Pre-Certamen 2 MAT-022 - cime.cl · PDF filee) Ninguno de los anteriores 9. Determine la...
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Pre-Certamen 2 MAT-022
by GSA
1.∫
tanhxdx =
a) arctanhx + C
b)1
2ln |ex + e−x|+ C
c) ln |sinhx|+ C
d) ln |ex + e−x| − ln (2)+ C
e) ln (1
2)+ ln |ex − e−x| + C
2. Estudie la convergencia de∫
1
+∞ dx
xp lnq x
a) Siempre diverge
b) Siempre converge
c) Es convergente si p > 1, q < 1
d) Es convergente si p < 1, q > 1
e) 0
3. Calcule∫
−∞+∞
arctg xdx
a) 0
b) − π
c) π
d)π
2
e) No se puede calcular
4. Sea A =(
1 i
1 i
)
Entonces los valores propios de la matriz A son:
a) λ= i, λ =− 1
b) λ= 0, λ = 1− i
c) λ= 0, λ = 1+ i
d) λ= i, λ =− i
e) Ninguno de los anteriores
1
5. Determine el polinomio caracteristico de la siguiente matriz real de orden 4. A=
1 0 0 − 10 0 1 00 − 1 0 01 0 0 − 1
a) p(λ) =λ2 (λ2 + 1)
b) p(λ) =λ4− 1
c) p(λ) = (λ2 +1)2
d) p(λ) =−λ2(λ2− 1)
e) Ninguno de los anteriores
6. Considere la integral∫
0
+∞xe−ax dx, que depende del parametro real a. Calcule los valores de a ∈
R para los cuales la integral converge y calcule el valor al cual converge la integral.
a)1
a, a > 0
b) e−a, a > 0
c)1
a2, a < 0
d) −1
a2, a > 0
e)1
a2, a > 0
7. Calcule∫
0
+∞ arctg x
(1+ x2)3
2
dx
a) − 1
b)π
2− 1
c) π + 2
d) π − 1
e) Ninguna de las anteriores
8. Considere el operador L∈L(P2(R)) definido por
(∀p∈P2(R))(∀x∈R): L(p)(x) =x2p′′(x)− xp′(x)+ p(x)
Determine el espacio propio asociado a λ =1 deL
a) S1 = {ax2 + bx + c : b = 0}=⟨
{1, x2}⟩
b) S1 = {ax2 + bx + c : a = 0}=⟨
{x, 1}⟩
c) S1 = {ax2 + bx + c : c = 0}=⟨
{x2, x}⟩
d) S1 = {ax2 + bx + c : b = 0}=⟨
{x2, 0, 1}⟩
2
e) Ninguno de los anteriores
9. Determine la minima distancia del plano π: 3x+ 2y + 7 = z al punto (1, -1, 4)
a)29
62√
b)4
14√
c)12
14√
d)4
62√
e)8
14√
10. Calcule la siguiente integral∫
0
π
2cos x
1+ cos xdx
a) 1−π
2
b)π
4− 1
c)π
2− 2
d)π
2+ 1
e)π
2− 1
11. Determine el valor de t ∈R de manera que el conjunto B = {(1,− 1, 2), (3, 1, 0), ( − t2, 0, 2)} sea unconjunto l.i.
a) 1+ t2� 0
b) 8+ t2� 0
c) 8+ 2t2� 0
d) 8− 2t2� 0
e) − 8− 2t2 = 0
12. Determine el valor de α∈R de modo que los planos:
π1: αx− y + z =1, π2: x+ 2y + z = 1, π3: x− y − z = 1
no se intersectan.
a) α =− 5
b) α =− 1
c) α = 1
3
d) α =−5
3
e) α = 5
13. Sea A =(
3 2− 2 3
)
∈M(2,C) una matriz diagonalizable, cuyos vectores propios dados son
Vλ1= 〈{(i,− 1)}〉 y Vλ2
= 〈{(i, 1)}〉
Determine P , P−1, D ∈M(2,C), P invertible y D diagonal tal que P−1AP =D
a)
1
2i
1
2
1
2i− 1
2
(
3 2− 2 3
)(
i i
1 − 1
)
=(
3− 2i 00 3+ 2i
)
b)1
2i
(
1 i
− 1 i
)(
3 2− 2 3
)(
i i
1 − 1
)
=(
3+2i 00 3− 2i
)
c) −1
2i
(
− 1 − 1− i i
)(
3 2− 2 3
)(
i i
− 1 1
)
=(
3− 2i 00 3 +2i
)
d) −1
2i
(
− 1 − i
− 1 i
)(
3 2− 2 3
)(
i i
1 − 1
)
=(
3− 4i 00 3+ 4i
)
e)(
− 1 − i
− 1 i
)(
3 2− 2 3
)(
i i
1 − 1
)
=(
3− 2i 00 3+ 2i
)
14. Calcule∫
0
1 dx
x√
1− x√
a) Diverge
b) − π
c) −π
2
d)π
2
e) π
15. Encontrar una matriz ortogonal 3 × 3, P , cuya primera fila sea un multiplo de v1 = (1, 1, 1) y cuyasegunda fila lo sea de v2 =(0,− 1, 1)
a) P =
1 1 10 − 1 12 − 1 − 1
b) P =
1
3√
1
3√
1
3√
0 − 1
2√
1
2√
2
6√ − 1
6√ − 1
6√
c) P =
1 1 10 − 1 10 − 1 − 1
d) P =
1
3√
1
3√
1
3√
0 − 1
2√
1
2√
0 − 1
2√ − 1
2√
4
e) P =
1 1 10 − 1 12
3√
1
3√
1
3√
16. De las siguientes afirmaciones
I. El subconjunto de las matrices invertibles de orden n con coeficientes reales, es un sube-spacio vectorial de M(n,R)
II. El conjunto de vectores {et, cosh(t), sinh(t)} es linealmente dependiente
III. El vector x2− 2 es combinacion lineal de x2− 1, 2x, x + 3 y 1− x
IV. Sea W = {g(x)∈R2[x] : g ′(1) =0}, entonces W 6R2[x] y dimRW = 2
son verdaderas:
a) III y IV
b) I, III, IV
c) II y III
d) II, III, IV
e) Todas
17. Hallar el area de la region dentro de uno de los ocho lazos de la rosa de ocho pétalos r = cos 4θ
a)π
8
b)π
16
c)π
16+
1
16
d)π
32
e)π
32+
1
16
18. Hallar una ecuacion del plano π enR3 que contiene los puntos (1, -2, 2), (0, 1, 3) y (0, 2, -1)
a) π:− 13x +4y − z = 1
b) π: 13x− 4y + z = 23
c) π: 13x + 4y + z = 7
d) π:− 13x− 4y − z =− 1
e) No se puede determinar
5
