni brojevi takvi da je n = 1.



ma : nb : pc.


Primjer

Ploha paralelna s −→a i−→b ima Weissove parametre ∞a :∞b : pc.

Ploha paralelna sa −→c ima Weissove parametre

ma : nb :∞c .




ma : nb : pc.


Primjer

Ploha paralelna s −→a i−→b ima Weissove parametre ∞a :∞b : pc.

Ploha paralelna sa −→c ima Weissove parametre ma : nb :∞c .



Drugi nacin opisa smjera mreznih ravnina su Millerovi indeksi(hkl). Ako su Weissovi parametri plohe ma : nb : pc te ako je vnajmanji pozitivan zajednicki visekratnik od m, n i p, onda je

h =v

m, k =

v

n, l =

v

p.

Ako je neki od Weissovih parametara ∞, on se ne uzima u obzir zaracunanje v , a odgovarajuci Millerov indeks je po definiciji jednak0.

Millerovi indeksi predstavljaju koordinate jednog vektoranormale na dani smjer ravnina (−→n = [h, k , l ]∗). Negativni Weissoviparametri i Millerovi indeksi oznacavaju se znakom minus iznadparametra odnosno indeksa. Tako primjerice ravnina 2x − y = 3ima Weissove parametre 1a : 2b :∞c , a Millerove indekse (210).

Napomena

Ravnine x + y − z = 1 i x−2 + y

−2 + z2 = 1 su paralelne, ali se u

kristalografsiji razlikuju jer su s razlicitih strana ishodista. Prva odnjih ima Millerove indekse (111), a druga (111).



h =v

m, k =

v

n, l =

v

p.

Ako je neki od Weissovih parametara ∞, on se ne uzima u obzir zaracunanje v , a odgovarajuci Millerov indeks je po definiciji jednak0. Millerovi indeksi predstavljaju koordinate jednog vektoranormale na dani smjer ravnina (−→n = [h, k , l ]∗).

Negativni Weissoviparametri i Millerovi indeksi oznacavaju se znakom minus iznadparametra odnosno indeksa. Tako primjerice ravnina 2x − y = 3ima Weissove parametre 1a : 2b :∞c , a Millerove indekse (210).

Napomena






h =v

m, k =

v

n, l =

v

p.

Ako je neki od Weissovih parametara ∞, on se ne uzima u obzir zaracunanje v , a odgovarajuci Millerov indeks je po definiciji jednak0. Millerovi indeksi predstavljaju koordinate jednog vektoranormale na dani smjer ravnina (−→n = [h, k , l ]∗). Negativni Weissoviparametri i Millerovi indeksi oznacavaju se znakom minus iznadparametra odnosno indeksa. Tako primjerice ravnina 2x − y = 3ima Weissove parametre 1a : 2b :∞c , a Millerove indekse (210).

Napomena





Zadatak

Kakve ravnine opisuju Millerovi indeksi (110)?

A (010)?

Primjer

Promotrimo ravninu s jednadzbom x15 + y

10 + z20 = 1. Njeni

odsjecci na kristalografskim osima su 15, 10, 20. Weissoviparametri njenog smjera su stoga 3a : 2b : 4c . Millerovi indeksinjenog smjera su (463).

Primjer

Recimo da jedna ravnina danog smjera sijece koordinatne osiredom u tockama na udaljenostima 2a, b, 3c od ishodista.Pripadni segmentni oblik jednadzbe te ravnine je

x

2+

y

1+

z

3= 1.

Millerovi indeksi tog smjera su (362).


Zadatak

Kakve ravnine opisuju Millerovi indeksi (110)? A (010)?

Primjer


10 + z20 = 1. Njeni


Primjer


x

2+

y

1+

z

3= 1.



Zadatak


Primjer


10 + z20 = 1. Njeni

odsjecci na kristalografskim osima su

15, 10, 20. Weissoviparametri njenog smjera su stoga 3a : 2b : 4c . Millerovi indeksinjenog smjera su (463).

Primjer


x

2+

y

1+

z

3= 1.



Zadatak


Primjer


10 + z20 = 1. Njeni

odsjecci na kristalografskim osima su 15, 10, 20. Weissoviparametri njenog smjera su stoga

3a : 2b : 4c . Millerovi indeksinjenog smjera su (463).

Primjer


x

2+

y

1+

z

3= 1.



Zadatak


Primjer


10 + z20 = 1. Njeni

odsjecci na kristalografskim osima su 15, 10, 20. Weissoviparametri njenog smjera su stoga 3a : 2b : 4c . Millerovi indeksinjenog smjera su

(463).

Primjer


x

2+

y

1+

z

3= 1.



Zadatak


Primjer


10 + z20 = 1. Njeni


Primjer


x

2+

y

1+

z

3= 1.



Zadatak


Primjer


10 + z20 = 1. Njeni


Primjer


x

2+

y

1+

z

3= 1.

Millerovi indeksi tog smjera su

(362).


Zadatak


Primjer


10 + z20 = 1. Njeni


Primjer


x

2+

y

1+

z

3= 1.



Zadatak

Nadite opcu jednadzbu (231) mrezne ravnine najblize ishodistukoja sve tri osi sijece u tockama resetke!

Zadatak

Ako je u kristalografskom koordinatnom sustavu jednadzba mrezneravnine 2x − y = 5, izrazite njen smjer Millerovim indeksima.

Zadatak

Spoj Rb3TlF6 kristalizira u tetagonskom sustavu (a = b = 651 pm,c = 934 pm, α = β = γ = 90◦). Neka mrezna ravnina je paralelnaa-osi, b os sijece na udaljenosti od 1302 pm, a c os na udaljenostiod 2802 pm od ishodista. Odredite Millerove indekse smjera teravnine.


Medumrezni razmak

Razmak medu susjhednim mreznim ravninama istog smjera nazivase medumrezni razmak. Medumrezni razmak ravnina smjera (hkl)oznacavamo s dhkl . On je ocigledno jednak udaljenosti ishodista donjemu najblize mrezne ravnine promatranog smjera, dakle doravnine hx + ky + lz = 1.

Stoga je dhkl = |OQ| ako je Q projekcijaO na ravninu.

x

z

y

O

Qdhkl

M

N

P

χ

ψ

ω

n


Medumrezni razmak

Razmak medu susjhednim mreznim ravninama istog smjera nazivase medumrezni razmak. Medumrezni razmak ravnina smjera (hkl)oznacavamo s dhkl . On je ocigledno jednak udaljenosti ishodista donjemu najblize mrezne ravnine promatranog smjera, dakle doravnine hx + ky + lz = 1.Stoga je dhkl = |OQ| ako je Q projekcijaO na ravninu.

x

z

y

O

Qdhkl

M

N

P

χ

ψ

ω

n


Odsjecci ravnine hx + ky + lz = 1 na osima, ako postoje, su redom1h , 1

k und 1l .

Ako su odgovarajuca probodista oznacena s M, N i Pimamo −−→

OM =1

h−→a , −→ON =

1

k

−→b ,−→OP =

1

l−→c .

Nadalje, znamo: ∠OQM = ∠OQN = ∠OQP = 90◦, ∠NOP = α,∠MOP = β, ∠MON = γ. Ako ravnina sijece sve tri osi,medumrezni razmak je visina dhkl = |OQ| piramide OMNP. Njezinje volumen

VOMNP =1

3

−−→OM · −→ON ×−→OP =

1

3hklV .

S druge strane je VOMNP = 13dhklP4MNP . U opcem je slucaju

moguce koristeci kosinusov poucak odrediti duljine stranica trokuta4MNP i onda Heronovom formulom njegovu povrsinu P4MNP , teizjednacavanjem gornjih formula za volumen dobijemo



k und 1l . Ako su odgovarajuca probodista oznacena s M, N i P

imamo −−→OM =

1

h−→a , −→ON =

1

k

−→b ,−→OP =

1

l−→c .


VOMNP =1

3

−−→OM · −→ON ×−→OP =

1

3hklV .






imamo −−→OM =

1

h−→a , −→ON =

1

k

−→b ,−→OP =

1

l−→c .

Nadalje, znamo: ∠OQM = ∠OQN = ∠OQP = 90◦, ∠NOP = α,∠MOP = β, ∠MON = γ.

Ako ravnina sijece sve tri osi,medumrezni razmak je visina dhkl = |OQ| piramide OMNP. Njezinje volumen

VOMNP =1

3

−−→OM · −→ON ×−→OP =

1

3hklV .






imamo −−→OM =

1

h−→a , −→ON =

1

k

−→b ,−→OP =

1

l−→c .


VOMNP =1

3

−−→OM · −→ON ×−→OP =

1

3hklV .




dhkl =V

hklP4MNP.

Ta formula je tocna uz uvjet

da nikoji od Millerovih indeksa h, k , lnije 0.

Primjer

Neka je a = 100 pm, b = 200 pm und c = 250 pm, α = γ = 90◦,β = 60◦. Odredimo d322.

1 |OM| = 33,3 pm, |ON| = 100 pm, |OP| = 125 pm.

2 Kosinusov poucak za 4OMN i 4ONP je Pitagorin i daje|MN| = 105,41 pm, |NP| = 160,08 pm. Trokut 4OMP privrhu O ima kut 60◦ pa je |MP| = 112,11 pm.

3 Heronova formula daj P4MNP = 5.882,288 pm2.

4 Elementarna geometrija povlaciV = abc

√1− cos2 β = 4.330.127,019 pm3.

5 Imamo dhkl = 61,3 pm.


dhkl =V

hklP4MNP.

Ta formula je tocna uz uvjet da nikoji od Millerovih indeksa h, k , lnije 0.

Primjer

Neka je a = 100 pm, b = 200 pm und c = 250 pm, α = γ = 90◦,β = 60◦. Odredimo d322.

1 |OM| = 33,3 pm, |ON| = 100 pm, |OP| = 125 pm.

2 Kosinusov poucak za 4OMN i 4ONP je Pitagorin i daje|MN| = 105,41 pm, |NP| = 160,08 pm. Trokut 4OMP privrhu O ima kut 60◦ pa je |MP| = 112,11 pm.

3 Heronova formula daj P4MNP = 5.882,288 pm2.

4 Elementarna geometrija povlaciV = abc

√1− cos2 β = 4.330.127,019 pm3.

5 Imamo dhkl = 61,3 pm.


Ortogonalni sustavi

Neka su χ, ψ, ω kutovi normale −→n smjera (hkl) s baznim

vektorima −→a ,−→b , −→c . Onda je

cosχ =h

a· dhkl , cosψ =

k

b· dhkl , cosω =

l

c· dhkl .

Zbrojimo i dobijemo

cos2 χ+ cos2 ψ + cos2 ω

d2hkl

=h2

a2+

k2

b2+

l2

c2.

Ako je koordinatni sustav ortgonalan vrijedicos2 χ+ cos2 ψ + cos2 ω = 1, pa dobivamo jednostavnu formulu zamedumrezni razmak u ortogonalnim sustavima

1

d2hkl

=h2

a2+

k2

b2+

l2

c2.

Ona vrijedi za sve h, k , l .


Zadatak

Neka je tetragonska jedinicna celija zadana parametrima a = 4,820A, c = 6,288 A. Koliki je razmak ravnina (211)?

Zadatak

(a) Odredite Millerove indekse mrezne ravnine koja ima jednadzbu15x − 6z = 60. Ako je to mrezna ravnina nekog rompskogkristala s duljinama (medusobno okomitih) bridova jedinicnecelije a = 5,89 A, b = 8,22 A, c = 7,98 A, koliki je razmakdviju susjednih mreznih ravnina koje imaju isti smjer kao iravnina 15x − 6z = 60?

(b) Ako je poznato da su valna duljina λ zracenja, kut θ podkojim se opaza refleks i razmak susjednih ravnina tog smjerapovezani Braggovim zakonom λ = 2dhkl sin θ (kutevi θ suizmedu 0◦ i 90◦). Koja je maksimalna valna duljina zracenjaza koju je moguc refleks na smjeru mreznih ravnina iz zadatka(a)?


Primjer

Mineral malahit kristalizira u monoklinskom sustavu, a = 9,502 A,b = 11,974 A, c = 3,240 A, α = γ = 90◦, β = 98,75◦. Odredimomedumrezni razmak smjera (201) za kristale malahita.

Promatramo ravninu 2x − z = 1. Ona je paralelna s y -osi, a ta jeokomita na ravninu (x , z).

z

⊗y

Ox

98,75◦

81,25◦ M

P

Q

d201

M = ( 12 , 0, 0).

|OM| = 12a = 4,751 A,

P = (0, 0,−1),|OP| = c = 3,240 A;P4OMP = 1

2d201|MP| =12 |OM||OP| cos(180◦ − β), dakle

d201 = |MP| ≈ 15,2141 A2;|MP|2 = |OM|2 + |OP|2 −2|OM||OP| cos(180◦ − β),|MP| ≈ 5,3279 A,d201 = 2,856 A.


Primjer

Mineral malahit kristalizira u monoklinskom sustavu, a = 9,502 A,b = 11,974 A, c = 3,240 A, α = γ = 90◦, β = 98,75◦. Odredimomedumrezni razmak smjera (201) za kristale malahita.Promatramo ravninu 2x − z = 1. Ona je

paralelna s y -osi, a ta jeokomita na ravninu (x , z).

z

⊗y

Ox

98,75◦

81,25◦ M

P

Q

d201

M = ( 12 , 0, 0).

|OM| = 12a = 4,751 A,

P = (0, 0,−1),|OP| = c = 3,240 A;P4OMP = 1




Primjer

Mineral malahit kristalizira u monoklinskom sustavu, a = 9,502 A,b = 11,974 A, c = 3,240 A, α = γ = 90◦, β = 98,75◦. Odredimomedumrezni razmak smjera (201) za kristale malahita.Promatramo ravninu 2x − z = 1. Ona je paralelna s y -osi, a ta jeokomita na ravninu (x , z).

z

⊗y

Ox

98,75◦

81,25◦ M

P

Q

d201

M = ( 12 , 0, 0).

|OM| = 12a = 4,751 A,

P = (0, 0,−1),|OP| = c = 3,240 A;

P4OMP = 12d201|MP| =

12 |OM||OP| cos(180◦ − β), dakle



Primjer


z

⊗y

Ox

98,75◦

81,25◦ M

P

Q

d201

M = ( 12 , 0, 0).

|OM| = 12a = 4,751 A,

P = (0, 0,−1),|OP| = c = 3,240 A;P4OMP = 1


d201 = |MP| ≈ 15,2141 A2;

|MP|2 = |OM|2 + |OP|2 −2|OM||OP| cos(180◦ − β),|MP| ≈ 5,3279 A,d201 = 2,856 A.


Primjer


z

⊗y

Ox

98,75◦

81,25◦ M

P

Q

d201

M = ( 12 , 0, 0).

|OM| = 12a = 4,751 A,

P = (0, 0,−1),|OP| = c = 3,240 A;P4OMP = 1




Reciprocna baza

Za danu bazu prostora {−→a ,−→b ,−→c } baza {−→a ∗,−→b ∗,−→c ∗} imasljedeca svojstva:

Svaki vektor nove baze okomit je na dva vektora polazne bazekoji su oznaceni razlicitim slovom nego taj vektor (uocite dato automatski garantira da cemo ponovno dobiti bazu!);

Iznos svakog vektora nove baze reciprocan je medumreznomrazmaku?!

Cemu ovo? Kako je nemoguce kristalnu strukturu direktno opaziti,o njoj zakljucujemo pomocu difrakcije. Difrakcija na smjerumreznih ravnina (hkl) kao rezultat (nakon odgovarajuce obradesnimljenih podataka) daje uredenu trojku (h, k , l) kao tockuprostora R3, cije koordinate su izrazene obzirom na drugu bazuprostora.


Neka je h visina paralelepipeda odredenog s {−→a ,−→b ,−→c }, npr. ako

paralelogram odreden s−→b i −→c gledamo kao bazu. Tada je

|−→c ∗| =1

V· |−→c ×−→a | =

1

h=

1

d001.

Vidimo: Jedinice duljine u reciprocnom prostoru su reciprocnejedinicama u direktnom prostoru.Imamo dakle:

|−→a ∗| =1

d100, |−→b ∗| =

1

d010, |−→c ∗| =

1

d001.

Iz definicije vektorskog produkta stoga dobijemo

d100 =1

|~a∗| =1∣∣∣~b×~cV

∣∣∣ =V

bc sinα.

Analogne formule vrijede za d010 i d001 za sve tipove koordinatnihsustava.

Primjer

I bez prethodnog je gotovo ocito da u ortogonalnim sustavimavrijedi d100 = a, d010 = b, d001 = c .


Temeljni zakon reciprocne resetke

Prethodne formule mogu se poopciti:Oznacimo s Nhkl stvarnu2 duljinu vektora −→r ∗ = [h, k , l ]∗.Udaljenost ravnine hx +ky + lz = 1 do ishodista je dhkl . Neka je Mnjeno probodiste s x-osi.

Iznos dhkl jednaka je duljini ortogonalne

projekcije−−→OM na −→r ∗ (koji je normalan na smjer (hkl)).

Iznos te ortogonalne projekcije je−−→OM·−→r ∗

Nhkl= 1Nhkl

. Dakle vrijedi :

dhklNhkl = 1.

Posljednja jednakost zove se temeljnim zakonom reciprocne resetke.

2Misli se: duljinu izrazenu u reciprocnoj jedinici duljine onoj jedinici kojukoristimo u direktnom prostoru.



Prethodne formule mogu se poopciti:Oznacimo s Nhkl stvarnu2 duljinu vektora −→r ∗ = [h, k , l ]∗.Udaljenost ravnine hx +ky + lz = 1 do ishodista je dhkl . Neka je Mnjeno probodiste s x-osi. Iznos dhkl jednaka je duljini ortogonalne



Nhkl= 1Nhkl

. Dakle vrijedi :

dhklNhkl = 1.








Nhkl= 1Nhkl

.

Dakle vrijedi :

dhklNhkl = 1.








Nhkl= 1Nhkl

. Dakle vrijedi :

dhklNhkl = 1.




Zadatak

Neki mineral kristalizira u heksagonskom kristalnom sustavu(a = b, c , α = β = 90◦, γ = 120◦).

(a) Koji od parova vektora −→a ∗ i −→a ,−→b ∗ i

−→b te −→c ∗ i −→c su istog

smjera?

(b) Izrazite d100, d010 i d001 preko parametara a i c .

Buduci da −→c ∗ mora biti okomit na −→a i−→b , a takav je i sam −→c ,

zakljucujemo da su za heksagonske kristale −→c ∗ i −→c istog smjera.

Vektori −→a ∗ i −→a kao i−→b ∗ i

−→b su razlicitih smjerova (ali svi leze u

istoj ravnini). Volumen jedinicne celije je V = abc sin γ. Stoga je1

d100= |−→a ∗| = 1

abc sin γbc sinα = 1a sin γ , dakle d100 = a

√3

2 .

Analogno se dobije d010 = b√

32 i d001 = c .


Zadatak




smjera?






istoj ravnini).

Volumen jedinicne celije je V = abc sin γ. Stoga je1

d100= |−→a ∗| = 1


√3

2 .


32 i d001 = c .


Zadatak




smjera?






istoj ravnini). Volumen jedinicne celije je V = abc sin γ. Stoga je1

d100= |−→a ∗| = 1


√3

2 .


32 i d001 = c .


Zadatak

Neki kristal rompskog sustava ima parametre jedinicne celijea = 0,82 nm, b = 0,94 nm i c = 0,75 nm. Duljina radij-vektoratocke koja u reciprocnoj resetki ima koordinate (1, 0, 2) je

N102 = 1d102

=√

1a2 + 4

c2 = 2,9 nm−1.

Zadatak

Odredite kut ϕ izmedu y -osi i normale smjera (123) ako je a = 100A, b = 150 A, c = 180 A, α = β = γ = 90◦.Imamo prvo ~n = [1, 2, 3]∗, a smjer y -osi je ~b = [0, 1, 0] pa je

cosϕ =[1, 2, 3]∗ · [0, 1, 0]

|~n| · b =2d123

b.

Ispada ϕ = acos 2d123b = 55◦33′.


Zadatak


N102 = 1d102

=

√1a2 + 4

c2 = 2,9 nm−1.

Zadatak


cosϕ =[1, 2, 3]∗ · [0, 1, 0]

|~n| · b =2d123

b.



Zadatak


N102 = 1d102

=√

1a2 + 4

c2 = 2,9 nm−1.

Zadatak


cosϕ =[1, 2, 3]∗ · [0, 1, 0]

|~n| · b =2d123

b.



Zadatak


N102 = 1d102

=√

1a2 + 4

c2 = 2,9 nm−1.

Zadatak

Odredite kut ϕ izmedu y -osi i normale smjera (123) ako je a = 100A, b = 150 A, c = 180 A, α = β = γ = 90◦.

Imamo prvo ~n = [1, 2, 3]∗, a smjer y -osi je ~b = [0, 1, 0] pa je

cosϕ =[1, 2, 3]∗ · [0, 1, 0]

|~n| · b =2d123

b.



Zadatak


N102 = 1d102

=√

1a2 + 4

c2 = 2,9 nm−1.

Zadatak


cosϕ =[1, 2, 3]∗ · [0, 1, 0]

|~n| · b =2d123

b.


Primjene klasi cne algebre vektora i analiti cke...

Documents

Transcript of Primjene klasi cne algebre vektora i analiti cke...