!

DE

ANALYTICIS NONNULLIS

JEQUATIONUM FORMfSDISSERTATIO MATHEMATICA

0= ,

QUAM

VENIA AMPL, FACULT. PHILOS. UPS.

P. P.

mag. PETRUS SCHÖNBERGALUMNUS SERNSKOLDIANUS

ET

ENGELBERTUS GOTHERSTIP. SERNSKOLD. WESTMANNüS

IN AUDIT. GUSTAV. DIE XI MART. MDCCCXH.

Η, Α. M. S.

P. X.

UPS ALI®

EXCUDEBANT STENHAMMAR ET PALMBLAD

in

sacram regiam μ a jestatemspectata; fidei viris

ad reg. gymn. aros. matheseos legt. celeber rimo

domino maglstro

CAROLO GUSTAVO AYELINnec non

ad scholam trivial. aros. rectori vigilantissimo

domino maglstro

DANIELI AROSENIO

s a c r υ μ

ν οlu it, del·uit

kespondens»

ENKK-FRU

BORGMÄSTARINNAN

Η 0 G Å D L A

is,/? Λ Tllf A »71 IC1 ^ππτ ΤΓΤ7ΌUjruxiA ι η {&{j i oicJifödd BRANDBERG

Huldaste Moder!

FSr mitt hjerta är ingen pligt heligare In tacksamheten mot minMor, hvars vålgerningar oafbrutit fSlja mig, förekomma mina behof och ialt befrämja mit bästa. Och då vördnaden mot Eder, som spar inga be¬mödanden att lätta mina steg på odlingens vig, aldrig utan med mit lif slock¬nar , så år hvart til få 1 le for mig dyrbart då jag kan uttrycka dessa tänke¬sätt. Närvarande stund skänker mig det nöjet at få ägna Eder et offent¬ligt offer af denna min innerliga erkånsla f

DE

ANALYTICIS NONNULLIS

TION UM FOR. Μ IS.JEQ.UA-

verarn litterarnm culturam proxime praeterlapfistemparibus lacriorem iibi induiffe habirum non bens in-relljgere pciiunt, & a.flortionem hancce „nihil aliud eiTe ,niii Geculi iuperbientis inanitatern , confidenrer adfirmanr,in illam faltim Scientiam, quae rigorofa St apeita demon-.ilrstione nititur, non tam difficiies erunt, nifi aritiquita-tis nimis fludiofi fe£l stores exiflunt et animi caecutientisfiducia fe fäIii facile patiuntur. Natu quee litreris mathe«maticis, analyfeös via progrediendo, jam acceflere multi-moda incrementa nimis aperte loquuntur, (lud i um , quodaetatem noilram nobisque proximam yerfavit, res arduasrimandi, fcientificam rem fedulo amplexum eife, quinquemque ferme, adhuc dubiis haerenrem, egregie convi-ctura iint. Et nefcio an mathematum fata revolventi me-morabilia magis nec non, ex quo tempore litterse cceptaefunt revivifeere, verirarum inventarum feraciora fHlanturtuenda ,, quam quaedam feeculi praeterlapii dscennia.Fa£lum enim eil ut, Analyfeös ope, ipfa rnathefeös adytapandere connifa finr faeculi hujuslumina, & sedificia., quo·rum robur nulla valebunt infnngere terapora, exilruxerior.— Quamvis vero fic mathematicam prsefertim Analyßm8t principia fua itabiliils 8t ambicum fuum dilataifs con-ilat, partem tarnen ejusdem, amlyßn cequqiionum, haud exi-guis adhuc laborare diiFicultaribus nernini non, cujus eil

A dp

) * c

de hsc re Ferre judicia, ante oculos verfetur. Sic fubti»lifiimae quidem cie refolurione arquarionum disquifirionesvel Acta Academiarum Scientianim ornant vel privatorum o-peribus celebritatern concibant; attamen nihiiorninus mni¬ta , eaque maxima, enodanda iuperefte problemata ,, an-tequam ad culmen evccta judicetur haec rhcoria, eo ju-ftius afferere audemus, quod in ipiis elementis perficien-dis, adhuc, poft tot'rantaque molimina, haerere fcientiam al-gebraicam fans cornperimus. Sive vero utilirarem hujustheo-ricc , in tam valium campurn diffufam, five pretium ejusabfolutum fpe£bes, ni 1 optabiiius fane forer, quam ut prae-cipui faitim nod i, quos pracber folvendos, eiTent expediti.Si autern hujus voti un qua tu compos fiet madhefeos cul-tor generali quadam via procedat neceife eft & eam, iifieri poffit, rationem femper ferver, ut fequentia ex an-recedentibu-i plenam lucem lucrentur. igirur natura aequa-tionum bene perfpefla videndum eft an operatio, radlces ea-rum eruendi, modo quodarn, pluribus aequarionibus com-muni, infiitui poffit. Et perfpicax quisque Analyfta, dumin hoc elivo defudat, quo generaliorem viam fequi cone-tur, eo evidentius faitim impedimenra fuperanda animad-vercer. Sed cum ii c i n diffioulrates, non nifi artificio quo¬darn perrumpendas, iiatim illabitur obfervando, quadra-ticam aequationem eiTe folam, quae diredie refolvitur &radices cujuscunque eequationis, urpote funftiones coef-ficientium , nuituå quadam inter has obtinenre relarione,non· generaliter exhiberi pofle; ufum inäeterminatarum inQnalyfi sequationum éffe perneceflarium intelligit

) 3 C

nibus, diverfi ordinis, communes animurn potiffimumadplicst.

De ejusmodi nonnullis aequationum formis in prse-fenti agere decrevirous, quippe quia altior rei meditationos docuit, materiem hagc.ce, quarnvis fuerit a tot tan-tisque ingeniis uberrime pertr^aciata adhue tamen retinu-iiTe aliquid guaü intacti et integri in quo vires exercereforte liceat.

A fimplicioribus initium petendurn. Itnque Γι datamaequationem generalem >xn -+- pxn-1 -+- qxn ·* ... .u = o {A)velies fubjicere formas Qxm — ax™·-1 +· bxm- *..,h'f -ha (xm — ax"1-1 -+- bx™-*· . h')^ 1 + β (Xm —

/Ut/m ^axm-i — bxm -2 .... ti) ~ω —: o (B), ubi a, b &c. ficutetiam «, β &c. Tunt quantirates determinandae, perfpi-cuum eil, qüoniam r/ιμ er it neceffario zun, id non pera-gi poiTe, niii in iis caifbus, quum η eft numerus compoii-tus aut ni unirati aequalis. Polito igitur mzzzi parirer coq-ftat functionem (B) abire in fequentem form am C*— a)n -f-α [χ — a)n - ' Η-β {χ —. a)«-* \ωζzz o {DJ. Nunc no-bis e re vifurn oculo aliquanro acutiori hane formam per-luitrare & quid emolum.en.ti acquartron,um reioiutioni exin-de redrtururn iit perpendere. Piimum ergo noftrum ne¬gotium verfabirur in valoribus coefficientium χ, β & c.eruendis. — Cum vero dxrplici via ad eos inveniendos in-cedere poffumus ea potifiimum eligenda qua facillime me-tam noltram corrtingamus. Eterrim per iimplicem trans-formationem aequationis (A) hi valöres obtinentur. Sividelicet χ — λ, brevitaris cauiFa, exhibetur per x' & inatquarione (A) pro λ; fubflituitur valör x' -\-a, evolutio

A 2 debi-

) 4 C

debita p'eraglcut St termini fecundum poteftates ipfius χordinantur prodit aequatio xn 4- — + ρ)χ'Λ-1 -+-

11 - lη. η-1 η .η - ι .11 - ζ

( —a2 4- ρ a -f- q) x'n - 2 -i- ( a* -+*'ι. ζ ζ · \ ι . 2 . 3

ή · Ζ . K-2 » - 2 11 . 11 - ι . n-2 . »-J—q a ■+· r) x'n ·3HH-C— 1—"—a* +

1.2 I ·

91 - 1 .11 - 2 . 0l·-J

z. 2 . J .4

n - 2 .ii- 3 » - 3ρ a3 + —— — q a12 —Η ßi-f" J") x'"~4

1.2.3 1.2 i v .»4* &c β" aro'ß), cujus terminus ge¬nerals N'xn-m> lege fucceiiionis eoefficientium facile deted£as>reapfe eft

η .ii - ι .71- ζ Γ« - m - ι*)am

1.2.3 ··. ' m

11- ι 11 - 2 .... (11 - in - i")4- — ρ am-r1.2.3.. · · 0n ~ l)

n — 2 . n-3 . .. (11- m-i)4- q am- az . 2 3 .. . . (jn-2^)

η - 3 . η - 4 . . .. (« - «ζ-ζ).—: f

12-3 (*»--4— · ^

am-3

.tibi öbCervandutn eft i' fi^niftcafe cöefficienrqm zw«1" ter¬mini aequanonis Eft vero haec aequario (a) sequa-iionis generalis Q A) transformata St fundtioni {B) tota

qiian-

i) f c

quänta id e η π ca, adeo ut coefficienres a, (3 See. hoc mc»do inventae iinti

Ope hujus fimplicifiiffloe forms? aqusti» cubica segre-gie refolvirar & quidem, ur mox ρ rcbir, modo aquario*nis qüadraricse perfecta analogo. Cum enim cubica aqua-rii> x* -f- ρ xz -f» q χ Hr r zzr, o (z) hane allatam iibi in-du!r formam (D), habetur χ 3 4- (j a -4- ρ) χ 2 4- (j ß2 4~2 ρ nl q7) x' ci* -h ρ (i2 -r q ci -p r zzz o & ii, breviandicauiTa, hujus aquationis coefficienres refpe'£tive exhiben-tur per ρ, q,, r', obtinetur x'3 4- ρ x'z 4- q' χ ·+■ r zz o(2). U-kerius, cum sequarianis (2) remrini om nes dividun-fur per rV3, evadit exinde profecta a?qui-anö x - i -+»q ρ ι— #'-z-p — χ 1 ~h — =ro (3), Nunc manifeftum eft, ear f r

data relatione ipfius ρ ad q, ut effet ρ 2 =s3q', tequatio-Ρ

nein (2) in hane formam poiTe revocari (V 4 yr*v'3

™o, Eteådern ratione, fi eiLr qfi ~ jpV aequatio*27

q' t ' q'*(Y) in fimilem formam, (r'4--)4 — = ovjy

jr r 27r 3facile converteretur. Hinc uberrime conftat quod, tirquam coniinent p\ q, /, quantiras arbitraria alterutra hurumsequationum aut ρ 2 zz 3, q au t q'2 j///dererrninaii pof-fei, fieret illa talisacquatio, qu q & r' in hac aquatio-

X: · ·

r ■ · - · ■ ■. : -

i - - , -r vY,- c · . :

■) « C

ne, evadit (ja2 ~{~2pa + q)2 z: j (3r').q . Ut autem liquet eft: ρ q — p-r z=z (ja -+■p) [ja2 -J- zpa -f- q) —9 (a'5 -+- ρ a'2 -\-qa -f- r) zz 2 ip2~jq)a

v O7? — 9rY—4 (jp2 -31) (q2 -3Ρθ> ftuaequan-

) 7 (

quantitas, brevieatis eauiTa·, por.enda fit == be. Et quiab'- (pq-pr)

3 3 C

ubi et repraefentet— (ρ q — ρ r)"* -+■ 2p 'ρ* ~j q) (ρ q — prγ— 4 q [ρ7-3 qY (ρ q — p r) -f- 8 r :p2 —sq,3. Sed eil di

— (p q — pr) b'2 4- 2 (p2 — 3 q) (pq — ρ r)(4q2— 3 ρ r — p2 q) + & r (p2 — 3 q)2 =z — (p q —ρ r) b'2 4- 2 (ρ2 — 3 q) ((Ρ 1 — 9 r) (4 — 3 V r ~p* £)«+- 4 r {p2 — 3 qY) =z — (pq —pr) b'2 +-2p(p2 —3 ϊ) C4 23 — i$ ρ q r -f- 27 rz — pz q2 4 p2 r) s

b'2— (p q — Ρ r) b'2 + 2 ρ (p* — 3 i) ~J~ = C2 i7 O7* —

b'2

2 q) 3 (p q — ^ fubftituto hoc valöre

pro d' obtinetur, quia efl Q O 5 — ^ O2 -—4P Oz— j q) '{p q — * O + 4 2 (i1 - 3 i)1) = 3 b'S

4b'*+±. Ορ(ρ* — 3q) — 3Xpq—pr))i/**

_ 5

8{pz~-3qY

b'2{3b' + 2 /> (/?2 — J — J (47 £ — ^ r) )hoc eil r s —3qjY~

b'2 ,= r . / . Hinc fequitur efTe ή/jr ipq—pr')

3{P '3q)v

) ιο (

Uberiorem, quae hinc arripi poiTet, disquifitionis mate-riem rario,quam perfequi inftituimus tra&are nos prohiber;snrequarn vero alia, quae inveftiganda incumbunt, ad-grediamur nonnulla uiteriora de forma aequationum (B)adferenda funr. Itäque cum numerus indeterminatärumfaltim debet efle aequaiis η, fit « -4- ν numerus earundem

η

qusefitus. Habes igitur 1-^ = »+ v unde μ evadit =\f [u -f- Q —* 4 ^ -f- ιη v)

^ Oportet autem fit μζ

numerus integer, quam ob caufiam erit «2-f- (ν - ζ) ηquantitas rationalis. Si vero id generaliter fieri poffit,erit rieceffano ν = ι. In eo aurern cafu fit μ = η &forma (B) mutatur in (DJ, eam ipfam quam nuper exa-minavimus. Hinc ulterius manifeilum eft, quod valor i-

μ (μ — il) -{- ηpfius y. ita fit eligendus ut ~ T evadar aut nu¬merus poiitivus aut nihilo aequaiis. Sed quum μ pariterneceifario erit divifor ipiius », patet, ii m & μ funr fa-&ores reu », oportere fummam ipforum eile autgequaiemaur rriajorem produ&o. Et ex aliatis fimul elucet, in iiscafibus, ubi μ forer unirate major, minor vero », nume-rum indeterminatärum condinonibus neceffariis non fup-perere nifi in cafu η zzz 4. Arque quamvis, po-fito η = 4, μ eft = 2 & quattuor harum indeterminatä¬rum ad funr, atrarnen ne quidem licet revocare biquadra-ticam aequationern ad illam formam, quia una earundemomnem determinationem refpuit, adeo ut certa coefficien-tium relatione opus effet.

Cum

) " (

Cum jam noftrum eft*ufum formae (D) praecipuum,quem analyii aequarionum generali pra bot, oftendere,iilentio non transeundum efTe opinamur, fun&ionem (D)commodam poiTe dare aequationem iummae » —- ι radi-cum aequationis (A). Nam fi fumma haec eft = — x,erit neceftario reliqua radix χ =: χ — ρ adeoque ii in lo-cum ipiius α, formae (D)y feribimus — p, prodit me-morata aequatio. Ceterum, praeter frequentem ufum hujusformae ubi auferendus elf terminus fecundus cujusdam ae¬quationis, facile perfpicirur, terminum intermedium queni-cumque, exponente?z-w gaudentern, ope bujus formte , de-mi poiTe» fi refolutio aequationis, gradus ηή , eft pervia.

Ab hac forma ad aliam longe generaliffimam facilisparet aditus. Nil enim impedit quo minus coeiftcientes α,β See. formae (B) ipGie habendae ftnt ut certi generis fun-£tiones του χ, aequationis (A). Etenim ii pro et habere-mus hujusmodi fun&ionem e" (xv -f- ß' xv-z -f- y xv *...Aj, pro β vero b" (xy xv~z + y χν·2 . . . Α)* , proy hancce et' (xv -+■ ß' xVml H- y xv~z .. . A'J3 & fic in cete-'ris, obfervando novas efte ri\ b" &c. ut etiam ß', y &c.indeterminatas, hoc modo alia aequationum forma nafee-retur hujus fpeciei (xm — « xm%z -+· b xm-z . . . hj«+■ a" (xv -f- ß' xv-z ·+· y xVml * . . A) (xm — a xm'x ■+-

b xm 1 , , . h)u"* b" (xy -\-ß' xvz-by' xr·*. ..A)2 (xm -B a « xm'1

) 12 C

a x1*-1 -f- b xm-z . . . h)y' ~ -f- d' (χν ß' xv'% Hl·*

y xv l . . . λ')5 {xm — « xm'z ~h b xm'z . . . k)z ~~ 3 Hh»" (xv 4- /3' λ*"-' y x*-2 . . . xf ~ o (£/),

— α χ'*·7 ■+" b xm-2 figu*, r. ponatur χ~-β, v,;r+y λ·,*. .· λ< = *"> fe'

Λ . . /"· 1 » //i^ // //Α - ϊquenrem conkitueret- asquanonem iimphcem * ~ha χ

-+- b" χ"μ 2-4-. , . . u"— Ο(Μ).

Muka quidem efient circa hane formam obfervanda&, quae hinc fagaeifiimo cuidam Analyftae adfiuerer, diiTe-rendi copia drcumfcripns hujus opelite. limitibus minuneconcluderetur. Sed praeeipua tantum artingere in prae-fenti nobis conceiTum eil. Iraque, refumra aequuione ge¬nerali x* Ar ρ xn l + q xn'z ... η ·=. o {A), eam fub pro-poiieam forrnam (Ε) redigere tentabimus, omnium primumponendo μ = η Sc ν == ζ, qua poiitione m neceflarioevadit etiam uniran squalis. Et quo calculi, i η fra fubdu-cendi, maxima, quae fieri pofik, facilirace inftituantur necnon vaiores coefficientium a , b" &c. facilius dcreganturaiTumemus χ in χ Ar ß aöki iigno negativo & coefficien-res aequationis (A) p,q, r ... « refpe£live fieri aequalesPx ? Ρ^ · · · * P* ' Qi^bus omnibus fa£tis forma (Ε)prodit in hane coar&a (χ — a)n 4-a' (β — χ) (χ — a)n-! -f»

b" β

) 13 (

b" {β — χ) (χ —. β)Λ-2 , . . u" {β _ χ)η = ο veJ βV flj«mavis dividendo per (/3 — *)» , in —;q ——

V' """

^ (χ — rt)"1 (^x; — af2a* ~(ßlΓ -+- \βΖΤ~χ)η.ζ · · · fi" = 0 fGr) & ae-quatio (Λ) evadir x* r+^l λγ»-* -μ ^ *«■* . . ,pa =0(/).Arduurn nunc videtur füre negotium coefficienres b"«See. generaliter exhibendi· Ted cum hoc hnud exiguse eiletutihtaris, operic prefcium duximus impedimentorum, quaeviam intercludunr, eruendorum inire tentamen, loutur

ö

X — ä β x" -4- aquia cü x= & b" &=·

facillime invenientur, fi inveniri poiTunt, fubftituendo proβ χ" + α

χ in aequatione [A'J valorem ~~J~> ^ ~~ ~ , liberando poten-ß x" -f- α

tias omn.es reu ~7~^~ denominatore, evolvendo, mul~tiplicando et demum ordinando t'erminos fecundum pote-ftates ipfius x". Quare, fi haec omnia fidiffima, qua de-'bet, mentis attentione, perficiuntur, eeeptis profpere fuc-cedet et fequens obrenebitur aequatio:

Qßn ρχ ß*·' -fr" p2 β»-* . . , ρχ"η

_ J I4 c i4-1_(μ β"·1 4- η-ι pt βη'1-\~η·2.ρ2 β*·3 ..».p*-ij ? ^

1' I

4- Ρ ι ßn'' "+" 2 ρ2 βη-χ +■ 3 Ρ i &η'3 · ·· · ηΡη J_ *->

4-_?_*_ (η .η — ι βη* 4 ρ!» — ι . η — 2 /3**5 4·1.2.

ρ2 η — 2 . η — 3 βα'* . · · . · ζ · 2 Pn-t)α

4 («-ζ J>, $*-2 4- 2 Qn —■ ζ) ρ2 βη-3 + ^i C» —3ΪΡ3 71 — Z^.,J **"

ι4- r ι . 2 ρ 13» .t 4- 2 . 3 Pi βη~3 +

/ . 2 V

5.4 . ρ4 ßn- '* . « — Ζ iO ,

_J_ __L—(» . »-ZW- zßn'l 4- » - Z . M-2 . M-J/7 J /3n-4 ...1.2. ßpn.3) "I.2.3'

I β («-Z . 7l'2p J /3»-M-2(»-2) (w -3)paßa·4 ...1.2.11' 2JJn.i)ι. i

a

4_— ( ζ . 2 w — 2paß*-* + 2.3{n — 3)Pi&n-4+ \'1.2 ι X n" >3 . 4 p^ η - 4 ßn-i η — ι . η — ζ pn.t)

ι

+* Τ2Γ3 (Z * 2 * 3 P* ®n~S 2 ' 3 ' 4 P* ßn~43 ' 4 . S Ρ ζ & 3 · · - · n · n — z μ — 2 pn ) J

) 15 (

+

an 4- pt a-f* ptx an'z 4- P* an'3 . ... pn zz O (G')in qua cominuatio terminorum quousque lubeat haberipoffir; nam manifeftum eft coefficientera N'y termini ge¬neralis Ν' x'\nm' ex obfervata coefficienrium lege, reve¬ra exhiberi poiTe & fiéri ut fequens fchema oftendit:

am' f ^4- ί w - (fft' - i]) βη·™ 4- (η-τ. η - ζ ...1,2... ® V

ηι'Ϋ) ρ t βη -m' -b 1 4- (fi'2 . η - 3 ... (η-m 4-1) p2 βη -1 ni'-\-z+ C7 ·2 · ♦ · · m') ·»')

2. ..(κί *1) ' (w~~ — m'"lT)Pißn ' m' ■+·2 (n — 2) (n -— 3) .... (n — w'J ßn - m 4- *

3 (w — j) (w — 4) · . . (» — *»' 4- z) ^?3 /3λ-(«' 4- O ♦ . .. . . . (ι 2 . . . , m — ζ) (η — m' — ζ) .■(£-. ,))

((

1

—™»)*···ο—«)■·■«

(£ω)

fiT(Y-f-(>

-f.'w)Qi-*rηΓ)ζΜ"·s'i?)-J-

(£"-f-lil)-Ήζ)

(z—f—.ω)

d1zHb,t{0'(1Hhm)CSli''fr'O"t"

■(*+,«)-«*

'

2·—ui>

r/".S^^V

ΛΜ*λ,ΖΊ

clQi-+·w)(iir'-£'z)-+./Ul.vGj.fdiif'z'i,

(i+m)-us/J1

(?-m~n)(z*tu-u){i-ui-u){£-m"'z'i)'**

**'τ»μ/Vi-«gf5cT(z-f--«)m·'β-u'£-u'S'ϊ*f+

—■■'l.li■—---ι.ι·..IIW,j■*■

(i'jiu'wg/

(·#—.«)····{yι«.ti}fr%£'z

)£-Ui''

'z'viz'i

-

-f

£-,ιβΟ

'vd(ζ'w,'u)ζ(ζ·^r«)-κ)-«f)"'·ζ'i)·''

(r-f-/«/)-z/gf((/

-f-^fff)'U)"'(f'u){b·

'b*£-f-

,_f_«.«g/

ίd{ut—«)·■···(£■—w)(£—-ff)*£·?

-+·»-Bgfβ