N ve - tk s a ir So e

. . . 2 0 0 6

2001, , () . , , , . , . Ferziger & Peri (1999), . ... . ( ) , , Navier-Stokes (. (1997)). , . - . , 5 , . , , , ! . , , , 3 . , , . , 6, . . , , . , . 1.2 . , . . , . , . . , .

, 2006

1. 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. . 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. . 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 Newton - 3.3.5 Picard - 3.3.6 3.3.7 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 8 11 11 14 21 25 31 31 3637 39 42

45

45 45 46 47 48 50 50

51

4. Navier Stokes 4.1 Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.5 4.2.6 4.2.7 4.2.8 4.3 SIMPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 4.3.2 4.3.3 SIMPLE 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 SIMPLE 4.4.2

67 67 6969 71 77 80 84 86 92 100 103 111 116 118 123

103

118

5. 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 . . . . . . . . 5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.6.1 5.6.2 5.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1 5.7.2 5.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.1 5.8.2 5.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

131 131 137 139 152 160 166 209166 190 210 216

221

237

222 231

6. . . Poisson . . . . . . . . . B. .1 .2 .3 .4 .5 .6 , .7 .8 .9 O(hp) .10 .11 .12 .13 5.1 .14

241

249 261261 262 264 265 266 268 270 273 275 276 278 278 278 280

.

, - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..1 .2 - .3 .4 .5 GMRES .6 Conjugate gradients .7 -

281281 283 285 287 293 304 308

, , . , , . , / . , , . . , ( ), . , . . , , , , , , . . , . . (.. Karniadakis & Kirby (2003)) . , , , , .. . , , , , . . . , . , , . :

1

, . . Navier Stokes . , 2 , 3 . , . . , , .

1.1 . 70, Vinokur (1989). (control volume finite element methods) . Baliga (1997) . , - . Navier - Stokes (staggered grids). , - (colocated grids) . Navier Stokes . 80 , .. Raithby & Schneider (1979), Patankar (1980), Issa et al (1986), Jang et al (1986), Thompson & Ferziger (1989), Shih et al (1989) - . Rhie & Chow (1983) - , .. Oosterlee (1993), Paisley (1997), Vidovi et al (2004) . 4, . Navier Stokes , . .. Ghia et al (1982) Sahin & Owens (2003). . ( , . .. McCorquodale et al (2004)). , . . .. Oosterlee (1993).

2

- . Rhie & Chow (1983) . Navier Stokes Rhie & Chow . , .. Rodi et al (1989), Majumdar et al (1992), (1997), Navier Stokes , .. Demirdi et al (1997). . 2 (. 3) , ( ). 1 , , 2 . 80 1 , .. Patankar (1980), Rhie & Chow (1983), Vanka (1985), (1986), Issa et al (1986), Sivaloganathan & Shaw (1988), Thompson & Ferziger (1989), Rodi et al (1989) .. (. .. Brandt & Yavneh (1991), Lilek & Peri (1995), Leonard (1997), Ferziger & Peri (1999)) . deferred correction Khosla & Rubin (1974) . 1 . .. Jasak (1996), (1997), Leonard (1997), Oosterlee et al (1998), Varonos & Bergeles (1998). 2 , , .. Ferziger & Peri (1999). . - Newton, Navier - Stokes . Vanka (1985) . Newton Navier Stokes. . Newton Newton Krylov, Krylov Newton, . .. Pereira et al (2001) Pernice & Tocci (2001). . Picard . ( ) . . , , . 70 . Raithby & Schneider (1979) SIMPLE Patankar & Spalding (1972) . SIMPLE SIMPLER (Patankar (1980)), SIMPLEC (. Jang et al (1986) ) PISO (Issa (1986), Issa et al (1986)), SIMPLE. (Deng et al (2001)) Navier Stokes Picard

3

, , . . (artificial compressibility), : . explicit , .. explicit Euler RungeKutta, . , (point relaxation), (.. Jameson (1991)). , Navier Stokes . . .. Drikakis et al (1998) Lin et al (2006) . SIMPLE. . (inner iterations) (outer iterations) - (SIMPLE .). SIMPLE (, ) . . , . . , Jacobi Gauss Seidel. , . . ( .. (1997), Ferziger & Peric (1999)) Stone (1968), . 70 . Krylov. (conjugate gradients) , Hestenes & Stiefel (1952), Meijerink & van der Vorst (1977) preconditioning . , .. Kershaw (1978), Meijering & van der Vorst (1981) , .. GMRES (Saad & Schultz (1986)) conjugate gradients . , . Kelley (1995) Saad (1996) Trefethen & Bau (1997). ( conjugate gradients ) - . , preconditioner.

4

(multigrid methods)1. , . , ( , smoother) . , . multigrid . multigrid . Gauss Seidel . 60 . Fedorenko (1962) Poisson (Fedorenko (1964)) . Bakhvalov (1966) Poisson. . 70 multigrid Achi Brandt. Brandt . Brandt (1977) , , FAS (Full Approximation Storage) multigrid - , , Local Fourier Analysis , .. multigrid . Trottenberg et al (2001) . multigrid Navier Stokes. Brandt (1977) . Ghia et al (1982) Reynolds, . vorticity streamfunction . Vanka (1986) . multigrid Gauss Seidel Vanka Gauss Seidel symmetrical coupled Gauss Seidel (SCGS) . Gauss Seidel . Thompson & Ferziger (1989) (SCAL Symmetrically Coupled Alternating Line smoother). multigrid Gauss Seidel . , SCGS SCAL, multigrid. Navier Stokes, SIMPLE, 1 , . Trottenberg et al (2001) .

5

. Sivaloganathan & Shaw (1988) Shaw & Sivaloganathan (1988) SIMPLE . Hortmann et al (1990) - . SIMPLE . Demirdi et al (1992) . Smith et al (1993) 3 . Muzaferija (1994) Lien & Leschziner (1994) . Gjesdal & Lossius (1997) SIMPLE . Paisley (1997) . Lilek et al (1997) . Cornelius et al (1999) . Varonos & Bergeles (2001) . multigrid SIMPLE: multigrid 10 . Vanka & Wang (1997), Paisley & Bhatti (1998), Paisley (1999) SIMPLE SCGS, SCAL . multigrid SIMPLE Pernice & Tocci (2001) preconditioner Newton-Krylov. multigrid Navier Stokes Poisson , . Brandt & Yavneh (1992), (1993), Yavneh et al (1998) . multigrid Krylov, - . .. Washio & Oosterlee (1997). Navier Stokes . Wesseling & Oosterlee (2001) . . ( ). (.. Jameson (1991)) .. Drikakis et al (1998). , SCGS, . Drikakis et al (2000). SIMPLE. Navier Stokes (local refinement), . . , (structured) - (unstructured). (2 ) (3 ) , . - , . , . - , .. Muzaferija (1994), Jasak (1996), Mavriplis (1998), Ollivier - Gooch & Van Altena (2002), Barton et al (2002). (blocks) .

6

(. .. Ferziger & Peri (1999)) (.. Lange et al (2002)). , . , . , . : . . Brandt (1977) () . , . , .. Bai & Brandt (1987), Washio & Oosterlee (2000) . , .. Hart et al (1986), Bai & Brandt (1987). , . .. Altas & Stephenson (1991). : . , , . , . Thompson & Ferziger (1989) ( ) multigrid. Muzaferija (1994), (1997) Jasak (1996) -, - . Washio & Oosterlee (2000), Trottenberg et al (2001) multigrid . . . (a priori) , .. . Papadakis & Bergeles (1999), Teigland & Eliassen (2001), Lange et al (2002). , . a posteriori, . (, ) , . .. Bramkamp et al (2004), Jasak (1996) (. ). 2 . ( ) (truncation error).

7

. . , .. Hoffman (1982), Lee & Tsuei (1992), Mastin (1999), Yamaleev (2001). - . 2 , , . , . Muzaferija (1994), (1997), Jasak (1996), Habashi et al (2000). , . , , . FAS multigrid, . Brandt (1977), Trottenberg et al (2001) . Thompson & Ferziger (1989) Richardson, . . : (finite element residual), . , . .. Wu et al (1997), Jasak (1996) Jasak & Gosman (2001). , . , , . , .

1.2 ... ( (1997), (1998)) 2 , - , SIMPLE . , , . : . , , . (truncation error) (. 3 ) . 3 4

8

, . 5. . . ( 3) : , . , , . , , .. , . . . 5 , , 1 , , 1 . , . , , . , 5 2 3 2 . , . . Navier Stokes - , : . , . SIMPLE ( 4). . , SIMPLE . , , . . 4 . . 5 . / , . ( (1997)) , Fortran 77.

9

. , Fortan 95 (Chapman (1998), Metcalf & Reid (1999)) , , (. .. Lewis & Denenberg (1991)) . - . 15000 , . , . : (blocks) . 4 , . . , re-compilation . . . : , . , , . Navier Stokes, . . . . Poisson 3. . , . .

10

2.1 ( ) , : ( control volumes) , (, .). () ( ) . . . , () , , . (grid), . (structured grids) (unstructured grids). - , . .. Thompson et al (1999) . , . (i,j) ( ) (i,j,k) ( ), (i,j) (i1,j), (i+1,j), (i,j1), (i,j+1) . 2.1. , . ( 2 ) ( 3 ).(1,4) (1,3) (2,3) (3,2) (4,1) (2,4) (3,3) (4,2) (3,4) (4,3) (4,4)

j(1,1)

(1,2) (2,1)

(2,2) (3,1)

i 2.1: .

11

N4

N3

N5 P N6 N2

N1 2.2: - , .

- . , . , - . , 2.2 1, 2, 3, 4, 5, 6. 2.3 - . -. . . (block-structured grid). 2.4 4 . , . - .

2.3: - .

12

2.4: 4 .

- . , 2.4, IGG NUMECA, - . , Navier-Stokes, , , . 2.2 2.3. 4 (. 2.8 ). , , 2.5. . Navier-Stokes , . . 2.6, 5.5. IGG 100 , 512 . , 10%!

2.5: , . .

13

1 0.95

0.9 0.85

P 0.23 0.220714 0.211429 0.202143 0.192857 0.183571 0.174286 0.165 0.155714 0.146429 0.137143 0.127857 0.118571 0.109286 0.1

1 0.95

Y

0.85 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0 0.05 0.1 0.15 X X 2.6: . 5.5. 100 , 512 . -0.1 -0.05

, , i j, . (. 3 4) (. 3 4).

2.2 5

Y0.9

4

3

2

1. 2.7: () ().

, - . . , 2.7. : 1 n 2 n11. n 4 n+1. 1

n n1 1.

14

n 2 3 (. ). 1 . (. 3) 2 . n n1. , 2 , 1, , ( ). . 1, , 1 , , . k M , 2.8 . , k < M 4 k+1 , (. 2.4), 2.8 1.

2.8: k k+1, k. k < M k M .

. . ( ) ( ) . 2.9 , (. 3). , 2.9 . , . 2.10 . , . , :

1 i j.

15

2.9: 2.7 . .

2.1: . 4 . , x y ( ). . . 2.11 . 2.1 i i prev(i) . . 2.1:i{ ;1i4}next(i)prev(i)

i + 1 1 i 3 next ( i ) = i=4 1

i =1 4 prev ( i ) = i 1 2 i 4

4 , 4. , . , 2.2 6 , 1, , 6. . : , . . . . . , . .

16

2.1. 2.12 4 .

2.10: .

3 2

4 1. 2.11: ( ), ( ) ( )

2.12: 4 2.7.

17

( ). . , . v1 v2 ( ) S S = rot(v2v1), rot : 2.2: rot: 2 2 rot(v) v 90 . : v = ai + bj rot(v) = bi + aj , , . (, .) . - 1 . . . . S (. .7). . (. 2.13 ). 2.2: .

V1 S cell 2 c cell 1 V2

V1 c cell 1

S cell 2 V2

2.13: : V1 V2 ( ). c S ( S ). cell 1 cell 2 cell 1 cell 2 . cell 1 cell 2. : .

18

( ). (. 2.13 ). 2.3: . 2.1 ( ) . . 2.3 . . : 2.4:. . 1 2.7 . : 2.3: , , . . . . 2.14 ( 2.7, 2.9) . 2.15 . .

2.14: .1 , . , .

19

2.15: 2.14 , .

2.15 , . 3. . . 3 4 , 2.1, . . ( ) . , .. . . ( ) . . . . 2.15 , , 2.15 , .

. , . . m k k Nm1 = Nm/4, Nm2 = Nm1/4 . :

N m + N m 1 + N m 2

+ N1 = N m +

1 1 Nm + 2 Nm + 4 4 m Nm Nm 4 = k 1 < k 1 = N m 3 k =1 4 k =1 4

+

1 4m 1

Nm =(2.2.1)

20

. 1/3 . ( 8 ). . m Nm , , m1 Nm/4 Nm1 Nm/4 . m2 Nm1/4 Nm2 Nm/4 . :

Nm N N + m 1 + m 2 + 4 4 4

+

N2 4

1 , [1,max] [1,max] Ri, Rj , R2i, R2j , R3i, R3j ... R=2. , , 0 . .5. . .

26

N nw w W sw n (i,j) s S

ne E e se

j+1 j(1,2)

i+1(2,1)

2 1

i

(1,1)

1

2

2.21: (,).

, - . 2.22 , (x,y) = (0.5,0.5) (x,y) = (1,1). .

1

0.75

0.5

0.25

0 0 0.25 0.5 0.75 1

2.22: ,

,, . 4 , . 2.23. . , (2.3.2), .

27

. 2.23 , (n) (w) W. ( (i1,j), (i+1,j), (i,j1), (i,j+1) (i,j) W, E, S, N w, e, s, n . 2.21. 4 , West, East, South, North. ).

N O S E

W

2.23: . .

, . . . 2.24 , . , , . . , .. , . . , . . , 2.2. , - ( ). 2.2 c (2.4.1)

28

3 |cN3| = 0.3|P N3|: . 2.2 .

2.24: . , .

29

30

3.1 , ( ) , : () . ( ) , . . , () ( , ). , .

, h () . , . h (3.1.6)-(3.1.7) (. ). .. , , 2.4, h , . , .. h h. h h. .. h , , , h , 2h 2, 2 ( h i j), h/2 /2, /2. h ah h a > 1 h a < 1. . , .. . h Vh. , .. x. , .. .

31

, G() . , h h, G(h) h, . , h . #h h, #h h. G() h G(h) h(x) = (x) x h. h,P (h)P h, h . h I0h: G() G(h), I0h = h h(x) = (x) x h. Ih0: G(h) G() Ih0h = (x) = h(x) x h. x h h. Ih0 . h k, Ihk: G(h) G(k), Ihk = I0kIh0. . Ihk (restriction operator) k > h (prolongation operator) k < h. ( I Ihh Ih : G(h) G(h) ( ). / ).

. G() G(). Navier-Stokes . =b, b G(). Vh h. , . .. Vh :

1 P

P

N d =

1 P

P

b d

(3.1.1)

. . (3.1.1) :

1 P

P

N d =

( N hh ) P

+ h , P ( )

(3.1.2)

Nh: G(h) G(h) . (Nhh)P Nhh , nP. (Nhh)P h,P h,N N nP. Nh (3.1.2) Nh h Nhh, h G(h) ( h , = (1/P)P d). ,

32

Nh , (3.1.2). . Pereira et al (2001). h Nh, , h = h(), h . Nh Ih0h 0 h 0. , h 0 (3.1.2) N . Nh P PNh,P. (3.1.2) P. (3.1.2) . (3.1.2) (3.1.1) :

( N hh ) P

+ h ,P =

1 P

P

b d

(3.1.3)

(3.1.3) . (3.1.3) #h ( ) #h ( h), h, h = I0h. (3.1.3). Nh null Nh {0}1 h + wh, wh null Nh (3.1.3). h (3.1.3)2. (3.1.3) h = I0h, . (3.1.3) h . h (3.1.3). (3.1.3) :

(N )

h h P

=

1 P

P

b d

(3.1.4)

h* (3.1.4) h (3.1.3), h = h h*. h 0 (3.1.3) (3.1.4) , h* h (h 0). Nh N / Taylor (. . James (1992) Taylor), Nh h. :

h ,P =

c k= p n =1

1+ nb

k ,n

hnk

(3.1.5)

p 1, nb hn ( ), . ck,n . ( (3.1.5) , ). null Nh wh G(h) Nhwh = 0. Navier Stokes ph (3.1.3) ph + c, c , . ph + c .1 2

33

. , (3.1.5) :

h ,P =

k= p

c

k

hk

(3.1.6)

, , . , . , h ck (3.1.6) . h. , ckhk k > p (3.1.6) cphp, . hp, Nh ( ) p. , hp:0 I h h O h p

( )

(3.1.7)

. . . , , h , . 2 2 , . Poisson . Ferziger & Peri (1999) . Nh (3.1.4) (3.1.3) :

N h h = h

(3.1.8)

, . (3.1.7), hp. , :0 Ih h O h p

( )

(3.1.9)

(3.1.9) Nh , Poisson . (3.1.9) - , 34

Navier-Stokes . .. Hortmann et al (1990), Ferziger & Peri (1999), Lilek & Peri (1995), Deng et al (1994), Pereira et al (2001), Lehnhauser & Schafer (2002), 5 . : Nh -. (3.1.3) : N h ( h + h ) + h = b h N h (h + h ) b h = h

(3.1.10) (3.1.11)

bh bh, = (Pb d)/P (. (3.1.3)). (3.1.4) (3.1.11) : N h (h + h ) N h (h ) = h

(3.1.12)

Nh/ :

N h (h + s h ) N h (h ) N h/ (h ) s h lim = 0h s 0 s

h G ( h )

(3.1.13)

0h h 0h(x)=0 x h. s Nh/ h, Nh/(h). h ( ) () Nh/(h) (3.1.13) h G(h). (Jacobian matrix) (. . Munkres (1991)): h = (h,1, , h,N) G(h), = #h, h,j Nh(h) = (Nh,1(h), , Nh,N(h)) G(h), Nh,j:G(h) . h,j j G(h). Nh/(h) N N :

N h/ (h )

N = h (h ) h ,1

N h (h ) h ,N

(3.1.14)

j :

N N h ,2 N h (h ) = h ,1 (h ) (h ) h , j h , j h , j

N h ,N (h ) h , j

T

(3.1.15)

(3.1.13) h sh Nh(h+sh) Nh(h) Nh/(h)sh sh. - ( ). (3.1.12) : N h/ (h ) h h

(3.1.16)

(3.1.8) . h h 0 Nh/ N /, : 35

N ( + s ) N ( ) N / ( )( s ) lim = 0 s 0 s

G ( )

(3.1.17)

0 G() 0(x) = 0 x . h O(h2) h. : (3.1.7) (3.1.9). (3.1.9) (3.1.7). , Poisson , (3.1.7) p = 2 , h, O(1) . h, O(1) . (3.1.9) p = 2. , h O(h) h O(1) (3.1.9) p = 2. (. ) O(h) O(1) , . . , , O(h)2 h O(h2). p (3.1.9) (3.1.7).

3.2 =b h*, , . (3.1.7) (3.1.9), h/ < h. (3.1.7) (3.1.9) , , h/. . , h O(hp), Nh O(hq), q > p. Nh h, Nh h. , p = 2 . , (/ ) .

36

.. Lilek & Peri (1995), Pereira et al (2001) Ollivier-Gooch & Van Altena (2002). Ferziger & Peri (1999) Fourier 2 (CDS - . ) 4 . 4 , h . h . h . Taylor Fourier. 2 , . , , ( 2). (. .. Ferziger & Peri (1999) Brandt & Yavneh (1991)). , . , 1 , .. Moulinec & Wesseling (2000) Lehnhauser & Schafer (2002). . . . . , .

3.2.1 , , p . . .. 2h*, h* 2h h . Thompson & Ferziger (1989), b :

h = I 0h a h p + I 0h b h q + ...

(3.2.1)

I0hahp ( (3.1.9)), I0hbhq (q > p , q = p + 1 q = p + 2), . 2h :

2 h = I 02 h a ( 2h )

p

+ I 02 h b ( 2h )

q

+ ...

(3.2.2)

37

(3.2.1), (3.2.2) :

h = h + h = h + I 0h a h p + I 0h b h q + ...2 h = 2h + 2 h = 2h + I 02 h a ( 2h ) (3.2.4) h :h h h h I 2 h2 h = I 2 h2 h + I 2 h I 02 h a ( 2h ) + I 2 h I 02 h b ( 2h ) p q p

(3.2.3)

+ I 02 h b ( 2h )

q

+ ...

(3.2.4)

+ ...

(3.2.5)

h 2 h h I 2 h 2h h I 2 h I 0 h I 0 , (3.2.5) (3.2.3) :

h I 2hh2h = I 0h a h p ( 2 p 1) + I 0h b h q ( 2q 1) + ... (3.2.6) (2p1) :

(3.2.6)

h I 2hh2h2p 1

= I 0h a h p +

2q 1 h I 0 b h q + ... 2p 1

(3.2.7)

(3.2.1), (3.2.7) h, h , O(hq): h

h I 2hh2h2p 1q

= h + O(h

)

2q 1 h = h + p 1 I 0 b h q + ... 2 1

(3.2.8)

h* :* * h = h + h = h + h + O ( h q ) = h + O ( h q )

(3.2.9)

h** h*, hh** (hq). p , , 4h. , (3.2.3) (3.2.4) :

4 h = 4h + 4 h 4h + I 04 h a ( 4h )

p

(3.2.10)

(3.2.10) 2h (3.2.4) :

2h I 42hh4h I 02 h a h p ( 4 p 2 p ) (3.2.11) (3.2.6) x h :h h I 2 h2h ( x ) I 4 h4 h ( x )

(3.2.11)

( x) I h

h 2h 2h

( x)

2p 2p 1 4p 2p = 2p 1 2p 1

(

)

= 2p

h h I 2 h2 h ( x ) I 4 h4 h ( x ) p log = log 2 = p log 2 h h ( x ) I 2 h2 h ( x )

38

h I h ( x ) I 4 h4 h ( x ) log 2 h 2 h h h ( x ) I 2 h2 h ( x ) p = log 2

(3.2.12)

(3.2.12) p , p = p(x). x h p(x) h**(x) (3.2.8), (3.2.9). (3.2.12), (3.2.8), (3.2.9) Richardson . Ferziger & Peri (1999). , . . , , h*, (3.1.8) h* h h , (3.1.12) h** h* + h, h h**h*. h* .

3.2.2 ( hp) (3.1.6), cp. Taylor . Poisson. cp , . h*, cp. , , , . .. Hoffman (1982), Lee & Tsuei (1992), Mastin (1999), Yamaleev (2001). Nh (3.1.6). (3.1.6) : , h, h** Richardson ( 3.2.1). (3.1.3) h** h, h* = bh Nhh**. .. Thompson & Ferziger (1989). : . Richardson (. 2.2). p (3.2.12) . Bernert (1997) Trottenberg et al (2001). (3.1.4) h h. , 2h. (3.1.3) (3.1.4), 2h :

N 2 h2 h + 2 h = b 2 h

(3.2.13)

39

N 2 h2 h = b 2 h

(3.2.14)

b2h, = (Pb d)/P , V2h. (3.1.7) (3.1.9) :0 0 I 2 h 2 h 2 p I h h

(3.2.15) (3.2.16)

I

0 2h 2h

2 I p

0 h h

2h. (3.2.13) 2h 2h . , h* h 2h*, . 2h Ih2hh* 2h (3.2.13):h 2 h b 2 h N 2 h ( I h2 hh )

(3.2.17)

h 2 h 2h h ( FAS). h 2h, h* . 2h h I h . 2 h (3.2.14), Ih2hh*, 2h (3.2.14) 2h. h 2 h 2h, (3.2.15) h . . N2h/(2h*) (3.1.14) N2h 2h* 2h 2h 2h, I h h* 2h* : N 2 h2 h N 2 h2 h + N 2/ h 2 h 2 h 2 h

2 N 2 h I h hh N 2 h2 h + N 2/ h

( )( ( ) ( I 2h

)

2h h h

2h

( )( ) N ( ) ( I/ 2h 2h

N 2/ h 2 h 2 h 2 h

2h h h

h 2h ) 2 h

)

2h

(3.2.18) (3.2.19)

(3.2.18) (3.2.13) (3.2.14), (3.2.19) 2h h 2 h (3.2.14). 2h = 2h 2h* (3.2.18), I h h* 2h* = * * 2h 2h (2h 2h ) (2h I h h ) 2h I h h (3.2.19), :

N 2/ h

( ) ( ) ( I 2h

N 2/ h 2 h 2 h 2 h

(3.2.20) (3.2.21)

2h

2h h h

)

h 2h

2h (3.2.21) (3.2.16) I h h 2h / 2p p p 2h 2h I h h [(2 1) / 2 ] 2h. (3.2.21) :

2p 1 / h N 2 h 2 h 2 h 2 h p 2

( )

(3.2.22)

(3.2.20) (3.2.22) :

2h

2p h 2h 2p 1

(3.2.23)

(3.2.15) : 40

h

1 h h I 2 h 2 h 2 1p

(3.2.24)

, : h, 2h, (3.2.17) (3.2.24). N2h (3.2.17) 2h Nh h. 2h, rh (3.2.24) r 2. . (3.2.24) , . O(hq), q > p, (h*h)/h O(hqp), h* (3.2.24) h 1. , , h = cphp + O(hq) ( (3.1.6)) h* h, h* = cp*hp cp* cp. cp*hp cphp O(hs), s q (h*h)/h = O(hq) / O(hp) = O(hqp). (3.1.6) k p q=p+1, k ( ) q=p+2. 5 (h*h)/h O(hqp) (3.2.17) (. ). (h*h)/h O(hqp) h*h hO(hqp) h*h O(hq) ( h O(hp)). h = h* + O(hq). h (3.1.3) h*, p q. 5. Bernert (1997). , (3.1.4) ( h* h*) (3.1.3) h* h. (h*h)/h O(hqp) (3.2.17). 2h , I h p , q. h* . Nh . , : 2h I h h* h 2h, h* (h*h)/h O(hqp). (3.2.24) (3.2.17), h* : h =

1 h 2 I 2 h b 2 h N 2 h I h hh 2 1 p

(

)

(3.2.25)

2h I h , r. * * r 2h 2h I h h = I h h + (h ). , h**:

h =

1 h 2 I 2 h b 2 h N 2 h I h hh 2 1 1 h 2 I 2 h b 2 h N 2 h I h hh + O h r = p 2 1 1 h 2 I 2 h b 2 h N 2 h I h hh N 2 h O h r = p 2 1 1 h = h p = h + O hr I 2h N 2h O hr 2 1p

(

)

((

( ))

)

( ( ))( )

( ( ))

(3.2.26)

1

(h*h)/h G(h) (h*,h,)/h,.

41

N2h(O(hr)) O(hr), , , N2h h h h . I 2 h O(hr) O(hr), I 2 h . (3.2.26): r h + O ( hr ) h h h h h O(h ) = = + = O ( hq p ) + O ( hr p ) h h h h

(3.2.27)

h O(hp). (h**h)/h 0 r > p, r q (h**h)/h O(hqp). . , , , Nh P PNh,P. , h* 2h 2h P2hh,P P V2h. h P 2 h (3.2.24).

3.2.3 . , h , . (adaptive), . , . . Yamaleev (2001) . . .. Thompson & Ferziger (1989), Muzaferija (1994), Jasak (1996), Trottenberg et al (2001). , . .. Habashi et al (2000). , 4 2. , . , , . , 3.2, , . , , . . (3.1.12), . , Trottenberg et al (2001) Ph,P ( ) max. 42

, (. 5). h . d/dx = b [,c]. {, x1, x2, , xn, }, :

( xi +1 ) ( xi ) d + ( xi ) = b ( xi ) ( xi ) = dx xi +1 xi (3.1.8) :

(3.2.28)

( xi +1 ) ( xi )xi +1 xi

= ( xi ) ( xi +1 ) ( xi ) = ( xi ) ( xi +1 xi )

(3.2.29)

xi, (xi+1)(xi) xi+1xi . Muzaferija (1994) Jasak (1996), Ph,P ,, (3.3.1) (. ) pc, pc Picard - (. 3.3.5). (. 3.3.1) , O(1) Trottenberg et al (2001). Jacobi (. ) (3.1.8) ( Nhpc Nh Nh ) . . , . , . . . (3.2.24). ( 2.3). h, 2h (3.2.24) . , . 2 1 (. ), (3.2.24) p = 2 . , h O(1), o Nh h 0, . (3.2.24) h 0, h Nh Nh . (. 5) (3.2.24) p 0 , (3.2.24) . 5 4 . (3.2.24) 4 (.. , B, G, H A 3.1), Nh . 43

p , (3.2.24) : . (3.1.6) ck . ck h I 2 h (3.2.24). 3.1 . (3.2.24) . , , (3.1.7) , 2h 2h, 2.2 2.3. h,P O(1) . , .. , , . , . , . , . , (finite element residual) . .. Wu et al (1997) Jasak & Gosman (2001): N = 0 hh* = 0. hI0h, NIh0h*. (3.1.9) p > 0, Ih0h* p, h O(1) . . , .

G G A E H B G A F H B I C E J D I C F E J A D

H

I

J

B

C

D

F

3.1: () (). .

44

3.3 3.3.1 Poisson (.1.25) ( ) - ( 4 ). ( - . .. Oosterlee et al (1998)). - . . 3.1, . , . 4 . - , 2, 4 (. ). : AP ,Ph ,P +

N n P

A

P ,N h ,N

= bh ,P

(3.3.1)

nP , 3.1. : Ahh = bh

(3.3.2)

Ah Aij (3.3.1). 3.1 (3.1.4) , . , , Ah (3.3.2) []Nh, [] , [], = . ( Poisson AP,P = 4k AP,N = k, . (.1.25)). bh (3.3.2) []bh = b d (.. bhh2 (.1.25)).

3.3.2 (.3.7) ( ), : h , : N hh = bh

(3.3.3)

h (3.3.3) . 45

Nh* . (.3.7), (3.3.3) :* N h hnew +

( N h N h* )hold

= bh

(3.3.4)

(3.3.4) , (3.3.3). (3.3.4) hnew hold . (.3.7) Nh* M N .. Nh*. (3.3.4) (3.3.4) . (3.3.4) (3.3.3) (3.3.4) , .. , . Nh*h* = bh, (3.3.3) Nh . (deferred correction) Khosla & Rubin (1974). , . . Oosterlee et al (1998).

3.3.3 . o , . Ah h 1 (4) Ah 3.2, . E, W, N S (. .2) . , Ah. 3.2. NW SE. (.3.7) :

AP ,Phnew + AP ,Ehnew + AP ,W hnew + AP ,N hnew + AP ,Shnew + ,P ,E ,W ,N ,S ( LU )

( LU )

hold ( LU ) P ,SE hold = bh ,P , NW ,SE P , NW

P , NW

hnew + ( LU ) P ,SE hnew , NW ,SE

(3.3.5)

(. Ferziger & Peri (1999)) i= j=. i, j (i,j) (j1)Ni+i (i1)Nj+j.1

46

N NW E S SE W P

3.2: , , j = i j. - ( ), . Ah, Ah ILU(0).

NW SE (3.3.2). (.3.12) (3.3.5) AP,JJold. Stone (1968) NW W +N P SE E +S P, (3.3.5). - (3.3.5) NW SE . (3.3.5) , .

3.3.4 Newton - -. - . , - Gauss-Seidel - . , - . Newton-Raphson. - Gauss-Seidel Jacobi ( - . ). - - . Newton Newton-Raphson . 3.1: Nh/ (3.1.14). : (3.3.3) Newton Nh -, k h*k. rh: 47

bh N hh k = N hh N hh k = rh

(3.3.6)

3.1, h*k h* : N hh N hh k N h/ (h k ) (h h k )

(3.3.7)

: N h/ (h k ) h = rh

(3.3.8)

:

h h hk

(3.3.9)

h h*k . (3.3.6) - (3.3.9) k+1. . Newton , . (3.3.8) , Newton. (3.3.8). Newton ( , Newton). . . Newton Krylov Krylov . h. . .. Pereira et al (2001) Pernice & Tocci (2001). Newton , . Vanka (1985) Newton CPU SIMPLE (. ). Vanka , CPU , .. multigrid Krylov.

3.3.5 Picard - - Picard. (3.3.3) h -. h h* hh*. : N hh = N hpc (h ) h

(3.3.10)

48

Nhpc(h*) h*. (3.3.10) , . (3.3.3) : N hpc (h ) h = bh

(3.3.11)

Picard (3.3.11):

N hpc (hold ) hnew = bh

(3.3.12)

Nhpc h* , , (3.3.12), Newton. Picard Newton, : Nhpc h* hnewhold , hnewhold, . . . Picard ) x3/2 = 1, ) x2 = 1 ) x3 = 1 x0 = 2. Nhpc(x) 11 x1/2, x x2. Picard x, , . Picard :1/ ) xold2 xnew = 1 xnew =

1 x1/ 2 old

) xold xnew = 1 xnew =

1 xold

2 ) xold xnew = 1 xnew =

1 2 xold

x1 = x2 = x3 =

1 2 1 2 1 2

= 21 / 2 = 21 / 4 = 21 / 8

x1 = x2 =

1 2

x1 = x2 = x3 =

1 22 1

1 / 2

1/ 4

1 = 2 1/ 2 1 x3 = 2 xn = 2( 1)n

(1/22 )1

2

= 24 = 1 28

(2 )n

4 2

xn = 2( 1 / 2) 1n

xn = 2( 2)

, , . apc < 1, Picard :** h =

( N ) ( ) bpc 1 h old h

h

** hnew = hold + a pc (h hold )

(3.3.13)

Picard . () 0 < apc < 1. Newton Picard . Nhpc Nh/ . SIMPLE Picard. 49

3.3.6 . k h*h*k (3.3.3) , ( h*k (3.3.3) k h* ). , : rhk = bn N hh k

(3.3.14)

rhk k h*k (3.3.3). , , , . , . (3.3.14) (3.1.3), (3.1.4) (3.1.3) :

N hh N hhk = h + rhk N hh N hh = h

(3.3.15) (3.3.16)

(3.3.15) (3.3.16) h*k h rhk, h* h. , . , .. rhk,P 0.1h,P P Vh. / . h*h*k, . . , (3.3.15) (3.3.16): h*h*k, hh*k. Prhk,P .

3.3.7 . : h 2h. 2h h 2h 4 ( 8 3-D) h, 4 ( 8) , ( . ). 2h 4h . nested iterations. . (3.3.3). h*0= 0 bh. , 50

2h* :h h rh0 = bh N h I 2 h2 h = N hh N h I 2 h2 h

(3.3.17)

(3.2.17) :h 2 2 h = N 2 h I h hh N 2 h2h

(3.3.18)

(3.3.18) (3.3.17) N2h Nh. :h rh0 2 h (3.3.19) 2h h 2h.

. 2h* h - rh0 h, . 2h. , .. . . 3.3.6 rh h, h , h* . , 2h* h, 2h 0.1h. (3.1.7) 2 3 h 2 . (. 4.5) (), .. 2 3, . nested iterations full multigrid (FMG) , .. 2 3, . Navier-Stokes , . 5.

3.4 , 1.1. . Navier-Stokes. Navier-Stokes . Trottenberg et al (2001) , Navier-Stokes, . ( Navier-Stokes

51

Trottenberg et al (2001)). Briggs et al (2000). Jacobi Gauss-Seidel. .. Jacobi (.1.26) Poisson . , h (3.1.4) , h* . h . h (.1.26):

k ( 4h ,P h ,E h ,S h ,N h ,W ) = bh ,P h 2

(3.4.1)

hk k Jacobi :

k ( 4hk,P hk,1 hk,1 hk,1 hk,1 ) = bh ,P h 2 E W N S

(3.4.2)

hk,P =

11 2 k 1 k 1 k 1 k 1 k bh ,P h + h ,E + h ,W + h , N + h ,S 4

(3.4.3)

(3.4.2) Poisson , h . hk1 Jacobi , Jacobi h h, Poisson h . Jacobi (3.4.2) (3.4.1). hk = h hk k :k k k k 1 k k ( 4 h ,P h ,1 h ,1 h ,N h ,1 ) = 0 E W S

(3.4.4)

k h ,P =

1 k 1 ( h ,E + hk,W1 + hk,N1 + hk,S1 ) 4

(3.4.5)

(3.4.5) Jacobi , . Jacobi ( ) (3.4.5) . Jacobi ! Jacobi . () (3.4.5) :k h ,P =

1 k 1 ( h ,W + hk,N1 + hk,S1 ) 4

(3.4.6)

, . 52

Jacobi , , (3.4.5). , . (3.4.5) . Jacobi . Jacobi . Gauss-Seidel, , ( ) . . (3.4.3) h,P . h,P . . Jacobi Gauss-Seidel . , Jacobi Gauss-Seidel. h , =Ih0h. 2h ( H > h), 2h = I02h. 2h 2h. , :

N hh = bh

(3.4.7)

, . h* :* N hh = bh rh

(3.4.8)

(3.4.7) :* * N h (h + h ) = N hh + rh

(3.4.9)

(3.4.9) 2h :2 * 2 * N 2 h ( I h hh + 2 h ) = N 2 h I h hh + I h2h rh

(3.4.10)

53

(3.4.10) Jacobi . (3.4.10) (3.4.9) h rh 2h. 2h (3.4.10) . Ih2h h* h2h rh. 2h (3.4.10) :2 * N 2 h2 h = N 2 h I h hh + I 2hh rh

(3.4.11)

2h 2h0= Ih2hh* ( ) :* 2 h = 2 h I h2 hh

(3.4.12)

h (3.4.7) :** * h = h + I 2hh 2 h

(3.4.13)

h I 2 h 2h h. h #h h = I 2 h 2h h h #h I 2 h #2h < #h. h I 2 h 2h h h 2h. . . 2h (coarse grid correction). (3.4.11) h* . h* , h*=h, rh = 0 (3.4.11) 2h = I h2h h* (3.4.12) 2h = 0, . (3.4.11) ( ) 2h 2h0= I h h* h* (rh = 0) (3.4.11) 2h. 2h 0 , (3.4.11) . H ( (3.4.9) - (3.4.13)) (full approximation scheme FAS) 2h, - . (correction scheme, CS) 2h: Nh (3.4.9) : (3.4.14) N h h = rh (3.4.10) : N 2 h 2 h = I 2hh rh (3.4.15)

(3.4.15) 2h, (3.4.13). N2h 2h Nh h. N 2h. 2h (3.4.10) (3.4.15) h I 2 h 2h h h . (3.4.11) :2 N 2 h2 h = N 2 h I h hh

(3.4.16)

54

N2h 2h Nh h (3.2.17), (3.4.16) :h 2 h = b2 h N 2 h I h2 hh = b2 h N 2 h2 h

(3.4.17)

FAS . . Fourier . . x (y=0) 3.3 8 4 . h G(h) 2h G(2h) . 3.3 sin(kx/L) L , k = 1, , 8. k . 3.3 (*) h () 2h. k (*) hk. hk G(h) #h = 8, G(h). h G(h) hk, hk. 2h 2hk #2h G(2h). 3.3 k = 14 2hk , k = 58 . 2h5, 2h6, 2h7 2h3, 2h2, 2h1 2h8 . 2h, aliasing. hk 2h: 2h I h . hk k 2h I h h V2h hk h . (*) () ( 3.3) 2h . I h h1, 2 3 4 1 2 3 4 7 2h 2h 2h 2h 2h I h h , I h h I h h h , h , h h , I h h , I h h6 2h 2h I h h5 h1, h2 h3 , I h h8 = 0. 2h I h k = 1,,4 - k = 5,,8 . 2h I h G(h) #h G(2h) #2h = #h/2. h G(h) 2h hk:

h =

# h

a k k =1

k h

(3.4.18)

ak - k = (#h/2)+1, , #h 2h ak k = 1, , #h/2 I h h h, aliasing . h H H - . 55

k=1

k=7

k=2

k=6

k=3 3.3 .

k=5

56

k=4

k=8

3.3 (): Fourier (*) () . x, .

Poisson (.1.32) Jacobi, h (.1.32) Jacobi , . h (.1.32) rh . , , Fourier (. Trottenberg et al (2001)). h - () - rh. ( 2h) h2hrh rh I2hh2h (3.4.12) h. - (3.4.11)-(3.4.13) . - . : (.. Jacobi .) - rh . . - ( , ). - . . Jacobi (3.4.5) k=8 3.3. . Gauss-Seidel ILU(0) (3.3.5). . . y x, .. 57

. 3.4, y = ax, a 1 . 3.1 .

level 5

level 1

(a)

(b)

...

(c)

(d)

3.6: MGC (1,2): (a) = (-1,1,1,1,1), (b) = (-1,2,2,2,1), (c) = (-1,2,2,1,1), (d) = (-1,1,1,100,1). () 1 , () 2 , () 1+2 , () .

. 2. , S lmax, : =1 ( V) lmax . lmax1 0.25S, lmax2 0.252S . ( , 4 ). 1.333S. =2 ( W) l l1. lmax1 (0.25+0.25)S = 0.5S, lmax2 0.52S . 2S. =3 4S. = 4 l 4 l1. S. . > 4 l1 l. V W. 2 ( ) =7 .

63

[

1]

ic = l = lmax ns = 1DO IF (l=1) THEN Solve (1) ELSE Smoothns (l)

[ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [

2] 3] 4] 5] 6] 7] 8] 9] 10] 11] 12] 13] 14] 15] 16] 17] 18] 19] 20]

ic(l) = ic(l) 1END IF IF (ic(l) 1) THEN Restrict (l l1)

ic(l1) = (l1) ns = 1 l=l1ELSE IF (l=lmax) EXIT Prolong (l l+1) IF (ic(l+1) 0) ns = ns + 1

ns = 2

l=l+1

END IF END DO

[ 21]

3.1: MGC (1,2). , 1, 2, lmax ic(lmax), l, ns . Solve(l) Smoothns(l) ns l: l=lmax l < lmax (3.4.32) (3.4.33):

Nlmax lmax = blmaxN ll = N I l l l +1 l +1

(3.4.32)

+ I r

l l +1 l +1

(3.4.33)

l+1 l+1.

Restrict (l l1) : (3.4.32) (3.4.33) l. ( rlmax = blmax Nlmax lmax

rl = N l I ll+1l +1 + I l l+1rl +1 N ll )

( I l l 1rl ). l ( I ll 1l ). Prolong (l l+1) : l ( l = l I ll+1l ). l+1 ( l +1 = l +1 + I ll +1 l ).

64

, , . . . W(2,2) SIMPLE 20% . 2S 1.2 2 S = 2.4S.

65

66

Navier Stokes

4.1 Navier-Stokes Navier-Stokes ( ) ( ) . S : :

d + t

S

V n dS

= 0

(4.1.1)

n . , . . :

S

V n dS

= 0

(4.1.2)

:

V d + t

S

V (V n ) dS

=

S

T n dS

S

p n dS

+

b d

(4.1.3)

. , . , , . (.. ) b . , , Gauss, Ferziger Peri (1999). p (4.1.3) . gz z , g .

67

. . . T . dS dF = TdS . T . T :

u u j Tij = i + x j xi , 2 :

(4.1.4)

v u u + 2 x x y T = v u u + 2 y x y

(4.1.5)

. , Navier-Stokes : :

d + t

S

( u i + v j ) n dS

= 0

(4.1.6)

, (4.1.6) :

S

( u i + v j ) n dS

= 0

(4.1.7)

:

u d + t v d + t

S

u ( u i + v j ) n dS

=

S

2 x i + y + x j n dS v u v

u

u

v

S

p i n dS

(4.1.8)

S

v ( u i + v j ) n dS

=

S

2 y j + y + x i n dS u u

S

p j n dS

(4.1.9)

:

S

2 x i + y + x j n dS 2 y j + y + x i n dS v u v

u

u

v

=

S

x i + y j n dS v v

u

+

S

x i + x j n dS u v

v

(4.1.10)

=

S

S

x i + y j n dS

+

S

y i + y j n dS

(4.1.11)

68

, (4.1.2) . .14 ( (4.1.2) (4.1.7) ):

S

x i + x j n dS

u

v

=

S

y i + y j n dS

u

v

= 0

(4.1.12)

(4.1.8) (4.1.9) :

u d + t u d + t

u V n dSS

=

u n dSS

p i n dSS

(4.1.13)

vV n dSS

=

v n dSS

p j n dSS

(4.1.14)

(4.1.12) - . , . (. ) (4.1.2).

4.2 Navier Stokes 4.2.1 . , . . Navier-Stokes 2 , Ferziger & Peri (1999). Rodi et al (1989), Muzaferija (1994), Jasak (1996) . (. .. Hoffman (1982), Lee & Tsuei (1992), Mastin (1999), Yamaleev (2001)) 2 , 2. ( .5). Yamaleev (2001) 1, .. 3 2 . , , , O(h) O(1) (

69

). , . .. 2.2, 2.22 2.23 2 : 2.2 , 2.22 (x,y) = (0.5,0.5) (x,y) = (1,1), 2.23. 1 1 , h,P , 2 . , ( 2.2), , , .. (x,y) = (0.5,0.5) (x,y) = (1,1) 2.22, ( 2.23), . , O(h), O(1)O(h) = O(h). O(h) O(h)O(h) = O(h2). O(h2). , O(h) O(1) : . , .. O(h2). . Navier Stokes u, v p. 2.4. 4.1 f P N, 2.20, c (2.4.1) P N. (2.4.1) d = (NP)/(|NP|) ( PN) c :

c' = f P P + f N N:

(4.2.1)

fP = 1 fN ,

fN =

(c P ) dN P

(4.2.2)

c (4.2.1) fP, fN (4.2.2) :

fP = 1 fN ,

fN =

c P c P + N c

(4.2.3)

PN (4.2.2). c. P PN, f, c. :

P' = c

1 S S ( N P ) 2 S S

N' = c +

1 S S ( N P ) 2 S S

(4.2.4)

70

P' c f P c' N N'

4.1: f .

Ferziger & Peri (1999) (4.2.4) f c:

S S P' = c + ( P c ) S S

S S N' = c + ( N c ) S S

(4.2.5)

/ .

4.2.2 (grad) . Gauss. :

1 x = P P 1 = P y P

P

d + O ( h2 ) x

P y d + O ( h2 )

(4.2.6)

/x = div(i) /y = div(j) div(ai+bj) = a/x + b/y. Gauss (. . James (1999)) :

P

d = x

SP

i n dS

P

d = y

SP

j n dS

(4.2.7)

SP ( 2 ) n . n . (4.2.7) :

71

SP

i n dS

=

i nf Sf

f

dS =

i n dSf f Sf

=

i nf

f

Sff

(4.2.8)

,

SP

j n dS

=

j nf

f

Sff

Sf nf f f = (SfdS)/Sf f. , . c, . h,c :

h ,c' = f P h ,P + f N h ,N

(4.2.9)

fP, fN (4.2.2) (4.2.3) ( (4.2.3), (4.2.2)). (4.2.6) - (4.2.8) :

1 x P h ,P 1 P y h ,P, (4.2.10):

i nf f

f

S f h ,c'(4.2.10)

j nf

f

S f h ,c'

(

g1 h h

)

P

=

1 P

h ,c'

S f nf

(4.2.11)

(4.2.11) 2 . Ferziger & Peri (1999) 1 , 2 : 1 hg1h (4.2.11), , hg2h, :

(

g2 h h

)

P

=

1 P

f

h ,c

S f nf

(4.2.12)

hg2 h,c h,c :g h ,c = h ,c' + ( h 1h )c' ( c c' )

(4.2.13)

(hg1h)c (4.2.9) (hg1h) (hg1h). h,c c h,c. hg1, hg2, h 0, 5.1. Muzaferija (1994) . Bramkamp et al (2004). , , .

72

. . :

h ,N h ,P = ( xh ,N xh ,P ) + ( yh ,N yh ,P ) + O ( h 2 ) x h ,P y h ,P

(4.2.14)

( ) (4.2.14) (/x)h,P (/y)h,P . . (. Trefethen & Bau (1997)). Muzaferija (1994) ( , Ollivier-Gooch & Van Altena (2002) Bramkamp et al (2004)) 2 (P) , . (/x)h,P (/y)h,P :

1 N P N

( xh ,N xh ,P ) + ( yh ,N yh ,P ) (h ,N h ,P ) x h ,P y h ,P

2

(4.2.15)

(/x)h,P x , (/y)h,P y , xh, xh,P xN , yh, yh,P yN , h, h,P N , |N P| dN. (4.2.15) :

d ( xN2 N

1

x

N

+ y y N ( N P ) ) =2

1 2 2 2 d N (x2 xN + y2 yN + N + 2x y xN yN 2x xN N 2 y yN N ) 2 N

(4.2.16)

(4.2.16) x y . (4.2.16) x y (4.2.16) . x:

1 d ( 2 xN 2 N x

2 N

+ 2 y xN y N 2xN N ) = 0 (4.2.17)

2 x N

2 xN x y x + 2y N 2 N 2 N 2 N = 0 2 dN dN dN N N

(4.2.16) y:

1 d ( 2 yN 2 N y

2 N

+ 2x xN yN 2yN N ) = 0 (4.2.18)

2 y N

2 yN x y y + 2 x N N 2 N N = 0 dN dN dN N N

(4.2.17) - (4.2.18) x y :

73

x =

x NN N d2 N2 N

2 y N dN 2 N

N

y N N 2 dN

N

xN yN 2 dN2

x dN 2 N

y dN 2 N2 xN 2 N

2 N

x y N 2 N dN N

(4.2.19)

y =

N

y N N 2 dN2 N

dN

2 N

N

xN N 2 dN

N

xN y N 2 dN2

x dN 2 N

y dN 2 N

x y N 2 N dN N

(4.2.20)

(4.2.19), (4.2.20) hls ( least squares). 5.1, hls h 0, 1 . hg1, hg2 hls . .. 4.2, h, : :

h ,W h ,E 2h x + h ,P 2h ,b h ,E 2h x

(4.2.21)

:

(4.2.22)

(4.2.21) 2 , h,E, h,W Taylor P. ( h,b h,W) (4.2.22) 1 :

E + P 2b2h

=

x

+P

1 2 h + O ( h2 ) 8 x 2 P

(4.2.23)

4.3, , . 2 . , 2.4 .5, h 0 4.3, h 0.

b P E W P E

4.2: () () .

74

x N

n e y w W S x s P y

E

4.3: .

4.3 . x = xe xw = xE xP = xP xW , y = ye yw = yE yP = yP yW , x = xn xs = xN xP = xP xS , y = yn ys = yN yP = yP yS. :

P =

( e w ) ( n s )

=

( x i + y j ) ( x i + y j )

= x y y x

(4.2.24)

(4.2.9) (4.2.13), , h,e = (h,E+h,P)/2, h,w = (h,W+h,P)/2, h,n = (h,N+h,P)/2, h,s = (h,S+h,P)/2. (4.2.11) (4.2.12) :x g h ,,Ph =

=y ,g h ,P h

(h ,E h ,W ) y (h ,N h ,S ) y 2 ( x y y x ) (h ,N h ,S ) x (h ,E h ,W ) x 2 ( x y y x )

(4.2.25)

hx, hy h, hx /x, hy /y. , :

E = P + W = P

1 2 2 1 2 x + y + x2 + x y + y2 + O ( h3 ) x P y P 2 x 2 P xy P 2 y 2 P 1 2 2 1 2 x y + x2 + x y + y2 + O ( h3 ) x P y P 2 x 2 P xy P 2 y 2 P E W = 2 x + 2 y + O ( h3 ) x P y P(4.2.26)

h x, y, x, y h. :

75

N S = 2

x + 2 y + O ( h3 ) x P y P

(4.2.27)

(4.2.27), (4.2.26) (4.2.25) :

2 x x ,g h ,Ph =

x + 2P

3 y + O ( h3 ) y 2 x x + 2 y y + O ( h ) y y P P P 2 ( x y y x ) + O ( h2 )P

( x y y x ) + O ( h 4 ) x P = = x y y x x

x, y, x, y (h) x y y x (h2). :y g h ,,Ph =

y

+ O ( h2 )P

hg1 hg2 2 . hls. 4.3 :

J

xJ J = d J2 y J J = d J2

(h ,E h ,W ) xx + y2 2

+ +

(h ,N h ,S ) x2 2 x + y

J

(h ,E h ,W ) yx2 + y2

(h ,N h ,S ) y2 2 x + y

2 2 2x2 2x x J = + d J2 2 2 x2 + y2 x + y J

dJ

2 y J 2 J

=

2 2y2 2y + 2 2 x2 + y2 x + y

J

2x y 2x y xJ y J = + 2 2 2 2 2 dJ x + y x + y

N (4.2.19), (4.2.20) J 4.3. (4.2.19), (4.2.20) () (4.2.25)! hg1, hg2 hls 2 . hg h ( ) hgh hg . h hgh = bh bh ( ). hg h . . 4.4. , .

76

Gauss . hls . 4.3, hls hg.

+1 -1

-1 +1

+1

-1 +1

-1

+1

-1

+1

-1

-1

+1

-1

+1

4.4: .

hh = bh , h h 0 . , . : wh null h h(h+wh) = hh + hwh = hh. h hh = bh h+wh, wh null h . 4.4 null h, null space . . h hls . x h , hy , hx (4.2.19) hy (4.2.20).

4.2.3 kndS , n , , k . :

1 Sf

k n dSf

= k ( c ) ( c ) n f + O ( h 2 )

(4.2.28)

nf . (c) ( k) h. i (c) (4.2.9). : , ,

77

(c) . (c) c, (4.2.28) (c)nf, nf. . Ferziger Peri (1999). n /n = n /n n. :

(4.2.46) (4.2.9).

k ( c ) ( c ) n = k ( c )

(c ) n

(4.2.29)

P N (4.2.4), c Taylor :

( N' ) ( P' ) + O ( h2 ) (c) = n N' P'

(4.2.30)

n . () () . :

h ,N ' h ,N + ( hh ) N ( N' N ):

h ,P' h ,P + ( hh ) P ( P' P )

(4.2.31)

( N ) = ( hh ) N + O ( h p ) p 1 :

( P ) = ( hh ) P + O ( h p )

(4.2.32)

( N' ) = h ,N ' + O ( h 2 )

( P' ) = h ,P' + O ( h 2 )

(4.2.33)

Dh : Dh ,P ( ) =

1 P

f f P f

k n dS

(4.2.34)

(fP ) Dh*: Dh ,P (h ) =

1 P

f f P

k

h ,N ' h ,P'N' P'

Sf

(4.2.35)

hD: Dh (h ) + hD ( ) = Dh ( )

(4.2.36)

78

o hD. (4.2.33) (4.2.30) :

h ,N ' + O ( h 2 ) h ,P' + O ( h 2 ) + O h2 c) = ( ( ) N' P' n

(4.2.37)

O(h2) (4.2.33) (4.2.37) O(h2). (4.2.37) :

h , P' + O ( h 2 ) + O ( h2 ) ( c ) = h ,N ' n N' P'=

h ,N ' h ,P'N' P'

(4.2.38)

+ O (h)

|NP| O(h). (4.2.38) (4.2.29) (4.2.28) :

k n dS = k ( c ) f

( c ) S f + O ( h3 ) n(4.2.39)

h , P ' = k ( c ) h ,N ' + O ( h ) S f + O ( h3 ) N' P' h ,N ' h ,P' S f + O ( h2 ) = k (c ) N' P'

(4.2.39) , , (h2) (1):

1 P

f f P f

k n dS

=

1 P

f f P

k (c )

h ,N ' h ,P'N' P'

S f + O (1)

(4.2.40)

Dh* Dh. . , , , O(h2) (4.2.33) (4.2.37) O(h3), (4.2.37) (4.2.38) :

h ,P' + O ( h2 ) ( c ) = h ,N ' N' P' n (4.2.39) :

(4.2.41)

k n dS = k ( c ) f

h , N ' h , P'N' P'

S f + O ( h3 )

(4.2.42)

79

O(h3) (4.2.42) O(h4), (4.2.42) (4.2.40) :

1 P

f f P f

k n dS

=

1 P

f f P

k (c )

h ,N ' h ,P'N' P'

S f + O ( h2 )

(4.2.43)

hD O(h2), . (4.2.40) , , (), () (4.2.33) 2 , O(h) O(1) (4.2.40). , 2. (4.2.35) , h Dh*h . , h,Nh,P.

4.2.4 VndS, , , , V n , . : , :

V n dS

=

f f P

f

V n dS

(4.2.44)

fP . m = Vn f f m dS. m ( ) Taylor :

1 Sf

m dSf

= m ( c ) ( c ) + O ( h 2 )

(4.2.45)

m(c), (c) c f ( , 2 ). m(c), (c) . m(c) 4.2.7 2 . (c) h,c (4.2.9) (4.2.13) hg1 hls:

( c ) h ,c = h ,c' + ( hh )c' ( c c' ) h,c (4.2.46). , Ch:

(4.2.46)

80

Ch ,P (V, )

1 P

V n dS

(4.2.47)

Ch* : Ch ,P (Vh , ph ,h )

1 P

f f P

m

h ,c h ,c

Sf =

1 P

f f P

F

h, f

h ,c

(4.2.48)

Fh,f = mh,cSf f, f mdS Fh,f. Fh , Ch* p Ch. Ch* Ch h 0 h 0. : C Ch (Vh , ph ,h ) + h (V, p , ) = Ch (V, )

(4.2.49)

(central difference schemes CDS) 2 , hC O(h2). h 0, . dS mdS. f ( 4.1). :

1 2 f dS = ( c ) + O h Sf

( )

dSf

= ( c ) S f + O h3

( )

(4.2.50)

(c) c. (c) h,c (4.2.46). , Taylor:

( c ) = ( c' ) + ( c' ) ( c c' ) + O ( h 2 )

(4.2.51)

(c) (c) c. (4.2.51) c. , , (hh)P = (P) + O(hp), (hh)N = (N) + O(hp). h,c (hh)c c (4.2.9) Taylor :

( c' ) = h ,c' + O ( h 2 ) ( c' ) = ( hh )c' + O h

(4.2.52)

(

min( p ,2 )

)

(4.2.53)

(4.2.51) :

( c ) = h ,c' + ( hh )c' ( c c' ) + O ( h 2 )

(4.2.54)

p 1. h,c c. (4.2.50):

81

dSf

= h ,c + O h 2 S f + O h3

( )

( )

= h ,c S f + O h3

( )

(4.2.55)

( Sf O(h)). (c) h,c (4.2.46) f , h p 1, hls. , , (4.2.55) . (4.2.55) O(h2) 1 :

1 P

f f P f

dS

=

1 P

f f P

h ,c

S f + O (h)

(4.2.56)

, , (4.2.55) . e w , e O(h3) (4.2.55) ceh3 w cwh3. ce + cw O(h) ceh3 + cwh3 O(h4). :

dSe

+

dSw

= h ,e Se + ce h3 + O h 4 + h ,w S w + cw h3 + O h 4 = h ,e Se + h ,w S w + O h 4

( )

( )

( )

(4.2.57)

n s cnh3 + csh3 O(h4), (4.2.56) :

1 P

f f P f

dS

=

1 P

f f P

h ,c

S f + O h2

( )

(4.2.58)

h,c h,c (4.2.48). (4.2.51), (c) = (c) + O(h) (4.2.56) :

1 P

f f P f

dS

=

1 P

f f P

h ,c'

S f + O (1)

(4.2.59)

. , (4.2.51) (c) = (c) + O(h2) h 0, (4.2.58) :

1 P

f f P f

dS

=

1 P

f f P

h ,c'

S f + O h2

( )

(4.2.60)

, . Ch(V,) = b Ch*(Vh,ph,h) = bh

82

CDS h bh (. ). (4.2.9) (4.2.46) h,c . h Ch*h. 1 (UDS upwind differencing scheme) c f :UDS h ,c

h ,P , mh ,c 0 h ,N , mh ,c < 0

(4.2.61)

mh,c . . UDS . - UDS . UDS . 10 80 , .. exponential (Patankar (1980)). CDS, . (. .. Ferziger & Peri (1999) Brandt & Yavneh (1991) Leonard (1997)). Navier Stokes ( 4.2.3), . , . Re, . . . CDS . (Demirdi et al (1997), Ferziger & Peri (1999)) CDS/UDS, (4.2.45) :UDS ( c ) ac hCDS + (1 ac ) h ,c ,c

(4.2.62)

h,cCDS (4.2.46) h,cUDS (4.2.61), (convection blending factor) ac 0 1, 0.9. , , () UDS . . . .. Jasak (1996) Leonard (1997) Varonos & Bergeles (1998).

83

4.2.5 :

Phx,P ( p ) Py h ,P

1 P

SP

p i n dS(4.2.63)

( p)

1 P

SP

p j n dS

:

Phx, ( ph ) P Py h ,P

1 P

f f P

p p

h ,c

i n f S f(4.2.64)

( ph )

1 P

h ,c

j n f S f

f f P

hPx, hPy:

Phx ( ph ) + hPx ( p ) = Phx ( p )Py Phy ( ph ) + h ( p ) = Phy ( p )

(4.2.65)

ph,c (4.2.46) . (4.2.56) (4.2.58), pin pjn , hPx, hPy O(h) hPx, hPy O(h2). (4.2.46) ph . ph 2 , (4.2.46) , Phx*ph Phy*ph ( ). , .. . ph , ( .. 4.4). null Phx* null Phy* ( , h. p Navier-Stokes p+c c , ). (3.1.12) hPx, hPy 0 h 0 ph* p . wh Phx*, Phy* , h 0 . , . , . , (4.2.48) Chu*(uh,vh,ph) Chv*(uh,vh,ph), , . (4.2.35) Dhu*(uh), Dhv*(vh) .

84

( ), . , . , , , , . ph* , . , , UDS . Date (1993). , , , . , . , Navier-Stokes , h 0. (momentum interpolation) 4.2.7. 4.1, Navier Stokes , (4.1.12) :2 Dh ,xP ( u , v )

f f P f

x i + x j n dS j n dS

u

v

D

2y h ,P

(u ,v )

u v i+ f f P f y y

(4.2.66)

. . :2 Dh ,xP ( uh , vh )

f f P

h ,c'

x x ( h uh )c' ( n f i ) + ( h vh )c' ( n f j ) S f y y ( h uh ) ( n f i ) + ( h vh ) ( n f j ) S f c' c'

D

2 y h ,P

( uh , vh )

(4.2.67)

h ,c'

f f P

c f ( (4.2.9)) c. , (4.2.46) hh ( ) . :2 D 2 Dh x ( uh , vh ) + h 2 x ( u , v ) = Dh x ( u , v ) 2 2 Dh y ( uh , vh ) + hD 2 y ( u , v ) = Dh y ( u , v )

(4.2.68)

(4.2.59) (4.2.60) hD2x, hD2y O(1) hD2x, hD2y O(h2).

85

( , . ) .. , . .. :

1 P

P

b d = h ,P bh ,P + O ( h 2 )

(4.2.69)

h, bh, . (4.1.8) (4.1.9) . , (4.1.8) - (4.1.9) , . , , t ( t !). , t. To t (time step). . , . . Crank-Nicolson 2 , , ( ). implicit Euler 1 , . . Ferziger & Peri (1999). , . Zang et al (1994) Armfield & Street (2002).

4.2.6 . Navier-Stokes ( ). : . , , . , . . . , . : Dirichlet , Neumann .

86

Navier-Stokes: , , . , . . u v. Ferziger & Peri (1999), . , , , Navier-Stokes O(1) . : , 2 (.. (4.2.43), (4.2.58) (4.2.60)) . , . . , , 2 . , Johansen & Collela (1998), Matsunaga & Yamamoto (2000) McCorquodale et al (2004). O(1) , .. (3.2.25), 3.2.3, ..

P'

P cn t

4.5: c , .

(inlet boundaries) . b :

1 Sb

V dSb

= Fb ( c ) + O ( h 2 )

(4.2.70)

87

Fb (c) (). Fb (4.2.45) = 1. , , . , Fb , . Fb > 0, . , . . :

k n dSb

( k hh )c nb Sb

kc

h ,c h ,P'c P'

Sb

(4.2.71)

(. 4.5) :

P' = c + ( P c ) nb nb h,P :

(4.2.72)

h ,P' = h ,P + h ,Ph ( P' P )

(4.2.73)

(4.2.71) x (=u) y (=v) (4.1.8) (4.1.9). (4.2.67), Ferziger & Peri (1999) (CAFFA) , . : x:

u n dSS

+

x i + x j n dS S

u

v

(4.2.74)x h ,P h x h ,P h

Sb

uh ,c ( uh ,P + h ,P uh ( P' P ) ) + u ( Sb i ) + c P'

v ( Sb j )

y:

v n dSS

+

y i + y j n dS S

u

v

Sb

y y vc vP + ( v ) P ( P' P ) + h ,P uh ( Sb i ) + h ,P vh ( Sb j ) rc rP'

(

)

(4.2.75)

, c .

88

( ). (open far-field boundary). ( , ). , . , . . . Kobayashi et al (1993). . 4.3.1.

(no slip condition). - , (. ) . , . Ferziger & Peri (1999) , , . (4.1.12), , . , . , (4.1.13) (4.1.14), (4.1.12) . (4.1.12) . x. :

u v + =0 x y

u v = x y

(4.2.76)

(4.2.76) x (4.1.12) :

x i + x j n dS b

u

v

=

y i + x j n dS b

v

v

=

rot ( v ) n dSb

= 0

(4.2.77)

2 2 2.2 ( 2.2). (4.2.77) rot: : v 1 v , n . rot(v) v n . y.

1

- .

89

(4.1.12) . . x y , t n t n . n t n S ( ) t = rot(n) (. 4.5). :

V = ut t + un n

(4.2.78)

, . :

ut = u w , un = 0 ,

u t u n = 0 , = 0 t t

,,,

(4.2.79)

uw , t. :

u t u n + = 0 t n (4.2.79) (4.2.80) :

(4.2.80)

u n = 0 n

(4.2.81)

n, t u, v un, ut. : u n u n u t ( d S n) + + 2 n n t ( d S t ) n +

(4.1.5) x, y

T d Sb

=

b

u t u t u n ( d S t ) + + 2 ( d S n) t t t n

(4.2.82)

dSt = 0 dSn = dS. (4.2.81) (4.2.79) (4.2.82) :

T d S =b

u t n dS t b

(4.2.83)

t. (4.2.83) (4.2.28) u, v, (4.2.71): n. (4.2.83): :t u w u h , P' u t u t dS Sb Sb n n c P' c b

(4.2.84)

90

t. ut V t:

Vh ,P' = uh ,P' i + vh ,P' jt uh ,P' = Vh ,P' t

(4.2.85) (4.2.86)

uh,P, vh,P (4.2.73). (4.2.85)-(4.2.86) (4.2.84) x y : x:

u t n dS t i b

Sb

u w uh ,P + h ,P uh ( P' P ) ( i t ) vh ,P P' c

+ h ,P vh ( P' P ) ( j t ) ( t i )

(4.2.87)

y:

n dS t j b

u t

+ h ,P vh ( P' P ) ( j t ) ( t j ) (4.2.88)

Sb

u P' c

w

uh ,P + h ,P uh ( P' P ) ( i t ) vh ,P

.

, un ( ) ( ):

un = 0 ,

u n u n =0 , 0 t n

(4.2.89)

ut . un/t = 0 ut/n. . ut/n = 0. ut/t 0 , , .

ut 0 ,

u t u t 0 , =0 t n

(4.2.90)

4.6. , , :

91

Fn =

2 n d S b 0

u n

u n 2 S n n c(4.2.91)

2 S

n uh ,c Vh ,P' n

c P'

n = 2 S

Vh ,P' n n c P'

, (4.2.91). x x (4.2.91) i:

( Fn ) x =

2 S f

( uh ,P + h ,P uh ( P' P ) ) ( i n ) + ( vh ,P + h ,P vh ( P' P ) ) ( j n ) ( n i ) c P'

(4.2.92)

y :

( Fn ) x =

2 S f

( uh ,P + h ,P uh ( P' P ) ) ( i n ) + ( vh ,P + h ,P vh ( P' P ) ) ( j n ) ( n j ) c P'

(4.2.93)

slope dut / dt = 0

slope dun /dn

4.6: .

4.2.7 4.2.4 ! Rhie & Chow (1983) - . Rhie & Chow, , Deng et al (1994), , SIMPLE (. 4.3).

92

. Rhie & Chow . Rhie & Chow, Ferziger & Peri (1999) 1. SIMPLE (Patankar & Spalding (1972)) o Navier Stokes Picard, . x y u v . , , . u, v . . u x. :u AP ,P uh ,P +

N nP

u u AP ,N uh ,N = QP ,\ p

f f P

p

h ,c

S f nf i

(4.2.94)

Aij j i, nP . (. (4.2.64)) ( ), Qu,\p . f P N, . Rhie & Chow (1983) Ferziger & Peri (1999) f :

Sf 1 Fh , f = c S f Vh ,c n f + ami u ( ph ,P ph ,N ) ( h ph ) P + ( h ph ) N ( P N ) 2 Af :

(4.2.95)

Au = f

1 u u ( AP ,P + AN ,N ) 2

(4.2.96)

ami . Ferziger & Peri (1999) ami = 1. Vh,c = uh,ci + vh,cj (4.2.46). (4.2.95) . , . h 0 2 . Taylor h 2 (. .10):

(p

h ,P

ph ,N ) =

1 ( h ph ) P + ( h ph ) N ( P N ) + O h3 2

( )

(4.2.97)

( h (4.2.97) O(h2) O(h3)). Sf O(h) Auf O(1) . :

1 Rhie & Chow (1983) Navier Stokes .

93

S2 1 f ami c u ( ph ,P ph ,N ) ( h ph ) P + ( h ph ) N ( P N ) O h5 Af 2

( )

(4.2.98)

(4.2.98) (4.2.95), . (4.2.98) O(h2) O(h3). O(h4) (4.2.98) . .10). 2 . (4.2.98) . . 3 4 Rhie & Chow Papageorgakopoulos et al (2000) Lilek & Peri (1995), (4.2.98) . 3 . (4.2.95) , :c N h ,P ( u , v )

1 P

SP

V n dS

= 0

(4.2.99)

:c N h P ( uh , vh , ph ) ,

1 P

f f P

F

h, f

= 0

(4.2.100)

:c c c N h ( uh , vh , ph ) + h ( u , v , p ) = N h ( u , v )

(4.2.101)

hc Nhc* , (4.2.95) , (4.2.98). O(h) (4.2.46), O(h2) h 1 (4.2.97) . hc O(h) . O(h2), O(h4), hc O(h2). .

(4.2.95) . [(hph)N+(hph)N](PN) .. 4.4. , ph,P ph,N, . , 4.4, (1) , (+1). Navier Stokes Nhc* (4.2.100)

94

( Chu*, Chv* (4.2.48)). , . ami cSf2 / Auf (4.2.98) ( (4.2.95) , ). , ami , ami . Auf . ami . Auf : (4.2.94) :u u QP ,\ p AP , N uh ,N ph ,c S f n f i N f

uh , P =

A

u P ,P

(4.2.102)

Gauss (4.2.10):u u x QP ,\ p AP , N uh , N h ,P ph P N u AP ,P

uh ,P =

(4.2.103)

(4.2.103), ( ) uh,P :

p uh , P =

1 x h ,P ph P u AP ,P

(4.2.104)

puh,P uh,P . (4.2.103) - x Auij u v. uh,P (4.2.104) uh,N Au, (4.2.103). , Au,P , au (. 4.3) UDS (4.2.61) CDS (4.2.62) ( 3.4.2). (4.2.104) 1 uP. v (4.2.104), (hyph)P Av,P. Av,P = Au,P (. 4.3) Ferziger & Peri (1999) . , un n f P N :

A,P , UDS. .. Muzaferija (1994) Jasak (1996) . . UDS.1

95

n p uh , P =

1 h ,P ph n f P u AP ,P

up

n h ,N

1 = u h ,N ph n f N AN ,N

(4.2.105)

nf n (. 4.7). hphnf () p/n. f :n p uh ,c =

1 Au f

1 2 ( h ph ) P + ( h ph ) N n f f

(4.2.106)

Auf (4.2.96), f f 4.7, f = Sf(NP)nf. (4.2.106) :n p uh ,c =

S f 1 ( h ph ) P + ( h ph ) N ( P N ) u A f 2

(4.2.107)

P N nf (4.2.107) P N P N, . Vh,cnf c (4.2.46), (4.2.107). (4.2.97), :n p uh ,c =

Sf ( ph ,P ph ,N ) Au f

(4.2.108)

:n uh ,c = Vh ,c n f +

Sf 1 ( ph ,P ph ,N ) ( h ph )P + ( h ph ) N ( P N ) u 2 Af

(4.2.109)

Fh,f = cSfunh,c f (4.2.95) ( ami ). (4.2.109) (momentum interpolation) (4.2.46). , Sf / Auf (4.2.95) . - , SIMPLE ( (4.2.98) ). . : 4.3 Auf (4.2.96) au. t. au / t Auf Sf / Auf . Auf au, t

96

uh, vh, ph au, t. au, t. . Majumdar (1988), Xu & Zhang (1998), Barton & Kirby (2000), Yu et al (2002). AuP,P, Fh! Fh (4.2.95) AuP,P, Fh! SIMPLE. , (3.2.25) F2h 2h , , . Auf (4.2.96) (4.2.95) Af . Af AuP,P, f 4.7, n f. f, , . n c Af unh,c . . NN PP NNN = Nc = c n f :

N

u n n dS c

n n n uh , NN ' uh ,c un uh ,c S f = c h , NN ' Sf NN' c 2 N' c

(4.2.110)

:

u n n dS cP

n n uh ,PP' uh ,c Sf 2 P' c

(4.2.111)

VV1

V1

N PP P P c nf N

NN

V2

VV2 4.7: .

97

, VV1 VV2 VV1V1 = V1c VV2V2 = V2c n f :

V1

u n n dS c

n n uh ,VV 1 uh ,c SV 1 2V 1c n n uh ,VV 2 uh ,c SV 2 2V 2c

(4.2.112) (4.2.113)

V2

u n n dS c

SV1 = SV2 = SV = (NP)nf () . SIMPLE o (4.1.12) , . (4.2.110) - (4.2.113) -n, un,c :

Avisc = f

c S f2 N' c

+

c S f2 P' c

+

c SV2 V 1 c

+

c SV2V 2c

(4.2.114)

2|V1c| = 2|V2c| = Sf. , c 2|c| = 2|c| = || = ()nf = SV. (4.2.114) :

Sf + Avisc = 2c f ( N P ) nf

( N P ) nf Sf

(4.2.115)

. CDS. f FP = Vh,Pnf , FN = Vh,Nnf. V1 V2 , VV1 = VV2 = Vh,c, FV1 = Vh,cnV , FV2 = Vh,cnV nV = rot(nf). , unh,c P, N, V1, V2 unh,c. unh,P = (unh,c + unh,PP)/2, unh,N = (unh,c + unh,NN)/2, unh,V1 = (unh,c + unh,VV1)/2, un,V2 = (unh,c + unh,VV2)/2. un,c :

Aconvec = f :

1 (Vh ,N Vh ,P ) n f S f 2

(4.2.116)

Af = Aconvec + Avisc = f f

Sf 1 + (Vh ,N Vh ,P ) n f S f + 2c 2 ( N P ) nf

( N P ) nf Sf

(4.2.117)

(4.2.95) Re, ! Vh,N Vh,P, , (4.2.117) Af . Re (4.2.117) Af. Sf/Af (4.2.95) , SIMPLE ami . . Barton & Kirby (2000) Barton et al (2002)

98

(4.2.96) , , ami = 0.04. Auf (4.2.96) Af (4.2.117) ; Auf UDS Af CDS. (4.2.116) UDS. Vh,c. , Vh,c 4 , f. UDS (4.2.61) unh,c ( un , , , VV1 VV2). :

Aconvec = c S f Vh ,c n f f

+ c SV Vh ,c nV

(4.2.118)

(4.2.115) (4.2.118) :

Af = c S f Vh ,c n f :

Sf S + SV Vh ,c nV + 2c + V Sf SVnV = rot ( n f

(4.2