Ορθικό τρίγωνο.

Το τρίγωνο που σχηματίζεται από τα ίχνη των υψών ενός τριγώνου.

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ τα τρία ύψη του. Το τρίγωνο ΔΕΖ είναι το ορθικό τρίγωνο του ΑΒΓ.

Πρόταση 1.

Τα ύψη του ΑΒΓ διχοτομούν τις γωνίες του ορθικού τριγώνου ΔΕΖ.

Απόδειξη.

Τα τετράπλευρα ΒΓΕΖ, ΔΓΕΗ, ΒΔΗΖ είναι εγγράψιμα και συνεπώς οι γωνίες που είναι σημειωμένες, στο σχήμα, θα είναι ίσες μεταξύ τους.

Πρόταση 2.

Αν Ε΄ το συμμετρικό του Ε ως προς την ΒΓ τότε Ε΄, Δ, Ζ συνευθειακά σημεία.

Απόδειξη.

Με την βοήθεια της προηγούμενης πρότασης και της συμμετρίας είναι: γωνίες Ε΄ΔΓ=ΓΔΕ, (λόγω συμμετρίας) και ΓΔΕ = ΒΔΖ , (πρόταση1).

Άρα, εύκολα, γωνία Ε΄ΔΖ = 180ο.

Η

∆

Ζ

Ε

Β Γ

Α

Ε΄

Μ

Η

∆

Ζ

Ε

Β Γ

Α

Πρόταση 3

υβ

υα

υγ

ΑπόδειξηΑπό την παραπάνω πρόταση θα είναι:

ΣΧ=υαυβ

γ=υαυγ

β, ΡΤ=

υγυβ

α=υγυα

β , ΗΘ=

υβυα

γ=υβυγ

α.

Συνεπώς ΣΧ=ΡΤ=ΗΘ

ΠόρισμαΤα τμήματα που έχουν άκρα τους τις προβολές των ιχνών των υψών του ΑΒΓστις πλευρές του ΑΒΓ είναι ίσα: ΣΧ=ΡΤ=ΗΘ

ΑπόδειξηΈστω R η ακτίνα του εγγράψιμου ΑΣΚΧ.

Στο τρίγωνο ΑΣΧ ΣΧ

2R=ημΑ

ΣΧ

υα=ημΑ

Στα τρίγωνα ΑΜΓ, ΑΛΒ είναι ημΑ=υβ

γ=υγ

β

Άρα ΣΧ

υα=υβ

γ=υγ

β

ΠρότασηΣ, Χ οι προβολές του ίχνους Κ του υαστις πλευρές β, γ τότε:

ΣΧ=υαυβ

γ=υαυγ

β

Ύψη τριγώνου και προβολές των ιχνών τους

Η

Θ

Τ

Ρ

Χ

Σ

Λ

Μ

ΚΒ

Γ

Α

Πρόταση 4

Η περίμετρος του ορθικού τριγώνου του τριγώνου ΑΒΓ είναι ίση με 2 2 2

,

όπου , , τα τρία ύψη του ΑΒΓ προς τις πλευρές του α=ΒΓ, β=ΑΓ, γ=ΑΒ αντίστοιχα.

Απόδειξη.

Έστω Μ΄, Μ΄΄ τα συμμετρικά του ίχνους του Μ του ύψους υα ως προς τις ΑΒ, ΒΓ αντίστοιχα. Θα είναι ΛΜ=ΛΜ΄ και ΚΜ=ΚΜ΄΄. Ακόμα, από την πρόταση 2 θα είναι Μ΄, Λ, Κ, Μ΄΄ συνευθειακά.

Έτσι, το τμήμα ΡΤ ενώνει τα μέσα των πλευρών ΜΜ΄ και ΜΜ΄΄ του τριγώνου ΜΜ΄Μ΄΄, οπότε, από πρόταση 3,

Μ΄Μ΄΄=2ΡΤ = 2 2 2

. Όμως το Μ΄Μ΄΄ είναι ίσο με

την περίμετρο του ορθικού τριγώνου ΜΚΛ και συνεπώς έχουμε το ζητούμενο.

α

β

γ

υβ υαυγ

Μ΄

Μ΄΄

Η

Θ

Τ

Ρ

Χ

Σ

Λ

Μ

Κ

Α

ΒΓ

Πρόταση 5. (Πρόβλημα Fagnano)

Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ,

από τα τρίγωνα ΚΛΜ που έχουν τις κορυφές τους στις τρεις πλευρές του ΑΒΓ,

το τρίγωνο με την ελάχιστη περίμετρο είναι το ορθικό τρίγωνο ΔΕΖ.

Απόδειξη1 (με τη «συμβουλή» του ιστότοπου: http://www.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Fagnano.html )

Κάνουμε 5 διαδοχικές συμμετρίες, (άξονες α,β,γ,δ,ε), στο αρχικό τρίγωνο με τον τρόπο που δείχνει το παρακάτω σχήμα…

Λόγω των προτάσεων 1 και 2 και της συμμετρίας το τμήμα ΔΔ΄ θα έχει μήκος το διπλάσιο της περιμέτρου του ορθικού τριγώνου ΔΕΖ και το τμήμα Δ΄Μ΄ //= ΔΜ.

Άρα, το ΜΔΔ΄Μ΄ παραλληλόγραμμο και έτσι, ΔΔ΄=ΜΜ΄.

Η τεθλασμένη γραμμή που ξεκινάει από το τμήμα ΜΛ και καταλήγει στο Μ΄ ,(ακολουθήστε τα έντονα χρώματα καφέ, μπλε, ροζ ), έχει μήκος ίσο με το διπλάσιο της περιμέτρου του ΚΛΜ.

Συνεπώς η περίμετρος του ορθικού τριγώνου είναι μικρότερη ή ίση της περιμέτρου του τυχαίου τριγώνου ΚΛΜ.

φ

ω

φ

γ

β

δ

ε

α

fangano' s problem

∆΄Μ΄

Β΄

Γ΄

Ε

∆

Ζ

Α

Β

Γ

Μ

Κ

Λ

Απόδειξη2 (Σωτήρης Λουρίδας)

Αν Ε, Δ τα συμμετρικά του Κ ως προς τις πλευρές ΒΓ, ΑΒ αντίστοιχα τότε η περίμετρος του τριγώνου ΚΛΜ έστω Π θα είναι μεγαλύτερη ή ίση του τμήματος ΔΕ.

Αφού Ρ, Τ μέσα των ΚΔ, ΚΕ θα είναι ΔΕ =2ΡΤ.

Ποια είναι η μικρότερη τιμή του ΔΕ;

Το τετράπλευρο ΒΤΚΡ είναι εγγράψιμο στον κύκλο με κέντρο το μέσο Ο του ΒΚ και ακτίνα ΒΚ/2.

Στο ισοσκελές τρίγωνο ΡΟΤ η γωνία Ο είναι διπλάσια της γωνίας Β του ΑΒΓ.

Το μήκος του ΡΤ εξαρτάται από το μέτρο της γωνίας Β και τ ο μέτρο των ΟΡ, ΟΤ τα οποία είναι ίσα με ΒΚ/2.

Για τις διάφορες θέσεις του σημείου Κ, το μήκος του ΡΤ μεταβάλλεται σύμφωνα με την μεταβολή της ΒΚ.

Συνεπώς, η μικρότερη τιμή του ΡΤ θα συμβεί όταν η ΒΚ πάρει τη μικρότερη τιμή της που είναι ίση με ΒΖ = υβ.

Τότε όμως, σύμφωνα με την πρόταση 3 θα είναι ΡΤ=

, οπότε η ΔΕ θα έχει την μικρότερη τιμή της:

2 2 2

= Περίμετρος ορθικού τριγώνου.

Τελικά, για την περίμετρο Π του τριγώνου ΚΛΜ είναι: ΠΔΕ 2 2 2

= Π.ο.τ.

Παρατήρηση:

Στην περίπτωση που το Κ πάρει την τιμή Ζ, (μία από τις κορυφές του ο.τ. η ΔΕ θα τέμνει τις ΑΒ, ΒΓ στα σημεία Ε, Δ που είναι οι άλλες δύο κορυφές του ο.τ.).

Επιμέλεια : Κώστας Σερίφης, (για το http://www.mathematica.gr ).

∆

Ζ

Ρ

Ε

Τ

Ο

Γ Β

Α

Μ

Λ

Κ