ΜΜοορριιοοδδόόττηησσηη 220011664stem.github.io/assets/m2016.pdf · vv vv vv...

18/11/2019 Μοριοδότηση 2016 - S.T.E.M.

127.0.0.1:4000/άσκηση/2016/05/23/panelladikes_2016 1/13

S.T.E.M.S.T.E.M.

Μοριοδότηση 2016Μοριοδότηση 2016Ενδεικτικές απαντήσεις και από γραπτά μαθητώνΕνδεικτικές απαντήσεις και από γραπτά μαθητών

Θέμα ΑΘέμα Α

Α1Α1 - -

Α2Α2 - -

Α3Α3 - -

Α4Α4 - -

Α5:Α5:

Θέμα ΒΘέμα Β

Β1Β1 - -

α) α)

Ο ακίνητος παρατηρητής ακούει απευθείας απο τη σειρήνα του τρένου συχνότηταΟ ακίνητος παρατηρητής ακούει απευθείας απο τη σειρήνα του τρένου συχνότητα

Ο ήχος της σειρήνας του τρένου φτάνει στον βράχοΟ ήχος της σειρήνας του τρένου φτάνει στον βράχο

Ο παρατηρητής ακούει αυτόν τον ήχο με συχνότηταΟ παρατηρητής ακούει αυτόν τον ήχο με συχνότητα

(ακίνητος παρατηρητής - ακίνητος βράχος) (ακίνητος παρατηρητής - ακίνητος βράχος)

άραάρα

ββ

γγ

ββ

δδ

ΣΣ −− ΛΛ −− ΣΣ −− ΛΛ −− ΛΛ

((ιιιιιι))

ττρρόόπποοςς⎯⎯

⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

== ⋅⋅ff11

uuηηχχ

++uuηηχχ uuss

ffss

== ⋅⋅ffββρρααχχ

uuηηχχ

−−uuηηχχ uuss

ffss

==ff22 ffββρρααχχ

==ff11

ff22

⋅⋅uu ηηχχ

++uu ηηχχ uu ssffss

⋅⋅uu ηηχχ

−−uu ηηχχ uu ssffss

== ==ff11

ff22

−−uuηηχχuu ηηχχ

1010

++uuηηχχuu ηηχχ

1010

99

1111

http://127.0.0.1:4000/



β) β)

Ο ακίνητος παρατηρητής ακούει απευθείας απο τη σειρήνα του τρένου μήκος κύματοςΟ ακίνητος παρατηρητής ακούει απευθείας απο τη σειρήνα του τρένου μήκος κύματος

Ο ήχος της σειρήνας του τρένου φτάνει στον βράχοΟ ήχος της σειρήνας του τρένου φτάνει στον βράχο

Ο παρατηρητής ακούει αυτόν τον ήχο με μήκος κύματοςΟ παρατηρητής ακούει αυτόν τον ήχο με μήκος κύματος

(ακίνητος παρατηρητής - ακίνητος βράχος) (ακίνητος παρατηρητής - ακίνητος βράχος)

άραάρα

Άρα η σωστή απάντηση είναι το Άρα η σωστή απάντηση είναι το

Β2Β2 - -

H εξίσωση του στάσιμου κύματος θα είναιH εξίσωση του στάσιμου κύματος θα είναι

Το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας ταλάντωσης Το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Μ της χορδής ( του σημείου Μ της χορδής ( ))

είναι ίσο με:είναι ίσο με:


Β3Β3 - -


⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

== λλ ++ ⋅⋅λλ11 uuss TTss

== λλ −− ⋅⋅λλββρρααχχ uuss TTss

==λλ22 λλββρρααχχ

== ==λλ11

λλ22

λλ ++ ⋅⋅uuss TTss

λλ −− ⋅⋅uuss TTss

++uu ηηχχ uu ss

ff ss

−−uu ηηχχ uu ss

ff ss

== ==λλ11

λλ22

++uuηηχχuu ηηχχ

1010

−−uuηηχχuu ηηχχ

1010

1111

99

== == ==ff11

ff22

uu ηηχχ

λλ11

uu ηηχχ

λλ22

λλ22

λλ11

99

1111

((ιιιιιι))

((ιι))

yy == 22AA ⋅⋅ σσυυνν(( )) ⋅⋅ ηημμ(( ))22ππχχ

λλ

22ππtt

TT

uummaaxxMM==xxMM

99λλ

88

== ωω ⋅⋅ || || == ⋅⋅ ||22AAσσυυνν || == ⋅⋅ ||σσυυνν || ==uummaaxxMMAA′′

MM

22ππ

ΤΤ

22ππ 99λλ

88

λλ

44ππΑΑ

ΤΤ

99ππ

44

22 ⋅⋅ ππΑΑ22‾‾√√ΤΤ

((ιι))

((ιιιι))



Επειδή το ρευστό είναι ασυμπίεστο και η ροή του είναι στρωτή η παροχή του σωλήνα διατηρείται σταθερή καιΕπειδή το ρευστό είναι ασυμπίεστο και η ροή του είναι στρωτή η παροχή του σωλήνα διατηρείται σταθερή και

ισχύει η εξίσωση της συνέχειας:ισχύει η εξίσωση της συνέχειας:

Για ιδανικό ρευστό η κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου είναι:Για ιδανικό ρευστό η κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου είναι:

α) α)

Εφόσον ο σωλήνας είναι οριζόντιος η εξίσωση του Bernoulli παίρνει την ακούλουθη μορφή:Εφόσον ο σωλήνας είναι οριζόντιος η εξίσωση του Bernoulli παίρνει την ακούλουθη μορφή:

β) β)

Θ.Ε.Ε. Θ.Ε.Ε. για dt: για dt:

όπου όπου το έργο που προσφέρεται στο τμήμα του ρευστού από το Α στο Β από το περιβάλλον ρευστό, δηλαδή το έργο που προσφέρεται στο τμήμα του ρευστού από το Α στο Β από το περιβάλλον ρευστό, δηλαδή

, , και και

ΤελικάΤελικά

⋅⋅ == ⋅⋅ ⇒⇒ 22 ⋅⋅ ⋅⋅ == ⋅⋅ ⇒⇒ 22 ⋅⋅ ==ΑΑΑΑ uuAA AABB uuBB AABB uuAA AABB uuBB uuAA uuBB

ΛΛ == == == ⋅⋅ ρρ ⋅⋅ddKK

ddVV

⋅⋅ ddmm ⋅⋅11

22uu22

ddVV

11

22uu22


⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

++ ⋅⋅ ρρ ⋅⋅ == ++ ⋅⋅ ρρ ⋅⋅ ⇒⇒ −− == ⋅⋅ ρρ ⋅⋅ −− ⋅⋅ ρρ ⋅⋅PPAA

11

22uu22

AAPPBB

11

22uu22

BB PPAA PPBB

11

22uu22

BB

11

22uu22

AA

−− == ⋅⋅ ρρ ⋅⋅ 44 ⋅⋅ −− ⋅⋅ ρρ ⋅⋅ == 44ΛΛ −− ΛΛ == 33ΛΛPPAA PPBB

11

22uu22

AA

11

22uu22

AA


⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

ΑΑ →→ BB

WW ++ == ddKKWWBB

WW

WW == (( −− )) ⋅⋅ ddVVPPAA PPBB == 00WWBB

ddKK == ⋅⋅ ddmm ⋅⋅ −− ⋅⋅ ddmm ⋅⋅11

22uu22

BB

11

22uu22

AA

(( −− )) ⋅⋅ ddVV == ⋅⋅ ddmm ⋅⋅ −− ⋅⋅ ddmm ⋅⋅ ⇒⇒ −− == ⋅⋅ ⋅⋅ −− ⋅⋅ ⋅⋅PPAA PPBB

11

22uu22

BB

11

22uu22

AAPPAA PPBB

11

22

ddmm

ddVVuu22

BB

11

22

ddmm

ddVVuu22

AA

(( −− )) == ⋅⋅ ρρ ⋅⋅ −− ⋅⋅ ρρ ⋅⋅ == ⋅⋅ ρρ((22 −− ⋅⋅ ρρ ⋅⋅ == 33 ⋅⋅ ⋅⋅ ρρ ⋅⋅ == 33ΛΛPPAA PPBB

11

22uu22

BB

11

22uu22

AA

11

22uuAA ))22 11

22uu22

AA

11

22uu22

AA




Θέμα ΓΘέμα Γ

Λείο τεταρτοκύκλιο ΑΓΛείο τεταρτοκύκλιο ΑΓ

R = 5mR = 5m

μ = 0.5μ = 0.5

ΓΔ = ΓΔ =

μάζες μάζες

και και

Γ1Γ1

Α.Δ.Μ.Ε. Α.Δ.Μ.Ε.

Γ2Γ2

α) α)

Θ.Μ.Κ.Ε. Θ.Μ.Κ.Ε.

β) β)

((ιιιι))

== 3.63.6mmSS11

== 33 ⋅⋅mm22 mm11

== 44uu22mm

ss

((ΑΑ,, ΓΓ))(( ))mm11

++ == ++ ⇒⇒ 00 ++ ⋅⋅ gg ⋅⋅ RR == ⋅⋅ ⋅⋅ ++ 00 ⇒⇒ == ⇒⇒ == 1010ΚΚΑΑ UUAA KKΓΓ UUΓΓ mm11

11

22mm11 uu22

oo uuoo 22 ⋅⋅ gg ⋅⋅ RR‾‾ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√√ uuoo

mm

ss


⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

ΓΓ →→ ΔΔ(( ))mm11

−− == ⇒⇒ ⋅⋅ ⋅⋅ −− ⋅⋅ ⋅⋅ == −−μμ ⋅⋅ ⋅⋅ gg ⋅⋅ ⇒⇒ == 88KKΔΔ ΚΚΓΓ WWTT

11

22mm11 uu22

11

11

22mm11 uu22

oo mm11 SS11 uu11

mm

ss


⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

ΣΣFF == mm ⋅⋅ αα ⇒⇒ TT == mm ⋅⋅ αα ⇒⇒ μμ ⋅⋅ mm ⋅⋅ gg == mm ⋅⋅ αα ⇒⇒ αα == 55mm

ss22



α) α)

Τα Τα , , συγκρούονται στο Δ κεντρικά και ελαστικά. Από ΑΔΟ και ΔΚΕ προκύπτει: συγκρούονται στο Δ κεντρικά και ελαστικά. Από ΑΔΟ και ΔΚΕ προκύπτει:

β) β)

ΑΔΟΑΔΟ

ΔΚΕΔΚΕ

Αντικαθιστώντας την προηγούμενη σχέση φτάνουμε στην δευτεροβάθμιαΑντικαθιστώντας την προηγούμενη σχέση φτάνουμε στην δευτεροβάθμια

== ⋅⋅ tt −− ⋅⋅ αα ⋅⋅ ⇒⇒ 55 ⋅⋅ −− 2020 ⋅⋅ tt ++ 7.27.2 == 00SS11 uuoo

11

22tt22 tt22

tt == == {{2020 ±± 1616

1010

0.40.4

3.63.6,, ααπποορρρρίίππττεεττααιι

== −− αα ⋅⋅ tt ⇒⇒ == 88uu11 uuoo uu11

mm

ss


⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

mm11 mm22

== == −−1010 ⇒⇒ || || == 1010uu′′11

22 ⋅⋅ ((−− )) ++ (( −− )) ⋅⋅mm22 uu22 mm11 mm22 uu11

++mm11 mm22

mm

ssuu′′

11

mm

ss

== == ++22 ⇒⇒ || || == 22uu′′22

22 ⋅⋅ ++ (( −− )) ⋅⋅ ((−− ))mm11 uu11 mm22 mm11 uu22

++mm11 mm22

mm

ssuu′′

22

mm

ss


⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

== ⇒⇒ ⋅⋅ −− ⋅⋅ == −− ⋅⋅ ++ ⋅⋅ ⇒⇒ == 44 ++ 33 ⋅⋅ppππρριινν→→

ppμμεεττάά→→

mm11 uu11 mm22 uu22 mm11 uu′′11

mm22 uu′′22

uu′′11

uu′′22

⋅⋅ ⋅⋅ ++ ⋅⋅ ⋅⋅ == ⋅⋅ ⋅⋅ ++ ⋅⋅ ⋅⋅ ⇒⇒ 112112 == ++ 33 ⋅⋅11

22mm11 uu22

11

11

22mm22 uu22

22

11

22mm11 uu′′22

11

11

22mm22 uu′′22

22uu′′22

11uu′′22

22



οπότεοπότε

Γ3Γ3

μάζα μάζα

Γ4Γ4

Το ποσοστό επι τοις εκατό της μεταβολής της κινητικής ενέργειας του Το ποσοστό επι τοις εκατό της μεταβολής της κινητικής ενέργειας του κατά την κρούση είναι: κατά την κρούση είναι:

Θέμα ΔΘέμα Δ

ΒΓ Λείο κεκλιμένο δάπεδο με γωνία κλίσης ΒΓ Λείο κεκλιμένο δάπεδο με γωνία κλίσης

σώμα μάζας σώμα μάζας

σταθερά ελατηρίου σταθερά ελατηρίου

μάζα κυλίνδρου μάζα κυλίνδρου

ακτίνα κυλίνδρου ακτίνα κυλίνδρου

++ 22 ⋅⋅ −− 88 == 00uu′′2222

uu′′22

== == {{uu′′22

−−22 ±± 66

22

22

−−44,, ααπποορρρρίίππττεεττααιι

== 44 ++ 33 ⋅⋅ ⇒⇒ == 1010uu′′11

uu′′22

uu′′11

mm

ss

== 33kkggmm22

== −− == ++ ((−− ))ΔΔPP22

→→PP22ττεελλ

→→PP22ααρρχχ

→→PP22ττεελλ

→→PP22ααρρχχ

→→

ΔΔ == ⋅⋅ −− ((−− ⋅⋅ )) == ⋅⋅ (( ++ )) ⇒⇒ ΔΔ == 1818kkgg ⋅⋅PP22 mm22 uu′′22

mm22 uu22 mm22 uu′′22

uu22 PP22

mm

ss

mm11

ΠΠ((%%)) == ⋅⋅ 100100%% == ⋅⋅ 100100%% == (( −− 11)) ⋅⋅ 100100%% == 56.2556.25%%ΔΔΚΚ11

ΚΚ11ααρρχχ

⋅⋅ ⋅⋅ (( −− ))11

22mm11 uu 22′

′

11uu22

11

⋅⋅ ⋅⋅11

22mm11 uu22

11

uu 22′′

11

uu2211

φφ == 3030οο

mm == 11kkgg

kk == 100100 NN

mm

ΜΜ == 22kkgg

RR == 0.10.1mm



ροπή αδράνειας ροπή αδράνειας

σταθερά σταθερά

Δ1Δ1

Ο κύλινδρος ισορροπείΟ κύλινδρος ισορροπεί

(3ος Ν. Νεύτωνα, νήμα αβαρές μη εκτατό) (3ος Ν. Νεύτωνα, νήμα αβαρές μη εκτατό)

m ισορροπείm ισορροπεί

ΆραΆρα

Δ2Δ2

== ⋅⋅ MM ⋅⋅IIccmm11

22RR22

gg == 1010 mm

ss22

ΣΣ == 00 ⇒⇒ ++ −− MM ⋅⋅ gg ⋅⋅ ηημμφφ == 00FFxx TT ′′ TTσσττ

ΣΣττ == 00 ⇒⇒ ⋅⋅ RR −− RR == 00TT ′′ TTσσττ

22 == MM ⋅⋅ gg ⋅⋅ ηημμφφ ⇒⇒ == 55NNTT ′′ TT ′′

== ΤΤΤΤ′′

−− mm ⋅⋅ gg ⋅⋅ ηημμφφ −− ΤΤ == 00FFεελλ

== kk ⋅⋅ ΔΔllFFεελλ

ΔΔll == == 0.10.1mmmm ⋅⋅ gg ⋅⋅ ηημμφφ ++ ΤΤ

kk



Αφού κοπεί το νήμα τo m εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με θέση ισορροπίας το ΟΑφού κοπεί το νήμα τo m εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με θέση ισορροπίας το Ο

Για την Για την

Την Την το το βρίσκεται στο Γ με βρίσκεται στο Γ με άρα το πλάτος ταλάντωσης είναι: άρα το πλάτος ταλάντωσης είναι:

Η χρονική συνάρτηση της απομάκρυνσης του σώματος από την θέση ισορροπίας είναιΗ χρονική συνάρτηση της απομάκρυνσης του σώματος από την θέση ισορροπίας είναι

Tην Tην ::

DD == kk == mm ⋅⋅ ⇒⇒ ωω == 1010ωω22 rr

ss

ΘΘΙΙ((OO)) ::

−− mm ⋅⋅ gg ⋅⋅ ηημμφφ == 00 ⇒⇒ kk ⋅⋅ −− mm ⋅⋅ gg ⋅⋅ ηημμφφ == 00 ⇒⇒ == 0.050.05mmFFεελλ((οο)) xx11 xx11

tt == 00 mm uu == 00

ΑΑ == ΔΔll −− ⇒⇒ AA == 0.050.05mmxx11

== −−ΑΑxxΓΓ

xx == AA ⋅⋅ ηημμ((ωω ⋅⋅ tt ++ ))φφοο

tt == 00

−−ΑΑ == ΑΑ ⋅⋅ ηημμ ⇒⇒ ηημμ == ηημμ ⇒⇒ == 22kkππ ++φφοο φφοο

33ππ

22φφοο

33ππ

22

00 ≤≤ φφοο << 22ππ



Άρα Άρα

Επομένως Επομένως στο στο

α) α)

β) β)

Δ3Δ3

Μόλις κοπεί το νήμα ο κύλινδρος εκτελεί κύλιση χωρίς ολίσθηση στο κεκλιμένο δάπεδο ΓΔ. Το σώμα αφούΜόλις κοπεί το νήμα ο κύλινδρος εκτελεί κύλιση χωρίς ολίσθηση στο κεκλιμένο δάπεδο ΓΔ. Το σώμα αφού

εκτελέσει Ν περιστροφές έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα εκτελέσει Ν περιστροφές έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ..

Η στροφορμή που θα έχει ο κύλινδρος θα είναιΗ στροφορμή που θα έχει ο κύλινδρος θα είναι

Για την εύρεση του ω:Για την εύρεση του ω:

α) α)

Κύλιση χωρίς ολίσθηση Κύλιση χωρίς ολίσθηση η τριβή δεν μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της αφού κάθε στιγμή ασκείται σε η τριβή δεν μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της αφού κάθε στιγμή ασκείται σε

διαφορετικό σημείο του κυλίνδρου δηλαδή είναι διαφορετικό σημείο του κυλίνδρου δηλαδή είναι στατική τριβή.στατική τριβή.

Στην παραπάνω κίνηση διατηρείται η μηχανική ενέργεια του κυλίνδρουΣτην παραπάνω κίνηση διατηρείται η μηχανική ενέργεια του κυλίνδρου

άρα άρα

φφοο == rraadd33ππ

22

xx == 0.050.05ηημμ((1010tt ++ ))33ππ

22SSII


⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

== −−DD ⋅⋅ xx == −−100100 ⋅⋅ 0.050.05ηημμ((1010tt ++ )) ⇒⇒ == −−55 ⋅⋅ ηημμ((1010tt ++ ))((SSII ))FFεεππ

33ππ

22FFεεππ

33ππ

22


⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

== ΣΣFF == −− mm ⋅⋅ gg ⋅⋅ ηημμφφ == kk(( −− xx)) −− mm ⋅⋅ gg ⋅⋅ ηημμφφ == kk −− kkxx −− mm ⋅⋅ gg ⋅⋅ gg ⋅⋅ ηημμφφFFεεππ FFεελλ xx11 xx11

== −−kk ⋅⋅ xx ⇒⇒ == −−55 ⋅⋅ ηημμ((1010tt ++ ))((SSII ))FFεεππ FFεεππ

33ππ

22

ωω

ΝΝ == == ⇒⇒ ΔΔθθ == 2424rraadd1212

ππ

ΔΔθθ

22ππ

LL == ⋅⋅ ωωIIccmm

== MM ⋅⋅ == 0.010.01kkggIIccmm

11

22RR22 mm22


⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

→→

++ == ++ ⇒⇒ 00 ++ MM ⋅⋅ gg ⋅⋅ hh == (( ⋅⋅ MM ⋅⋅ ++ ⋅⋅ ⋅⋅ )) ++ 00ΚΚααρρχχ UUααρρχχ ΚΚττεελλ UUττεελλ

11

22uu22

ccmm

11

22IIccmm ωω22

hh == ⋅⋅ ηημμφφxxccmm

== ΔΔθθRRxxccmm

hh == 2424 ⋅⋅ 0.10.1 ⋅⋅ ⇒⇒ hh == 1.21.2mm11

22

== ωω ⋅⋅ RRuuccmm



αντικαθιστώντας έχουμεαντικαθιστώντας έχουμε

οπότεοπότε

β) β)

Μεταφορική:Μεταφορική:

Στροφική:Στροφική:

Κύλιση χωρίς ολίσθηση:Κύλιση χωρίς ολίσθηση:

ΆραΆρα

Δ4Δ4

για για

α) α)

22 ⋅⋅ 1010 ⋅⋅ 1.21.2 == ⋅⋅ 22 ⋅⋅ ⋅⋅ 0.010.01 ++ ⋅⋅ 0.010.01 ⋅⋅ ⇒⇒ ωω == 404011

22ωω22 11

22ωω22 rr

ss

LL == 0.010.01 ⋅⋅ 4040 ⇒⇒ LL == 0.40.4kkgg ⋅⋅ mm22

ss


⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

MM ⋅⋅ gg ⋅⋅ ηημμφφ −− == ΜΜ ⋅⋅ΤΤσσττ ααccmm

⋅⋅ RR == ⋅⋅ MM ⋅⋅ ⋅⋅ΤΤσσττ

11

22RR22 ααγγωωνν

== ⋅⋅ RRααccmm ααγγωωνν

ΜΜ ⋅⋅ gg ⋅⋅ ηημμφφ == ⋅⋅ MM ⋅⋅ ⇒⇒ ==33

22ααccmm ααccmm

1010

33

mm

ss22

==ααγγωωνν

100100

33

rr

ss22

ΔΔθθ == ⋅⋅ ⋅⋅ ⇒⇒ tt == 1.21.2ss11

22ααγγωωνν tt22

ωω == ⋅⋅ tt == 4040ααγγωωνν

rr

ss

== 33sstt ′′


⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

== ++ == ΣΣFF ⋅⋅ ++ ΣΣττ ⋅⋅ ωω == ΜΜ ⋅⋅ ⋅⋅ ++ II ⋅⋅ ⋅⋅ ωωddKK

ddtt

ddKK

ddtt μμεεττ

ddKK

ddtt ππεερρuuccmm ααccmm uuccmm ααγγωωνν



β) β)

ΚΧΟ:ΚΧΟ:

άραάρα

γ) γ)

Αφού Αφού

Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας είναι:Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας είναι:

και για και για

δ) δ)

== ΜΜ ⋅⋅ ⋅⋅ ++ II ⋅⋅ ⋅⋅ == 100100ddKK

ddttαα22

ccmm tt ′′ αα22γγωωνν tt ′′ JJ

ss


⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

== ++ == (( −− )) ⋅⋅ ++ (( ⋅⋅ RR)) ⋅⋅ ωωddKK

ddtt

ddKK

ddtt μμεεττ

ddKK

ddtt ππεερρWWxx TTσσττ uuccmm TTσσττ

== ωω ⋅⋅ RRuuccmm

== ⋅⋅ −− ++ == ⋅⋅ ⇒⇒ == 100100ddKK

ddttWWxx uuccmm TTσσττ uuccmm TTσσττ uuccmm WWxx uuccmm

ddKK

ddtt

JJ

ss


⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

ΚΚ == ⋅⋅ MM ⋅⋅ ++ ⋅⋅ II ⋅⋅ == ⋅⋅ MM ⋅⋅ ⋅⋅ ++ ⋅⋅ ⋅⋅ MM ⋅⋅ == ⋅⋅ MM ⋅⋅11

22uu22 11

22ωω22 11

22ωω22 RR22 11

22

11

22RR22 ωω22 33

44RR22 ωω22

ωω == ⋅⋅ ttααγγωωνν

KK == ⋅⋅ MM ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ == ⋅⋅ ((SSII ))33

44RR22 αα22

γγωωνν tt22 100100

66tt22

== ⋅⋅ 22 ⋅⋅ tt == ⋅⋅ tt((SSII ))ddKK

ddtt

100100

66

100100

33

tt == 33ss

== 100100ddKK

ddtt

JJ

ss


⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯



Έστω Έστω το σημείο επαφής του κυλίνδρου με το κεκλιμένο επίπεδο. Θεωρούμε στιγμιαίο άξονα περιστροφής το σημείο επαφής του κυλίνδρου με το κεκλιμένο επίπεδο. Θεωρούμε στιγμιαίο άξονα περιστροφής

οριζόντιο που διέρχεται από το σημείο Α. Ο κύλινδρος εκτελεί μόνο περιστροφική κίνηση γύρω από τονοριζόντιο που διέρχεται από το σημείο Α. Ο κύλινδρος εκτελεί μόνο περιστροφική κίνηση γύρω από τον

στιγμιαίο άξονα περιστροφής.στιγμιαίο άξονα περιστροφής.

Θεώρημα παραλλήλων αξόνωνΘεώρημα παραλλήλων αξόνων

Μπορείτε να εκτυπώσετε τις λύσεις σε μορφή pdf από Μπορείτε να εκτυπώσετε τις λύσεις σε μορφή pdf από εδώεδώ και τα θέματα από και τα θέματα από εδώεδώ

ΑΑ

== ++ MM ⋅⋅ ⇒⇒ == ⋅⋅ MM ⋅⋅ ++ MM ⋅⋅ ⇒⇒ == ⋅⋅ MM ⋅⋅ΙΙΑΑ ΙΙccmm RR22 IIAA

11

22RR22 RR22 IIAA

33

22RR22

ΣΣττ == ⋅⋅ ⇒⇒ MM ⋅⋅ gg ⋅⋅ ηημμφφ ⋅⋅ RR == ⋅⋅ MM ⋅⋅ ⋅⋅ ⇒⇒ ==ΙΙΑΑ ααγγωωνν

33

22RR22 ααγγωωνν ααγγωωνν

100100

33

rraadd

ss22

== ΣΣττ ⋅⋅ ωω == ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ tt == ⋅⋅ MM ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ tt ⇒⇒ == 100100ddKK

ddttΙΙΑΑ ααγγωωνν ααγγωωνν

33

22RR22 αα22

γγωωνν

ddKK

ddtt

JJ

ss

← Previous← Previous ArchiveArchive Next →Next →

http://localhost:4000/assets/m2016.pdf

http://localhost:4000/assets/Themata2016.pdf

http://127.0.0.1:4000/%CE%AC%CF%83%CE%BA%CE%B7%CF%83%CE%B7/2016/04/22/janthopoulos-2016

http://127.0.0.1:4000/archive.html

http://127.0.0.1:4000/%CE%AC%CF%83%CE%BA%CE%B7%CF%83%CE%B7/2016/06/25/panelladikes-esperina-2016

ΜΜοορριιοοδδόόττηησσηη 220011664stem.github.io/assets/m2016.pdf · vv vv vv...

Documents

Transcript of ΜΜοορριιοοδδόόττηησσηη 220011664stem.github.io/assets/m2016.pdf · vv vv vv...