PRIMENA NEPARAMETARSKIH METODA PROGRAMSKOG PAKETA MATLAB SIGNAL PROCESSING TOOLBOX U ANALIZI

AUDIO SIGNALA

Boban Bogojevi Elektrotehniki fakultet, Beograd

Mentor: Prof. Ljiljana Mili

1. UVOD Mnogi signali se generiu procesima koji su suvie

kompleksni da bi se mogli opisati deterministikim modelom, pa se stoga modeluju sluajnim procesom. Jedan od takvih signala je signal govora, koji je od interesa za ovaj rad.

Cilj spektralne analize sluajnih signala je opisivanje raspodele snage signala u frekvencijskom domenu. Za tu svrhu od izuzetne vanosti je veliina koja se naziva spektralna gustina snage (skraeno SGS). U MATLAB-u, SGS je definisana na sledei nain:

( ) ( )2

xxxx

SP

= , ili ( ) ( )xxxx

S

S fP f

f= (1.1)

pri emu je 2 sf f = , gde je fizika frekvencija signala, a

f

sf frekvencija odabiranja. ( )xxS i autokorelacija stacionarnog sluajnog procesa ine Furijeov transformacioni par.

Naravno, u praksi uvek imamo na raspolaganju samo konaan segment signala, tako da se mi u sutini iskljuivo bavimo spektralnom estimacijom (procenom). MATLAB-ov Signal Processing Toolbox (skraeno SPT) poseduje sledee metode spektralne estimacije: neparametarske, parametarske i potprostorne.

U ovom radu bie posveena panja komparativnoj analizi neparametarskih metoda spektralne estimacije na primeru audio signala.

Neparametarske metode vre procenu spektralne gustine snage direktno iz samog signala. Ima ih etiri: periodogram, modifikovani periodogram, Welch-ova metoda (usrednjeni periodogram) i metoda viestrukih prozora (Multitaper method).

2. PERIODOGRAM

Najjednostavniji nain za procenu spektra snage jeste nalaenje diskretne Furijeove transformacije segmenta signala konane duine, a zatim kvadriranje amplitude rezultata. Ovakva procena se naziva periodogram.

Periodogram je procena spektralne gustine snage koja se za niz ( ){ L }x n duine definie na sledei nain: L

( )( ) 2 L

xxS

X fP f

f L= (2.1)

gde je frekvencija odabiranja, a Sf ( )LX f Furijeova transformacija niza ( ){ L }x n . Meutim, u praksi ( )LX f moe biti raunata samo u konanom broju taaka, najee primenom FFT-a. Na taj nain, periodogram se praktino definie na sledei nain:

( )( ) 2 L k

xx kS

X fP f

f L= , Sk

kff

N= (2.2)

gde je 0,1,..., 1k N= , a ( )L kX f predstavlja diskretnu Furijeovu transformaciju niza ( ){ }Lx n .

U SPT-u periodogram se implementira istoimenom funkcijom, ija je sintaksa, u sluaju kada je poznata frekvencija odabiranja, sledea: [Pxx,f]=periodogram(x,window,nfft,fs) (2.3) pri emu je: x signal iji periodogram odreujemo, window vrsta primenjenog prozora (za periodogram se podrazumeva pravougaoni prozor, za koji je oznaka nfft broj taaka u kojima se rauna FFT, a fs frekvencija odabiranja.

Kao primer odrediemo periodogram samoglasnika a (ovaj, kao i svi ostali uzorci govornog signala korieni u ovom radu, snimljeni su frekvencijom odabiranja od 8KHz, a duina im je 8000 odbiraka). Za grafiko predstavljanje periodograma ovog signala u decibelima po jedinici frekvencije dovoljna je sledea naredba: periodogram(a,[],8192,8000) Dobijeni grafik predstavljen je na slici (2.1).

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-130

-120

-110

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

Frekvencija (Hz)

SGS (dB/Hz)

Periodogram

Slika (2.1) Periodogram vokala a u db/Hz

Razmotriemo osobine periodograma: curenje spektra,

rezoluciju, pristrasnost i konzistentnost. Ove osobine e nam biti neophodne kao parametri na osnovu kojih emo vriti meusobno poreenje neparametarskih metoda.

2.1 CURENJE SPEKTRA

Neka je ( )Lx n konaan segment duine izdvojen iz signala

L

( )x n koji je beskonane duine. esto je korisno

1

posmatrati signal ( )Lx n kao proizvod signala ( )x n beskonane duine i pravougaonog prozora konane duine

(R- rectangular (pravougaoni)): ( )Rw n( ) ( ) ( )L Rx n x n w n= (2.4) Kao to je poznato, operaciji mnoenja u vremenskom

domenu odgovara konvolucija u frekvencijskom domenu, to znai da je Furijeova transformacija gornjeg izraza, izraena preko fizike frekvencije data sledeim izrazom:

( ) ( ) ( )2

2

1 s

s

f

L Rs f

X f X W ff

d

= (2.5)

Na osnovu prethodna dva izraza se jasno vidi da u definicioni izraz za periodogram ne ulazi pravi spektar originalnog signala, ve je taj spektar, iz razloga uzimanja samo konanog segmenta signala, modifikovan konvolucijom sa spektrom prozora. Boni lukovi frekvencijskog odziva pravougaonog prozora su glavni uzronici pojave efekta curenja spektra. to je duina prozora vea, njegov frekvencijski odziv je sve bolja aproksimacija Dirakovog impulsa, pa je curenje spektra manje. Dakle, curenje spektra je naroito izraeno u sluaju kada je duina segmenta signala mala.

2.2. REZOLUCIJA

Rezolucija predstavlja mogunost razlikovanja susednih spektralnih komponenata. Da bismo bili u stanju da razlikujemo dve sinusoide koje su bliske jedna drugoj u spektru, neophodno je da razlika izmeu frekvencija ove dve sinusoide bude vea od irine glavnog luka upotrebljenog prozora, to za dve sinusoide frekvencija i glasi: 1f 2f

1 2sff f f

L = > (2.6)

2.3. PRISTRASNOST PERIODOGRAMA

Oekivana vrednost periodograma data je sledeim izrazom:

( )( ) ( )

2 22

2

1 s

s

fL

xx Rs s f

X fE P W f d

f L f L

=

)

(2.7)

gde ( 2RW f predstavlja Furijeovu transformaciju aperiodine autokorelacije pravougaonog prozora. Iz prethodnog izraza jasno se vidi da oekivana vrednost periodograma nije jednaka spektralnoj gustini snage, ve je jednaka konvoluciji iste sa aperiodinom autokorelacijom prozora. Dakle, periodogram predstavlja pristrasnu procenu spektralne gustine snage.

U graninom sluaju, kada duina prozora tei beskonanosti, oekivana vrednost periodograma postaje jednaka spektralnoj gustini snage, pa zato kaemo da periodogram predstavlja asimptotski nepristrasnu procenu spektralne gustine snage.

2.3. KONZISTENTNOST

Za varijansu periodograma se moe pokazati da je data sledeim aproksimativnim izrazom:

( )( )

2

2var L xxs

X fP f

f L

(2.8)

Oigledno je da varijansa procene ne tei nuli kada duina niza podataka tei beskonanosti, to znai da periodogram ne predstavlja konzistentnu procenu spektralne gustine snage.

3. MODIFIKOVANI PERIODOGRAM

Modifikovani periodogram (skraeno MP) se definie na sledei nain:

( ) 2 ( ) Lxxs

X fP f

f LU= (2.9)

gde je ( )LX f Furijeova transformacija segmenta signala izdvojenog nekom nepravougaonom prozorskom funkcijom, a konstanta normalizacije prozora, koja se uvodi radi ouvanja srednje snage signala.

U

Nedostatak pravougaonog prozora je to na svojim krajevima naglo odseca signal, pravei diskontinuitet koji uzrokuje pojavu parazitnih frekvencijskih komponenata, kontinualno rasporeenih du cele frekvencijske ose. Kod ostalih vrsta prozora, amplituda prozorske funkcije nije konstantna, ve postepeno opada, idui od sredine prozora ka njegovim krajevima i tako ublaava prelaz na krajevima prozora

MP se rauna takoe pomou periodogram funkcije, samo to se sada u okviru nje specificira koja vrsta prozora se koristi.

Na primeru vokala e uporediemo periodogram i MP, koje emo dobiti upotrebom sledeih naredbi: periodogram(e,[],16384,8000); periodogram(e,hamming(length(e)),16384,8000)

Da bi poreenje bilo izvodljivo, grafike procene SGS moramo zumirati oko neke istaknute frekvencijske komponente (kod nas je to pik na 117Hz). Rezultat je prikazan na slici (2.2).

90 100 110 120 130 140 150-220

-200

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

Frekvencija (Hz)

SGS (dB/Hz)

PeriodogramModifikovani periodogram

Slika (2.2) Pik periodograma i modifikovanog periodograma

vokala e na frekvenciji 117Hz Na osnovu grafika sa slike (2.2) moe se izvesti nekoliko

vanih zakljuaka. Najpre, odmah se primeuje da je glavni pik MP-a iri od glavnog pika periodograma. To je i oekivano, jer je irina glavnog luka Hemingovog prozora, raunata po pravilu 3db, priblino dva puta vea u odnosu na pravougaoni prozor. Dakle, rezolucija koju je mogue ostvariti upotrebom Hemingovog prozora je dva puta manja od one koja se ostvaruje korienjem pravougaonog prozora. To se jasno uoava sa prethodne slike, gde se vidi da su boni lukovi u sluaju periodograma gui i dosta uoljiviji nego kod modifikovanog periodograma.

2

Sa druge strane boni lukovi kod Hemingovog prozora su znatno nii u odnosu na pravougaoni prozor, to kao posledicu ima manje curenje spektra. U naem primeru vidi se da su boni lukovi u sluaju modifikovanog periodograma za oko (10-20)db nii od onih kod obinog periodograma.

Dakle, irina glavnog luka i visina bonih lukova su dva meusobno suprotstavljena parametra, to znai da se mora traiti kompromisno reenje, u zavisnosti od postavljenih zahteva.

4. WELCH-OVA METODA

Poboljana metoda za procenu spektralne gustine snage je tzv. Welch-ova metoda (metoda usrednjavanja periodograma). Sutina ove metode je u deljenju niza podataka na segmente (koji mogu i da se preklapaju), raunanju MP-a za svaki segment i na kraju nalaenju srednje vrednosti ovako dobijenih procena spektralne gustine snage. Procena koja se na ovaj nain dobija naziva se Welch-ova procena spektralne gustine snage ili, drugaije reeno usrednjeni periodogram (skraeno UP).

Welch-ova metoda je u SPT-u implementiran