Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία...

387
Δρ. Σάλτας Βασίλειος Καβάλα 2011 Μαθηματικά Ι Βοήθημα για λύση ασκήσεων Μέρος 1 ο 1. Συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής 2. Όριο συνάρτησης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής 3. Συνέχεια συνάρτησης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής 4. Παράγωγος συνάρτησης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής 5. Εφαρμογές παραγώγου συνάρτησης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής

Transcript of Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία...

Page 1: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Δρ. Σάλτας Βασίλειος

Καβάλα 2011

Μαθηματικά Ι

Βοήθημα για λύση ασκήσεων

Μέρος 1ο1. Συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής

2. Όριο συνάρτησης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής

3. Συνέχεια συνάρτησης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής

4. Παράγωγος συνάρτησης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής

5. Εφαρμογές παραγώγου συνάρτησης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής

Page 2: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 1

Περιεχόμενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ......................................3 1.1. Εισαγωγή.......................................................................................................................................3 1.2. Βασικές αρχές συναρτήσεων ........................................................................................................3

1.2.2. Βασικές συναρτήσεις .............................................................................................................4 1.2.3. Γραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων .....................................................................6 1.2.4. Πράξεις με συναρτήσεις μιας μεταβλητής ...........................................................................12 1.2.5. Βασικές ιδιότητες συναρτήσεων μιας μεταβλητής ..............................................................13 1.2.6. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση ...................................................................19

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο: ΌΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ.......................28 2.1. Εισαγωγή.....................................................................................................................................28 2.2. Πεπερασμένο όριο συνάρτησης μιας μεταβλητής.......................................................................29

2.2.1. Βασικές έννοιες και ορισμοί ................................................................................................29 2.2.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση ...................................................................33

2.3. Επέκταση της έννοιας όριο συνάρτησης .....................................................................................35 2.3.1. Βασικές έννοιες και ορισμοί ................................................................................................35 2.3.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση ...................................................................40

2.4. Δύο χαρακτηριστικά όρια ...........................................................................................................41 2.4.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση ...................................................................41

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ..............44 3.1. Εισαγωγή.....................................................................................................................................44 3.2. Βασικοί ορισμοί και έννοιες συνεχών συναρτήσεων ..................................................................44 3.3. Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων ................................................................................................47 3.4. Συνέχεια βασικών συναρτήσεων.................................................................................................47 3.5. Βασικά θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων ................................................................................48 3.6. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση ..........................................................................50

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4Ο: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ .........54 4.1. Εισαγωγή.....................................................................................................................................54 4.2. Βασικές έννοιες και ορισμοί παραγώγου συνάρτησης................................................................55

4.2.1. Ορισμός της παραγώγου συνάρτησης..................................................................................55 4.2.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση ...................................................................57

4.3. Γεωμετρική ερμηνεία της έννοιας παράγωγος συνάρτησης........................................................58 4.3.1. Γεωμετρική απεικόνιση της παραγώγου συνάρτησης .........................................................58 4.3.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση ...................................................................58

4.4. Εφαρμογή της παραγώγου συνάρτησης ......................................................................................59 4.4.1. Ρυθμός μεταβολής ...............................................................................................................59 4.4.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση ...................................................................60

4.5. Βασικοί κανόνες παραγώγισης....................................................................................................61 4.6. Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ............................................................................................62

4.6.1. Υπολογισμός παραγώγων βασικών συναρτήσεων...............................................................62 4.6.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση ...................................................................63

4.7. Διαδοχική παραγώγιση................................................................................................................66 4.7.1. Βασικές έννοιες και ορισμοί ................................................................................................66 4.7.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση ...................................................................67

4.8. Διαφορικό συνάρτησης ...............................................................................................................70 4.8.1. Βασικές έννοιες και ορισμοί ................................................................................................70 4.8.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση ...................................................................70

4.9. Διαφορικό μεγαλύτερης δύναμης................................................................................................71 4.9.1. Βασικές έννοιες και ορισμοί ................................................................................................71 4.9.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση ...................................................................71

Page 3: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

2 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5Ο: ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ..........74 5.1. Τοπικά ακρότατα και σχετικά θεωρήματα ..................................................................................74

5.1.1. Βασικές έννοιες, ορισμοί και θεωρήματα ............................................................................74 5.1.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση ...................................................................76

5.2. Απροσδιόριστες μορφές ..............................................................................................................78 5.2.1. Θεωρήματα De L’ Hospital – Bernoulli ..............................................................................78 5.2.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση ...................................................................80 Άσκηση 1: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα όρια: ..........................................................................80

5.3. Τύπος Taylor ...............................................................................................................................85 5.3.1. Βασικά θεωρήματα ..............................................................................................................85 5.3.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση ...................................................................86

5.4. Ικανές συνθήκες για τοπικό ακρότατο ........................................................................................87 5.4.1. Κανόνες εύρεσης τοπικών ακρότατων.................................................................................87 5.4.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση ...................................................................88

5.5. Κυρτότητα και σημεία καμπής συνάρτησης ...............................................................................91 5.5.1. Βασικές έννοιες, ορισμοί και θεωρήματα ............................................................................91 5.5.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση ...................................................................92

5.6. Μελέτη συνάρτησης....................................................................................................................93 5.6.1. Ασύμπτωτες συνάρτησης.....................................................................................................93 5.6.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση ...................................................................94

Page 4: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 3

Κεφάλαιο 1ο: Συνάρτηση μιας μεταβλητής

1.1. Εισαγωγή Η έννοια της συναρτησιακής εξάρτησης είναι από τις βασικότερες στα

μαθηματικά. Είναι μία από τις έννοιες που παίζουν βασικό ρόλο στις διάφορες μαθηματικές εφαρμογές.

Στο κεφάλαιο αυτό, αφού οριστεί λεπτομερειακά η έννοια συνάρτηση και α-φού γίνει σχετική αναφορά σε ειδικές περιπτώσεις συναρτήσεων, θα οριστούν οι έν-νοιες όριο, συνέχεια και παράγωγος συνάρτησης μιας μεταβλητής, έννοιες που θα παίξουν βασικό ρόλο στην περαιτέρω ανάπτυξη του βοηθήματος αυτού.

1.2. Βασικές αρχές συναρτήσεων 1.2.1. Ορισμός συνάρτησης

Ορισμός 1: Έστω ότι δίνονται δύο σύνολα Α και Β με πραγματικά στοιχεία. Κάθε απεικόνιση f του συνόλου Α στο σύνολο Β λέγεται συνάρτηση με πεδίο, ορισμού το σύνολο Α και πεδίο τιμών το Β. Με άλλα λόγια, κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχεί σε ένα και μόνο στοιχείο του συνόλου Β.

Αν x είναι τυχαίο στοιχείο του συνόλου Α και y είναι η αντιστοίχησή του, με τη βοήθεια της f, που ανήκει στο σύνολο Β, γράφεται y=f(x). Το γράμμα x λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το y λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή.

Η προαναφερόμενη απεικόνιση συμβολίζεται ως εξής:

f:A→B ή x→ f(x) ή x→y

Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x) επικρατεί να συμβολίζεται με Df. Το πεδίο τιμών της Β συμβολίζεται με f(A) και ισούται με:

f(A)=y/y=f(x), για κάποιο x∈Df

Έτσι, όταν ορίζεται μία συνάρτηση πρέπει να δίνονται τα ακόλουθα: το σύνολο Α, στο οποίο ορίζεται, δηλαδή το πεδίο ορισμού, ο κανόνας – τύπος με βάση τον οποίο για κάθε x του συνόλου Α αντιστοιχεί μοναδική τιμή f(x), το σύνολο των οποίων είναι το πεδίο τιμών Β της συνάρτησης f(x).

Σε αρκετές περιπτώσεις και σκόπιμα, η συνάρτηση γράφεται με μαθηματική έκφραση, χωρίς να αναφέρεται το πεδίο ορισμού της. Στην περίπτωση αυτή, θεωρεί-ται, ότι η συνάρτηση ορίζεται για κάθε πραγματικό αριθμό x, για τον οποίο έχει νόημα η αναγραφόμενη μαθηματική έκφραση.

Ορισμός 2: Έστω μία συνάρτηση F(x) με πεδίο ορισμού Μ. Αν κάθε τιμή μιας συνάρτησης f(t) ανήκει στο σύνολο Μ, όπως και αν επιλεγεί το t από το πεδίο ορισμού της f(t), ο συμβολισμός

F(f(t))

έχει νόημα. Η τιμή της έκφρασης αυτής είναι μοναδικά ορισμένη για κάθε επιλογή του t από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(t). Με τον τρόπο αυτό, αν θέσουμε

φ(t)=F(f(t)),

Page 5: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο ίδιο σύνολο, όπως και η f(t). Η συνάρτηση που λαμβάνεται με τον τρόπο αυτό λέγεται σύνθετη συνάρ-τηση. 1.2.2. Βασικές συναρτήσεις

Ορισμός 3: Βασική συνάρτηση f(x) λέγεται η συνάρτηση της ακόλουθης μορφής:

1. Δυναμοσυνάρτηση:: f(x)=xm, m∈Ν. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής είναι: Df=R, ενώ το πεδίο τιμών της είναι το R.

2. Εκθετική συνάρτηση: f(x)=ax, 0<a≠ 1. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυ-τής είναι: Df=R, ενώ το πεδίο τιμών της είναι το *R+ .

3. Λογαριθμική συνάρτηση: f(x)=logax, 0<a≠ 1. Το πεδίο ορισμού της συνάρ-τησης αυτής είναι: Df= *R+ , ενώ το πεδίο τιμών της είναι το R.

4. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις: i. f(x)=ημx. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής είναι: Df=R,

ενώ το πεδίο τιμών της είναι το 1 ( ) 1f x− ≤ ≤ ή Β=y∈R: -1≤ y≤ 1.

ii. f(x)=συνx. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής είναι: Df=R, ενώ το πεδίο τιμών της είναι το 1 ( ) 1f x− ≤ ≤ ή Β=y∈R: -1≤ y≤ 1.

iii. f(x)=εφx. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής είναι:

Df=x∈R/x≠ (2κ+1)2π , κ∈Ζ, ενώ το πεδίο τιμών της είναι το

σύνολο των πραγματικών αριθμών R.

iv. f(x)=σφx. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής είναι: Df=x∈R/x≠ κπ, κ∈Ζ, ενώ το πεδίο τιμών της είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών R.

Ορισμός 4: Μία συνάρτηση λέγεται αλγεβρική, αν οι τιμές αυτής λαμβάνο-νται αφού εκτελεστεί πεπερασμένος αριθμός αλγεβρικών πράξεων (πρόσθεση, αφαί-ρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση, δύναμη και ρίζα) σχετικών με την ανεξάρτητη με-ταβλητή x και τους τυχόν σταθερούς όρους.

Ορισμός 5: Οι αλγεβρικές συναρτήσεις λέγονται ρητές, όταν στην ανεξά-ρτητη μεταβλητή x δεν εφαρμόζεται ρίζα.

Ορισμός 6: Στην περίπτωση που η μεταβλητή x είναι υπόριζη ποσότητα, τότε οι αλγεβρικές συναρτήσεις λέγονται άρρητες και είναι της μορφής:

1 2n n-1 2 1 0( ) a a +...+a a an nrf x x x x x−= + + + , an, an-1,…,a2, a1, a0∈R, n∈N, r∈N-0, 1.

Διακρίνονται δύο περιπτώσεις:

α) Ο αριθμός r να είναι ζυγός. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής είναι: Df=x∈R/ 1 2

n n-1 2 1 0a a +...+a a a 0n nx x x x−+ + + ≥ .

β) Ο αριθμός r να είναι μονός. Τότε το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών R.

Page 6: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 5

Ορισμός 7: Οι ρητές συναρτήσεις χωρίζονται σε δύο βασικές κατηγορίες:

i. Πολυωνυμικές συναρτήσεις της μορφής:

f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x+a0, an, an-1,…,a2, a1, a0∈R, n∈N.

Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής είναι όλο το σύνολο των πραγ-ματικών αριθμών R.

ii. Ρητές συναρτήσεις της μορφής: 1 2

n n-1 2 1 01 2

m m-1 2 1 0

a a +...+a a a( )+...+b

n n

m m

x x x xf xb x b x x b x b

+ + +=

+ + +,

an, an-1,…,a2, a1, a0∈R, bm, bm-1,…,b2, b1, b0∈R n,m∈N.

Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής είναι:

Df=x∈R/ 1 2m m-1 2 1 0+...+b 0m mb x b x x b x b−+ + + ≠

Σε όλες τις προαναφερόμενες περιπτώσεις, ο κανόνας για τον υπολογισμό του πεδίου ορισμού είναι σε απλή μορφή, με τη βοήθεια κάποιας μαθηματικής έκφρασης. Υπάρχει περίπτωση όπου η συνάρτηση f(x) αναγράφεται με περισσότερο πολύπλοκη μορφή, με τη χρήση δύο ή περισσοτέρων μαθηματικών εκφράσεων – υποσυναρτήσε-ων, με περιορισμό για τη μεταβλητή x, σε κάθε μία εκ των περιπτώσεων. Συναρτή-σεις της μορφής αυτής λέγονται πολύτιμες ή κλαδικές. Τέτοιες είναι για παράδειγμα συναρτήσεις όπως οι ακόλουθες δύο:

3, για 1( )

1, για 1x x

f xx

⎧ ≥ −= ⎨

− < −⎩,

2, για 2 0( ) 0, για 0

2, για 0 2

xg x x

x

− − ≤ <⎧⎪= =⎨⎪ ≤ <⎩

Ορισμός 8: Ο κανόνας, με τη βοήθεια του οποίου ορίζεται μία συνάρτηση, μπορεί να είναι και τέτοιος, ώστε για κάθε x του πεδίου ορισμού Α της συνάρτησης f(x), να αντιστοιχεί το ίδιο ακριβώς νούμερο c∈R, δηλαδή να είναι f(x)=c, ∀ x∈A. Η συνάρτηση αυτή λέγεται σταθερή.

Ορισμός 9: Έστω μία συνάρτηση f(x) με πεδίο ορισμού Α και Οxy το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Τότε το σύνολο των σημείων Μ(x, y) για τα οποία ισχύει f(x)=y λέγεται γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) και συμβολίζε-ται με Cf. Η y=f(x) λέγεται εξίσωση της γραφικής παράσταση της συνάρτησης f(x).

Page 7: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

6 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

-4 -2 2 4x

-5

5

10

y

-4 -2 2 4x

-5

5

10

y

-4 -2 2 4x

1

2

3

4

5

6

y

-4 -2 2 4x

5

10

15

20

y

1.2.3. Γραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων

i. f(x)=αx+β, Df=R, α, β∈R

a) α>0

b) α<0

c) α=0

ii. f(x)=αx2+βx+γ, Df=R, α∈R*, β ,γ∈R

a) α>0, Δ>0

Page 8: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 7

-4 -2 2 4x

5

10

15

20

25

y

-1 1 2 3 4 5x

2

4

6

8

y

-4 -2 2 4x

-20

-15

-10

-5

y

-4 -2 2 4x

-25

-20

-15

-10

-5

y

b) α>0, Δ<0

c) α>0, Δ=0

d) α<0, Δ>0

e) α<0, Δ<0

Page 9: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

8 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

-1 1 2 3 4 5x

-8

-6

-4

-2

y

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4

y

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4

y

-4 -2 2 4x

-20

-15

-10

-5

5

10

15

y

-4 -2 2 4x

-15

-10

-5

5

10

15

20y

f) α<0, Δ=0

iii. f(x)=αx3, Df=R, α∈R

a) α>0

b) α<0

iv. f(x)= ax

, Df=R*, α≠ 0

a) α>0

b) α<0

Page 10: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 9

2 4 6 8x

0.5

1

1.5

2

2.5

3

y

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5x

0.5

1

1.5

2

2.5

3

y

−2 π − 3 π2

−π π2π2

π 3π2

x

-1

-0.5

0.5

1

y

v. f(x)= x , Df=R+

vi. f(x)= | |x , Df=R

vii. f(x)=ημx με Df=R

−2 π − 3 π2

−π π2π2

π 3π2

x

-1

-0.5

0.5

1

y

viii. g(x)=συνx με Dg=R

Page 11: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

10 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

-2 -1 1 2x

1

2

3

4

y

-2 -1 1 2x

1

2

3

4

y

ix. h(x)=εφx με x≠ kπ+2π , k∈Z

−2π −3π2

−π π2π2

π 3 π2

x

-30

-20

-10

10

20

30

y

x. k(x)=σφx με x≠ kπ+π, k∈Z

−2π −3π2

−π π2π2

π 3 π2

x

-30

-20

-10

10

20

30

y

xi. f(x)=αx, Df=R, 0<α 1≠

a) α>1

b) 0<α<1

Page 12: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 11

1 2 3 4 5 6x

-10

-8

-6

-4

-2

2

y

1 2 3 4 5 6x

-2

2

4

6

8

10

y

xii. f(x)=logαx, Df= *R+ , 0<α 1≠

a) α>1

b) 0<α<1

Η γραφική παράσταση μιας πολύτιμης συνάρτησης f(x) με τύπο, για παρά-δειγμα:

2 , για 1( )

1, για 1x x

f xx

⎧ ≥ −= ⎨

< −⎩

φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα (Σχήμα 1):

Σχήμα 1

Επισημαίνεται επίσης, ότι κάθε γραμμή που σχεδιάζεται στο επίπεδο δεν είναι υποχρεωτικά και γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. Για παράδειγμα η γραμμή του σχήματος που ακολουθεί (Σχήμα 2) δεν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης, αφού για κάθε x του πεδίου ορισμού της δεν αντιστοιχεί ένα μόνο y, όπως απαιτεί και ο ορισμός της συνάρτησης. Για x0 αντιστοιχούν δύο διαφο-ρετικές τιμές y1 και y2 με y1=f(x0) και y2=f(x0). y

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2x

0.5

1

1.5

2

2.5

y

Page 13: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

12 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

y2

x΄ 0 x0 x

y1

Σχήμα 2

Τέλος μπορεί να ειπωθεί, ότι για να είναι μία γραμμή γραφική παράσταση κά-ποιας συνάρτησης f(x), δεν πρέπει να περιέχει διαφορετικά σημεία με την ίδια τετμημένη και διαφορετική τεταγμένη (το αντίθετο, δηλαδή διαφορετικά σημεία με διαφορετική τετμημένη και την ίδια τεταγμένη, μπορεί να ισχύει).

Το τελευταίο μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: «Αν μία ευθεία, η οποία είναι παράλληλη με την τεταγμένη y΄y, τέμνει δεδομένη γραμμή, τότε την τέμνει σε ένα και μόνο σημείο».

Η ιδιότητα αυτή ισχύει και αντίστροφα, δηλαδή: «Κάθε γραμμή, η οποία επαληθεύει την προαναφερόμενη ιδιότητα, αποτελεί γραφική παράσταση κάποιας συ-νάρτησης».

Ορισμός 10: Δύο συναρτήσεις f(x) και g(x) με πεδία ορισμού Df και Dg αντίστοιχα, λέγονται ίσες αν:

i. Έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α.

ii. Για κάθε x∈A, f(x)=g(x).

1.2.4. Πράξεις με συναρτήσεις μιας μεταβλητής

Έστω δύο συναρτήσεις f(x) και g(x) με πεδία ορισμού Df και Dg. Τότε ορίζο-νται τέσσερις συναρτήσεις s(x), d(x), h(x) και p(x) με τον ακόλουθο τρόπο:

i. Άθροισμα συναρτήσεων: s(x)=f(x)+g(x), Ds= Df∩Dg. ii. Διαφορά συναρτήσεων: d(x)=f(x)-g(x), Dd= Df∩Dg. iii. Γινόμενο συναρτήσεων: h(x)=f(x).g(x), Dh= Df∩Dg.

iv. Πηλίκο συναρτήσεων: p(x)= ( )( )

f xg x

, Dp= Df∩Dg, g(x)≠ 0.

Ορισμός 11: Αν f(x), g(x) είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α και Β αντίστοιχα, τότε η συνάρτηση

h(x)=(gof)(x)

λέγεται σύνθεση της f(x) με τη συνάρτηση g(x) και ισχύει h(x)=g(f(x)). Το πεδίο ορισμού της νέας συνάρτησης είναι το ακόλουθο: Dh=x∈Df / f(x)∈Dg.

Page 14: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 13

Ανάλογα, η συνάρτηση k(x)=(fog)(x) λέγεται σύνθεση της g(x) με τη συνάρ-τηση f(x) και ισχύει k(x)=f(g(x)). Το πεδίο ορισμού της νέας συνάρτησης είναι το α-κόλουθο: Dk=x∈Dg / g(x)∈Df. 1.2.5. Βασικές ιδιότητες συναρτήσεων μιας μεταβλητής

Πριν ακολουθήσουν κάποιοι βασικοί ορισμοί σχετικοί με τον όρο συνάρτηση, απαιτείται η αναφορά σε θεμελιώδεις ορισμούς της θεωρίας συνόλων και συγκεκρι-μένα οι ακόλουθοι επτά (από ορισμό 12 έως και 18):

Ορισμός 12: Ένα σύνολο Μ, αποτελούμενο από πραγματικούς αριθμούς λέγεται φραγμένο άνω, αν υπάρχει τέτοιος πραγματικός αριθμός b, ώστε για κάθε x που ανήκει στο Μ ισχύει x≤ b.

Ορισμός 13: Ο πραγματικός αριθμός b με την προαναφερόμενη ιδιότητα λέγεται άνω φράγμα του συνόλου Μ.

Ορισμός 14: Αν ένα σύνολο Μ αποτελούμενο από πραγματικούς αριθμούς εί-ναι φραγμένο άνω, τότε μεταξύ των άνω φραγμάτων του πάντα υπάρχει ένα μικρότε-ρο το οποίο λέγεται ακριβώς άνω φράγμα του συνόλου Μ και συμβολίζεται με supM.

Παράδειγμα: Το σύνολο Σ αποτελούμενο από όλους τους αρνητικούς αριθμούς είναι φραγμένο άνω, αφού κάθε αριθμός του συνόλου αυτού είναι μικρό-τερος του μηδενός. Το μηδέν είναι ένα άνω φράγμα του συνόλου Σ, αλλά όχι και το μοναδικό. Για παράδειγμα και ο αριθμός ένα είναι ένα άνω φράγμα του συνόλου Σ. Το μηδέν όμως είναι το μικρότερο άνω φράγμα, το ακριβώς άνω φράγμα, δηλαδή supΣ=0.

Ορισμός 15: Ένα σύνολο Μ, αποτελούμενο από πραγματικούς αριθμούς λέγεται φραγμένο κάτω, αν υπάρχει τέτοιος πραγματικός αριθμός a, ώστε για κάθε x που ανήκει στο Μ ισχύει a≤ x.

Ορισμός 16: Ο πραγματικός αριθμός a με την προαναφερόμενη ιδιότητα λέγεται κάτω φράγμα του συνόλου Μ.

Ορισμός 17: Αν ένα σύνολο Μ αποτελούμενο από πραγματικούς αριθμούς εί-ναι φραγμένο κάτω, τότε μεταξύ των κάτω φραγμάτων του πάντα υπάρχει ένα μεγαλύτερο το οποίο λέγεται ακριβώς κάτω φράγμα του συνόλου Μ και συμβολί-ζεται με infM.

Ορισμός 18: Όταν ένα σύνολο Μ είναι φραγμένο άνω και κάτω, τότε θα λέγεται φραγμένο και θα ισχύει: a≤x≤b.

Ορισμός 19: Μία συνάρτηση f(x) λέγεται φραγμένη άνω, αν το σύνολο των συναρτησιακών της τιμών, λαμβανόμενο ως σύνολο πραγματικών αριθμών, είναι φραγμένο άνω. Κάθε άνω όριο του συνόλου αυτού λέγεται ακριβώς άνω φράγμα της συνάρτησης αυτής.

Ορισμός 20: Μία συνάρτηση f(x) λέγεται φραγμένη κάτω, αν το σύνολο των συναρτησιακών της τιμών, λαμβανόμενο ως σύνολο πραγματικών αριθμών, είναι φραγμένο κάτω. Κάθε κάτω όριο του συνόλου αυτού λέγεται ακριβώς κάτω φράγμα της συνάρτησης αυτής.

Ορισμός 21: Αν μία συνάρτηση f(x) με πεδίο ορισμού το σύνολο Μ είναι φραγμένη άνω και κάτω, τότε θα λέγεται φραγμένη και συγκεκριμένα θα ισχύει: για κάθε x του πεδίου ορισμού Μ, υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί Α και Β για τους

Page 15: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

14 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

οποίους Α≤ f(x)≤Β. Ο αριθμός Α είναι το κάτω φράγμα της συνάρτησης f(x) ενώ ο Β είναι το άνω φράγμα της.

Παράδειγμα: Έστω η τριγωνομετρική συνάρτηση f(x)=ημx η οποία έχει για πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών R. Ισχύει, ότι: -1≤ημx≤ 1 και κατά συνέπεια για τη συνάρτηση f(x) θα ισχύει: -1≤ f(x)≤ 1. Έτσι ο αριθμός -1 είναι το κάτω φράγμα της συνάρτησης f(x) ενώ το 1 είναι το άνω φράγμα της και γενικότε-ρα η συνάρτηση f(x)=ημx είναι φραγμένη.

Ορισμός 22: Αν η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής [α, β] και αν από α≤ x1≤β, α<x2≤β και x1<x2, συνεπάγεται f(x1)≤ f(x2), τότε η συνάρτηση f(x) λέγεται αύξουσα στο διάστημα [α, β].

Ορισμός 23: Αν η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής [α, β] και αν από α≤ x1≤ β, α<x2≤β και x1<x2, συνεπάγεται f(x1)<f(x2), τότε η συνάρτηση f(x) λέγεται γνησίως αύξουσα στο διάστημα [α, β].

Ορισμός 24: Αν η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής [α, β] και αν από α≤ x1≤β, α<x2≤β και x1<x2, συνεπάγεται f(x1)≥ f(x2), τότε η συνάρτηση f(x) λέγεται φθίνουσα στο διάστημα [α, β].

Ορισμός 25: Αν η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής [α, β] και αν από α≤ x1≤ β, α<x2≤β και x1<x2, συνεπάγεται f(x1)>f(x2), τότε η συνάρτηση f(x) λέγεται γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [α, β].

Ορισμός 26: Αν η συνάρτηση f(x) είναι αύξουσα (ή γνησίως αύξουσα) ή φθί-νουσα (ή γνησίως φθίνουσα) σε κάποιο διάστημα [α,β], τότε λέγεται μονότονη (ή γνησίως μονότονη) στο διάστημα αυτό.

Ορισμός 27: Μία συνάρτηση f(x), ορισμένη σε ένα διάστημα [α,β], παρου-σιάζει μέγιστο (ή ολικό μέγιστο) στο σημείο x0, όταν ∀ x∈[α,β] ισχύει, ότι f(x)≤ f(x0).

Ορισμός 28: Μία συνάρτηση f(x), ορισμένη σε ένα διάστημα [α,β], παρου-σιάζει ελάχιστο (ή ολικό ελάχιστο) στο σημείο x0, όταν ∀ x∈[α,β] ισχύει, ότι f(x)≥ f(x0).

Θα μελετηθούν κάποιες βασικές περιπτώσεις συναρτήσεων – παραδειγμάτων ως προς τη μονοτονία, εξάγοντας ταυτόχρονα κάποια βασικά συμπεράσματα:

i. f(x) =x2, x∈[0,+∞ )

Για 0≤ x1<x2 συνεπάγεται, ότι 0≤ x12<x2

2 κατά συνέπεια 0≤ f(x1)<f(x2) και η συνάρτηση f(x)=x2 θα είναι γνησίως αύξουσα.

ii. f(x)=xα, x∈[0,+∞ ), α≠ 0 Για 0≤ x1<x2 και α>0, συνεπάγεται, ότι:

2 2 21 2 1 2

1 1 1

1 1 1 ( ) ( )a a

a a ax x x x x f x f xx x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞> ⇔ > ⇔ > ⇔ < ⇔ <⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ και κατά συνέπεια η

συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

Για 0≤ x1<x2 και α<0, συνεπάγεται, ότι:

Page 16: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 15

2 2 21 2 1 2

1 1 1

1 1 1 ( ) ( )a a

a a ax x x x x f x f xx x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞> ⇔ < ⇔ < ⇔ > ⇔ >⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ και κατά συνέπεια η

συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα.

iii. f(x)=αx, x∈R, α>0, α≠ 1

Για α>1, συνεπάγεται, ότι: 2

2 1 2 1 2 1

1

01 2 2 1 1 20 1 1 ( ) ( )

xx x x x x x

x

ax x x x a a a a a f x f xa

− −< ⇔ − > ⇔ > ⇔ > ⇔ > ⇔ > ⇔ < και

κατά συνέπεια η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

Για 0<α<1, συνεπάγεται, ότι: 2

2 1 2 1 2 1

1

01 2 2 1 1 20 1 1 ( ) ( )

xx x x x x x

x

ax x x x a a a a a f x f xa

− −< ⇔ − > ⇔ < ⇔ < ⇔ < ⇔ < ⇔ > και

κατά συνέπεια η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα.

iv. f(x) =ημx, x ,2 2π π⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦

Αν 1 22 2x xπ π

− ≤ < ≤ τότε 1 2

2 2 2x xπ π+

− < < και 2 102 2

x x π−< ≤ .

Από την τριγωνομετρική ισότητα 1 2 2 12 1 2

2 2x x x xx xημ ημ συν ημ+ −

− = ,

συνεπάγεται, ότι: 2 1 2 1 1 20 ( ) ( )x x x x f x f xημ ημ ημ ημ− > ⇔ > ⇔ < και κατά συνέ-

πεια η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ,2 2π π⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

.

v. f(x)=συνx, x [ ]0,π∈

Αν 1 20 x x π≤ < ≤ τότε 1 202

x x π+< < και 2 10

2x x π−

< < . Από την

τριγωνομετρική ισότητα 1 2 2 12 1 2 0

2 2x x x xx xσυν συν ημ ημ+ −

− = − < , συνεπά-γεται,

ότι: 2 1 2 1 1 20 ( ) ( )x x x x f x f xσυν συν συν συν− < ⇔ < ⇔ > και κατά συνέπεια η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [ ]0,π .

vi. f(x)=εφx, x ,2 2π π⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Αν 1 22 2x xπ π

− < < < τότε 2 10 x x π< − < . Από την τριγωνομετρική

ισότητα 2 1 2 1 1 2 2 12 1

2 1 1 2 1 2

( )0

x x x x x x x xx x

x x x x x xημ ημ ημ συν ημ συν ημ

εφ εφσυν συν συν συν συν συν

− −− = − = = > ,

συνεπάγεται, ότι: 2 1 2 1 1 20 ( ) ( )x x x x f x f xεφ εφ εφ εφ− > ⇔ > ⇔ < και κατά συνέ-

πεια η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ,2 2π π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Page 17: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

16 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

vii. f(x)=σφx, x ( )0,π∈ Αν 1 20 x x π< < < τότε 2 10 x x π< − < . Από την τριγωνομετρική ισότητα

2 1 1 2 2 1 2 12 1

2 1 1 2 1 2

( )0

x x x x x x x xx x

x x x x x xσυν συν ημ συν ημ συν ημ

σφ σφημ ημ ημ ημ ημ ημ

− −− = − = = − < , συνεπάγε-

ται, ότι: 2 1 2 1 1 20 ( ) ( )x x x x f x f xσφ σφ σφ σφ− < ⇔ < ⇔ > και κατά συνέπεια η συ-νάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ( )0,π .

Ορισμός 29: Αν το πεδίο ορισμού Df της συνάρτησης f(x) είναι συμμετρικό σχετικά με την αρχή 0, δηλαδή αν το x∈Df, τότε και το -x∈Df και αν για κάθε x∈Df ισχύει f(-x)=f(x), τότε η συνάρτηση f(x) λέγεται άρτια, ενώ αν f(-x)=-f(x), τότε η συνάρτηση f(x) λέγεται περιττή.

Ορισμός 30: Έστω το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x) να είναι το Df και η f(x) είναι τέτοια συνάρτηση ώστε να υπάρχει αριθμός Τ>0 με την ακόλουθη ιδιότητα: αν x∈Df, τότε x+T∈Df. Αν για κάθε x∈Df ισχύει, ότι: f(x+Τ)=f(x-T)=f(x), τότε η συνάρτηση f(x) λέγεται περιοδική με περίοδο Τ. Παρατηρήσεις

1) Μία συνάρτηση f(x) δεν είναι υποχρεωτικό να είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα.

2) Μία συνάρτηση f(x) δεν είναι υποχρεωτικό να είναι άρτια ή περιττή.

3) Αν Τ είναι η περίοδος μιας συνάρτησης f(x), τότε και 2Τ θα είναι περίοδος της κ.τ.λ.. Μία περιοδική συνάρτηση δεν είναι υποχρεωτικό να έχει τη μικρότερη περίοδο: η συνάρτηση f(x)=c, c∈R, έχει για περίοδο κάθε πραγματικό αριθμό Τ.

Ορισμός 31: Μία συνάρτηση f(x) με πεδίο ορισμού Df λέγεται 1-1 (ή «ένα προς ένα»), αν και μόνο αν, για οποιαδήποτε τιμή x1, x2∈Df ισχύει η συνεπαγωγή: αν x1≠ x2, τότε f(x1)≠ f(x2). Με τη μέθοδο της αντιθετοαντιστροφής η προαναφερόμενη συνεπαγωγή τροποποιείται με τον ακόλουθο τρόπο: αν f(x1)=f(x2), τότε x1=x2.

Ορισμός 32: Έστω μία συνάρτηση f:A→B. Αν η συνάρτηση αυτή είναι 1-1, τότε για κάθε στοιχείο y∈Β, υπάρχει μοναδικό x∈Α, για το οποίο f(x)=y. Κατά συνέπεια δύναται να οριστεί μία συνάρτηση g(y) με πεδίο ορισμού το Β και πεδίο τι-μών κάποιο τυχαίο σύνολο Γ. Για τη νέα αυτή συνάρτηση ισχύει g(y)=x και λέγεται αντίστροφη της συνάρτησης f(x). Συμβολίζεται με f -1(y).

Παρατηρήσεις:

1) Επισημαίνεται, ότι: f -1(f(x))=x, x∈A και f(f -1(y))=y, y∈B.

2) Μία συνάρτηση η οποία είναι γνησίως μονότονη σε κάποιό διάστημα, τότε η συνάρτηση αυτή θα είναι και αντιστρέψιμη, θα υπάρχει δηλαδή η αντί-στροφός της.

Παράδειγμα: Έστω η συνάρτηση f(x)=x2, με x [0, ]∈ +∞ . Αφού η συνάρτηση αυτή, όπως προαναφέρθηκε, είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0, ]+∞ , θα είναι και αντιστρέψιμη, με αντίστροφη τη συνάρτηση φ(y)= y , y [0, ]∈ +∞ . Πράγματι, το πεδίο τιμών Β της συνάρτησης f(x) είναι το διάστημα [0, ]+∞ και για

κάθε y [0, ]∈ +∞ ισχύει, ότι ( )2y y= .

Page 18: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 17

2 4 6 8x

20

40

60

80

y

2 4 6 8x

0.5

1

1.5

2

2.5

3

y

Επομένως συμπεραίνεται, ότι η συνάρτηση f(x) είναι αντιστρέψιμη και η φ(y) είναι η αντίστροφός της, ενώ η φ(y) από την πλευρά της είναι επίσης αντιστρέψιμε με τη συνάρτηση f(x) να είναι η αντίστροφή της.

Έτσι, όπως παρατηρήθηκε, μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση είναι αντιστρέ-ψιμη. Επίσης η αντίστροφή της φ(y) είναι επίσης γνησίως αύξουσα και αυτό για την ακόλουθη αιτία:

Έστω y1=f(x1) και y2=f(x2) με y1<y2. Τότε φ(y1)=x1 και φ(y2)=x2. Αν υποθέ-σουμε, ότι x1≥ x2, δύναται να λάβουμε f(x1)≥ f(x2), δηλαδή y1≥ y2, το οποίο δεν είναι ορθό. Άρα x1<x2, δηλαδή φ(x1)<φ(x2) και έτσι η συνάρτηση φ(y) θα είναι γνησίως αύξουσα.

Ομοίως αποδεικνύεται, ότι μία γνησίως φθίνουσα συνάρτηση έχει αντίστροφη η οποία είναι επίσης γνησίως φθίνουσα.

Επισημαίνεται, επίσης ότι αν φ(y) είναι η αντίστροφη δεδομένης συνάρτησης f(x), τότε προφανώς η γραφική της παράσταση θα προκύπτει, αν στη γραφική παρά-σταση της συνάρτησης f(x) γίνει αλλαγή των ρόλων των δύο αξόνων Οx και Oy. Αυτό υλοποιείται με τον ακόλουθο τρόπο: περιστρέφεται κατά 90ο το ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με φορά αντίστροφη απ’ αυτή των δειχτών του ρολογιού. Λαμβάνεται έτσι συμμετρικό σχήμα με άξονα συμμετρίας τον Οy.

Παράδειγμα: Για τη συνάρτηση f(x)=x2 με x≥ 0, υπολογίζεται η αντίστροφή της η οποία είναι η φ(x)= x , με γραφικές παραστάσεις αυτές των ακόλουθων δύο σχημάτων (Σχήμα 3 και Σχήμα 4).

Σχήμα 3

Σχήμα 4

Ακολουθούν κάποιες χαρακτηριστικές περιπτώσεις συναρτήσεων και η εύρε-ση της αντίστοιχης αντίστροφή της:

i. f(x)=αx, α>0, α≠ 1, x∈R Από τα προαναφερόμενα η συνάρτηση f(x)=αx είναι γνησίως αύξουσα για α>1

και γνησίως φθίνουσα αν 0<α<1. Κατά συνέπεια πάντα όταν α>0, α≠ 1 η f(x)=αx εί-ναι αντιστρέψιμη. Η αντίστροφής της είναι η συνάρτηση φ(x)=logαx. Η τελευταία συ-νάρτηση ορίζεται για x>0, αφού η f(x)=αx έχει ως πεδίο τιμών το διάστημα (0,+∞ ). Από τις ιδιότητες των αντίστροφων συναρτήσεων, λαμβάνονται οι ισότητες

log , 0a xa x x= > και log ,xa a x x R= ∀ ∈ .

Εκτός αυτού, άμεσα λαμβάνεται και ο ισχυρισμός, ότι η συνάρτηση φ(x)=logαx είναι γνησίως αύξουσα, αν α>1 και γνησίως φθίνουσα, αν 0<α<1.

f(x)=x2 f(x)= x

Page 19: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

18 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

ii. f(x)=ημx, x ,2 2π π⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦

Είδαμε επίσης, ότι η συνάρτηση f(x)=ημx, x ,2 2π π⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦

, είναι γνησίως

αύξουσα. Κατά συνέπεια θα είναι αντιστρέψιμη, με αντίστροφη τη συνάρτηση φ(x)=τοξημx και διαβάζεται «τόξο ημιτόνου x». Για τη συνάρτηση αυτή δύναται να λεχθεί, ότι: «τοξημx είναι η γωνία η οποία, σε ακτίνια, βρίσκεται στο διάστημα

,2 2π π⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

και έχει ημίτονο ίσο με x».

Επισημαίνεται, ότι αφού το πεδίο τιμών της f(x)=ημx είναι το διάστημα [-1,1], τότε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της θα είναι το διάστημα [-1,1].

Για την αντίστροφη συνάρτηση φ(x)=τοξημx της τριγωνομετρικής συνάρτη-σης f(x)=ημx, εξάγονται τα ακόλουθα συμπεράσματα:

1) Είναι ορισμένη στο διάστημα [-1,1].

2) Το πεδίο τιμών της είναι το διάστημα ,2 2π π⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

3) Είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [-1,1] 4) Ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες:

α) ημ(τοξημx)=x, -1≤ x≤ 1

β) τοξημ(ημx)=x, 2 2

xπ π− ≤ ≤

iii. f(x)=συνx, x∈[0,π] Η συνάρτηση f(x)=συνx είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [0,π].

Η αντίστροφή της είναι φ(x)=τοξσυνx και διαβάζεται «τόξο συνημίτονου x». Για τη συνάρτηση αυτή δύναται να λεχθεί, ότι: «τοξσυνx είναι αυτή η γωνία η οποία, σε ακτίνια, βρίσκεται στο διάστημα [0,π] και έχει συνημίτονο ίσο με x». Για τη συνάρ-τηση αυτή ισχύουν τα ακόλουθα:

1) Είναι ορισμένη στο διάστημα [-1,1]

2) Το πεδίο τιμών της είναι το διάστημα [0,π]

3) Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [-1,1]

4) Ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες:

α) συν(τοξσυνx)=x, -1≤ x≤ 1

β) τοξσυν(συνx)=x, 0 x π≤ ≤

iv. f(x)=εφx, x∈ ,2 2π π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

Ανάλογα, η συνάρτηση φ(x)=τοξεφx είναι η αντίστροφη της συνάρτησης f(x)=εφx και θα ισχύουν τα ακόλουθα:

1) Είναι ορισμένη στο διάστημα (-∞ ,∞ )

2) Το πεδίο τιμών της είναι το διάστημα ,2 2π π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

Page 20: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 19

3) Είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (-∞ ,∞ )

4) Ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες:

α) εφ(τοξεφx)=x, ∀ x∈(-∞ ,∞ )

β) τοξεφ(εφx)=x, 2 2

xπ π− < <

v. f(x)=σφx, x∈(0,π) Τέλος, η συνάρτηση φ(x)=τοξσφx είναι η αντίστροφη της συνάρτησης f(x)=σφx και θα ισχύουν τα ακόλουθα:

1) Είναι ορισμένη στο διάστημα (-∞ ,∞ )

2) Το πεδίο τιμών της είναι το διάστημα (0,π)

3) Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (-∞ ,∞ )

4) Ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες:

α) σφ(τοξσφx)=x, ∀ x∈(-∞ ,∞ ) β) τοξσφ(σφx)=x, 0<x<π

1.2.6. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Να υπολογιστεί η τιμή της συνάρτησης f(x)=1

xx

συνημ−

, για x=4π .

Λύση 2 2

4 2 2( ) ( ) ( ) ( )1 4 4 42 2 21 14 2 2

2( )4 2 2

xf x f f fx

f

πσυνσυν π π ππημ ημ

π

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔− −− −

⇔ =−

Άσκηση 2: Να υπολογιστεί η τιμή των ακόλουθων παραστάσεων:

2 3 3. . ημ τοξεφ 3 2 2 2

i iiεφ τοξσυν τοξημ τοξσυν⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Λύση

i. Από τα συν4π = 2

2, ημ

3π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠= -ημ

3π = - 3

2, λαμβάνεται, ότι: τοξσυν 2

2=

4π ,

τοξημ 32

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=3π

− και κατά συνέπεια:

Page 21: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

20 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

2 32 2 4 3 12

π π πεφ τοξσυν τοξημ εφ εφ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − = − = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

.

Αλλά 2 1 2 1 21 2 1 2

y yy yy y

συν συνεφ εφσυν συν

− −= ⇔ =

+ +. Κατά συνέπεια θα έχουμε, ότι:

1 2 3612 2 31

6

πσυνπεφ πσυν

− −− = − = −

++, από το οποίο συνεπάγεται, ότι:

2 3 2 32 2 2 3

εφ τοξσυν τοξημ⎡ ⎤⎛ ⎞ −

+ − = −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Άσκηση 3 Να υπολογιστούν, σε σχέση με το x, το ακόλουθο: ημ(τοξσυνx)

Λύση

Θέτουμε τοξσυνx=α, 0≤ α≤ π και κατά συνέπεια συνα=x, |x|≤ 1. Άρα ημ(τοξσυνx)=ημα⇔ ημ(τοξσυνx)= 21 aσυν− ⇔ ημ(τοξσυνx)= 21 x− .

Άσκηση 4: Να αποδειχτεί ότι εφx+τοξσφx=2π .

Λύση

Θέτουμε τοξεφx=a, 2π

− <a<2π και τοξσφx=b, 0<b<π. Τότε

− <a+b< 32π .

Αλλά εφa=x και σφa= 1x

, σφb=x και εφb= 1x

(x≠ 0).

Έτσι σφ(a+b)=

1 1a b-1 01a

xx

b xx

σφ σφσφ σφ

−= =

+ +

Επειδή η συνεφαπτομένη μηδενίζεται όταν η γωνία είναι 2π στο διάστημα

3,2 2π π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠, τότε a+b=

2π . Αν αντικατασταθούν τα a, b με τις αντίστοιχες ισότητες

που έχουμε θέσει, λαμβάνεται εφx+τοξσφx=2π , το οποίο ισχύει για x≠ 0.

Αν x=0 η τελευταία ισότητα δεν ισχύει. Άσκηση 5: Να αποδειχτεί, ότι:

2

22

2 , 01. , 1 1 . 2 , 011

x xx xi x x iix xxx

τοξεφτοξεφ τοξημ τοξσυν

τοξεφ≥⎧−

= − < < = ⎨− ≤+ ⎩−

Page 22: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 21

Λύση

i. Θέτουμε τοξημx=α. Τότε 2 2

aπ π− ≤ ≤ και ημα=x. Από το ότι x≠ 1 και x≠ -1

συνεπάγεται 2 2

aπ π− < < . Κατά συνέπεια:

2 2( )

1 1x a a a a x

ax aημ ημτοξεφ τοξεφ τοξεφ τοξεφ εφ τοξημ

συνημ= = = = =

− −.

ii. Θέτουμε τοξεφx=α. Τότε 2 2

aπ π− < < και εφα=x. Διακρίνονται οι εξής περιπτώ-

σεις:

α) Αν x≥ 0, τότε εφα≥ 0 και 0≤α≤2π⇔ 0≤ 2α≤ π. Οπότε:

2 2

2 2

1 11 1

x ax a

εφτοξσυν τοξσυνεφ

− −=

+ +.

Αλλά 2

2

121

yyy

εφσυνεφ

−=

+, οπότε

2

2

1 ( 2 ) 2 21

x a a xx

τοξσυν τοξσυν συν τοξεφ−= = =

+.

β) Αν x≤ 0, τότε εφα≤ 0 και 2π

− ≤α≤ 0⇔ -π≤ 2α≤ 0⇔ 0≤ -2α<π. Οπότε: 2 2

2 2

1 1 ( 2 )1 1

( ( 2 )) 2 2 .

x a ax a

a a x

εφτοξσυν τοξσυν τοξεφσυν συνεφ

τοξσυν συν τοξεφ

− −= = =

+ += − = − = −

Άσκηση 7: Να υπολογιστεί το πεδίο ορισμού των ακόλουθων συναρτήσεων:

2

2 2 3

3. ( ) . ( ) (log )7 12

1. ( ) (9 )( 4) 5 1 . ( ) log( )5

2 1. ( ) . ( )3

xi f x iv f x xx x

ii f x x x x v f x xx

xiii f x vi f x x

τοξσυν

τοξημ ημ

+= =

− +

= − − + − = − ++

−= =

1x

+

Λύση

i. x2-7x+12≠ 0⇔ x≠ 3 και x≠ 4. Οπότε Df=R-3, 4.

ii. (9-x2)(x2-4)≥ 0⇔ (3-x)(3+x)(x-2)(x+2)≥ 0

Page 23: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

22 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

x -∞ -3 -2 2 3

+∞

3-x + + + + -

3+x - + + + +

x-2 - - - + +

x+2 - - + + +

Γ - + - + -

Άρα Df=x∈R/ -3≤ x≤ -2 ή 2≤ x≤ 3.

iii. 2 11 1 3 2 1 3 2 2 4 1 23

x x x x−− ≤ ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ . Άρα το πεδίο ορισμού

της δεδομένης συνάρτησης θα είναι: Df=x∈R/ -1≤ x≤ 2.

iv. Πρέπει x>0 και -1≤ logx≤ 1⇔ log10-1≤ logx≤ log10⇔ 110

≤x≤ 10. Άρα

Df=x∈R/ 110

≤x≤ 10.

v. Πρέπει –x>0⇔ x<0 και x+5≠ 0⇔ x≠ -5. Άρα Df=x∈R/ x∈(-∞ ,-5)∪ (-5,0).

vi. Πρέπει x≠ 0 και ημx≥ 0⇔ 2κπ≤ x≤ (2κ+1)π, κ∈Ζ. Άρα το ζητούμενο πεδίο ορισμού θα είναι: Df=x∈R/2κπ≤ x≤ (2κ+1)π, κ∈Ζ και x≠ 0.

Άσκηση 8: Είναι ίσες οι ακόλουθες συναρτήσεις;

2 2

. ( ) και ( ) 1 . ( ) log και ( ) 2 log

. ( ) x και ( ) 1 . ( ) -1 και ( ) ( 1)

xi f x g x ii f x x g x xx

iii f x x g x iv f x x x g x x xημ συν

= = = =

= + = = = −

Λύση

i. Df=R-0 και Dg=R. Κατά συνέπεια, αφού Df≠ Dg οι δύο συναρτήσεις f(x) και g(x) δεν είναι ίσες.

ii. Df= *R+ , Dg= *R+ , άρα Df=Dg. Αλλά g(x)=2logx=logx2≠ f(x). Άρα οι δύο συ-ναρτήσεις f(x) και g(x) δεν είναι ίσες.

iii. Df=Dg=R και f(x)=ημ2x+συν2x=1=g(x). Άρα οι δύο συναρτήσεις f(x) και g(x) είναι ίσες.

iv. Df=x∈R/x≥ 1, Dg=x∈R/x∈(-∞ ,0]∪ [1,+ ∞ ). Κατά συνέπεια, αφού Df≠ Dg οι δύο συναρτήσεις f(x) και g(x) δεν είναι ίσες.

Άσκηση 10: Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=lnx και g(x)= x . Να υπολογι-

στούν οι συναρτήσεις:

i. h(x)=(gof)(x) ii. k(x)=(fog)(x)

Page 24: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 23

Λύση

Πρέπει x>0, επομένως Df= *R+ . Επίσης για τη δεύτερη συνάρτηση x≥0 επομένως Dg=R+. i. Dh=x∈Df / f(x)∈Dg= x∈ *R+ /lnx∈ R+= =x>0/lnx≥0= =x>0/lnx≥ ln1=x>0/x≥1, άρα το πεδίο ορισμού της συ-νάρτησης h(x) θα είναι το διάστημα [1,+∞ ) και ο δε τύπος της: h(x)=g(f(x))= ln x .

ii. Dk=x∈Dg /g(x)∈Df= x∈R+/ x ∈ *R+ =

=x≥0/ x >0= =x≥0/x>0, άρα το πεδίο ορισμού είναι το διάστημα (0,+∞ ). Ο δε τύπος της: k(x)=f(g(x))= ln x .

Άσκηση 11: Εξεταστεί ως προς τη μονοτονία η ακόλουθη συνάρτηση: f(x)=x2.

Λύση

Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης (ως πολυωνυμική) είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών R, Df=R. Διακρίνονται δύο περιπτώσεις:

i. Αν x1, x2∈[0, +∞ ). Τότε από x1<x2 συνεπάγεται, ότι f(x1)<f(x2) και κατά

συνέπεια η συνάρτηση f(x) είναι γνησίως αύξουσα.

ii. Αν x1, x2∈(-∞ ,0]. Τότε από x<x2 συνεπάγεται, ότι f(x1)>f(x2) και κατά συνέπεια η συνάρτηση f(x) είναι γνησίως φθίνουσα.

Άσκηση 12: Να ερευνηθεί αν η συνάρτηση f(x)=-x2+1 παρουσιάζει μέγιστο

στο xo=0. Λύση

Ισχύει, ότι f(xo)=f(0)=-02+1=1 και f(x)≤ f(0). Κατά συνέπεια στο xo=0 η συ-νάρτηση παρουσιάζει μέγιστο το f(0)=1.

Άσκηση 13: Να προσδιοριστεί το διάστημα όπου κάθε μία από τις ακόλουθες συναρτήσεις είναι μονότονη:

i. f(x)=ax+b ii. f(x)= 12

(ax+a-x), a>1

Λύση

i. Έστω x1<x2⇔ x2-x1>0, τότε f(x2)-f(x1)=(ax2+b)-(ax1+b)=a(x2-x1).

Για a>0 ισχύει, ότι: 0<f(x2)-f(x1)⇔ f(x2)>f(x1) και τότε η συνάρτηση f(x) θα είναι αύξουσα για κάθε x∈R.

Για a<0 ισχύει, ότι: 0>f(x2)-f(x1)⇔ f(x2)<f(x1) και τότε η συνάρτηση f(x) θα είναι φθίνουσα για κάθε x∈R.

ii. Έστω x1<x2, τότε θα ισχύουν τα ακόλουθα:

( ) ( )

( )

2 2 1 1 2 1

2 1

2 1

2 1

x -x x -x x x2 1 x x

x xx x

1 1 1 1 1( ) ( ) a a a a a -a2 2 2 a a

1 1a -a 12 a a

f x f x ⎛ ⎞− = + − + = + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Page 25: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

24 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Αλλά ax>1, για x>0 και 1 2x xa a< , για x1<x2, τότε 2 1x xa -a 0> και 2 1x x

11 0a a

− > .

Κατά συνέπεια f(x2)-f(x1)>0 για x>0 το οποίο δηλώνει ότι η συνάρτηση f(x) θα είναι αύξουσα για x>0.

Ανάλογα η συνάρτηση f(x) θα είναι φθίνουσα για x<0.

Άσκηση 14: Να εξεταστούν αν είναι άρτιες ή περιττές οι ακόλουθες συναρτήσεις:

( )

4 2

3

3

2

. f( )= x . f( )=

. f( )=2 2 . f( )= 51. f( )=x 2 1 . f( )=ημ

1. f( )=xημ . f( )=

1+2. f( )=

2

x x

x

x

xi x vi x

xii x vii x x x

iii x x viii xx

iv x ix x x xx

v x

−− + −

+ +

. f( )= xx x

Λύση

i. Df=R, για κάθε x∈R, - x∈R και f(-x)=|-x|=|x|=f(x). Άρα η συνάρτηση f(x) είναι άρ-τια.

ii. Df=R, για κάθε x∈R, - x∈R και f(-x)=2-x -2-(-x)=2-x-2x= -(2x-2-x)= - f(x). Άρα η συ-νάρτηση f(x) είναι περιττή.

iii. Df=R, για κάθε x∈R, - x∈R και f(-x)=(-x)3+2(-x)+1=-x3-2x+1( )

( )f x

f x⎧

≠ ⎨−⎩. Άρα η

συνάρτηση f(x) δεν είναι ούτε άρτια αλλά ούτε και περιττή. x. Df=R+. Κατά συνέπεια το πεδίο ορισμού δεν είναι συμμετρικό και έτσι ∀ x∈Df, -x∉Df. Οπότε η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια, αλλά ούτε και περιττή. Άσκηση 16: Να υπολογιστεί η περίοδος των ακόλουθων συναρτήσεων:

i. f(x)=συν2x iv. f(x)=ημx+ 15ημ2x+ 1

3ημ3x

ii. f(x)=συν 12

x − v. f(x)=2εφ2x -3εφ

3x

Λύση

i. f(x+T)=f(x)⇔ συν2(x+T)=συν2x⇔ 2x+2T=2κπ+2x⇔ T=κπ, κ∈Ζ. Για κ=1, Τ=π. ή 2x+2T=2κπ-2x⇔ T=κπ-2x, κ∈Ζ, το οποίο απορρίπτεται.

ii. f(x+T)=f(x)⇔ συν 12

x T+ − =συν1

2x −

⇔ 12

x T+ − =2κπ+1

2x −

⇔ x+T-1=4κπ+x-1⇔ T=4κπ, κ∈Ζ. Για κ=1, Τ=4π. ή

12

x T+ − =2κπ- 12

x − ⇔ x+T-1=4κπ-x+1⇔ Τ=4κπ-2x+2, το οποίο απορρίπτεται.

Άσκηση 17: Να εξεταστεί αν η συνάρτηση f(x)=2e3x-2 είναι «1-1».

Page 26: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 25

Λύση

Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x) είναι Df=R. Κατά συνέπεια: f(x1)=f(x2)

1 23 2 3 22 2x xe e− −= 1 23 2 3 2x xe e− −=

3x1-2=3x2-2 3x1=3x2

x1=x2, άρα η συνάρτηση f(x) είναι «1-1».

Άσκηση 18: Να αποδειχτεί, ότι οι συναρτήσεις: g(y)= y και g(y)= - y με πεδία ορισμού το διάστημα [0, +∞ ), είναι αντίστροφες της συνάρτησης f(x)=x2, με πεδίο ορισμού Df=R.

Λύση

Πρέπει αρχικά να ελεγχθεί αν η συνάρτηση f(x)=x2 είναι «1-1». Γι’ αυτό: f(x1)=f(x2)

x12=x2

2

x12-x2

2=0 (x1-x2)(x1+x2) =0

x1-x2=0, οπότε x1=x2 ή x1+x2=0, οπότε x1=-x2, το οποίο απορρίπτεται αφού x∈[0, +∞ ).

Κατά συνέπεια η συνάρτηση f(x) είναι «1-1», άρα δύναται να υπολογιστεί η αντίστροφή της και συγκεκριμένα: y=x2⇔ x= y ή x= - y . Άρα οι αντίστροφες

συναρτήσεις είναι: g(y)= y ή g(y)= - y . Άσκηση 19: Να υπολογιστεί η αντίστροφη συνάρτηση της f(x)=2e3-x-1.

Λύση

Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x) είναι Df=R. Αρχικά γίνεται έλεγχος αν η συνάρτηση f(x) είναι «1-1»:

f(x1)=f(x2) 1 23 32 1 2 1x xe e− −− = − 1 23 32 2x xe e− −=

1 23 3x xe e− −= 3-x1=3-x2 -x1=-x2 x1=x2, άρα η συνάρτηση f(x) είναι «1-1».

Κατά συνέπεια δύναται να βρεθεί η αντίστροφή της f -1(y) με τον ακόλουθο τρόπο:

y=2e3-x-1⇔ 2e3-x=y+1⇔ e3-x= 12

y +⇔ lne3-x=ln 1

2y +

⇔ (3-x)lne=ln 12

y +⇔

⇔ 3-x= ln 12

y +⇔ x=3-ln 1

2y + . Άρα f -1(y)= 3-ln 1

2y + , y>-1.

iii. Έστω x1, x2∈Df, με x1≠ x2. Τότε:

-x1≠ -x2 2-x1≠ 2-x2

1 22 2 2 2x x− ≠ − (4)

Page 27: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

26 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Ομοίως 1 27 7x x− + ≠ − + (5) και –x1≠ -x2 (6)

Αφού προστεθούν κατά μέλη οι σχέσεις (4), (5) και (6) λαμβάνεται ότι:

1 1 1 2 2 22 2 7 2 2 7x x x x x x− − + − ≠ − − + − και κατά συνέπεια f(x1)≠ f(x2), άρα η συνάρτηση f(x) είναι «1-1».

iv. Ισχύει, ότι -7≤ x≤ 2 και η συνάρτηση f(x) είναι γνησίως φθίνουσα, κατά συνέπεια: f(-7)≥ f(x)≥ f(2) οπότε -5≤ f(x)≤ 13. Άρα το f(2)=-5 είναι ελάχιστο, ενώ το f(-7) είναι μέγιστο για τη συνάρτηση f(x).

v. 2 2 7x x x− − + − +5=0⇔ f(x)+5=0⇔ f(x)= -5⇔ f(x)=f(2)⇔ x=2, αφού η συ-νάρτηση f(x) είναι «1-1».

Page 28: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 27

Page 29: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

28 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

−1π

−1

2 π1

2 π1π

x

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

y

Κεφάλαιο 2ο: Όριο συνάρτησης

μιας μεταβλητής 2.1. Εισαγωγή

Έστω η συνάρτηση 1( )f x xx

ημ= , η οποία για x=0 δεν ορίζεται. Τίθεται το

εξής ερώτημα: «Τι συμβαίνει με τη συναρτησιακή της τιμή όταν x=0;»

Αφού η συνάρτηση f(x) αποτελείται από δύο υποσυναρτήσεις – την f1(x)=x

και την f2(x)=ημ 1x

, με την τελευταία να έχει πεδίο τιμών [-1,1], εύκολα διαπιστώνε-

ται, ότι για κάθε x≠ 0, η συναρτησιακή τιμή της f(x) θα βρίσκεται μεταξύ –x και x.

Γεωμετρικά αυτό σημαίνει, ότι η γραφική παράσταση της f(x) θα βρίσκεται μεταξύ των ευθειών y=x και y=-x και συγκεκριμένα στο εσωτερικό των γωνιών που σχηματίζουν οι δύο αυτές ευθείες, όπως φαίνεται και στο ακόλουθο σχήμα (Σχήμα 1).

Σχήμα 1

Αν στο x δοθεί τιμή τέτοια ώστε να είναι όσο το δυνατόν κοντά στο μηδέν, θα αντιστοιχεί σημείο της γραφικής παράστασης το οποίο θα πλησιάζει αρκετά στην αρχή των αξόνων Ο(0,0) ή όπως αλλιώς λέγεται η γραφική παράσταση θα «τείνει» στο σημείο αυτό. Η συναρτησιακή τιμή της συνάρτησης f(x) από την πλευρά της θα «τείνει» στο μηδέν.

Αυτό το οποίο θα πρέπει να τονιστεί είναι αν και το σημείο με τετμημένη ξ=0

δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης 1( )f x xx

ημ= (το πεδίο ορισμού της

συνάρτησης αυτής είναι Df=R*), μπορεί να λάβει το x τιμή αρκετά κοντά στο σημείο αυτό. Αυτό είναι έτσι, γιατί το σημείο ξ θεωρείται ότι έχει την ιδιότητα: «Υπάρχουν σημεία του πεδίου ορισμού της συνάρτησης f(x) τέτοια, ώστε να βρίσκονται αρκετά κοντά στο σημείο ξ».

y=x y=-x

Page 30: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 29

Ορισμός 1: Ένας αριθμός ξ λέγεται σημείο συσσώρευσης για ένα αριθμητικό σύνολο Μ, όταν σε κάθε περιοχή του (ξ-δ,ξ+δ) περιέχονται σημεία από το σύνολο Μ.

Έτσι το σημείο ξ μπορεί να ανήκει μπορεί και όχι στο Μ. Αν για παρά- δειγμα Μ είναι το ανοιχτό διάστημα (α,β), τότε το σημείο α, όπως και το σημείο β, είναι σημείο συσσώρευσης για το σύνολο αυτό ανεξάρτητα από το ότι δεν ανήκει στο διάστημα αυτό. 2.2. Πεπερασμένο όριο συνάρτησης μιας μεταβλητής 2.2.1. Βασικές έννοιες και ορισμοί

Ορισμός 2: Ο αριθμός λ λέγεται όριο της συνάρτησης f(x) για x να τείνει στο ξ (x→ξ), με ξ να είναι το σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού Df της f(x), όταν για κάθε ε>0, υπάρχει τέτοιο δ>0 για το οποίο από το 0<|x-ξ|<δ συνεπάγεται, ότι |f(x)-λ|<ε, πάντα όταν η f(x) ορίζεται. Τότε γράφεται: lim ( )

xf x

ξλ

→= . Το x→ξ δια-

βάζεται ως εξής: «το x τείνει στον σημείο ξ».

Ο προαναφερόμενος ορισμός είναι γνωστός και ως ορισμός Cauchy (1789 – 1857).

Αφού ο αριθμός ε είναι τυχαίος, ο προαναφερόμενος ορισμός, απαιτεί σε γενικές γραμμές, η διαφορά μεταξύ των τιμών της f(x) και του λ, κατά απόλυτη, να είναι το δυνατόν μικρότερη, αρκεί να ληφθούν τέτοια x∈Df, ώστε να βρίσκονται αρκετά κοντά στο σημείο ξ. Το πόσο κοντά προσδιορίζεται από τον αριθμό δ, ο οποίος εξαρτάται από το ε.

Αυτό που πρέπει να επισημανθεί είναι, ότι ο αριθμός δ, όταν αυτός υπάρχει για δεδομένο ε>0, δεν είναι μοναδικός. Αν βρεθεί ένας τέτοιος αριθμός δ, κάθε άλλος θετικός αριθμός και μικρότερος απ’ αυτόν, θα έχει την ίδια ιδιότητα.

Γεννιέται η εξής ερώτηση: «Είναι δυνατόν δύο διαφορετικοί αριθμοί λ1 και λ2 να επαληθεύουν τον προαναφερόμενο ορισμό, να είναι δηλαδή όρια της ίδιας συνάρτη-σης f(x) για x να τείνει στο ξ;»

Ας υποθέσουμε, ότι αυτό ισχύει. Τότε αν λάβουμε 1 2

2λ λ

ε−

= , θα βρεθούν

αριθμοί δ1 και δ2, τέτοιοι ώστε για κάθε x∈Df, x≠ ξ, από τη σχέση |x-ξ|<δ1 θα συνεπάγεται |f(x)-λ1|<ε, ενώ από την ανισοτική σχέση |x-ξ|<δ2 θα συνεπά-γεται |f(x)-λ2|<ε. Τότε, αν το x≠ ξ είναι τέτοιο σημείο του πεδίου ορισμού της f(x), για το οποίο ισχύει ταυτόχρονα |x-ξ|<δ1και |x-ξ|<δ2, τότε θα ισχύει:

|λ1-λ2|=|λ1-f(x)+f(x)-λ2|≤ |λ1-f(x)|+|f(x)-λ2|<2ε=|λ1-λ2|

Με άλλα λόγια λαμβάνεται, ότι: |λ1-λ2|<|λ1-λ2| το οποίο είναι άτοπο, άρα ο αρχικός ισχυρισμός δεν ήταν ορθός. Κατά συνέπεια το όριο λ της συνάρτησης f(x) για x να τείνει στο ξ είναι μοναδικό. Αυτό δεν σημαίνει σε καμία περίπτωση ότι το όριο μιας συνάρτησης f(x) υπάρχει πάντα. Υπάρχουν δηλαδή περιπτώσεις συναρ-τήσεων όπου δεν έχουν όριο για x να τείνει στο ξ.

Με βάση τον προαναφερόμενο ορισμό Cauchy, θα υπολογιστεί το όριο της

συνάρτησης 1( )f x xx

ημ= , Df=R*, για x→0.

Page 31: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

30 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Το σημείο με τετμημένη ξ=0 (εν συντομία «το σημείο ξ=0»), αν και δεν ανή-κει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής, είναι σημείο συσσώρευσης για το σύ-νολο αυτό. Για να διαπιστωθεί, ότι

0lim ( ) 0x

f x→

= , πρέπει να αποδειχτεί, ότι για κάθε

ε>0, υπάρχει δ>0 τέτοιο, ώστε από την ανισότητα |x|<δ να συνεπάγεται, για κάθε

x≠ 0, 1xx

ημ ε< .

Ο σκοπός όμως θα εκπληρωθεί αν ληφθεί δ=ε, γιατί για |x|<ε έχου-

με: 1 1| | | |x x xx x

ημ ημ ε= ≤ < .

Έστω ακόμη ένα παράδειγμα: f(x)=συνx, Df=R. Θέλουμε να αποδείξουμε, ότι το όριο της συνάρτησης αυτής είναι ο αριθμός 1, για x να τείνει στο 0. Θεωρούμε ένα τυχαίο αριθμό ε. Τότε θα ισχύουν τα ακόλουθα:

2| 1| |1 | 2 2 2.1. | |2 2 2 2x x x xx x xσυν συν ημ ημ ημ− = − = = ≤ =

(στην ανισοτική αυτή σχέση χρησιμοποιούνται οι τριγωνομετρικές ιδιότητες: |ημx|≤ 1 και |ημx|≤ |x|)

Έτσι αποδείχτηκε, ότι αν ληφθεί δ=ε, τότε για |x|<δ, δηλαδή για |x|<ε, θα ισχύει |συνx-1|<ε. Με τον τρόπο αυτό αποδείχτηκε, ότι

0lim 1x

xσυν→

= .

Στο τελευταίο παράδειγμα το ξ=0 για το οποίο ζητείται το όριο της συνάρτη-σης f(x)=συνx, ανήκει στο πεδίο ορισμού της R. Κάτι περισσότερο. Ορθά διαπιστώ-θηκε, ότι ο αριθμό 1 είναι όριο της συνάρτησης αυτής για x→0. Το ίδιο αποτέλεσμα δύναται να λάβουμε και αν γίνει το x ίσο με το μηδέν, δηλαδή με το ξ.

Επισημαίνεται, ότι τα πράγματα δεν είναι πάντα τόσο απλά. Δεν ισχύει πάντα η αντικατάσταση της ανεξάρτητης μεταβλητής x με το σημείο συσσώρευσης ξ. Για παράδειγμα έστω η ακόλουθη συνάρτηση: , 0

( )1, 0x x

f xx≠⎧

= ⎨ =⎩. Αν υπολογιστεί το όριό

της για x→0 θα βρεθεί ο αριθμός 0, ενώ το f(0)=1. Άρα 0

lim ( ) (0)x

f x f→

≠ .

Παρατήρηση: Αν f(x)=c, c∈R, τότε lim ( )x

f x cξ→

= ή διαφορετικά limx

c cξ→

= .

Θεώρημα 1: Έστω συνάρτηση f(x) με πεδίο ορισμού το σύνολο Μ, ξ να είναι το σημείο συσσώρευσης για το Μ και lim ( )

xf x

ξλ

→= . Αν η ακολουθία x1, x2,

x3,…,xn,… αποτελείται από αριθμούς που ανήκουν στο σύνολο Μ και είναι διαφο-ρετικοί από το ξ και αυτή τείνει στο ξ, τότε η ακολουθία f(x1), f(x2), f(x3),…, f(xn),…επίσης θα είναι συγκλίνουσα και θα τείνει στο λ.

Θεώρημα 2: Έστω συνάρτηση f(x) με πεδίο ορισμού το σύνολο Μ, ξ να είναι το σημείο συσσώρευσης για το Μ και lim ( )

xf x

ξλ

→= . Αν η ακολουθία x1, x2,

x3,…,xn,… αποτελείται από αριθμούς που ανήκουν στο σύνολο Μ και είναι διαφορε-τικοί από το ξ και αυτή τείνει στο ξ, ενώ η αντίστοιχη ακολουθία f(x1), f(x2), f(x3),…,f(xn),…των συναρτησιακών της τιμών να τείνει στο λ, τότε το lim ( )

xf x

ξ→

υπάρχει και είναι ίσο με το λ.

Page 32: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 31

Ορισμός 3: Έστω συνάρτηση f(x) με πεδίο ορισμού το σύνολο Μ, ξ να είναι το σημείο συσσώρευσης για το Μ. Θα λέγεται, ότι η f(x) έχει όριο το λ, για x να τεί-νει στο ξ, αν για κάθε επιλογή της ακολουθίας x1, x2, x3,…,xn,…., αποτελούμενη από σημεία του Μ διαφορετικά του ξ, η αντίστοιχη ακολουθία f(x1), f(x2), f(x3),…, f(xn),…είναι συγκλίνουσα και τείνει στον αριθμό λ.

Ο προαναφερόμενος ορισμός είναι γνωστός και ως ορισμός Heine (1821 – 1882).

Παρατήρηση: Οι δύο ορισμοί για το όριο συνάρτησης (Cauchy και Heine) είναι ισοδύναμοι.

Με τη βοήθεια του ορισμού Heine εύκολα μπορούμε να εξετάσουμε συναρ-

τήσεις όπου δεν έχουν όριο. Για παράδειγμα η συνάρτηση 1( )f xx

ημ= , όταν το x

τείνει στο 0.

Υποθέτουμε, ότι το όριό της υπάρχει και είναι ο αριθμός λ. Τότε δημιου-ργείται η ακολουθία 2 2 2, ,..., ,...

3 (2 1)nπ π π−η οποία τείνει στο 0. Η ακολουθία

των αντίστοιχων συναρτησιακών τιμών για την 1( )f xx

ημ= είναι η

3 (2 1), ,..., ,...2 2 2

nπ π πημ ημ ημ − ή 1, -1, 1, -1,… η οποία είναι μη συγκλίνουσα.

Άρα καταλήξαμε σε άτοπο και κατά συνέπεια δεν υπάρχει το όριο της συνάρ- τησης 1( )f x

xημ= για x→0 (Σχήμα 2).

Σχήμα 2

Επισημαίνεται επίσης, ότι ο ορισμός Heine διευκολύνει και κατά την απόδειξη βασικών ιδιοτήτων ορίων συναρτήσεων, όπως οι ακόλουθες ιδιότητες:

Θεώρημα 3: Αν f(x) και g(x) είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Μ, ξ το σημείο συσσώρευσης για το σύνολο Μ, έτσι ώστε να ορίζονται οι συναρτήσεις f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x)g(x) και ( )

( )f xg x

(g(x)≠ 0, στο σύνολο Μ), τότε ισχύουν τα

ακόλουθα:

− 1π

− 12 π

12 π

x

-1

-0.5

0.5

1

y

Page 33: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

32 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

[ ][ ][ ]

. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

. lim ( ). ( ) lim ( ).lim ( )

lim ( )( ). lim( ) lim ( )

x x x

x x x

x x x

x

xx

i f x g x f x g x

ii f x g x f x g x

iii f x g x f x g x

f xf xivg x g x

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

ξ

ξξ

→ → →

→ → →

→ → →

→→

+ = +

− = −

=

⎡ ⎤=⎢ ⎥

⎣ ⎦

πάντα όταν τα lim ( )x

f xξ→

και lim ( )x

g xξ→

υπάρχουν και επί πλέον στην τελευταία

περίπτωση όταν lim ( ) 0x

g xξ→

≠ .

Θεώρημα 4: Αν οι συναρτήσεις f(x), g(x) έχουν κοινό πεδίο ορισμού Μ, ξ το σημείο συσσώρευσης για το σύνολο Μ και για κάθε x∈Μ ισχύει f(x)≤ g(x), τότε lim ( ) lim ( )x x

f x g xξ ξ→ →

≤ , πάντα όταν τα lim ( )x

f xξ→

και lim ( )x

g xξ→

υπάρχουν.

Θεώρημα 5: Αν οι συναρτήσεις f(x), g(x) και h(x) έχουν κοινό πεδίο ορισμού Μ, ξ το σημείο συσσώρευσης για το σύνολο Μ και για κάθε x∈Μ ισχύει μία από τις ακόλουθες δύο ανισότητες g(x)≤ f(x)≤ h(x) ή h(x)≤ f(x)≤ g(x), τότε από την ισότητα lim ( )

xg x

ξ→= lim ( )

xh x

ξ→=λ συνεπάγεται, ότι lim ( )

xf x

ξλ

→= .

(Κριτήριο Παρεμβολής).

Θεώρημα 6: Έστω f(x) και g(x) είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Μ, ξ το σημείο συσσώρευσης για το σύνολο Μ. Έστω επίσης, ότι lim ( ) 0

xf x

ξ→= , ενώ η g(x)

είναι φραγμένη σε κάποια περιοχή του σημείου ξ, τότε [ ]lim ( ). ( ) 0x

f x g xξ→

= .

Θεώρημα 7: Αν η συνάρτηση f(x) έχει όριο για x→ ξ, τότε είναι φραγμένη σε κάποια περιοχή (ξ-δ,ξ+δ) του σημείου ξ.

Παρατηρήσεις 1) Όπως και στο προηγούμενο θεώρημα, λαμβάνονται μόνο εκείνα τα σημεία από το διάστημα τα οποία ανήκουν στο πεδίο ορισμού Μ της συνάρτησης f(x).

2) Αν μία συνάρτηση είναι μη φραγμένη σε κάποια περιοχή ενός δεδομένου σημείου ξ, τότε δεν θα έχει όριο για x να τείνει στο σημείο ξ, όπως για παράδειγμα η συνάρ-τηση 1( )f x

x= για x→0.

Θεώρημα 8: Αν lim ( )x

f xξ

λ→

= τότε:

α) lim ( ) , , και 0,1, άρτιος αριθμόςnnx

f x R n N nξ

λ λ +→= ∈ ∈ − −

β) lim ( ) , και 0,1, περιττός αριθμόςnnx

f x R n N nξ

λ λ→

= ∀ ∈ ∈ − −

γ) [ ]lim ( ) , , n n

xf x R n N

ξλ λ

→= ∀ ∈ ∈

Page 34: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 33

2.2.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Η κάθε άσκηση εύρεσης ορίου συνάρτησης είναι δυνατόν, αν και δύσκολα, να λυθεί με τη βοήθεια του ορισμού του ορίου συνάρτησης. Εν συνεχεία θα λυθούν τέσ-σερεις ασκήσεις με τους ορισμούς των Cauchy και Heine.

Άσκηση 1: Να δειχτεί ότι το όριο της συνάρτησης f(x)=x

xημ , για x→0 και

0<x<90°, είναι ο αριθμός 1. Λύση

Αφού 0<x<90°⇔ συνx<x

xημ <1⇔ -1<-x

xημ <-συνx⇔ 0<1-x

xημ <1-συνx⇔

⇔ 0<1-x

xημ <2ημ2

2x <2

24

22 xx= ⇔ 0<1-

xxημ <

2

2x . Έστω ε>0.

Με βάση τον ορισμό του Heine: Έστω τυχαία ακολουθία x1, x2,…,xν,…→0,

xν≠ 0, θα αποδειχτεί ότι: 1

1

xxημ ,

2

2

xxημ ,…,

ν

νημx

x ,…→1. Αφού 0<1-ν

νημx

x <2

2νx ,

επιλέγεται τέτοιο Ν, για το οποίο ν>Ν και να ισχύει ότι: εν 20 <−x από το οποίο

συμπεραίνουμε ότι: lim xx

ν

ν

ημ =1, για xν→0.

Με βάση τον ορισμό του Cauchy: Για την εύρεση του δ>0 λύνεται η εξίσωση

2

2x<ε και λαμβάνεται ότι: δ= ε2 .

Άσκηση 2: Να δειχτεί ότι το όριο της συνάρτησης f(x)=2x2-1, για x→1, είναι ο αριθμός 1.

Λύση

Με βάση τον ορισμό του Cauchy πρέπει να δειχτεί ότι για κάθε ε>0, υπάρχει δ>0, έτσι ώστε για x≠ 1 και 1−x <δ, να ισχύει ότι: 1-1)-2x( 2 <ε. Για την επιλογή του δ εργαζόμαστε ως εξής:

1-1)-2x( 2 <ε⇔ 1-1-2x 2 <ε⇔ 22x 2 − <ε⇔ )12(x 2 − <ε

⇔ 2 1x 2 − <ε⇔ 2 )1)(1( −+ xx <ε⇔ 2 1.1 −+ xx <ε⇔ 1.1 −+ xx <2ε .

Επειδή x→1, περιοριζόμαστε στις τιμές του x από το διάστημα (0, 2). Τότε από την

τελευταία σχέση λαμβάνουμε ότι: (2+1).6

12

1 εε<−⇔<− xx . Επιλέγεται

δ=min ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

6,1 ε και αφού εργαστούμε με αντίθετη φορά θα έχουμε ότι: για x≠ 1 και

1−x <δ, ισχύει ότι: 1-1)-2x( 2 <ε και επομένως lim(2x2-1)=1, για x→1.

Άσκηση 3: Να δειχτεί ότι το όριο της συνάρτησης f(x)=2x+3, για x→1, είναι ο αριθμός 5.

Page 35: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

34 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Λύση

Με βάση τον ορισμό του Cauchy: Για κάθε ε>0, πρέπει να βρεθεί δ>0, τέτοιο ώστε για κάθε x≠ 1 και 1−x <δ, να ισχύει ότι: 5)32( −+x <ε. Επιλέγεται τυχαίο ε>0. Για να βρούμε το δ εργαζόμαστε με τον ακόλουθο τρόπο:

5)32( −+x <ε⇔ 532 −+x <ε ⇔

⇔ 22 −x <ε⇔ )1(2 −x <ε⇔ 2 1−x <ε⇔ 1−x <2ε . Επιλέγεται δ=

2ε και τότε για

δ>0, x≠ 1, 1−x <δ, ισχύει ότι: 5)32( −+x <ε και επομένως lim(2x+3)=5, για x→1.

Με βάση τον ορισμό του Heine: Έστω ε>0 και η τυχαία ακολουθία x1, x2,…,xν,…→1, xν≠ 1, θα αποδειχτεί ότι: 2x1+3, 2x2+3,…,2xν+3,…→5. Επιλέγεται Ν, ν>Ν για το οποίο

21 ε

ν <−x . Τότε για ν>Ν θα ισχύει ότι: 5)32( −+x <ε,

άρα lim(2x+3)=5, για x→1. Εν συνεχεία θα λυθεί μία άσκηση με άμεση εφαρμογή του ορισμού του ορίου με βάση των Cauchy.

Άσκηση 4: Αν ε=10-2, να οριστεί δ>0, τέτοιο ώστε, αν 0< 1−x <δ, να ισχύει

ότι: 21

1−

+xx <ε.

Άσκηση 5: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα όρια: 2 4 2

3 5 22 1 0

3 3 2

4 5 21 1 3

2 8 3 2 4 3. lim . lim . lim8 4 3 2 9

3 2 2 1 5 6. lim . lim . lim4 3 2 1 8 15

x x x

x x x

x x x x x xi ii iiix x x x x

x x x x x xiv v vix x x x x x

→ → →

→ →− →

+ − − + −− − + −

− + − − − +− + − − − +

Λύση

i. Αρχικά γίνεται «νοητή» αντικατάσταση του x με τον αριθμό 2 (αφού x→2) και λαμβάνεται, ότι 0

0, το οποίο, όπως θα αναφερθεί και εν συνεχεία, είναι απροσδιό-

ριστη μορφή, δηλαδή δεν δύναται να υπολογιστεί. Γι’ αυτό γίνεται παραγοντοποίηση αριθμητή και παρανομαστή και λαμβάνεται:

( )

22

3 2 2 22 2 22

2 22 2 2

2 2 22 2

lim( 4)2 8 ( 2)( 4) 4lim lim lim8 ( 2)( 2 4) 2 4 lim( 2 4)

lim lim 4 2 4 6 6 6 14 4 4 12 2lim lim 2 lim 4 2 2.2 4lim 2lim 4

x

x x xx

x x

x x xx x

xx x x x xx x x x x x x x

x

x x x x

→ → →→

→ →

→ → →→ →

++ − − + += = = =

− − + + + + + +

+ += = = = = =

+ ++ + + ++ +

Παρατήρηση: Σχετικά με τα ii, iv και v η παραγοντοποίηση των αριθμητών και των παρανομαστών γίνεται με τη βοήθεια του σχήματος Horner.

Άσκηση 6: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα όρια:

Page 36: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 35

2

4 1

3 3

3 30 0

1 2 3 1 1. lim . lim 2

1 1 1 1. lim . lim1 1

x x

x x

x x xi iixx

x x x xiii ivxx x

→ →

→ →

+ − − − −−

+ − − + − −+ − −

Λύση

i. Για x→4 τα όρια των συναρτήσεων στον αριθμητή και τον παρανομαστή είναι 0, δηλαδή εκ νέου απροσδιοριστία. Γι’ αυτό πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρανομαστή με τις συζυγές παραστάσεις του αριθμητή και του παρανομαστή, εφαρμόζοντας την ταυτότητα α2-β2=(α-β)(α+β) και συγκεκριμένα:

( )( )( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

22

24 4 4 2

1 2 3 21 2 3 1 2 3 21 2 3lim lim lim2 2 2 1 2 3 2 1 2 3

x x x

x xx x xxx x x x x x

→ → →

⎡ ⎤+ − ++ − + + + ⎢ ⎥+ − ⎣ ⎦= = =⎡ ⎤− − + + + − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )4 4 4

1 2 9 2 2 4 2 2 2 4lim lim lim34 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3x x x

x x x x x

x x x x x→ → →

+ − + − + += = = =

− + + − + + + +.

Παρατήρηση: Σχετικά με τα iii, iv για τη συζυγή παράσταση χρησιμοποιείται η ταυτότητα α3-β3=(α-β)(α2+αβ+β2).

Σε κάποιες άλλες περιπτώσεις μπορεί να χρειαστεί η εφαρμογή της ταυτότητας α3+β3=(α+β)(α2-αβ+β2). Γενικά: αν-βν=(α-β)(αν-1+αν-2β+…+αβν-2+βν-1) ή αν+βν=(α+β)(αν-1-αν-2β+…+αβν-2+(-1)ν-1βν-1), ν∈Ν-0,1,2.

Άσκηση 7: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα όρια:

2 2 5

2 2 31 2 x 1

2 5 6 1. lim . lim . lim2 1 2 1x x

x x x xi ii iiix x x x x→ → →

+ − + −+ + − −

2.3. Επέκταση της έννοιας όριο συνάρτησης 2.3.1. Βασικές έννοιες και ορισμοί

Επεκτείνεται η έννοια όριο συνάρτησης, όπου σε κάποιες περιπτώσεις γίνεται λόγος για όριο και όταν αυτό δεν υπάρχει με βάση τους προαναφερμένους ο-ρισμούς του ορίου.

Ορισμός 4: Έστω η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη στο σύνολο Μ. Λέγεται, ότι η f(x) τείνει στο +∞ για x να τείνει στο ξ, όταν για κάθε Α>0 υπάρχει τέτοιος αριθμός δ>0, ώστε από το x∈Μ και 0<|x-ξ|<δ συνεπάγεται f(x)>Α. Γράφεται: lim ( )x

f xξ→

= +∞ .

Αφού ο αριθμός Α μπορεί να ληφθεί όσο μεγάλος θέλουμε, ο ορισμός αυτός απαιτεί, σε γενικές γραμμές, οι τιμές της συνάρτησης f(x) να μπορούν να γίνουν όσο επιθυμούμε μεγάλες, αρκεί να λάβουμε τέτοιες τιμές x, οι οποίες να είναι αρκετά κοντά στο σημείο ξ.

Ορισμός 5: Έστω η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη στο σύνολο Μ. Λέγεται, ότι η f(x) τείνει στο -∞ για x να τείνει στο ξ, όταν για κάθε Β<0 υπάρχει τέτοιος

Page 37: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

36 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

αριθμός δ>0, ώστε από το x∈Μ και 0<|x-ξ|<δ συνεπάγεται f(x)<Β. Γράφεται: lim ( )x

f xξ→

= −∞ .

Για παράδειγμα, έστω ότι πρέπει να αποδειχτεί, ότι 20

1limx x→

= +∞ . Για το

σκοπό αυτό επιλέγεται τυχαίος αριθμός Α>0. Αν ληφθεί εν συνεχεία δ= 1A

, τότε για

|x|<δ, δηλαδή για |x|< 1A

, θα έχουμε x2< 1A

από το οποίο 2

1x

>Α.

Έστω ακόμη ένα παράδειγμα: να δειχτεί, ότι 0

lim log , 1axx a

→= −∞ > . Αν Β είναι

τυχαίος αρνητικός αριθμός, λαμβάνεται ο αριθμός δ=αΒ. Όπως είναι γνωστό η συνάρ-τηση f(x)=logαx είναι γνησίως αύξουσα για α>1 στο διάστημα (0,+∞ ). Τότε από |x|<δ συνεπάγεται, ότι 0<x<δ και κατά συνέπεια logαx< logααΒ=Β ή f(x)<B.

Θεώρημα 1: Έστω f(x) και g(x) είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Μ, ξ το σημείο συσσώρευσης για το σύνολο Μ. Τότε:

α) Αν f(x) είναι φραγμένη σε κάποια περιοχή του σημείου ξ, τότε:

i) Για lim ( )x

g xξ→

= +∞ έχουμε [ ]lim ( ) ( )x

f x g xξ→

+ = +∞

ii) Για lim ( )x

g xξ→

= −∞ έχουμε [ ]lim ( ) ( )x

f x g xξ→

+ = −∞

β) Αν lim ( )x

f x aξ→

= και lim ( )x

g xξ→

= +∞ , τότε:

i) Για α>0 έχουμε [ ]lim ( ). ( )x

f x g xξ→

= +∞

ii) Για α<0 έχουμε [ ]lim ( ). ( )x

f x g xξ→

= −∞

γ) Αν lim ( )x

f xξ→

= +∞ και lim ( )x

g xξ→

= +∞ , τότε:

i) [ ]lim ( ) ( )x

f x g xξ→

+ = +∞

ii) [ ]lim ( ). ( )x

f x g xξ→

= +∞

Για παράδειγμα, έστω ότι πρέπει να αποδειχτεί, ότι 20

limx

xx

συν→

= +∞ . Πραγματι-

κά αυτό ισχύει αφού 0

lim 1x

xσυν→

= και 20

1limx x→

= +∞ .

Έστω ακόμη ένα παράδειγμα: Να δειχτεί, ότι 0

lim( ln )x

x xσυν→

+ = −∞ . Αυτό ι-

σχύει, αφού 0

lim 1x

xσυν→

= και 0

lim lnx

xσυν→

= −∞ .

Ορισμός 6: Έστω η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη στο σύνολο Μ με την α-κόλουθη ιδιότητα: για τυχαίο αριθμό α, υπάρχει x από το σύνολο Μ με x>α, δηλαδή το Μ είναι το διάστημα (α,+∞ ). Λέγεται, ότι ο αριθμός λ είναι όριο της συνάρτησης f(x) για x να τείνει στο +∞ , αν για τυχαίο αριθμό ε>0, υπάρχει αριθμός Α, τέτοιος ώστε από Α<x συνεπάγεται |f(x)-λ|<ε. Γράφεται: lim ( )

xf x λ

→+∞= .

Ορισμός 7: Έστω η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη στο σύνολο Μ με την α-κόλουθη ιδιότητα: για τυχαίο αριθμό α, υπάρχει x από το σύνολο Μ με x<α, δηλαδή

Page 38: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 37

το Μ είναι το διάστημα (-∞ ,α). Λέγεται, ότι ο αριθμός λ είναι όριο της συνάρτησης f(x) για x να τείνει στο -∞ , αν για τυχαίο αριθμό ε>0, υπάρχει αριθμός Β, τέτοιος ώ-στε από Β>x συνεπάγεται |f(x)-λ|<ε. Γράφεται: lim ( )

xf x λ

→−∞= .

Για παράδειγμα, έστω ότι πρέπει να αποδειχτεί, το όριο 1lim 0x x→+∞

= . Έστω ε να

είναι τυχαίος θετικός αριθμός και επίσης Α= 1ε

. Τότε για x>A, δηλαδή για x> 1ε

, θα

έχουμε 1x

<ε, το οποίο δύναται να γραφεί και ως εξής: 1 0x

ε− < .

Έστω ακόμη ένα παράδειγμα: Να δειχτεί, ότι lim 0x

xa

→−∞= , για α>1. Πραγματι-

κά, έστω ε>0 και έστω να ληφθεί αριθμός Β=logαε. Τότε για x<B, εξαιτίας της μονο-τονίας της συνάρτησης αx (γνησίως αύξουσα για α>1), θα συνεπάγεται, ότι:

log0 ax Ba a a ε ε< < = = . Κατά συνέπεια για x<B θα ισχύει, ότι: |αx-0|<ε.

Θα αναφερθούμε και σε ένα ακόμη παράδειγμα: Να δειχτεί, ότι

lim2x

x πτοξεφ→+∞

= . Έστω ε>0 και λαμβάνεται Α=2πεφ ε⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Αν x>A, τότε αφού η συνάρτηση τοξεφx είναι αύξουσα, θα έχουμε, ότι:

2 2x A π πτοξεφ τοξεφ τοξεφ εφ ε ε⎡ ⎤⎛ ⎞> = − = −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

. Από την άλλη πλευρά, έχουμε και ότι

τοξεφx<2π . Κατά συνέπεια 0<

2π -τοξεφx<ε, για x>A.

Ορισμός 8: Έστω η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη σε ένα διάστημα (α,+∞ ). Λέγεται, ότι η συνάρτηση f(x) τείνει στο +∞ για x να τείνει στο +∞ , αν για κάθε Α>0, υπάρχει Κ, τέτοιο ώστε, από την ανισότητα x>Κ συνεπάγεται, ότι f(x)>Α. Γράφεται: lim ( )

xf x

→+∞= +∞ .

Με τρόπο ανάλογο με τους προαναφερόμενους ορισμούς, ορίζονται και τα ακόλουθα όρια: . lim ( ) . lim ( ) . lim ( )

x x xi f x ii f x iii f x

→+∞ →−∞ →−∞= −∞ = +∞ = −∞

Παράδειγμα: Έστω ότι πρέπει να αποδειχτεί, ότι για α>1, lim x

xa

→+∞= +∞ . Λαμ-

βάνεται τυχαίος θετικός αριθμός Α και σχηματίζεται ο αριθμός Κ=logαΑ. Με αιτία τη μονοτονίας της συνάρτησης αx (γνησίως αύξουσα για α>1), από την ανισοτική σχέση x>K, λαμβάνεται, ότι: loga Ax Ka a a A> = .

Έστω ακόμη ένα παράδειγμα: Να δειχτεί, ότι για α>0 lim a

xx

→+∞= +∞ . Έστω

Α είναι τυχαίος θετικός αριθμός και έστω Κ=1aA . Όπως είναι γνωστό, η συνάρτηση xα

είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (0,+∞ ), για α>0. Έτσι για x>K θα έχουμε 1 a

a a ax K A A⎛ ⎞

> = =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Θα αναφερθούμε και σε ένα ακόμη παράδειγμα: Να δειχτεί, ότι για α>1, lim logax

x→+∞

= +∞ . Για να αποδειχτεί αυτό, λαμβάνεται τυχαίος θετικός αριθμός Α και

δημιουργείται ο αριθμός Κ=αΑ. Με αιτία τη μονοτονίας της συνάρτησης logαx (γνη-

Page 39: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

38 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

σίως αύξουσα για α>1), από την ανισότητα x>K θα συνεπάγεται, ότι log log log A

a a ax K a A> = = . Άρα loga x A> , oπότε lim logaxx

→+∞= +∞ .

Παρατηρήσεις

1) Σημαντικό είναι να τονιστεί, ότι το θεώρημα 3 της παραγράφου 2.2.1. ισχύ-ει και όταν το x τείνει στο +∞ ή στο -∞ , αντί του x→ξ.

2) Τα θεωρήματα 4 και 5 της παραγράφου 2.2.1., ισχύουν επίσης για x→+∞ ή x→ -∞ . Και τα ίδια τα όρια είναι ίσα με + ∞ ή -∞ .

3) Ότι αφορά τα θεωρήματα 6 και 7, όπως και το θεώρημα 1 της προαναφε-ρόμενης παραγράφου, διατηρούν την ισχύ τους για x→+∞ ή x→ -∞ , αφού πρώτα απαιτηθεί αντί της προϋπόθεσης η συνάρτηση f(x) να είναι φραγμένη σε κάποια περι-οχή του σημείου ξ, να είναι φραγμένη σε κάποιο διάστημα της μορφής (α, ∞ ), αν x→+∞ ή (-∞ ,α) στην περίπτωση που το x→ -∞ .

4) Επισημαίνεται, ότι lim lim ,x x

c c c c R→+∞ →−∞

= = ∈ .

Για την κατανόηση των προαναφερόμενων παρατηρήσεων – θεωρημάτων, θα ακολουθήσουν τέσσερα σχετικά παραδείγματα και συγκεκριμένα τα ακόλουθα:

α) Να υπολογιστεί το όριο2

2

2 3 1lim3 5x

x xx→+∞

− ++

. Με βάση και το θεώρημα 3 της

παραγράφου 2.2.1, λαμβάνεται, ότι:

22 2 2

22

22

3 1 3 1 1 1 12 2 2 32 3 1 2lim lim lim lim5 1 15 33 5 3 3 53

x x x x

xx x x x x x x x x

x xx xxx

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

⎛ ⎞− + − + − +⎜ ⎟− + ⎝ ⎠= = = =+ ⎛ ⎞ + ++⎜ ⎟

⎝ ⎠

.

β) Να αποδειχτεί, ότι lim 0x

xx

ημ→+∞

= , με τη βοήθεια του θεωρήματος 6 της

παραγράφου 2.2.1. με x→+∞ .

γ) Έστω f(x)>0 και lim ( ) 0x

f xξ→

= . Να αποδειχτεί, ότι 1lim( )x f xξ→

= +∞ .

Να αποδειχτεί επίσης ότι αν lim ( ) 0x

f x→+∞

= τότε 1lim( )x f x→+∞

= +∞

δ) Να αποδειχτεί, ότι αν 1lim( )x f xξ→

= +∞ , τότε 1lim 0( )x f xξ→

= . Να αποδειχτεί επί-

σης ότι αν lim ( )x

f x→+∞

= +∞ τότε 1lim 0( )x f x→+∞

= .

Ορισμένες φορές μας ενδιαφέρει τι συμβαίνει στη συνάρτηση f(x), όταν το x τείνει στο ξ, αλλά πάντα για τιμές μεγαλύτερες ή μικρότερες του ξ. Στην πρώτη περίπτωση γίνεται λόγος για το όριο της συνάρτησης όταν το x τείνει από τα δεξιά στο ξ, ενώ στην δεύτερη – όταν το x τείνει από τα’ αριστερά στο σημείο ξ. Συγκεκριμένα:

Ορισμός 9: Λέγεται, ότι η συνάρτηση f(x) τείνει στον αριθμό λ, όταν το x τείνει από τα δεξιά στο ξ, αν για κάθε ε>0, υπάρχει δ>0, έτσι ώστε από την ανισότητα

Page 40: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 39

ξ<x<ξ+δ συνεπάγεται |f(x)-λ|<ε. Γράφεται: lim ( )x

f xξ

λ+→

= ή lim ( )x

f xδξ

λ→

= ή

,lim ( )

x xf x

ξ ξλ

→ >= (Δεξιό πλευρικό όριο).

Ορισμός 10: Λέγεται, ότι η συνάρτηση f(x) τείνει στον αριθμό λ, όταν το x τείνει από τ’ αριστερά στο ξ, αν για κάθε ε>0, υπάρχει δ>0, έτσι ώστε από τη σχέση ξ-δ<x<ξ συνεπάγεται |f(x)-λ|<ε. Γράφεται: lim ( )

xf x

ξλ

−→= ή lim ( )

xf x

αξλ

→= ή

,lim ( )

x xf x

ξ ξλ

→ <= (Αριστερό πλευρικό όριο).

Παρατήρηση: Με τρόπο ανάλογο ορίζονται και οι ακόλουθες ισότητες: lim ( ) , lim ( ) , lim ( ) και lim ( )x x x x

f x f x f x f xξ ξ ξ ξ+ − + −→ → → →

= +∞ = +∞ = −∞ = −∞ .

Έστω για παράδειγμα, ότι πρέπει να αποδειχτεί, ότι: 0

1limx x+→

= +∞ . Αν Α είναι

τυχαίος θετικός αριθμός , λαμβάνεται δ= 1A

. Κατά συνέπεια από 0<x<δ, δηλαδή από

0<x< 1A

, συνεπάγεται, ότι 1x

>Α, το οποίο είναι και το επιθυμητό αποτέλεσμα.

Με τρόπο ανάλογο μπορεί να αποδειχτεί και το ότι 0

1limx x−→

= −∞ .

Παρατηρήσεις

1) Αν μία συνάρτηση έχει όριο, τότε τα πλευρικά όρια lim ( )x

f xξ

λ+→

= και

lim ( )x

f xξ

λ−→

= υπάρχουν και μάλιστα lim ( ) lim ( ) lim ( )xx x

f x f x f xξξ ξ+ − →→ →

= = .

2) Μία συνάρτηση f(x) έχει όριο για x να τείνει στο σημείο ξ, αν ισχύει το ακόλουθο: lim ( ) lim ( )x x

f x f xξ ξ

λ+ −→ →

= = . Τότε συμπεραίνεται, ότι lim ( )x

f xξ

λ→

= .

3) Υπάρχει πιθανότητα τα πλευρικά όρια lim ( )x

f xξ

λ+→

= και lim ( )x

f xξ

λ−→

= να υπάρχουν

αλλά να μην ισούνται μεταξύ τους. Τότε το όριο lim ( )x

f xξ→

δεν υπάρχει.

Για παράδειγμα, έστω η ακόλουθη συνάρτηση: | |( ) xf x xx

= + , η οποία έχει

πεδίο ορισμού Df=R*. Εύκολα διαπιστώνεται, ότι 0

lim ( ) 1x

f x−→

= − ενώ 0

lim ( ) 1x

f x+→

= . Έτσι

δεν υπάρχει το όριο 0

lim ( )x

f x→

, αλλά μόνο τα πλευρικά του όρια.

Θεώρημα 2: Αν η συνάρτηση f(x) είναι αύξουσα και φραγμένη άνω στο διά-στημα (α,β), τότε έχει όριο, αν το x τείνει στο β από αριστερά και το όριο αυτό είναι ίσο με το ακριβώς άνω φράγμα της στο διάστημα (α,β).

Θεώρημα 3: Αν η συνάρτηση f(x) είναι αύξουσα και φραγμένη κάτω στο διάστημα (α,β), τότε έχει όριο, αν το x τείνει στο α από δεξιά και το όριο αυτό είναι ίσο με το ακριβώς κάτω φράγμα της στο διάστημα (α,β).

Θεώρημα 4: Αν η συνάρτηση f(x) είναι αύξουσα και φραγμένη άνω στο διά-στημα (α,+∞ ) και Λ είναι το ακριβώς άνω φράγμα της, τότε το όριο αυτό είναι ίσο με το Λ

Page 41: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

40 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Θεώρημα 5: Αν η συνάρτηση f(x) είναι αύξουσα και φραγμένη άνω στο διά-στημα (-∞ ,α) και Κ είναι το ακριβώς κάτω φράγμα της, τότε το όριο αυτό είναι ίσο με το Κ.

2.3.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα όρια:

( )

( )

20

22

22 2

21

2

21

3. lim . lim

. lim . lim 1( 2)

. lim . lim 1 11

3. lim . lim1

x x

x x

xx

xx

xi vii xx

xii viii x xxxiii ix x x

xxiv x

x

+

→ →+∞

→ →+∞

→+∞→

→+∞→

+

+ −−

+ − −−

− 2

3

22

2

22

11

. lim . lim3 21

5. lim . lim2 21

x x

x x

xx x

x xv xix xx

x xvi xiix xx

→+∞ →+∞

→−∞ →+∞

++ +

+ +++− ++

Λύση

2 20

3 0 3. lim0x

xix→

+ += = +∞ .

2 2

2 21

1. lim = =+ 1 1 1x

xiiix+→

∞− −

.

22

2 2 22

1. lim = lim = lim = lim = lim 1.1 1 111 | | 1 1 11

x x x x x

x x x xvix x xx

x x xx

→−∞ →−∞ →−∞ →−∞ →−∞− = −

+ ⎛ ⎞ + − + ++⎜ ⎟⎝ ⎠

Άσκηση 2: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα όρια:

3 5

3 3

1 3 2 3 5. lim . lim . lim ( )( )2 3 2 2 1x x x

x x x xi ii iii x a x xx x x

β→−∞ →+∞ →+∞

− − + + ⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦+ − + −

Page 42: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 41

2.4. Δύο χαρακτηριστικά όρια

Υπάρχουν δύο χαρακτηριστικά όρια για τα οποία θα γίνει λόγος στην παρά-

γραφο αυτή και συγκεκριμένα τα 0

lim 1x

xx

ημ→

= και 1lim 1x

xe

x→+∞

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

. Ανάλογα, ισχύει

και 1lim 1x

xe

x→−∞

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

2.4.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα όρια:

20 02

20

1 ( 2 ) 2 ( ). lim . lim

2( 2 ) 2 ( ). lim . lim

. lim

x x

x a x

x a

x x x a x a x ai vx x

x a a x a x aii vix a x

iii

ημ συν ημ ημ ημ

ημ

ημ ημ συν συν συν

ε

→ →

→ →

+ − + − + +

− + − + +−

20

2

20 0

( 2 ) 2 ( ) . lim

( 2 ) 2 ( ) ( 2 ). ( 2 ). lim . lim

x

x x

x a a x a x aviix a xa x a x a a x a x aiv viii

xx

φ εφ εφ εφ εφ

σφ σφ σφ ημ ημ ημ→

→ →

− + − + +−+ − + + + + −

Λύση

( )( )( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

22

2 2

2

1 11.

12 2

1

1 12 2

1 2 12 2

1 12 2

4

x x x x x xx x xi

x xx x x

x x x x x xx xx x x x x x

x x x xxx x

x xx x x x x x

ημ συν ημ συνημ συν

ημ ημ συν ημ

ημ συν ημ ημ

ημ ημ συν ημ ημ συν

ημ ημ συνημ ημ

ημ ημ συν ημ ημ συν

ημ

+ − + ++ −= =

+ +

+ − += = =

+ + + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =

+ + + +

=( )

2 2

2

1 4 12 2 2

112

x x x x xx x

x x x xx x x

συν συνημ ημ

ημ συνημ ημ συν

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠=+ ++ +

Από το 0

lim 1x

xx

ημ→

= συνεπάγεται, ότι 0

lim 1 2x

xxημ→

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠. Εκτός αυτού ισχύει,

ότι: 2

0lim 1

2x

xσυν→

= και ( )0

lim 1 2x

x x xημ συν→

+ + = . Κατά συνέπεια το ζητούμενο όριο

είναι ίσο με το 4.

Άσκηση 2: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα όρια:

Page 43: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

42 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

2

2 4

0

2

2

3 1 3. lim . lim 1 . lim 1 23 2

1. lim . lim2

x xx

x x x

x x

x x

xi ii iii xx x

x x aiv vx ax

+

→+∞ →+∞ →

→+∞ →+∞

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟−− ⎝ ⎠⎝ ⎠

Λύση 2

32 32

2

2 2 43 32

11 1 13 1 1 333 1 3. 3 2 23 1 13 1 13 1

322

xx x

x

x x

x

x xxx xix

xx

xx

−−

⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ +⎢ ⎥+ ⎜ ⎟+⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥+ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦= = =⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎡ ⎤−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥+⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎜ ⎟−⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Είναι γνωστό, ότι: 1lim 1x

xe

x→+∞

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

. Κατά συνέπεια το ζητούμενο όριο είναι

e2.

Άσκηση 3: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα όρια: 2

3 00

20 0

2

20 0

0

ημ. lim . lim

2 1 1. lim . lim

2. lim . lim2

2. lim . li

xx

x x

x x

x

x x xi vx xx xii vix x

x

iii vii x xx

xiv viiix

εφ ημημ

συν συνημ

ημσφ

ημ

→→

→ →

→ →

− −

0

1mx

xx

ημ→

Άσκηση 4: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα όρια:

2

2

2 2

2

1 3 1. lim . lim . lim 1 1

1. lim 1 , . lim 1

x x x

x x x

x x

x x

x xi ii iiixx x

kiv k Z vx x

→+∞ →+∞ →+∞

→+∞ →−∞

⎛ ⎞− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ∈ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Page 44: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 43

Σελίδα σημειώσεων

Page 45: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

44 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Κεφάλαιο 3ο: Συνέχεια συνάρτησης

μιας μεταβλητής 3.1. Εισαγωγή

Η έννοια συνέχεια συνάρτησης είναι από τις χαρακτηριστικότερες στη μαθηματική ανάλυση. Ανεξάρτητα από το γεγονός, ότι ο σύγχρονος ορισμός της προήλθε μετά από πολύ δρόμο, πάντα έπαιζε σημαντικό ρόλο στα μαθηματικά.

Οι συνεχείς συναρτήσεις έχουν πολλές και σημαντικές ιδιότητες, οι οποίες δι-ευκολύνουν τις μαθηματικές εργασίες κατά πολύ. 3.2. Βασικοί ορισμοί και έννοιες συνεχών συναρτήσεων

Στην προηγούμενη παράγραφο, κατά τον ορισμό του ορίου συνάρτησης, θεωρήσαμε ότι το ξ είναι σημείο συσσώρευσης για το πεδίο ορισμού Μ της συνάρ-τησης f(x), χωρίς να απαιτηθεί το ξ να ανήκει στο Μ. Έστω τώρα να μελετήσουμε την περίπτωση όπου το ξ∈Μ. Στην περίπτωση αυτή υπάρχει συναρτησιακή τιμή f(ξ) και φυσικά γεννιέται η ερώτηση: «Μήπως η τιμή f(ξ) ισούται με το όριο lim ( )

xf x

ξ→, υπό

την προϋπόθεση, ότι το όριο αυτό υπάρχει;» Όταν η τιμή f(ξ) ισούται με το lim ( )x

f xξ→

,

το οποίο δεν συμβαίνει πάντα, λέγεται, ότι η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο ση-μείο ξ.

Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση f(x)=συνx, για την οποία f(0)=1 και

0lim ( ) 1x

f x→

= . Τότε η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής στο σημείο ξ=0.

Ορισμός 1: Έστω η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη στο σύνολο Μ και ξ ανήκει στο σύνολο Μ. Η συνάρτηση f(x) λέγεται συνεχής στο σημείο ξ, αν έχει όριο για x να τείνει στο ξ και αν ισχύει η ισότητα lim ( ) ( )

xf x f

ξξ

→= .

Τονίζεται για ακόμη μία φορά, ότι ο ορισμός αυτός έχει νόημα μόνο αν ξ∈Μ και ταυτόχρονα το ξ είναι σημείο συσσώρευσης για το σύνολο Μ. Στην αντίθετη περίπτωση δεν μπορεί να γίνεται λόγος για την ύπαρξη του ορίου lim ( )

xf x

ξ→.

Υπάρχει, αν και σπάνια περίπτωση όπου ξ∈Μ, αλλά να μην είναι σημείο σύ-μπτυξής του. Στην περίπτωση αυτή θεωρείται, ότι η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο σημείο αυτό.

Λαμβάνοντας υπ’ όψιν τους ορισμού Cauchy και Heine της προηγούμενης παραγράφου για το όριο συνάρτησης, εύκολα διατυπώνονται και αντίστοιχοι ορισμοί για τη συνέχεια συνάρτησης μιας μεταβλητής και συγκεκριμένα:

Ορισμός 2: Έστω η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη στο σύνολο Μ και ξ ανήκει στο σύνολο Μ. Η συνάρτηση f(x) λέγεται συνεχής στο σημείο ξ, αν για κάθε ε>0, υπάρχει δ>0, τέτοιο ώστε |f(x)-f(ξ)|<ε, πάντα όταν x∈Μ και |x-ξ|<δ. (Ορισμός Cauchy)

Ορισμός 3: Έστω η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη στο σύνολο Μ και ξ ανήκει στο σύνολο Μ. Η συνάρτηση f(x) λέγεται συνεχής στο σημείο ξ, αν για κάθε

Page 46: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 45

ακολουθία αριθμών x1, x2,…,xn,…, που ανήκουν στο Μ, η οποία τείνει στο ξ, η αντίστοιχη ακολουθία των συναρτησιακών της τιμών f(x1), f(x2),…,f(xn),…θα τείνει στο f(ξ). (Ορισμός Heine)

Αναφέρεται, ότι και οι δύο προαναφερόμενοι ορισμοί, θεωρούν, ότι το σημείο ξ μπορεί να είναι σημείο συσσώρευσης για το σύνολο Μ, μπορεί και όχι.

Ο ορισμός Cauchy επιτρέπει την εύκολη γεωμετρική απόδοση της έννοιας συ-νέχεια. Συγκεκριμένα, έστω ότι η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο σημείο ξ και ε είναι ένας θετικός αριθμός. Τότε σύμφωνα με τον ορισμό η ανισότητα |f(x)-f(ξ)|<ε, η οποία είναι ισοδύναμη με την f(ξ)-ε<f(x)<f(ξ)+ε, ισχύει για κάθε x το οποίο επαληθεύει τη σχέση |x-ξ|<δ, δηλαδή για κάθε σημείο x του πεδίου ορισμού της f(x) το οποίο ανήκει στο διάστημα (ξ-δ,ξ+δ).

Γεωμετρικά το τελευταίο σημαίνει, ότι το κομμάτι της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x), το οποίο αντιστοιχεί στο διάστημα αυτό, βρίσκεται στο οριζόντιο τμήμα που περικλείεται, όπως φαίνεται και από το σχήμα που ακολουθεί, από τις γραφικές παραστάσεις των ευθειών y=f(ξ)-ε και y=f(ξ)+ε (Σχήμα 1).

y

f(ξ)+ε

f(ξ) Cf

f(ξ)-ε

x΄ Ο ξ-δ ξ ξ+δ x

Σχήμα 1 Το τμήμα αυτό είναι τόσο πιο αριστερά, όσο πιο μικρός είναι ο αριθμός ε.

Ο αριθμός δ εξαρτάται από τον αριθμό ε και συγκεκριμένα, όταν ο ε είναι αρκετά μι-κρό, τότε και το δ θα είναι αρκετά μικρός αριθμός.

Ορισμός 4: Αν η συνάρτηση f(x) δεν είναι συνεχής στο σημείο ξ, τότε λέγεται ασυνεχής στο σημείο αυτό.

Παρατήρηση: Μία συνάρτηση f(x) μπορεί να είναι ασυνεχής στο σημείο ξ του πεδίου ορισμού της, όταν ξ είναι σημείο συσσώρευσης για το Μ και επίσης:

1) Όταν δεν υπάρχει το όριό της

2) Αν υπάρχει το όριό της αλλά δεν είναι ίσο με το f(ξ).

Παράδειγμα: Η συνάρτηση f(x)=συνx είναι συνεχής στο σημείο ξ=0. Ότι αφορά την ασυνέχεια μιας συνάρτησης, έστω το ακόλουθο παράδειγμα: η

συνάρτηση , 0( )

1, 0x x

f xx≠⎧

= ⎨ =⎩, όπως έχει προαναφερθεί, δεν έχει όριο για x να τείνει στο

0, αφού 0

lim ( ) (0)x

f x f→

≠ . Κατά συνέπεια η συνάρτηση αυτή θα είναι ασυνεχής στο ση-

μείο ξ=0.

Αρκετές φορές συναντάτε η ακόλουθη κατάσταση: Δίνεται συνάρτηση f(x) με πεδίο ορισμού το Μ και το σημείο ξ δεν ανήκει στο Μ, αλλά είναι σημείο συσσώρευσης για το σύνολο Μ. Θέλουμε επιπρόσθετα να ορίσουμε τη συνάρτηση

Page 47: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

46 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

f(x) στο σημείο ξ και αυτό με τρόπο τέτοιο, ώστε να ληφθεί συνάρτηση όπου θα είναι συνεχής στο σημείο αυτό. Αυτό είναι εφικτό μόνο στην περίπτωση που η συνάρτηση f(x) έχει όριο για x να τείνει στο ξ. Έτσι ο δικός μας σκοπός εκπληρώνεται αν οριστεί

( ) lim ( )x

f f xξ

ξ→

= .

Για παράδειγμα έστω η ακόλουθη συνάρτηση: 1( )f x xx

ημ= , Df=R*.

Ορίζουμε επιπλέον την ισότητα f(0)=0 για ξ=0. Κατά συνέπεια ορίστηκε η συνάρτη-ση για κάθε πραγματικό αριθμό x. Όπως είναι γνωστό

0lim ( ) 0x

f x→

= . Έτσι, αφού

0lim ( ) (0) 0x

f x f→

= = , η συνάρτηση f(x) θα είναι συνεχής για κάθε x∈R.

Αν όμως θεωρήσουμε τη συνάρτηση 1( )f xx

ημ= με Df=R*, οποιαδήποτε

τιμή της και αν πάρουμε θα εξακολουθεί να είναι ασυνεχής στο σημείο ξ=0, αφού το όριο

0lim ( )x

f x→

δεν υπάρχει.

Ορισμός 5: Μία συνάρτηση f(x), με πεδίο ορισμού Μ, λέγεται συνεχής από τ’ αριστερά στο σημείο ξ∈Μ, αν lim ( ) ( )

xf x f

ξξ

−→= (ή lim ( ) ( )

axf x f

ξξ

→=

ή,

lim ( ) ( )x x

f x fξ ξ

ξ→ <

= ).

Ορισμός 6: Μία συνάρτηση f(x), με πεδίο ορισμού Μ, λέγεται συνεχής από τα δεξιά στο σημείο ξ∈Μ, αν lim ( ) ( )

xf x f

ξξ

+→= (ή lim ( ) ( )

xf x f

δξξ

→= ή

,lim ( ) ( )

x xf x f

ξ ξξ

→ >= ).

Παρατηρήσεις: 1) Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο ξ, τότε θα είναι συνεχής και από αριστερά και από δεξιά στο σημείο αυτό και αντίστροφα: αν μία συνάρτηση είναι συνεχής από αριστερά και από δεξιά σε ένα σημείο ξ τότε θα είναι συνεχής στο σημείο αυτό.

2) Μία συνάρτηση μπορεί να είναι συνεχής μόνο από αριστερά, μόνο από δεξιά ή και καθόλου (ασυνεχής). Για παράδειγμα, έστω τρεις τέτοιες συναρτήσεις:

α) | | , 0

( )1, 0

xx xf x x

x

⎧ + ≠⎪= ⎨⎪− =⎩

, συνεχή από αριστερά στο σημείο ξ=0, αφού

0lim ( ) (0) 1x

f x f−→

= = −

β) | | , 0

( )1, 0

xx xg x x

x

⎧ + ≠⎪= ⎨⎪ =⎩

, συνεχή από δεξιά στο σημείο ξ=0, αφού

0lim ( ) (0) 1x

f x f+→

= =

γ) | | , 0

( )0, 0

xx xh x x

x

⎧ + ≠⎪= ⎨⎪ =⎩

, ασυνεχής από αριστερά και από δεξιά, αφού

0 0lim ( ) lim ( ) (0)x x

f x f x f− −→ →

≠ ≠ .

Page 48: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 47

x0

x1

3.3. Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων

Ότι αφορά τη συνέχεια συνάρτησης f(x), θα αναφερθούν κάποια βασικά θεωρήματα – ιδιότητες αυτών και συγκεκριμένα τα ακόλουθα τέσσερα:

Θεώρημα 1: Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής σε ένα σημείο ξ και αν f(ξ)≠ 0, τότε υπάρχει τέτοια περιοχή (ξ-δ,ξ+δ) του σημείου αυτού, στην οποία η συνάρτηση f(x) διατηρεί το πρόσημό της σταθερό.

Θεώρημα 2: Αν οι συναρτήσεις f(x) και g(x) είναι συνεχείς σε ένα σημείο ξ, τότε οι συναρτήσεις f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x).g(x), ( )

( )f xg x

( ( ) 0g ξ ≠ ),επίσης θα είναι συ-

νεχείς στο σημείο ξ.

Θεώρημα 3: Αν η συνάρτηση F(x) είναι συνεχής σε ένα σημείο ξ , ενώ η συνάρτηση f(t) είναι συνεχής σε σημείο τ και αν f(τ)=ξ, τότε η σύνθετη συνάρτηση g(t)=F(f(t)), είναι συνεχής στο σημείο ξ.

Θεώρημα 4: Αν η συνάρτηση f(t), ορισμένη σε ένα διάστημα Δ, είναι γνησίως αύξουσα (ή γνησίως φθίνουσα) στο διάστημα αυτό, τότε η αντίστροφή της g(x) είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της. (Σχήμα 2).

y

x2

ξ+δ x=g(t)

ξ-δ

x΄ Ο τ-ε τ τ+ε x

Σχήμα 2 Αν x∈Ν και |x-ξ|<δ, τότε θα ισχύει, ότι x1<x<x2. Από το τελευταίο και

αφού η συνάρτηση g(x) είναι γνησίως αύξουσα, συνεπάγεται, ότι g(x1)<g(x)<g(x2). Αλλά όμως g(x1)=τ-ε=g(ξ)-ε και g(x2)=τ+ε=g(ξ)+ε και κατά συνέπεια για x∈Ν και |x-ξ|<δ λαμβάνεται, ότι g(ξ)-ε<g(x)<g(ξ)+ε, από το οποίο |g(x)-g(ξ)|<ε 3.4. Συνέχεια βασικών συναρτήσεων

Αποδεικνύεται ότι είναι συνεχείς οι ακόλουθες δέκα βασικές συναρτήσεις: i. f(x)=c, c∈R, Df=R ii. f(x)=x, Df=R iii. f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, Df=R iv. f(x)=αx, α>0, α≠ 1, Df=R v. f(x)=logαx, α>0, α≠ 1, Df=R*

+ vi. f(x)=xα, α>0, α≠ 1, Df=R+ vii. f(x)=ημx, Df=R viii. f(x)=συνx, Df=R

ix. f(x)=εφx, x≠ κπ+2π

, κ∈Ζ

Page 49: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

48 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

x. f(x)=σφx, x≠ κπ, κ∈Ζ 3.5. Βασικά θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων

Εξάγονται βασικά συμπεράσματα για τη συνέχεια συναρτήσεων σε κλειστό, πεπερασμένο διάστημα [α,β] και συγκεκριμένα τα ακόλουθα τέσσερα θεωρήματα:

Θεώρημα 1 (Θεώρημα φραγής): Αν μία συνάρτηση f(x) είναι συνεχής σε πεπερασμένο κλειστό διάστημα [α,β], τότε είναι φραγμένη στο διάστημα αυτό.

Έστω για παράδειγμα η συνάρτηση 1( )f xx

= , x∈(0,1]. Η συνάρτηση αυτή

είναι συνεχής (ξ=0) αλλά μη φραγμένη στο διάστημα αυτό. Άρα το προαναφερόμενο θεώρημα δεν ισχύει, αλλά δεν αναιρεί το θεώρημα, αφού το διάστημα όπου ερευνάται είναι ανοιχτό από αριστερά.

Ακόμη ένα παράδειγμα: 1 , 0

( )0, 0

xf x x

x

⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩

. Ούτε εδώ ισχύει το θεώρημα,

αφού η συνάρτηση f(x) είναι μη φραγμένη και ασυνεχής (ξ=0) στο διάστημα [0,1].

Ας θεωρήσουμε για παράδειγμα τη συνάρτηση f(x)=x2, x∈[0,2], η οποία είναι συνεχής στο σημείο ξ=2 καθώς επίσης και φραγμένη, αφού κάθε τιμή της είναι μικρότερη του 4. Άρα το προαναφερόμενο θεώρημα ισχύει.

Θεώρημα 2 (Θεώρημα Weierstrass (1815 – 1897)): Αν μία συνάρτηση f(x) είναι συνεχής σε πεπερασμένο κλειστό διάστημα [α,β], τότε έχει μία ελάχιστη και μία μέγιστη τιμή.

Αφού η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], με βάση το θεώρημα 1, θα είναι και φραγμένη στο διάστημα αυτό. Αυτό σημαίνει, ότι το σύνολο των συναρτησιακών της τιμών είναι φραγμένο. Έτσι η μεγαλύτερη τιμή της f(x), αν αυτή υπάρχει, θα ταυτίζεται με το ακριβώς άνω φράγμα της, ενώ η μικρότερή της τιμή, αν επίσης υπάρχει, θα ταυτίζεται με το ακριβώς κάτω φράγμα της f(x).

Έστω ένα παράδειγμα: η συνάρτηση 1( )f x xx

= − , x∈(1,+∞ ). Η συνάρτηση

αυτή είναι φραγμένη στο διάστημα αυτό, αφού κάθε τιμή της είναι μικρότερη του 1. Επίσης είναι γνησίως αύξουσα στο (1,+∞ ), κατά συνέπεια δεν παρουσιάζει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή (ακρότατα).

Θεώρημα 3 (Θεώρημα Bolzano (1781 – 1848)): Αν μία συνάρτηση f(x) είναι συνεχής σε πεπερασμένο κλειστό διάστημα [α,β] και αν f(α)≠ f(β), ενώ λ είναι αριθμός μεταξύ των f(α) και f(β), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο μ στο διάστημα (α,β), για το οποίο f(μ)=λ.

Όταν το γινόμενο f(α)f(β) είναι αρνητικό, που σημαίνει, ότι f(α)<0 (ή f(α)>0) και f(β)>0 (ή f(β)<0), η συνάρτηση f(x) πρέπει να γίνει ίση με το μηδέν για τουλάχι-στον μία τιμή του x εκ του διαστήματος [α,β].

Έστω συνάρτηση f(x) η οποία είναι ορισμένη, συνεχής και φραγμένη σε ένα διάστημα [α,β] με f(x)≠ c∈R και Α να είναι το ακριβώς άνω φράγμα της ενώ Β το ακριβώς κάτω φράγμα της. Με βάση το θεώρημα 3, θα υπάρχουν δύο σημεία x΄ και x΄΄ του διαστήματος [α,β], για τα οποία f(x΄)=Β και f(x΄΄)=Α.

Page 50: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 49

Αν υποθέσουμε, ότι x΄=x΄΄, τότε Α=Β και κατά συνέπεια f(x)=c πράγμα άτοπο, άρα x΄≠ x΄΄.

Έστω το διάστημα [x΄,x΄΄] το οποίο είναι υποδιάστημα του διαστήματος [α,β]. Αφού η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο [x΄,x΄΄] και αφού λαμβάνει στα άκρα του τιμές Β και Α, τότε με βάση το θεώρημα 3, η συνάρτηση f(x) θα λαμβάνει και κάθε τιμή μεταξύ των τιμών x΄ και x΄΄. Αλλά Β≤ f(x)≤Α, άρα οι συναρτησιακές τιμές της θα ανήκουν στο διάστημα [Β,Α].

Συμπέρασμα 1: Έστω ότι η συνάρτηση f(x) είναι φραγμένη, συνεχής και ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και Α, Β είναι αντίστοιχα το ακριβώς άνω και το ακριβώς κάτω φράγμα της στο διάστημα αυτό. Τότε αν x΄, x΄΄∈Δ, θα ισχύει, ότι |f(x΄)-f(x΄΄)|≤Α-Β.

Θεώρημα 4: Αν μία συνάρτηση f(x) είναι συνεχής σε πεπερασμένο κλειστό διάστημα [α,β], τότε για κάθε θετικό αριθμό ε, υπάρχει τέτοιος θετικός αριθμός δ, ώστε σε κάθε υποδιάστημα του διαστήματος [α,β] με μήκος μικρότερο του δ, ο αριθμός Α-Β είναι μικρότερος του ε, όπου Α και Β να είναι το ακριβώς κάτω και το ακριβώς άνω φράγμα της συνάρτησης f(x).

Πραγματικά, έστω ε θετικός τυχαίος πραγματικός αριθμός. Διαιρείται το διάστημα [α,β] σε πεπερασμένο αριθμό υποδιαστημάτων, έτσι ώστε για κάθε ένα από τα υποδιαστήματα αυτά, η αντίστοιχη διαφορά Α-Β του προαναφερόμενου συμπερά-σματος, να είναι μικρότερη το θετικού πραγματικού αριθμού

2ε .

Έστω δ να είναι το μήκος του μικρότερου εκ των λαμβανόμενων υποδιαστη-μάτων του διαστήματος [α,β]. Θεωρούμε τυχαίο υποδιάστημα [γ,δ] του διαστήματος [α,β], αλλά τέτοιο, ώστε το μήκος του δ-γ να είναι μικρότερου του μήκους δ.

Με βάση το θεώρημα 2, αν Α είναι το ακριβώς άνω φράγμα και Β είναι το ακριβώς κάτω φράγμα της συνάρτησης f(x) στο διάστημα [γ,δ], τότε υπάρχουν σημεία x1 και x2 του διαστήματος αυτού για τα οποία f(x1)=Α και f(x2)=Β. Αλλά x2-x1<δ και κατά συνέπεια για τα δύο αυτά σημεία x1 και x2 υπάρχουν δύο περιπτώσεις:

α) Να ανήκουν και τα δύο σε ένα εκ των υποδιαστημάτων που διαιρέθηκε το διάστημα [α,β]. Τότε η απόλυτη διαφορά |f(x΄)-f(x΄΄)| είναι μικρότερη ή ίση της αναφερόμενης στο τελευταίο συμπέρασμα διαφοράς, δηλαδή στην προκείμενη περίπτωση της Α-Β, για το αντίστοιχο υποδιάστημα.

β) Να ανήκουν σε δύο γειτονικά υποδιαστήματα εκ των υποδιαστημάτων στα οποία διαιρέθηκε το διάστημα [α,β]. Τότε έστω [μ,ν] και [ν,ξ] να είναι δύο τέτοια γειτονικά υποδιαστήματα του [α,β], με x1∈[μ,ν] και x2∈[ν,ξ]. Τότε θα ισχύει, ότι:

|f(x1)-f(x2)|=|f(x1)-f(ν)+f(ν)-f(x2)|=|[f(x1)-f(ν)]+[f(ν)-f(x2)]|≤

≤ |f(x1)-f(ν)|+|f(ν)-f(x2)|≤2 2ε ε+ =ε. Κατά συνέπεια |f(x1)-f(x2)|<ε.

Επομένως και στις δύο περιπτώσεις α) και β) θα ισχύει, ότι Α-Β=f(x1)-f(x2)<ε.

Συμπέρασμα 2: Αν μία συνάρτηση f(x) είναι συνεχής σε πεπερασμένο κλει-στό διάστημα [α,β], τότε για κάθε θετικό αριθμό ε, υπάρχει τέτοιος θετικός αριθμός δ, ώστε για x∈[α,β] και y∈[α,β] από την ανισότητα |x-y|<δ, συνεπάγεται, ότι |f(x)-f(y)|<ε.

Page 51: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

50 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

3.6. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Με τη βοήθεια του ορισμού Cauchy, να αποδειχτεί, ότι οι ακόλουθες συναρτήσεις είναι συνεχείς:

i. f(x)=2x+5, σε τυχαίο σημείο ξ∈R ii. f(x)=x2, σε τυχαίο σημείο ξ∈R

iii.2

2

2( )2 3

xf xx x

−=

− −, ξ=1

Λύση

i. Έστω τυχαίος αριθμός ε>0. Τότε |f(x)-f(ξ)|=|(2x+5)-(2ξ+5)|=|2x+5-2ξ-5|=|2x-2ξ|=2|x-ξ|. Επιλέγεται δ=

2ε >0 και τότε για κάθε x θα ισχύει |x-ξ|<

2ε και κατά

συνέπεια |f(x)-f(ξ)|<ε, οπότε η συνάρτηση f(x) θα είναι συνεχής.

ii. Έστω x είναι τέτοιο σημείο, ώστε να επαληθεύεται η |x-ξ|<α. Με βάση την τριγωνική ανισότητα |x|-|ξ|<|x-ξ|, θα ισχύει, ότι |x|-|ξ|<α⇔ |x|<|ξ|+α. Έστω ε τυχαίο θετικός αριθμός. Τότε |f(x)-f(ξ)|=|x2-ξ2|=|x-ξ||x+ξ|≤ |x-ξ|(|x|+|ξ|)<|x-ξ|(|ξ|+α+|ξ|)=|x-ξ|(2|ξ|+α).

Επιλέγεται θετικός αριθμός δ, ώστε να είναι ο μικρότερος εκ των αριθμών α και

2 | | aεξ +

, οπότε για κάθε x με |x-ξ|<δ, θα ισχύει, ότι |x-ξ|<α και |x-ξ|<2 | | a

εξ +

. Κατά

συνέπεια |f(x)-f(ξ)|≤ |x-ξ|(2|ξ|+α)< ( )2 | |2 | |

a εξξ α

++

=ε, το οποίο σημαίνει, ότι η συ-

νάρτηση f(x) είναι συνεχής για κάθε x.

iii. Έστω x είναι τέτοιο σημείο, ώστε να επαληθεύεται η |x-ξ|<1⇔ |x-1|<1, έτσι ώστε το πρόσημο του παρανομαστή να μην αλλάζει και μάλιστα στη συγκεκρι-μένη περίπτωση ο παρανομαστής είναι πάντα αρνητικός για τις τιμές αυτές του x. Τό-τε και λαμβάνοντας υπ’ όψιν, ότι 0<x<2 (αφού |x-1|<1) θα έχουμε:

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 1 2 2 1 3 2 5| ( ) (1) |42 3 1 2.1 3 2 3 4( 2 3)

3 2 5 3 2 5 3 2 5 | 1 || 3 5 |4( 2 1 4) 4 ( 1) 4 4 4 ( 1) 4 4 ( 1)

x x x xf x fx x x x x x

x x x x x x x xx x x x x

− − − + −− = − = − = =

− − − − − − − −

+ − + − + − − += = = =

− + − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Αλλά x<2⇔ 3x<6⇔ 3x+5<11 και επίσης: |x-1|<1⇔ (x-1)2<1⇔ -(x-1)2>-1

⇔ 4-(x-1)2>4-1⇔ 4-(x-1)2>3⇔ 4[4-(x-1)2]>12. Άρα 11| ( ) (1) | | 1 |12

f x f x− ≤ − .

Έστω ε τυχαίο θετικός αριθμός και έστω δ να είναι ο μικρότερος εκ των

αριθμών 1 και 1211

ε . Τότε θα ισχύει |x-1|<1⇔ |x-1|<1211

. Κατά συνέπεια λαμβάνεται,

ότι: 11| ( ) (1) | | 1|12

f x f x ε− ≤ − < , το οποίο δηλώνει, ότι η συνάρτηση είναι συνεχής

στο σημείο ξ=1.

Άσκηση 2: Να αποδειχτεί, ότι οι ακόλουθες συναρτήσεις, για τα αντίστοιχα σημεία ξ, είναι συνεχείς:

Page 52: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 51

32. ( ) ,ξ=0 . ( ) , 0

1. ( ) | |, 1

xi f x x iii f xx

ii f x x

ξ

ξ

= = =+

= = −

Λύση

iii. 2 20 0

0lim ( ) lim 01 0 1x x

xf xx→ →

= = =+ +

, 2

0(0) 00 1

f = =+

, οπότε 0

lim ( ) ( )x

f x f ξ→

= και κατά

συνέπεια η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο σημείο ξ=0.

Άσκηση 3: Να μελετηθεί που είναι ασυνεχείς οι ακόλουθες συναρτήσεις:

2, 1 1

, 1 0. ( ) . ( ) 1, 1

1,0 15 ,1

x xx x

i f x ii f x xx x

x x

− ≤ <⎧⎧ − ≤ < ⎪= = =⎨ ⎨

+ ≤ ≤⎩ ⎪ − <⎩

Λύση

ii.1 1

lim ( ) lim 1x x

f x x− −→ →

= = , 1 1

lim ( ) lim(5 ) 5 1 4x x

f x x+ +→ →

= − = − = , οπότε 1 1

lim ( ) lim ( )x x

f x f x+ −→ →

≠ και

κατά συνέπεια δεν υπάρχει το όριο της συνάρτησης για x να τείνει στο 1, αλλά μόνο πλευρικά. Έτσι η συνάρτηση αυτή είναι ασυνεχής. Επίσης από τα προαναφερόμενα πλευρικά όρια, το όριο x→1+ είναι διαφορετικό από το f(1), το οποίο ισούται με 1, ενώ το

1limx

x−→

ισούται με το f(1).

Άσκηση 4: Να αποδειχτεί, ότι η ακόλουθη συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο ξ=0:

( ) ( )2 2 2

22 32 2 2

( ) ...1 1 1

x x xf x xx x x

= + + + ++ + +

Λύση

Το δεξιό μέλος της συνάρτησης f(x) είναι άθροισμα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο α1=x2 και λ=

2

11 x+

, για την οποία, αν x≠ 0, ισχύει ότι: |λ|<1.

Κατά συνέπεια και με βάση τον τύπο αθροίσματος φθίνουσας γεωμετρικής προόδου,

λαμβάνεται, ότι: 2 2

2

1( ) 1111

f x x x

x

= = +−

+

. Επομένως f(0)=1+02=1. Αλλά

2 2

0 0lim ( ) lim(1 ) 1 0 1x x

f x x→ →

= + = + = . Άρα 0

lim ( ) (0)x

f x f→

= . Κατά συνέπεια η συνάρτηση

f(x) είναι συνεχής στο σημείο ξ=0.

Άσκηση 5: Να προσδιοριστεί η μεταβλητή b∈R, ώστε οι ακόλουθες συναρ-

τήσεις να είναι συνεχείς στα αντίστοιχα σημεία:

2

2 2

3, 02, 1 , 2 4. ( ) . ( ) . ( )3π 1, 1, 2 , 4

x xbx x x xi f x ii f x iii f x

xx x x bx x b x

πημ

π

⎧ ≤ ≤⎪+ ≤ ⎧ ≤⎧ ⎪ ⎪= = =⎨ ⎨ ⎨> + − >⎪⎩ ⎩ ⎪ + <

⎪⎩

Λύση

i. Η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στα διαστήματα (-∞ ,1) και (1,+∞ ) για κάθε τιμή της μεταβλητής b.

Page 53: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

52 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Αλλά 2 2

1 1lim ( ) lim 1 1x x

f x x+ +→ →

= = = και 1 1

lim ( ) lim( 2) .1 2 2x x

f x bx b b− −→ →

= + = + = + ,

ενώ f(1)=b.1+2=b+2. Για να είναι συνεχής και στο σημείο ξ=1 πρέπει να ισχύει:

1 1lim ( ) lim ( ) (1)x x

f x f x f+ −→ →

= = . Επομένως b+2=1⇔ b=-1.

Άσκηση 6: Να βρεθούν τα σημεία ασυνέχειας των ακόλουθων συναρτήσεων:

2

, 01 , 0 11. ( ) 1 . ( ) 1,

1 1, 11 , 0 1

x xx

i f x x ii f x xx x xx x

≤⎧⎧⎪ ≤ <⎪ ⎪= > = −⎨ ⎨

−⎪ ⎪ + ≥⎩− < ≤⎪⎩

Λύση

i. Οι συναρτήσεις x, 1-x και 11 x−

είναι συνεχείς στα διαστήματα (-∞ ,0], (0,1] και

(1,+∞ ), αντίστοιχα. Γι’ αυτό αν η συνάρτηση f(x) είναι ασυνεχής σε κάποιο σημείο, τότε αυτό θα είναι κοντά στο ξ=0 ή στο ξ=1.

Ισχύει, ότι f(0)=0 και 0 0

lim ( ) lim(1 ) 1 0 1 (0)x x

f x x f+ +→ →

= − = − = ≠ , επομένως η συ-

νάρτηση f(x) είναι ασυνεχής στο σημείο ξ=0.

Επίσης f(1)=0 και 1 1

1 1lim ( ) lim1 1 1x x

f xx+ +→ →

= = = −∞− −

, επομένως, αφού δεν

υπάρχει πεπερασμένο όριο για τη συνάρτηση f(x), η συνάρτηση είναι ασυνεχής στο σημείο ξ=1.

Άσκηση 7: Να μελετηθεί αν έχουν ρίζες οι ακόλουθες εξισώσεις: 5 4 3 2

3 5 4 3 2

. 3 1 0, [1,2] . 7 14 14 24 0, [2,5]. 3 1 0, [ 1,0] i . 9 9 14 14 0, [3, )

i x x x iii x x x x xii x x x v x x x x x x

− + = ∈ − + − + = ∈

− + = ∈ − + − − + + = ∈ +∞

Λύση

i. Ισχύει, ότι f(1)=15-3.1+1=1-3+1=-1 και f(2)=25-3.2+1=32-6+1=27 και κατά συνέπεια f(1)f(2)=(-1)(27)=-27<0. Άρα με βάση το θεώρημα του Bolzano, η εξίσωση αυτή έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα [1,2].

iv. Ισχύει, ότι: 5 4 3 2 3 2 2 29 9 14 14 ( 9) ( 9) (14 14)x x x x x x x x x x+ − − + + = − + − + + . Οι δύο πρώτοι προ-

σθετέοι του δεύτερου μέλους είναι θετικοί, ενώ ο τρίτος προσθετέος, για x≥3, είναι θετικός. Άρα η εξίσωση αυτή αποτελείται από θετικούς προσθετέους, άρα δεν μηδε-νίζεται.

Άσκηση 8: Να λυθεί η ακόλουθη ανίσωση 0x xημ συν− > .

Λύση

i. Αφού η συνάρτηση f(x)=ημx-συνx είναι συνεχής, ως διαφορά συνεχών βα-σικών συναρτήσεων, η άσκηση οδηγείται προς τη λύση της εξίσωσης ημx-συνx=0 με τη βοήθεια του θεωρήματος Bolzano. Οι λύσεις της στο διάστημα [0,2π] είναι

4π και

Page 54: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 53

54π , οι οποίες διαιρούν το διάστημα [0,2π] σε τρία υποδιαστήματα 0,

4π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦, 5,

4 4π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

και 5 , 24π π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦. Η συνάρτηση f(x) διατηρεί το πρόσημό της σε κάθε ένα από τα προα-

ναφερόμενα διαστήματα. Γι’ αυτό προκειμένου να προσδιοριστεί το πρόσημό της, αρκεί να βρεθεί σε κάθε περίπτωση η τιμή της σε κάποιο εσωτερικό, για τα διαστή-ματα αυτά, σημείο.

α) Για το διάστημα 0,4π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦

Έστω x=6π , οπότε: 1 3 1 3 0

6 6 6 2 2 2f π π πημ συν −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = <⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, άρα

f(x)<0 για κάθε x∈ 0,4π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦, οπότε ημx-συνx<0.

β) Για το διάστημα 5,4 4π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Έστω x=2π , οπότε: 1 0 1 0

2 2 2f π π πημ συν⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = >⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, άρα f(x)>0 για

κάθε x∈ 5,4 4π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, οπότε ημx-συνx>0.

γ) Για το διάστημα 5 , 24π π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦

Έστω x=32π

, οπότε: 3 3 3 1 0 1 02 2 2

f π π πημ συν⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − − = − <⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, άρα

f(x)<0 για κάθε x∈ 5 ,24π π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦, οπότε ημx-συνx<0.

Κατά συνέπεια η σχέση ημx-συνx>0 ισχύει στο διάστημα 5,4 4π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Επίσης η συνάρτηση f(x) είναι περιοδική και έτσι η λύση της είναι το διάστη-

μα 52 , 24 4π πκπ κπ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

, κ∈Ζ.

Άσκηση 9: Για ποιες τιμές του α∈R οι συναρτήσεις που ακολουθούν είναι συνεχείς

στα αντίστοιχα σημεία; 2 3ln(1 ), 0 ln | | , 0

. ( ) . ( ), 0 , 0

x x x x x xi f x ii f x

a x a x⎧ ⎧+ ≠ ≠

= =⎨ ⎨= =⎩ ⎩

Page 55: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

54 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

φ

Γ(ξ+Δx, f(ξ+Δx))

Κεφάλαιο 4ο: Παράγωγος συνάρτησης

μιας μεταβλητής 4.1. Εισαγωγή

Η έννοια της παραγώγου συνάρτησης είναι μία από τις βασικότερες έννοιες των σύγχρονων μαθηματικών την οποία ανέλυσαν για πρώτη φορά το 17ο αιώνα. Πρώτος πλησίασε την έννοια αυτή ο Γάλλος μαθηματικός Fermat (1601 – 1665) κατά την κατασκευή εφαπτόμενης σε καμπύλη γραμμή (Σχήμα 1).

Y Cf

β γ Μ(ξ, f(ξ)) Ζ α Ε x΄ O Δ A Δx Β x y΄

Σχήμα 1

Ο Fermat κατασκεύασε τη γραφική παράσταση Cf συνάρτησης y=f(x) και από το σημείο Μ της καμπύλης, στο οποίο ήθελε να κατασκευάσει εφαπτόμενη ευθεία β, πρώτα κατασκευάζει την γ (τέμνουσα ΕΜΓ), όπου Ε το σημείο τομής της τέμνουσας με τον άξονα x´x. Εν συνεχεία κατασκεύασε τις κάθετες ΜΑ και ΓΒ προς τον x´x, ενώ από το Μ κατασκεύασε ευθεία α//x´x. Αν Ζ είναι το σημείο τομής των

α, ΓΒ τότε για τα τρίγωνα Δ

ΜΑΕ και Δ

ΜΓΖ θα ισχύουν τα ακόλουθα:

1. ο90ˆˆ =Γ= ZMEAM

2. ΖΓΜ=ΑΜΕ ˆˆ (ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη με ΜΑ//ΓΖ) Επομένως τα δύο αυτά τρίγωνα είναι όμοια και κατά συνέπεια:

. ( ). ( )( ) ( )( ) ( )

AE MA f x fAE f x fMZ f x fx

ξ ξξ ξξ ξ

ΜΑΜΖ Δ= ⇔ ΑΕ = ⇔ ΑΕ = ⇔ =

+ Δ −ΓΖ ΓΖ + Δ −Δ

Όταν το σημείο Γ πλησιάζει (τείνει) στο σημείο Μ, τότε η τέμνουσα ΕΜΓ

πλησιάζει (τείνει) προς την εφαπτομένη β και το Δx πλησιάζει (τείνει) στο μηδέν. Τό-

τε λαμβάνεται το εξής: ΑΔ= ( )( )

ffξξ

, όπου f´(ξ) είναι ο αριθμός ( ) ( )f x fx

ξ ξ+ Δ −Δ

, με Δx

να τείνει στο μηδέν. Αν το σημείο Μ είναι γνωστό και ορίζεται από την ΑΔ, η εφα-

Page 56: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 55

πτομένη στην καμπύλη Cf στο σημείο Μ κατασκευάζεται σαν ευθεία διερχόμενη από τα σημεία Μ και Δ.

Κατά όπως φαίνεται ο Fermat χρησιμοποίησε το όριο του ( ) ( )f x fx

ξ ξ+ Δ −Δ

, ό-

ταν το Δx να τείνει στο μηδέν, δηλαδή 0

( ) ( )limx

f x fx

ξ ξΔ →

+ Δ −Δ

. Συμβολίζεται το όριο

αυτό με f΄(ξ) το οποίο ονομάστηκε το 17ο παράγωγος συνάρτησης στο σημείο με τε-τμημένη ξ.

4.2. Βασικές έννοιες και ορισμοί παραγώγου συνάρτησης 4.2.1. Ορισμός της παραγώγου συνάρτησης

Ορισμός 1: Λέγεται, ότι η συνάρτηση f(x) είναι παραγωγίσιμη στο σημείο ξ, αν υπάρχει το όριο

xy

x ΔΔ

→Δ 0lim , όπου Δy=f(ξ+Δx)-f(ξ). Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος

της συνάρτησης f(x) στο σημείο ξ και συμβολίζεται με f΄(ξ).

Επισημαίνεται, ότι αντί του συμβολισμού f΄(x) μπορεί να χρησιμοποιηθεί και

ο συμβολισμός ( )df xdx

ή dfdx

ή f΄x(x). Ο τελευταίος συμβολισμός επισημαίνει, ότι η

παραγώγιση της συνάρτησης f(x) γίνεται ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή x. Στην περίπτωση που η συνάρτηση αναγράφεται με τη μορφή y=f(x), τότε χρησιμο-ποιείται ο συμβολισμός y΄ ή dy

dx ή y΄x.

Από τον ορισμό συμπεραίνεται ότι η παράγωγος τυχαίας συνάρτησης f(x) μπορεί να υπολογιστεί μόνο για τα σημεία του πεδίου ορισμού της. Για τον υπολο-γισμό της παραγώγου συνάρτησης ακολουθούμε τα εξής βήματα:

1. Υπολογίζεται η μεταβολή της συνάρτησης Δy=f(ξ+Δx)-f(ξ), σε σχέση με τη με-ταβολή Δx.

2. Υπολογίζεται ο λόγος xy

ΔΔ .

3. Υπολογίζεται το όριοxy

x ΔΔ

→Δ 0lim .

Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε την παράγωγο της συνάρτησης f(x)=4x+5, x∈R με τη βοήθεια του ορισμού της. Τότε εργαζόμαστε με τον ακόλουθο τρόπο:

Για τυχαίο Δx≠ 0 θα έχουμε τα εξής:

1. Δy=f(ξ+Δx)-f(ξ)=4(ξ+Δx)+5-(4ξ+5)= 4ξ+4Δx+5-4ξ-5=4Δx.

2. 44=

ΔΔ

=ΔΔ

xx

xy .

3. 0

lim 4x

yxΔ →

Δ=

Δ.

Επομένως η f´(ξ) υπάρχει και y´=f΄(ξ)=4. Παρατηρείται ότι η f´(ξ) ισχύει για κάθε ξ∈R. Γι’ αυτό η παράγωγος της συνάρτησης f(x)=4x+5 στο πεδίο ορισμού της

Page 57: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

56 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

R είναι y´=f´(x)=4. Τότε η συνάρτηση f(x) λέγεται παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της R και γράφεται f´(x)=4 ή (4x+5)΄=4.

Παρατήρηση: Η παράγωγος της συνάρτησης f(x) στο σημείο ξ μπορεί να

γραφεί και ως f΄(ξ)= ( ) ( )limx

f x fxξ

ξξ→

−−

.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, κατά τον υπολογισμό της παραγώγου συνάρτησης με τη βοήθεια του ορισμού της, προτείνεται η τελευταία γραφή και αυτό γιατί μας διευκολύνει καλύτερα.

Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε την παράγωγο της συνάρτησης f(x)=x2. Τότε προτείνεται να εργαζόμαστε ως εξής:

2 2

3 3 3 3

( ) (3) 3 ( 3)( 3)lim lim lim lim( 3) 3 3 63 3 3x x x x

f x f x x x xx x x→ → → →

− − − += = = + = + =

− − −. Άρα για ξ=3 η παρά-

γωγος της συνάρτησης f(x)=x2 θα είναι ίση με το 6.

Επίσης αν τεθεί x-ξ=h, οπότε x=ξ+h, λαμβάνεται, ότι η παράγωγος της f(x) στο σημείο ξ, θα ισούται με f΄(ξ)=

0

( ) ( )limh

f h fh

ξ ξ→

+ − .

Ορισμός 2: Λέγεται, ότι η συνάρτηση f(x) είναι παραγωγίσιμη από δεξιά στο σημείο ξ, όταν υπάρχει το όριο ( ) ( )lim

x

f x fxξ

ξξ+→

−−

ή 0

( ) ( )limh

f h fh

ξ ξ+→

+ − .

Το όριο αυτό λέγεται δεξιά παράγωγος της συνάρτησης f(x) στο σημείο ξ και συμβολίζεται με ( )f ΄ ξ+ ή ( )f ΄δ ξ .

Ορισμός 3: Λέγεται, ότι η συνάρτηση f(x) είναι παραγωγίσιμη από αριστερά στο σημείο ξ, όταν υπάρχει το όριο ( ) ( )lim

x

f x fxξ

ξξ−→

−−

ή 0

( ) ( )limh

f h fh

ξ ξ−→

+ − . Το όριο αυτό

λέγεται αριστερή παράγωγος της συνάρτησης f(x) στο σημείο ξ και συμβολίζεται με ( )f ΄ ξ− ή ( )af ΄ ξ .

Εύκολα διαπιστώνεται, ότι μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο ξ, αν ( )f ΄δ ξ = ( )af ΄ ξ =λ, τότε ( )f΄ ξ =λ, λ∈R. Και αντίστροφα, δηλαδή, αν μία συνάρτηση f(x) είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο ξ με ( )f΄ ξ =λ, λ∈R, τότε υπάρ-χουν πλευρικές παράγωγοι ( )f ΄δ ξ και ( )af ΄ ξ , οι οποίες μεταξύ των άλλων είναι και ίσες με τον πραγματικό αριθμό λ.

Για να γίνεται λόγος για δεξιά παράγωγο μιας συνάρτησης f(x), δεν είναι απαραίτητο το σημείο ξ να ανήκει στο πεδίο ορισμό της συνάρτησης αυτής, να είναι δηλαδή η f(x) ορισμένη υποχρεωτικά σε μία περιοχή (ξ-δ,ξ+δ) του σημείου ξ. Αρκεί να ορίζεται σε ένα διάστημα της μορφής [ξ,ξ+δ).

Ανάλογα, για να υπάρχει η αριστερή παράγωγος μιας συνάρτησης, αρκεί αυτή να ορίζεται σε ένα διάστημα της μορφής (ξ-δ,ξ].

Θεώρημα: Αν η συνάρτηση f(x) είναι παραγωγίσιμη στο σημείο ξ, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Παρατηρήσεις:

Page 58: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 57

1) Το αντίστροφο του προηγούμενου θεωρήματος δεν ισχύει πάντα, δηλαδή αν μία συνάρτηση f(x) είναι συνεχής σε σημείο ξ, δεν είναι υποχρεωτικά και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση ( ) | |f x x= η οποία είναι συνεχής στο ση-μείο ξ=0.

Αλλά όμως: 0 0 0 0

( ) (0) | | | 0 |(0) lim lim lim lim ( 1) 10a

x x x x

f x f x xf΄x x x− − − −→ → → →

− − −= = = = − = −

− ενώ από την

άλλη πλευρά: 0 0 0 0

( ) (0) | | | 0 |(0) lim lim lim lim 1 10x x x x

f x f x xf΄x x xδ + + + +→ → → →

− −= = = = =

−. Άρα

(0) (0)af΄ f΄δ≠ και κατά συνέπεια η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη.

2) Από την ύπαρξη της αριστερής ή της δεξιάς παραγώγου, συνεπάγεται, ότι η συνάρτηση είναι συνεχής αντίστοιχα από αριστερά ή από δεξιά.

3) Για να είναι μία συνάρτηση f(x) παραγωγίσιμη σε ένα σημείο ξ του πεδίου ορισμού της, πρέπει να είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Άρα αν θέλουμε να αποδείξουμε, ότι μία συνάρτηση f(x) είναι μη παραγωγίσιμη σε σημείο ξ, αρκετό είναι να δείξουμε, ότι η συνάρτηση αυτή είναι ασυνεχής στο σημείο αυτό. 4.2.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Να υπολογιστεί η παράγωγος της συνάρτησης f(x)=x2-1, x∈R. Λύση

Για τυχαίο Δx≠ 0 θα έχουμε τα εξής:

1. Δy=f(ξ+Δx)-f(ξ)=(ξ+Δx)2-1-(ξ2-1)=ξ2+2ξΔx+Δx2-1-ξ2+1=2ξΔx+Δx2.

2. ( )2 22 2x xy x x x

x x xξξ ξ+ Δ ΔΔ Δ + Δ

= = = + ΔΔ Δ Δ

.

3. ( )0 0

lim lim 2 2 0 2x x

y xx

ξ ξ ξΔ → Δ →

Δ= + Δ = + =

Δ.

Άσκηση 2: Να υπολογιστεί παράγωγος της συνάρτηση f(x)=x3, x∈R,

στο σημείο με τετμημένη 2. Λύση

1. Δy=f(ξ+Δx)-f(ξ)=(ξ+Δx)3-ξ3= ξ3+3ξ2Δx+3ξΔx2+Δx3-ξ3 =

=3ξ2Δx+3ξΔx2+Δx3.

2. =ΔΔ

xy 2 2 33 3x x x

xξ ξΔ + Δ + Δ

Δ=

2 2(3 3 )x x xx

ξ ξ+ Δ + Δ ΔΔ

=3ξ2+3ξΔx+Δx2

3. 0

limx

yxΔ →

Δ=

Δ2 2 2

0lim(3 3 ) 3 3 .0 0x

x xξ ξ ξ ξΔ →

+ Δ + Δ = + + =3ξ2.

Επομένως f´(ξ)= 3ξ2 και για ξ=2 θα ισχύει ότι f´(2)=12.

Page 59: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

58 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Άσκηση 3: Να υπολογιστεί η παράγωγος της συνάρτησης f(x)=x2.

Άσκηση 4: Να υπολογιστεί η παράγωγος της συνάρτησης f(x)=x4.

Άσκηση 5: Να υπολογιστεί η παράγωγος της συνάρτησης f(x)=x−1

1 στο

ξ=2.

4.3. Γεωμετρική ερμηνεία της έννοιας παράγωγος συνάρτησης 4.3.1. Γεωμετρική απεικόνιση της παραγώγου συνάρτησης

Από την ισότητα ΑΔ= ( )( )

ffξξ

, στην οποία κατέληξε ο Fermat, συνεπάγεται

ότι f´(ξ)= ( )f ξΔΑ

. Όπως φαίνεται και στο προαναφερόμενο σχήμα (Σχήμα 1), στο

τρίγωνο Δ

ΔΑΜ ο λόγος ( )f ξΔΑ

είναι η εφφ.

Η παράγωγος της συνάρτησης f(x) στο σημείο με τετμημένη ξ είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης f(x) στο σημείο Μ(ξ, f(ξ)) με τον Οx. Η εφφ λέγεται και συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης στην Cf και συμβολίζεται με το γράμμα λ. Η εξίσωση της εφαπτομένης στη Cf στο σημείο Μ(ξ, f(ξ)) είναι η y-f(ξ)=f´(ξ)(x-ξ).

Για παράδειγμα, να βρεθεί η f΄(23 ) και να υπολογιστεί ο συντελεστής

διεύθυνσης της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=x2 στο

σημείο Μ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

23,

23 f καθώς και η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα Οx.

Αρχικά υπολογίζεται με τον προαναφερόμενο τρόπο η f´(x):

1. Δy=f(ξ+Δx)-f(ξ)=(ξ+Δx)2-ξ2= ξ2+2ξΔx+Δx2-ξ2=2ξΔx+Δx2.

2. =ΔΔ

xy 22 (2 )x x x x

x xξ ξΔ + Δ + Δ Δ

=Δ Δ

=2ξ+Δx.

3. ( )0 0

lim lim 2 2 0 2x x

y xx

ξ ξ ξΔ → Δ →

Δ= + Δ = + =

Δ.

Επομένως f´(ξ)=2ξ⇔ f΄ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

23 =

232 = 3 και κατά συνέπεια λ= 3 . Αλλά η

εφφ= 3 , συνεπώς φ=60ο.

4.3.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Να υπολογιστεί η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα Οx η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)= x στο σημείο με

Page 60: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 59

τετμημένη 112

ξ = και εν συνεχεία να υπολογιστεί η εξίσωση της εφαπτομένης στο

σημείο αυτό. Λύση

( )( )( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )

2 2

( ) ( )lim lim lim lim

1 1 1lim lim2

x x x x

x x

x x xxf x fx x x x x x

xxx x

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ

ξ ξ ξξξξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξξ ξ ξ ξξ ξ

→ → → →

→ →

− + −−−= = = =

− − − + − +

−= = = =

+ +− +

Αλλά

1 1 1 1 1 32 2 112 1212 2 3 312

f΄ ⎛ ⎞ = = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

. Άρα, αφού εφφ= 1 312

f΄ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, θα ισχύει,

ότι φ=60ο.

1 1 1 312 12 62 3

f ⎛ ⎞ = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

. Τότε η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο με τετμη-

μένη 112

ξ = θα ισούται με:

1 1 1 3 1 3( ) 3 312 12 12 6 12 12

y f f΄ x y x y x⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − ⇔ − = − ⇔ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Άσκηση 2: Να βρεθεί το σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x)=x2, στο οποίο η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της f(x) σχηματίζει με τον Οx γωνία 30ο.

Άσκηση 3: Να υπολογιστεί η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα Οx η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=

21 xx+

στο σημείο με τε-

τμημένη ξ=-1.

Άσκηση 4: Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόμενων στη γραφική παρά-σταση της συνάρτησης f(x)=x2-5x+6 οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,1).

Άσκηση 5: Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόμενων στη γραφική παρά-σταση της συνάρτησης f(x)= 24 x− οι οποίες είναι κάθετες στην ευθεία ε με εξίσω-ση y=x+2. 4.4. Εφαρμογή της παραγώγου συνάρτησης 4.4.1. Ρυθμός μεταβολής

Η παράγωγος f´(x) της συνάρτησης f(x) εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης αυτής ως προς το x, όταν το x=ξ. Κατά συνέπεια μπορεί να εφαρμοστεί σε πολλές περιπτώσεις γεωμετρικών, φυσικών ή χημικών ασκήσεων. Ότι αφορά τη φυσική και τη χημεία εφαρμόζεται στα ακόλουθα:

i. Αν η συνάρτηση y=f(t) εκφράζει την απόσταση που διανύει ένα κινητό σε χρόνο t, ενώ Δs είναι η μεταβολή του διαστήματος για Δt=t-t0, τότε το

Page 61: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

60 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

όριο0

( )limt

s ttΔ →

ΔΔ

είναι η ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t0 (στιγμιαία

ταχύτητα).

ii. Αν Δv είναι ο όγκος υγρού που τρέχει για χρόνο Δt=t-t0 από μία βρύση,

τότε το όριο0

limt

vtΔ →

ΔΔ

είναι η ροή της βρύσης τη χρονική στιγμή t0.

iii. Αν ΔQ είναι η ποσότητα ηλεκτρισμού που περνάει από αγωγό για χρόνο Δt=t-t0, τότε το όριο

0lim

t

QtΔ →

ΔΔ

είναι η ένταση του ρεύματος τη χρονική

στιγμή t0. iv. Αν ΔQ είναι η ποσότητα θερμότητας, απαραίτητη για την αύξηση της

θερμότητας ενός σώματος από τ0ο σε το, δηλαδή Δτ=το-τ0

ο, τότε το όριο

0lim Qτ τΔ →

ΔΔ

είναι η απορρόφηση θερμότητας για μεταβολή Δτ.

v. Αν ΔQ είναι η συγκέντρωση ύλης που υπάρχει σε χημική αντίδραση για χρόνο Δt=t-t0, τότε το όριο

0lim

t

QtΔ →

ΔΔ

είναι η ταχύτητα της χημικής αντίδρασης τη

χρονική στιγμή t0. 4.4.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Σώμα κινείται ευθύγραμμα με s(t)=21 αt2. Σε ποια χρονική στιγμή η

ταχύτητά του θα είναι ίση με 3α. Λύση

Δs(t)=s(t0+Δt)-s(t0)= 21 α(t0+Δt)2-

21 αt0

2=21 α(t0

2+2t0Δt+Δt2)- 21 αt0

2=

=21 αt0

2+αt0Δt+21 αΔt2-

21 αt0

2= αt0Δt+21 αΔt2.

t

ttt

t

ttt

tts

Δ

ΔΔ+=

Δ

Δ+Δ=

ΔΔ )

21(α

21

)( 02

0 ααα=αt0+

21 αΔt.

0 0 00 0

( ) 1 1lim lim .0 .2 2t t

s t at a t at a attΔ → Δ →

Δ ⎛ ⎞= + Δ = + =⎜ ⎟Δ ⎝ ⎠

Επομένως αφού αt0=3α, τότε τη χρονική στιγμή t0=3 η ταχύτητά του θα είναι ίση με 3α.

Άσκηση 2: Κουτί σχήματος ορθογωνίου με διαστάσεις x και y έχει περίμετρο Π=10cm και μεταβαλλόμενες πλευρές. Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού Ε ως προς x, όταν το x είναι ίσο με 2cm.

Λύση

Η περίμετρος θα ισούται με: Π=2x+2y⇔ 10=2x+2y⇔ 2y=10-2x⇔ y=5-x. Το εμβαδόν του ορθογωνίου θα είναι ίσο με: E=xy⇔ E=x(5-x)⇔ E=5x-x2, x>0. Επομένως το ζητούμενο είναι ο υπολογισμός της παραγώγου E´(x) της συνάρτησης Ε(x), x – ανεξάρτητη μεταβλητή και εν συνεχεία ο υπολογισμός E´(2). Δy=E(ξ+Δx)-E(ξ)=[5(ξ+Δx)-(ξ+Δx)2]-(5ξ-ξ2)=

Page 62: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 61

=5ξ+5Δx-ξ2-2Δxξ-Δx2-5ξ+ξ2=5Δx-2Δxξ-Δx2.

=ΔΔ

xy 25 2 (5 2 )x x x x x

x xξ ξΔ − Δ −Δ − −Δ Δ

= =Δ Δ

5-2ξ-Δx.

( )0 0

lim lim 5 2 5 2 0 5 2x x

y xx

ξ ξ ξΔ → Δ →

Δ= − −Δ = − − = −

Δ.

Επομένως Ε΄(x)= 5-2ξ και κατά συνέπεια Ε΄(2)=5-2.2=5-4=1.

Άσκηση 3: Σώμα κινείται με s=2t2-12t+5. Να υπολογιστούν η ταχύτητά του και σε ποια χρονική στιγμή αυτό είναι ακίνητο.

Άσκηση 4: Σφαίρα με ακτίνα R είναι εγγεγραμμένη σε κύλινδρο. Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής του όγκου σε συνάρτηση του ύψους h του κυλίνδρου. 4.5. Βασικοί κανόνες παραγώγισης

Θεώρημα 1: Έστω οι συναρτήσεις f(x) και g(x) με πεδίο ορισμού το σύνολο G, έτσι ώστε να ορίζονται οι συναρτήσεις f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x).g(x) και

( ) , ( ) 0( )

f x g xg x

≠ , για κάθε x∈G. Αν ξ είναι σημείο το συνόλου G και οι παράγωγοι f΄(ξ)

και g΄(ξ) υπάρχουν, τότε ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:

i. [f(ξ)+g(ξ)]΄=f΄(ξ)+g΄(ξ)

ii. [f(ξ)-g(ξ)]΄=f΄(ξ)-g΄(ξ)

iii. [f(ξ)g(ξ)]΄=f΄(ξ)g(ξ)+f(ξ)g΄(ξ)

iv. 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

f f΄ g f g΄΄g gξ ξ ξ ξ ξξ ξ

⎡ ⎤ −=⎢ ⎥

⎣ ⎦, ( ) 0g ξ ≠

Παρατήρηση: Το άθροισμα και το γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με βάση τις προαναφερόμενες ιδιότητες, ισχύει και για τρεις, τέσσερις κ.τ.λ. συναρτήσεις. Συγκεκριμένα, αν έχουμε τρεις συναρτήσεις f(x), g(x) και h(x) παραγωγίσιμες, τότε:

i. [f(x)+g(x)+h(x)]΄=f΄(x)+g΄(x)+h΄(x)

ii. [f(x)g(x)h(x)]΄=f΄(x)g(x)h(x)+f(x)g΄(x)h(x)+ f(x)g(x)h΄(x)

Θεώρημα 2: Αν η συνάρτηση y=F(x) είναι σύνθετη με ενδιάμεση συνάρτηση u, δηλαδή y=f(u) και u=g(x), τότε ( ) ( ) ( ).

x u x

dF x df u dg xdx du dxξ ω ξ= = =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦, όπου ω=g(ξ) ή

διαφορετικά F΄(ξ)=f΄(ω)g΄(ξ). Θεώρημα 3: Έστω η συνάρτηση f(x) να είναι γνησίως αύξουσα (ή γνησίως

φθίνουσα) σε ένα διάστημα Δ. Αν είναι και παραγωγίσιμη σε δεδομένο εσωτερικό

σημείο ξ του διαστήματος αυτού και f΄(ξ)≠ 0, τότε η αντίστροφή της συνάρτηση g(y)

είναι επίσης παραγωγίσιμη στο σημείο y0=f(ξ) με 0

1( )( )

g΄ yf΄ ξ

= .

Page 63: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

62 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

4.6. Παράγωγος βασικών συναρτήσεων 4.6.1. Υπολογισμός παραγώγων βασικών συναρτήσεων

Όπως και στα προηγούμενα κεφάλαια, που αφορούσαν τα όρια και τη συνέ-χεια συναρτήσεων, έτσι και εδώ θα υπολογιστούν οι παράγωγοι κάποιων βασικών συναρτήσεων και συγκεκριμένα των ακόλουθων:

i. f(x)=c, c∈R, Df=R, (c)΄=0

ii. f(x)=xn, n∈Z, Df=R, (xn)΄=nxn-1

iii. f(x)=ημx, Df=R, (ημx)΄=συνx

iv. f(x)=συνx, Df=R, (συνx)΄=-ημx

v. f(x)=εφx, x≠ kπ+2π , k∈Z,

χσυν1)'εφχ( 2=

vi. f(x)=σφx, x≠ kπ, k∈Z, χημ

1)'σφχ( 2−=

vii. f(x)=τοξημx, -1<x<1, 2

1( ) '1

xx

τοξημ =−

viii. f(x)=τοξσυνx, -1<x<1, 2χ1

1)'τοξσυνχ(−

−=

ix. f(x)=τοξεφx, x∈R, 2χ1

1)'τοξεφχ(+

=

x. f(x)=τοξσφx, x∈R, 2

1( ) '1

τοξσφχχ

= −+

xi. f(x)=lnx, x>0, x1)'x(ln =

xi. f(x)=logαx, α>0, α≠ 1, x>0, 1(log ) 'lna x

x a=

xii. f(x)=ex, x∈R, (ex)΄=ex

xiii. f(x)=αx, α>0, α≠ 1, x∈R, (αx)΄=αxlnα

xiv. f ︵x ︶= x, x ≥ 0 , ( ) 12

x ΄x

=

Στην περίπτωση που η συνάρτηση y=F(x) είναι σύνθετη με ενδιάμεση συνάρτηση u, y=f(u) και u=g(x), δηλαδή αν y=f(g(x)), τότε οι προαναφερόμενες παράγωγοι υπολογίζονται με τον ακόλουθο τρόπο:

Page 64: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 63

f(u) f΄(u) f(u) f΄(u) fα(u) αf α-1(u).u΄ συνf(u) -ημf(u).u΄

αf(u) αf(u)lnα.u΄ εφf(u) 2

1 .( )

u΄f uσυν

ef(u) ef(u).u΄ . σφf(u) 2

1 .( )

u΄f uημ

logαf(u) 1 .

( ) lnu΄

f u a τοξημf(u) 2

1 .1 ( )

u΄f u−

lnf(u) 1 .( )

u΄f u

τοξσυνf(u) 2

1 .1 ( )

u΄f u

−−

( )f u 1 .

2 ( )u΄

f u τοξεφf(u) 2

1 .1 ( )

u΄f u+

ημf(u) συνf(u).u΄ τοξσφf(u) 2

1 .1 ( )

u΄f u

−+

Η παράγωγος συναρτήσεων της μορφής y=[f(x)]g(x), όπου f(x)>0, υπολογίζο-νται με τον ακόλουθο τρόπο:

( ) ( )

( )

[ ( )] ln ln[ ( )] ln ( ).ln ( )1(ln ) [ ( ).ln ( )] ( ).ln ( ) ( ).[ln ( )]

( ) ( )( ).ln ( ) ( ). . ( ).ln ( ) ( ).( ) ( )

[ ( )] . ( ).ln (

g x g x

g x

y f x y f x y g x f x

y ΄ g x f x ΄ y΄ g΄ x f x g x f x ΄y

y΄ f΄ x f΄ xg΄ x f x g x y΄ y g΄ x f x g xy f x f x

y΄ f x g΄ x f x

= ⇔ = ⇔ = ⇔

⇔ = ⇔ = + ⇔

⎡ ⎤⇔ = + ⇔ = + ⇔⎢ ⎥

⎣ ⎦

⇔ =( )) ( ).( )

f΄ xg xf x

⎡ ⎤+⎢ ⎥

⎣ ⎦

4.6.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Να υπολογιστούν οι παράγωγοι των ακόλουθων συναρτήσεων:

5 4 3 22 3 2

33

1 2 3 1 1 1. ( ) 2 4 5 . ( ) 5 3 2 2 3 5

1 1 1. ( ) . ( )

i f x x x x x x ii f xx x x

iii f x x x x iv f xx x x

= − + − + − = − +

= + + = + +

Λύση

( ) ( )

5 4 3 2

5 4 3 2

5 1 4 1 3 1 2 1 4 3 2

1 2 3. ( ) 2 4 55 3 2

1 2 32 4 55 3 2

1 2 3.5 2.4 .3 .2 4 0 8 2 3 4.5 3 2

i f΄ x x x x x x ΄

x ΄ x ΄ x ΄ x ΄ x ΄ ΄

x x x x x x x x− − − −

⎛ ⎞= − + − + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − + − + − = − + − +

Άσκηση 2: Να υπολογιστούν οι παράγωγοι των ακόλουθων συναρτήσεων:

Page 65: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

64 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

3

. ( ) ( ) ii . ( ) (1 ). ( ) ( ) i . ( )

x xi f x e x x i f x e xii f x x x x v f x x x

ημ συν σφ

τοξσυν τοξεφ τοξεφ

= + = +

= + =

Λύση

[ ] ( )( ) ( )

2 22 2

. ( ) ( ) . .

. . . .( ) . .( )

1 1. . .1 11 1

ii f΄ x x x x ΄ x x x x ΄

x x ΄ x x ΄ x΄ x x x ΄ x΄ x x x ΄

x xx x x x x xx xx x

τοξσυν τοξεφ τοξσυν τοξεφ

τοξσυν τοξεφ τοξσυν τοξσυν τοξεφ τοξεφ

τοξσυν τοξεφ τοξσυν τοξεφ

= + = + =

= + = + + + =

⎛ ⎞= + − + + = + + −⎜ ⎟

+ +− −⎝ ⎠

Άσκηση 3: Να υπολογιστούν οι παράγωγοι των ακόλουθων συναρτήσεων:

2 4 2

3

5 2

3

2

1. ( ) i . ( )(1 )(1 ) 11. ( ) . ( )1 1

8 3 2 ln. ( ) . ( )1 6 3

xi f x v f xx x xx xii f x v f xx x

x x xiii f x vi f xxx x x

τοξεφ

τοξημ

= =− + +

−= =

− −

− += =

+ −

Λύση 4 2 3 5 3 5

2 4 2 2 2 4 22 4

5 3

2 2 4 2

1 [ 2 (1 ) (1 )4 ] ( 2 2 4 4 ). ( )(1 )(1 ) (1 ) (1 )(1 )(1 )

6 4 2 .(1 ) (1 )

x x x x x x x xi f΄ x ΄x x x xx x

x x xx x

⎛ ⎞ − − + + − − − − + −= = = =⎜ ⎟− + − +⎝ ⎠ ⎡ ⎤− +⎣ ⎦− +

=− +

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

3 2 3 2

22

2 3

22

8 3 2 1 6 3 8 3 2 1 6 3. ( )

1 6 3

9 32 1 6 3 3 8 3 2 6 62

.1 6 3

x x ΄ x x x x x x x x ΄iii f΄ x

x x x

xx x x x x x xx

x x x

− + + − − − + + −= =

+ −

⎛ ⎞⎛ ⎞− + + − − − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

+ −

Άσκηση 4: Να υπολογιστούν οι παράγωγοι των ακόλουθων σύνθετων

συναρτήσεων: 4

2 5 2

2

1. ( ) i . ( )1

. ( ) (2 3) . ( ) ln

. ( ) 1 . ( ) x

xi f x x v f xx

ii f x x v f x x

iii f x x x vi f x aτοξσυν

συν τοξεφ

ημ

−= =

+= + =

= + − =

Λύση

i. Θέτουμε συνx=u, τότε η συνάρτηση μπορεί να γραφεί με την ακόλουθη μορφή: f(u)=u4. Με βάση τους κανόνες παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης λαμβάνε-ται, ότι: fx΄(u)=4u3ux΄, όπου fx΄(u) είναι η παράγωγος της συνάρτησης f(u) ως προς τη μεταβλητή x. Αλλά ux΄= -ημx. Κατά συνέπεια f΄(x)=4συν3x(-ημx)= -4συν3xημx.

vi. Θέτουμε v= x και u=τοξσυνv. Τότε η συνάρτηση γίνεται: f(u)=αu και η παράγωγός της ως προς u είναι fu΄(u)=αulnα, ενώ η παράγωγος της f(x) ως προς x

θα είναι η ακόλουθη: f΄(x)=fu΄uv΄vx΄=2

1 ln .ln . .2 2 11 ( )

x xa a aax x xx

τοξσυν τοξσυν−=

−− −.

Page 66: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 65

Η άσκηση δύναται να λυθεί και αφού πρώτα λογαριθμοποιηθεί η συνάρτηση f(x) και εν συνεχεία βρεθεί η παράγωγός της και συγκεκριμένα:

[ ] ( )

2

ln ( ) .ln ln ( ) .ln

( ) 1 1 ln .ln . . ( )( ) 2 2 11 ( )

x

f x x a f x ΄ x a ΄

f΄ x a aa f΄ xf x x x xx

τοξσυν

τοξσυν τοξσυν= ⇔ = ⇔

− −⇔ = ⇔ =

−−

Άσκηση 5: Να υπολογιστούν οι παράγωγοι των ακόλουθων συναρτήσεων:

( )2

4

2 3 4

. ( ) i . ( )

. ( ) ( ) . ( ) ( ). ( ) ( ) . ( ) (ln )

xx

x x x

x x

i f x x v f x x

ii f x x v f x xiii f x x vi f x x

εφ

ημ

τοξεφ εφ

ημ συν

εφ

+ +

= =

= =

= =

Λύση

[ ] ( )

( )

( ) [ ]

4

4 4

. ln ( ) ln ln ( ) 4 ln ln ( ) 4 ln1 ( ) 1 ( )( ) 4 ln ln 4ln 4 4ln 4( ) ( ) ( )( ) ( ) 4 ln 4 ( ) 4(1 ln ) ( ) 4 (1 ln )

x

x x

i f x x f x x x f x ΄ x x ΄f΄ x f΄ xf΄ x x΄ x x x ΄ x x x

f x f x x f xf΄ x f x x f΄ x x x f΄ x x x

= ⇔ = ⇔ = ⇔

⇔ = + ⇔ = + ⇔ = + ⇔⎡ ⎤⎣ ⎦

⇔ = + ⇔ = + ⇔ = +

[ ] ( ). ln ( ) ln ( ) ln ( ) ln ln ( ) ln

( ) 1ln ( ) ( ) (ln 1).( )

x

x

ii f x x f x x x f x ΄ x x ΄

f΄ x x x x x f΄ x x x xf x x

ημ

ημ

ημ ημ ημ ημ ημ

συν ημ ημ συν ημ συν ημημ

⎡ ⎤= ⇔ = ⇔ = ⇔⎣ ⎦

⇔ = + ⇔ = +

Άσκηση 6: Να υπολογιστεί η εξίσωση εφαπτομένης στην καμπύλη με εξίσωση y=x3+2x2-1 στο σημείο τομής της με την παραβολή y=2x2.

Λύση

Το σημείο τομής της καμπύλης και της παραβολής υπολογίζεται αφού λυθεί το ακόλουθο σύστημα μη γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους:

3 2 2 3 2 3

2 2 2

2 1 2 2 1 1 122 2 2

y x x x x x x xyy x y x y x

= + − = + − = =⇔ ⇔ ⇔

== = =. Άρα το σημείο τομής είναι

το Α(1,2).

Ο συντελεστής διεύθυνσης λ της εφαπτόμενης είναι ίσος με την παράγωγο της y=x3+2x2-1 στο σημείο με τετμημένη x=1.

Κατά συνέπεια: y΄=(x3+2x2-1)΄=3x2+4x, οπότε λ=3.12+4.1=7. Έτσι η εξίσωση της ζητούμενης εφαπτομένης είναι: y-yo=λ(x-xo)⇔ y-2=7(x-1)⇔ y=7x-5.

Άσκηση 7: Να υπολογιστούν οι παράγωγοι των ακόλουθων σύνθετων

συναρτήσεων:

2

2

2

. ( ) . ( ) ln1

1 2. ( ) ln . ( )1 1

xi f x iii f x xx

x xii f x iv f xx x

τοξεφ συν

τοξημ

= =−

−= =

+ +

Άσκηση 8: Να υπολογιστούν οι παράγωγοι των ακόλουθων σύνθετων συναρτήσεων:

Page 67: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

66 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

22

2

2

22

1 2 2. ( ) ln ln( 1 )2 2 2 2

1 1 2 1 2. ( ) ln14 2 1 2 2 2

x xi f x x xx x

x x xii f xxx x

τοξεφ

+ −= + + +

+ +

+ += +

−− +

( )

( )

2. ( ) 1 , | | 1

1. ( ) 2 , | | 11

1. ( ) 2 1 1 , | | 12

xiii f x e x x x

xiv f x xx

v f x x x x

τοξημ

τοξεφ

τοξημ

= + − <

+= <

= + − − <

Άσκηση 9: Να υπολογιστεί η εξίσωση εφαπτομένης στην καμπύλη με

εξίσωση y=2

11 x+

στο σημείο τομής της με την υπερβολή y= 11 x+

.

Άσκηση 10: Για ποιες τιμές της πραγματικής μεταβλητής α η συνάρτηση 1 , 0

( )0, 0

ax xf x x

x

ημ⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩

:

i) Είναι συνεχής στο σημείο 0.

ii) Είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0

iii) Η παράγωγός της είναι συνεχής στο σημείο 0. 4.7. Διαδοχική παραγώγιση 4.7.1. Βασικές έννοιες και ορισμοί

Έστω συνάρτηση f(x) με πεδίο ορισμού το σύνολο G και G1 να είναι το σύνολο των τιμών x για τις οποίες υπάρχει η παράγωγος f΄(x) της συνάρτησης f(x). Αφού το x∈G1 μόνο στην περίπτωση που ανήκει στο G, τότε το G1 είναι υποσύνολο του συνόλου G (G1⊆G). Αφού για κάθε x∈G1 ορίζεται συνάρτηση f΄(x), παράγωγος της f(x) στο σημείο x, μ’ αυτό στο σύνολο G1 ορίζεται συνάρτηση του x η οποία ο-νομάζεται παράγωγος της συνάρτησης.

Ορισμός 4: Έστω G2 είναι εκείνο το υποσύνολο του G1 στο οποίο ορίζεται η παράγωγος της συνάρτησης f΄(x). Η συνάρτηση που ορίζεται με τον τρόπο αυτό λέγεται δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης f(x) και συμβολίζεται με f΄΄(x) ή

με 2

2

( )d f xdx

ή 2

2

d ydx

ή f΄΄x (x)

Αν f(x)=y τότε η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης f(x) συμβολίζεται με y΄΄ ή y΄΄x.

Γενικά, αν ορίζεται η n-οστή και η (n+1) παράγωγος μιας συνάρτησης f(x), τότε η (n+1) παράγωγος ορίζεται ως την παράγωγο της n-οστής παραγώγου της

Page 68: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 67

συνάρτησης f(x), δηλαδή f(n+1)(x)=[f(n)(x)]΄. Συμβολίζεται επίσης με ( )

( ) ( )n

n

d f xdx

ή ( )

( )n

n

d ydx

ή

y(n) ή f(n)x(x).

Αν f(x)=y τότε η n – οστή παράγωγος της συνάρτησης f(x) συμβολίζεται με y(n) ή y(n)

x. Παρατηρήσεις

1) Επισημαίνεται ότι ο συμβολισμός f(n)(x) αναφέρεται στη n-ιοστή παράγωγο της συνάρτησης f(x) και δεν έχει απολύτως καμία σχέση με την έννοια της δύναμης.

2) Ορισμένες φορές η συνάρτηση f(x) λαμβάνεται και ως f(0)(x), δηλαδή ως τη μηδε-νική παράγωγό της.

3) Για την n-οστή παράγωγο της σύνθετης συνάρτησης f(x)=u(x)v(x), για χάριν συντομίας f(x)=uv, ισχύει ο ακόλουθος τύπος:

( )( ) ( 1) ( 2) ( ) ( ) ( )( ) ... ...1 2

nn n n n k k nn n nf x u v u v΄ u v΄΄ u v uv

k− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

με ( )

! ,! !

n n n kk k n k⎛ ⎞

= >⎜ ⎟ −⎝ ⎠.

4.7.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Να υπολογιστούν η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος των ακόλου-θων συναρτήσεων:

2 3. ( ) . ( ) i f x x x ii f x x xτοξεφ τοξεφ εφ= − = Λύση

( ) ( ) ( )3

3 3 3 22. ( ) 3 xii f΄ x x x ΄ x ΄ x x x ΄ x xx

εφ εφ εφ εφσυν

= = + = +

( )3 3

2 22 2

2 2 2 3

2 4

( ) 3 3

3 3 26 .

x xf΄΄ x x x ΄ x x ΄ ΄x x

x x x x xx xx x

εφ εφσυν συν

συν ημεφσυν συν

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+= + +

Άσκηση 2: Να υπολογιστούν οι n-οστές παράγωγοι στις ακόλουθες

περιπτώσεις, για τις αντίστοιχες τιμές των n:

2

2. ( ) 1 , 2 . ( ) ln , 2

. ( ) , 3 . ( ) ln ( ), 2x

i f x x x n iii f x x x n

ii f x e n iv f x f x n−

= + = = =

= = = =

Λύση

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2

2

1. ( ) 1 1 1 1 12 1

i f΄ x x x x΄ x x x ΄ x x x ΄x

= + = + + + = + + + =+

Page 69: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

68 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

( )

( ) ( )( )

( )

2 22 2 2

2 2 2

2 22 2

2 2

2 2 2 2

222 2

2 2 2

2

22

32 2 2

2

22 2

21 2 1 12 1 2 1 1

( ) 1 11 1

( ) 1 11 12 1 1

12 1 12 2 1

12 122 1 2 1

2 1 111 1

x x xx x x xx x x

x xf΄΄ x x ΄ x ΄ ΄x x

x ΄ x x x ΄x ΄

x x

x x x x ΄x x

xxx xx x x x x

x xxxx x

= + + = + + = + ++ + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ − += + + =

+ +

+ − ++= + =

++

+ − + −+= + = +

++ +

( )

2

2

22 3

2 32

22 2 2 2

2 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2

1

2 1

2 (1 )111 1 (1 ) 1

(1 ) 2 2 2 2 3

(1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) 1

xx

x x x

x x x x xxxx x x x

x x x x x x x x x x x

x x x x x x

+ =+

+ −

+ −+= + = + =++ + + +

+ + + − + + + += = =

+ + + + + +

Άσκηση 3: Να υπολογιστεί η n-οστή παράγωγος της συνάρτησης f(x)=ημx.

Λύση

Υπολογίζονται οι παράγωγοι πρώτης, δεύτερης και τρίτης δύναμης από τις οποίες λαμβάνεται ένδειξη για τη n-ιοστή παράγωγο της ζητούμενης συνάρτησης και συγκεκριμένα:

( )2

( ) 2.2 2 2 2

f΄ x x x

f΄΄ x x x x

πσυν ημ

π π π πσυν ημ ημ

⎛ ⎞= = +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( ) 2. 2. 3.2 2 2 2

f΄΄΄ x x x xπ π π πσυν ημ ημ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦, από τα οποία

δύναται να ειπωθεί, ότι: ( ) ( ) .2

nf x x n πημ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

, το οποίο πρέπει να αποδειχτεί με τη

μέθοδο της επαγωγής.

α) Για n=1: ( )2

f΄ x x xπημ συν⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠

, το οποίο ισχύει.

β) Υποθέτουμε, ότι ισχύει για n=k: ( ) ( ) .2

kf x x k πημ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Page 70: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 69

γ) Θα αποδειχτεί, ότι ισχύει και για n=k+1: ( 1) ( ) ( 1).2

kf x x k πημ+ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Απόδειξη (του γ))

( 1) ( )( ) ( ) . .2 2

. ( 1).2 2 2

k kf x f x ΄ x k ΄ x k

x k x k

π πημ συν

π π πημ ημ

+ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤= = + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Κατά συνέπεια αποδείχτηκε, ότι ( 1) ( ) ( 1).2

kf x x k πημ+ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

και με βάση τη

μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής, ισχύει, ότι:

( ) ( ) .2

nf x x n πημ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Άσκηση 4: Να υπολογιστεί η n-οστή παράγωγος της συνάρτησης

2

2 3( )5 6

xf xx x

+=

− +.

Λύση

Η συνάρτηση f(x) αναλύεται με τον ακόλουθο τρόπο:

2

2 3 2 35 6 ( 2)( 3) 2 3

x x A Bx x x x x x

+ += = +

− + − − − −.

2 3 2 3 ( 3) ( 2)( 2)( 3) 2 3

2 3 3 2 2 3 3 2 0(2 ) (3 3 2 ) 0 2 0 και 3 3 2 0

x A B x A x B xx x x x

x Ax A Bx B x Ax A Bx BA B x A B A B A B

+= + ⇔ + = − + − ⇔

− − − −⇔ + = − + − ⇔ + − + − + = ⇔⇔ − − + + + = ⇔ − − = + + =

Λύνεται το ακόλουθο γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους:

2 0 2 2 23 3 2 0 3 3 2(2 ) 0 3 3 4 2 0 7 0

2 97 7

A B B A B A B AA B A A A A A

B A BA A

− − = = − = − = −⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ + = + + − = + + − = + =

= − =⇔ ⇔

= − = −

από το οποίο λαμβάνεται, ότι Α=-7 και Β=9. Άρα η συνάρτηση μπορεί να γραφεί και ως εξής: 7 9( )

2 3f x

x x−

= +− −

.

Με βάση την προηγούμενη άσκηση: ( )

2 1 1

2 3 7( 1) ! 9( 1) !5 6 ( 2) ( 3)

n n n

n n

x n nx x x x+ +

+ − − −⎛ ⎞ = +⎜ ⎟− + − −⎝ ⎠.

Άσκηση 5: Να δειχτεί, ότι η συνάρτηση 3

3

, 0( ) 0, 0

, 0

x xf x x

x x

⎧ >⎪= =⎨⎪− <⎩

έχει δεύτερη

παράγωγο ενώ δεν έχει τρίτη παράγωγο στο σημείο 0.

Page 71: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

70 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

4.8. Διαφορικό συνάρτησης 4.8.1. Βασικές έννοιες και ορισμοί

Ορισμός 5: Η παράγωγος της συνάρτησης f(x) στο σημείο ξ, δηλαδή f΄(ξ)=

xy

x ΔΔ

→Δ 0lim , όπως προαναφέρθηκε, μπορεί να γραφεί και ως εξής:

( ) ( )( ) limx

f x ff΄xξ

ξξξ→

−=

−, όπου Δx=x-ξ. Το Δx επικρατεί να συμβολίζεται με dx και λέ-

γεται διαφορικό της μεταβλητής x.

Ορισμός 6: Το γινόμενο της παραγώγου της συνάρτησης f(x) στο σημείο ξ με το διαφορικό dx της μεταβλητής x λέγεται διαφορικό της συνάρτησης f(x) και συμ-βολίζεται με dy, δηλαδή με βάση τον ορισμό του dy=f ΄(ξ)dx.

Με βάση τους προαναφερμένους συμβολισμού της παραγώγου f ΄(ξ) της συ-νάρτησης f(x) στο σημείο ξ, εισάγεται και ο ακόλουθος συμβολισμός ( )

x

dy f΄dx ξ

ξ=

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Κατά συνέπεια θα ισχύει, ότι 0

limx

dy ydx xΔ →

Δ=

Δ, από το οποίο συνεπάγεται, ότι η

διαφορά y dyx dx

Δ−

Δ, η οποία είναι συνάρτηση του Δx, θα τείνει στο 0, αν το Δx τείνει

στο 0. Με άλλα λόγια για τη συνάρτηση ( ) y dyg xx dx

ΔΔ = −

Δ θα ισχύει, ότι

0lim ( ) 0x

g xΔ →

Δ = .

Λαμβάνοντας υπ’ όψιν, ότι Δx=dx, θα έχουμε Δy=dy+Δx.g(Δx), το οποίο δη-λώνει, ότι όταν το Δx είναι μικρό, τότε το Δy δεν διαφέρει αρκετά από το dy, αφού η διαφορά μεταξύ αυτών αποτελεί ένα γινόμενο με πρώτο πολλαπλασιαστέο τον Δx και με δεύτερο μία συνάρτηση η οποία τείνει στο 0 για Δx να τείνει στο μηδέν.

Ότι αφορά το διαφορικό συνάρτησης f(x) ισχύουν κάποιες ιδιότητες οι οποίες είναι αντίστοιχες αυτές των παραγώγων.

Θεώρημα 1: Αν f(x) και g(x) είναι δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις, τότε θα ισχύουν τα ακόλουθα:

i. d[f(x)+g(x)]=df(x)+dg(x)

ii. d[f(x)-g(x)]=df(x)-dg(x)

iii. d[f(x).g(x)]=df(x).g(x)+f(x).dg(x)

iv. 2

( ) ( ). ( ) ( ). ( )( ) ( )

f x df x g x f x dg xdg x g x

−= , g(x)≠ 0.

Θα αποδειχτεί η ιδιότητα i. και αναφέρεται, ότι με τρόπο ανάλογο αποδεικνύ-ονται και τα υπόλοιπα. Η απόδειξη είναι η ακόλουθη:

d[f(x)+g(x)]=[f(x)+g(x)]΄dx=[f΄(x)+g΄(x)]dx=f΄(x)dx+g΄(x)dx=df(x)+dg(x).

Θεώρημα 2: Έστω η σύνθετη συνάρτηση y=f[g(x)]. Αν u=g(x), τότε για το διαφορικό της θα ισχύει: dy=f΄(u)du.

4.8.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Να υπολογιστούν τα διαφορικά των ακόλουθων συναρτήσεων, αν y=f(x):

Page 72: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 71

2 2

. . ln. .

xi y xe iii y x x xxii y a x iv yx

ημ συν−= = −

= + =

Λύση

i. Αρχικά υπολογίζεται η παράγωγος της f(x): ( )( ) ( ) (1 )x xf΄ x xe ΄ f΄ x x e− −= ⇔ = − . Κατά συνέπεια το διαφορικό της συνάρτησης f(x) είναι: dy=(1-x)e-xdx.

Άσκηση 2: Να υπολογιστούν τα διαφορικά των ακόλουθων συναρτήσεων:

ln 1. ( ) . ( ) ii . ( ) , 0x xi f x x x x ii f x i f x aa ax

ημ συν τοξεφ− −= + = = ≠

4.9. Διαφορικό μεγαλύτερης δύναμης 4.9.1. Βασικές έννοιες και ορισμοί

Ορισμός 7: Το διαφορικό του διαφορικού της συνάρτησης f(x) λέγεται διαφορικό δεύτερης τάξης ή δεύτερο διαφορικό της συνάρτησης f(x) και συμβολί-ζεται με d2f(x).

Με βάση τον ορισμό του διαφορικού δεύτερης τάξης ισχύουν τα ακόλουθα:

d2f(x)=d[df(x)]=d[f΄(x)dx]=[df΄(x)]dx+f΄(x)d(dx).

Αλλά df΄(x)=f΄΄(x)dx και d(dx)=0 (η μεταβολή x-ξ της μεταβλητής x λαμβά-νεται ως σταθερά). Κατά συνέπεια d2f(x)=f΄΄(x)(dx)2 ή d2f(x)=f΄΄(x)dx2 από το οποίο λαμβάνεται, ότι:

2

2

( )( ) d f xf΄΄ xdx

= .

Αν συνεχιστεί η προαναφερόμενη διαδικασία επαγωγικά λαμβάνεται, ότι το διαφορικό n-τάξης της συνάρτησης f(x) θα είναι ίσο με: dnf(x)=d[dn-1f(x)], με n=2, 3,

4,… και κατά συνέπεια ( ) ( )( )n

nn

d f xf xdx

= θα είναι η n-οστή παράγωγος της συνάρτη-

σης f(x). 4.9.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Να υπολογιστούν τα διαφορικά της αντίστοιχης δύναμης στις α-κόλουθες περιπτώσεις:

5 2 3 101. , . , . 2 ,

i y x d y ii y d y iii y x x d yx

συν= = =

Λύση

i. d2y=y΄΄(dx)2=(x5)΄΄dx2=((x5)΄)΄dx2=(5x4)΄dx2=20x3dx2 Άσκηση 2: Να υπολογιστούν τα διαφορικά δεύτερης και τρίτης τάξης των

ακόλουθων συναρτήσεων:

Page 73: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

72 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

2. ( ) . ( )1. ( ) . ( )

1

i f x x iii f x x x

ii f x x iv f xx

ημ

ημ

= =

= =+

Άσκηση 3: Να αποδειχτούν τα ακόλουθα:

1 11

1

( 1). n

n x xn n

di x e edx x

−+

⎛ ⎞ −=⎜ ⎟

⎝ ⎠

1

1 22

( ). 1 ( 1)

n

n n

d x a f xiidx x x

σφ−

⎛ ⎞−=⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

,

όπου f(x) είναι πολυώνυμο δύναμης n.

Page 74: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 73

Σελίδα σημειώσεων

Page 75: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

74 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Κεφάλαιο 5ο: Βασικά θεωρήματα

διαφορικού λογισμού 5.1. Τοπικά ακρότατα και σχετικά θεωρήματα 5.1.1. Βασικές έννοιες, ορισμοί και θεωρήματα

Ορισμός 1: Ικανή συνθήκη για να είναι αύξουσα (να αυξάνεται) μία συνάρτηση f(x): Αν μία συνάρτηση f(x) είναι συνεχής σε ένα διάστημα [α β] και η παράγωγός της f΄(x) στο ανοιχτό διάστημα (α, β) είναι θετική τότε λέγεται ότι η συνάρτηση είναι αύξουσα στο διάστημα [α, β].

Ορισμός 2: Ικανή συνθήκη για να είναι φθίνουσα (να ελαττώνεται) μία συνάρ-τηση f(x): Αν μία συνάρτηση f(x) είναι συνεχής σε ένα διάστημα [α β] και η παράγω-γός της f΄(x) στο ανοιχτό διάστημα (α, β) είναι αρνητική τότε λέγεται ότι η συνάρτη-ση είναι φθίνουσα στο διάστημα [α, β].

Ορισμός 3: Λέγεται, ότι η f(x) έχει ακρότατο στο σημείο ξ του πεδίου ορισμού της συνάρτησης G, αν υπάρχει περιοχή (ξ-δ, ξ+δ) του ξ, για την οποία η f(x) ορίζεται με τέτοιο τρόπο, ώστε από 0<|x-ξ|<δ να συνεπάγεται f(x)<f(ξ) ή f(x)>f(ξ). Στην πρώτη περίπτωση το f(ξ) λέγεται (τοπικό) μέγιστο της f(x), ενώ στη δεύτερη περίπτωση λέγεται (τοπικό) ελάχιστο της f(x). Παρατήρηση: Ο όρος τοπικό ακρότατο χρησιμοποιείται στην περίπτωση που η συνάρτηση f(x) έχει τουλάχιστον δύο ακρότατα. Διαφορετικά, αν δηλαδή έχει μόνο ένα ακρότατο, τότε αναφέρεται ως ολικό ακρότατο (μέγιστο ή ελάχιστο).

Επισημαίνεται, ότι μία συνάρτηση μπορεί να έχει τοπικό ακρότατο σε ένα ση-μείο ξ χωρίς να είναι συνεχής στο σημείο αυτό. Για παράδειγμα η συνάρτηση

0, 0( )

1, 0x

f xx≠⎧

= ⎨ =⎩ δεν είναι συνεχής στο σημείο ξ=0, παρουσιάζει όμως τοπικό μέγιστο

στο σημείο αυτό.

Επίσης μία συνάρτηση μπορεί να είναι συνεχής σε ένα σημείο ξ, να μην είναι παραγωγίσιμη στο ξ, αλλά να παρουσιάζει ακρότατο. Τέτοια είναι η συνάρτηση f(x)=|x|, η οποία είναι συνεχής στο σημείο ξ=0, δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, αλλά έχει τοπικό ελάχιστο στο σημείο ξ=0.

Θεώρημα 1 (Θεώρημα Fermat): Αναγκαία συνθήκη για ακρότατο: Αν η συνάρτηση f(x) έχει ακρότατο στο σημείο ξ και αν f΄(ξ) υπάρχει, τότε υποχρεωτικά f΄(ξ)=0.

Παρατήρηση (Γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Fermat): Όπως είναι γνωστό, η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) στο σημείο με τετμημένη ξ, δίνεται από την εξίσωση y-f(ξ)=f΄(ξ)(x-ξ). Επομένως το θεώρημα Fermat δηλώνει, ότι η εφαπτόμενη στο σημείο ξ όπου η συνάρτηση f(x) πα-ρουσιάζει ακρότατο, είναι παράλληλη με τον άξονα x΄x.

Θεώρημα 2 (Θεώρημα Rolle (1652 – 1719)) Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και επίσης αν f(α)=f(β), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο ξ, μεταξύ των α και β, για το οποίο f΄(ξ)=0.

Page 76: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 75

Παρατήρηση (Γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Rolle): Η γεωμετρι-κή ερμηνεία του θεωρήματος Rolle είναι όμοια μ’ αυτή του θεωρήματος Fermat, δη-λαδή υπάρχει σημείο ξ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x) όπου η εφαπτόμενη είναι παράλληλη με τον άξονα x΄x.

Θεώρημα 3 (Θεώρημα Langrage (1736 – 1813)): Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] και παραγωγίσιμη στο διάστημα (α,β), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ μεταξύ των α και β για το οποίο

aafff΄

−−

=ββξ )()()( .

Παρατηρήσεις: α) Το θεώρημα Langrage είναι γενίκευση του θεωρήματος Rolle. Το θεώρημα Rolle προτείνεται να χρησιμοποιείται στην περίπτωση όπου f(α)=f(β).

β) Γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Langrage: Όπως είναι γνωστό, η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(α,f(α)) και Β(β,f(β)), δίνεται από την εξίσωση:

)()()()(:1 axa

affafy −−−

=−ββε

Η εξίσωση της εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x) στο σημείο Γ(ξ,f(ξ)) δίνεται από την εξίσωση:

))(()(:2 axf΄fy −=− ξξε . Με βάση το θεώρημα Langrage και την ισότητα ( ) ( )( ) f f af΄

aβξβ−

=−

, συνεπάγε-

ται, ότι ε1//ε2, αφού έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης.

Κατά συνέπεια το θεώρημα Langrage, σημαίνει, ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο ξ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x), όπου η εφαπτόμενη στο σημείο αυτό είναι παράλληλη με την ευθεία που διέρχεται από τα άκρα (με τετμημένες α και β) της γραφικής παράστασης της f(x).

Συμπέρασμα 1: Αν η συνάρτηση f(x) έχει παράγωγο ίση με το 0 σε κάθε ση-

μείο ενός διαστήματος Δ, τότε είναι σταθερή στο διάστημα αυτό.

Παρατήρηση: Το διάστημα Δ μπορεί να είναι ανοιχτό, κλειστό, ανοιχτό από αριστερά ή δεξιά, πεπερασμένο ή όχι. Στην περίπτωση που είναι κλειστό ή κλειστό μόνο από αριστερά ή δεξιά, τότε είναι αρκετό το f΄(x)=0 να ισχύει μόνο για τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος, ενώ για τα άκρα ή το άκρο του, είναι αρκετό η συνάρτηση να είναι μόνο συνεχής.

Συμπέρασμα 2: Αν η συνάρτηση f(x) είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ με f΄(x)≥ 0, ∀ x∈Δ, τότε η συνάρτηση f(x) είναι αύξουσα στο διάστημα αυτό. Αν f΄(x)>0, ∀ x∈Δ, τότε η συνάρτηση f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυ-τό.

Συμπέρασμα 3: Αν η συνάρτηση f(x) είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ με f΄(x)≤ 0, ∀ x∈Δ, τότε η συνάρτηση f(x) είναι φθίνουσα στο διάστημα αυτό. Αν f΄(x)<0, ∀ x∈Δ, τότε η συνάρτηση f(x) είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα αυτό.

Παρατήρηση: Για το διάστημα Δ ισχύουν αυτά που προαναφέρθηκαν στην παρατήρηση του συμπεράσματος 1.

Θεώρημα 4 (Θεώρημα Cauchy): Έστω δύο συναρτήσεις f(x) και g(x) είναι συνεχείς στο [α,β], παραγωγίσιμες στο (α,β) και g΄(x)≠ 0, ∀ x∈(α,β). Τότε υπάρχει

Page 77: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

76 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

τουλάχιστον ένα σημείο ξ μεταξύ των α και β, για το οποίο ισχύει, ότι ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

f΄ f f ag΄ g g a

ξ βξ β

−=

−.

Συμπέρασμα 4: Έστω δύο συναρτήσεις f(x) και g(x) οι οποίες είναι n+1 φο-ρές παραγωγίσιμες σε μία περιοχή Δ ενός σημείου α και επίσης g(x)≠ 0, g΄(x)≠ 0, g΄΄(x)≠ 0,…,g(n+1)(x)≠ 0, ∀ x≠ α. Επίσης έστω, ότι f(α)=f΄(α)=f΄΄(α)=…=f(n)(α)=0 και g(α)=g΄(α)=g΄΄(α)=…=g(n)(α)=0. Τότε ∀ x≠ α, x∈Δ, υπάρχει σημείο ξ μεταξύ των α

και β για το οποίο ισχύει ότι: ( 1)

( 1)

( ) ( )( ) ( )

n

n

f x fg x g

ξξ

+

+= .

5.1.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Να ερευνηθεί αν ισχύει το θεώρημα Rolle για τις συναρτήσεις που ακολουθούν και να υπολογιστεί, αν υπάρχει, το αντίστοιχο ξ.

[ ] [ ][ ] [ ]

33 2 2

32 23

. ( ) 1, 1,1 . ( ) 8 , 0,8

. ( ) ( 8) , 0,16 . ( ) 3 2, 1,2

i f x x x x x iii f x x x x

ii f x x x iv f x x x x

= − − + ∈ − = − ∈

= − ∈ = − + ∈

Λύση

i. Η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [-1,1] και παραγωγίσιμη στο (-1,1) με f΄(x)=3x2-2x-1. Επίσης f(-1)=f(1)=0. Κατά συνέπεια ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle, άρα υπάρχει ξ μεταξύ των α και β για το οποίο: f΄(ξ)=0⇔ 3ξ2-2ξ-1=0⇔ ξ=1, το οποίο απορρίπτεται, ή ξ=- 1

3, το οποίο είναι δεκτό.

Άσκηση 2: Να βρεθεί η τιμή του ξ για την οποία ισχύει το θεώρημα Langrage για τις ακόλουθες συναρτήσεις:

[ ] [ ] [ ]2 3. ( ) 2 , 1,5 . ( ) 2 5 1, 0, 2 . ( ) 1, 3,15 i f x x x x ii f x x x x iii f x x x= − ∈ = + + ∈ = + ∈

Λύση

i. Η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [1,5] και παραγωγίσιμη στο (1,5) με f΄(x)=2-2x. Κατά συνέπεια ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Langrage,

άρα υπάρχει ξ μεταξύ των α και β: (5) (1) 15 1( ) 2 2 35 1 4

f ff΄ ξ ξ ξ− − −= ⇔ − = ⇔ =

−.

Άσκηση 3: Να δειχτεί, ότι: |ημx2-ημx1|≤ |x2-x1|

Λύση

Έστω συνάρτηση f(x)=ημx. Από το Θεώρημα Langrage, για τυχαία x1 και x2,

θα ισχύει, ότι: 2 1 2 1

2 1 2 1

( ) x x x xf΄x x x x

ημ ημ ημ ημξ συνξ− −= ⇔ =

− −, όπου ξ είναι σημείο μεταξύ

των x1 και x2. Αλλά |συνξ|≤ 1.

Έτσι 2 12 1 2 1

2 1

1 | | | |x x

x x x xx x

ημ ημημ ημ

−≤ ⇔ − ≤ −

−.

Άσκηση 4: Να αποδειχτεί, ότι η συνάρτηση f(x)=τοξημx+τοξσυνx είναι σταθερή και να υπολογιστεί η τιμή της σταθερής αυτής.

Page 78: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 77

Λύση

Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x) είναι το διάστημα [-1,1] και επίσης η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής στο [-1,1] και παραγωγίσιμη στο (-1,1) με παράγωγο την

2 2

1 1( ) 01 1

f΄ xx x

= − =− −

. Κατά συνέπεια μπορεί να εφαρμοστεί το θεώρημα

Langrage από το οποίο συνεπάγεται, ότι η συνάρτηση f(x) είναι σταθερή στο διάστη-μα [-1,1].

Θα υπολογιστεί η τιμή της σταθερής αυτής με τον ακόλουθο τρόπο: λαμβάνεται μία τυχαία τιμή εσωτερική για το διάστημα [-1,1]. Έστω x=0. Τότε f(0)=τοξημ0+τοξσυν0=

2π . Άρα ∀ x∈[-1,1] ισχύει, ότι τοξημx+τοξσυνx=

2π .

Άσκηση 5: Να αποδειχτεί, ότι για τη συνάρτηση f(x)=εφx, x∈[0, 2π ) ισχύει

f(x)>x. Λύση

Έστω g(x)=εφx-x, x∈ [0, 2π ), η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [0,

2π ) και

παραγωγίσιμη στο (0, 2π ) με παράγωγο

2

2 2

1 1( ) 1 xg΄ xx x

συνσυν συν

−= − = με g΄(x)>0,

∀ x∈(0, 2π ). Άρα η συνάρτηση g(x) είναι γνησίως αύξουσα και για κάθε x από το

διάστημα (0, 2π ) ισχύει, ότι g(x)>g(0)⇔ εφx-x>εφ0-0⇔ εφx-x>0⇔ εφx>x.

Άσκηση 6: Να δειχτεί, ότι ex≥ 1+x, ∀ x∈R. Λύση

Έστω η συνάρτηση f(x)=ex-1-x με Df=R, η οποία είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο f΄(x)=ex-1 και f΄΄(x)=ex. Αλλά f΄΄(x)>0, οπότε η συνάρτηση f΄(x) θα είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ=R. Επίσης f΄(0)=0, επομένως:

i) f΄(x)<0 για x<0, από το οποίο συμπεραίνεται, ότι η συνάρτηση f(x) είναι γνησίως φθίνουσα.

ii) f΄(x)>0 για x>0, από το οποίο συμπεραίνεται, ότι η συνάρτηση f(x) είναι γνησίως αύξουσα.

Επομένως στο σημείο x=0 η συνάρτηση αυτή έχει την ελάχιστη τιμή της, η οποία είναι η f(0)=0. Κατά συνέπεια για x≠ 0 έχουμε f(x)>0⇔ ex-1-x>0⇔ ex>1+x.

Για x=0 έχουμε, ότι: ex-1-x=0⇔ ex=1+x. Άρα για κάθε x∈R θα ισχύει, ότι: ex≥ 1+x, το οποίο και έπρεπε να αποδειχτεί.

Άσκηση 7: Πάνω στο τοξοειδές ΑΒ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x)=x3+3x, με Α(1, 4) και Β(2, 14), να βρεθεί σημείο, η εφαπτομένη του οποίου να είναι παράλληλη με το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.

Λύση

Η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με f΄(x)=3x2+3. Ε-φαρμόζουμε το θεώρημα Langrage στο διάστημα [xA, xB] και λαμβάνεται, ότι:

( ) ( )( ) B A

B A

f x f xf΄x x

ξ −=

−, όπου ξ είναι σημείο για το οποίο ισχύει, ότι 1<ξ<2.

Page 79: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

78 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Επειδή η εφαπτόμενη είναι παράλληλη με το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, τότε ο συντελεστής διεύθυνσής της 14 4 10

2 1B A

B A

y yx x

λΑΒ

− −= = =

− − θα ισούται με το f΄(ξ) και επο-

μένως: f΄(ξ)=10⇔ 3ξ2+3=10⇔ ξ=- 73

το οποίο απορρίπτεται, ή ξ= 73

, το

οποίο είναι δεκτό.

Επομένως το ζητούμενο σημείο είναι το 7 7,3 3

f⎛ ⎞⎛ ⎞

Γ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠.

Άσκηση 8: Να δειχτεί, ότι 1 11 2 4

x xx

πτοξεφ τοξημ+= +

−, -1≤ x<1.

Άσκηση 9: Να δειχτεί, ότι ( )1 11 12 2

x x xτοξημ τοξημ+ − − = , -1≤ x≤ 1.

Άσκηση 10: Να δειχτεί, ότι 21

x xx

τοξεφ τοξημ=−

, -1<x<1.

5.2. Απροσδιόριστες μορφές 5.2.1. Θεωρήματα De L’ Hospital – Bernoulli

Θεώρημα 1: Έστω δύο συναρτήσεις f(x), g(x) οι οποίες είναι ορισμένες σε κάποιο διάστημα το οποίο περιέχει το σημείο ξ, παραγωγίσιμες τουλάχιστον για x≠ ξ και συνεχείς για x=ξ. Έστω g΄(x)≠ 0 και lim ( ) lim ( ) 0

x xf x g x

ξ ξ→ →= = .

Αν υπάρχει το όριο ( )lim( )x

f΄ xg΄ xξ→

, τότε υπάρχει και το όριο ( )lim( )x

f xg xξ→

και επιπλέον:

( ) ( )lim lim( ) ( )x x

f x f΄ xg x g΄ xξ ξ→ →

=

(Πρώτος κανόνας De L’ Hospital – Bernoulli)

Θεώρημα 2: Έστω δύο συναρτήσεις f(x), g(x) οι οποίες είναι ορισμένες και παραγωγίσιμες σε ένα ανοιχτό διάστημα (α, β) με g΄(x)≠ 0. Έστω εκτός αυτού οι f(x), g(x) αυξάνουν μη φραγμένα για x να τείνει στο α, δηλαδή lim ( ) lim ( )

x xf x g x

ξ ξ→ →= = ±∞ . Αν

υπάρχει το όριο ( )lim( )x

f΄ xg΄ xξ→

, τότε υπάρχει και το όριο ( )lim( )x

f xg xξ→

και επί πλέον:

( ) ( )lim lim( ) ( )x x

f x f΄ xg x g΄ xξ ξ→ →

=

(Δεύτερος κανόνας De L’ Hospital – Bernoulli)

Θεώρημα 3: Έστω δύο συναρτήσεις f(x), g(x) οι οποίες είναι ορισμένες και παραγωγίσιμες σε ένα διάστημα της μορφής (α,+∞ ) με g(x)≠ 0, g΄(x)≠ 0 και lim ( ) lim ( ) 0x x

f x g x→+∞ →+∞

= = . Αν υπάρχει το όριο ( )lim( )x

f΄ xg΄ x→+∞

, τότε υπάρχει και το όριο

( )lim( )x

f xg x→+∞

και επί πλέον: ( ) ( )lim lim( ) ( )x x

f x f΄ xg x g΄ x→+∞ →+∞

= .

(Τρίτος κανόνας De L’ Hospital – Bernoulli)

Page 80: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 79

Θεώρημα 4: Έστω δύο συναρτήσεις f(x), g(x) οι οποίες είναι ορισμένες και παραγωγίσιμες σε ένα διάστημα της μορφής (α,+∞ ) με g(x)≠ 0, g΄(x)≠ 0 και lim ( ) lim ( )x x

f x g x→+∞ →+∞

= = ±∞ . Αν υπάρχει το όριο ( )lim( )x

f΄ xg΄ x→+∞

, τότε υπάρχει και το όριο

( )lim( )x

f xg x→+∞

και επί πλέον: ( ) ( )lim lim( ) ( )x x

f x f΄ xg x g΄ x→+∞ →+∞

= .

(Τέταρτος κανόνας De L’ Hospital – Bernoulli) Παρατηρήσεις α) Τόσο ο τρίτος, όσο και ο τέταρτος κανόνας De L’ Hospital – Bernoulli ισχύει και για διάστημα της μορφής (-∞ ,β) και για x να τείνει στο -∞ .

β) Ο πρώτος και ο δεύτερος κανόνας De L’ Hospital – Bernoulli εφαρμόζεται κατά τον υπολογισμό του ορίου συνάρτησης της μορφής ( )

( )f xg x

για x→α, όταν

lim ( ) lim ( ) 0x a x a

f x g x→ →

= = (απροσδιόριστη μορφή 00

) ή lim ( ) lim ( )x a x a

f x g x→ →

= = +∞

(απροσδιόριστη μορφή +∞+∞

) ή lim ( ) lim ( )x a x a

f x g x→ →

= = −∞ (απροσδιόριστη μορφή −∞−∞

) ή

lim ( ) , lim ( )x a x a

f x g x→ →

= +∞ = −∞ (απροσδιόριστη μορφή +∞−∞

) ή

lim ( ) , lim ( )x a x a

f x g x→ →

= −∞ = +∞ (απροσδιόριστη μορφή −∞+∞

).

Στην περίπτωση που υπάρχει απροσδιοριστία της μορφής 0.(±∞ ), δηλαδή κα-τά την αναζήτηση ορίου συνάρτησης της μορφής F(x)=f(x)g(x) με lim ( ) 0

x af x

→= και

lim ( )x a

g x→

= +∞ ή lim ( )x a

g x→

= −∞ , τότε η συνάρτηση F(x) μετασχηματίζεται με έναν από

τους ακόλουθους δύο τρόπους:

i. ( )( ) 1( )

f xF x

g x

= , με τον τρόπο αυτό οδηγούμαστε στην απροσδιόριστη μορφή 00

.

ii. ( )( ) 1( )

g xF x

f x

= με τον τρόπο αυτό οδηγούμαστε στην απροσδιόριστη μορφή ±∞±∞

.

Στην περίπτωση που υπάρχει απροσδιοριστία της μορφής +∞ -∞ , όταν δηλαδή αναζητείται το όριο της συνάρτησης F(x)=f(x)-g(x) για x→α με τα επιμέρους lim ( )

x af x

→ και lim ( )

x ag x

→ να ισούνται με +∞ ή -∞ αντίστοιχα, τότε η

συνάρτηση F(x) μετασχηματίζεται ως εξής: ( )1( )( ) 1

( )

g xf xF x

f x

−= και με τον τρόπο αυτό οδη-

γούμαστε στην απροσδιόριστη μορφή 00

, αρκεί ( )lim 1( )x a

g xf x→

= .

Σε περιπτώσεις απροσδιοριστίας όπως 1∞ , 00 ή 0∞ γίνεται επιπρόσθετη λογαριθμοποίηση με σκοπό η απροσδιοριστία να οδηγηθεί στη μορφή 0.(±∞ )

Page 81: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

80 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Με τρόπους ανάλογους με τους προαναφερόμενους εργαζόμαστε και όταν α=+∞ ή α= -∞ (δηλαδή όταν x→+∞ ή x→ -∞ ). 5.2.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα όρια:

20

2 ln

2 30 1

5. lim . lim4 7

. lim . limln5

x x a

x x a

x x

x x

xe x e ei iiix ax x

xe x a xii ivxx x

ημ

ημ

→ →

→ →

− −−+

− −+

Λύση

i. Για τις συναρτήσεις f(x)=ημxex-5x και g(x)=4x2+7x επαληθεύονται οι συνθήκες εφαρμογής του πρώτου κανόνα De L’ Hospital – Bernoulli και κατά συνέπεια:

2 20 0 0

- 5 ( - 5 ) 5 4lim lim lim 8x+7 74 7 (4 7 )

x x x x

x x x

xe x xe x e x e xx x x x

ημ ημ συν ημ→ → →

+ −= = = −

+ +

ii. Στην άσκηση αυτή, όπως θα διαπιστωθεί και στη συνέχεια, για τις συναρτήσεις f(x)=ημxe2x-x και g(x)=5x2+x3, επιβάλλεται η εφαρμογή δύο φορές του πρώτου κανόνα De L’ Hospital – Bernoulli, μιας και θα υπάρξει απροσδιοριστία της μορφής 00

δύο φορές.

( )( )

( )( )

22 2 2

2 3 22 30 0 0

2 2 2 2 2 2

20 0

- ΄- 2 -1lim lim lim =5 10 35 ΄

2 -1 - 2 4 2 2= lim = lim = . 10 6 510 3

xx x x

x x x

x x x x x x

x x

xe xxe x xe e xx x x xx x

xe e x ΄ e x e x e x e xxx x ΄

ημημ συν ημ

συν ημ ημ συν ημ συν

→ → →

→ →

+= =

+ ++

+ + + +++

Άσκηση 2: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα όρια:

02

ln(1 ). lim . lim

ln( ) 5. lim . limln( )

x x

x x

x x

e x ei iiix x a bx

ax xii ivbx xπ

ημημ

ημ εφημ εφ

→+∞ →+∞

→ →

+ ++ +

ii. Εφαρμόζεται ο δεύτερος κανόνας De L’ Hospital – Bernoulli και συγκεκριμένα:

[ ][ ]

( )

( )0 0 0 0 0

0

1ln( )ln( ) .lim lim lim lim lim

1ln( ) ln( ) .

lim 1,

x x x x x

x

a axax ΄ax ΄ax a bx axax axb bxbx bx ΄ b ax bxbx ΄

bx bxbx ax

bxax bx

ax

συνημημημ ημ συνημ ημσυνημ ημ ημ συνημ

ημ ημημ συν

ημ συν

→ → → → →

= = = = =

= =

αφού

ισχύει, ότι: 0

lim 1u

uu

ημ→

= και κατά συνέπεια 0

lim 1ax

axax

ημ→

= και 0

lim 1bx

bxbx

ημ→

= .

Άσκηση 3: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα όρια:

Page 82: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 81

[ ]0 1

2 0,001

0

. lim ( ) ln . lim(1 ) 2

. lim . lim 2

x x

x

x x

xi x x x iii x

xii iv x ex

πημ εφ

π πεφ

→ →

→ →+∞

− −

Λύση

i. Η απροσδιοριστία είναι της μορφής 0.(+ ∞ ) και κατά συνέπεια μετασχηματίζεται η δεδομένη συνάρτηση f(x)=(x-ημx)lnx με τον ακόλουθο τρόπο:

ln( ) ln 1xx x x

x x

ημ

ημ

− =

από το οποίο λαμβάνεται η απροσδιόριστη μορφή +∞+∞

και εφαρμόζεται ο δεύτερος

κανόνας De L’ Hospital – Bernoulli:

[ ] ( )( )( )

( )

0 0 0 0

2

2

0 0 0

2 2

1lnlnlim ( ) ln lim lim lim

1 1

1 1( )lim lim lim

(1 ) 1 ( 1)( )

x x x x

x x x

x ΄x xx x xx x ΄

΄x x x x x x

x xx xx x x x

x x x x

ημημ

ημ ημ ημ

ημσυν συν συνημ ημ

→ → → →

→ → →

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− = = = =

− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ −⎝ ⎠

−= = =

− − − −− −

Με τον τρόπο αυτό λαμβάνεται απροσδιοριστία της μορφής 00

και επιβάλλε-

ται η εφαρμογή του πρώτου κανόνα De L’ Hospital – Bernoulli:

[ ][ ][ ]

22

0 0 0

2

0 0

2 2

0

( )( ) 2( )(1 )lim lim lim( 1) ( 1) 1

2( )(1 ) (1 ) ( )lim 2lim1

1 22lim2

x x x

x x

x

x x ΄x x x x xx x x x ΄ x x x

x x x ΄ x x x xx x x ΄ x x x x

x x x x x

ημημ ημ συνσυν συν συν ημ

ημ συν συν ημ ημσυν ημ ημ ημ συν

συν συν ημ ημ

→ → →

→ →

⎡ ⎤−− − −⎣ ⎦= = =− − − −

− − − + −= = =

− − − − −

− + + −=

( )( )

0

0 0

1 2 22lim2

1 2 2 2 2 22lim 2lim 02 3

x

x x

x x x xx x x x x x

x x x x ΄ x x x x xx x x ΄ x x x

συν ημ συνημ συν ημ συν

συν ημ συν ημ ημ συν ημημ συν συν ημ

→ →

− + += =

− − −

− + + + + −= = =

− − − +

Κατά συνέπεια [ ]0

lim ( ) ln =0 x

x x xημ→

− .

iii. Η απροσδιοριστία είναι της μορφής 0.(+ ∞ ) και κατά συνέπεια μετασχηματίζεται

η δεδομένη συνάρτηση ( ) (1 ) 2xf x x πεφ= − με τον ακόλουθο τρόπο:

1- 1-(1 ) ( )2

2 2

x x xx f xx x

πεφπ πσφ σφ

− = ⇔ =

από το οποίο λαμβάνεται η απροσδιόριστη μορφή 00

και εφαρμόζεται ο πρώτος

κανόνας De L’ Hospital – Bernoulli:

Page 83: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

82 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

( )1 1 1 1 1

2

2

2 2 2 2

1 1

1-1- -1lim ( ) lim (1 ) lim lim = lim =12

2 222

2 2 .1 2 2 22= lim lim .1 . 2 2 2

2

x x x x x

x x

x ΄x xf x xx x ΄ x

xx

πεφπ ππσφ σφ πημ

πημ π π πημ ημ ημπ π π π π π

→ → → → →

→ →

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤= − = =⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎛ ⎞⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠

= = = = =

Άσκηση 4: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα όρια:

0

1. lim . lim ( )( )x x

i x ii x x a x bx

σφ→ →+∞

⎛ ⎞ ⎡ ⎤− − − −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

Λύση

i. Η απροσδιοριστία είναι της μορφής +∞ -∞ και κατά συνέπεια μετασχηματίζεται η

δεδομένη συνάρτηση 1( )f x xx

σφ= − με τον ακόλουθο τρόπο:

1 ( )x x x x x xx f xx x x x x

συν ημ συν ημσφημ ημ− −

− = ⇔ =

από το οποίο λαμβάνεται η απροσδιόριστη μορφή 00

και εφαρμόζεται ο πρώτος

κανόνας De L’ Hospital – Bernoulli: ( )

( )0 0 0 0

0 0 0

-1 -lim ( ) lim = lim lim =

- - -= lim lim = lim2 -

- 0 - 0. 0 0 0.1 0.2 0 - 0. 0 2.1 0.0

x x x x

x x x

x x x ΄x x xf x xx x x x x ΄

x x x x x x x xx x x x x x x x x x

συν ημσυν ημσφημ ημ

ημ ημ συν ημ συνημ συν συν συν ημ συν ημ

ημ συνσυν ημ

→ → → →

→ → →

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

− −= =

+ + −− −

= = =−

ii. Η απροσδιοριστία είναι της μορφής ∞ -∞ και κατά συνέπεια μετασχηματίζεται η δεδομένη συνάρτηση ( ) ( )( )f x x x a x b= − − − με τον ακόλουθο τρόπο:

( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )

a b x ab a b x abx x a x b f xx x a x b x x a x b

+ − + −− − − = ⇔ =

+ − − + − −

από το οποίο λαμβάνεται η απροσδιόριστη μορφή +∞+∞

και εφαρμόζεται ο δεύτερο

κανόνας De L’ Hospital – Bernoulli:

Page 84: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 83

[ ][ ]

( )lim ( ) lim ( )( ) = lim =( )( )

( )= lim lim

1( )( ) 1 ( )( )2 ( )( )

lim = lim2 ( )1 2

2 ( )( ) 12 1

x x x

x x

x x

a b x abf x x x a x bx x a x b

a b x ab ΄ a bx x a x b ΄ x a x b ΄

x a x ba b a bx a b a bx

xx a x bax

→+∞ →+∞ →+∞

→+∞ →+∞

→+∞ →+∞

+ −⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦ + − −

+ − += =

⎡ ⎤+ − − + − −⎣ ⎦− −

+ +=

− + +⎛ ⎞+ −⎜ ⎟− − ⎝ ⎠+

lim2

11 2 1 1

= lim = . 22

12 1 1

x

x

a ba bx

xb a bx x

x x x xa b a b

a bx

a bx x

→+∞

→+∞

+= =

+⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

+ ++

−+

⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Άσκηση 5: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα όρια: 1

0

1

0 0

1. lim . lim

. lim . lim

xx

x x

xx

x x

i x iix

xiii x ivx

εφ

ημ

→+∞ →

→ →

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Λύση

i. Η απροσδιοριστία είναι της μορφής (+∞ )0 και γι’ αυτό γίνεται λογαριθμοποίηση

και των δύο μελών της συνάρτησης 1

( ) xf x x= και λαμβάνεται ότι: 1 1ln ( ) ln ln ( ) lnxf x x f x x

x= ⇔ =

από το οποίο λαμβάνεται η απροσδιόριστη μορφή +∞+∞

και εφαρμόζεται ο δεύτερος

κανόνας De L’ Hospital – Bernoulli:

[ ] 1 lnlim ln ( ) lim ln ln lim ( ) lim

(ln ) 1ln lim ( ) lim ln lim ( ) lim

ln lim ( ) 0.

x x x x

x x x x

x

xf x x f xx x

x ΄f x f xx΄ x

f x

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

→+∞

⎛ ⎞ ⎡ ⎤= ⇔ = ⇔⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇔ = ⇔ = ⇔⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⇔ =⎣ ⎦

Κατά συνέπεια αφού ln lim ( ) 0x

f x→+∞

⎡ ⎤ =⎣ ⎦ συνεπάγεται, ότι

10lim 1x

xx e

→+∞= = .

ii. Μετασχηματίζεται κατάλληλα η δεδομένη συνάρτηση και εφαρμόζεται ο δεύτερος κανόνας De L’ Hospital – Bernoulli:

Page 85: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

84 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

1 0 00

202

0 0 0

ln (ln )1 1 lim limln ln lim ( ln )ln ( )

0 0 0 0

1

lim1

lim lim lim 1.0 0

1lim = lim = lim lim =

=1.

x

x xx

x

x x x

x x ΄xx x x xx x x ΄x x

x x x x

xx x xx x x

e e e e e ex

e e e e e

εφεφεφ εφ σφεφ σφ

ημ ημ ημημ

− → →→

→ → →

⎛ ⎞⎛ ⎞ − −⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

→ → → →

⎛ ⎞ = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

= = = = =

iii.

Η απροσδιοριστία είναι της μορφής 00. Ο ισχυρισμός [f(x)]g(x)=eg(x)lnf(x), f(x)>0 λαμ-βάνει την ακόλουθη μορφή:

ln ln .ln( 1)( 1) x x xx e −− = και κατά συνέπεια: [ ]

1lim ln .ln( 1)ln ln .ln( 1)

1 1lim( 1) lim x

x xx x x

x xx e e →

−−

→ →− = =

Με τον τρόπο αυτό η άσκηση οδηγείται στην απροσδιόριστη μορφή 0.(+∞ ) και γι’ αυτό η συνάρτηση ( ) ln ln( 1)h x x x= − μετασχηματίζεται με τον ακόλουθο τρόπο:

( ) ( )1 1

ln( 1) ln( 1)ln ln( 1) ( )ln ln

x xx x h xx x− −

− −− = ⇔ =

και εφαρμόζεται ο δεύτερος κανόνας De L’ Hospital – Bernoulli:

[ ] [ ]

( )

1 1 1 1 1

2

2222

1 1 1 1

1ln( 1)ln( 1) 1lim ( ) lim ln ln( 1) lim lim lim

1 11ln (ln )ln

1(ln ) 2 ln(ln )(ln )lim lim lim lim (ln ) 2ln 0.1 1 1

x x x x x

x x x x

x ΄x xh x x x΄

x x xx

x x xx x ΄x x x x xx x ΄

→ → → → →

→ → → →

⎡ ⎤⎢ ⎥ −− −= − = = = =⎢ ⎥

⎡ ⎤⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎡ ⎤= − = − − = + =⎣ ⎦− −

Επομένως ln 0

1lim( 1) 1.x

xx e

→− = = .

iii. Η απροσδιοριστία είναι της μορφής 00. Μετασχηματίζεται η συνάρτηση κατάλλη-λα και εφαρμόζεται ο δεύτερος κανόνας De L’ Hospital – Bernoulli:

20 002 00 0

1(ln )ln lim limlim 1 11 limlim ln limln 0

0lim lim 1

x xx

xx x

x ΄x xx΄x x xx x x xx x x

xx e e e e e e e e

→ →→

→→ →

⎛ ⎞ −− −⎜ ⎟⎝ ⎠

→= = = = = = = = = .

iv. Η απροσδιοριστία είναι της μορφής 1+∞ . Μετασχηματίζεται η συνάρτηση κατάλ-ληλα και εφαρμόζεται ο δεύτερος κανόνας De L’ Hospital – Bernoulli:

0

1 ln1 ln lim

0 0lim lim x

xx xx

x x xx x

x e ex

ημημημ

→ →

⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

. Με τον τρόπο αυτό η άσκηση οδηγείται την εύ-

ρεση του ορίου 0

lnlimx

xx

x

ημ

→, που είναι απροσδιόριστο μορφής 0

0 και για το οποίο με βά-

ση τον πρώτο κανόνα De L’ Hospital – Bernoulli:

Page 86: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 85

( )( )

2

0 0 0 0

0 0 0

0 0

1

lnlnlim lim lim lim

1 1

lim lim lim

lim lim2

x x x x

x x x

x x

x ΄ x x x xxx x x΄xx xx x

x x΄x x x x x x x x x

x x x x x x x xx x ΄ x x x

x x x ΄ x

ημσυν ημημημ ημ

ημ

συν ημ συν ημ συν ημημ ημ συν ημ συνημ ημ συν

ημ συν συν

→ → → →

→ → →

→ →

⎛ ⎞⎜ ⎟ −⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠= = = =

− − −= = = − =

+ +

+= − = −

+ 0

0 0. 0lim 0.2 0 0. 0xx xημ συν

ημ συν ημ→

+= − =

− −

Κατά συνέπεια 1

0

0lim 1

x

x

x ex

ημ→

⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Άσκηση 6: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα όρια:

0 0. lim . lim ln . lim

2

x

x xx

x ei ii x x iiix x

τοξεφ εφ π τοξεφ+

→ →+∞→−

Άσκηση 7: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα όρια:

( )( )

3 2 2

31 0

30 1

0

1 2 2.lim .limln 1

.lim . lim ln ln 1

.lim

x x x x

x x x

x x

x

x xe xe e ei ivx e

x xii v x xxx xiiix x

ημ

εφημ

+

→ →

→ →

− + − +

−−

−−

5.3. Τύπος Taylor 5.3.1. Βασικά θεωρήματα

Έστω το πολυώνυμο f(x) το οποίο είναι n – δύναμης (1) 1

1 1 0( ) ...n nn nf x a x a x a x a−

−= + + + + και το οποίο παραγωγίζεται διαδοχικά n – φορές και λαμβάνεται:

1 21 2 1

2 31 2

( 1)

( ) ( 1) ... 2 1.

( ) ( 1) ( 1)( 2) ... 2.1.(2) ..........................................................................................

( ) ( 1)

n nn n

n nn n

n

f΄ x na x n a x a x a

f΄΄ x n n a x n n a x a

f x n n

− −−

− −−

= + − + + +

= − + − − + +

= − 1

( )

...3.2.1. ( 1)( 2)...2.1.

( ) ( 1)....3.2.1.n n

nn

a x n n a

f x n n a−

⎧⎪⎪⎪⎨⎪ + − −⎪⎪ = −⎩

Με αντικατάσταση όπου x το μηδέν στις σχέσεις (1) και (2), λαμβάνεται, ότι: f(0)=α0, f΄(0)=1!α1, f΄΄(0)=2!α2,…,f(n-1)(0)=(n-1)!αn-1, f(n)(0)=n!αn. Τότε η ισότητα (1) μεταβάλλεται ως εξής:

( )2(0) (0) (0)(3) ( ) (0) ...

1! 2! !

nnf΄ f΄΄ ff x f x x x

n= + + + +

Ο τύπος (3) μπορεί να αποδοθεί και για τυχαία τιμή του x. Για το σκοπό αυτό θεωρούμε x=α+h και f(α+h)=φ(h).

Page 87: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

86 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Η συνάρτηση φ(h)=αn(α+h)n+αn-1(α+h)n-1+…+α1(α+h)+α0 είναι πολυώνυμα n – δύναμης με μεταβλητή h και με βάση τον τύπο (3) θα έχουμε, ότι:

( )2(0) (0) (0)(4) φ( ) (0) ...

1! 2! !

nn΄ ΄΄h h h h

nφ φ φφ= + + + +

Αλλά φ(h)=f(α+h), φ΄(h)=f΄(α+h), φ΄΄(h)=f΄΄(α+h),…, φ(n)(h)=f(n)(α+h) και κα-τά συνέπεια φ(0)=f(α), φ΄(0)=f΄(α), φ΄΄(0)=f΄΄(α),…, φ(n)(0)=f(n)(α) και ο τύπος (4) γράφεται ως εξής:

( )2( ) ( ) ( )(5) ( ) ( ) ...

1! 2! !

nnf΄ a f΄΄ a f af a h f a h h h

n+ = + + + +

όπως επίσης και ως εξής: ( )

2( ) ( ) ( )(6) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )1! 2! !

nnf΄ a f΄΄ a f af x f a x a x a x a

n= + − + − + + −

Οι σχέσεις (5) και (6) λέγονται τύποι Taylor (1685 – 1731). Θεώρημα (Γενικός τύπος Taylor): Έστω συνάρτηση f(x) η οποία έχει πρώτη, δεύτερη,…(n+1) παράγωγο σε κάποια περιοχή (α-δ,α+δ) ενός σημείου α. Αν x είναι ένα σημείο της περιοχής αυτής, τότε ισχύει, ότι:

( ) ( 1)1( ) ( ) ( )(7) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )

1! ! ( 1)!

n nn nf΄ a f a ff x f a x a x a x a

n nξ+

+= + − + + − + −+

,

όπου ξ είναι σημείο μεταξύ των α και x Παρατήρηση: Η περιοχή (α-δ,α+δ) μπορεί να ταυτίζεται και με ολόκληρο τον

άξονα των πραγματικών αριθμών.

Αν στον τύπο (7) θέσουμε όπου x=α+h και θ= ax aξ −−

, 0<θ<1, οπότε ξ=α+θh,

λαμβάνεται, ότι: ( ) ( 1)

1( ) ( ) ( )(8) ( ) ( ) ...1! ! ( 1)!

n nn nf΄ a f a f a hf a h f a h h h

n nθ+

+++ = + + + +

+

Στην περίπτωση που θέσουμε στον τύπο (8) όπου α το 0, λαμβάνεται ένας νέ-ος τύπος ο οποίος λέγεται τύπος Maclaurin (1698 – 1746) και θα ισούται με:

( ) ( 1)1(0) (0) ( )( ) (0) ...

1! ! ( 1)!

n nn nf΄ f f hf x f x x x

n nθ+

+= + + + ++

5.3.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Να βρεθεί το ανάπτυγμα της σειράς Maclaurin της συνάρτησης f(x)=ex.

Λύση

f΄(x)=ex, f΄΄(x)=ex, f΄΄΄(x)=ex,…,f(n)(x)=ex και επίσης για x=0 θα έχουμε: f(n)(0)=1.

Κατά συνέπεια η ζητούμενη σειρά είναι: 2 3

11 ...1! 2! 3! ! ( 1)!

nx nx x x x ee x

n n

ξ+= + + + + + +

+

Άσκηση 2: Να βρεθεί το ανάπτυγμα της σειράς Maclaurin της συνάρτησης f(x)=ημx.

Άσκηση 3: Να βρεθεί το ανάπτυγμα της σειράς Maclaurin της συνάρτησης f(x)=συνx.

Page 88: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 87

Άσκηση 4: Να βρεθεί το ανάπτυγμα της σειράς Maclaurin της συνάρτησης f(x)=ln(x+1).

Άσκηση 5: Να βρεθεί το ανάπτυγμα της σειράς Maclaurin της συνάρτησης f(x)=(1+x)m, m∈N.

Άσκηση 6: Να βρεθεί το ανάπτυγμα της σειράς Maclaurin της συνάρτησης f(x)= 1

1 x−.

5.4. Ικανές συνθήκες για τοπικό ακρότατο 5.4.1. Κανόνες εύρεσης τοπικών ακρότατων

Οι ικανές συνθήκες για ακρότατα μιας συνάρτησης μπορούν να διατυπωθούν με τους ακόλουθους τρεις κανόνες:

Κανόνας 1ο: Έστω συνάρτηση f(x) για την οποία ισχύουν οι ακόλουθες προϋπο-θέσεις:

1. Είναι ορισμένη και συνεχής στην περιοχή (x0-δ, x0+δ) του σημείου x0.

2. Η f΄(x) υπάρχει στο 0<|x- x0|<δ.

3. Η f΄΄( x0) δεν υπάρχει ή f΄΄( x0)=0.

4. Το πρόσημο της f΄(x) διατηρείται στα διαστήματα (x0-δ, x0) και (x0, δ+ x0).

Τότε για τη συνάρτηση μπορεί να ισχύουν τα ακόλουθα:

Πρόσημα παραγώγου f΄(x) x<x0 x>x0

Ακρότατο

+ + δεν έχει ακρότατο + - μέγιστο - + ελάχιστο - - δεν έχει ακρότατο

Κανόνας 2ος: Έστω συνάρτηση f(x) ορισμένη σε ένα διάστημα και x0 ένα εσωτερικό για το διάστημα αυτό σημείο. Θεωρούμε, ότι η f(x) έχει πρώτη και δεύτερη παράγωγο σε κάποια περιοχή του x0 και επίσης ότι η f΄΄(x) είναι συνεχής στο σημείο ξ. Αν f΄(x0)=0, f΄΄(x0)≠ 0, τότε:

1) Για f΄΄(x0)<0 η συνάρτηση f(x) παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο σημείο x0 το f(x0).

2) Για f΄΄(x0)>0 η συνάρτηση f(x) παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο σημείο x0 το f(x0).

Παρατήρηση: Ο προαναφερόμενος κανόνας δεν μπορεί να εφαρμοστεί στην περίπτωση όπου f΄(x0)=f΄΄(x0)=0. Τότε εφαρμόζεται ο πρώτος κανόνας ή ο τρίτος κανόνας που ακολουθεί και συγκεκριμένα:

Κανόνας 3ος: Αν η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη σε ένα διάστημα και έχει πρώτη, δεύτερη και τρίτη παράγωγο σε μία περιοχή ενός εσωτερικού σημείου x0, καθώς επίσης η f΄΄΄(x0) είναι συνεχής συνάρτηση στο σημείο x0. Αν f΄(x0)=f΄΄(x0)=0, ενώ f΄΄΄(x0)≠ 0, τότε η συνάρτηση f(x) δεν έχει τοπικό ακρότατο στο σημείο x0.

Page 89: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

88 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Κανόνας 4ος (Γενίκευση): Αν η f(n)(x) υπάρχει και είναι συνεχής στην περιοχή (x0-δ, x0+δ) του σημείου ξ και f(k)(x0)=0 (k=1, 2, 3,…,n-1), f(n) (x0)≠ 0, τότε:

1) Για άρτιο n η τιμή f(x0) είναι μέγιστο όταν f(n)(x0)<0 και ελάχιστο όταν f(n)(x0)>0.

2) Για περιττό n η τιμή f(x0) δεν είναι ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο, δηλαδή η συνάρτηση f(x) δεν έχει ακρότατα.

Ορισμός 4: Έστω η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη στο σύνολο G.

Αν υπάρχει σημείο ξ του συνόλου G τέτοιο ώστε f(x)≤ f(ξ), για κάθε x∈G, το f(ξ) λέγεται απόλυτο μέγιστο της συνάρτησης f(x) στο G.

Ορισμός 5: Έστω η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη στο σύνολο G. Αν υπάρχει σημείο ξ του συνόλου G τέτοιο ώστε f(x)≥ f(ξ), για κάθε x∈G, το f(ξ) λέγεται απόλυτο ελάχιστο της συνάρτησης f(x) στο G.

Ορισμός 6: Το απόλυτο μέγιστο και το απόλυτο ελάχιστο μιας συνάρτησης f(x) λέγονται απόλυτα ακρότατα.

Θεώρημα 1: Έστω συναρτήσεις f(x) και g(x) για τις οποίες ισχύουν τα ακόλουθα: i. Είναι ορισμένες σε διάστημα [α, β]. ii. f΄(x)≥ g΄(x). iii. f(α)=g(α).

Τότε για κάθε x∈[α, β) ισχύει, ότι f(x)>g(x)

Θεώρημα 2: Έστω συναρτήσεις f(x) και g(x) για τις οποίες ισχύουν τα ακόλουθα: i. Είναι ορισμένες σε διάστημα [α, β]. ii. f΄(x)≤ g΄(x). iii. f(β)=g(β).

Τότε για κάθε x∈(α, β] ισχύει, ότι f(x)<g(x)

5.4.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Να βρεθούν τα ακρότατα της ακόλουθης συνάρτησης:

4 3 21 2 1( ) 2 14 3 2

f x x x x x= − − + +

Λύση

1) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x) είναι Df=R.

2) Η συνάρτηση f(x) είναι παραγωγίσιμη με f΄(x)=x3-2x2-x+2.

3) f΄(x)=0, οπότε οι x=1, x=-1 και x=2 είναι πιθανές θέσεις τοπικών ακρότατων.

4) f΄(x)>0⇔ x3-2x2-x+2>0⇔ (x-1)(x+1)(x-2)>0

Page 90: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 89

-∞ -1 1 2 +∞

x-1 - - + + x+1 - + + + x-2 - - - + f΄(x) - + - + f(x) γνησίως φθί-

νουσα γνησίως αύ-

ξουσα γνησίως φθί-

νουσα γνησίως αύ-

ξουσα

Με βάση τον προαναφερόμενο πίνακα x∈(-1,1)∪ (2,+∞ ) Για f΄(x)<0⇔ x∈(-∞ ,-1)∪ (1,2)

5) Άρα η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο -1 το f(-1)= 712

− , τοπικό

μέγιστο στο 1 το f(1)= 2512

και τοπικό ελάχιστο στο 2 το f(2)= 83

Άσκηση 2: Να βρεθούν τα ακρότατα της ακόλουθης συνάρτησης:

3 21 5( ) 63 2

f x x x x= − + .

Λύση

Η παράγωγος της συνάρτησης είναι: 3 2 21 5( ) 6 5 63 2

f΄ x x x x ΄ x x⎛ ⎞= − + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

f΄(x)=0⇔ x2-5x+6=0⇔ x=2 ή x=3 οι οποίες είναι πιθανές θέσεις ακρότατων. f΄΄(x)=2x-5, οπότε f΄΄(2)= -1<0 και κατά συνέπεια η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό

μέγιστο στο x=2 το 3 21 5 8 20 14(2) 2 2 6.2 123 2 3 2 3

f = − + = − + = και f΄΄(3)=1>0

και η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x=3 το 3 21 5 27 45 9(3) 3 3 6.3 18

3 2 3 2 2f = − + = − + = .

Άσκηση 3: Να βρεθούν τα ακρότατα της ακόλουθης συνάρτησης: 23( )f x x= .

Λύση 2 2 113 3 32 2( )

3 3f΄ x x ΄ x x

− −⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

. Αλλά f΄(x)≠ 0 και κατά συνέπεια η συνάρτηση δεν μη-

δενίζεται. Η τιμή στην οποία πιθανότατα παρουσιάζει ακρότατο είναι η x=0. Αλλά f΄(x)<0 για x<0 και f΄(x)>0 για x>0 από τα οποία συμπεραίνεται, ότι για x=0 η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το f(0)=0.

Άσκηση 4: Να βρεθούν τα ακρότατα της ακόλουθης συνάρτησης:

23( ) ( 2)f x x x= −

Λύση 2 13 31( ) ( 2) (5 4)

3f΄ x x x ΄ x

−⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥⎣ ⎦

. Για x= 45

η f΄(x)=0, αλλά το x≠ 0. Κατά συνέπεια η

πιθανή θέση ακρότατου για τη συνάρτηση είναι x= 45

ή x=0.

Υπολογίζεται η δεύτερη παράγωγός της: 13

3

1 2(5 2)( ) (5 4)3 9

xf΄΄ x x ΄x x

−⎡ ⎤ += − =⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Page 91: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

90 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Για x= 45

: 3 3

42(5 2)4 55( ) 05 4 4 49 3

5 5 5

f΄΄+

= = > , στο οποίο παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.

Για x=0: f΄(x)>0 αν x>0 και f΄(x)<0 αν x<0 και κατά συνέπεια η συνάρτηση παρου-σιάζει τοπικό μέγιστο στο x=0 το f(x)=0.

Άσκηση 5: Να βρεθούν τα απόλυτα ακρότατα των συναρτήσεων:

i. f(x)=x4-2x2+5, x∈[-2, 2]

ii. f(x)=2

3ln 1, ,x x ex e

⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦

Λύση

i. Υπολογίζεται η παράγωγος της συνάρτησης: f΄(x)=4x3-4x η οποία εν συνεχεία μηδενίζεται: f΄(x)=0⇔ 4x3-4x=0⇔ 4x(x2-1)=0⇔ 4x(x-1)(x+1)=0 και κατά συνέπεια x=0 ή x=1 ή x= -1 είναι οι πιθανές θέσεις ακρότατων για τη συνάρτηση f(x).

Η συνάρτηση για x=0 παρουσιάζει μέγιστο ίσο με f(0)=5, ενώ για x=1 και x= -1 παρουσιάζει ελάχιστα ίσα f(1)=f(-1)=4.

Η τιμή της συνάρτησης f(x) στα άκρα του διαστήματος [-2, 2] είναι ίση με το f(-2)=f(2)=13. κατά συνέπεια το απόλυτο μέγιστο της f(x) στο διάστημα αυτό είναι το 13, ενώ το απόλυτο ελάχιστο ταυτίζεται με το τοπικό ελάχιστο και είναι ίσο με το 4.

Άσκηση 6: Να υπολογιστούν οι τιμές των παραμέτρων α και b (α>0, b>0),

ώστε η συνάρτηση 2( ) axf x

x b=

+ να παρουσιάζει μέγιστο 1 για x=2.

Λύση

Μηδενίζεται η παράγωγος 2

2 2 2( )( )

ax ax abf΄ x ΄x b x b

− +⎛ ⎞= =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ της συνάρτησης f(x)

και λαμβάνεται, ότι -αx2+αb=0 το οποίο επαληθεύεται για x=2. Έτσι 4α-αb=0. Από την υπόθεση, ότι f(2)=1 συνεπάγεται, ότι: 2 1 2 4

4a a bb= ⇔ − =

+.

Λύνεται το ακόλουθο σύστημα: 4 0 4 0

2 4 4 4a ab a a

ήa b b b− = = =

⇔− = = = −

. Η δεύτερη λύση

του συστήματος απορρίπτεται αφού από την εκφώνηση πρέπει b>0. Κατά συνέπεια οι ζητούμενες τιμές είναι α=4 και b=4.

Άσκηση 7: Να δειχτεί, ότι x≥ ημx, ∀ x>0.

Λύση

Έστω f(x)=x και g(x)=ημx. Τότε f(0)=g(0)=0 και επίσης f΄(x)=1, g΄(x)=συνx. Αλλά f΄(x)≥ g΄(x) από τα οποία συνεπάγεται, ότι f(x)≥ g(x), δηλαδή x≥ημx, ∀ x>0.

Άσκηση 8: Να υπολογιστούν τα ακρότατα των ακόλουθων συναρτήσεων:

i. f(x)=ημ3x ii. f(x)=2x3-x2+1 iii. f(x)=ημ3x-2ημx iv. f(x)=x3e-x

Page 92: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 91

Άσκηση 9: Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα των ακόλουθων συναρτήσεων: 2

2

2 2

25 4

1. ( ) ( 4) . ( ) 22

2. ( ) . ( )1

. ( ) 2 . ( )ln. ( ) . ( )

. ( )

x

i f x x x vii f x x x

xii f x viii f x x xx

iii f x x x ix f x x exiv f x x x f x

xv f x

συν συν

ημ

= − = +

= = −+

= − =

= =

( )3 2

2

2 3 . ( )

. ( ) . ( ) ln 1

xx x xi f x e x

vi f x x x xii f x x x

ημ

ημ συν

= − =

= + = + +

Άσκηση 10: Να βρεθούν τα απόλυτα ακρότατα των ακόλουθων συναρτήσε-ων:

2

3

-1. ( ) , [0,1] . ( ) , [0, 4]1

. ( ) - 6 , [-3, 4] . ( ) 2 - , [- , ]2 2

. ( ) | |, [-1,1] . ( ) 2 -

xi f x x x vi f x xx

ii f x x x x vii f x x x x

iii f x x x viii f x x

π πημ

εφ εφ

= ∈ = ∈+

= ∈ = ∈

= ∈ = 2

2

, [0, ]4

1-. ( ) 2 , [-1,5] . ( ) , [0,1]1

1 1 2. ( ) , [ ,100] . ( )100 1

x

x x

xiv f x x ix f x xx

xv f x x x x f xx x

π

τοξεφ

= ∈ = ∈+

= + ∈ =+

Άσκηση 11: Για ποιές τιμές της πραγματικής παραμέτρου m η συνάρτηση

( ) mxf xx m

=−

είναι φθίνουσα σε όλο το πεδίο ορισμού της;

Άσκηση 12: Υλικό σημείο κινείται με βάση τον κανόνα 4 3 21( ) 4 164

x t t t t= − +

πάνω στον οριζόντιο άξονα Ox. Να βρεθεί η στιγμή όπου:

α) Η κατεύθυνση της κίνησής του ταυτίζεται με τη θετική κατεύθυνση του Ox.

β) Η επιτάχυνσή του είναι 11m/sec2 (το x μετριέται σε m, η ταχύτητά του μετριέται σε m/sec και ο χρόνος σε sec)

Άσκηση 13: Υλικό σημείο κατά την κίνησή του κινείται σε χρόνο t sec διανύει απόσταση 41 24( )

4 6ts t t πημ

π= + μέτρα. Να υπολογιστεί η επιτάχυνσή του στο

τέλος των 3sec και 4sec από την αρχή της κίνησης. 5.5. Κυρτότητα και σημεία καμπής συνάρτησης 5.5.1. Βασικές έννοιες, ορισμοί και θεωρήματα

Όταν μία συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη σε ένα σύνολο Δ και παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του Δ, τότε όπως προαναφέρθηκε, θα έχει εφαπτόμενη στο σημείο Α(x0, f(x0)).

Page 93: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

92 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Ορισμός 7: Η συνάρτηση f(x) λέγεται κυρτή (ή στρέφει τα κοίλα άνω) στο σημείο x0, αν μπορεί να βρεθεί περιοχή (x0-δ, x0+δ) του x0, ώστε μέρος της γραφικής παράστασης f(x), που επαληθεύεται από σημεία της περιοχής αυτής, να είναι πάνω από την εφαπτόμενη στο σημείο Α.

Ορισμός 8: Η συνάρτηση f(x) λέγεται κοίλη (ή στρέφει τα κοίλα κάτω) στο σημείο x0, αν μπορεί να βρεθεί περιοχή (x0-δ, x0+δ) του x0, ώστε μέρος της γραφικής παράστασης f(x), που επαληθεύεται από σημεία της περιοχής αυτής, να είναι κάτω από την εφαπτόμενη στο σημείο Α(x0, f(x0)).

Ορισμός 9: Αν η συνάρτηση f(x) δεν στρέφει τα κοίλα ούτε άνω ούτε κάτω, τότε δεν είναι κυρτή στο σημείο x0.

Ορισμός 10: Αν η συνάρτηση f(x), ορισμένη σε διάστημα [α,β] και παραγω-γίσιμη στο (α,β), είναι κυρτή στο διάστημα (α,x0) και κοίλη στο (x0,β), τότε το σημείο Α λέγεται σημείο καμπής.

Ανάλογα, αν η συνάρτηση f(x), ορισμένη σε διάστημα [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β), είναι κοίλη στο διάστημα (α,x0) και κυρτή στο (x0,β), τότε το σημείο Α λέ-γεται επίσης σημείο καμπής.

Θεώρημα 1: Έστω η συνάρτηση f(x), ορισμένη σε ένα διάστημα και δύο φο-

ρές παραγωγίσιμη σε μία περιοχή ενός εσωτερικού για το διάστημα αυτό, σημείου x0 με f΄΄(x0) να είναι συνεχής συνάρτηση. Τότε αν f΄΄(x0)>0, η συνάρτηση f(x) στρέφει τα κοίλα άνω, ενώ αν f΄΄(x0)<0 η συνάρτηση f(x) στρέφει τα κοίλα κάτω, στο σημείο x0.

Θεώρημα 2: Έστω η συνάρτηση f(x), ορισμένη σε ένα διάστημα και τρεις φορές παραγωγίσιμη σε μία περιοχή ενός εσωτερικού για το διάστημα αυτό, σημείο x0 με f΄΄΄(x0) να είναι συνεχής συνάρτηση. Τότε αν f΄΄(x0)=0 ενώ f΄΄΄(x0)≠ 0, η συνάρτηση f(x) δεν είναι κυρτή στο σημείο x0.

Θεώρημα 3: Αν το Α(x0, f(x0)) είναι σημείο καμπής για τη συνάρτηση f(x), η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, τότε f΄΄(x0)=0. 5.5.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Να μελετηθούν ως προς την κυρτότητα και να υπολογιστούν,

αν υπάρχουν, τα σημεία καμπής, των ακόλουθων συναρτήσεων: 2 3 5 3 21 1. ( ) 3 . ( ) x - x +x+1 . ( ) 1

20 6i f x x x ii f x iii f x x x= − = = +

Λύση

ii. Df=R, 4 21 1( ) x - x +14 2

f΄ x = , 3( )f΄΄ x x x= − . 3 2( ) 0 0 ( 1) 0 ( 1)( 1) 0 0 1 1f΄΄ x x x x x x x x x ή x ή x= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − + = ⇔ = = = − , πιθανές

θέσεις σημείων καμπής.

f΄΄(x)>0, αν x∈(-1, 0)∪ (1, +∞ ), οπότε η συνάρτηση είναι κυρτή. f΄΄(x)<0, αν x∈(-∞ , -1)∪ (0,1), οπότε η συνάρτηση είναι κοίλη.

Η συνάρτηση παρουσιάζει σημεία καμπής στο x=0 το f(0)=1, στο x=1 το f(1)=113

60 και στο x=-1 το f(-1)= 7

60.

Page 94: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 93

Άσκηση 2: Να μελετηθούν ως προς την κυρτότητα οι ακόλουθες συναρτή-σεις:

42 2

, 01. ( ) . ( ) , . ( ) 1 3 , 02 2

x

x

e xi f x x ii f x a R iii f x

a x e x−

⎧ ≥⎪= = ∈ = ⎨

+ − + <⎪⎩

5.6. Μελέτη συνάρτησης

Με τον όρο «μελέτη συνάρτησης» εννοούμε συνήθως τον υπολογισμό – προσδιορισμό των ακόλουθων για τη δεδομένη συνάρτηση:

i. Του πεδίου ορισμού ii. Την περιοδικότητα iii. Αν είναι άρτια ή περιττή iv. Τη μονοτονία v. Τα ακρότατα vi. Την κυρτότητα vii. Τα κοίλα

Τέλος λαμβάνοντας υπ’ όψιν τα προαναφερόμενα σχηματίζεται με όσο το δυ-νατόν μεγαλύτερη ακρίβεια, η γραφική παράσταση της δεδομένης συνάρτησης.

Εκτός των προαναφερόμενων επτά, σημαντική είναι και η παρατήρηση της συμπεριφοράς της συνάρτησης f(x) για x→+∞ ή x→−∞ καθώς επίσης και στα ση-μεία όπου αυτή δεν ορίζεται ή τέμνεται με τον οριζόντιο και κατακόρυφο άξονα συ-ντεταγμένων. Τα προαναφερόμενα αναφέρονται στο όρο «ασύμπτωτες» ευθείες της συνάρτησης και θα μελετηθούν αναλυτικότερα με τα παραδείγματα που ακολουθούν στην επόμενη παράγραφο. 5.6.1. Ασύμπτωτες συνάρτησης

Ορισμός 11: Η εξίσωση y=λx+κ λέγεται ασύμπτωτη (ή πλάγια ασύμπτωτη) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x) για x→ ±∞ , αν

[ ]lim ( ) ( ) 0x

f x xλ κ→±∞

− + = .

Παρατήρηση: Για τον προσδιορισμό των λ και κ υπολογίζονται τα όρια

( )limx

f xx

λ→±∞

= και [ ]lim ( )x

f x xκ λ→±∞

= − .

Ορισμός 12: Η εξίσωση y=κ λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής πα-ράστασης της συνάρτησης f(x) αν το όριο lim ( )

xf x

→+∞ ή lim ( )

xf x

→−∞ υπάρχει.

Ορισμός 13: Η εξίσωση y=μ λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x) αν το όριο lim ( )

xf x

μ→= ±∞ .

Παρατήρηση: Η κατακόρυφη ασύμπτωτη υπολογίζεται στο σημείο ή στα

σημεία που δεν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της f(x).

Page 95: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

94 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

5.6.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Να υπολογιστούν οι κατακόρυφες ασύμπτωτες των ακόλουθων συναρτήσεων:

2 2

1. ( ) . ( ) 1 1

xi f x ii f xx x

= =− +

Λύση

i. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι Df=R--1, 1. Υπολογίζονται τα όρια της συνάρτησης για x να τείνει στις τιμές που εξαιρούνται από το πεδίο ορισμού της και συγκεκριμένα:

1 21

1lim1x x−→= −∞

− και

1 21

1lim1x x+→= +∞

−. Επίσης

1 21

1lim1x x−→−= −∞

−,

1 21

1lim1x x+→−= +∞

−.

Κατά συνέπεια η συνάρτηση αυτή έχει δύο κατακόρυφες ασύμπτωτες: τις x=1 και x=-1.

ii. Η συνάρτηση αυτή δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες, αφού x2+1≠ 0, ∀ x∈Df=R. Άσκηση 2: Να υπολογιστούν όλες οι ασύμπτωτες των ακόλουθων συναρ-

τήσεων: 2 3

2

3 2 1. ( ) . ( )2 2

1 3 1. ( ) . ( ) 2 4

x x xi f x ii f xx x

x xiii f x iv f xx x

− += =

+ −

+ −= =

Λύση

i.Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x) είναι Df=R--2. Υπολογίζεται το αντίστοιχο όριο της f(x) για x να τείνει στο -2.

2

x 2

3 2 1lim2

x xx→−

− += +∞

+, κατά συνέπεια η συνάρτηση αυτή έχει κατακόρυφη

ασύμπτωτη την ευθεία x=-2.

Θα αναζητηθούν οι τυχόν πλάγιες ασύμπτωτες με τον ακόλουθο τρόπο: 2

2 2 2

2 2

3 2 1( ) 3 2 1 3 2 1 32lim lim lim lim lim 3

( 2) 2x x x x x

x xf x x x x x xx

x x x x x x xλ

→±∞ →±∞ →±∞ →±∞ →±∞

− +− + − ++= = = = = =+ +

[ ]23 2 1 8 1 8lim ( ) lim 3 lim lim 8

2 2x x x x

x x x xf x x xx x x

κ λ→±∞ →±∞ →±∞ →±∞

⎛ ⎞− + − + −= − = − = = = −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

Κατά συνέπεια η συνάρτηση αυτή έχει και πλάγια ασύμπτωτη της ευθεία y=3x-8. ii. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι Df=(-∞ ,0]∪ (2,+∞ ) και η f(x) ισούται με:

3 22

, (2, ). 2( ) | |

2 2 2 2, ( ,0]

2

xx xx x x x x xf x x x

x x x x xx xx

⎧∈ +∞⎪ −⎪= = = = = ⎨− − − − ⎪− ∈ −∞⎪ −⎩

Page 96: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 95

( ) 12lim lim lim lim lim 1222 11

x x x x x

xxf x x xxx x x x

xx

λ→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞

−= = = = = =− ⎛ ⎞ −−⎜ ⎟

⎝ ⎠

[ ]

( )( )( ) ( )

lim ( ) lim lim 1 lim 12 2 2

2 22 2lim lim lim2 2 2 2 2

2lim( 2) 2

x x x x

x x x

x

x x xf x x x x x xx x x

x x x xx x x xx x xx x x x x x x

xx x x

κ λ→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

→+∞ →+∞ →+∞

→+∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎛ ⎞− − + −⎛ ⎞− − − +⎜ ⎟⎢ ⎥== = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥− − + − − + −⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠

⎛=

− + −⎝

2 2lim lim 12 22 2 1 11 1

x xx

xx xx x

→+∞ →+∞

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎞ ⎢ ⎥= = =⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎠ ⎢ ⎥ − + −− + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Κατά συνέπεια η συνάρτηση f(x) για x να τείνει στο +∞ έχει πλάγια ασύμπτωτη της y=x+1.

Με τρόπο ανάλογο με τον προηγούμενο υπολογίζεται, ότι η συνάρτηση αυτή έχει και ακόμη μία πλάγια ασύμπτωτη για x να τείνει στο -∞ , την y=-x+1.

Αλλά 3

2 2lim ( ) lim

2x x

xf xx→ →

= = +∞−

. Κατά συνέπεια η συνάρτηση f(x) έχει και

κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία x=2.

iii. 2

0 0

1lim ( ) limx x

xf xx→ →

+= = +∞ . Επομένως η συνάρτηση αυτή έχει κατακόρυφη

ασύμπτωτη την x=0. 2

22 2 2

2

1 1 11 | | 1 11lim ( ) lim lim lim lim

1lim 1 1

x x x x x

x

x x xxx x xf xx x x x

x

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞

→+∞

⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠= = = = =

= + =

Κατά συνέπεια η συνάρτηση αυτή έχει οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y=1 για x να τείνει στο +∞ .

Με τρόπο ανάλογο με τον προαναφερόμενο, υπολογίζεται το όριο lim ( ) 1x

f x→−∞

= − , το οποίο δηλώνει, ότι η f(x) έχει και ακόμη μία οριζόντια ασύμπτω-

τη, την y=-1.

Άσκηση 3: Να μελετηθεί η συνάρτηση f(x)=(x-2)2.

Λύση

i. Df=R

ii. f΄(x)=2(x-2), για x>2 η συνάρτηση f(x) είναι γνησίως αύξουσα, ενώ για x<2 είναι γνησίως φθίνουσα.

iii. Ολικό ελάχιστο στο x=2 το f(2)=0.

iv. f΄΄(x)=2>0, κατά συνέπεια η συνάρτηση f(x) είναι κυρτή σε όλο το πεδίο ορισμού της Df και επομένως δεν παρουσιάζει σημείο καμπής.

Page 97: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

96 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

2 4 6 8x

0.5

1

1.5

2

2.5

3

y

-1 1 2 3 4 5x

2

4

6

8

y

v. lim ( ) lim ( )x x

f x f x→+∞ →−∞

= = +∞ , που δηλώνει, ότι η συνάρτηση αυτή δεν έχει

ασύμπτωτες.

Η συνάρτηση αυτή δεν είναι περιοδική και επίσης ούτε άρτια αλλά ούτε και περιττή, αφού: f(-x)=(-x-2)2=(x+2)2. Η γραφικής της παράσταση παρουσιάζεται στο Σχήμα 3.

Σχήμα 3 Άσκηση 4: Να μελετηθεί η συνάρτηση f(x)=x3.

Λύση

i. Df=R

ii. f΄(x)=3x2>0 η συνάρτηση f(x) είναι γνησίως αύξουσα, ∀ x∈Df

iii. Αφού f΄(x)>0∀ x∈Df η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα.

iv. f(-x)=(-x)3=-x3, άρα η συνάρτηση f(x) είναι περιττή.

v. f΄΄(x)=6x, κατά συνέπεια η συνάρτηση f(x) είναι κυρτή για x>0 και κοίλη για x<0.

vi. Η συνάρτηση παρουσιάζει σημείο καμπής στο x=0 το f(0)=0.

Επειδή f(0)=f΄(0)=f΄΄(0)=0, η συνάρτηση διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο(0,0), που είναι και σημείο επαφής της με τον άξονα Οx.

Επίσης lim ( )x

f x→+∞

= +∞ και lim ( )x

f x→−∞

= −∞ που δηλώνει, ότι η συνάρτηση αυτή δεν

έχει ασύμπτωτες.

Η συνάρτηση αυτή δεν είναι περιοδική και η γραφικής της παράσταση παρουσιά-ζεται στο Σχήμα 4.

Σχήμα 4 Άσκηση 5: Να μελετηθεί η συνάρτηση f(x)= x .

Page 98: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 97

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4

y

Λύση i. Df=R+. ii. 1( )

2f΄ x

x= >0, άρα η f(x) είναι γνησίως αύξουσα και δεν παρουσιάζει α-

κρότατα. iii.

3

1( )4

f΄΄ xx

= − <0, άρα η f(x) είναι κοίλη και δεν παρουσιάζει σημεία

καμπής. Επίσης f(0)=0,

0lim ( )x

f x→

= +∞ , το οποίο δηλώνει, ότι όσο πλησιάζουμε στο

Ο(0,0), η εφαπτόμενη σχηματίζει με τον άξονα Ox γωνία 90ο.

Ότι αφορά τις ασύμπτωτες, θα έχουμε τα ακόλουθα: lim ( )x

f x→+∞

= +∞ που δηλώνει,

ότι η συνάρτηση αυτή δεν έχει ασύμπτωτες.

Η συνάρτηση αυτή δεν είναι περιοδική και η δε γραφική της παράσταση φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί (Σχήμα 5).

Σχήμα 5 Άσκηση 6: Να μελετηθεί η συνάρτηση f(x)=ημx.

Λύση

i. Df=R. ii. f(x+T)=f(x)⇔ x+T=2kπ+0 ή x+T=(2k+1)π-0, οπότε η συνάρτηση αυ-

τή έχει περίοδο T=2π. Γι’ αυτό θα μελετηθεί στο διάστημα [0,2π]. iii. f(-x)=ημ(-x)=-ημx, οπότε η συνάρτηση είναι περιττή. iv. f΄(x)=συνx με:

f΄(x)>0, αν x 0,2π⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦

, οπότε η συνάρτηση είναι αύξουσα

f΄(x)<0, αν x 3,2 2π π⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦

, οπότε η συνάρτηση είναι φθίνουσα

f΄(x)>0, αν x 3 ,22π π⎡ ⎤∈⎢ ⎥⎣ ⎦

, οπότε η συνάρτηση είναι αύξουσα

v. Στο σημείο x=2π η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το 1, ενώ

στο σημείο x= 32π η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το -1.

vi. f΄΄(x)=-ημx με: f΄΄(x)<0, αν x(0, π) οπότε η συνάρτηση είναι κοίλη f΄΄(x)>0, αν x(π, 2π) οπότε η συνάρτηση είναι κυρτή

Page 99: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

98 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

−2 π − 3 π2

−π π2π2

π 3π2

x

-1

-0.5

0.5

1

y

vii. Η συνάρτηση f(x) δεν παρουσιάζει κυρτότητα στα σημεία x=0, x=π και x=2π, αφού η f΄΄ στα σημεία αυτά είναι ίση με το μηδέν, ενώ η f΄΄΄(x) στα σημεία αυτά είναι διάφορη από το μηδέν (Θεώρημα 2).

Ακόμη f΄(0)=1, f΄(π)=-1, οπότε η εφαπτόμενη στο σημείο Ο(0,0) είναι ευθεία με εξίσωση y=x, ενώ η εφαπτόμενη στο σημείο Α(π,0) είναι η ευθεία με εξίσωση y=-x+π.

Επισημαίνεται τέλος, ότι η συνάρτηση αυτή δεν έχει ασύμπτωτες. Η γραφικής της παράσταση είναι αυτή του σχήματος 6.

−2 π − 3 π2

−π π2π2

π 3π2

x

-1

-0.5

0.5

1

y

Σχήμα 6 Άσκηση 7: Να μελετηθεί η συνάρτηση f(x)=συνx.

Λύση

f(x)=συνx=2

x πημ ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

και εργαζόμαστε με τρόπο ανάλογο μ’ αυτόν της προη-

γούμενης άσκησης. Η δε γραφική της παράσταση (Σχήμα 7) είναι μετατοπισμένη ως

προς τον άξονα Οy κατά 2π .

Σχήμα 7 Άσκηση 8: Να μελετηθεί η συνάρτηση f(x)=εφx.

Λύση

i. Df= ( ), 1 ,2 2π πκπ κ π κ⎛ ⎞+ + + ∈Ζ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Page 100: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 99

ii. f(x+T)=f(x)⇔ εφ(x+T)=εφx⇔ T=π. Γι’ αυτό θα μελετηθεί στο διάστημα

,2 2π π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠.

iii. 2

1( )f΄ xxσυν

= , η συνάρτηση είναι αύξουσα στο διάστημα ,2 2π π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠ και

κατά συνέπεια δεν παρουσιάζει ακρότατα.

iv. 3

2( ) xf΄΄ xx

ημσυν

= , η συνάρτηση είναι κοίλη στο διάστημα ,02π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠ και κυρ-

τή στο 0,2π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

, ενώ στο σημείο x=0 δεν παρουσιάζει κυρτότητα.

v. f(-x)=εφ(-x)=-εφx, επομένως η συνάρτηση f(x) θα είναι περιττή και έτσι η γραφική της παράσταση θα είναι συμμετρική ως προς τον την αρχή των αξόνων Ο(0,0).

Επίσης επισημαίνεται, ότι η εφαπτομένη της στην αρχή των αξόνων Ο(0,0) έχει εξίσωση y=x.

Τέλος σχετικά με τις ασύπτωτές της θα έχουμε τα ακόλουθα: 2

lim ( )x

f xπ +

→−

= −∞ και

2

lim ( )x

f xπ −

→−

= +∞ . Επομένως η συνάρτηση f(x) έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες τις

x=-2π και x=

2π .

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=εφx έχει σχεδιαστεί στο σχήμα 8.

−2π −3π2

−π π2π2

π 3 π2

x

-30

-20

-10

10

20

30

y

Σχήμα 8

Άσκηση 9: Να μελετηθεί η συνάρτηση f(x)=σφx

Λύση

f(x)=σφx=2

x πεφ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

και εργαζόμαστε ανάλογα όπως και στην προηγούμενη

άσκηση. Η δε γραφική της παράσταση παρουσιάζεται στο σχήμα 9.

Page 101: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

100 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

-1 1x

− π2

π2

y

−2π −3π2

−π π2π2

π 3 π2

x

-30

-20

-10

10

20

30

y

Σχήμα 9 Άσκηση 10: Να μελετηθεί η συνάρτηση f(x)=τοξημx

Λύση

i. Df=[-1,1]

ii. 2

1( ) 01

f΄ xx

= >−

, επομένως η συνάρτηση είναι αύξουσα σε όλο το πεδίο

ορισμού της και δεν παρουσιάζει ακρότατο. iii.

( )32( ) 0

1

xf΄΄ xx

= <−

, αν x∈(-1,0) και κατά συνέπεια η συνάρτηση

είναι κοίλη.

( )32( ) 0

1

xf΄΄ xx

= >−

, αν x∈(0,1) και κατά συνέπεια η συνάρτηση είναι

κυρτή. Κατά συνέπεια η συνάρτηση αυτή έχει σημείο καμπής στο x=0 το f(0)=τοξημ0=0.

iv. f(-x)=τοξημ(-x)=-τοξημx, κατά συνέπεια η συνάρτηση f(x) είναι περιττή, με γραφική παράσταση συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων.

Επίσης η εφαπτόμενη στο σημείο Ο(0,0) έχει εξίσωση y=x και η γραφική της

παράσταση φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί (Σχήμα 10).

Σχήμα 10

Άσκηση 11: Να μελετηθεί η συνάρτηση: f(x)=τοξσυνx

Page 102: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 101

Λύση

i. Df=[-1,1] ii.

2

1( ) 01

f΄ xx

= − <−

, επομένως η συνάρτηση είναι φθίνουσα σε όλο το πε-

δίο ορισμού της και δεν παρουσιάζει ακρότατο. iii.

( )32( ) 0

1

xf΄΄ xx

= − >−

, αν x∈(-1,0) και κατά συνέπεια η συνάρτηση είναι

κυρτή.

( )32( ) 0

1

xf΄΄ xx

= − <−

, αν x∈(0,1) και κατά συνέπεια η συνάρτηση

είναι κοίλη.

iv. f(-x)=τοξσυν(-x)=τοξσυνx, κατά συνέπεια η συνάρτηση f(x) είναι άρτια. Η γραφική της παράσταση φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί (Σχήμα 11).

-1 -0.5 0.5 1x

π

y

Σχήμα 11

Άσκηση 12: Να μελετηθεί η συνάρτηση: f(x)=τοξεφx

Λύση

i. Df=R. ii.

2

1( ) 01

f΄ xx

= >+

, επομένως η συνάρτηση είναι αύξουσα σε όλο το πεδίο ο-

ρισμού της και δεν παρουσιάζει ακρότατο. iii.

( )22

2( ) 01

xf΄΄ xx

= − >+

, αν x∈(-∞ ,0) και κατά συνέπεια η συνάρτηση

είναι κυρτή.

( )22

2( ) 01

xf΄΄ xx

= − <+

, αν x∈(0,+ ∞ ) και κατά συνέπεια η συνάρτηση είναι

κοίλη.

iv. f(-x)=τοξεφ(-x)=-τοξεφx, κατά συνέπεια η συνάρτηση f(x) είναι περιττή, με γραφική παράσταση συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων.

Επίσης η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο Ο(0,0) δίνεται από τον τύπο y=x. Ότι αφορά τις ασύπτωτές της θα ισχύουν τα ακόλουθα: lim ( )

2xf x π

→+∞= και

Page 103: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

102 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

-2 -1 1 2x

1

2

3

4

y

lim ( )2x

f x π→−∞

= − . Επομένως η συνάρτηση f(x) έχει δύο οριζόντιες ασύμπτωτες τις y=2π

και y=-2π . Η δε γραφική της παράσταση παρουσιάζεται στο σχήμα 12

-10 -5 5 10x

− π2

π2

y

Σχήμα 12 Άσκηση 13: Να μελετηθεί η συνάρτηση f(x)=ex

Λύση

i. Df=R.

ii. f΄(x)=ex>0, επομένως η συνάρτηση είναι φθίνουσα σε όλο το πεδίο ορισμού της και δεν παρουσιάζει ακρότατο.

iii. f΄΄(x)=ex>0 επομένως η συνάρτηση είναι κυρτή σε όλο το πεδίο ορισμού της και δεν παρουσιάζει σημείο καμπής.

Σχετικά με τις ασύπτωτές της θα ισχύει, ότι: lim ( )x

f x→+∞

= +∞ και lim ( ) 0x

f x→−∞

= , κατά

συνέπεια η συνάρτηση f(x) έχει μόνο μία οριζόντια ασύμπτωτη την y=0, δηλαδή τον οριζόντιο άξονα Ox.

Κατά συνέπεια και με βάση τα προαναφερόμενα, η γραφική παράσταση της δεδομένης συνάρτησης φαίνεται στο σχήμα 13.

Σχήμα 13 Άσκηση 14: Να μελετηθεί η συνάρτηση f(x)=lnx

Page 104: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 1ο 103

1 2 3 4 5 6x

-10

-8

-6

-4

-2

2

y

Λύση i. Df=R*

+.

ii. f΄(x)= 1x

>0, επομένως η συνάρτηση είναι αύξουσα σε όλο το πεδίο

ορισμού της και δεν παρουσιάζει ακρότατο.

iii. f΄΄(x)= 2

1x

− <0 επομένως η συνάρτηση είναι κοίλη σε όλο το πεδίο

ορισμού της και δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Ότι αφορά τις ασύμπωτές της θα έχουμε τα ακόλουθα:

0lim ( )x

f x+→

= −∞ και

lim ( )x

f x→+∞

= +∞ , κατά συνέπεια η συνάρτηση f(x) έχει μόνο μία οριζόντια ασύμπτωτη

την x=0, δηλαδή τον οριζόντιο άξονα Oy. Η δε γραφική της παράσταση είναι αυτή του σχήματος 14.

Σχήμα 14

Άσκηση 15: Να μελετηθεί η συνάρτηση f(x)= 12 3xx+−

Άσκηση 16: Να μελετηθεί η συνάρτηση f(x)=

3

2 3 2x

x x− +

Άσκηση 17: Να μελετηθεί η συνάρτηση f(x)=2

xex −

Page 105: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

104 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Σελίδα σημειώσεων

Page 106: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο
Page 107: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Δρ. Σάλτας Βασίλειος

Καβάλα 2011

Μαθηματικά Ι

Βοήθημα για λύση ασκήσεων

Μέρος 2ο

1. Αόριστο ολοκλήρωμα

2. Ορισμένο ολοκλήρωμα

3. Εφαρμογές ορισμένου ολοκληρώματος

4. Απροσδιόριστο ολοκλήρωμα

Page 108: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 1

Περιεχόμενα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ..............................................................................................1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο: ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ...................................................3

1.1. Βασικές μορφές ολοκλήρωσης .......................................................................................................3 1.1.1. Βασικές έννοιες, ορισμοί και θεωρήματα αόριστου ολοκληρώματος........................................3 1.1.2. Παράγουσες βασικών συναρτήσεων ..........................................................................................3 1.1.3. Υπολογισμός βασικών ολοκληρωμάτων....................................................................................4 1.1.4. Ιδιότητες αόριστου ολοκληρώματος ..........................................................................................5 1.1.5. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση .........................................................................5

1.2. Ολοκλήρωση με αλλαγή μεταβλητής.............................................................................................8

1.3. Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων ..............................................................................................19 1.3.1. Βασικές έννοιες και τρόποι ολοκλήρωσης ...............................................................................19 1.3.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση .......................................................................20

1.4. Ολοκλήρωση άρρητων συναρτήσεων ..........................................................................................24 1.4.1. Βασικές έννοιες και τρόποι ολοκλήρωσης ...............................................................................24 1.4.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση .......................................................................25

1.5. Ολοκλήρωση τριγωνομετρικών συναρτήσεων ...........................................................................29 1.5.1. Βασικοί τύποι ολοκλήρωσης....................................................................................................29 1.5.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση .......................................................................30

1.6. Ειδικές περιπτώσεις ολοκλήρωσης ..............................................................................................32 1.6.1. Ολοκληρώματα γινομένου ημιτόνου και συνημίτονου ............................................................32 1.6.2. Ολοκληρώματα διώνυμου ........................................................................................................33

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ..............................................37

2.1. Εισαγωγή ........................................................................................................................................37 2.2. Εμβαδόν επίπεδου σχήματος.......................................................................................................37

2.3. Ορισμός ορισμένου ολοκληρώματος ............................................................................................40

2.4. Αθροίσματα Riemann....................................................................................................................42

2.5. Βασικές ιδιότητες – θεωρήματα ορισμένου ολοκληρώματος ....................................................42 2.5.1. Απόδειξη βασικών ιδιοτήτων – θεωρημάτων ορισμένου ολοκληρώματος ..............................42 2.5.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση .......................................................................45

2.6. Αλλαγή μεταβλητής ορισμένου ολοκληρώματος ........................................................................47 2. 6.1. Θεώρημα αλλαγής μεταβλητής ...............................................................................................47 2.6.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση .......................................................................47

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο: ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ ............53

3.1. Βασικές έννοιες και ορισμοί..........................................................................................................53

3.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση ...........................................................................54

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4Ο: ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ....................................59

Page 109: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

2 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

4.1. Βασικές έννοιες και ορισμοί..........................................................................................................59

4.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση ...........................................................................60

Page 110: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 3

Κεφάλαιο 1ο: Αόριστο Ολοκλήρωμα 1.1. Βασικές μορφές ολοκλήρωσης 1.1.1. Βασικές έννοιες, ορισμοί και θεωρήματα αόριστου ολοκληρώματος Ορισμός 1: Έστω συνάρτηση f(x) με πεδίο ορισμού το G και μία συνάρτηση F(x) για την οποία

(1) ( )dF f xdx

=

για κάθε x από το πεδίο ορισμού G της f(x). H συνάρτηση F(x) λέγεται παράγουσα της συνάρτησης f(x). Η εξίσωση (1) μπορεί να γραφεί και ως εξής:

(2) ( )dF f x dx=

Θεώρημα 1: Αν η συνάρτηση F(x) είναι παράγουσα της συνάρτησης f(x), η συνάρτηση F(x)+c, όπου c∈R, επίσης είναι παράγουσα της συνάρτησης f(x).

Ορισμός 2: Το σύνολο όλων των παραγουσών συναρτήσεων της δεδομένης συνάρτησης f(x) λέγεται αόριστο ολοκλήρωμα της f(x) και συμβολίζεται με

( )f x dx∫

Κατά συνέπεια θα ισχύει, ότι:

(3) ( ) ( )f x dx F x c= +∫

όπου F(x) είναι τυχαία παράγουσα συνάρτηση της f(x), ενώ c είναι τυχαίος πραγματι-κός αριθμός.

Ορισμός 3: Η συνάρτηση f(x) στην ισότητα (3) λέγεται συνάρτηση ολοκλήρωσης.

Ορισμός 4: Η έκφραση f(x)dx στην ισότητα (3) λέγεται υπό ολοκλήρωση έκ-φραση.

Ορισμός 5: Η μεταβλητή x στην ισότητα (3) λέγεται ολοκληρωτική μεταβλητή.

1.1.2. Παράγουσες βασικών συναρτήσεων

Για τον υπολογισμό της παράγουσας F(x) δεδομένης συνάρτησης f(x) απαραίτητη προϋπόθεση είναι η γνώση του πίνακα με τις παραγώγους βασικών συναρτήσεων που αναφέρθηκαν στο κεφάλαιο 4 του πρώτου μέρους αυτού του βιβλίου.

Κατά τον υπολογισμό της F(x) τίθεται το ακόλουθο ερώτημα: «Ποιά συνάρτη-ση f(x), αν παραγωγιθεί, θα μας δώσει την F(x);».

Ακολουθεί παράθεση βασικών συναρτήσεων με τις αντίστοιχες παράγουσες. Σε κάθε περίπτωση η παράμετρος c είναι τυχαίος πραγματικός αριθμός.

Page 111: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

1

2

2

1) ( ) , ( ) ( 1)1

12) ( ) , ( ) ln | |

3) ( ) , ( )ln

4) ( ) , ( )5) ( ) , ( )6) ( ) , ( )

17) ( ) , ( )

18) ( ) , ( )

9) (

nn

xx

x x

xf x x F x c nn

f x F x x cx

af x a F x ca

f x e F x e cf x x F x x cf x x F x x c

f x F x x cx

f x F x x cx

f

ημ συνσυν ημ

εφσυν

σφημ

+

= = + ≠ −+

= = +

= = +

= = += = − += = +

= = +

= = − +

2

2

2

2

2

2

1) , ( ) ή ( )1

110) ( ) , ( ) ή ( )1

111) ( ) , ( ) ln | 1 |1

112) ( ) , ( ) ln | 1 |1

x F x x c F x x cx

f x F x x c F x xx

f x F x x x cx

f x F x x x cx

τοξημ τοξσυν

τοξεφ τοξσφ

= = + = −−

= = + = −+

= = + + ++

= = + − +−

c

+

+

1.1.3. Υπολογισμός βασικών ολοκληρωμάτων

Με βάση τα αναγραφόμενα στην προηγούμενη παράγραφο σχετικά με τις παράγουσες βασικών συναρτήσεων, υπολογίζονται τα αντίστοιχα αόριστα ολοκληρώματα. Εκ νέου επισημαίνεται, ότι η παράμετρος c είναι τυχαίος πραγματι-κός αριθμός.

1

2

1) , ( 1)1

12) ln | |

3) , ( 0, 1)ln

4)

5)

6)

17)

nn

xx

x x

xx dx c nn

dx x cx

aa dx c a aa

e dx e c

xdx x c

xdx x c

dx x cx

ημ συν

συν ημ

εφσυν

+

= + ≠ −+

= +

= + > ≠

= +

= − +

= +

= +

∫∫∫∫

Page 112: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 5

2

2

2

2

2

2

2

18)

19) 1

110) 1

111) ln | 1 |1

112) ln | 1 |1

dx x cx

x cdx

x cxx c

dxx cx

dx x x cx

dx x x cx

σφημ

τοξημτοξσυν

τοξεφτοξσφ

= − +

+⎧= ⎨− +⎩−

+⎧= ⎨− ++ ⎩

= + + ++

= + −−

∫ +

1.1.4. Ιδιότητες αόριστου ολοκληρώματος

Ακολουθούν πέντε ιδιότητες αόριστου ολοκληρώματος, καθώς επίσης και η υποδειγματική απόδειξη δυο εξ αυτών. Οι άλλες τρεις αποδεικνύονται με παρόμοιο τρόπο.

*

1) ( ) ( )

2) ( ) ( )

3) ( ) ( ) , ( )

d f x dx f x dx

dF x F x c

af x dx a f x dx a R

=

= +

= ∈

∫∫∫ ∫

[ ][ ]

4) ( ) ( ) ( ) ( )

5) ( ) ( ) ( ) ( )

f x g x dx f x dx g x dx

f x g x dx f x dx g x dx

+ = +

− = −

∫ ∫∫ ∫ ∫

Παράδειγμα: Έστω ότι πρέπει να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: .

Τότε εργαζόμαστε με τον ακόλουθο τρόπο:

lnI x xd= ∫ x

21 ln2

I dx= ∫ και ότι αφορά τη συνέχεια

της λύσης, απαιτεί περαιτέρω θεωρητική ανάπτυξη, η οποία θα ακολουθήσεις σε μεταγενέστερες παραγράφους.

Θεώρημα 2: Έστω η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής σε κάποιο διάστημα Δ με ( ) ( )f x dx F x=∫ . Αν η συνάρτηση φ(t) είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ1, οι τιμές του οποίου ανήκουν στο Δ, τότε στο διάστημα Δ1 ισχύει, ότι:

(7) ( ) [ ( )] [φ( )]φ ( )f x dx F t f t ΄ t dtφ= =∫ ∫

Θεώρημα 3: Αν u(x) και v(x) είναι δυο παραγωγίσιμες συναρτήσεις σε εν διάστημα Δ, τότε:

(8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x dv x u x v x v x du x= −∫ ∫

Ορισμός 6: Η εφαρμογή του τύπου (8) για τον υπολογισμό αόριστων ολοκληρωμάτων λέγεται ολοκλήρωση κατά παράγοντες. 1.1.5. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα:

Page 113: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

6 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

2

. . ( 1)( 1)

(1 ). . x x

i xdx v x x x d

xii a e dx vi dxx x

+ − +

−∫ ∫

∫ ∫

x

2 2

2 2

1 1. . 1 2

1 2. .

x xiii dx vii dxx x

x xiv dx viii dxx xx

συνσυνσυν

συν ημ

− +⎛ ⎞⎜ ⎟ +⎝ ⎠+

∫ ∫

∫ ∫

Λύση

1 11 3232 22 2. .

1 3 312

xi xdx x dx c x c x c+

= = + = + = ++

∫ ∫

( . ). ( . ) .ln( . ) ln ln ln 1

x x x x xx x x a e a e a eii a e dx a e dx c c c

a e a e a= = + = + = +

+ +∫ ∫

2 2 2 2

2 2 2 2 2

22 2

1 (1 ) 1 2 1 2.

1 2 1 2 1 11 2

x x x x x xiii dx dx dx dxx x x x x x

dx dx dx dx x dx dx dx x x cx x x xx x

⎛ ⎞− − − +⎛ ⎞ = = = − + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= − + = − + = − + = − − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2ln | | .

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1 1 1. 1 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 12 2 22 2

1 1 1 ( ) .2 2 2

x x xvii dx dx dxx x x x

dx dx dx dx dxx x x

x x c x x c

συν συν συνσυν συν συν συν

συν συν συν

εφ εφ

⎛ ⎞+ += = +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= + = + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + + = + +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ 2

=

=∫

Άσκηση 2: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα:

2 22

4

2

2 2

4

1 1. . 1

1 2 5. 1 . 10

1 1. 1

x x

x

x xi xdx iv dxx

ii x xdx v dxx

x xiii dxx

εφ + − −

−+⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ − −

∫ ∫

∫ ∫

Λύση 2 2 2

22 2 2 2

2 2

1-συν 1. = = =συν

1 1= 1 = - . συν συν

x x xi xdx dx dx dxx x x x

dx dx dx x x cx x

ημ συνεφσυν συν συν

εφ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞− = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Page 114: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 7

2 2 2 2 2 2

4 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

22 2

2 2 2

1 1 1 1 1 1. 1 ( ) 1 ( 1)( 1)

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1ln | 1 | ln | 1 | ln .1 1 1

x x x x x xiv dx dx dxx x x x

x x x xdx dx dxx x x x x x

x xdx dx x x x x c cx x x x

+ − − + − − + − −= = =

− − − +

+ − − + −= = − =

− + − + − +

+ −= − = + − − + + + =

− + + +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ +

2 5 2 5 2 5 2 5. 10 (2.5) 2 .5 2 .5 2 .5

1 11 1 1 1 5 2

1 15 25 2 ln ln5 2

1 11 1 1 15 2

ln1 ln 5 ln1 ln 2 5 ln 5 2 ln 2 5 ln 5 2 ln 2

x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x x x

v dx dx dx dx dx

dx dx dx dx c

c c

+ + += = = + =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + = + = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= + + = + + = − +⎜− − − − ⎝

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

.c+⎟⎠

Άσκηση 3: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα:

2 2

2 2

. ln .

. ln .

. .

xi xdx iv e xdx

ii x xdx v a x dx

iii x xdx vi a x dx

ημ

συν

+

∫ ∫∫ ∫∫ ∫

Λύση

2 2 2 2 2 2

1. ln ln - ln ln - ln - 1 ln - .

1 1 1 1 1 1 1. ln ln ln - ln ln - ln - . 2 2 2 2 2 2 4

. - .

. -x x x x

i xdx x x xd x x x x dx x x dx x x x cx

ii x xdx xdx x x x d x x x xdx x x x c

iii x xdx xd x x x xdx x x x c

iv e xdx xde e x e d

συν ημ ημ ημ ημ συν

ημ ημ ημ η

= = = = +

= = = = +

= = = + +

= =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫

( )2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

-

- - - - ,

1ό 2 - - .2

. - -

-

x x

x x x x x x x x

x x x x x

x e x e xdx

e x xde e x e x e d x e x e x e xdx

e xdx e x e x e xdx e x x c

xv a x dx x΄ a x dx x x a xd a x x x a dxa x

xx x a

μ ημ συν

ημ συν ημ συν συν ημ συν ημ

οπ τε ημ ημ συν ημ ημ συν

= =

= = + =

= ⇔ = +

+ = + = + + = ++

= +

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ =

( )

2 2 22 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

- 1-

ln - ,

οπότε 2 ln

1 ln .2

a a dx x x a a x dx a dxa x a x

x x a a x a x a x dx

a x dx x x a a x a x

a x dx x x a a x a x c

+= + + + =

+ +

= + + + + +

+ = + + + + ⇔

⇔ + = + + + + +

∫ ∫ ∫

Άσκηση 4: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα:

Page 115: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

8 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

2

2 2

3

2

2

1. .

. .

. . ln1. .ln

xi e dx ix dxa x

ii x xdx x xdx

xiii dx xi xdxx x

iv dx xii xdxx x

ημ συν ημ

ημ

συν

−∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

3

2 2

1. 2 .

1. (2 3) .

1. 2 1 .

1. .

v xdx xiii dxx x

vi x dx xvi dxx

vii x dx xv dxx

viii dx xvi xdxa x

ημημ συν

ημ

συν

εφ

+

+

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

1.2. Ολοκλήρωση με αλλαγή μεταβλητής

Θεώρημα: Έστω συνάρτηση f(x) ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και επίσης συ-νάρτηση φ(t) η οποία είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ1 με την παράγωγό της φ΄(t)>0 (ή φ΄(t)<0) στο διάστημα αυτό. Έστω επίσης, ότι το πεδίο τιμών της συνάρτησης φ(t) να ταυτίζεται με το διάστημα Δ. Αν για το διάστημα Δ1 ισχύει, ότι:

[ ](1) ( ) ( ) ( )f t d t F tφ φ =∫ τότε για το διάστημα Δ θα ισχύει, ότι:

[ ](2) ( ) ( )f x dx F xψ=∫

όπου ψ(x) είναι η αντίστροφη συνάρτηση της φ(t).

Ακολουθούν οκτώ βασικοί τρόποι λύσης ολοκληρωμάτων, οι οποίοι απαιτούν, κάποια επιπρόσθετη εργασία η οποία συγκεκριμένα είναι η αντικατάσταση, ή διαφορετικά η «θέτω». Το τι θα τεθεί δεν δηλώνεται μονοσήμαντα, αλλά κάθε φορά επιλέγεται το καταλληλότερο. Αυτό γίνεται και στις περιπτώσει – ασκήσεις που ακο-λουθούν.

Ι. Χρήση του: dx=d(x+c), c∈R

Άσκηση 1: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα:

Page 116: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 9

2

102

2

2

3

. . ( )

. ( 3) . 2

. . 6 102

. 3

dx dxi vix a x a

dxii x dx viix x

dx dxiii viiix xx

iv x dx

συν+ +

−−

+ ++

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ 2

5 2

. 4 8

2 1. ( 2) . 1

dxixx x

x xv x dx xx

ημ

+ +

− ++

∫ ∫ dx

Λύση

i. Αφού dx=d(x+α) συνεπάγεται, ότι: (dx d x aI )x a x a

+= =

+ +∫ ∫ . Θέτουμε u=x+α, οπότε

du=d(x+α) και λαμβάνεται, ότι: ln | | ln | |duI u c xu

a c= = + = + +∫ .

ii. Αφού dx=d(x-3) συνεπάγεται, ότι: 102 102( 3) ( 3) ( 3I x dx x d x )= − = − −∫ ∫ . Θέτουμε

u=x-3, οπότε du=d(x-3) και λαμβάνεται, ότι: 103 103

102 ( 3)103 103u xI u du c c−

= = + = +∫ .

vii. 2 2 22 2 1 1 1 ( 2 1) 1 (

dx dx dx dxIx x x x x x x

= = = =− − + − − − + −

∫ ∫ ∫ ∫ 21)−.

Αφού dx=d(x-1) συνεπάγεται, ότι: 2

( 1)1 ( 1)d xI

x−

=− −

∫ . Θέτουμε u=x-1, οπότε du=d(x-1)

και λαμβάνεται, ότι: 2

( 1)1duI u c x c

uτοξημ τοξημ= = + = −

−∫ + .

x. ( )2

325 2 5 25 1 55( 1)2 1 ( 1) 1 ( 1)

1 1 1xx x xI dx dx dx x dx x dx

x x x−−−− + −

= = = = − =− − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −

Αφού dx=d(x-1) συνεπάγεται, ότι: 35( 1) ( 1)I x d x

−= − −∫ . Θέτουμε u=x-1, οπότε du=d(x-

1) και λαμβάνεται, ότι: 3 13 25

5 55 5 ( 1)3 2 215

u 25I u du c u c x c

− +−

= = + = + = −− +

∫ + .

ΙΙ. Χρήση του: 1 ( )dx d cxc

= , c∈R

Άσκηση 2: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα:

Page 117: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

10 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

2

522

2

1. 5 . 1 5

1 1. . 2 (5 2)

1 1. . 3 3 2

1 1. . 11 4

i xdx vii dxx

ii dx viii dxx x

iii dx ix dxx x

iv dx xxx

συν

ημ

συν

+

− −

−−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

2

22

1 1. . 11 3

1. . ( )1 9

x x

dx

v dx xi dxx

vi dx xii e e dxx

ημ

+−

++

∫ ∫

∫ ∫

x

Λύση

i. Αφού 1 (5 )5

dx d x= συνεπάγεται 1 15 5 . (5 ) 5 (5 )5 5

dx x d x xd xσυν συν συν= = =∫ ∫ ∫I x .

Θέτουμε u=5x, οπότε du=d(5x) και τότε 1 1 1 55 5 5

I udu u c x cσυν ημ ημ= = + =∫ + .

iii. 1 ( 1) (3( )3 3 3

d xI dx d x )x x x

−= = − = −

− − −∫ ∫ ∫− . Θέτουμε u=3-x, οπότε du=d(3-x) και

λαμβάνεται, ότι: ln | | ln | 3 |duI u cu

x c= − = − + = − − +∫ .

2 2 2

2

11 1 3. ( 3 )

1 3 1 ( 3 ) 1 ( 3 )1 1 ( 3 ) 3 1 ( 3 )

v I dx dx d xx x x

d xx

= = =− − −

=−

∫ ∫ ∫

=

Θέτουμε u= 3 x, οπότε du=d( 3 x) και λαμβάνεται, ότι:

2

1 1 1 ( 3 )3 3 31

duI u cu

τοξημ τοξημ= = + =−

∫ x c+ .

x. Χρησιμοποιείται η τριγωνομετρική ισότητα 21 2

2xxσυν ημ= − από την οποία

λαμβάνεται, ότι: 21 22xxσυν ημ− = και ακολουθεί αντικατάσταση στον παρανομαστή

του προς εύρεση ολοκληρώματος:

2 2

11 1 1 2 1 2

1 2 222 2

d xI dx dx d x

2

2x x xxσυν ημ ημ ημ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠= = = =⎜ ⎟− ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ . Θέτουμε u= 1

2x, οπότε

du=d( 12

x) και λαμβάνεται, ότι: 2 2

du xI u c cu

σφ σφημ

= = − + = − +∫ .

ΙΙΙ. Χρήση του: u΄(x)dx=du(x)

Άσκηση 3: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα:

Page 118: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 11

2 2

3

3

23 2

4 4

. . 1 1

ln. . 2

. .

2. . 11

.

x

x

x xi dx viii dxx x

e xii dx ix dxxexiii xdx x dxx

x xiv dx xi dxxx

xv dxa x

τοξημ

ημεφσυνημσυν

+ −

+

++

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫2

2

4 4

( 3 ) . 1 9

1 1. .

1 1. .

x x

x xxii dxx

vi dx xiii dxxe e

vii dx xiv dxxa x

τοξσυν

ημ

συν

+

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

Λύση

i. Από 2 21 1 ( 12 2

xdx dx d x= = + ) για x2+1=u>0 συνεπάγεται, ότι: 2

22 2

1 ( 1) 1 1 1ln ln( 1)1 2 1 2 2 2

x d x dudx u c x cx x u

+= = = + = +

+ +∫ ∫ ∫ + .

iii. ln | |x d xxdx dx x cx x

ημ συνεφ συνσυν συν

= = − = −∫ ∫ ∫ + .

v. 2

2 2 2

4 4 4 4 2 2 2 24 24

4 2

1 1 1 12 2 2 2

1 1

xdx dx dx adx ca x a x a a ax xa

a a

τοξεφ= = = =+ + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫2x+ .

x. 33 3

x d xI dx xd xx x

ημ συν συν συνσυν συν

−= = − = −∫ ∫ ∫ . Θέτουμε u=συνx, du=dσυνx και κα-

τά συνέπεια λαμβάνεται, ότι: 3 1

3 22 2

1 1 13 1 2 2 2

uI u du c u c cu x

cσυν

− +− −= − = − + = + = + = +

− +∫ .

xi. 2 2

2 2 21 1 1 2

x x x xdI dx dx xx x x

ημ ημ συν συν συνσυν συν συν

= = = −+ + +∫ ∫ ∫ .

Από 2συνxdσυνx=dσυν2x συνεπάγεται, ότι:

2 2

22 2

(1 ) ln(1 )1 1d x d xI x c

x xσυν συν συνσυν συν

+= − = − = − + +

+ +∫ ∫ .

( )

2 2

2 2 2

2 2 22

2 2 2

2 3

( 3 ) ( 3 ). 1 9 1 9 1 9

1 (9 ) 1 ( 3 ) 1 (1 9 ) 1(3 ) ( 3 ) ( 3 )18 3 18 31 9 1 91 3

1 1 9 ( 3 ) .9

x x x xxii dx dx dxx x x

d x x d xd x x d xx xx

x x c

τοξσυν τοξσυν

τοξσυν τοξσυν τοξσυν

τοξσυν

+= + =

− − −−

= + = − −− −−

⎡ ⎤= − − + +⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ =xiii.

Μετατρέπεται ο παρανομαστής του προς εύρεση ολοκληρώματος με βάση τον τριγω-

Page 119: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

12 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

νομετρικό τύπο 22 2x xxημ ημ συν= και διαιρείται ο αριθμητής και ο παρανομαστής με

τον τριγωνομετρικό αριθμό 2

2xσυν και λαμβάνεται, ότι:

2 2

2

1 1

1 1 2 22 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2

1

2x x x

I dx dx dx dxx x x x x xx

x x

συν συν συν

ημ ημ συν ημ συν ημ εφ

συν συν

= = = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ dx . Από το

2

22

2

xd xdx εφσυν

= συνεπάγεται, ότι: 2 ln | |2

2

xd xI cx

εφεφ

εφ= = +∫ .

xiv. Χρησιμοποιώντας την ισότητα 2

x xπσυν ημ ⎛ ⎞= −⎜⎝ ⎠

⎟ οδηγείται η άσκηση στη

μορφή της άσκησης 3xiii. Και λαμβάνεται, ότι:

1 1 2 ln4 2

2 2

d xxdx dx c

x x x

ππεφ

π πσυν ημ ημ

⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠= = − = − −⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ + .

ΙV. Χρήση κατάλληλης αλλαγής

Άσκηση 4: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα:

32 22 2 2

2

2 2 2

2 2 2

33

2 2 2

1 1. . 1 ( )

1. . (ln )1 1. .

11. 5 2 .

( )

.

i dx viiix x x a

xii dx ix dxx x a x

iii dx x dxx x a x x

iv x dx xi dxx a

v

ημ

+ +

− +

−−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

dx

2

2 2

32 2

1 1 ln( 3) . lnln. .

1. . (1 )

xdx xii dxxx x x

xvi a x dx xiii dxx x

a xvii dx xiv dxa x

x

ημ

εφημ συν

+−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

Λύση

i. Θέτουμε 1xt

= , οπότε 2

1dx dtt

= − και το ολοκλήρωμα θα ισούται με:

Page 120: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 13

2 2

2 2 2 2

1 1 1- - ( 1)21 1 1

t 1I dx dt d t t cx x t t

= = = + = −+ + +

∫ ∫ ∫ + + .

Αλλά 1x tt x

= ⇔ =1 , οπότε

21 xI cx+

= − + .

ii. Επειδή lndx d xx= , θέτουμε lnx=t, οπότε dx dt

x= και το ολοκλήρωμα θα ισούται

με: 2 2

1 1 (ln )(ln )

dx dt t c x cx x t

σφ σφημ ημ

= = − + = − +∫ ∫ .

iii. Θέτουμε axt

= , οπότε 2

adx dtt

= − και το ολοκλήρωμα θα ισούται με:

2

2 2 2 2 22

2

1 1 1 11 1

at 1I dx dt dt t c

a ax x a a a t ta att t t

τοξσυν−

= = = − = − = +− − −−

∫ ∫ ∫ ∫ . Αλλά

ax tt x

= ⇔ =a , οπότε 1 aI c

a xτοξσυν= + .

vi. Θέτουμε x=αημt, οπότε dx=ασυνtdt και το ολοκλήρωμα θα ισούται με:

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

1 2.2

2 2 2 22 4 2 4 2 4

( )2

tI a x dx a a t a tdt a tdt a dt

a a a a a adt td t t t c t t t c

a t t t c

συνημ συν συν

συν ημ ημ συν

ημ συν

+= − = − = =

= + = + + = + + =

= + +

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

=

Αλλά x=αημt, οπότε t=τοξημ xa

, καθώς επίσης:

2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 1

1

t t t t t t

x a xt ta a

ημ συν συν ημ συν ημ

συν συν

+ = ⇔ = − ⇔ = −

−⎛ ⎞⇔ = − ⇔ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Οπότε 2 2 2 2 2

2( ) (2 2a x x a x a x x a xI c

a a a a aτοξημ τοξημ− −

= + + = +2

) c+ .

xi. Θέτουμε axtσυν

= , οπότε 2

a tdx dtt

ημσυν

= και το ολοκλήρωμα θα ισούται με:

2

3 32 22 2 2 2

2 22 3

2 3 2 2 2

1

(1 )( )

1 1 1 .

a ta tt

32 2

I dx dt dta ax a a tt t

t t tdt dt ca t a t a t

ημημσυν

συνσυνσυν συν

ημ συν συνημ ημ ημ

= = =⎛ ⎞ ⎡ ⎤−− ⎣ ⎦−⎜ ⎟⎝ ⎠

= = = − +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

t=

Αλλά axtσυν

= κατά συνέπεια 2 2x atx

ημ −= , οπότε

2 2 2

xI ca x a

= − +−

.

Page 121: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

14 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

xiii. Διαιρούμε και πολλαπλασιάζουμε τον παρανομαστή της υπό ολοκλήρωσης συνάρτηση με τον τριγωνομετρικό αριθμό συν2x και εν συνεχεία θέτουμε εφx=t, από τα οποία λαμβάνεται, ότι:

22

ln ln lnx xI dx dxx xx x xx

x

x d xεφ εφ εφ εφημ συνημ συν εφσυνσυν

= = =∫ ∫ ∫ . Θέτουμε εφx=t, οπότε

dεφx=dt και το ολοκλήρωμα θα ισούται: 2 2ln 1 1(ln ) (ln )2 2

tI dt t c xt

εφ c= = + =∫ + .

xiv. Θέτουμε x=ασυν2t, οπότε dx=-2αημ2tdt και το ολοκλήρωμα θα ισούται με: 2

2

2

(1 2 ) ( 2 2 ) 2 2(1 2 )

2 1 22 2 4 4 42 2 4

a x a t tI dx a t dt a tdta x a t t

t ta t tdt a tdt a dt at

συν συνημ ημσυν ημ

συν συν ημημ συν συνημ

+ += = − = − =

− −

+ ⎛ ⎞= − = − = − = − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ .t t c

Αλλά x=ασυν2t από το οποίο συνεπάγεται, ότι 12

xta

τοξσυν= καθώς επίσης και

2

22 1 xta

ημ = − . Οπότε το ολοκλήρωμα θα ισούται με:

2 22 214 . .

4 4x a x xI a c a a x ca a a

τοξσυν τοξσυν⎡ ⎤−

= − + + = − − − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

V. Ολοκληρώματα που περιέχουν τριώνυμο Για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων τα οποία περιέχουν τριώνυμο της μορ-φής αx2+bx+c, α 0 προτείνεται να θέτεται ≠

2bx ta

= − , οπότε dx=dt.

Άσκηση 5: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα:

2 2

2 2

2 2

1 1. . 2 3 2 6

1 1. . 4 4 5 5

1 1. . 2 6 9 1

i dx v dxx x x x

ii dx vi dxx x x x

xiii dx vii dxx x x x

+ + + +

+ + + −+

− − + +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

2 2

1 1. . - 4 - 3 2

iv dx viii dxx x x x+ +

∫ ∫

Λύση i. Στην περίπτωση αυτή το α=1 και το b=2. Έτσι θέτουμε 2 1

2.1x t x t= − ⇔ = − με

dx=dt και το ολοκλήρωμα θα ισούται με:

2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 12 3 ( 1) 2( 1) 3 2

2 12

21 1 1 2 22 2 .2 2 2 2 2

1 1 12 2 2

I dx dt dtx x t t t t

t td dtdt c

t t tτοξεφ

= = = =+ + − + − + + ⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

dt =

+

Page 122: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 15

Αλλά x=t-1 t=x+1 και κατά συνέπεια το ζητούμενο ολοκλήρωμα θα ισούται με: ⇔2 1

2 2xI cτοξεφ +

= + .

iii. Θέτουμε 13

x t= − με dx=dt και το ολοκλήρωμα θα ισούται με:

2 2

2 2

1 1

2 6 9 3 91 12 6 93 3

1 ( 3 ) 1 3 .3( 3) 1 ( 3 )

I dx dtx x t

t t

d t t ct

τοξημ

= = =− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= = +−

∫ ∫ ∫

2

1 dt =

Αλλά 13 3

x t t x= − ⇔ = +1 και κατά συνέπεια το ζητούμενο ολοκλήρωμα θα ισούται με:

1 1 13 33 3 3

I x c xτοξημ τοξημ⎛ ⎞⎛ ⎞= + + = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

33

c+ .

iv. Θέτουμε x=t+2 με dx=dt και το ολοκλήρωμα θα ισούται με:

2 2

2 2

1 1

4 3 ( 2) 4( 2) 3 7

ln | 7 | ln | 2 4 3 .

dx dt dtx x t t t

t t c x x x c

= =− − + − + − −

= + − + = − + − − +

∫ ∫ ∫ 2

1=

vii. Θέτουμε 12 2

x t t x= − ⇔ = +1 , τότε dx=dt και το ολοκλήρωμα υπολογίζεται με τον

ακόλουθο τρόπο:

2 22

2 2

2 2

2 2

1 111 2 2

31 1 1 1 42 2

1 1 3 1 3ln2 4 23 3

4 41 11 ln 1 .2 2

t tx dx dt dtx x tt t

t dt dt t t t ct t

x x x x x c

⎛ ⎞− + +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠= =+ + ⎛ ⎞ +− + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

= + = + + + ++ +

⎛ ⎞= + + + + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

∫ ∫ 4

=

+ =

VI. Μετατροπή της υπό ολοκλήρωση συνάρτησης

Άσκηση 6: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα: 3

6 2

2

2

1. . . . 4 3 2 1 (8 )

1 3. . . 1 3

x x xi dx iii dx v dx vii dxx x x x x

x xii dx iv dx vi dxx xx x

+ + + +

++ −+

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Λύση 4 4 4 4 1. 4

4 4 4 4 44ln | 4 | .

x x xi dx dx dx dx dx dx x x x x

x x c

+ − += = − = −

+ + + + += − + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x =

Page 123: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

16 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

2 2 2

2

1 1 1 1 ( 1)( 1) 1. 1 1 1 1 1 1

1( 1) ln | 1 | .1 2

x x x x xii dx dx dx dx dx dxx x x x x x

xx dx dx x x cx

+ − − − += = + = + =

+ + + + + +

− + = − + + ++

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

2

1 1 1 1 1. ( 1) ( 1) ( 1) 1

ln | | ln | 1 | ln .1

x x x xiv dx dx dx dx dx dxx x x x x x x xx x

xx x c cx

+ − += = − = −

+ + + ++

= − + + = ++

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =

( )6 6 5

6 2 6 2 6 26

6 66

6 2 6 6

6

1 1 8 1 1 1. 8 8 8(8 ) (8 ) (8 ) 8

8 11 1 (8 ) 1 8 1ln .

88.48 8.6 384(8 ) 48(8 )1

x x xvii I dx dx dx dxx x x x x x x

dd x xx c

x x xx

+ −= = = −

+ + + +

⎛ ⎞+⎜ ⎟ + +⎝ ⎠= − = − + ++ ++

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

=

VII. Εισαγωγή στο σύμβολο της ολοκλήρωσης: ( ) ( ) ( ) ( )u x v΄ x vdx u x dv x=∫ ∫

Άσκηση 7: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα:

2 2

2

2 2 2

. ln .

. .

. . ln( 1)

. . ln( 1)

i xdx v xdx

ii xdx vi a x dx

iii xdx vii x x dx

iv x a dx viii x dx

τοξεφ

τοξεφ

τοξημ

+ +

+ +

∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫

Λύση

i. Για u=lnx, v=x έχουμε: ln ln ln ln ln ln (ln 1)dxxdx x x xd x x x x x x dx x x x c x x c

x= − = − = − = − + = − +∫ ∫ ∫ ∫ .

ii. Για u=τοξεφx, v=x έχουμε:

2

2 22 2

11 1 1 1 1(1 ) ln(1 ) .2 2 21 1

xxdx x x xd x x x dxx

2x x dx x x d x x x xx x

τοξεφ τοξεφ τοξεφ τοξεφ

τοξεφ τοξεφ τοξεφ

= − = − =+

= − = − + = − ++ +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ c+

iii.

Για u=τοξημx, v=x έχουμε:

2

2 2

2 2

1 11 2 22 22

112 2

2 2

11 1 1 1 (1 )2 21 1

1 1 (1 )(1 ) (1 )12 2 12

1 (1 ) (1 ) 1122

xxdx x x xd x x x dxx

x x dx x x d xx x

xx x x d x x x c

xx x c x x x c x x

τοξημ τοξημ τοξημ τοξημ

τοξημ τοξημ

τοξημ τοξημ

τοξημ τοξημ τοξημ

− +−

= − = − =−

= − = + − =− −

−= + − − = + + =

− +

−= + + = + − + = +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

2 .x c− +

Page 124: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 17

iv. Για u= 2 2x a+ , v=x έχουμε:

( )

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 22 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

.2

2

1 ln | | .2

x xx a dx x x a xd x a x x a dxx a

x x a ax x a dx x x a dxx a x a

x x a a x x a c

+ = + − + = + − =+

+ −= + − = + − =

+ +

= + + + + +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

v. Για u=τοξεφ x , v=x έχουμε:

2

2

1

11 ( ) 2

1 1 1 12 1 2 1 2 1( )1 .2

xI xdx x x xd x x x dxx x

x x x xx x dx x x dx x xx xx x

x x I

τοξεφ τοξεφ τοξεφ τοξεφ

τοξεφ τοξεφ τοξεφ

τοξεφ

= = − = − =+

= − = − = −+ +

= −

∫ ∫ ∫

∫ ∫ dxx

=+∫

Για τη λύση του ολοκληρώματος I1, θέτουμε x=t2 t⇔ = x από το οποίο dx=2tdt και κατά συνέπεια:

2 2

1 1 12 2

2 1 12 2( ) 2(1 1

t t )I dt dt t t c x x ct t

τοξεφ τοξεφ+ −= = = − + = −

+ +∫ ∫ + .

Επομένως: 1 2( )2

( 1) .

I x x x x c x x x x c

x x x c

τοξεφ τοξεφ τοξεφ τοξεφ

τοξεφ

= − − + = − +

= + − +

+ =

vi. Για u= 2a x− 2 , v=x έχουμε: 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 22 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

1 .2

xa x dx x a x xd a x x a x x dxa x

x x a ax a x dx x a x dxa x a x

xx a x a ca

τοξημ

−− = − − − = − −

−− + −

= − + = − − =− −

⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

∫ ∫

=

vii. Για u= 2ln( 1)x x+ + , v=x έχουμε: 2 2 2

22 2

2

ln( 1) ln( 1) ln( 1)

212 1ln( 1) ln( 1) 1 .

1

x x dx x x x xd x x

x

x 2x x x x dx x x x xx x

+ + = + + − + + =

++= + + − = + + − + +

+ +

∫ ∫

∫ c

viii. Για u=ln(x2+1) , v=x έχουμε: 2 2 2 2

2

2 22 2

2 2

22 2

2 2 2

2

2ln( 1) ln( 1) ln( 1) ln( 1)1

1 1ln( 1) 2 ln( 1) 21 1

1 1 1ln( 1) 2 ln( 1) 21 1 1

ln( 1) 2( ) ln

xx dx x x xd x x x x dxx

x xx x dx x x dxx x

xx x dx dx x x dxx x x

x x x x c xτοξεφ

+ = + − + = + − =+

+ −= + − = + − =

+ +⎡ ⎤+ − dx⎡ ⎤= + − + = + − −⎢ ⎥ =⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦⎣ ⎦

= + − − + =

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫2( 1) 2 2 .x x x cτοξεφ+ − + +

Page 125: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

18 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Άσκηση 8: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα:

2

2

2 2

2

. .

. . ( )

. . ( )

.

xi x xdx v dxx

ii x xdx vii x x dx

iii x xdx vi x dx

iv x xdx

τοξημτοξημ

τοξεφ τοξεφ

τοξημ τοξημ

τοξεφ

∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫

Λύση

21. 2

i I x xdx xdxτοξημ τοξημ= =∫ ∫ . Για u=τοξημx, v=x2 έχουμε:

2 2 2 2 212

1 1 1 1 1 12 2 2 2 21

I x x x d x x x x dx x xx

τοξημ τοξημ τοξημ τοξημ= − = − =−

∫ ∫ I+

Για τη λύση του ολοκληρώματος Ι1 θέτουμε x=ημt⇔ t=τοξημx, οπότε dx=συνtdt και κατά συνέπεια:

2 2 2

1 2 2

21 1

2 21 1

21

1 1 12 2 21

1 1 1 2 1 1 1 12 22 2 2 4 8 4 81 1 1 12 1 2 14 8 4 81 1 114 4 4

t t t tI tdt tdt dttt t

ttdt dt t t c t t t c

t t t c x x x c

x x x c

ημ ημ ημ συνσυν συνσυνημ συν

συνημ ημ ημ συν

ημ ημ τοξημ

τοξημ τ

= − = − = − =−

−⎛ ⎞= − = − = − + + = − + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

= − + − + = − + − + =

= − + − + = −

∫ ∫ ∫

∫ ∫

( )211 .x x x cοξημ − − +

Επομένως: 2

21 ( 12 4xI x x x xτοξημ τοξημ= − − − ) c+ .

2 2 2

22 2 2

2 2

22 2

2 2

2

1 1 1. 2 2 2

1 1 1 1 1 1 12 2 2 21 11 1 1 1 1 1 12 2 2 2 21 1

1 ( 1) .2

ii x xdx xdx x x x d x

xx x x dx x x dxx x

xx x dx dx x x x xx x

x x x c

τοξεφ τοξεφ τοξεφ τοξεφ

τοξεφ τοξεφ

τοξεφ τοξεφ τοξεφ

τοξεφ

= = − =

+ −= − = − =

+ +⎡ ⎤+

= − − = − +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − +⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ c+ =

2 3 3

23 3 3

2 2

1 1 1. 3 3 3

1 1 1 1 1 .3 3 3 31 1

iii x xdx xdx x x x d x

x xx x x dx x x dxx x

τοξημ τοξημ τοξημ τοξημ

τοξημ τοξημ

= = −

= − = −− −

∫ ∫ ∫

∫ ∫

3 =

=

( )3 2 2 3 2 2 2

3 2 2 2

323 2 2 2

1 1 1 1( 1 ) 1 13 3 3 31 1 21 13 3 3

21 (1 ) .3 9

x x x d x x x x x x dx

x x x x x x dx

xx x x x c

τοξημ τοξημ

τοξημ

τοξημ

= + − = + − − −

= + − − − =

= + − + − +

∫ ∫

2 =

Page 126: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 19

32 3 3

2

3 22

1 1 1. 3 3 3 11 ln( 1) .

3 6 6

xiv x xdx xdx x x dxx

x xx x c

τοξεφ τοξημ τοξεφ

τοξεφ

= = −+

= − + + +

∫ ∫ ∫ =

12 2

. 1

ln .2

x xv dx xdxxx x x

x x cx

dxτοξημ τοξημτοξεφ

τοξημ τοξημεφ

−= − = − + =−

= − + +

∫ ∫ ∫

2 22 2 2 2

2

22 2

1. ( ) ( ) ( )2 2 1

1 1( ) ln( 1) .2 2

x xvi x x dx x dx x x dxx

x x x x x c

τοξεφ τοξεφ τοξεφ τοξεφ

τοξεφ τοξεφ

= = −+

+= − + + +

∫ ∫ ∫ =

2 2

2

12 2 2 22

. ( ) ( ) 21

( ) 2 (1 ) ( ) 2 1 2

x xvii x dx x x dxx

.x x xd x x x x x x c

τοξημτοξημ τοξημ

τοξημ τοξημ τοξημ τοξημ

= − =−

= + − = + − −

∫ ∫

∫ +

Άσκηση 9: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα:

( )

( )

( )

1 22 2 2

2 2 2

2 2 2

2

1 2. . 2 21

1 2 5. . 1 1 4 9 1

1 3 1. . 1 1 2 2

1. 9 12 2

xi dx v dxx xx x

xii dx vi dxx x x x

xiii dx vii dxx x x x

ivx x

++ +

− − + +

+ + + +

− + −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

2 .

3 11 2

xdx viii dxx x− +

∫ ∫ Άσκηση 10: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα:

( ) ( )22

6 2

ln 1. . . ln 1 1

3 1

x xxi dx ii dx iii x x dxx x

−− + +

+ +∫ ∫ ∫

1.3. Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων 1.3.1. Βασικές έννοιες και τρόποι ολοκλήρωσης Κατά τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων ρητών συναρτήσεων, σε κάθε περίπτωση οδηγούμαστε σε μία από τις ακόλουθες περιπτώσεις υπολογισμού ολοκληρώματος:

1) ln | |A dx A x a cx a

= −−∫ + .

1

12) , ( 1)1( ) ( )k k

A Adx kkx a x a −

−= ≠

−− −∫ .

Page 127: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

20 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

223) ln | |Mx N tdx t s c

x px q sμ ντοξεφ+

= + + ++ +∫ , αφού θέσουμε

2px t= − , όπου

21, , 2 2 4M pM q pN s

sμ ν −⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠.

2 2 1

14) , ( 1)( ) 2( 1) ( ) 2 kk k

Mx N M pMdx N I kx px q k t s −

+ ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟+ + − + ⎝ ⎠∫ ≠ , αφού θέσουμε 2px t= − ,

όπου 2

2

1, , , ( 0)4 2 ( )k k

q p ps t x I dx abax b

−= = + =

+∫ > .

Πριν ακολουθήσει λύση σχετικών ασκήσεων, πρέπει να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

2

1 , ( 0)( )k kI dxax b

=+∫ ab > , το οποίο είναι απαραίτητο για την τέταρτη

περίπτωση και συγκεκριμένα: Θέτουμε ,b bx t dx dta a

= = και συνεπώς:

2 2

1 1 1( ) ( 1)k kk k k k

b dt bI dx ΄ax b b a t b a

= = =+ +∫ ∫ I .

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

1 12 1 2 2

1 2 1 2 1

1

1 1( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1 1 ( 1) 1 ( 1)

2 2( 1) ( 1) ( 1)1 1

2(1 ) 2(1 )( 1) ( 1)

2( 1)(

k k k k k

k

k kk k k

k k k

k

dt t t t tI ΄ dt dt dtt t t t

t td t td tdt dt I ΄ I ΄kt t t

t dtI ΄k nt t

tI ΄k

− +

− −−

− − −

− + += = = − =

+ + + +

+ += − = − = −

− ++ + +

= − + =− −+ +

= +−

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

1

1=

12 1

12( 1)1) kk I ΄

kt −− −−+

Οπότε 12 1

2 32 22( 1)( 1)k kk

t kI ΄ I ΄kk t −−

−= +

−− +.

Μετά από αντικατάσταση της μεταβλητής t με a xb

, λαμβάνεται, ότι:

( ) ( ) ( ) 112

2 3 , 1.2 22 2

k kkx kI I

k bk b ax b−− k−

= +−− +

>

Για k=1 λαμβάνεται προς υπολογισμό το ακόλουθο ολοκλήρωμα: 1 2

dxIax b

=+∫

το οποίο ισούται με 1

1 aI x cbab

τοξεφ= + .

Παρατήρηση: Ο υπολογισμός του ολοκληρώματος αυτού μπορεί να υλοποι-

ηθεί και με την αντικατάσταση της μεταβλητής x με a xbεφ , το οποίο μας οδηγεί

στον υπολογισμό του ολοκληρώματος: 21 1 .kk k

b bJ tdt ΄a b a b

συν −= =∫ J

Το δε ολοκλήρωμα J΄ υπολογίζεται με τρόπο ανάλογο μ’ αυτόν της άσκησης 9ii, της παραγράφου 1.2 αυτού του κεφαλαίου.

1.3.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Page 128: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 21

Άσκηση 1: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα:

4 3 2 2

2 2

3 2 2 2

3 1. . 3 2 ( 2)( 1)

9 5 4. . 6 11 6 ( 1)( 2)

x x x xi dx iiix x x x

x xii dx iv dxx x x x x x

+ − +− + + −−

− + − − − +

∫ ∫

∫ ∫

dx

Λύση

i. Επειδή ο αριθμητής είναι πολυώνυμο 4ης δύναμης, ενώ ο παρανομαστής είναι 2ης, πρέπει αρχικά να μετασχηματιστεί το κλάσμα (υπό ολοκλήρωση συνάρτηση) σε άλλο ισοδύναμο με τη βοήθεια της διαίρεσης πολυωνύμων και συγκεκριμένα:

x4+3x3-x2+0x+1 x2-3x+2 -x4+3x3-2x2 x2+6x+15 6x3-3x2+0x+1 -6x3+18x2-12x 15x2-12x+1 -15x2+45x-30 33x-29

Κατά συνέπεια x4+3x3-x2+0x+1=(x2-3x+2)(x2+6x+15)+(33x-29) από το

οποίο συνεπάγεται, ότι: 4 3 2

22

3 1 33 296 153 2 3 2

x x x xx x 2x x x+ − + −

= + + +− + − +x

. Τότε το ολοκλήρω-

μα αναλύεται ως εξής: 4 3 2

22 2

21 22

3 1 33 296 153 2 3 2

33 29( 6 15) .3 2

x x x xI dx x xx x x x

xx x dx dx I Ix x

+ − + −⎛ ⎞= = + + +⎜ ⎟− + − +⎝ ⎠−

= + + + = +− +

∫ ∫

∫ ∫

dx =

Τα δε επιμέρους αόριστα ολοκληρώματα Ι1 και Ι2 θα υπολογιστούν ως εξής: 3

2 2 21 1 ( 6 15) 6 15 3 15

3xI x x dx x dx xdx dx x x c= + + = + + = + + +∫ ∫ ∫ ∫ .

Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος Ι2 εργαζόμαστε ως εξής: παραγοντο-ποιείται ο παρανομαστής x2-3x+2 και ισούται με (x-1)(x-2), οπότε θα έχουμε:

2

33 29 33 29 ( 2) ( 1)3 2 1 2

33 29 2 33 29 ( ) ( 2 ).

x A B x A x B xx x x x

x Ax A Bx B x A B x A B

−= + ⇔ − = − + − ⇔

− + − −⇔ − = − + − ⇔ − = + + − −

Με βάση σχετικό θεώρημα των πολυωνύμων κατά το οποίο, αν δυο πολυώνυ-μα είναι ίσα, τότε οι συντελεστές των ομοβάθμιων όρων τους θα είναι ίσοι, θα ισχύει, ότι: 33

2 2A B

A B+ =

− − = − 9 προσθέτοντας κατά μέλη υπολογίζεται, ότι Α=-4 και με α-

ντικατάσταση το Β=37 και τότε 2

33 29 4 373 2 1 2

xx x x x

− −= +

− + − − και το ολοκλήρωμα Ι2 θα

είναι ίσο με:

2 2

2

33 29 4 37 4 373 2 1 2 1 2

4ln | 1| 37 ln | 2 | .

xI dx dx dx dxx x x x x x

x x c

− − −⎛ ⎞= = + = +⎜ ⎟− + − − − −⎝ ⎠= − − + − +

∫ ∫ ∫ ∫ =

Page 129: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

22 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Άρα 3

23 15 4ln | 1 | 37 ln | 2 |3xI x x x x= + + − − + − +c .

ii. Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος αυτού απαιτείται η παραγοντοποίηση του παρανομαστή η οποία στην προκείμενη περίπτωση γίνεται με τη βοήθεια του Horner και συγκεκριμένα:

1 -6 11 -6 ρ=1 1 -5 6 1 -5 6 0

Κατά συνέπεια: x3-6x2+11x-6=(x-1)(x2-5x+6). Το τριώνυμο x2-5x+6 με τη βοήθεια του Horner ή της διακρίνουσας Δ, παραγοντοποιείται ως εξής: x2-5x+6=(x-2)(x-3).

Επομένως: x3-6x2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3) και τότε:

3 2

9 5 9 5 9 5( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3) 1 2 36 11 6

9 5 ( 2)( 3) ( 1)( 3) ( 1)( 2)

x x x A Bx x x x x x x x xx x x

x A x x B x x C x x

− − −= ⇔ = + +

− − − − − − − − −− + −⇔ − = − − + − − + − −

C⇔ Θέ-

τουμε διαδοχικά x=1, x=2 και x=3 και υπολογίζονται αντίστοιχα οι τιμές των παρα-μέτρων: Α=2, Β=1 και C=-3.

Παρατήρηση: Θα μπορούσε να λυθεί και το σύστημα που προκύπτει των τριών γραμμικών εξισώσεων με τους τρεις αγνώστους, όπως έγινε και στην προηγού-μενη περίπτωση.

Κατά συνέπεια υπολογίζεται το ζητούμενο ολοκλήρωμα με τον ακόλουθο τρόπο:

3 2

9 5 2 1 36 11 6 1 2 31 1 12 3 2ln | 1| ln | 2 | 3ln | 3 |

1 2 31 22ln | 1| ln | 2 | 2ln | 3 | ln | 3 | 2ln ln3 3

1 1 2 1 (ln ln ln ln ln3 3 3 3

x dx dxx x x x x x

dx dx dx x x x cx x x

x xx x x x c cx x

x x x xcx x x x

− −⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟− + − − − −⎝ ⎠

= + − = − + − − − + =− − −

− −= − + − − − − − + = + + =

− −

− − − −= + + + = +

− − − −

∫ ∫

∫ ∫ ∫

2

2 3

1)( 2) ( 1) ( 2)ln .( 3) ( 3)

x x x xc cx x− − − −

+ = +− −

iii. Ο παρανομαστής της υπό ολοκλήρωση συνάρτησης έχει μία απλή ρίζα την x=-2 και μία διπλή ρίζα την x=1 και γι’ αυτό εργαζόμαστε ως εξής:

22 2

2 2 ( 1) ( 2)( 1) ( 22 1( 2)( 1) ( 1)

x A B C x A x B x x C xx xx x x

= + + ⇔ = − + + − + ++ −+ − −

)

Θέτουμε x=1 από το οποίο λαμβάνεται C= 13

. Για x=-2 λαμβάνεται A= 49

και

για τον υπολογισμό της τιμής της παραμέτρου Β, αντικαθιστούμε στην εξίσωση τις τιμές των Α και C που βρήκαμε και θα έχουμε:

Page 130: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 23

2 2

2 2 2

2 2

4 1( 1) ( 2)( 1) ( 2)9 3

4 1( 2 1) ( 2) ( 2)9 3

4 8 1 4 2 29 9 3 9 3

4 8 1 4 21 και 0 και 2 0.9 9 3 9 3

x x x x x

x x x B x x x

x B x B x B

B B B

= − +Β + − + + ⇔

⇔ = − + + + − + + ⇔

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ = + + − + + + + − ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ = − + + = + − =

από τα οποία λαμβάνεται, ότι Β= 59

.

Με τον τρόπο αυτό το ολοκλήρωμα υπολογίζεται ως εξής:

2

2 2

1 2 32

4 5 19 9 3

( 2)( 1) 2 1 ( 1)

4 1 5 1 1 1 4 5 1 .9 2 9 1 3 ( 1) 9 9 3

xI dx dxx x x x x

dx dx dx I I Ix x x

⎛ ⎞⎜ ⎟

= = + +⎜ ⎟+ − + − −⎜ ⎟⎝ ⎠

= + + = + ++ − −

∫ ∫

∫ ∫ ∫

=

1 1

2 2

1 ln | 2 | .2

1 ln | 1| .1

I dx x cx

I dx x cx

= = ++

= = −−

+

+

Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος Ι3 εφαρμόζεται το 2) με k=2, Α=1 και α=1.

Κατά συνέπεια: 3 32 2 1

1 1 1 1( 1) 2 1 ( 1) 1

I dx cx x x− 3c−

= = + = −− − − −∫ + .

Με αντικατάσταση των Ι1, Ι2 και Ι3 στο Ι και μετά από σχετικές πράξεις, το ζητούμενο ολοκλήρωμα θα ισούται με: 4 51 1ln | ( 2) ( 1) |

9 3I x x

x= + − +

−( 1)c+ .

Άσκηση 2: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα:

2 2 6

2 4

2 2 3

2 2

1 1. . ( 2)( 1) (8 )

3 5 12 2 1. . ( 3)( 1)

3 1. (1 )

xi dx ivx x x x x

x x x xii dx v dxx x x x

xiii dxx x

−− + +

+ + − ++ + −+

+

∫ ∫

∫ ∫

2

2

dx

Λύση

iv. Αναλύεται ο παρανομαστής x(8+x6)2 σε πολλαπλασιαστέους χρησιμοποιώντας την ταυτότητα: x6+8=(x2+2)(x4-2x2+4).

Αλλά 4 2 2 22 4 ( 6 2)( 6 2)x x x x x x− + = + + − + , κατά συνέπεια:

Page 131: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

24 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

1 1 2 26 2 2 2 2

1 1 2 22 2 2

( ) ( )1(8 ) ( 6 2) 6 2

( ) ( )( 6 2) 6 2

M x N M x NAI dx dx dxxx x x x x x

P x Q P x Qdx dx

x x x x

dx+ +

= = + ++ + + + ++ +

+ +− + − +

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

+

τα οποία λύνονται, με αρκετές πράξεις, όπως και τα προαναφερόμενα.

Στη συγκεκριμένη περίπτωση δύναται να εργαστούμε και ως εξής:

( )6 6 5

6 2 6 2 6 26

6 66

6 2 6 6

6

1 1 8 1 1 18 8 8(8 ) (8 ) (8 ) 8

8 11 1 (8 ) 1 8 1ln .

88.48 8.6 384(8 ) 48(8 )1

x x xI dx dx dxx x x x x x x

dd x xx c

x x xx

+ −= = = −

+ + + +

⎛ ⎞+⎜ ⎟ + +⎝ ⎠= − = − + ++ ++

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

dx =

Άσκηση 3: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα:

( )

( ) ( )

2

2 22

2

2 4 2

2

2 6

3 2

1 1. . 6 1

1 1. . 5 4 1

1 1. . 11 1

1. 1

x xi dx v dxx x x x

xii dx vi dxx x x x

xiii dx vii dxxx x

iv dxx x x

− ++ + + +

++ + + +

+++ −

+ + +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

2

3 2

2 3 . 1

x xvii dxx x x

+ +− + −∫ ∫

1.4. Ολοκλήρωση άρρητων συναρτήσεων 1.4.1. Βασικές έννοιες και τρόποι ολοκλήρωσης

Διακρίνονται οι ακόλουθες περιπτώσει άρρητων υπό ολοκλήρωση συναρτή-σεων και οι αντίστοιχοι μετασχηματισμοί αυτών:

1) Το ολοκλήρωμα 1 2

1 2( , , ,..., )n

n

pp pqq qR x x x x dx∫ , όπου R είναι ρητή συνάρτηση

των 1 2

1 2, , ,...,n

n

pp pqq qx x x x με n∈N*, μετασχηματίζεται σε ρητή συνάρτηση με μεταβλητή

t, αφού τεθεί 1mx t= , όπου m είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των q1, q2,…,qn.

2) Το ολοκλήρωμα 1 2

1 2, , ,...,n

n

pp pq q qax b ax b ax bR x d

cx d cx d cx d

⎡ ⎤+ + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ x , όπου R εί-

ναι ρητή συνάρτηση του x και των ριζών 1 2

1 2, ,...,n

n

pp pq qax b ax b ax b

cx d cx d cx d+ + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

q , με αd-

Page 132: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 25

bc 0, μετασχηματίζεται σε ρητή συνάρτηση με μεταβλητή t, αφού τεθεί ≠1max b t

cx d+⎛ ⎞ =⎜ ⎟+⎝ ⎠

, όπου m είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των q1, q2,…,qn.

3) Το 2( , ) , 0R x ax bx c dx a+ + ≠∫ , όπου R είναι ρητή συνάρτηση του x και

της τετραγωνικής ρίζας 2ax bx c+ + , μετασχηματίζεται σε ρητή συνάρτηση με μετα-βλητή t, αφού τεθεί ένα από τα ακόλουθα τρία, ανάλογα με την κάθε περίπτωση και συγκεκριμένα:

2. , 0 και 0i ax bx c t x a aγια+ + = ± ± Δ < > .

Αν για παράδειγμα 2ax bx c t x a+ + = + , τότε το x θα ισούται με 2

2t cx

b a−

=− t

και εν συνεχεία υπολογίζεται το dx, σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση

αόριστου ολοκληρώματος. 2. , για 0 και 0ii ax bx c xt c a c+ + = ± ± < > . Αν για παράδειγμα 2ax bx c xt c+ + = + , τότε το x θα ισούται με

2

2bxt a−

=−

ct και εν συνεχεία υπολογίζεται το dx, σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση

αόριστου ολοκληρώματος. 2 2

1. ( ) , - 4 0iii ax bx c x t b acρ για+ + = − Δ = > .Τότε 1 2( )( ) (a x x x t1)ρ ρ ρ− − = − , ό-που ρ1 και ρ2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx2+bx+c=0 οπότε το x θα ισούται με

21 2

2

txt a

aρ ρ−=

− και εν συνεχεία υπολογίζεται το dx, σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση

αόριστου ολοκληρώματος. 1.4.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα

3 23

3

3 2

4

1. . 1

1 2. . 1

x x xi dx vix x x

x xii dx vii dxx x

+ −− −

+ −−

∫ ∫

∫ ∫1

x dx

x

+

+

( ) 23

3 2

3

3 3

6 4

3 4

2 3. .

1. . ( ) (1 2

1. . ( )

x xxiii dx viii dxxx x

xiv dx ix dxx x x x x x

x xv dx x dxx x x x x

+ +

++ +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

)+

Λύση

i. Γράφεται η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση με τον ακόλουθο τρόπο (Περίπτωση 1)):

Page 133: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

26 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

12

11332

1 1x xx x x x

+ +=

− − και θέτουμε

16 6 6x t t x t x= ⇔ = ⇔ = αφού m=ΕΚΠ(2, 3)=6 και

κατά συνέπεια: dx=6t5dt και το ολοκλήρωμα μετασχηματίζεται ως εξής: 3 5 6 3 6 3

3 23

6 3 6 3

5 4 3 2 2

1 (1 )6 6 6 61 1 1

1 1 1 1 1 1 1 16 6 61 1 1 1 1 1

( 1)( 1) 1 ( 1)( 1) 161 1 1

x t t t t t tI dx dt dt dt dtt t tt tx x

t t t tdt dt dt dt dt dtt t t t t t

t t t t t t t t tdt dt dt dt t t

+ + += = = = + =

− − −−−⎛ ⎞− + − + − −

= + = + + +⎜ ⎟− − − − − −⎝ ⎠

− + + + + + − + += + +

− − −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ 1t

=

+−

5 4 3 2 2

6 5 4 3 2 3 2

6 5 4 32

5 2 11 16 3 23 6

1 16 ( 1) ( 1)1 1

6 ln | 1 | ln | 1 |6 5 4 3 2 3 2

26 2 2ln | 1 |6 5 4 3

26 2 2l6 5 4 3

t

t t t t t dt dt t t dt dtt t

t t t t t t tt t t t c

t t t t t t t c

x x x x x x

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞= + + + + + + + + + + =⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎛ ⎞

= + + + + + + − + + + + − + =⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞

= + + + + + + − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

= + + + + + +

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

16

6 35 2 3 6 6

n | 1 |

1 1 26 2 2ln | 1 | .6 5 4 3

x c

x x x x x x x c

⎛ ⎞⎜ ⎟− + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + + + + + + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

Άσκηση 2: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα

2 13 2

3 4

13

1. . 1 1 (2 1) (2 1)

1 1 1. . 1 1 1 2 1 2

5 11 7 571 1. .

1 1 5 17

xi dx vi dxx x x

xii dx vii dxx x x

x xx xiii dx viiix x x

+ + + − +

− ++ + − − −

⎡ ⎤−⎛ ⎞⎢ ⎥+ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠+ − − ⎣ ⎦+ + − −⎛

⎜⎝

∫ ∫

∫ ∫

1 1 16 3 25 1 5 1

7 7

dxx x− −⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 3 54

1 1. . 1 1 ( 1) ( 2)

1 1. 1

iv dx ix dxx x x x

xv dxx x

+ + + − +

−+

∫ ∫

Λύση

i. Θέτουμε 1, 2t x dx td= + = t και επίσης 21t x x t 1= + ⇔ = − και το ολοκλήρωμα θα ισούται με (Περίπτωση 2)):

Page 134: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 27

( )

32 3 2 2

3

2 22 ( ) ( 1) ( 1)3 31 1

2 1 1 .3

x dx t t dt t t c x xx

x x c

= − = − + = + − ++ +

= + − − +

∫ ∫ =

viii. Θέτουμε 565 1 42,

7 5xt dx−

= = t dt Κατά συνέπεια θα ισχύει, ότι:

6

65 1 7 1

7 5xt x−

= ⇔ =t + (Περίπτωση 2)):

( )

13

2 65

1 1 1 3 26 3 2

10 68 7 5 4 3 2

2 2

9 8 6 5 4 3

5 11 7 57 294

55 1 5 1 5 17 7 7

294 294 12 2 15 1 5 1

294 25 9 8 6 5 4 3

x xt tI dx t dt

t t tx x x

t t tdt t t t t t t t dt dtt t t t

t t t t t t

⎡ ⎤−⎛ ⎞⎢ ⎥+ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ −⎣ ⎦= = =+ +− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠− −⎡ ⎤= − = − − + − + + − + + =⎢ ⎥+ + + +⎣ ⎦

= − − + − + + −

∫ ∫

∫ ∫ ∫

21 .t t I

⎡ ⎤⎛ ⎞+ +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

Για τον υπολογισμό του Ι1 θέτουμε 1 ,2

t u dt du= − = και κατά συνέπεια:

1 22 2 2

1 311 2 21 1 3 3 31 14 2 4 4 4

u ut u2

32I dt du du du du

t t u u u u u u

− − −−= = = = −

+ + − + + − + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =

2

212

2

21

231 1 34 33 ln 3

32 2 4 32 14 31 2 1ln( 1) 3 .2 3

udd uuu c

uu

tt t c

τοξεφ

τοξεφ

⎛ ⎞⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠= − = + −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠+

= + + − +

∫ ∫2

+ =

Κατά συνέπεια το ζητούμενο ολοκλήρωμα θα ισούται με: 9 8 6 5 4 3

2 2294 2 1 2 1ln( 1) 3 .5 9 8 6 5 4 3 2 3

t t t t t t tI t t t t cτοξεφ⎡ ⎤⎛ ⎞ +

= − − + − + + − + + + + − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

Η άσκηση ολοκληρώνεται με αντικατάσταση της μεταβλητής t μ’ αυτό που

έχει τεθεί, δηλαδή με 65 1

7xt −

= .

Άσκηση 3: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα:

Page 135: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

28 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

2 2

2 2

2

2 2 2

3 4

1 1. . 4 4 3 (2 3) 4

1 1. . ( 1) 1 ( 1) 1

1. . ( 2 ) 2 1

1. 1

i dx vix x x x x x

ii dx vii dxx x x x x

x xiii dx viii dxx x x x x x

iv dxx x

+ + − −

+ − − + −

+ + + +

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

2

dx

2

2

2

2 2 .

4. 2 2

x xix dxx

x xv dxx x

+ +

+

+ +

Λύση

i. Επειδή α=4>0 και Δ<0, θέτουμε 24 4 3 2x x t x+ + = − και κατά συνέπεια (Περίπτωση 3i)):

22 2 2 2 34 4 3 2 4 4 3 4 4

4( 1)tx x t x x x t xt x x

t−

+ + = − ⇔ + + = − + ⇔ =+

και 2

2

2 34( 1)

t tdx dtt+ +

=+

. Έτσι 2

2 2 34 4 32( 1)

t tx xt+ +

+ + =+

.

Με αντικατάσταση των σχετικών στο ζητούμενο ολοκλήρωμα λαμβάνεται, ότι: 2

22 2

1 3 1 2 4 4 3 32 ln ln3 3 3 34 4 3 2 4 4 3 3

dx dt t x x xc ct tx x x x x x

− + + += = + =

− ++ + + + + +∫ ∫

−+ .

ii. . Επειδή α=-1<0 και c=1>0 θέτουμε 21 1x x xt− − = − και κατά συνέπεια (Περί-πτωση 3ii)):

2 2 2 22

2 11 1 1 1 21

tx x xt x x xt x t xt−

− − = − ⇔ − − = − + ⇔ =+

, 21 1 x xt

x− − −

=

και 2

2 2

2( 1 )( 1)t tdx dtt+ −

=+

. Έτσι 2

22

111

t tx xt

− + +− − =

+ και

2

2

211

t txt+

+ =+

.

Με αντικατάσταση των σχετικών στο ζητούμενο ολοκλήρωμα λαμβάνεται, ότι: 2

2 2

22

2 2

2

2

122( 1)

( 2)( 2) 1( 1) 11 1

2 2 1 1 ln | | ln | 2 |( 2) ( 2) ( 2) 2

1 1ln ln .2 2 1 1

t tdx t dt dt

t tt t t tx x xt t

t t t tdt dt dt dt dt t t ct t t t t t t t

t x xc ct x x x

− + ++

= = =++ − + ++ − −

+ ++ − + −

= = + = − = − ++ + + +

− − −= + = +

+ + − − −

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +

iii. Επειδή Δ=4>0 το τριώνυμο x2+2x θα έχει δυο πραγματικές ρίζες τις x1=0 και x2=-2 και γι’ αυτό θέτουμε 2 22 ( 0) 2x x x t x x xt+ = − ⇔ + = και κατά συνέπεια:

2 2 2 22

22 21

x x xt x x x t xt

+ = ⇔ + = ⇔ =−

και 2 2x xtx+

= (Περίπτωση 3iii)):

Page 136: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 29

Έτσι 2 2

4( 1)

tdx dtt

= −−

, 2

2

311

txt−

− =−

και 22

221

tx xt

+ =−

.

Με αντικατάσταση των σχετικών στο ζητούμενο ολοκλήρωμα λαμβάνεται, ότι: 2 2

2 2 22 2

2

2 2

1 1 1 3 1 3 12 2 2 2 2( 2 ) 2

3 1 2 1 2 .22 22

x t tdx dt dt dt t ctt t tx x x x

x x xc cxx x x x

x

− 3−= − = − + = + + =

+ +

+ += + + = +

+ +

∫ ∫ ∫ ∫

Άσκηση 4: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα:

( ) ( )3 34

3

3

1 1. .1 1

1 1. .1 1

1 1 1 1. .1 1 1 1

1. 1

i dx viix x x x

x xii dx viii dxx x x

x x xiii dx ix dxx x x

iv dxx

+ +

− ++ +

+ − − − ++ + − + +

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

1

dx

+

3 2

3 2

1 .1

1 3. .3

1.1

xx dxx

x xv dx xi dxx x

x xvi dxx

−+

+ −+

+ −

+

∫ ∫

∫ ∫

1.5. Ολοκλήρωση τριγωνομετρικών συναρτήσεων 1.5.1. Βασικοί τύποι ολοκλήρωσης

Διακρίνονται τέσσερις περιπτώσεις όπου η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση περιέχει τριγωνομετρικούς αριθμούς και συγκεκριμένα:

1) Ολοκληρώματα της μορφής ( , )R x x dημ συν x∫ , όπου R είναι ρητή συνάρτηση των ημx και συνx.

Για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων του τύπου αυτού θέτουμε 2x tεφ =

από το οποίο 2

2 2

2 1 2, , 2 ,1 1 1

t t2x x x t dx

t tημ συν τοξεφ−

= = = =+ + +

dtt

.

2) Ολοκληρώματα της μορφής: ( , ) ( , )R x x dx R x xημ συν ημ συν− − = dx∫ ∫ ,

όπου R είναι άρτια συνάρτηση ως προς ημx και συνx, δηλαδή οι τριγωνομετρικές συ-ναρτήσεις ημx και συνx είναι υψωμένες σε ζυγό αριθμό.

Page 137: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

30 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων του τύπου αυτού θέτουμε εφx=t από

το οποίο 2

2 22 2

1 1, , ,1 1 1

t2x x x t dx

t tημ συν τοξεφ= = = =

+ +dt

t+.

3) Ολοκληρώματα της μορφής ( , ) ( , )R x x dx R x x dημ συν ημ συν− = − x∫ ∫ , όπου R είναι περιττή συνάρτηση ως προς ημx, δηλαδή η τριγωνομετρική συνάρτηση ημx εί-ναι υψωμένη σε μονό αριθμό.

Για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων του τύπου αυτού θέτουμε

2

1, ,1

x t x t dx dtt

συν τοξσυν= = = −−

.

4) Ολοκληρώματα της μορφής ( , ) ( , )R x x dx R x xημ συν ημ συν− = − dx∫ ∫ , όπου R είναι περιττή συνάρτηση ως προς συνx, δηλαδή η τριγωνομετρική συνάρτηση συνx είναι υψωμένη σε μονό αριθμό.

Για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων του τύπου αυτού θέτουμε

2

1, ,1

x t x t dx dtt

ημ τοξημ= = =−

.

Παρατήρηση: Οι δυο τελευταίες ισότητες δεν απαιτούν πάντα αντικατάστα-ση στη υπό ολοκλήρωση συνάρτηση. Έχει άμεση σχέση με την κάθε περίπτωση ά-σκησης. 1.5.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα: 7

4

2 2 2

1. . 2 2

2 3 1. . 2 2

xi dx iii dxx x

xii dx iv dxx x x

ημημ συν συνεφ

ημ συν ημ συν

+ ++

+

∫ ∫

∫ ∫ x

Λύση

i. Θέτουμε 2x tεφ = από το οποίο

2

2 2

2 1 2, ,1 1 1

t t2x x dx

t tημ συν −

= = =+ + +

dtt

και

κατά συνέπεια το ολοκλήρωμα θα ισούται με (Περίπτωση 1)):

2 2 2 2

2 2

1 1 2 12 12 2 1 1 12 2

1 11 ln | 2 | ln 2 .

2 2

dx dt dtt tx x t t t tt txdt t c c

t

ημ συν

εφ

= = =−+ + + + + + −+ +

+ +

= = + + = + ++

∫ ∫ ∫

ii. Αφού η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση είναι άρτια ως προς ημx και συνx, θέτουμε

εφx=t από το οποίο 2

2 22 2

1 1, ,1 1 1

t2x x dx

t tημ συν= = =

+ +dt

t+ και κατά συνέπεια το

ολοκλήρωμα θα ισούται με (Περίπτωση 2)):

2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 3 2 3 1 2 32 1 12

1 13 3ln( 2) ln( 2) .2 2 2 2

x t tdx dt dtx x t t t

t tt xt c x

2

c

εφημ συν

εφτοξεφ εφ τοξεφ

+ + += =

+ ++

+ +

= + + + = + + +

∫ ∫ ∫ =+

Page 138: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 31

iii. Αφού η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση είναι περιττή ως προς ημx, θέτουμε συνx=t και κατά συνέπεια το ολοκλήρωμα θα ισούται με (Περίπτωση 3)):

7 6 2 3 2 3

4 4 4 4

2 3 2 4 6 2 4 6

4 4 4 4 4 4

32

4 2 3

3

( ) (1 )

(1 ) 1 3 3 1 3 3

1 1 1 33 3 333

1 33

x xd x x d x x d xdx dxx x x x

t t t t t tdt dt dt dt dt dtt t t t t t

tdt dt dt t dt t ctt t t

t

x

ημ ημ συν ημ συν συν συνσυν συν συν συν

συσυν

−= − = − = − =

− − + −= − = − = − + − + =

= − + − + = − − + + =

= −

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫3

3 .3

xx cx

συνσυνν

− + +

iv. Αφού η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση είναι περιττή ως προς συνx, θέτουμε ημx=t και κατά συνέπεια το ολοκλήρωμα θα ισούται με (Περίπτωση 4)):

2 2 2 2 2

12 2 2 (1 ) 2

x d xI dx dx 2 2(1 )dt

x x x x x x t tσυν ημ

ημ συν ημ συν ημ ημ= = = =

− −∫ ∫ ∫ ∫ .

Παραγοντοποιείται ο παρανομαστής και λαμβάνεται, ότι: 2 2 2

1 1(1 ) (1 )(1 )t t t t t

=− − +

από το

οποίο:

2 2

2 2

2 3 2 3 3 2

3 2

11 1(1 )(1 )

1 (1 ) (1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )11 ( ) ( )

10 0 20 1 0 1 0

0 0 01 1 1

A B C Dt t tt t t t

At t Bt t Ct t t D t tAt At Bt Bt Ct Ct D DtA B C t A B D t Ct D

BA B C A B A BA B D A B A A AC C CD D D

= + + + ⇔− +− +

⇔ = + + − + + − + + − ⇔

⇔ = + + − + − + − ⇔

⇔ = − − + + − + + ⇔

=− − = − = =+ − = + − = + − =

=⇔ ⇔ ⇔= = == = =

1201

CD==

Κατά συνέπεια 2

1 1 12(1 ) 2(1 )(1 )(1 ) t tt t t t

= + +− +− + 2

1 και το ολοκλήρωμα Ι θα

ισούται με:

2 2

2

1 1 1 1 1 12 2 2(1 ) 2(1 )(1 )(1 )

1 1 1 1 1 1 1 1 1ln |1 | ln |1 |4 1 4 1 2 4 4 2

1 1 1ln |1 | ln |1 |4 4 2

1 1 1ln4 1 2

I dt dtt tt t t t

dt dt dt t t ct t tt

x x cx

x cx x

ημ ημημ

ημημ ημ

⎛ ⎞= = + + =⎜ ⎟− +− + ⎝ ⎠

= + + = − − + + −− +

= − − + + − + =

+= − +

∫ ∫

∫ ∫ ∫ + =

Άσκηση 2: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα:

Page 139: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

32 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

2

4 2

2

. 1 . 1

2 3 1. . 24

1 1. . 21

xi xdx iv dxx

xi dx v dxx xx x

iii dx vi dxxx

ημημ

ημσυν

ημ συνσυν σφ

ημσυν

++

−+ +−

++

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

1.6. Ειδικές περιπτώσεις ολοκλήρωσης 1.6.1. Ολοκληρώματα γινομένου ημιτόνου και συνημίτονου

Άσκηση 1: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα 2 4

6 54

4 22

. . .

1. .

x xi x xdx iii dx v dxxx

ii x xdx iv dxx x

ημ ημημ συνσυνσυν

ημ συνημ συν

∫ ∫

∫ ∫

Λύση

( )26 5 6 4 6 2

6 8 10 7 9 11

. 1

1 2 12 .7 9 11

i x xdx x xd x x x d x

xd x xd x xd x x x x c

ημ συν ημ συν ημ ημ ημ ημ

ημ ημ ημ ημ ημ ημ ημ ημ ημ

= = − =

= − + = − +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ +

( )

4 2 3 3 3 3 3 3

3 3 2 4 3 3 2 2 2

3 3 2 2 4 2

1 1 1. I=3 3 3

1 1 13 31 .3

ii x xdx xd x x x xd x

x x x xdx x x x x x d

x x x xdx x xdx

ημ συν ημ συν ημ συν συν ημ

ημ συν ημ συν ημ συν ημ συν ημ

ημ συν ημ συν ημ συν

= − = − + =

= − + = − + − =

= − + −

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

x

Κατά συνέπεια 3 3 2 2 3 31

1 1 1 16 2 6 2

I x x x xdx x xημ συν ημ συν ημ συν= − + = − +∫ I .

( )

2 3 31

3 4 3 2 2

3 2 2 2

1 1 13 3 3

1 1 1 1 13 3 3 31 1 1 .3 3 3

3I x xd x xd x x x xd x

x x xdx x x x x dx

x x xdx x xdx

ημ συν συν ημ συν ημ συν συν ημ

ημ συν συν ημ συν συν ημ

ημ συν συν συν ημ

= − = − = − + =

= − + = − + − =

= − + −

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

Κατά συνέπεια 3 2 31 2

1 1 1 14 4 4 4

I x x xdx x xημ συν συν ημ συν= − + = − +∫ I .

( )2 21 1 11 2 22 2 4

I x dx xσυν ημ= + = + +∫ x c .

Άρα 31 1

1 1 1 24 8 16

I x x x xημ συν ημ= − + + + c .

Επομένως 3 3 31 1 1 1 26 8 16 32

I x x x x x xημ συν ημ συν ημ= − − + + + c .

Page 140: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 33

23

4 4 3 3

3 2 3

1 1 . 3 33

1 1 1 .3 33 3

x x xiii dx d x xd x d xx x x x

x xdx x cx x x

ημ ημ ημσυν ημ συν ημσυν συν συν συν

ημ ημ εφσυν συν συν

−= − = = − =

= − = − +

∫ ∫ ∫ ∫

1

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2

2

2

2

1.

1 1 1

22 2

1

1 1 12

2 22 2 2 2

21 1

22 2

x x x xiv dx dx dx dxx x x x x x x xx dx dx d x dx

x xxx x

x

dx dxx x x xx x

x

xdx xx

ημ συν ημ συνημ συν ημ συν ημ συν ημ συνημ συν

ημσυν συν ημ συν

συν

συν συνημ συν συν εφ

συν

συν συν εφ

+2= = +

= + = − + =

= + = + =

= +

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

=

1 1 1 ln .2 2

2

x xd cxx x

εφ εφσυν συνεφ

= + = + +∫

( )2 24 22

22 3

3 3

1.

1 13

1 12 ln .3 2 4 3

2

x xx xv dx dx dx x xdx x x

x dx xd x dx xdx xx x

d xx

1

x

x x xx

ημ συνημ ημ ημ συνσυν συν συν

συν ημ ημ συν ημσυν συν

ππημ ημ εφ ημ ημ

πημ

−= = −

−= − = − −

⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠= − − = + − −⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠+⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ x c

=

=

+

(Με βάση το προηγούμενο υποερώτημα για τον υπολογισμό του 1 ln

2xdx c

xεφ

ημ= +∫ .)

Άσκηση 2: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα

43

2

5

3 3

44

62 3

. .

1. .

1. .

1. .

xi xdx v dxx

xii dx vi dxx x

iii xdx vii dxx

iv xdx viii dxx x

ημημσυν

ημσυν ημ

ημσυν

συνημ συν

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

1.6.2. Ολοκληρώματα διώνυμου

Άσκηση 1: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα

Page 141: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

34 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

43 21. . 1xi dx ii x x dx

x+

+∫ ∫

Λύση

i. m=-1, n=4, p= 12

και κατά συνέπεια 1 0m Zn+

= ∈ (περίπτωση β)). Γι’ αυτό θέτουμε

4 1x t+ = , οπότε ( )141x t= − και ( )

34

1 14

dx t dt−= − . Αφού γίνουν οι προαναφερόμενες

αλλαγές το ολοκλήρωμα θα ισούται με 14 1

tI dtt

=−∫ .

Για τον υπολογισμό του τελευταίου ολοκληρώματος εργαζόμαστε με τον ακόλουθο τρόπο: θέτουμε t=u2, u= t και dt=2udu. Κατά συνέπεια το ολοκλήρωμα θα ισούται με :

2 2

1 22 2 2

1 1 1 1 1 1 112 2 2 21 1 1

u uI du du du du I Iu u u

− += = = + =

− − −∫ ∫ ∫ ∫ + .

4

1 1 11 1 112 2 2 2

t xI du u c c += = + = + =∫ 1c+ .

( )

2 2

4

2 2 2 4

1 11 1 1 1 1 1 12 22 2 1 1 4 1 4 11

1 1 1 1 1 1 1 1ln | 1 | ln | 1 | ln ln ln .4 4 1 4 41 1 1

I du du du du duu u u uu

u t xu n c c cu t x

⎛ ⎞−⎜ ⎟= = + = − =⎜ ⎟

− + − +− ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

− − + −= − − + + = + = + = +

+ + + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2c

Άρα 4 4 4

4

1 1 1 1ln2 4 1 1

x x xI dxx x+ + + −

= = ++ +

∫1 c+ .

ii. m=1, n=3, p= 13

και κατά συνέπεια 1 1m p Zn+

+ = ∈ (περίπτωση γ)). Γι’ αυτό θέ-

τουμε 3 1x t− + = , οπότε ( )131x t −= − και ( )

43

1 13

dx t dt−= − − . Αφού γίνουν οι προανα-

φερόμενες αλλαγές το ολοκλήρωμα θα ισούται με ( )

3

2

13 1

tI dt

= −−∫ t .

Για τον υπολογισμό του τελευταίου ολοκληρώματος εργαζόμαστε με τον ακόλουθο τρόπο: θέτουμε t=u3, u= 3 t και dt=3u2du. Κατά συνέπεια το ολοκλήρωμα θα ισούται με

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

3 3 3

2 2 23 3 3 3

1 23 23

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 .1 1

u u uI du du duu u u u

du du I Iu u

+ − −= − = − = − − =

− − − −

= − − = − +− −

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

2 du

Τα ολοκληρώματα Ι1 και Ι2 υπολογίζονται με τους τρόπους που έχουν προαναφερθεί και συγκεκριμένα αυτών για την ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων (παράγραφος 3) και συγκεκριμένα με βάση τις ακόλουθες ενέργειες:

Page 142: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 35

3 2

111 1

A Pu Quu u

+= +

−− + u + και

( ) ( ) ( )2 2 23 2

1 .1 111 1

A B Pu Q Mu Nu u uuu u

2u

+ += + + +

− + +−− + +

Άσκηση 2: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα

( )

( )

2 3

3 3 22 2

4

22 33

4. . 1

1. 1 . x 1

x xi dx iii dxx

ii x x dx iv dxx

+

++

∫ ∫

∫ ∫

x

Page 143: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

36 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Σελίδα σημειώσεων

Page 144: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 37

Κεφάλαιο 2ο: Ορισμένο ολοκλήρωμα

2.1. Εισαγωγή Κατά τον 17ο αιώνα μ.Χ., διατυπώθηκε από τους Newton (1642 – 1727) και Leibniz (1646 – 1716), οι οποίο εργάζονταν ο ένας ανεξάρτητα από τον άλλο, η ιδέα ότι υπάρχει βασική σχέση μεταξύ του διαφορικού και του ολοκληρωτικού λογισμού. Η σχέση αυτή επικεντρώνεται στην παράγωγο και στο ρόλο που παίζει αυ-τή στο λεγόμενο ορισμένο ολοκλήρωμα. 2.2. Εμβαδόν επίπεδου σχήματος Έστω η μη αρνητική συνάρτηση f(x) η οποία είναι ορισμένη σε πεπερασμένο και κλειστό διάστημα [α, β]. Επειδή η f(x) είναι θετική η γραφική της παράσταση θα είναι εξολοκλήρου πάνω από τον άξονα Οx. Έστω επίσης, ότι η συνάρτηση αυτή εί-ναι φραγμένη στο [α, β]. Θέτουμε την ακόλουθη άσκηση: «Να υπολογιστεί το εμβαδόν του σχήματος Α που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x), τον άξονα Οx και τις ευθείες με εξισώσεις x=α και x=β.»

Επισημαίνεται, ότι το ζητούμενο εμβαδόν μπορεί να είναι τυχαίος θετικός πραγματικός αριθμός Ι. Για τη λύση του προαναφερόμενου προβλήματος εργαζόμα-στε με τον ακόλουθο τρόπο:

Διαιρείται το διάστημα [α,β], α=x0 και β=xn, σε n διαστήματα της μορφής [x0,x1],[x1,x2],…,[xn-1,xn] με α=x0<x1<…<xn=β. Τότε το γινόμενο mν(xν-xν-1) είναι το εμβαδόν ορθογωνίων ύψους mν και πλάτους xν-xν-1 (Σχήμα 1).

y

Cf mν x΄ O α=x0 xn=β x y΄

Σχήμα 1

Το δε γινόμενο Μν(xν-xν-1) είναι το εμβαδόν ορθογωνίων ύψους Μν και πλάτους xν-xν-1 (Σχήμα 2).

y

Cf Μν

x΄ O α=x0 xn=β x y΄

Σχήμα 2

Ορισμός 1: Έστω συνάρτηση f(x) με πεδίο ορισμού το διάστημα [α,β] στο

οποίο είναι και φραγμένη. Έστω

α=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=β

είναι τυχαία διαίρεση του διαστήματος [α,β] σε n υποδιαστήματα της μορφής

Page 145: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

38 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

[x0,x1],[x1,x2],…,[xn-1,xn]

Αν Μν είναι το ακριβώς άνω φράγμα της συνάρτησης f(x) και το mν είναι το ακριβώς κάτω φράγμα της στο διάστημα [xν-1,xν], τότε το άθροισμα

11

( )n

S M x xν ν νν

−=

= −∑

λέγεται μεγάλο άθροισμα Darboux (1842 – 1917) για τη συνάρτηση f(x).

Το δε άθροισμα

11

( )n

s m x xν ν νν

−=

= −∑

λέγεται μικρό άθροισμα Darboux για τη συνάρτηση αυτή. Τα αθροίσματα αυτά εύκολα ερμηνεύονται γεωμετρικά. Να δούμε αυτό για το s. Κάθε γινόμενο mν(xν-xν-1) μπορεί, όπως είπαμε, να θεωρηθεί εμβαδόν κάποιου ορ-θογωνίου με ύψος mν και πλάτος xν-xν-1.

Αφού f(x) m≥ ν τα ορθογώνια θα ανήκουν στο πολύγωνο Α1 που δημιουργείται και βρίσκεται κάτω από σχήμα που σχηματίζεται από τη γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης f(x), τις ευθείες x=α, x=β και τον άξονα x΄x. Με άλλα λόγια θα είναι εγ-γεγραμμένα στο προαναφερόμενο σχήμα. Τότε το μικρό άθροισμα s Darboux θα είναι το εμβαδόν όλων του πολυγώνου που σχηματίζεται από τα επιμέρους ορθογώνια (Σχήμα 3).

y

Cf

mν A1

x΄ O α=x0 x1 x2 xn-1 xn=β x

Σχήμα 3

Ανάλογα, το μεγάλο άθροισμα S Darboux είναι το άθροισμα όλων των εμβαδών Μν(xν-xν-1) των ορθογωνίων με πλάτος xν-xν-1 και ύψος Μν, τα οποία είναι ορθογώνια που σχηματίζουν πολύγωνο Α2 που είναι εξ ολοκλήρου εκτός του σχήμα-τος που σχηματίζεται από τη γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης f(x), τις ευθείες x=α, x=β και τον άξονα x΄x. Με άλλα λόγια θα είναι περιγεγραμμένο στο προαναφε-ρόμενο σχήμα (Σχήμα 4).

Page 146: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 39

y Cf Μν

Α2 x΄ O α=x0 x1 x2 xn-1 xn=β x y΄

Σχήμα 4 Συμπερασματικά για το εμβαδόν Ι του σχήματος Α που σχηματίζεται από τη

γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης f(x), τις ευθείες x=α, x=β και τον άξονα x΄x θα ισχύει, ότι s I≤ ≤S.

Έτσι το s θα είναι το εμβαδόν ενός πολυγώνου το οποίo περιέχεται εξ ολοκλήρου στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) και τις ευθείες x=α, x=β, ενώ το άθροισμα S θα είναι το εμβαδόν ενός άλλου πολυγώνου το οποίο περιέχει εξολοκλήρου τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής και τις προαναφε-ρόμενες δυο ευθείες. Κατά συνέπεια s≤S.

Αλλά η διαίρεση του διαστήματος [α,β] σε n – υποδιαστήματα, μπορεί να υ-λοποιηθεί με άπειρους διαφορετικούς τρόπους. Ανεξαρτήτου αυτού, σε κάθε τέτοια τυχαία διαίρεση πρέπει να επιβάλλεται η ισχύς της ανισοτικής σχέσης s≤ I≤S. Το θέμα είναι αν το τελευταίο είναι δυνατόν, αν δηλαδή πάντα σε τυχαία διαίρεση του διαστήματος [α,β] σε n – υποδιαστήματα ισχύει ότι s≤ I≤S.

Για την απόδειξη αυτού, έστω ότι η σχέση s≤S ισχύει και για άλλη τυχαία διαίρεση του διαστήματος [α,β], διαφορετική απ’ αυτή που επιβάλλετε για το μικρό και το μεγάλο άθροισμα Darboux.

Έστω να διαιρεθεί το διάστημα [α,β] σε τυχαία υποδιαστήματα και εν συνεχεία να δημιουργηθεί το μεγάλο άθροισμα S. Με βάση τη σχέση s≤S, το άθροισμα αυτό θα είναι μεγαλύτερο από το μικρό άθροισμα s το οποίο σχηματίζεται από οποιαδήποτε διαίρεση του διαστήματος [α,β]. Αυτό σημαίνει, ότι το σύνολο των μικρών αθροισμάτων, που θα λάβουμε με όλες τις δυνατές διαιρέσεις του διαστήμα-τος [α,β] σε υποδιαστήματα, είναι φραγμένο άνω και το S είναι το άνω του φράγμα.

Έστω Ι1 να είναι το ακριβώς άνω φράγμα του συνόλου αυτού. Τότε θα ισχύει, ότι Ι1≤S. Αλλά το S είναι τυχαίο μεγάλο άθροισμα Darboux. Κατά συνέπεια η σχέση Ι1≤S δηλώνει, ότι το σύνολο των μεγάλων αθροισμάτων είναι φραγμένο κάτω και ο αριθμός Ι1 είναι το κάτω φράγμα του.

Έστω Ι2 να είναι το ακριβώς κάτω φράγμα του συνόλου αυτού. Τότε θα ισχύει, ότι Ι≤ Ι2.

Από τη σχέση s≤ I≤S συμπεραίνεται, ότι το ζητούμενο εμβαδόν Ι πρέπει να είναι ταυτόχρονα άνω και κάτω φράγμα του συνόλου των μεγάλων αθροισμάτων

Page 147: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

40 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Darboux. Κατά συνέπεια πρέπει να ισχύει, ότι Ι1≤ I≤ Ι2. Για την τελευταία ανισοτική σχέση διακρίνονται οι εξής δυο περιπτώσεις:

• Αν Ι1<Ι2, τότε υπάρχουν άπειρα Ι για τα οποία ισχύει, ότι: Ι1≤ I Ι≤ 2, κάτι το οποίο αντιτίθεται στη μοναδικότητα του εμβαδού επίπεδου σχήματος, όπως είναι το πολύγωνο Α.

• Αν Ι1=Ι2, τότε το ζητούμενο εμβαδόν Ι είναι μοναδικό και μόνο τότε δύναται να οριστεί το εμβαδόν του ζητούμενου πολυγώνου Α για το οποίο θα ισχύει, ότι Ι1=Ι=Ι2.

Με τα προαναφερόμενα προσδιορίστηκε το ζητούμενο εμβαδόν Ι του επίπεδου σχήματος – πολυγώνου Α. 2.3. Ορισμός ορισμένου ολοκληρώματος

Έστω η συνάρτηση f(x) η οποία είναι ορισμένη στο διάστημα [α,β] και όχι απαραίτητα θετική. Έστω επίσης, ότι η συνάρτηση αυτή είναι φραγμένη στο [α,β]. Διαιρείται το διάστημα [α,β], α=x0 και β=xn, σε n υποδιαστήματα της μορφής [x0,x1],[x1,x2],…,[xn-1,xn], με α=x0<x1<…<xn=β. Τότε το γινόμενο mν(xν-xν-1) είναι το εμβαδόν ορθογωνίων ύψους mν και πλάτους xν-xν-1, ενώ το γινόμενο Mν(xν-xν-1) είναι το εμβαδόν ορθογωνίων ύψους Μν και πλάτους xν-xν-1.

Αν Μν είναι το ακριβώς άνω φράγμα της συνάρτησης f(x) και το mν είναι το ακριβώς κάτω φράγμα της στο διάστημα [xν-1,xν], ορίζονται τα δυο αθροίσματα

Darboux: μικρό άθροισμα που θα ισούται με 11

(n

s m x x )νν

ν ν −=

= −∑ και το μεγάλο ά-

θροισμα που θα είναι ίσο με 11

( )n

S M x xν ν νν

−=

= −∑ .

Η συνάρτηση f(x) είναι εξ ορισμού φραγμένη και έστω λ το κάτω φράγμα της. Θεωρούμε τη συνάρτηση φ(x)=f(x)-λ η οποία είναι προφανώς θετική. Αν mν΄ και Μν΄ είναι το ακριβώς κάτω και το ακριβώς άνω φράγμα της συνάρτησης φ(x) αντίστοιχα στο διάστημα [xν-1,xν], τότε θα ισχύουν τα ακόλουθα: mν΄=mν-λ και Μν΄=Μν-λ από τα οποία συνεπάγεται, ότι mν=mν΄+λ και Μν=Μν΄+λ.

Με βάση τις προαναφερόμενες δυο ισότητες, το μικρό και το μεγάλο άθροισμα Darboux θα ισούνται με:

1 1 11 1 1 1( )( ) ( ) ( ) ( )

n n n n

s m ΄ x x m ΄ x x x x s΄ x xν ν ν ν ν ν ν ν ν νν ν ν ν

λ λ− − −= = = =

= + − = − + − = + −∑ ∑ ∑ ∑ 1λ −

11

λ −

Αλλά

1 1 11 1 1

( )( ) ( ) ( ) ( )n n n n

S M ΄ x x M ΄ x x x x S΄ x xν ν ν ν ν ν ν ν ν νν ν ν ν

λ λ− − −= = = =

= + − = − + − = + −∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( ) ( )1 1 0 2 1 1 01

( ) ...n

n n nx x x x x x x x x xν νν

β− −=

− = − + − + + − = − = −∑ a . Κατά

συνέπεια s=s΄+λ(β-α) και S=S΄+λ(β-α) με s≤S και s΄≤S΄.

Επειδή η συνάρτηση φ(x) είναι θετική, τότε το σύνολο των αθροισμάτων s΄ θα είναι φραγμένο άνω. Έστω Ι1΄ να είναι το ακριβώς άνω φράγμα του και Ι2΄ να είναι το ακριβώς κάτω φράγμα του συνόλου των αθροισμάτων S΄. Τότε Ι1΄≤ Ι2΄.

Λαμβάνοντας υπ’ όψιν την ισότητα s=s΄+λ(β-α) συμπεραίνουμε, ότι το σύνολο των αθροισμάτων s είναι επίσης φραγμένο άνω, με Ι1 να είναι το ακριβώς άνω φράγμα του. Με βάση την ισότητα S=S΄+λ(β-α) δύναται να ειπωθεί, ότι το

Page 148: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 41

σύνολο των αθροισμάτων S είναι φραγμένο κάτω με ακριβώς κάτω φράγμα τον αριθμό Ι2.

Με βάση τα προαναφερόμενα δυο, ισχύει ότι Ι1=Ι1΄+λ(β-α) και Ι2=Ι2΄+λ(β-α). Αλλά Ι΄1≤ Ι΄2 και κατά συνέπεια Ι1≤ Ι2.

Έτσι για κάθε συνάρτηση f(x) φραγμένη σε διάστημα [α,β], ορίστηκαν δυο αριθμοί Ι1 και Ι2 που είναι ο πρώτος ακριβώς άνω φράγμα του συνόλου των μικρών αθροισμάτων s Darboux, ενώ ο δεύτερος είναι το ακριβώς κάτω φράγμα των μεγάλων αθροισμάτων S Darboux.

Ορισμός 2: Έστω η συνάρτηση f(x) να είναι φραγμένη στο διάστημα [α,β] με Ι1 να είναι το ακριβώς άνω φράγμα του συνόλου των μικρών αθροισμάτων s του Darboux, ενώ Ι2 να είναι το ακριβώς κάτω φράγμα του συνόλου των μεγάλων α-θροισμάτων S του Darboux. Το I1 λέγεται κάτω ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x) στο διάστημα [α,β], ενώ το I2 λέγεται άνω ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x) στο διάστημα [α,β].

Ορισμός 3: Αν I1=I2=I, τότε η συνάρτηση λέγεται ολοκληρώσιμη και το ολοκλήρωμά της λέγεται ορισμένο ολοκλήρωμα, το οποίο συμβολίζεται με

( )a

f x dxβ

∫ . Το β λέγεται άνω όριο του ολοκληρώματος, το α λέγεται κάτω όριο του ο-

λοκληρώματος, ενώ η συνάρτηση f(x) λέγεται υπό ολοκλήρωση συνάρτηση. Παρατήρηση: Επισημαίνεται, ότι υπάρχουν περιπτώσεις συναρτήσεων όπου μπορεί να είναι φραγμένες αλλά δεν είναι ολοκληρώσιμες.

Παράδειγμα: Έστω η συνάρτηση . 1, αν ο είναι ρητός αριθμός( )

0, αν ο είναι άρρητος αριθμόςx

f xx

⎧= ⎨⎩

Η συνάρτηση αυτή σε κάθε υποδιάστημα της μορφής [x0,x1],[x1,x2],…, [xn-1,xn] του διαστήματος [α,β], με 0=x0<x1<…<xn=1, έχει ακριβώς κάτω φράγμα το 0 και ακριβώς άνω φράγμα το 1. Κατά συνέπεια τα αντίστοιχα αθροίσματα Darboux θα ισούνται με: και

11

0.( ) 0n

s x xν νν

−=

= −∑ = 1 01

1.( ) 1 0 1n

nS x x x xν νν

−=

= − = − = − =∑ . Έτσι Ι=0,

Ι2=1 και Ι1<Ι.

Έστω να δούμε την ολοκλήρωση της σταθερής συνάρτησης f(x)=c, x∈[α,β]. Τα αθροίσματα Darboux θα ισούνται με: ∀

11

.( ) ( )n

s c x x c aν νν

β−=

= − = −∑ και

. Κατά συνέπεια, αφού s=S=c(β-α), για το ορισμένο ολο-

κλήρωμα θα ισχύει, ότι:

11

n

ν =∑ .( ) ( )S c x x c aν ν β−= − = −

( ) ( )a

f x dx c b aβ

= −∫ .

Παρατήρηση: Στην περίπτωση που η σταθερά c *R+∈ , τότε ο αριθμός που προκύπτει

από τον υπολογισμού του ορισμένου ολοκληρώματος ( )a

f x dxβ

∫ θα ισούται με το

εμβαδόν Ι του σχήματος Α, αφού πλέον το σχήμα Α είναι ορθογώνιο με βάση ίση με το β-α και ύψος c.

Θεώρημα 1: Αν η συνάρτηση f(x) είναι ολοκληρώσιμη σε ένα διάστημα [α,β] και ∀ x∈[α,β] ισχύει, ότι , τότε ( )m f x M≤ ≤ ( ) ( ) (

a

m a f x dx M aβ

β β )− ≤ ≤∫ − .

Page 149: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

42 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Θεώρημα 2: Αν η συνάρτηση f(x) είναι ολοκληρώσιμη σε ένα διάστημα [α,β] και ∀ x∈[α,β] ισχύει, ότι f(x) 0, τότε . ≥ ( ) 0

a

f x dxβ

≥∫

Θεώρημα 3: Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], τότε είναι ολοκληρώσιμη στο διάστημα αυτό. 2.4. Αθροίσματα Riemann Ορισμός 4: Έστω συνάρτηση f(x) ορισμένη και φραγμένη σε ένα διάστημα [α,β]. Διαιρούμε το διάστημα αυτό σε πεπερασμένο αριθμό υποδιαστημάτων της μορφής [x0,x1],[x1,x2],…,[xn-1,xn] και σε κάθε ένα από αυτά επιλέγεται ένα σημείο της μορφής ξ1, ξ2,…,ξn, έτσι, ώστε xν-1≤ξν≤xν, ν=1, 2,…,n.

Το άθροισμα 1

1( )( )

n

f x xν ν νν

σ ξ −=

= −∑ λέγεται άθροισμα Riemann (1826 – 1866).

Το άθροισμα αυτό εξαρτάτε από τον τρόπο διαίρεσης του διαστήματος [α,β] σε υποδιαστήματα και από την επιλογή των σημείων ξ1, ξ2,…,ξn.

Αν 11

( )n

s m x xν ν νν

−=

= −∑ και 1

1(

n

S M x xν ν νν

)−=

= −∑ είναι το μικρό και το μεγάλο

άθροισμα Darboux αντίστοιχα, για την προαναφερόμενη διαίρεση του διαστήματος [α,β], τότε εξαιτίας της διπλής σχέσης mν≤ f(ξν)≤Μν, ν=1, 2,…,n συνεπάγεται, ότι s σ S, το οποίο δηλώνει, ότι τα αθροίσματα Riemann θα βρίσκονται πάντα μεταξύ των δυο αθροισμάτων Darboux. ≤ ≤

Διαιρούμε το διάστημα [α,β] με κάποιο τυχαίο τρόπο και έστω δ1 το μήκος του μεγαλύτερου εκ των διαστημάτων αυτών. Διαιρούμε με άλλο τυχαίο τρόπο το ίδιο διάστημα [α,β] με δ2 το μήκος του μεγαλύτερου από τα διαστήματα αυτά. Επαναλαμβάνεται η εργασία αυτή n – φορές και έστω δn το μήκους του μεγαλύτερου διαστήματος κατά την τελική διαίρεση. Ο τυχαίος αυτός τρόπος διαίρεσης μπορεί να είναι ο ακόλουθος: πρώτα διαιρείται το διάστημα [α,β] σε δυο ίσα μέρη, μετά σε τρία ίσα μέρη κ.τ.λ. σε n – ίσα μέρη. Κατά συνέπεια δn=

1a

nβ −+

. Με τον τρόπο αυτό

λαμβάνεται μία ακολουθία δ1, δ2,…,δn,… με τα μήκη των μεγαλύτερων υποδιαστη-μάτων η οποία τείνει στο μηδέν, δηλαδή lim 0nn

δ→+∞

= .

Θεώρημα: Έστω συνάρτηση f(x) συνεχής σε ένα διάστημα [α,β] και δ1, δ2,…,δn,… μία ακολουθία διαιρέσεων του διαστήματος αυτού. Σε κάθε τέτοια διαίρεση αντιστοιχείται ένα άθροισμα Riemann, λαμβάνοντας έτσι την ακολουθία σ1, σ2,…,σn,…. Η ακολουθία αυτή είναι συγκλίνουσα και τείνει στο ορισμένο ολοκλή-ρωμα ( )

a

f x dxβ

∫ .

2.5. Βασικές ιδιότητες – θεωρήματα ορισμένου ολοκληρώματος 2.5.1. Απόδειξη βασικών ιδιοτήτων – θεωρημάτων ορισμένου ολοκληρώματος Με βάση το άθροισμα Riemann και τα θεώρημα που αποδείχτηκε στην προηγούμενη παράγραφό, θα αποδειχτούν θεωρήματα τα οποία αποτελούν βασικές ιδιότητες των ορισμένων ολοκληρωμάτων.

Page 150: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 43

Θεώρημα 1: Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], και

c∈R, τότε . ( ) ( )a a

cf x dx c f x dxβ β

=∫ ∫

Θεώρημα 2: Αν οι συναρτήσεις f(x), g(x) είναι συνεχείς στο διάστημα [α,β],

τότε [ ]( ) ( ) ( ) ( )a a a

f x g x dx f x dx g x dxβ β

+ = +∫ ∫β

∫ .

Θεώρημα 3: Αν οι συναρτήσεις f(x), g(x) είναι συνεχείς στο διάστημα [α,β] και επίσης για κάθε x∈[α,β] ισχύει f(x)≤g(x), τότε ( ) ( )

a a

f x dx g x dxβ β

≤∫ ∫ .

Θεώρημα 4: Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], τότε

( ) | ( ) |a a

f x dx f x dxβ β

≤∫ ∫ .

Θεώρημα 5: Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] και

αν γ∈[α,β], τότε ( ) ( ) ( )a a

f x dx f x dx f x dxβ γ β

γ

= +∫ ∫ ∫ .

Παρατήρηση: Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] και αν

γ1, γ2,…, γn∈[α,β], n∈N, τότε 1 2

1

( ) ( ) ( ) ... ( )na a

f x dx f x dx f x dx f x dxγ γβ β

γ γ

= + + +∫ ∫ ∫ ∫ .

Θεώρημα 6: Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], τότε

( ) ( )a

a

f x dx f x dxβ

β

= −∫ ∫ .

Θεώρημα 7: Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], τότε . ( ) 0

a

a

f x dx =∫Θεώρημα 8 (Θεώρημα μέσης τιμής): Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής

στο διάστημα [α,β], τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ∈[α,β] για το οποίο ισχύει, ότι:

( ) ( )( )a

f x dx f aβ

ξ β= −∫ .

Παρατήρηση (Γεωμετρική ερμηνεία): Όταν η συνάρτηση f(x) είναι θετική, τότε η ισότητα ( ) ( )( )

a

f x dx f aβ

ξ β= −∫ είναι το εμβαδόν του σχήματος που περικλείεται από

το ευθύγραμμα τμήματα με άκρα α και β, τις ευθείες που διέρχονται από τα σημεία α και β και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x). Το εμβαδόν αυτό θα ισούται με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου με μήκος το μήκος του ευθύγραμμου τμήμα-τος με άκρα α και β και ύψος το f(ξ).

Θεώρημα 9 (Θεώρημα Leibniz – Newton): Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνε-

χής σε ένα διάστημα Δ, τότε η συνάρτηση ( ) ( )x

a

F x f t= ∫ dt είναι παραγωγίσιμη στο

διάστημα αυτό και x∈Δ ισχύει, ότι: F΄(x)=f(x). ∀

Page 151: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

44 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Παρατήρηση: Αν το Δ είναι πεπερασμένο και κλειστό διάστημα της μορφής [α,β], τότε η ισότητα πρέπει να λαμβάνεται στα σημεία

( ) ( )x

a

F x f t dt= ∫

+(α)=f(α) και F΄-(β)=f(β). Εφαρμογή του θεωρήματος Leibniz – Newton: Έστω συνάρτηση f(x) η οποία είναι ορισμένη και συνεχής σε ένα διάστημα [α,β]. Τότε με βάση το θεώρημα 9 θα ισχύει,

ότι: ( ) ( )a

f x dx Fβ

β=∫ . Αρκετό επομένως είναι να υπολογιστεί η τιμή του F(β), όπου

F(x) να είναι η παράγουσα της συνάρτησης f(x). Όπως έχει προαναφερθεί, η συνάρ-τηση f(x) έχει άπειρες παράγουσες, οι οποίες διαφέρουν από την F(x) κατά ένα σταθερό πραγματικό αριθμό c.

Έστω Φ(x) να είναι κάποια παράγουσα της συνάρτησης f(x) στο διάστημα [α,β]. Τότε F(x)=Φ(x)+c, c∈R. Θέλουμε να υπολογίσουμε τη σταθερά c. Γι’ αυτό, έστω x=α. Τότε F(α)=Φ(α)+c. Αλλά ( ) ( ) 0

a

a

F a f x dx= =∫ και κατά συνέπεια Φ(α)=-

c c=-Φ(α). Επομένως F(x)=Φ(x)-Φ(α). ⇔

Στην περίπτωση που x=β, για την τελευταία ισότητα θα ισχύει, ότι:

F(β)=Φ(β)-Φ(α) ⇔ ( )a

f x dxβ

∫ =Φ(β)-Φ(α).

Κατά συνέπεια για να υπολογιστεί το ορισμένο ολοκλήρωμα ( )a

f x dxβ

∫ , πρέπει

αρχικά να υπολογιστεί, με τους αναφερόμενους σε άλλες παραγράφους τρόπους, το αόριστο ολοκλήρωμα ( )f x dx∫ , εν συνεχεία να υπολογιστεί η παράγουσα Φ(x) της συνάρτησης f(x) και τέλος να υπολογιστεί η διαφορά Φ(β)-Φ(α). Το τελευταίο μπορεί

να γραφεί με τους εξής δυο τρόπους: [ ]( ) ( )a

a

f x dx xβ

β= Φ∫ ή ( ) ( )a

a

f x dx xβ

β= Φ∫ , όπου

[ ]( ) ( ) ( )a

x aβ βΦ = Φ −Φ και επίσης ( ) ( ) ( )a

x aβ βΦ == Φ −Φ . Θα χρησιμοποιήσουμε, για πρακτικούς λόγους, τον πρώτα από τους δυο προαναφερμένους συμβολισμούς, διότι θεωρείται οπτικά περισσότερο κατανοητός.

Παρατήρηση: Αν α>β, τότε ( ) ( )a

a

f x dx f x dxβ

β

= −∫ ∫ =-[Φ(α)-Φ(β)]=Φ(β)-

Φ(α). Κατά συνέπεια και στην περίπτωση αυτή ( )a

f x dxβ

∫ =Φ(β)-Φ(α). Η τελευταία

ισότητα ισχύει και όταν α=β.

Συμπέρασμα: Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ, και

α∈Δ, τότε ∀ x∈Δ ισχύει, ότι: . ( ) ( ) ( )x

a

f x f a f΄ t dt= + ∫

Page 152: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 45

Θεώρημα 10 (Ολοκλήρωση κατά παράγοντες): Αν οι συναρτήσεις u(x) και v(x) είναι συνεχείς και έχουν ολοκληρώσιμες παραγώγους σε ένα διάστημα [α,β], τό-

τε . [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a

a a

u x v΄ x dx u x v x u΄ x v x dxβ β

β= −∫ ∫Ο τελευταίος τύπος λέγεται ολοκλήρωση κατά παράγοντες για το ορισμένο ολοκλή-

ρωμα ( )a

f x dxβ

∫ , όπου f(x)=u(x)v΄(x).

2.5.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ορισμένα ολοκληρώματα:

3 3

2 21 1 1

2 23

1 1

1 (ln ). . . 1 1 (ln )

1. . . 1

e e e

x

x

x di dx v dx ixxx x x

eii dx vi dx x xx e

ημ

συν ημ

+ −

∫ ∫ ∫

∫ ∫

x

( )

23

2π 1 1 3

2 80 0 0

11 32 1

22 2

0 0

. . . 1 1

. 1 . . 1

xdx

x xiii xdx vii dx xi dxx x

x div x dx viii dx xiix x

π

π

τοξεφημ

+ +

−+

∫ ∫ ∫

∫ ∫x

22

0 2+∫

Λύση 1 1 13 2 2

2 22 2 2

0 0 0

1 1 1 122 2 2 2

2 2 20 0 0 0

1 12 2 2 2 2

0 0

1 1 1 1. 1 2 1 2 1

1 1 1 1 1 1 12 1 2 1 2 2 11 1 1 1ln(1 ) (1 0 ) ln(1 1 ) ln(1 0 )2 2 2 21 1 1ln 2 (1 ln 2).2 2 2

x x xviii dx dx dxx x x

x dx dx dx dxx x x

x x

+ −= = =

+ + +

+= − = − =

+ + +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + = − − + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= − = −

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫2 =

( )2

22222 2

2 00

2 2. ln( 2) ln 2 ln 0 0 22 22

2 1 2 5 2 10 1 5ln 2 ln 2 ln ln 2 ln ln 2 ln .2 2 2 2 22

dxxii x xx

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎡ ⎤= + + = + + − + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎢ ⎥+ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +

= + + − = + − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Άσκηση 2: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ορισμένα ολοκληρώματα με ολοκλήρωση κατά παράγοντες:

Page 153: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

46 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

23

0 0

1 3

20

41 2

25

0 1

12

0 0

. .

. .

ln. ln(1 ) .

. 2 . 1

x

i x xdx v x xdx

xii xdx vi dxx

xiii x x dx vii dxx

xiv e xdx viii dxx

ππ

π

π

π

συν ημ

τοξημημ

τοξημημ

+

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

Λύση

1 1 12 2 2 2

0 0 0

112 2 2 2

00

1 22 2 0 0

20

11 2

0 0

1 1. ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) (1 )2 2

1 (1 ) ln(1 ) (1 ) ln(1 )2

1 1(1 1 ) ln(1 1 ) (1 0 ) ln(1 0 )2 2 1

1 12ln 2 ln 2 ln 22 2

iii x x dx x dx x d x

x x x d x

x x dxx

xxdx

+ = + = + +

⎧ ⎫⎡ ⎤= + + − + + =⎨ ⎬⎣ ⎦⎩ ⎭

+⎡ ⎤= + + − + + − =⎣ ⎦ +

⎡ ⎤= − = − = −⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

2

2 (1 )

=

2 20 1ln 2 .2 2 2

⎛ ⎞− = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 1 112 2 22

00 0 0

. 2 1 2 1 11

xviii dx xd x x x xd xx

τοξημ τοξημ τοξημ τοξημ⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤= + = + − + =⎨ ⎬⎣ ⎦+ ⎪ ⎪⎩ ⎭

∫ ∫ ∫

12

20

1 12 2

0 0

1122

00

1 1 12 1 1 0 0 22 2 1

3 1 1 2 3 12 0 2 0 222 1 1 3 2

2 3 2 3 2 3 14 1 4 1 4 1 1 023 2 3 2 3 2

2 3 1 2 34 1 2 223 2 3 2

x dxx

x dx dxx x x

d x x

τοξημ τοξημ

πτοξημ τοξημ

π π π

π π

⎛ ⎞ += + − + − =⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠

⎛ ⎞ += − − = − −⎜ ⎟⎜ ⎟ − + −⎝ ⎠

⎛ ⎞⎡ ⎤= + − = + − = + − − − =⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

= + − = + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

4.

1=

Άσκηση 3: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα: 2

0 0

1 2. |1 | . 2

xi x dx ii dxπ συν+

−∫ ∫

Page 154: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 47

Λύση

2

, 0,21 2 | |

2, ,

2

x xx x x

x x

πσυνσυν συν συν

πi. Ισχύει, ότι:

συν π

⎧ ⎡ ⎤∈⎪ ⎢ ⎥+ ⎪ ⎣ ⎦= = = ⎨⎡ ⎤⎪− ∈⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

. Γι’ αυτό το ολο-

κλήρωμα υπολογίζεται με τον ακόλουθο τρόπο:

[ ] [ ] ( ) ( )

2 2

0 0 02

20

2

1 2 | | ( )2

0 1 0 0 12 2

xdx x dx xdx x dx

x x

π ππ π

π

πππ

συν συν συν συν

π πημ ημ ημ ημπ ημ

+== = + − =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − = − + − + = − + − + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫

1 1 2.

2.6. Αλλαγή μεταβλητής ορισμένου ολοκληρώματος 2. 6.1. Θεώρημα αλλαγής μεταβλητής Κατά τον υπολογισμό των ορισμένων ολοκληρωμάτων, όπως και στα αόριστα, επιβάλλεται σε αρκετές περιπτώσεις η αλλαγή της μεταβλητής x. Η αλλαγή αυτή για το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ορθή και βασίζεται στο ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα: Έστω συνάρτηση f(x) η οποία είναι ορισμένη και συνεχής στο διάστημα [α,β], ενώ η συνάρτηση φ(t) είναι παραγωγίσιμη και έχει συνεχή παράγωγο σε ένα διάστημα [λ,ν] και οι συναρτησιακές τις τιμές ανήκουν στο διάστημα [α,β]. Έστω εκτός αυτού, ότι φ(ν)=β και φ(λ)=α. Τότε θα ισχύει, ότι:

[ ]( ) ( ) ( )a

f x dx f t d tβ ν

λ

φ φ=∫ ∫ .

2.6.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ορισμένα ολοκληρώματα με

αλλαγή μεταβλητής:

( )

22 2

0 013

2 2 23

0 0

1. . 2

1. . 1

a

a

i a x dx iii dxx

ii a x dx iv dxx

π

συν−

+

−+

∫ ∫

∫ ∫

Λύση

i. Θέτουμε x=αημt, οπότε dx=ασυνtdt. Για x=0 το t=0 και για x=α το t=2π και το

ορισμένο ολοκλήρωμα θα ισούται με (επισημαίνεται, ότι για 0,2

t π⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦ το συνt 0): ≥

Page 155: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

48 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

[ ] [ ]

( )

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0

2 2 2 22 2 22 2 2

0 00 0 0

2 2 2 2 2 2

1 2.2

1 2 1 2 2 22 2 2 4 2 4

0 2 2.0 0 .02 2 4 2 2 2 4 4 4

a tI a x dx a a t a tdt a tdt a dt

t a a a aa dt dt td t t t

a a a a a a

π π π

π π ππ π

συνημ συν συν

συν συν ημ

π π π πημ ημ ημπ

+= − = − = = =

⎛ ⎞= + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − = + − = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫a2

.4π

Άσκηση 2: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ορισμένα ολοκληρώματα:

( )1

2 222

0 0

3 2

21 03

π2 2 2 2

*

0 0 0 0

. . 1

1. . 1

. 2 . , , ,

a

n n n

xi a x dx iv dxx

ii dx v x xdxx

iii xdx vi xdx xdx x xdx n N

π

π π π

συν

ημ συν ημ ημ

++

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

Άσκηση 3: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ορισμένα ολοκληρώματα με κα-

τάλληλη αλλαγή μεταβλητής: 2

222 2

10 -1

ln 5 2

20 1

32

212

1. . , . | ln | 1

1. . 3 1

1 1. . 1

e

e

x x

x

xi dx iv x dx x t vii x dxx

e e dxii dx ve x x

iii dx vix x

+=

−+ +

+

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫3 2

21

x dxx∫

Λύση

i. Θέτουμε x=συνt, οπότε t=τοξσυνx και κατά συνέπεια dx=-ημxdt.

Για x=0 το t θα ισούται με: t=τοξσυν0⇔ t=2π .

Για x= 22

το t θα ισούται με: t=τοξσυν 22⇔ t=

4π .

Άρα t ,4 2π π⎡∈⎢⎣ ⎦

⎤⎥ και το ολοκλήρωμα θα ισούται με (επισημαίνεται, ότι σφ

2t≥ 0):

Page 156: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 49

[ ] [ ]

22 4 2 2

2

02 4 4

2 2 2 22

4 4 4 4

2 22 2

4 44 4

1 1 = ( ) 21 1 2 2 2 2

1 122 2 2 22 2 2 2 2 2

2

x t t t t tdx t dt tdt dtx t

tt t t t tdt dt dt dt dt

t

tdt dt t t

π π π

π π π

π π π π

π π π π

π ππ π

π ππ π

συν ημ σφ ημ σφ ημ συνσυν

συν συν συνημ συν συνημ

πσυν ημ ημ

+ +− = = =

− −

+= = = =

= + = + =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

2

4

2

π

π

+ =∫

21 .2 4 2 4 2 4

π π π πημ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ii. Θέτουμε 2 21 1 1x x xe t t e e t− = ⇔ = − ⇔ = + 2ln(1 ) και x t= + . Κατά συνέπεια

το 2

21

tdx dtt

=+

.

Για x=0 το t θα ισούται με: 0 1 0e t t− = ⇔ = . Για x=ln5 το t θα ισούται με: ln5 1 5 1e t t t 2− = ⇔ = − ⇔ = .

Άρα t [ ]0,2∈ και το ολοκλήρωμα θα ισούται με:

[ ]

ln 5 2 2 22 2 2

2 2 2 20 0 0 0

2 2 2 2 222

2 2 2 0 20 0 0 0 0

22

200

1 ( 1) 2 4 42 23 1 3 1 4 4

4 4 1 12 2 2 8 2 84 4 4

4 14

8 22(2 0) 4 4 4 44 2 2

12

x x

x

e e t t t t tdx dt dt dte t t t t

t dt dt dt dt t dtt t t t

t tdt

τοξεφ τοξ

− + + −= = = =

+ + + + + +

+ −= + = − = − =

+ + + ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎡ ⎤= − − = − = −⎢ ⎥⎣ ⎦⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )

2 02 2

4 4 1 0 4 4 0 4 4 4 .4 4

εφ τοξεφ

π πτοξεφ τοξεφ π

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= − − = − − = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

iii. Θέτουμε x=ημt, οπότε t=τοξημx και κατά συνέπεια dx=συνxdt.

Για x= 12

το t θα ισούται με: t=τοξημ 12⇔ t=

6π ή t= 5

6π .

Για x= 32

το t θα ισούται με: t=τοξημ 32

⇔ t=3π ή t= 2

3π .

Άρα t ,6 3π π⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦

ή t 5 2,6 3π π⎡∈⎢⎣ ⎦

⎤⎥ . Θα υπολογιστεί το ολοκλήρωμα στην περίπτωση όπου

t ,6 3π π⎡∈⎢⎣ ⎦

⎤⎥ . Στην άλλη περίπτωση εργαζόμαστε ανάλογα. Επομένως:

33 3 32

2 2 212 6 6 6

1| |1 1

t tdx dt dt dtt xx x t t t t

π π π

π π π

συν συν συνημ συνημ ημ ημ συν

Ι = = = =− −

∫ ∫ ∫ ∫t . Αλλά t ,

6 3π π⎡ ⎤∈⎢ ⎥⎣ ⎦

. Κατά συ-

νέπεια συνx>0, οπότε |συνx|=συνx και το ολοκλήρωμα Ι θα ισούται με:

Page 157: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

50 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

3 3 3 3

6 6 6 6 2

3 3

266

1 1 1 122

2 2 22

2

1 1 1 1 3 6ln ln ln2 2 2 2 2 2

2 2

1 1 3ln ln ln ln .2 6 12 2 3 12

tI dt dt dtt t tt t tt

t

tdtt t

π π π π

π π π π

π π

ππ

συνημ συν ημ ημ συν ημ

συνσυν

π π

εφ εφ εφεφ συν

π π πεφ εφ εφ

= = = =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ ⎤= = = − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫

dt =

Άσκηση 4: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ορισμένα ολοκληρώματα με αλλαγή μεταβλητής:

1 12 2

20 0 0

. . . 111

x x xi dx ii dx iii x x dxxx

π ημσυν

−++∫ ∫ ∫

Λύση

2

1 22 2 20 0

2

. .1 1 1

x x x x x xi I dx dx dx I Ix x x

ππ π

π

ημ ημ ημσυν συν συν

= = + = ++ + +∫ ∫ ∫

Υπολογισμός του ορισμένου ολοκληρώματος Ι2:

Θέτουμε x=π-t, dx=-dt. Για x=2π το t=

2π και για x=π το t=0. Άρα t ,0

2π⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Κατά συνέπεια το ολοκλήρωμα Ι2 θα ισούται με: 0 0 2

2 2 2 20

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )( 1)1 1 ( ) 1 1

x x t t t t t tI dx dt dtx t t

ππ

π π π

ημ π ημ π π ημ π ημσυν συν π συν συν

− − − −= = − = − =

+ + − + +∫ ∫ ∫ ∫ 2 dtt

=

2 2 2 2

2 2 20 0 0 0

.1 1 1 1

t t t t t tdt dt dt dtt t t

π π π π

πημ ημ ημ ημπσυν συν συν συν

= − = −+ + + +∫ ∫ ∫ ∫ 2t

Κατά συνέπεια το ολοκλήρωμα Ι θα ισούται με:

2 2 2

2 20 0 01 1 1

x x t t t2I dx dt dt

x t t

π π π

ημ ημ ημπσυν συν συν

= + −+ + +∫ ∫ ∫ .

Αλλά ( ) ( )a a

f x dx f t dtβ β

=∫ ∫ . Επομένως θα ισχύει, ότι:

[ ]

( )

22

2 00

2

021

0 1 0 .4 4

tI dt tt

ππημ ππ π τοξεφσυν π τοξεφσυν τοξεφσυν

συν

π ππ τοξεφ τοξεφ π

⎛ ⎞= = − = − −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= − − = − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ =

Άσκηση 5: Να αποδειχτεί, ότι αν η f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [0,1], τό-τε:

Page 158: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 51

i. 2 2

0 0

( ) ( )f x dx f x dx

π π

ημ συν=∫ ∫

ii. 0 0

( ) ( )2

xf x dx f x dπ ππημ ημ=∫ ∫ x

Λύση

i. Θέτουμε x=2π -t, dx=-dt. Για x=0, t=

2π και για x=

2π , t=0. Οπότε:

02 2

0 02

( ) ( ) ( 1) ( )2

f x dx f t dt f t dt

π π

π

πημ ημ συν⎡ ⎤= − − =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ .

Page 159: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

52 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Σελίδα σημειώσεων

Page 160: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 53

Κεφάλαιο 3ο: Εφαρμογές ορισμένου ολοκληρώματος

3.1. Βασικές έννοιες και ορισμοί Ορισμός1: Έστω οι συναρτήσεις f(x) και g(x) ορισμένες και συνεχείς στο διάστημα [α,β] και R το πεδίο τιμών του, με f(x)≤g(x) ∀ x∈[α,β]. Το σύνολο Τ, αποτελούμενο από όλα τα σημεία (x,y) του επιπέδου για τα οποία επαληθεύεται:

:( ) ( )

a xT

f x y g xβ≤ ≤⎧

⎨ ≤ ≤⎩

λέγεται καμπυλόγραμμο τραπέζιο ορισμένο από τις συναρτήσεις f(x) και g(x).

Ορισμός 2: Το εμβαδόν του προαναφερόμενου καμπυλόγραμμου τραπεζίου Τ δίνεται από τον τύπο:

[ ]( ) ( ) ( )a

S S T g x f x dxβ

= = −∫

Παρατηρήσεις

i. Αν f(x)>g(x), τότε το εμβαδόν θα ισούται με: . [ ]( ) ( ) ( )a

S S T g x f x dxβ

= = − −∫

ii. Όταν το πρόσημο της διαφοράς f(x)-g(x) δεν είναι σταθερό, τότε το εμβαδόν θα ισούται με: ( ) ( ) ( )

a

S S T g x f x dxβ

= = −∫ .

Ορισμός 3: Αν οι συναρτήσεις f(t) και g(t) έχουν συνεχείς παραγώγους στο διάστημα [α,β], τότε το μήκος l του τόξου

( ):

( )x f ty g t=⎧

Γ ⎨ =⎩

όπου t∈[α,β], δίνεται από τον τύπο:

[ ] [ ]2 2( ) ( )a

l f΄ t g΄ t dtβ

= +∫ .

Παρατήρηση: Στην ειδική περίπτωση όπου έχουμε τόξο y=f(x), x∈[α,β], τότε

το μήκος l του τόξου θα δίνεται από τον τύπο: [ ]21 ( )a

l f΄ x dxβ

= +∫ .

Ορισμός 4: Το εμβαδόν τομέα C, ο οποίος δίνεται με πολικές συντεταγμένες και συγκεκριμένα ως:

:0 (a

C)f

θ βρ θ

≤ ≤⎧⎨ ≤ ≤⎩

όπου f(θ) είναι συνεχής και θετική συνάρτηση, ορισμένη στο διάστημα [α,β] με 0 α<β 2π, δίνεται από τον τύπο: ≤ ≤

21 ( )2 a

f dβ

θ θΓ = ∫

Page 161: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

54 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Ορισμός 5: Τόξο ορισμένο με πολικές συντεταγμένες με την εξίσωση ρ=f(θ), α≤ρ β, λέγεται το τόξο το οποίο ορίζεται στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με τις ακόλουθες εξισώσεις:

( )( )

x fy f

θ συνθθ ημθ

=⎧⎨ =⎩

όπου θ∈[α,β].

Ορισμός 6: Το μήκος l του τόξου το οποίο ορίζεται με πολικές συντεταγμέ-νες δίνεται από τον τύπο:

[ ]22 ( ) ( )a

l f f΄ dtβ

θ θ= +∫

Ορισμός 7: Έστω συνάρτηση y=f(x) η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β]. Το περιστρεφόμενο σώμα R, το οποίο σχηματίζεται με την περιστροφή γύρω από τον άξονα Οx του καμπυλόγραμμου τραπεζίου, περιορισμένο από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x), τις ευθείες x=α, x=β και το ευθύγραμμο τμήμα του άξονα Οx από το α έως το β, έχει όγκο: . 2 ( )

a

V f xβ

π= ∫ dx

3.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από τις ευθείες x=0, x=2 και τις γραφικές παραστάσεις των καμπύλων y=2x και y=2x-x2.

Λύση

Αφού 2x-x2≤2x, για x∈[0,2], τότε το εμβαδόν θα είναι ίσο με: 2 22 3

2 2

0 0 0

2 32 (2 )ln 2 3 ln 2 3

xx xS x x dx x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= − − = − − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫

4 .

Άσκηση 2: Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από τις ευθείες

x=-2, x=1 και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x)=x3 και g(x)=x.

Λύση

Υπολογίζονται οι τετμημένες των σημείων τομείς των δυο γραφικών παραστάσεων αφού εξισωθούν οι y=x3 και η y=x, δηλαδή:

3 3 20 ( 1) 0 ( 1)( 1) 0 0 ή 1 ή 1x x x x x x x x x x x x= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − + = ⇔ = = = −

- ∞ -2 -1 0 1 + ∞x - - - + +

x-1 - - - - + x+1 - - + + + x3-x - - + - +

Κατά συνέπεια: f(x)-g(x)<0 για x∈[-2,-1], f(x)-g(x)>0 για x∈[-1,0] και f(x)-g(x)<0 για x∈[0,1]. Άρα το ζητούμενο εμβαδόν υπολογίζεται με τον ακόλουθο τρόπο:

Page 162: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 55

[ ] [ ] [ ]1 1 0 1

2 2 1 01 0 11 0 1 2 4 4 2 2 4

3 3 3

2 1 0 2 1 0

| ( ) ( ) | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

11( ) ( ) ( )2 4 4 2 2 4 4

S f x g x dx g x f x dx f x g x dx g x f x dx

x x x x x xx x dx x x dx x x dx

− − −

−−

− − − −

= − = − + − + − =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − + − = − + − + − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Άσκηση 3: Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από τις ευθείες x=0, x=2π και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x)=ημx και g(x)=συνx (Σχήμα 1).

Λύση

Αρχικά υπολογίζονται οι τετμημένες των σημείων τομής των δυο γραφικών παραστάσεων, για κάθε x∈[0,2π] και συγκεκριμένα λύνεται η ακόλουθη τριγωνομε-τρική εξίσωση:

1 1 ,4 4

xx x x x x k k Zx

ημ πημ συν εφ εφ εφ π πσυν

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈

π4

π2

π 5 π4

2 πx

-1

-0.5

0.5

1

y

Σχήμα 1

Για k=0, x=4π , ενώ για k=1, x= 5

4π , οι οποίες είναι οι δυο τετμημένες των σημείων,

αφού x∈[0,2π].

x 0 4π 5

f(x)-g(x) - + - Κατά συνέπεια το ζητούμενο εμβαδόν θα ισούται με:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

52 24 4

50 04 4

524 4

504 4

5244 5044

| ( ) ( ) | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 1 2 2 1 2 4 2

S f x g x dx g x f x dx f x g x dx g x f x dx

x x dx x x dx x x dx

x x x x x x

π ππ π

π π

π ππ

π π

πππππ

συν ημ ημ συν συν ημ

ημ συν συν ημ ημ συν

= − = − + − + − =

= − + − + − =

= + + − − + + = − + + + =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Άσκηση 4: Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των παραβολών y2=2px και x2=2py, p>0.

Άσκηση 5: Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική πα-ράσταση της συνάρτησης f(x)=lnx, τον άξονα x΄x και την εφαπτόμενη στη γραφική παράσταση της f(x) στο σημείο Α(e,1) (Σχήμα 2).

Page 163: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

56 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Άσκηση 6: Να υπολογιστεί το εμβαδόν σχήματος που δημιουργείται από το σπιράλ του Αρχιμήδη με εξίσωση ρ=α.θ, θ∈[0,2π].

Λύση

22 22 2 3 3 2

0 0

1 4 .2 6 3

aS a d aππ

θ θ θ π⎡ ⎤

= = =⎢ ⎥⎣ ⎦

Άσκηση 7: Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική πα-

ράσταση της έλλειψης 2 2

2 2 1x ya β

+ = , α>0, β>0.

Λύση

Το ζητούμενο εμβαδόν S είναι ίσο με 4s, όπου s είναι το εμβαδόν που περικλείεται από την έλλειψη και το πρώτο τεταρτημόριο (επισημαίνεται, ότι στο πρώτο τεταρτημόριο τα x και y είναι θετικά).

2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 22 2

2

( )1

( ) .

x y a xx y a a y a a x ya a

a xy y a xaa

ββ β β ββ

β β

−+ = ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = ⇔

−⇔ = ⇔ = −

Αλλά πρέπει να ισχύει, ότι: 2 2 0 ( )( ) 0 0a x a x a x x a− ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≤ ≤ . Οπότε και

υπολογίζεται το ακόλουθο ολοκλήρωμα: 2 2

0

a

s a x dxaβ

= −∫ .

Θέτουμε (όπως έχει λυθεί και σε σχετικό αόριστο ολοκλήρωμα), x=αημt και κατά συνέπεια dx=ασυνtdt.

Για x=0⇔ ημt=0 ημt=ημ0⇔ ⇔ t=0.

Για x=α ημt=α⇔ 12

t t πημ⇔ = ⇔ = .

Άρα 0,2

t t π⎡∈ ⎢⎣ ⎦⎤⎥ και κατά συνέπεια συνt 0. Έτσι το ολοκλήρωμα s υπολογί-

ζεται με τον ακόλουθο τρόπο:

[ ]

2 2 22 2 2 2 2 2

0 0 0

2 2 2 22

0 0 0 0

220

0

1

1 2 1 22 2 2

1 2 .2 4 4

s a a ta tdt a t tdt a t tdta a

t ta tdt a dt a dt dt

t aa t

π π π

π π π π

ππ

β βημ συν ημ συν β συν συν

συν συνβ συν β β

ημ π ββ

= − = − =

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟= = = + =⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤= + =⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

=

και κατά

συνέπεια: 2 44aS s aπ β π β= = = .

Άσκηση 8: Να υπολογιστεί το μήκος της παραβολής 2

2xyp

= , για

x∈[0,x

0p ≠

0].

Page 164: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 57

Άσκηση 9: Να υπολογιστεί το μήκος του σπιράλ Αρχιμήδη με εξίσωση ρ=α.θ, θ∈[0,θ0].

Λύση

Με βάση τον τύπο υπολογισμού του μήκους τόξου με πολικές συντεταγμένες και μετά από σχετικές πράξεις λαμβάνεται, ότι:

( )0

2 20 0 0 0

0

1 1 ln 12al a d

θ

θ θ θ θ θ θ⎡ ⎤= + = + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ 2 .

Άσκηση 10: Να υπολογιστεί ο όγκος του σώματος το οποίο λαμβάνεται με

περιστροφή της έλλειψης 2 2

2 2 1x ya β

+ = , α>0, β>0 γύρω από τον άξονα Οx.

Λύση 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 21 1x y xx y a a y a a x y

a aβ β β β β

β⎛ ⎞

+ = ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Τότε ο ζητούμενος όγκος θα ισούται με: 2

2 22

0

42 13

a xV dxa

aπ β π⎛ ⎞

= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ β .

Άσκηση 11: Να υπολογιστεί ο όγκος του σώματος, το οποίο λαμβάνεται

με περιστροφή γύρω από τον άξονα Οy του σχήματος που δημιουργείται από τις παραβολές y=x2 και y2=8x.

Λύση

Λύνεται σύστημα για τον υπολογισμό του σημείου τομής των δυο γραφικών παραβολικών παραστάσεων και συγκεκριμένα:

2 2 2 2 2

2 4 4 3 3

0 ή y 40 ή 20 ή 28 8 8 0 ( 2 ) 0

y x y x y x y x yy xx xx xy x x x x x x x

= = = = ==⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

== == == = − = − =

Κατά συνέπεια ο ζητούμενος όγκος θα ισούται με: 4 4

0

2464 5yV y dyπ π

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ .

Άσκηση 12: Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση της καμπύλης f(x)= 110

(x3-2x2+5x), τις παράλληλες ευθείες x=-4 και x=4

και τον οριζόντιο άξονα x΄x.

Page 165: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

58 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Σελίδα σημειώσεων

Page 166: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 59

Κεφάλαιο 4ο: Απροσδιόριστο ολοκλήρωμα 4.1. Βασικές έννοιες και ορισμοί Αν δεν ισχύει μια εκ των δυο συνθηκών του ορισμού του ορισμένου ολοκλη-ρώματος, δηλαδή η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση να είναι φραγμένη, ενώ το διάστημα να είναι πεπερασμένο, ο ορισμός αυτός παύει να ισχύει.

Σε κάποιες περιπτώσεις όμως ο ορισμός του ορισμένου ολοκληρώματος μπο-ρεί να διατυπωθεί τόσο για μη φραγμένη συνάρτηση, όσο και για μη πεπερασμένο διάστημα.

Ορισμός 1: Έστω συνάρτηση f(x) η οποία είναι μη φραγμένη σε διάστημα [α,β]. Αν η συνάρτηση αυτή είναι ολοκληρώσιμη σε υποδιάστημα [α,t] του διαστήμα-

τος [α,β] με α<t<β, τότε το ολοκλήρωμα ( ) ( )t

a

F t f x d= ∫ x έχει όριο, για t να τείνει

στο β και το όριο αυτό λέγεται απροσδιόριστο ολοκλήρωμα αναπτυγμένο στο διά-

στημα [α,β]. Συμβολίζεται επίσης και ως ( )a

f x dxβ

∫ . Έτσι εξ ορισμού θα ισχύει, ότι:

( ) lim ( )t

ta a

f x dx f x dxβ

β→=∫ ∫ .

Ορισμός 2: Αν η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη για x≥α και ορίζεται το ορι-σμένο ολοκλήρωμά της ή ορίζεται το απροσδιόριστο ολοκλήρωμα σε κάθε διάστημα

της μορφής [α,t], t>α, τότε το ολοκλήρωμα ( ) ( )t

a

F t f x dx= ∫ υπάρχει και είναι συνάρ-

τηση του t. Αν το όριο υπάρχει, τότε λέγεται απροσδιόριστο ολοκλήρωμα

αναπτυγμένο στο μη πεπερασμένο διάστημα [α,+

lim ( )t

F t→+∞

∞ ) και συμβολίζεται ως ( )a

f x dx+∞

∫ .

Με τρόπο ανάλογο ορίζονται και τα απροσδιόριστα ολοκληρώματα ( )f x dxβ

−∞∫

και ( )f x dx+∞

−∞∫ .

Ορισμός3: Αν για τη συνάρτηση f(x) υπάρχουν τα ολοκληρώματα ( )a

f x dxγ ε−

και ( )f x dxβ

γ ε+∫ , α<γ<β, ε>0, τότε με βάση τον Cauchy, ορίζεται αριθμός

Α= 0

( ) lim ( ) ( )a a

f x dx f x dx f x dxβ γ ε β

εγ ε

→+

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ , όταν το όριο αυτό υπάρχει.

Με τρόπο ανάλογο ορίζεται και ο αριθμός Β= ( ) lim ( )t

tt

f x dx f x dx+∞

→+∞−∞ −

=∫ ∫ .

Page 167: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

60 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Αν οι συναρτήσεις f(x) και g(x) είναι ολοκληρώσιμες σε απροσδιόριστη μορ-φή σε ένα διάστημα [α,β], τότε ισχύουν τα ακόλουθα:

[ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )t t

t t ta a

t

a

f x g x dx f x dx g x dβ β− −→ → →

+ = +∫ ∫ xβ − ∫

t

a

και

[ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )t t

t t ta a

f x g x dx f x dx g x dxβ β− −→ → →

− = −∫ ∫ β− ∫ .

Αφού τα αριστερά όρια [ ]lim ( ) ( )t

ta

f x g x dβ −→

+∫ x και [ ]lim ( ) ( )t

ta

f x g x dxβ −→

−∫ υ-

πάρχουν, τότε θα υπάρχουν και τα αντίστοιχα δεξιά τους όρια. Κατά συνέπεια μπορεί

να ειπωθεί, ότι: [ ]( ) ( ) ( ) ( )a a a

f x g x dx f x dx g x dxβ β

+ = +∫ ∫β

a

και επίσης, ότι:

[ ]( ) ( ) ( ) ( )a a

f x g x dx f x dx g x dxβ β

− = −∫ ∫β

∫ .

Με τρόπο ανάλογο εργαζόμαστε και αν έχουμε απροσδιόριστη ολοκλήρωση σε διάστημα της μορφής (α,β], αντί του προαναφερόμενου [α,β).

4.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση Άσκηση 1: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα απροσδιόριστα ολοκληρώματα:

( )

1 1 2

3 20 1

1 1

0 0

2

1

1 3 2. . 1

1 1. . 1

2. 1

xi dx vix x

ii dx v dxx x x

xiii dxx

+−

−−

∫ ∫

∫ ∫

Λύση

( )( ) ( ) ( )

1

01 1 10 0

1

1 1. lim 2lim 1 2lim 1 1 01 1

= 2lim 1-t 1 = 2 1 1 1 = 2 0 1 = 2( 1) 2.

t t

t t t

t

i dx dx x tx x− − −

→ → →

⎡ ⎤= = − − = − − −⎣ ⎦− −

− − − − − − − − − =

∫ ∫ − =

[ ] ( )1 1

1

0 0 0 0 00

1 1. lim lim ln lim ln1 ln lim(0 ln ) lim ln .tt t t t t

t

ii dx dx x t t tx x+ + + + +→ → → → →

= = = − = − = − = +∞∫ ∫

2 2 2 2

1 1 1 12 2

1 21 1

2 1 1 1 1. 1 1 1 1

11 .1

x x xiii dx dx dx dxx x x x

x dx dx I Ix

− − − −= = −

− − − −

= − − = −−

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

=

Υπολογισμούς του ολοκληρώματος Ι1:

Page 168: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 61

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

21 12 2 2 1 2

21

1 1 1

123 3 3

2 2 2

1

11 1 1 1 1

1 12

2 2 2 21 2 1 1 1 1 0 .3 3 3 3

xI x dx x d x x d x

x

+⎡ ⎤⎢ ⎥−

= − = − − = − − = =⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − − − = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

Υπολογισμούς του ολοκληρώματος Ι2:

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 0 0 11 1+ε

0 0 0

1 1lim lim 2 11 1

2lim 2 1 1 1 2lim 1 2 lim1 lim

I dx dx xx xε ε ε

ε ε ε 0εε ε ε

→ → +

→ → →

⎡ ⎤= = = − =⎣ ⎦− −

= − − + − = − = −

∫ ∫

→=

( )2 1 0 2.1 2 (με ε>0).= − = =

Κατά συνέπεια 2 2 62 .3 3 3

I 43

= − = − = −

4 21 1 1 1 12 23 3

1 23 3 32 2 21 1 1 1 1

3 2 3 2. 3 2 3 2 .x xvi dx dx dx x dx x dx I Ix x x

− − − − −

+= + = + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Υπολογισμούς του ολοκληρώματος Ι1:

( )

14 114 7 7 71 3

3 3 3 31

1 1

1

3 3 31 ( 1) 1 14 7 7 713

xI x dx x+

− −

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = = = − − = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥+

⎢ ⎥⎣ ⎦

∫6 .7

Υπολογισμούς του ολοκληρώματος Ι2: 1 0 1 0 12 2 2 2 2

3 3 3 3 32 0 0

1 1 0 1 01

2 2 11 1 1 13 33 3

0 0 0 01

1

lim lim

lim lim 3lim 3lim2 21 13 3

3 3 6 (με ε>0 και δ>0).

I x dx x dx x dx x dx x dx

x x x x

ε

ε δδ

ε

ε

ε δ ε εδ

δ

−− − − − −

→ →− − − +

−− + − +

→ → → →−

= = + = +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + − +

⎣ ⎦ ⎣ ⎦= + =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =

=

Κατά συνέπεια 6 18 18 84 1023. 2.6 12 .7 7 7 7

I = + = + = + =7

( ) ( ) ( )

11 12

1 210 02

1 1 1. .1 1 1

v dx dx dx Ix x x x x x

I= + =− − −∫ ∫ ∫ +

Υπολογισμούς του ολοκληρώματος Ι1:

Page 169: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

62 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

( ) ( )( )

( ) ( )

1 12 2 1

21 0 0

0 0

0 0

1 1lim lim 2 11 1

1lim 2 1 2 1 lim 0 2 12

I dx dx xx x x x εε ε

ε

ε ε

τοξημ

τοξημ τοξημ ε τοξημ τοξημ ε

→ →+

→ →

= = = − =⎡ ⎤⎣ ⎦− −

⎡ ⎤⎛ ⎞= − − − = − − =⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

( ) ( )0 0

lim 0 2 1 lim 2 1 ( 1)

(με ε>0).2 2

ε ετοξημ ε τοξημ ε τοξημ

π π→ →

= − − = − − = − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Υπολογισμούς του ολοκληρώματος Ι2:

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1112 0 0 21 1

2 2

0 0

0 0

1 1lim lim 2 11 1

1lim 1 2 2 1 lim 1 2 02

lim 1 2 0 lim 1 2 ( 1) (με δ>0).2

I dx dx xx x x x

δδ

δ δ

δ δ

δ δ

τοξημ

τοξημ δ τοξημ τοξημ δ τοξημ

πτοξημ δ τοξημ δ τοξημ

−−

→ →

→ →

→ →

= = = − =⎡ ⎤⎣ ⎦− −

⎡ ⎤⎛ ⎞= − − − = − − =⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦

= − − = − = + =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫

Κατά

συνέπεια: 2 .2 2 2

I π π π π= + = =

Άσκηση 2: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα απροσδιόριστα ολοκληρώματα: +

2 20 2

21

1 1. . 1 2

1 1. . 4 9

i dx iii dx x

ii dx vi dxx x x

+∞ ∞

+∞ +∞

−∞

+ +

+ +

∫ ∫

∫ ∫

xx −

Λύση

[ ] ( )

( )

2 2 00 0

1 1. lim lim lim 01 1

lim 0 lim .2

tt

t t t

t t

i dx dx x tx x

t t

τοξεφ τοξεφ τοξεφ

πτοξεφ τοξεφ

+∞

→+∞ →+∞ →+∞

→+∞ →+∞

= = = −+ +

= − = =

∫ ∫ =

[ ] ( ) (11 1

1 1. lim lim ln lim ln ln1 lim ln 0

lim ln .

tt

t t t t

t

ii dx dx x t tx x

t

+∞

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

→+∞

= = = − = −

= = +∞

∫ ∫ ) =

Page 170: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 63

( ) ( )

+ t t

2 22 2 2

t t

2 22 2

2

1 1 1 1 1. lim lim3 1 22 2

1 1 1 1 1 1lim lim lim ln 1 lim ln 23 1 3 2 3 3

1 1 1 1 2lim ln lim ln ln 23 2 3 2 3

t t

t t

t t t t

t

t t

iii dx dx dxx xx x x x

dx dx x xx x

x tx t

→+∞ →+∞

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

→+∞ →+∞

⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟− ++ − + − ⎝ ⎠

= − = − − + =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣− +

− −⎡ ⎤= = +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ⎦

1 1 2lim ln lim ln 23 2 3t t

tt→+∞ →+∞

−⎛ ⎞ = + =⎜ ⎟ +⎝ ⎠

1 2 2 2ln1 ln 2 0 ln 2 ln 2.3 3 3 3

= + = + =

2 2 2

21 1 5 5. lim lim

54 9 4 9 2 15

5 2 5 2 2lim lim .5 55 5

m m

t tt tm m

m

t ttm m

xdvi dx dx

x x x x x

x m t 555

τοξεφ τοξεφ τοξεφ π

+∞

→−∞ →−∞−∞ →+∞ →+∞

→−∞ →−∞→+∞ →+∞

+

= =+ + + + ⎛ ⎞+

+⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎛ ⎞+ + += = −⎜ ⎟⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ =

=

Άσκηση 3: Να αποδειχτεί, ότι τα ακόλουθα ολοκληρώματα δεν υπάρχουν σε απροσδιόριστη μορφή και εν συνεχεία να υπολογιστούν οι αντίστοιχες τιμές του Α (ορισμός 3):

( )

2

0

1 1. , . , 0 1, -άρτιος

1. , , 2

b

ab

na

i dx a c b iii dx n nx c n x

ii dx a c b nx c

π

ημ< < < <

− −

< < ≥−

∫ ∫

Λύση

i. 1 1 ln lnc b

a c

b cdx dxx c x c c a

ε

δ

εδ

+

−+ = +

− − −∫ ∫ . Επειδή το άθροισμα ln lnb cc a

εδ

−+

− δεν

τείνει σε συγκεκριμένο αριθμό, όταν τα ε και δ τείνουν στο μηδέν ανεξάρτητα το ένα

από το άλλο, το ολοκλήρωμα 1b

a

dxx c−∫ δεν υπάρχει σε απροσδιόριστη μορφή.

Αν δεχτούμε, ότι ε=δ=η, τότε θα ισχύει το ακόλουθο: 1 1 ln ln ln 0 ln

c b

a c

b c b c b cdx dxx c x c c a c a c

η

η

ηη

+

− −+ = + = + =

− − − −∫ ∫ a−−

, το οποίο δεν εξαρτά-

τε από το η>0. Τότε δε τιμή του Α είναι ίση με 1 lnb

a

b cA dxx c c a

−= =

− −∫ .

Άσκηση 4: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα απροσδιόριστα ολοκληρώματα:

Page 171: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

64 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

( )

1 2

21 0

2 3

240 2

12

2230 0

1 1. . ln2 3

1. . 2 4

1 1. . ln1

e

i dx iv dxx xx x

x xii dx vx x

iii dx vi dxx xx

− − + +

+− + −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

Page 172: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 2ο 65

Σελίδα σημειώσεων

Page 173: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο
Page 174: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Δρ. Σάλτας Βασίλειος

Καβάλα 2011

Μαθηματικά Ι

Βοήθημα για λύση ασκήσεων

Μέρος 3ο 1. Βασικές αρχές συναρτήσεων πολλών

μεταβλητών

2. Όριο και συνέχεια συνάρτησης πολλών μεταβλητών

3. Μερική παράγωγος και διαφορικό συνάρτησης πολλών μεταβλητών

4. Πεπλεγμένη συνάρτηση

Page 175: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 3ο 1

Περιεχόμενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο: ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ...............................................................................................3

1.1. Εισαγωγή ..........................................................................................................................................3

1.2. Βασικές έννοιες και ορισμοί............................................................................................................3 1.2.1. Προκαταρκτικές παρατηρήσεις ..................................................................................................3 1.2.2. Ορισμός συνάρτησης πολλών μεταβλητών................................................................................6 1.2.3. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση .........................................................................8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο: ΌΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ .............................................................................................12

2.1. Όριο συνάρτησης πολλών μεταβλητών .......................................................................................12 2.1.1. Έννοιες και ορισμοί ορίου συνάρτησης πολλών μεταβλητών .................................................12 2.1.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση .......................................................................16

2.2. Συνέχεια συνάρτησης πολλών μεταβλητών .................................................................................18 2.2.1. Έννοιες και ορισμοί συνέχειας συνάρτησης πολλών μεταβλητών...........................................18 2.2.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση .......................................................................20

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο: ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ .............................................................................22

3.1. Βασικές έννοιες και ορισμοί μερικής παραγώγου και διαφορικού............................................22 3.1.1. Μερική παράγωγος συνάρτησης πολλών μεταβλητών ............................................................22 3.1.2. Διαφορικό συνάρτησης πολλών μεταβλητών ..........................................................................24 3.1.3. Γεωμετρική ερμηνεία διαφορικού συνάρτησης πολλών μεταβλητών......................................24

3.2. Σύνθετη συνάρτηση πολλών μεταβλητών ...................................................................................29 3.2.1. Βασικές έννοιες, ορισμοί και θεωρήματα ................................................................................29 3.2.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση .......................................................................32

3.3. Μέγιστο και ελάχιστο συνάρτησης δυο μεταβλητών..................................................................33 3.3.1. Βασικές έννοιες, ορισμοί και θεωρήματα ................................................................................33 3.3.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση .......................................................................34

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4Ο: ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ .............................................36

4.1. Πεπλεγμένη συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής.............................................................36 4.1.1. Βασικές έννοιες, ορισμοί και θεωρήματα ................................................................................36 4.1.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση .......................................................................38

4.2. Πεπλεγμένη συνάρτηση πολλών ανεξάρτητων μεταβλητών ......................................................40 4.2.1. Βασικές έννοιες, ορισμοί και θεωρήματα ................................................................................40 4.2.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση .......................................................................42

4.3. Πεπλεγμένη συνάρτηση ορισμένη με σύστημα ...........................................................................44 4.3.1. Βασικές έννοιες, ορισμοί και θεωρήματα ................................................................................44 4.3.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση .......................................................................46

Page 176: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

2 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Page 177: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 3ο 3

Κεφάλαιο 1ο: Βασικές αρχές συναρτήσεων πολλών μεταβλητών

1.1. Εισαγωγή Για την εισαγωγή της έννοιας συνάρτηση πολλών μεταβλητών, όπως και για τη συνάρτηση μιας μεταβλητής, αρχικά θα γίνει προσπάθεια να αποδοθεί γεωμε-τρικά η συνάρτηση αυτή. Όπως δηλαδή για κάθε τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής x της συνάρτησης f(x) δημιουργείται ένα σημείο με συντεταγμένες Α(x,f(x)). Το x ανή-κει σε μία ευθεία, ενώ το σημείο Α σε ένα επίπεδο. Εξαιτίας του ότι πολλές από τις ιδιότητες συναρτήσεων δυο μεταβλητών ισχύουν και για περισσότερες μεταβλητές (τρεις, τέσσερις κ.τ.λ.), θα αναφερθούμε αναλυτικότερα σε κάποιες έννοιες και ιδιότητες συναρτήσεων κυρίως δυο ή τριών μεταβλητών. 1.2. Βασικές έννοιες και ορισμοί 1.2.1. Προκαταρκτικές παρατηρήσεις

Σε κάθε αριθμό αντιστοιχεί ένα σημείο πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Και το αντίστροφο: σε κάθε σημείο του άξονα των πραγματικών αριθμών, αντιστοιχεί ένας πραγματικός αριθμός. Αν θεωρήσουμε δυο σημεία x και y, τότε η απόσταση μεταξύ τους θα ισούται με d=d(x,y)=|y-x|=|x-y| 0. ≥

Ορισμός 1: Το σύνολο όλων των σημείων του άξονα των πραγματικών αριθμών (δηλαδή όλοι οι πραγματικοί αριθμοί) για τα οποία ορίζεται η προανα-φερόμενη απόσταση d λέγεται μονοδιάστατος ευκλείδειος χώρος και συμβολίζεται με Ε1 ή Ε1.

Στην προκείμενη περίπτωση ο μονομερής ευκλείδειος χώρος Ε1 ταυτίζεται με το σύνολο των πραγματικών αριθμών R.

Ορισμός 2: Το ζεύγος (x,y) δυο αριθμών, όπου η θέση τους είναι καθορι-σμένη, ώστε πρώτος να είναι ο x και δεύτερος ο y, λέγεται διατεταγμένο ζεύγος. Αν το ζεύγος αυτό αναφέρεται σε σημείο, τότε λέγεται διατεταγμένο ζεύγος σημείου. Η δε τριάδα (x1,x2,x3) λέγεται ανάλογα διατεταγμένη τριάδα και γενικά (x1,x2,x3,…,xn) λέγεται διατεταγμένη n – άδα.

Θεωρούμε ένα επίπεδο στο οποίο σχηματίζεται το ορθοκανονικό σύστημα συ-ντεταγμένων Oxy. Σε κάθε σημείο x του επιπέδου αντιστοιχεί ένα διατεταγμένο ζεύ-γος (x1,x2) με το x1 να είναι η τετμημένη και το x2 να είναι η τεταγμένη. Και αντί-στροφα: σε ένα διατεταγμένο ζεύγος (x1,x2) αντιστοιχεί ένα σημείο x του επιπέδου για το οποίο ο αριθμός x1 είναι η τετμημένη του και x2 είναι η τεταγμένη του. Η από-σταση d μεταξύ δυο σημείων Α1(x1,x2) και A2(y1,y2) του επιπέδου δίνεται από τον τύπο: ( ) ( )2 2

1 2 1 1 2 2( , )d d A A y x y x= = − + − .

Ορισμός 3: Το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου για τα οποία ορίζεται η προαναφερόμενη απόσταση d λέγεται δυσδιάστατος ευκλείδειος χώρος και συμβολίζεται με Ε2 ή Ε2.

Στο χώρο θεωρούμε το ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Oxyz και σε κάθε σημείο x αντιστοιχούμε τη διατεταγμένη τριάδα (x1,x2,x3). Και το αντίστροφο: σε κάθε διατεταγμένη τριάδα (x1,x2,x3) αντιστοιχούμε ένα σημείο x του χώρου.

Page 178: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Η απόσταση μεταξύ δυο σημείων Α1(x1,x2,x3) και Α2(y1,y2,y3) του χώρου δίνεται από τον τύπο: ( ) ( ) ( )2 2

1 2 1 1 2 2 3 3( , )d d A A y x y x y x= = − + − + − 2 .

Ορισμός 4: Το σύνολο όλων των σημείων του χώρου για τα οποία ορίζεται η προαναφερόμενη απόσταση d λέγεται τρισδιάστατος ευκλείδειος χώρος και συμβολίζεται με Ε3 ή Ε3.

Ορισμός 5 (Γενίκευση): Θεωρούμε τη διατεταγμένη n – άδα αριθμών (x1,x2,x3,…,xn), n∈N*. Το σύνολο των σημείων για τα οποία η απόσταση μεταξύ δυο σημείων Α1(x1,x2,x3,…,xn) και Α2(y1,y2,y3,…,yn) δίνεται από τον τύπο ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

1 2 1 1 2 2 3 3( , ) ... n nd d A A y x y x y x y x= = − + − + − + + − 2 λέγεται πολυδιάστατος ευκλείδειος χώρος και συμβολίζεται με Εn ή Εn.

Η προαναφερόμενη απόσταση d μπορεί να γραφεί και ως εξής:

( )2

1

n

i ii

d y x=

= −∑ .

Ορισμός 6: Ο αριθμός n∈N* λέγεται διάσταση του αντίστοιχου ευκλείδειου χώρου.

Έτσι η διάσταση του ευκλείδειου χώρου Ε1 είναι 1, του Ε2 – 2, του Ε3 – 3, κ.τ.λ., του Εn είναι n.

Αν θεωρήσουμε τρία σημεία x(x1,x2,x3,…,xn), y(y1,y2,y3,..,yn) και z(z1,z2,z3,..,zn) τα οποία ανήκουν στο Εn, τότε θα ισχύουν τα ακόλουθα:

i) d(x,y) 0 ≥ii) Αν d(x,y)=0, τότε τα δυο σημεία θα ταυτίζονται, δηλαδή x y. ≡iii) d(x,y)=d(y,x) iv) d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)

Οι ορισμοί που ακολουθούν αναφέρονται συγκεκριμένα σε ευκλείδειους χώρους Ε1, Ε2 ή Ε3.

Ορισμός 7: Ευθεία γραμμή λέγεται το σύνολο των σημείων x(x1,x2,x3) για τα

οποία ισχύει: 1 1 1

2 2 2

3 3 3

x a tx a tx a t

λλλ

= += += +

, t . ( ,∈ −∞ +∞)

Ορισμός 8: Ανοιχτή σφαίρα λέγεται το σύνολο των σημείων x(x1,x2,x3) για τα οποία d(a,x)<r2 ή ( ) ( ) ( )2 2 2 2

1 1 2 2 3 3a a ax x x− + − + − < r , όπου r – είναι η ακτί-να της σφαίρας και a(a1,a2,a3) είναι το κέντρο της σφαίρας.

Ορισμός 9: Κλειστή σφαίρα λέγεται η σφαίρα για την οποία d(a,x) r≤ 2 ή ( ) ( ) ( )2 2 2 2

1 1 2 2 3 3a a ax x x− + − + − ≤ r .

Ορισμός 10: Ανοικτό παραλληλεπίπεδο είναι το σύνολο των σημείων

x(x1,x2,x3) για τα οποία ισχύει, ότι: 1 1 1

2 2

3 3 3

a xa xa x

2

βββ

< << << <

.

με α1, α2, α3, β1, β2 και β3 όπως φαίνονται στο σχήμα 1 και α(α1,α2,α3), β(β1,β2,β3).

Page 179: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 3ο 5

x3 α β β3 α3 O x2 β1 α1 α2

β2 x1 Σχήμα 1

Ορισμός 11: Κλειστό παραλληλεπίπεδο είναι το παραλληλεπίπεδο για το ο-

ποίο ισχύει, ότι: 1 1 1

2 2

3 3 3

a xa xa x

2

βββ

≤ ≤≤ ≤≤ ≤

.

με α1, α2, α3, β1, β2 και β3 όπως αναγράφονται στο σχήμα 1 και α(α1,α2,α3), β(β1,β2,β3). Παρατήρηση: Με τρόπο ανάλογο ορίζονται τα προαναφερόμενα γεωμετρικά

σχήματα, όταν το σημείο x ανήκει στον ευκλείδειο χώρο Εn, δηλαδή όταν x(x1,x2,x3,…,xn), n∈N*.

Ορισμός 12: Το σύνολο των σημείων x(x1,x2,x3) ανοικτής σφαίρας με κέντρο a(a1,a2,a3) και ακτίνα ε>0 (δηλαδή d(a,x)<ε) λέγεται ε – περιοχή του σημείου a και συμβολίζεται με U(a,ε).

Στο μονοδιάστατο ευκλείδειο χώρο Ε1, το U(a,ε) είναι στην ουσία το διάστη-μα (a-ε,a+ε).

Στο δυσδιάστατο ευκλείδειο χώρο Ε2, το U(a,ε) είναι στην ουσία ο ανοικτός κύκλος (x1- a1)2+(x2-a2)2<ε2.

Στο τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο Ε3, το U(a,ε) είναι στην ουσία η ανοικτή σφαίρα (x1- a1)2+(x2-a2)2+(x3-a3)2 <ε2.

Ορισμός 13: Το σύνολο των σημείων x(x1,x2,x3,…,xn), τα οποία ανήκουν σε ένα ανοικτό παραλληλεπίπεδο της μορφής ai-δi<xi< ai+δi ή διαφορετικά |xi-ai|<δi, i=1, 2, 3,…,n, n∈N*, λέγεται ορθογώνια περιοχή του σημείου a και συμβολίζεται με P(a,δ1,δ2,…,δn).

Στην περίπτωση του δυσδιάστατου ευκλείδειου χώρο Ε2, η ορθογώνια περιοχή είναι το ορθογώνιο με κέντρο το a(a1,a2) και πλευρές 2δ1 και 2δ2, όπως φαίνεται και στο σχήμα που ακολουθεί (Σχήμα 2).

Page 180: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

6 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

x2 a2-δ2 a2+δ2 Ο a1-δ1 a1+δ1 x1

a

Σχήμα 2 1.2.2. Ορισμός συνάρτησης πολλών μεταβλητών

Ορισμός 14: Έστω τα σύνολα των σημείων Χ⊂Εn και Υ⊂Ε1. Αν για κάθε στοιχείο x∈Χ αντιστοιχεί αριθμός y∈Y, με κάποιο μαθηματικό κανόνα, τότε λέγε-ται, ότι ορίζεται συνάρτηση πολλών μεταβλητών y=f(x). Το σύνολο Χ λέγεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής, ενώ το σύνολο Υ λέγεται πεδίο τιμών της ίδιας συνάρτησης. Οι αριθμοί x1, x2, x3,…,xn λέγονται ορίσματα της συνάρτησης πολλών μεταβλητών.

Γράφεται συνήθως με τον ακόλουθο τρόπο: y=f(x1,x2,x3,…,xn) με xi∈X και y∈Y, i=1, 2, 3,…,n, n∈N*.

Αν Χ Ε⊂ 2 και Υ Ε⊂ 1, τότε y=f(x1,x2) ή όπως συνηθίζεται να γράφεται z=f(x,y) με z∈Y και το σημείο (x,y)∈X.

Αν Χ Ε⊂ 3 και Υ Ε⊂ 1, τότε y=f(x1,x2,x3) ή όπως συνηθίζεται να γράφεται w=f(x,y,z) με w∈Y και το σημείο (x,y,z)∈X.

Ορισμός15: Έστω y=f(x) να είναι μία συνάρτηση πολλών μεταβλητών με x(x1,x2,x3,…,xn)∈X και y∈Y. Γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής λέγεται το σύνολο των σημείων Γ Ε⊂ n+1, τα οποία δημιουργούνται εκ των σημείων (x,y)= (x1,x2,x3,…,xn,f(x)), όπου En+1 είναι πολυδιάστατος ευκλείδειος χώρος διάστασης n+1, n∈N*.

Στην περίπτωση της συνάρτησης δυο μεταβλητών z=f(x,y), όπου (x,y)∈X, γραφική παράσταση είναι το σύνολο των σημείων Ρ(x,y,z=f(x,y)), τα οποία ανήκουν σε ένα τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο G⊂Ε3.

Πραγματικά, όταν το σημείο A(x,y) μεταβάλλεται στο σύνολο X, τότε το σημείο P θα διαγράφει στο χώρο μία επιφάνεια, όπως φαίνεται και στο σχήμα 3.

Page 181: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 3ο 7

z P(x,y,z) G

O y

A(x,y)

X x

Σχήμα 3 Ορισμός 16: Η συνάρτηση πολλών μεταβλητών z=f(x) λέγεται ομογενής

m-δύναμης αν f(tx)=tmf(x), m∈R+* και x(x1,x2,x3,…,xn).

Όπως και για κάθε αριθμό αντιστοιχεί ένα σημείο πάνω στην ευθεία των πραγματικών αριθμών ή στην τετμημένη ή την τεταγμένη ενός ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων Oxy, έτσι και για το διατεταγμένο ζεύγος (x,y), αντιστοιχεί ένα σημείο ενός επιπέδου του Oxy με x να είναι η τετμημένη του και y η τεταγμένη του.

Έστω για παράδειγμα η ακόλουθη συνάρτηση 2 24z x y= − − , για την οποία ζητούμε τον υπολογισμό του πεδίου ορισμού της και εν συνεχεία τη γραφική της παράσταση.

Πρέπει . Κατά συνέπεια 2 2 2 24 0x y x y− − ≥ ⇔ + ≤ 4 2 2 4X x y≡ + ≤ το οποίο δηλώνει ότι το σύνολο των σημείων Α(x,y) είναι ένας κύκλος ακτίνας r=2 και κέ-ντρου την αρχή των αξόνων Ο(0,0), όπως φαίνεται και στο σχήμα 4.

y x΄ -2 O 2 x

Σχήμα 4 Το σύνολο των ( )2 2, , 4P x y z x y= − − , όπου (x,y)∈X, είναι ένα ημισφαίριο

x2+y2+z2=24, z 0, όπως φαίνεται και στο σχήμα που ακολουθεί (Σχήμα 5). ≥

Page 182: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

8 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

z

x y

Σχήμα 5

Επισημαίνεται, ότι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης της μορφής z=f(x,y), (x,y)∈X, είναι μία επιφάνεια, αλλά όχι πάντα. Για παράδειγμα, έστω η συ-νάρτηση z=m2+n2, m, n∈Z+. Στην περίπτωση αυτή το σύνολο Χ αποτελείται από τα σημεία του πρώτου τεταρτημόριου xOy ενός ορθοκανονικού συστήματος συντεταγ-μένων. Τα σημεία αυτά έχουν για συντεταγμένες ακέραιους θετικούς αριθμούς (Σχή-μα 6). Η δε γραφική παράσταση της συνάρτησης z=m2+n2 είναι το σύνολο των ση-μείων Ρ(m,n,m2+n2), τα οποία αποτελούν στην ουσία σημεία ενός τρισδιάστατου ευ-κλείδειου χώρου Ε3.

y

Ο x

Σχήμα 6

1.2.3. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση Άσκηση 1: Να υπολογιστούν οι τιμές των ακόλουθων συναρτήσεων:

2 2

2

2. ( , ) , 5, 3

2. ( , ) log , 1, 8

xi f x y x yx y

x yii f x y x yx y

= =−

+= =

+

=

=

Λύση

2 2

2.5 10 10 10 5. (5,3)4 225 9 165 3

i f = = = =−−

= .

Άσκηση 2: Να υπολογιστούν τα πεδία ορισμού Χ των ακόλουθων συναρτή-σεων:

Page 183: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 3ο 9

2 2

2 2

2

1 1. ( , ) . ( , ) ln( )29

. ( , ) . ( , ) ln( 1)ln( ). ( , )

i f x y vi f x y xyxx y

ii f x y x y vii f x y x yx yiii f x y

y x

τοξημ

= =−− −

= − = + −

=−

2 2

2

2 2

. ( , )

. ( , ) (1 ) . ( , ) 19 4

. ( , ) ln . ( , ) ( )

viii f x y x y

x xiv f x y y ix f x yy

v f x y x y x f x y x y

ημ

τοξημ τοξσυν

τοξσυν

=

= + − = + −

= + = +

y

Λύση

i. 9-x2-y2>0 x⇔ 2+y2<9 x⇔ 2+y2<32, κατά συνέπεια το πεδίο ορισμού Χ της συνάρ-τησης f(x,y) είναι το εσωτερικού κύκλου κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας 3, χωρίς την πε-ριφέρεια του κύκλου (Σχήμα 7).

ε2

ε1

-1

1

x

y

x

y

Σχήμα 7

ii. Πρέπει και ατά συνέπεια το πεδίο ορισμού Χ της συνάρτησης f(x,y) θα είναι η περιοχή μεταξύ των παραλλήλων ε

1 1 | |y y− ≤ ≤ ⇔ ≤1 κ1 και ε2 (Σχήμα 8).

Σχήμα 8

iii. Πρέπει 2 0

00

0

xx y

yy x

y x

≠>

⇔ >− >

>

και κατά συνέπεια το πεδίο ορισμού G της συνάρτησης

f(x,y) θα είναι η περιοχή πάνω από τον άξονα x΄x αφού y>0, αριστερά της ευθείας y=x, η οποία είναι η διχοτόμος της γωνίας ˆxOy , χωρίς τα σημεία της (αφού y>x) και χωρίς την αρχή των αξόνων Ο(0,0) (αφού x≠ 0) (Σχήμα 9).

Page 184: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

10 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

y

x΄ x

y=x

Σχήμα 9

Άσκηση 3: Να δειχτεί, ότι οι ακόλουθες συναρτήσεις είναι ομογενείς:

2 2 233

2 22 2 2

2 2

2 2

. ( , ) 3 . ( , )

. ( , ) ln( 1) . ( , ) ln

1. ( , ) . ( , ) ln( )

. ( , ) l

yxy yi f x y x y e v f x y x x y

xx

x y xii f x y x y y x vi f x y

x y x

iii f x y iv f x y x yyx

vii f x y

τοξεφ

ημ

τοξεφ

−= − + = + +

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟= + + =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

= =

=

2

+

2 2

2 2n . ( , )

x yy viii f x yx x y

εφ τοξημ−

=+

Λύση

i. Γίνεται αντικατάσταση των x, y στη συνάρτηση f(x,y) με tx και ty αντίστοιχα και λαμβάνονται τα ακόλουθα:

2 2 2 23 33 3

2 2 2 2 2 2 23 313 3

33

2 223 3

3 2 2 2 2 23 333 3

( , ) 3 ( , ) ( ) 3( )

( , ) 3 ( , ) ( 3 )

( , ) 3 ( , ) 3

y tx t

y yx x

y yx x

y tyf x y x y e f tx ty tx ty ex tx

ty tyf tx ty t x t y e f tx ty t x y et x t x

t y t yf tx ty t x y e f tx ty t x y ex x

− −

− −

− −

= − + ⇔ = − + ⇔

⇔ = − + ⇔ = − +

⇔ = − + ⇔ = − + ⇔

yx

2 22 233 3

3( , ) 3 ( , ) ( , )

2( , ) ( , ), όπου .3

yx

m

yf tx ty t x y e f tx ty t f x yx

f tx ty t f x y m

−⎛ ⎞⇔ = − + ⇔ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

⇔ = =

Άρα η συνάρτηση f(x,y) είναι ομογενής δύναμης 23

.

Page 185: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 3ο 11

Σελίδα σημειώσεων

Page 186: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

12 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Κεφάλαιο 2ο: Όριο και συνέχεια συνάρτησης πολλών μεταβλητών

2.1. Όριο συνάρτησης πολλών μεταβλητών 2.1.1. Έννοιες και ορισμοί ορίου συνάρτησης πολλών μεταβλητών Η έννοια όριο συνάρτησης πολλών μεταβλητών εισάγεται με τρόπο ανάλογο μ’ αυτόν για το όριο συνάρτησης μιας μεταβλητής. Στην προκείμενη περίπτωση θεωρείται συνάρτηση y=f(x), x(x1,x2,x3,…,xn), με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Χ⊂Εn, πεδίο τιμών το σύνολο Y⊂Ε1 και ένα σημείο α(α1,α2,α3,…,αn) το οποίο ανήκει στο σύνολο Χ.

Ορισμός 1: Λέγεται, ότι η συνάρτηση y=f(x) έχει στο σημείο α όριο τον αριθμό λ∈R, αν ε>0, δ>0, τέτοιο, ώστε από το d(α,x)<δ, x α, x∈Χ να συνεπάγεται, ότι: |f(x)-λ|<ε. Γράφεται

∀ ∃ ≠lim ( )x a

f xλ→

= .

Οι συνθήκες d(α,x)<δ και x≠ α σημαίνουν, ότι x∈U(α,δ), δ – περιοχή του ση-μείου α και ότι το σημείο x δεν ταυτίζεται με το σημείο α.

Επίσης, αν τα δυο αυτά σημεία έχουν συντεταγμένες x(x1x2,x3,…xn) και α(α1,α2,α3,…,αn), τότε: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

1 1 2 2 3 3 ... n nx a x a x a x a δ− + − + − + + − < .

Ο ορισμός του ορίου συνάρτησης πολλών μεταβλητών, μπορεί να διατυπωθεί και με τον ακόλουθο τρόπο:

Ορισμός 2: Λέγεται, ότι η συνάρτηση y=f(x1,x2,x3,…,xn) έχει στο σημείο α(α1α2,α3,…,αn) όριο τον αριθμό λ∈R, αν ∀ ε>0, ∃δ>0, τέτοιο, ώστε από τις σχέσεις

( )2

10

n

i ii

x a δ=

< −∑ < , x α, x∈Χ να συνεπάγεται, ότι: |f(x≠ 1,x2,x3,…,xn)-λ|<ε.

Κάθε «σφαιρική περιοχή» U(α,δ) ενός σημείο α είναι δυνατόν να αντικατα-σταθεί από «ορθογώνια περιοχή» του ιδίου σημείο. Τότε ο ορισμός του ορίου συνάρ-τησης πολλών μεταβλητών μπορεί να διατυπωθεί και ως εξής:

Ορισμός 3: Λέγεται, ότι η συνάρτηση y=f(x1,x2,x3,…,xn) έχει στο σημείο α(α1α2,α3,…,αn) όριο τον αριθμό λ∈R, αν ∀ ε>0, ∃δ>0, τέτοιο, ώστε από τη σχέση |xi-αi|<δ, i=1,2,3,…,n, n∈N*, συνεπάγεται, ότι |f(x1,x2,x3,…,xn)-λ|<ε, για x≠ α, x∈Χ. Συμβολίζεται ως 1 2 3li ( , , ,..., )nm

i ix af x x x xλ

→= .

Ορισμός 4: Έστω συνάρτηση y=f(x), x(x1,x2,x3,…,xn), με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Χ⊂Εn, πεδίο τιμών το σύνολο Y⊂Ε1 και ένα σημείο α(α1,α2,α3,…,αn) το ο-ποίο είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου Χ. Λέγεται, ότι υπάρχει το όριο λ∈R της συνάρτησης αυτής, για κάθε x να τείνει στο σημείο α και γράφεται lim ( )

x af xλ

→= ,

αν η ακολουθία f(x(1),x(2),x(3),…,x(m)) έχει όριο τον πραγματικό αριθμό λ, δηλαδή αν ( )lim ( )m

mf x λ

→+∞= , για τυχαία ακολουθία x(m), η οποία επαληθεύει τις ακόλουθες συν-

θήκες: ( )lim m

mx a

→+∞= , x(m) ∈X, x(m)≠ α και m∈N*.

Παρατήρηση: Αναφέρεται, ότι οι δυο βασικοί ορισμοί του ορίου συνάρτησης

πολλών μεταβλητών, δηλαδή ο ορισμός 1 και ο ορισμός 4, είναι ισοδύναμοι.

Page 187: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 3ο 13

Θεώρημα 1: Έστω δυο συναρτήσεις πολλών μεταβλητών y=f(x) και k=g(x) με πεδία ορισμού X1⊂En και X2⊂En, Χ1∩Χ2=Χ≠ ∅ . Έστω σημείο α(α1,α2,α3,…,αn)∈Εn το οποίο είναι σημείο συσσώρευσης για το σύνολο Χ. Αν τα όρια lim ( )

x af xλ

→= και lim ( )

x ag xμ

→= υπάρχουν, τότε θα ισχύουν τα ακόλουθα:

[ ][ ][ ]

. lim ( ) ( )

. lim ( ) ( )

. lim ( ). ( ) .

( ). lim , ( ) 0 και 0( )

x a

x a

x a

x a

i f x g x

ii f x g x

iii f x g x

f xiv g xg x

λ μ

λ μ

λ μ

λ μμ

+ = +

− = −

=

⎡ ⎤= ≠⎢ ⎥

⎣ ⎦≠

Έστω για παράδειγμα πρέπει να υπολογιστεί το όριο της συνάρτησης 2

4( , ) 2

x yf x yx y

=+

για (x,y) (0,0). Στην περίπτωση αυτή αναζητούμε το όριο της συ-

νάρτησης στο σημείο Ο(0,0) με διαφορετικές γραμμές.

Πρώτα λαμβάνεται η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Ο(0,0) και η οποία έχει εξίσωση x=lt, y=mt. Όταν το t 0, τότε το x 0 και το y 0 και κατά συνέπεια το σημείο Ρ(x,y) O(0,0).

→ → →→

Για τη δε συνάρτηση θα έχουμε: 2

4 2 2( , ) l mtf lt mtl t m t

=+

και κατά συνέπεια για

t→0, θα τείνει και αυτή στο μηδέν.

Το αποτέλεσμα δηλώνει, ότι αν πλησιάζουμε στο Ο(0,0) με ευθεία γραμμή,

ανεξάρτητα από την κλίση της, η συνάρτηση 2

4 2( , ) x yf x yx y

=+

θα έχει όριο το 0.

Έστω ότι πλησιάζουμε στο Ο(0,0) με παραβολή η οποία να έχει εξίσωση την y=x2. Τότε θα έχουμε:

( )2 2 4 4

22 4 4 44 2

1( , )2 2

x x x xf x xx x xx x

= = =++

= . Στην περίπτωση αυτή η

συνάρτηση στο σημείο Ο(0,0) έχει όριο τον αριθμός 12

.

Συμπερασματικά αναφέρεται, ότι η συνάρτηση f(x,y) έχει στο σημείο Ο(0,0) δυο διαφορετικά όριο, το 0 και το 1

2, ανάλογα με τον τρόπο προσέγγισης του σημείου

Ο(0,0), δηλαδή με ευθεία ή με παραβολή. Κατά συνέπεια και με βάση τον ορισμό 4

του ορίου συνάρτησης πολλών μεταβλητών, η 2

4( , ) 2

x yf x yx y

=+

δεν έχει όριο στο ση-

μείο Ο(0,0).

Ορισμός 5: Για τη συνάρτηση y=f(x1,x2,x3,…,xn), υπάρχουν και άλλα όρια. Για παράδειγμα τα όρια της μορφής

1 1 2 2 3 31 2 3lim lim lim ... lim ( , , ,..., )

n nnx a x a x a x a

f x x x x→ → → →

. Στην

περίπτωση αυτή τα όρια αναζητούνται ξεχωριστά και στο τέλος υπολογίζεται το όριο της δεδομένης συνάρτησης σε σχέση με το κάθε όρισμα – μεταβλητή xi, i=1, 2, 3,…,n, n∈N*.

Αφού ο αριθμός των ορισμάτων είναι n, τότε είναι δυνατόν να σχηματιστούν n! συνδυασμοί. Με τον τρόπο αυτό θα έχουμε ανάλογα n! όρια του προηγούμενου τύπου. Τα όρια αυτά λέγονται επαναληπτικά όρια της συνάρτησης y= y=f(x1,x2,x3,…,xn), για x(x1,x2,x3,…,xn) να τείνει στο σημείο α(α1,α2,α3,…,αn).

Page 188: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

14 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Αν η συνάρτηση είναι για παράδειγμα της μορφής f(x,y) με (x,y)∈G – το πεδίου ορισμού της συνάρτησης αυτής και Α(ξ,η) είναι το σημείο συσσώρευσης του συνόλου Χ, τότε μπορεί να γραφεί: limlim ( , )

x yf x y

ξ η→ → ή limlim ( , )

y xf x y

η ξ→ →.

Κατά τον υπολογισμό των επαναληπτικών ορίων μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών, πρέπει να προσέχουμε να μην μπερδεύουμε την ενέργεια αυτή με τον υπολογισμό του ορίου της δεδομένης συνάρτησης σε κάποιο σημείο α.

Έστω για παράδειγμα η ακόλουθη συνάρτηση δυο μεταβλητών – ορισμάτων x

και y: 3 3

( , ) x y x yf x yx y

+ + −=

− για την οποία το σημείο Ο(0,0) είναι το σημείο συσ-

σώρευσης του πεδίου ορισμού της G και με τη συνάρτηση αυτή να μην ορίζεται στο σημείο αυτό. Τα επαναληπτικά όρια υπολογίζονται με τον ακόλουθο τρόπο:

3 3 3 3 3

0 0 0 0 0 0

2 22 2

0 0 0

0 0lim lim ( , ) lim lim lim lim0

(1 ) 1lim lim lim( 1) 0 1 1.1

y x y x y y

y y y

x y x y y y y yf x yx y y y

y y y yy

→ → → → → →

→ → →

+ + − + + − −= = =

− −

− −= = = − = − = −

− −

=−

3 3 3 3 3

0 0 0 0 0 0

22 2

0 0

0 0lim lim ( , ) lim lim lim lim0

(1 )lim lim( 1) 0 1 1.

x y x y x x

x x

x y x y x x x xf x yx y x x

x x xx

→ → → → → →

→ →

+ + − + + − += = =

− −

+= = + = + =

=

Έστω ακόμη ένα παράδειγμα: 1( , )f x y x yy x

1συν συν= + . Αρχικά θέλουμε να

υπολογιστεί το όριο της συνάρτησης f(x,y) για Ρ(x,y) να τείνει στο μηδέν.

( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

1 1 1lim ( , ) lim lim lim

1 1lim lim lim lim 0.

x y x y x y x y

x y x y x y x y

f x y x y x yy x y

x yy x

συν συν συν συν

συν συν

→ → → →

→ → → →

⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

= + =

1x=

Τα δε επαναληπτικά όρια της συνάρτησης αυτής υπολογίζονται ως εξής:

0 0 0 0 0 0 0

1 1limlim ( , ) lim lim lim limlimy x y x x y x

f x y x y y 1y x x

συν συν συν→ → → → → → →

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟

⎝ ⎠. Αλλά το όριο

0

1limx

yx

συν→

δεν υπάρχει. Κατά συνέπεια δεν υπάρχει και το αντίστοιχο επαναληπτικό

όριο της συνάρτησης αυτής.

0 0 0 0 0 0 0

1 1limlim ( , ) lim lim lim limlimx y x y y x y

f x y x y x 1y x y

συν συν συν→ → → → → → →

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟

⎝ ⎠. Αλλά επίσης το όριο

0

1limy

xy

συν→

δεν υπάρχει. Κατά συνέπεια δεν υπάρχει και το αντίστοιχο επαναληπτικό

όριο της συνάρτησης αυτής.

Άρα η συνάρτηση 1( , )f x y x yy x

1συν συν= + δεν έχει επαναληπτικά όρια, ενώ

έχει όριο το 0 για το σημείο P(x,y) να τείνει στο σημείο Ο(0,0).

Έστω ότι ψάχνουμε το επαναληπτικό όριο της συνάρτησης f(x,y), P(x,y)∈G στο σημείο συσσώρευσης Α(ξ,η) του πεδίου ορισμού G της συνάρτησης αυτής. Έ-

Page 189: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 3ο 15

στω, ότι lim ( , ) ( )x

f x y yξ

φ→

= . Για τον υπολογισμό του τελευταίου ορίου λαμβάνεται,

ότι το y έχει σταθερή τιμή, το x∈X και επίσης ότι το ξ είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου G. Η ύπαρξη της φ(y) εξαρτάτε από το τι y θα επιλεγεί. Εν συνεχεία πρέπει να υπάρχει το πεδίο ορισμού του y, δηλαδή y∈Y και ένα σημείο η να είναι το σημείο συσσώρευσης του συνόλου Υ. Τότε υπό αυτές τις συνθήκες ψάχνουμε το lim lim ( , )y x

f x yη ξ→ →

.

Θεώρημα 2: Έστω συνάρτηση f(x,y) με πεδίο ορισμού το G και το σημείο Α(ξ,η) να είναι το σημείο συσσώρευσης του συνόλου G. Υποθέτουμε, ότι υπάρχει ορθογώνια περιοχή Ρ[(ξ,η),δ1,δ2] η οποία περιέχεται στο σύνολο G. Αν υπάρχουν τα όρια

( , ) ( , )lim ( , )

x yf x y

ξ ηλ

→= και lim ( , ) ( )

xf x y y

ξφ

→= , ∀ y∈(η-δ2,η+δ2), τότε υπάρχει το

επαναληπτικό όριο lim lim ( , )y x

f x yη ξ→ →

lim ( , ) limlim ( , )x y y x

για το οποίο: ( , ) ( , )

f x y f x yξ η η ξ→ → →

. =

Παρατήρηση: Αν για το όριο lim ( , ) ( )

xf x y y

ξφ

→= , ∀ y∈(η-δ2,η+δ2), ισχύει ότι

lim ( , ) ( )y

f x y xη

ψ→

= , x∈(ξ-δ∀ 1,ξ+δ1), τότε ισχύει:

( , ) ( , )lim ( , ) limlim ( , )

x y x yf x y f x y

ξ η ξ η→ → →= .

Ορισμός 6: Έστω συνάρτηση f(x), x∈M και α να είναι το σημείο συσσώρευ-σης του συνόλου Μ. Τότε λέγεται, ότι το όριο της συνάρτησης f(x) είναι μη πεπερα-σμένο και ίσο με το +∞ , αν Ν>0, ∀ ∃δ>0, τέτοιο ώστε από τη σχέση d(α,x)<δ να συνεπάγεται, ότι f(x)>N.

Ορισμός 7: Έστω συνάρτηση f(x), x∈M και α να είναι το σημείο συσσώρευ-σης του συνόλου Μ. Τότε λέγεται, ότι το όριο της συνάρτησης f(x) είναι μη πεπερα-σμένο και ίσο με το -∞ , αν Ν<0, ∀ ∃δ>0, τέτοιο ώστε από τη σχέση d(α,x)<δ να συ-νεπάγεται, ότι f(x)<N.

Ορισμός 8: Λέγεται, ότι η συνάρτηση f(x) έχει πεπερασμένο όριο λ για (x,y) να τείνει στο (ξ,+∞ ) αν ε>0, υπάρχει ορθογώνια περιοχή του σημείου (ξ,+ ), |x-ξ|<δ, y>N>0, έτσι ώστε για κάθε σημείο (x,y) από την περιοχή αυτή να ισχύει, ότι: |f(x,y)-λ|<ε (Σχήμα 1)

∀ ∞

y

N

O ξ-δ ξ ξ+δ x

Σχήμα 1

Page 190: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

16 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Ορισμός 9: Λέγεται, ότι η συνάρτηση f(x) έχει πεπερασμένο όριο λ για (x,y) να τείνει στο (- ,+∞ ), αν οριστεί περιοχή του «σημείου» (-∞ ∞ ,+∞ ), ως το σύνολο των σημείων για τα οποία ισχύει: ∀Ν>0 και ∀Μ>0 να ισχύουν x>N και y>M (Σχήμα 2).

y

N

O M x

Σχήμα 2

Ορισμός 10: Έστω συνάρτηση y=f(x), x(x1,x2,x3,…,xn)∈X E⊂ n. Το σύνολο Υ

των τιμών y της συνάρτησης αυτής αποτελείται από πραγματικούς αριθμούς και όπως όλα τα σύνολα αποτελούμενα από πραγματικούς αριθμούς, είναι φραγμένο. Τότε η συνάρτησης f(x) λέγεται φραγμένη με ακριβώς άνω φράγμα, το ακριβώς άνω φράγ-μα Μ του Υ και ακριβώς κάτω φράγμα Ν, το ακριβώς κάτω φράγμα του συνόλου Υ. Συμβολίζονται τα δυο αυτά φράγματα με: sup ( )

x XM f x

∈= και inf ( )

x XN f

∈x= .

Ορισμός 11: Αν το σύνολο Υ των τιμών y της συνάρτησης y=f(x) δεν είναι φραγμένο, τότε η συνάρτηση λέγεται μη φραγμένη στο σύνολο αυτό. 2.1.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Να δειχτεί, ότι για τη συνάρτηση ( )2 2

22 2 2 2( , ) x yf x y

x y x y=

+ −

ισχύει για τα επαναληπτικά όρια: li0 0 0 0

m lim ( , ) lim lim ( , ) 0x y y x

f x y f x y→ → → →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦, αλλά παρόλα

αυτά το όριο ( , ) (0,0)

lim ( , )x y

f x y→

δεν υπάρχει.

Λύση

( )

( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2 4 2 2 4 4 2 2 40 0 0 02 2 2 2

2 2 2 2

2 2 4 2 2 42 2 2 40 0

lim ( , ) lim lim lim2

0lim lim 0.0 0

y y y y

y y

x y x y x yf x yx y x x y y x x y yx y x y

x y yx y y xx x y y

→ → → →

→ →

= = =+ − + − ++ −

= = = =− + − +− +

=

m ( , ) 0x

f x y→

Με τρόπο ανάλογο υπολογίζεται, ότι li0

= .

Κατά συνέπεια . 0 0 0 0

lim lim ( , ) lim lim ( , ) 0x y y x

f x y f x y→ → → →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ Υποθέτουμε, ότι το σημείο (x,y) τείνει στο σημείο (0,0) κινούμενο σε ευθεία y=kx, k∈R*. Τότε το όριο θα ισούται με:

( )

( )

2 2 4 2

2 4 4 2 4 4( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0)2 2 2 2

4 2 2 2*

2 4 2 44 2 4( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

lim ( , ) lim lim

lim lim , .1 11

x y x y x y

x y x y

x y x kf x yx x k x kx y x y

x k k k k Rk k k kx k k

→ → →

→ →

= =− ++ −

= = =− + − +− +

=

Page 191: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 3ο 17

Άρα το όριο δεν υπάρχει. Άσκηση 2: Να υπολογιστούν τα όρια των ακόλουθων συναρτήσεων:

2

2 2( , ) (2,0) ( , ) (0,0)

( , ) (0,2) ( , ) (0,4)

. lim . lim

. lim . lim

x y x y

x y x y

xy x yi iiiy x yxy xyii iv

x x

ημ

ημ εφ

→ →

→ →

+

Λύση

( , ) (2,0) ( , ) (2,0) ( , ) (2,0) ( , ) (2,0). lim lim lim lim 2.1 2

x y x y x y x y

xy xy xyi x xy xy xy

ημ ημ ημ→ → → →

= = = = , αφού 0

lim 1t

tt

ημ→

= .

( ) ( )( , ) (0,2) ( , ) (0,2) , 0,2. lim lim lim 1.2 2

x y x y x y

xy xyii yx xy

ημ ημ→ → →

= = = , αφού 0

m 1t

tt

ηli μ→

= .

iii. Έστω 2 2( , ) xyf x y x

x y=

+. Η ανισότητα

2 2

12

xyx y

≤+

είναι ισοδύναμη με την

ανισότητα (x-y)2≥0. Κατά συνέπεια 1( , )2

f x y x≤ . Έστω ε>0, ε-τυχαίος αριθμός.

Από τη σχέση |x|<2ε συνεπάγεται, ότι: ( , ) 0 ( , )f x y f x y ε− = < και γι’ αυτό 2

2 2( , ) (0,0)lim =0

x y

x yx y→ +

.

Άσκηση 3: Να υπολογιστούν τα όρια των ακόλουθων συναρτήσεων:

2 2

4 4( , ) ( , ) ( , ) (0,0)

2 2( , ) (0,0) ( , ) ( , )

2( , ) (0,0)

1. lim . lim

. lim . lim

. lim

x y x y

x y x y

x y

x yi ivyx y

x y x yii vx y

x y

x xy yxyiii

x

ημ→ +∞ +∞ →

→ → +∞ +∞

⎛ ⎞++⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

− ++ − +

+

3 3

2 2( , ) (0,0) . lim

x y

x yviy x→

++ 2y

Λύση

i. Θέτουμε x=ρσυνφ, y=ρημφ για τα οποία x2+y2=ρ2(ημ2φ+συν2φ)⇔ ρ= 2 2x y+ . Αλ-λά για x και y→+ συνεπάγεται, ότι ρ→+ , για τυχαία γωνία φ. Οπότε: →+∞ ∞ ∞

2 2 2 2 2 2 2 2

4 4 4 4 4 4 4 4( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2 2 2

4 4 4 2 4 4( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( ) ( )lim lim lim( ) ( )

( ) 1lim lim .( ) ( )

x y x y x y

x y x y

x yx y

ρσυνφ ρημφ ρ συν φ ρ ημ φρσυνφ ρημφ ρ συν φ ρ ημ φ

ρ συν φ ημ φρ συν φ ημ φ ρ συν φ ημ φ

→ +∞ +∞ → +∞ +∞ → +∞ +∞

→ +∞ +∞ → +∞ +∞

+ += =

+ +

+= =

+ +

+=

+ Ι-

σχύει, ότι: ημ4φ+συν4φ=(ημ2φ+συν2φ)-2ημ2φσυν2φ=1- 12ημ22φ≥ 1

2 και κατά συνέ-

πεια 2 2

4 4( , ) ( , )lim 0

x y

x yx y→ +∞ +∞

+=

+.

v. Θέτουμε x=ρσυνφ, y=ρημφ. Αν x→ + και y→ + , τότε, ανεξαρτήτου το τι τιμή λαμβάνει η γωνία φ, το ρ θα τείνει και αυτό στο

∞ ∞+∞ και κατά συνέπεια:

Page 192: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

18 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

( )( ) ( )2 2 2 2 2( , ) ( , )

lim lim lim 0.1x y

x yx xy y ρ ρ

ρ συνφ ημφ συνφ ημφρ ημφσυνφρ συν φ ημφσυνφ ημ φ→ +∞ +∞ →+∞ →+∞

++ += =

−− + − +=

Άσκηση 4: Να υπολογιστούν τα όρια των ακόλουθων συναρτήσεων:

( )

( )

2 22 2 2

2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

1

2 2 2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

( , ) (0,0)

. lim . lim ln1 1

1 1. lim . lim1

ln 1. lim . lim

x y x y

xy

x y x y

x y

x yi iv xx y

xy eii vx y x y

xyiii vi

xy

συν

→ →

→ →

++

+ + −

− −−

+ ( )( )

x y

2( , ) (0,0)

ln 1

1x y

x y x y

x y→

+ − − +

+ −

Λύση

)(( )( )( )

( )( )( )

( )( )

( )( )

2 2 2 22 2

2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)2 2

2 2 2 2

2 2( , ) (0,0) ( , )

1 1. lim lim

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1lim lim

1 11 1

1 1lim lim

x y x y

x y x y

x y x y

x y x yx yix y x y x y

x y x y x y x y

x yx y

x y x y

x y

→ →

→ →

+ + + ++= =

+ + − + + − + + +

+ + + + + + + += = =

+ + −+ + −

+ + + += =

+

( )2 2 2 2

(0,0)1 1 0 0 1 1 2.x y

→+ + + = + + + =

Άσκηση 5: Να υπολογιστούν τα όρια των ακόλουθων συναρτήσεων

( )

( )

2 2

2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

2 22 2

2 2 2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 3

1 11 1. lim . lim

1 1. lim . lim

x y x y

x y x y

x yi x y iii

x y x y

x yx yii ivx y x y x

ημ ημ

yημ

→ →

→ →

+ −+

+

+ −+ +

Άσκηση 6: Να υπολογιστούν τα επαναληπτικά όρια της συνάρτησης

x( , ) yf x yx y−

=+

, για (x,y) να τείνει στο σημείο Ο(0,0).

Λύση

0 0 0 0 0

0lim lim lim lim lim1 10x y x x x

x y x xx y x x→ → → → →

⎛ ⎞− −= = = =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

και επίσης

0 0 0 0 0

0lim lim lim lim lim( 1) 10y x y y y

x y y yx y y y→ → → → →

⎛ ⎞− − −= = = −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

= − .

2.2. Συνέχεια συνάρτησης πολλών μεταβλητών 2.2.1. Έννοιες και ορισμοί συνέχειας συνάρτησης πολλών μεταβλητών

Ο ορισμός της συνέχειας συνάρτησης πολλών μεταβλητών μοιάζει αρκετά με αυτόν για τη συνέχεια μιας μεταβλητής που αναφέραμε στο πρώτο μέρος.

Ορισμός 12: Έστω συνάρτηση f(x) με πεδίο ορισμού το σύνολο Χ∈Εn. Λέγεται, ότι η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής σε σημείο α∈Χ, αν ε>0, δ>0, ∀ ∃

Page 193: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 3ο 19

για το οποίο από τη σχέση d(x,α)<δ (δηλαδή x∈U(α,ε)) συνεπάγεται, ότι |f(x)-f(α)|<ε.

Ορισμός 13: Έστω συνάρτηση f(x) με πεδίο ορισμού το σύνολο Χ∈Εn. Λέγεται, ότι η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής σε σημείο α∈Χ, αν η ακολουθία f(x(1)), f(x(2)), f(x(3)),…,f(x(m)) έχει όριο το ( )lim ( ) ( )m

mf x f a=

→+∞ για τυχαία ακολουθία

x(m) η οποία επαληθεύει την ισότητα ( )lim m

mx a

→+∞= με x(m)∈X, ∀m∈N*.

Παρατηρήσεις: 1) Οι ορισμοί 12 και 13 της συνέχειας συνάρτησης πολλών μεταβλητών είναι ισοδύ-ναμοι.

2) Από τους ορισμούς 12 και 13 συνεπάγεται, ότι αν το σημείο α∈Χ είναι σημείο συσσώρευσης για το σύνολο Χ, τότε η συνθήκη συνέχειας της συνάρτησης ισοδυνα-μεί με: lim ( ) ( )

x af x f a

→= ή [ ]lim ( ) ( ) 0

x af x f a

→− = .

Ορισμός 14: Έστω Δy=f(x)-f(α). Τότε γράφεται lim 0x a

y→Δ = και το Δy

λέγεται αύξηση της συνάρτησης f(x) στο σημείο α και εξαρτάτε από τις συντεταγμέ-νες του σημείου x(x1,x2,x3,…,xn).

Ο συμβολισμός x→α («το x να τείνει στο α») σημαίνει, ότι d(x,α) 0.

Αλλά

( )2i−

1

( , )n

ii

d x a x a=

= ∑ . Κατά συνέπεια αν για τη διαφορά xi-αi ισχύει, ότι xi-αi

=Δxi=hi, λαμβάνεται η ισότητα 2 2 21 2 3( , ) ... nd x a h h h h= + + + + 2 . Με τον τρόπο αυτό το

όριο li γράφεται και ως εξής: m 0x a

y→Δ =

0lim 0

ihy

→Δ = , ∀ i=1, 2, 3,…,n, n∈N*.

Θεώρημα 1: Αν οι συναρτήσεις f(x) και g(x) είναι ορισμένες στο σύνολο Χ E⊂ n και συνεχείς στο σημείο α∈Χ, τότε θα είναι συνεχείς στο ίδιο σημείο και οι ακόλουθες τρεις συναρτήσεις: . ( ) ( ) ( ), ,. ( ) ( ). ( )

( ). ( ) , ( ) 0 και ( ) 0( )

i k x f x g x Rii l x f x g x

f xiii m x g a g xg x

λ μ λ μ= + ∈=

= ≠ ≠

Ορισμός 15: Έστω συνάρτηση f(x) με πεδίο ορισμού το σύνολο Χ⊂Εn. Το σημείο α λέγεται σημείο ασυνέχειας για τη συνάρτηση f(x), αν ισχύει ένα από τα ακόλουθα:

i) Το σημείο α ανήκει στο σύνολο Χ, αλλά δεν είναι σημείο συσσώρευσης. ii) Το σημείο α δεν ανήκει στο σύνολο Χ, αλλά είναι σημείο συσσώρευσης.

Θεώρημα 2: Κάθε συνάρτηση f(x) συνεχής σε κλειστό και φραγμένο σύνολο Χ Ε⊂ n είναι φραγμένη, x∈X. ∀

Θεώρημα 3: Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής σε κλειστό και φραγμένο σύνολο Χ⊂Εn, τότε λαμβάνει στο σύνολο αυτό άνω και κάτω φράγμα.

Παράδειγμα: Δίνεται η συνάρτηση 2 2 2 2( , )f x y x y x y⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦

, όπου «[]»

είναι το ακέραιο μέρος της συνάρτησης 2( )g x x y= + 2 . Η συνάρτηση αυτή είναι

Page 194: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

20 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

ασυνεχής στις γραμμές x2+y2=1, x2+y2=4, x2+y2=9, x2+y2=16 κ.τ.λ. Γενικά, έστω 2r x y= + 2 και τότε η συνάρτηση θα ισούται με f(x,y)=r-[r].

Θέτουμε r=n-λ, όπου n *Z+∈ και 0<λ<1.

Τότε ( ) ( )0 0 0

lim [ ] lim 1 lim( 1) 1r r n nλ λ λ

λ λ→ → →

− = − − − = − +⎡ ⎤⎣ ⎦ = .

Έστω r=n+λ, όπου n *Z+∈ και 0<λ<1. Τότε ( ) ( )

0 0 0lim [ ] lim lim 0r r n nλ λ λ

λ λ→ → →

− = + − = = .

Από τα προαναφερόμενα συνεπάγεται, ότι αν πλησιάζουμε προς το εσωτερικό του κύκλου x2+y2=n2, n *Z+∈ , τότε για κάθε σημείο του κύκλου αυτού το όριο είναι ίσο με τον αριθμό 1. Το όριο της συνάρτησης f(x,y) είναι ίσο με το μηδέν, όταν πλησιάζει στον κύκλο x2+y2=n2, με τα σημεία να είναι σε ακτίνα n+λ , δηλαδή να εί-ναι εκτός του κύκλου αυτού. Θεώρημα 4 (Θεώρημα ομοιόμορφης συνέχειας): Αν η συνάρτηση f(x,y) είναι συνεχής σε φραγμένο και κλειστό σύνολο Μ και αν ε>0, τότε υπάρχει δ>0, τέ-τοιο ώστε, για τυχαία διατεταγμένα ζεύγη σημείων (x1,y1)∈M και (x2,y2)∈Μ, από τις σχέσεις |x1-x2| και |y1-y2|, να συνεπάγεται, ότι: |f(x1,y1)-f(x2,y2)|<ε. 2.2.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Να μελετηθούν ως προς της συνέχεια στο σημείο Ο(0,0) οι

ακόλουθες συναρτήσεις: 2 2

2 2 2 2

3 3

2 2 2 2

4 4 2 2

4 4 4 4

. ( , ) . ( , )

1. ( , ) . ( , )

. ( , ) . ( , )

x y xi f x y iv f x y yx y x

x yii f x y v f x y

y

x y x yx y xiii f x y vi f x y yx y x

= =+ +

= =+ +

−= =

+ + y

(Απάντηση: i. Συνεχής, ii. Ασυνεχής, iii. Συνεχής, iv. Ασυνεχής, v. Ασυνεχής, vi. Ασυνεχής.)

Άσκηση 2: Να βρεθούν τα σημεία ασυνέχειας των ακόλουθων συναρτήσεων:

( ) ( )

2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 1. ( , ) . ( , )2

3 1. ( , ) . ( , , )9

1 5. ( , ) . ( , , )11

y xi f x y iv f x yy x x x

ii f x y v f x y zy x x y z

iii f x y vi f x y zx y zx y

συν π συν π+

= =− +

= =−

+ + −

= =+ −+ −

Λύση

i. Τα σημεία της παραβολής y2=2x. ii. Τα σημεία της ευθείας y=x. iii. Τα σημεία του κύκλου x2+y2=1.

Page 195: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 3ο 21

iv. Τα σημεία των ευθειών x=y= 22

k 1+ , k∈Z

v. Τα σημεία της σφαίρας x2+y2+z2=1. vi. Τα σημεία των επιπέδων x+y=0 και z=1.

Page 196: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

22 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Κεφάλαιο 3ο: Μερική παράγωγος και διαφορικό συνάρτησης πολλών μεταβλητών

3.1. Βασικές έννοιες και ορισμοί μερικής παραγώγου και διαφορικού 3.1.1. Μερική παράγωγος συνάρτησης πολλών μεταβλητών

Θεωρούμε συνάρτηση z=f(x,y) με πεδίο ορισμού το ανοικτό σύνολο G. Έστω σημείο Α∈G. Αν y=η∈R (ή x=ξ∈R), τότε η συνάρτηση z=f(x,η) (ή z=f(ξ,y)) μεταβάλλεται σε συνάρτηση μιας μεταβλητής.

Ορισμός 1: Έστω συνάρτηση f(x,y) με πεδίο ορισμού το G και (ξ,η)∈G. Αν το όριο ( , ) ( , )lim

x

f x fxξ

η ξ ηξ→

−−

υπάρχει, τότε αυτό λέγεται μερική παράγωγος της

συνάρτησης f(x,y) ως προς τη μεταβλητή x στο σημείο (ξ,η).

Συμβολίζεται με έναν από τους ακόλουθους τρόπους: ( , )

( , )f x yx ξ η

∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂⎣ ⎦

ή

( , )

zx ξ η

∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂⎝ ⎠

ή ( , )fxξ η∂∂

ή ( , )zxξ η∂∂

ή fx(ξ,η) ή fx΄(ξ,η) ή zx(ξ,η) ή zx΄(ξ,η).

Αν h=x-ξ, τότε η μερική παράγωγος της συνάρτησης f(x,y) ως προς x θα ισούται με

0( , )

( , ) ( , ) ( , )limh

f x y f h fx hξ η

ξ η ξ η→

∂ +⎡ ⎤ =⎢ ⎥∂⎣ ⎦− .

Ορισμός 2: Έστω συνάρτηση f(x,y) με πεδίο ορισμού το G και (ξ,η)∈G. Αν το όριο ( , ) ( , )lim

y

f y fyη

ξ ξ ηη→

−−

υπάρχει, τότε αυτό λέγεται μερική παράγωγος της

συνάρτησης f(x,y) ως προς τη μεταβλητή y στο σημείο (ξ,η)

Συμβολίζεται με έναν από τους ακόλουθους τρόπους: ( , )

( , )f x yy ξ η

⎡ ⎤∂⎢ ⎥∂⎣ ⎦

ή ( , )

zy ξ η

⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂⎝ ⎠

ή ( , )fyξ η∂∂

ή ( , )zyξ η∂∂

ή fy(ξ,η) ή fy΄(ξ,η) ή zy(ξ,η) ή zy΄(ξ,η).

Αν k=y-η, τότε η μερική παράγωγος της συνάρτησης f(x,y) ως προς y θα

ισούται με 0

( , )

( , ) ( , ) ( , )limk

f x y f k fy kξ η

ξ η ξ→

⎡ ⎤∂ +=⎢ ⎥∂⎣ ⎦

η− .

Παρατήρηση: Είναι γνωστό, ότι, αν η συνάρτηση f(x) είναι παραγωγίσιμη στο σημείο ξ, τότε θα είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Για μία συνάρτηση f(x,y) μπορεί να υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι ως προς x και ως προς y, αλλά η f(x,y) να μην είναι συνεχής στο σημείο (ξ,η).

Τονίζεται, ότι οι συμβολισμοί fx∂∂

και fy∂∂

καθώς και οι άλλοι προαναφε-

ρόμενοι της ιδίας μορφής, δεν έχουν καμία σχέση με την έννοια «κλάσμα» και συνεπώς δεν ισχύουν οι αντίστοιχες ιδιότητες και πράξεις κλασματικών αριθμών.

Παρατήρηση: Έστω η συνάρτηση z=f(x1,x2,x3,…,xn) με πεδίο ορισμού το σύνολο G Ε⊂ n και σημείο α(α1,α2,α3,…,αn)∈G. Τότε για τις μερικές παραγώγους στο

Page 197: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 3ο 23

α ως προς τις xi, ισχύ-ει: 1 2 3 1 2 3

1 2 3( , , ,..., ,..., ) ( , , ,..., ,..., )

( , , ,..., ) limi

i i

i n i nx n x a

i i

f a a a x a f a a a a af a a a a

x a→

−=

−.

Έστω z=f(x,y). Αν υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι fx(ξ,η) και fy(ξ,η), του ση-μείου Α(ξ,η), τότε αυτές είναι αριθμοί. Αν υπάρχουν τα fx(x,y) και fy(x,y), τότε

τα fx∂∂

και fy∂∂

είναι συναρτήσεις.

Ορισμός 3: Έστω G1⊆G, με G1 να είναι το σύνολο όπου ορίζονται και οι δυο μερικές παράγωγοι της συνάρτησης f(x,y) στο σημείο (ξ,η). Οι μερικές αυτές παρά-γωγοι είναι δυο νέες συναρτήσεις του x ή του y με πεδίο ορισμού το G1.

Να συμβολιστούν αυτές οι δυο νέες συναρτήσεις με fx∂∂

και fy∂∂

αντίστοιχα.

Οι μερικές παράγωγοι των συναρτήσεων fx∂∂

και fy∂∂

ως προς x και ως προς y

λέγονται δεύτερες μερικές παράγωγοι ή μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης της συ-νάρτησης f(x,y) και ισούνται:

2

2

f fx x x

∂ ∂ ∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠,

2 f fx y y x∂ ∂ ∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

, 2

2

f fy y y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

και 2 f fy x x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

.

Ο συμβολισμός 2 fx y∂∂ ∂

σημαίνει, ότι πρώτα υπολογίζεται η παράγωγος της συ-

νάρτησης f(x,y) ως προς x και εν συνεχεία ως προς y.

Θεώρημα 1: Αν μία εκ των συναρτήσεων 2 fx y∂∂ ∂

ή 2 fy x∂∂ ∂

είναι συνεχής, τότε η

άλλη μερική παράγωγος υπάρχει και επιπλέον ισχύει: 2 fx y∂∂ ∂

=2 fy x∂∂ ∂

.

Με τρόπο ανάλογο ορίζεται και η μερική παράγωγος τρίτης ή μεγαλύτερης τάξης της συνάρτησης f(x,y) και συγκεκριμένα:

3 2

3 2

f fx x x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

, 3 2

2 2

f fx y y x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

, 3 2

2

f fx y y x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

, 3 2

3 2

f fy y y

⎛∂ ∂ ∂= ⎜∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎞⎟ ,…

Γενικεύοντας αναφέρεται, ότι: αν z=f(x,y), τότε ( , )n

k n kxk n k

f f y x yx y

−−

∂=

∂ ∂.

Αν w=f(x,y,z), τότε: 2 2 2 2 2 2

, ,w w w w w wx y y x x z z x y z z∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂y

και επίσης

3 3 3 3 3 3 3 3 3

2 2 ,w w w w w w w w wx y z x y z x y z x z y x y z z x y z y xx y y x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = = = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

Page 198: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

24 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

3.1.2. Διαφορικό συνάρτησης πολλών μεταβλητών Ορισμός 4: Πλήρες διαφορικό της συνάρτησης f(x,y) δυο μεταβλητών

λέγεται η έκφραση ( , ) f fdf x y dx dyx y∂ ∂

= +∂ ∂

, ενώ οι προσθετέοι f dxx∂∂

και f dyy∂∂

λέγο-

νται μερικά διαφορικά της συνάρτησης f(x,y) (αντίστοιχα ως προς x και ως προς y). Με dx και dy συμβολίζονται οι αυξήσεις x-ξ και y-η των δυο ανεξάρτητων μεταβλη-τών x και y αντίστοιχα.

Ορισμός 5: Πλήρες διαφορικό n-τάξης της συνάρτησης f(x,y) δυο μεταβλη-τών λέγεται h

11

1( , ) ...1

n nm n n

n n

nf fd f x y dx dx dy dyx x y y

−−

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

nn

n

f η οποία γράφεται συμ-

βολικά ως εξής: ( , ) ( , )n

nd f x y dx dy f x yx y

⎛ ⎞∂ ∂= +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

Επισημαίνεται, ότι το δεξιό μέρος της τελευταίας ισότητας πρέπει να αναπτυχθεί λαμβάνοντας υπ’ όψιν ότι ( , )

nndx dy f x y

x y

νν

ν

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

και κατά

συνέπεια: n

nn

n f dx dyx y

ν νν νν

−−

⎛ ⎞ ∂⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠

.

Αν n=2, τότε η εύρεση του πλήρους διαφορικού δεύτερης τάξης της συνάρτη-ση f(x,y) δυο μεταβλητών υλοποιείται ως εξής:

2 2 22 2

2 22f f fd f dx dxdy dyx x y y

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ ∂

2

Παράδειγμα: Έστω η συνάρτηση z=exy. Τότε το πλήρες διαφορικό πρώτης τάξης dz για τη συνάρτησης αυτή θα ισούται με: dz=yexydx+xexydy=exy(ydx+xdy), ενώ το πλήρες διαφορικό δεύτερης τάξης d2z για την ίδια συνάρτηση θα ισούται με: d2z=exy[y2dx2+2(1+xy)dxdy+x2dy2].

Αν n=3, τότε η εύρεση του πλήρους διαφορικού δεύτερης τάξης της συνάρτη-

ση f(x,y) δυο μεταβλητών, υλοποιείται ως εξής: 3 3 3 3

3 3 2 23 2 2 33 3f f fd f dx dx dy dxdy dy

x x y x y y∂ ∂ ∂ ∂

= + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

3f

3.1.3. Γεωμετρική ερμηνεία διαφορικού συνάρτησης πολλών μεταβλητών Θεωρούμε επιφάνεια S και σημείο Ρ της επιφάνειας αυτής. Από το σημείο Ρ κατασκευάζεται επίπεδο τ. Πάνω στην επιφάνεια S θεωρούμε σημείο Q(x,y,z). Έστω h να είναι η απόσταση από το Q έως και το επίπεδο τ και επίσης r=PQ.

Ορισμός 6: Το επίπεδο τ με τις προαναφερόμενες ιδιότητες λέγεται εφαπτό-μενο επίπεδο στην επιφάνεια S, αν lim 0

Q P

hr→= με σημείο επαφής το Ρ.

Θεωρούμε συνάρτηση z=f(x,y) η οποία ορίζεται για τα σημεία Μ(x,y)∈U(A,δ), όπου U(A,δ) είναι μία περιοχή του σημείου Α(ξ,η). Έστω ότι το σύ-νολο των σημείων Η[x,y,z=f(x,y)] ορίζουν μία επιφάνεια S με Μ(x,y)∈U(ξ,δ), ανή-κουν δηλαδή σε περιοχή του σημείου ξ (Σχήμα 1).

Page 199: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 3ο 25

Θεώρημα 2: Ικανή και αναγκαία συνθήκη ύπαρξης του εφαπτόμενου επιπέ-δου, όχι παράλληλου με το επίπεδο Oz, της επιφάνειας S: z=f(x,y) στο σημείο Ρ[ξ,η,f(ξ,η)], είναι η συνάρτηση f(x,y) να είναι παραγωγίσιμη στο σημείο Α(ξ,η).

Θεωρούμε επιφάνεια z=f(x,y) και σημείο Q[x,y,f(x,y)] της επιφάνειας αυτής. Πάνω στο εφαπτόμενο επίπεδο τ θεωρούμε σημείο R(x,y,z) με τετμημένη και τεταγ-μένη ίδια μ’ αυτή του σημείου Q. Το σημείο αυτό επαληθεύει την εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου και συγκεκριμένα την ακόλουθη: z-f(ξ,η)=fx(ξ,η)(x-ξ)+fy(ξ,η)(y-η)⇔ dz= fx(ξ,η)(x-ξ)+fy(ξ,η)(y-η)⇔ dz=x-f(ξ,η).

Αν y=η, τότε z=f(x,η) και η οποία είναι γραμμή – τομή της επιφάνειας με το επίπεδο y=η. Τότε η zx=fx(ξ,η) θα είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτόμενης ευθείας προς τη γραμμή αυτή στο σημείο L(x,y) με x=ξ και y=η.

Ομοίως και η μερική παράγωγος της συνάρτησης f(x,y) ως προς y για x=ξ fy(ξ,y) θα αποτελεί το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτόμενης στη γραμμή z=f(ξ,y), x=ξ, στο σημείο Ξ(x,y), με x=ξ και y=η (Σχήμα 1).

x Μ Σχήμα 1

z P

R

S dz O η y ξ A f(ξ,η) 3.1.4. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Να βρεθούν οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης ως προς x και ως

προς y των ακόλουθων συναρτήσεων δυο μεταβλητών:

( )

2

2 2 2 2

3 2

2 2

1. ( , ) ( ) . ( , )1(1 )2

. ( , ) 2 . ( , ) ( 2 )

. ( , ) 1 1

y

xy

xyi f x y xe xy y vi f x yx y x y

ii f x y xe y vii f x y x y xy

iii f x y x y y x

ημ τοξσυν

ημ

τοξημ

−= + + =

+ + +

= = −

= − + −

+

22 2

22 2

2

. ( , )

. ( , ) . ( , )

2. ( , ) . ( , ) ( )1 2

x y

x y

viii f x y e xe

x xiv f x y x y ix f x yy y

x y x yv f x y x f x y x y exy x

ημ ημ

συντοξσφ

τοξσφ +

= −

= + + =

+ −= = +

− −

Page 200: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

26 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Λύση

Για την εύρεση της μερικής παραγώγου ως προς x θεωρείται η μεταβλητή y ως σταθερά και παραγωγίζεται η συνάρτηση f(x,y) ως προς x βάσει τους κανόνες παραγώγισης συνάρτησης μιας μεταβλητής.

Ανάλογα εργαζόμαστε και για την εύρεση της μερικής παραγώγου ως προς y, αφού θεωρηθεί η μεταβλητή x ως σταθερά. Κατά συνέπεια:

2 2

22

22 2

2

( ) ( , ) ( ). = + =

( )= +συν( ) =

=1. .0 ( ) ( ) 0

( )(1. .0)

y y

yy

y y

y y

xe xy yf x y xe xy yix x x x

x e xy ye x xy yx x x

xy y x ye x xy y e xy y y xx x x x

e xy y y x e y

ημ ημ

συν συν

συν συν

⎡ ⎤∂ + +∂ ∂ ∂ +⎣ ⎦=∂ ∂ ∂ ∂

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ++ +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + + + = + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠= + + + = + 2( ).xy y+

=

2 2

22

22 2

2

( ) ( , ) ( )= + =

( )= +συν( ) =

=0. ( ) ( ) 2

( )(0. .1 2 )

y y

yy

y y y

y y

xe xy yf x y xe xy yy y y y

x e xy ye x xy yy y y

xy y x ye xe xy y xe xy y y x yy y y y

xe xy y y x y xe

ημ ημ

συν συν

συν

⎡ ⎤∂ + +∂ ∂ ∂ +⎣ ⎦=∂ ∂ ∂ ∂

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ++ +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + + = + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

= + + + + = + 2( 2 ) ( ).x y xy yσυν+ +

=

( , ) ( 2 ) 2. 2 2

1. 2 2 .0 2 2

(1 ) 2 .

xy xyxy xy

xy xy xy xy xy

xy

f x y xe y x e yii e y x y xex x x x x

xye y xe y xe e y xe y yx

e xy y

ημ ημημ ημ

ημ ημ ημ ημ

ημ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂

= + + = + =∂

= +

=

( , ) ( 2 ) 22 2

20. 2 2 2 2 2 .2

( 2 2 2 ).

xy xyxy xy

xy xy xy xy xy

xy

f x y xe y x e ye y x y xey y y y y

xy ye y xe y xe y xe x y xe yy y

xe x y y

ημ ημημ ημ

ημ ημ συν ημ συν

ημ συν

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = + + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

= + + = +∂ ∂

= +

=

Άσκηση 2: Να υπολογιστούν οι τιμές των πρώτων μερικών παραγώγων ως

προς x, και ως προς y της συνάρτησης 2 3( , )f x y x y= στο σημείο Α(-1,1). Λύση

32f xyx∂

=∂

, οπότε 3

( 1,1)

2.( 1).1 2fx −

∂⎛ ⎞ = − = −⎜ ⎟∂⎝ ⎠.

2 23f x yy∂

=∂

οπότε 2 2

( 1,1)

3.( 1) .1 3fy −

⎛ ⎞∂= − =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

.

Άσκηση 3: Να υπολογιστούν οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης, ως προς x

και ως προς y, σε κάθε μία από τις ακόλουθες συναρτήσεις:

Page 201: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 3ο 27

2 2 2 21 2 3

0, 01. . , ... . ( , )1, 0

n

xyyi z ii z r x x x x iii f x yxyx r

τοξεφ≠⎧

= = = + + + + = ⎨ =⎩

Άσκηση 4: Αν 2 2

2 22 2

2 2

,( , )

0, 0

x yxy x yx yz f x y

x y

⎧ − 0+ ≠⎪ += = ⎨⎪ + =⎩

. Να υπολογιστούν τα zx∂∂

και zy∂∂

στο σημείο Ο(0,0).

Λύση 2 2 2

2 2 20 0

( , ) (0, )(0, ) lim limx x x

f x y f y x y yf y yx x y y→ →

− − −= = =

+y y= − και fxy(0,0)=-1.

2 2 2

2 2 20 0

( , ) ( ,0)( ,0) lim limy y y

f x y f x x y xf x xy x y→ →

− −= =

+x x

x= = και fyx(0,0)=1.

Άσκηση 5: Να βρεθούν οι μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης ως προς x και

ως προς y των ακόλουθων συναρτήσεων δυο μεταβλητών: 2

2 2

4 4 2 2

. ( , ) ln( ) . ( , )

. ( , ) 4 . ( , ) ( )

. ( , ) . ( , )

. ( , ) 1

y

xi f x y x y v f x yx y

ii f x y xy y x y vi f x y x x yxiii f x y xy vii f x y xy

x yiv f x yxy

ημ

τοξεφ

= + =+

= + − = +

= + =

+=

2

. ( , ) xviii f x yy

εφ=

Λύση

Αρχικά υπολογίζονται οι μερικές παράγωγοι ως προς x και ως προς y πρώτης τάξης και συγκεκριμένα:

4 4 2 2 4 4 2 24 2( , ) ( 4 ) 4. = + - -8f x y xy y x y xy y x yii y xy

x x x x x∂ ∂ + − ∂ ∂ ∂

= =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

4 4 2 2 4 4 2 23 3 2( , ) ( 4 ) 4= + - 4 4 8f x y xy y x y xy y x y xy y x y

y y y y y∂ ∂ + − ∂ ∂ ∂

= =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ −

Εν συνεχεία παραγωγίζονται οι τελευταίες δυο συναρτήσεις ως προς x και ως προς y και έτσι λαμβάνονται τα ακόλουθα:

2 4 2 42

2

( , ) ( , ) ( - 8 ) 8 8 .f x y f x y y xy y xy yx x x x xx

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= = = − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ⎝ ⎠

2

2 3 3 2 3

2

2 2 2

( , ) ( , ) (4 4 - 8 ) 4 4 8

12 12 8 .

3 2f x y f x y xy y x y xy y x yy y y y y yy

xy y x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂= = = + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ⎝ ⎠

= + −

=

2 4 2 4 23( , ) ( , ) ( - 8 ) 8 4 16f x y f x y y xy y xy y x

x y y x y y y∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= = = − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

.y−

Page 202: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

28 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

2 3 3 2 3

3

( , ) ( , ) (4 4 8 ) 4 4 8= + -

=4 -16 .

3 2

=f x y f x y xy y x y xy y x yy x x y x x x x

y xy

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ + − ∂ ∂= =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Παρατήρηση: Επειδή είναι συνεχής μία τουλάχιστον εκ των συναρτήσεων

(εδώ και οι δυο) 3 3 2( , ) 4 8 f x y∂ xy y x yy

ή 3 3 2( , ) 4 4 8f x y= + −∂

xy y x yy

∂= + −

∂, λαμβάνε-

ται ότι 2 2

3( , ) ( , ) 4 -16 f x y f x y y xyx y y x

∂ ∂= =

∂ ∂ ∂ ∂. Το ίδιο ισχύει και για τα

επόμενα παραδείγματα, γι’ αυτό προτείνεται να υπολογίζεται μόνο η 2 ( , )f x y

x y∂∂ ∂

, όχι

και η 2 ( , )f x y

y x∂∂ ∂

.

Άσκηση 6: Να βρεθούν οι μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης ως προς x

και ως προς y των ακόλουθων συναρτήσεων: 2 2 2

1 2 31. . , ... n

yi z ii z r x x x x 2

x rτοξεφ= = = + + + +

Άσκηση 7: Για τις ακόλουθες συναρτήσεις και σε κάθε μία περίπτωση να υ-

πολογιστούν τα αντίστοιχα πλήρη διαφορικά: 2 2

2 22

2 2

. ( , ) ( 3 ) , ( , ) ; . ( , ) , ( , ) ;

. ( , ) ln , ( , ) ; . ( , ) ln( ), ( , ) ;

. ( , ) ln , ( , ) ;

xi f x y x y df x y iv f x y y e d f x y

x x yii f x y df x y v f x y x y d f x y

x x yxiii f x y df x yy

ημ συν

εφ

= + = = =

+ −= = = +

− −

= =

2

=

Λύση Με βάση τον ορισμού του πλήρους διαφορικού ( , ) f fdf x y dx dy

x y∂ ∂

= +∂ ∂

και του

πλήρους διαφορικού δεύτερης τάξης 2 2 2

2 22 22f f fd f dx dxdy dy

x x y y∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂ ∂

2

συνάρτησης δυο μεταβλητών, θα ισχύουν τα ακόλουθα:

i. df(x,y)=2(ημ3x+συνy)3συν3xdx+2(ημ3x+συνy)(-ημy)dy⇔ ⇔ df(x,y)=2(ημ3x+συνy)( 3συν3xdx- ημydy).

iv. 2 2 2

2 22 2, 2 , , 2 , 2x x x xf f f f fy e ye y e e ye

x y x yx y∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = = = =∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

x

2

και κατά συνέπεια το

διαφορικό της f(x,y) δεύτερης τάξης θα είναι ίσο με: 2 2 2 2 2 2 22.2 2 ( 4 2 )x x x xd f y e dx ye dxdy e dy d f e y dx ydxdy dy= + + ⇔ = + + .

Άσκηση 8: Να βρεθούν οι μερικές παράγωγοι ως προς x και ως προς y των

ακόλουθων συναρτήσεων δυο μεταβλητών:

Page 203: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 3ο 29

( )2 2 2 2

3 3

. ( , ) . ( , )

. ( , ) . ( , )

. ( , ) 6 . ( , , )

xy

i f x y x y vi f x y x y

yii f x y x vii f x y xex

iii f x y x y xy viii f x y z

ημ

τοξεφ

= + = +

= =

= + − =

( )

( )

2

2 22

. ( , ) ln . ( , , )

. ( , ) ln . ( , , )

zxyxiv f x y ix f x y z x y xyzy

y xv f x y x y x f x y z yx z

εφ ημ

τοξεφ τοξεφ

= =

= + + =

3.2. Σύνθετη συνάρτηση πολλών μεταβλητών 3.2.1. Βασικές έννοιες, ορισμοί και θεωρήματα

Ορισμός 1: Έστω συνάρτηση z=f(x1,x2,x3,…,xn) με πεδίο ορισμού το σύνολο G, υποσύνολου του πολυδιάστατου ευκλειδείου χώρου Εn και το σημείο x(x1,x2,x3,…,xn) να ανήκει στο G. Έστω t∈G΄ Ε⊂ n με x1=φ1(t), x2=φ2(t), x3=φ3(t),…,xn=φn(t). Τότε η συνάρτηση z=f[φ1(t),φ2(t),φ3(t),…,φn(t)] λέγεται σύνθε-τη συνάρτηση πολλών μεταβλητών.

Για παράδειγμα, αν z=f(x,y), τότε ορίζονται δυο συναρτήσεις u=φ(x,y) και v=ψ(x,y) με z=f(u,v) ή z=f[φ(x,y),ψ(x,y)].

Θεώρημα 1: Έστω ότι δίνεται συνάρτηση z=f(x,y) με πεδίο ορισμού το G Ε⊂ n και επίσης έστω ότι το σημείο Α(ξ,η) ανήκει στο G. Αν u=φ(x,y) και v=ψ(x,y) είναι δυο συνεχείς συναρτήσεις στο σημείο Α(ξ,η), ενώ η συνάρτηση z=f(u,v) είναι συνεχής σε σημείο Ρ[φ(ξ,η),ψ(ξ,η)]∈G΄⊂Εn, τότε η συνάρτηση z=f(u,v) είναι συνεχής στο σημείο Α(ξ,η).

Θεώρημα 2: Έστω η συνάρτηση f(x,y) να έχει συνεχείς μερικές παραγώγους σε κάποια περιοχή ενός σημείου Ξ(ξο,ηο). Έστω επίσης ότι οι συναρτήσεις φ(t) και ψ(t) να είναι παραγωγίσιμες σε ένα σημείο to με φ(to)=ξο και ψ(tο)=ηο. Τότε η σύνθετη συνάρτηση z=f[φ(t),ψ(t)] είναι παραγωγίσιμη στο σημείο to και η παράγωγός της θα ισούται με: 0 0( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ).o x o y oz΄ t f΄ ΄ t f΄ ΄ tο οξ η φ ξ η ψ= + (Κανόνας παραγώγου σύνθετης συνάρτησης)

Με βάση το θεώρημα 2, αν z=f(x,y) με x=φ(t) και y=ψ(t), θα έχουμε για την

παράγωγο της σύνθετης συνάρτησης, ότι: .z zz΄ x΄ y΄x y∂ ∂

= +∂ ∂

Αν αντί της συνάρτησης f(x,y) δούμε τη συνάρτηση z=f(u,v,w), η οποία είναι συνάρτηση τριών ανεξάρτητων μεταβλητών με u=φ(t), v=ψ(t) και w=γ(t), τότε για

την παράγωγο θα έχουμε: .z z zz΄ u΄ v΄ w΄u v w∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

Θεώρημα 3: Αν οι συναρτήσεις u=φ(x,y) και v=ψ(x,y) είναι παραγωγίσιμες σε σημείο Λ(ξ,η) και η σύνθετη συνάρτηση z=f(u,v) είναι παραγωγίσιμη σε σημείο Ξ(ξο,ηο), με ξο=u(ξ,η) και ηο=v(ξ,η), τότε και η συνάρτηση z=f(u,v) θα είναι παραγω-γίσιμη στο σημείο Ξ(ξο,ηο).

Αν η z=f(u,v) είναι σύνθετη συνάρτηση, με u=φ(x,y) και v=ψ(x,y), τότε για τις μερικές παραγώγους της θα ισχύουν τα ακόλουθα:

Page 204: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

30 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

z f u f vx u x v x∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

z f u f vy u y v y∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Αν με τη βοήθεια των συναρτήσεων f(u) και φ(x,y) δημιουργήσουμε τη σύν-θετη συνάρτηση z=f[φ(x,y)], τότε η εύρεση των μερικών παραγώγων γίνεται με τον

ακόλουθο τρόπο: [ ]( , )z f΄ x yx x

φφ∂ ∂=

∂ ∂ και [ ]( , )z f΄ x y

y yφφ∂ ∂

=∂ ∂

.

Αν για φ(x,y) θέσουμε u, τότε με βάση την τελευταία ισότητα θα ισχύει το

ακόλουθο: ( )z uf΄ ux x∂ ∂

=∂ ∂

και ( )z uf΄ uy y∂ ∂

=∂ ∂

.

Με βάση τον τύπο z zz΄ x΄ y΄x y∂ ∂

= +∂ ∂

, λαμβάνοντας υπ’ όψιν ότι, όχι μόνο η

συνάρτηση z είναι σύνθετη, αλλά και οι συναρτήσεις zx∂∂

και zy∂∂

, θα έχουμε για τη

δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης z τα ακόλουθα:

( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2

2 22 2

2 2 .

z z z z z zz΄΄ x΄ y΄ x΄ x΄΄ x΄ y΄ x΄ y΄΄x y x yx y y

z z z z zz΄΄ x΄ x΄y΄ y΄ x΄΄ y΄΄x y y x yx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⇔ = + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂

Αν έχουμε δυο συναρτήσεις f(x,y) και φ(x), τότε για την πρώτη και τη δεύτε-ρη παράγωγο της σύνθετης συνάρτησης z=f[x,φ(x)], θα ισχύει, ότι:

( )f fz΄ ΄ xx y

φ∂ ∂= +∂ ∂

και [ ]2 2 2

2

2 22 ( ) ( )f f f fz΄΄ ΄ x ΄ x ΄΄ xx y yx y

φ φ φ∂ ∂ ∂ ∂= + + +

∂ ∂ ∂∂ ∂( )

)

.

Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση f(u,v), με σύνθετη συνάρτηση την ακό-λουθη: . Τότε για την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγό της θα έ-

χουμε, ότι:

( 2 2 ,z f x y xy= +

2f f fx yx u v∂ ∂ ∂

∂= +

∂ ∂, f f f∂ y x2

y u v∂ ∂

= +∂ ∂ ∂

και

2 2 2 2

2 22 2 24 4 2f f f fx xy y

u v uf

x u v∂ ∂ ∂ ∂

= + + +∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∂ ,

2 2 2 22 2

2 2 24 4 2f f f fy xy xu v uy u v

∂ ∂ ∂ ∂= + + +

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂f∂ ,

2 2 2 2

2 24 4f f f fxy xy xy fx y u vu v∂ ∂ ∂ ∂

= + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ u

Έστω ακόμη ένα παράδειγμα: f(u) με σύνθετη συνάρτηση την yz fx

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

. Τό-

τε θα έχουμε για την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο της z: 2 ( )z y f΄ ux x∂

= −∂

,

Page 205: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 3ο 31

1 ( )z f΄ uy x∂

=∂

και 2 2

2 3 4

2 ( ) ( )z y yf΄ u f΄΄ ux x x∂

= +∂

, 2

2 2

1 ( )z f΄ uy x∂

=∂

,

2

2 3

1 ( ) ( )z yf΄ u f΄΄ ux y x x∂

= − −∂ ∂

Για το δε πλήρες διαφορικό πρώτης τάξης της συνάρτησης z=f(u,x) – σύνθετη συνάρτηση, με u=φ(x,y) και v=ψ(x,y), θα ισχύουν τα ακόλουθα:

.

f u f v f u f vdz dx dyu x v x u y v y

f u u f v vdz dx dy dx dyu x y v x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⇔ = + + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

Αλλά u udu dx dyx y∂ ∂

= +∂ ∂

και v vdv dx dyx y∂ ∂

= +∂ ∂

. Κατά συνέπεια η σχέση για το

πλήρες διαφορικό πρώτης τάξης dz της σύνθετης συνάρτησης z=f(u,v), θα

λάβει την ακόλουθη μορφή: f fdz du dvu v∂ ∂

= +∂ ∂

.

Αν για τη σύνθετη συνάρτηση ισχύει, ότι z=f[u(t),v(t)], τότε θα είναι συνάρ-τηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής, συγκεκριμένα της t και θα ισχύει, ότι: dz f du f dvdt u dt v dt

∂ ∂= +∂ ∂

, με dudt

και dvdt

να είναι οι παράγωγοι των συναρτήσεων u(t) και

v(t), αντίστοιχα, ως προς τη μοναδική τους ανεξάρτητη μεταβλητή t.

Αν έχουμε z=F(u), u=f(x,y), τότε το πλήρες διαφορικό dz θα ισούται με το

ακόλουθο: ( ) ( ) ( )u u udz F΄ u dx F΄ u dy dz F΄ u dx dx y x

⎛∂ ∂ ∂ ∂= + ⇔ = ⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

u yy

⎞⎟ και κατά συ-

νέπεια . ( )dz F΄ u du=

Ορισμός 2: Αν z=f(x,y), τότε πλήρες διαφορικό δεύτερης τάξης λέγεται η ισότητα:

( )2

2 2 2 2

2 2

2 2 22 2

2 22 .

f fd z d df dz d dx dyx y

f f f fdz dx dy dx dx dy dyx y x yx y

f f fdz dx dxdy dyx yx y

⎛ ⎞∂ ∂= ⇔ = + ⇔⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⇔ = + + + ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂ ∂ ∂⇔ = + +

∂ ∂∂ ∂

Γενικά: 11 ... .

0 1

n n nn n n

n n

n n nf fd f dx dx dy dynx x y y

−−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

nn

f

Γενικεύοντας, αν z=f[x1(t1,t2,t3,…,tn), x2(t1,t2,t3,…,tn),…,xn(t1,t2,t3,…,tn)], τότε

θα ισχύει, ότι: 1 2

1 2

... m

i i i m

dxdx dxdz f f fdx x dt x dt x dt

∂ ∂ ∂= + + +∂ ∂ ∂ i

, i=1, 2, 3,…,n.

Θεώρημα 4 (Θεώρημα Euler): Αν η σύνθετη συνάρτηση z=f(x1,x2,x3,…,xn) είναι ομογενής δύναμης m και παραγωγίσιμη σε σημείο x≠ 0, τότε θα ισχύει, ότι:

Page 206: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

32 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

1 2 31 2 3

... . ( )nn

f f f fx x x x m fx x x x∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + =∂ ∂ ∂ ∂

x .

3.2.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Να αποδειχτεί, ότι η σύνθετη συνάρτηση f(x,y)=(x2+y2)ex+y είναι συνεχής, ∀Μ(x,y)∈xOy.

Λύση

Έστω u(x,y)=x2+y2 και v(x,y)=x+y. Τότε f(x,y)=uev. Τότε θα ισχύουν τα ακόλουθα:

i. Η συνάρτηση f(x,y)=uev είναι συνεχής στα σημεία Κ(u,v), τα οποία ανήκουν σε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων uOv.

ii. Οι συναρτήσεις u(x,y)=x2+y2 και v(x,y)=x+y, είναι με τη σειρά τους συνε-χείς στο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων xOy.

Από τα i., ii. συμπεριλαμβανομένου και του θεωρήματος 1, συμπεραίνεται, ότι η συνάρτηση f(x,y)=(x2+y2)ex+y είναι συνεχής, ∀Μ(x,y)∈xOy, το οποίο και έπρεπε να αποδειχτεί.

Άσκηση 2: Αν z=f(u,v), u=x+y, v=x-y, να υπολογιστούν τα ακόλουθα:

i. fx∂∂

ii. f∂y∂

iii. 2

2

fx

∂∂

Λύση i. f f f

x u v∂ ∂ ∂

= +∂ ∂ ∂

.

ii. f f fy u∂ ∂ ∂

= −∂ ∂ ∂v

.

iii. 2 2 2 2

2 2 2 2

f f fu v

fx u v

∂ ∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂∂ ∂ ∂.

Άσκηση 3: Για τις ακόλουθες συναρτήσεις, να υπολογιστούν τα πλήρη

διαφορικά τους: . ( , ), για ,. ( , ), για ,

. ( , ), για ,

i z f u v u ax v byii z f u v u x y v x y

xiii z f u v u xy vy

= = == = + =

= = =

2 2

23 3

2

. ( , ), για , 2

. ( , ), για ,

iv z f u v u x y v xyxv z f u v u x y vy

= = +

= = +

=

=

Λύση

Εφαρμόζεται ο τύπος του πλήρους διαφορικού πρώτης τάξης και συγκεκριμένα:

. , 0, 0,u u v vi ax y x y∂ ∂ ∂ ∂

= = = =∂ ∂ ∂ ∂

b , οπότε f fdz adx bdyu v∂ ∂

= +∂ ∂

.

Page 207: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 3ο 33

. 1, 1, 1, 1u u v viix y x y∂ ∂ ∂ ∂

= = = =∂ ∂ ∂ ∂

− , οπότε f f f fdz dx dyu v u v∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

2

1. , , ,u u v viii y x xx y x y y∂ ∂ ∂ ∂

= = = = −∂ ∂ ∂ ∂ y

, οπότε 2

1f f f f xdz y dx x dyu v y u v y

⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂= + + −⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

.

. 2 , 2 , 2 , 2u u v viv x y y xx y x y∂ ∂ ∂ ∂

= = = =∂ ∂ ∂ ∂

, οπότε

2 2f f f fdz x y dx y x dyu v u v∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛= + + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

.

22 2

2 3

2. 3 , 3 , ,u u v x vv x y 2xx y x y y∂ ∂ ∂ ∂

= = = = −∂ ∂ ∂ ∂ y

, οπότε

22 2

2 3

2 23 3f f x f f xdz x dx y dyu v y u v y

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Άσκηση 4: Να αποδειχτεί, ότι αν η συνάρτηση z=f(x,y) είναι ομογενής

m-δύναμης, τότε ισχύει η ακόλουθη ισότητα: z zx y mzx y∂ ∂

+ =∂ ∂

(Ταυτότητα Euler).

Λύση

Με βάση τον ορισμό της ομογένειας m-δύναμης συνάρτησης f(x,y) θα ισχύει, ότι: f(tx,ty)=tmf(x,y).

Έστω u=tx και v=ty, για τα οποία, αφού παραγωγιθούν ως προς τη μεταβλητή

t, λαμβάνεται, ότι: 1 ( , )mf u f v mt f x yu t v t

−∂ ∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂ ∂.

Αλλά και u vx yt t

∂ ∂= =

∂ ∂. Θέτουμε t=1 και κατά συνέπεια u=x και v=y,

από τα οποία, αφού αντικατασταθούν στην τελευταία ισότητα λαμβάνεται η προς α-

πόδειξη ισότητα, δηλαδή z zx y mzx y∂ ∂

+ =∂ ∂

.

Άσκηση 5: Αν z=f(x,y), x=ημ2t, y=συν2t, να υπολογιστεί η δεύτερη μερική

παράγωγος ως προς x και ως προς y της συνάρτησης z.

Άσκηση 6: Αν z=f(u), u=τοξεφ xy

, να υπολογιστούν τα ακόλουθα: 2

2

zx∂∂

, 2

2

zy∂∂

και 2z

x y∂∂ ∂

.

3.3. Μέγιστο και ελάχιστο συνάρτησης δυο μεταβλητών 3.3.1. Βασικές έννοιες, ορισμοί και θεωρήματα

Ορισμός 7: Έστω ότι δίνεται συνάρτηση f(x,y) με πεδίο ορισμού το G και έ-στω (ξ,η) ανήκει στο G. Αν υπάρχει τέτοια περιοχή ω γύρω από το σημείο (ξ,η), ώστε για κάθε (x,y) από το ω και από το G, διαφορετικό από το (ξ,η), να ισχύει f(x,y)<f(ξ,η) λέγεται, ότι η συνάρτηση f(x,y) έχει (τοπικό) μέγιστο στο σημείο (ξ,η).

Page 208: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

34 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Ορισμός 8: Έστω ότι δίνεται συνάρτηση f(x,y) με πεδίο ορισμού το G και έ-στω (ξ,η) ανήκει στο G. Αν υπάρχει τέτοια περιοχή ω γύρω από το σημείο (ξ,η), ώστε για κάθε (x,y) από το ω και από το G, διαφορετικό από το (ξ,η), να ισχύει f(x,y)>f(ξ,η) λέγεται, ότι η συνάρτηση f(x,y) έχει (τοπικό) ελάχιστο στο σημείο (ξ,η).

Θεώρημα 1: Αν υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι ως προς x ( , )

fx ξ η

∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂⎝ ⎠

και ως

προς y ( , )

fy ξ η

⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂⎝ ⎠

της συνάρτησης f(x,y) και f(ξ,η) είναι ακρότατο, τότε

( , ) ( , )

0f fx yξ η ξ η

⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠= και το σημείο (ξ,η) λέγεται πιθανό σημείο ακρότατου.

Θεώρημα 2: Έστω το σημείο (ξ,η) να είναι πιθανό σημείο ακρότατου και έ-στω f(x,y) έχει συνεχείς μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης στο σημείο (ξ,η). Έστω εκτός αυτού, ότι:

2

2( , )

fx ξ η

⎛ ⎞∂Α = ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

, 2

( , )

fx y ξ η

⎛ ⎞∂Β = ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

, 2

2( , )

fy ξ η

⎛ ⎞∂Γ = ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

και Δ=ΑΓ-Β2. Τότε θα ισχύουν:

i. f(ξ,η) είναι ελάχιστο για Δ>0 και Α>0. ii. f(ξ,η) είναι μέγιστο για Δ>0 και Α<0. iii. f(ξ,η) δεν είναι ακρότατο για Δ<0. iv. Αν Δ=0 δεν δύναται να ειπωθεί, ότι στο σημείο (ξ,η) η συνάρτηση f(ξ,η)

παρουσιάζει μέγιστο ή ελάχιστο. Η περίπτωση αυτή χρήζει επιπρόσθετη μελέτη.

Παρατήρηση: Στις περιπτώσεις i. και ii. αντί του Α μπορεί να χρησιμοποιηθεί

και το Γ, αφού τα Α και Γ έχουν κοινά πρόσημα. 3.3.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Να μελετηθούν ως προς τα ακρότατα οι ακόλουθες συναρτήσεις:

3 3

4 4

3 3

3 3

. ( , ) 9 . ( , ) . ( , ) . ( , ) 3 3

i f x y x y xyii f x y x yiii f x y x yiv f x y x y x y

= + +

= +

= −

= − − + 50 20. ( , ) ( 0, 0) v f x y xy x yx y

= + + > >

Λύση

Σε κάθε μία περίπτωση υπολογίζονται οι μερικές παράγωγοι πρώτης και δεύτερης τάξης ως προς x και ως προς y και εν συνεχεία μηδενίζονται οι πρώτες παράγωγοι για την εύρεση της πιθανής θέσης ακρότατου και συγκεκριμένα:

2 2 22 2

2 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ). 3 +9y, 3 9 , 6 , =6y, 9f x y f x y f x y f x y f x yi x y x xx y x y x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂y=

2

2

( , ) 03 +9y=0

(0,0) ή ( 3, 3)( , ) 3 9 00

f x yxx K

f x y y xy

∂=

∂⇔ ⇔ Λ −

∂ + ==∂

− - πιθανές θέσεις ακρότατων.

Page 209: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 3ο 35

α. Για Κ(0,0) 2

2(0,0)

0fx

⎛ ⎞∂Α = =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

, 2

(0,0)

9fx y

⎛ ⎞∂Β = =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

, 2

2(0,0)

0fy

⎛ ⎞∂Γ = ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

= και Δ=ΑΓ-Β2=-81<0.

Κατά συνέπεια η συνάρτηση f(x,y) δεν παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο Κ(0,0). β. Για Λ(-3,-3)

2

2( 3, 3)

18fx

− −

⎛ ⎞∂Α = = −⎜ ⎟∂⎝ ⎠

, 2

( 3, 3)

9fx y

− −

⎛ ⎞∂Β = =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

, 2

2( 3, 3)

18fy

− −

⎛ ⎞∂Γ = ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

= − και Δ=ΑΓ-Β2=243>0.

Κατά συνέπεια η συνάρτηση f(x,y) παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο Λ(-3,-3) το f(-3,-3)=27.

2 2 23 3 2 2

2 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ). 4 , 4 , 12 , =12 , 0f x y f x y f x y f x y f x yii x y x yx y x yx y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂=

3

3

( , ) 04 =0

(0,0) ( , ) 4 00

f x yxx K

f x y yy

∂=

∂⇔ ⇔

∂ ==∂

- πιθανή θέση ακρότατου.

2

2(0,0)

0fx

⎛ ⎞∂Α = =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

, 2

(0,0)

0fx y

⎛ ⎞∂Β = =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

, 2

2(0,0)

0fy

⎛ ⎞∂Γ = ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

= και Δ=ΑΓ-Β2=0.

Κατά συνέπεια για τη συνάρτηση f(x,y) δεν μπορούμε άμεσα και με βάση τους προαναφερόμενους τύπους να απαντήσουμε αν έχει ή όχι ακρότατο. Γι’ αυτό εργαζόμαστε με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σημείο (x,y) της περιοχής (0,0) ισχύει, ότι: f(x,y)-f(0,0)=x4+y4>0, οπότε f(x,y)>f(0,0).

Με βάση τον ορισμό του ακρότατου, συνεπάγεται, ότι η συνάρτηση f(x,y) παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο Κ(0,0), στην αρχή δηλαδή των αξόνων, το f(0,0)=0.

Άσκηση 2: Να μελετηθούν ως προς τα ακρότατα οι ακόλουθες συναρτήσεις:

2 3 2 2

2 3

2 2

2 2

. ( , ) (8 6 3 ). ( , ) 4 ln 10ln

. ( , ) 2 4 2 8

. ( , ) 3

x yi f x y e x xy yii f x y x xy y x y

iii f x y x y x xy y

iv f x y x y xy

+= − +

= + + − −

= + − − − +

= + −

Page 210: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

36 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Κεφάλαιο 4ο: Πεπλεγμένη συνάρτηση

4.1. Πεπλεγμένη συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής 4.1.1. Βασικές έννοιες, ορισμοί και θεωρήματα

Ορισμός 1: Έστω συνάρτηση f(x,y) με πεδίο ορισμού το G και έστω σημείο (ξ,η) το οποίο ανήκει στο G. Έστω ότι υπάρχει περιοχή Ω του σημείου (ξ,η), τέτοια

ώστε οι συναρτήσεις F(x,y) και Fy

∂∂

να είναι συνεχείς. Έστω τέλος, ότι F(ξ,η)=0 και

( , )

0Fy ξ η

⎛ ⎞∂≠⎜ ⎟∂⎝ ⎠

. Τότε υπάρχει μοναδική συνεχής συνάρτηση y=f(x), ορισμένη σε κάποια

περιοχή ω του σημείου ξ και η οποία επαληθεύει τα ακόλουθα: f(ξ)=η και F[x,f(x)]=0. Η συνάρτηση αυτή λέγεται πεπλεγμένη συνάρτηση ορισμένη από την εξίσωση F(x,y)=0.

Για παράδειγμα, έστω οι ακόλουθες πεπλεγμένες συναρτήσεις:

1) F(x,y) 1-x≡ 2-y2=0. Φαίνεται, ότι η συνάρτηση F(x,y) ταυτίζεται με το μηδέν αν 21y = ± − x . Κατά συνέπεια ( )2 21 1x x 0− − ± − ≡ . Εδώ βρίσκουμε δυο πε-

πλεγμένες συναρτήσεις 21y x= − και 21y x= − − , οι οποίες μηδενίζουν τη δεδομένη συνάρτηση.

2) Έστω F(x,y) y≡ 3-x=0. Η τελευταία εξίσωση είναι ίση με το μηδέν αν 3y x= και κατά συνέπεια ( )3

3 0x x− ≡ .

Επισημαίνεται, ότι δεν είναι δυνατή πάντα η άμεση ή γενικότερα, η απόδοση μιας πεπλεγμένης συνάρτησης, όπως έγινε με τα προαναφερόμενα δυο παραδείγματα. Σχε-τικά με το τελευταίο αναφέρονται τα ακόλουθα τρία παραδείγματα:

1) 2 2

2 2( , ) 1 0x yF x ya b

≡ + + = . Εδώ δεν υπάρχει πραγματική συνάρτηση y=f(x) για

την οποία F[x,f(x)]=0.

2) Έστω η συνάρτηση y=f(x) η οποία ορίζεται από την εξίσωση exy-y2=0. Τότε η εξίσωση της μορφής F(x,y)=0 δεν προσδιορίζει πεπλεγμένη συνάρτη-σης.

3) Η εξίσωση x2+y2+1=0 δεν επαληθεύεται από καμία συνάρτηση και κατά συνέπεια δεν ορίζει καμία πεπλεγμένη συνάρτηση.

Θεώρημα 1: Έστω η συνάρτηση F(x,y) να επαληθεύει τις ακόλουθες συνθήκες:

α) Υπάρχει περιοχή ενός σημείου Α(ξ,η) για τα σημεία της οποίας οι συναρτήσεις F(x,y) και Fy΄ (x,y) είναι συνεχείς.

β) F(ξ,η)=0, Fy΄ (ξ,η) 0. ≠

Υπό αυτές τις συνθήκες σε κάποια περιοχή του σημείου ξ υπάρχει μοναδική συνάρτηση y=f(x) η οποία είναι συνεχής και επαληθεύει την εξίσωση F[x,f(x)]=0 και την συνθήκη η=f(ξ).

Page 211: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 3ο 37

Το θεώρημα αυτό αποτελεί την ικανή συνθήκη ύπαρξης μοναδικής λύσης της εξίσωσης F(x,y)=0 σε περιοχή του σημείου Α(ξ,η).

Για παράδειγμα, έστω F(x,y)≠ y3-x=0. Η εξίσωση y3-x=0 έχει μοναδική και συνεχής λύση, x∈(- ,+∞ ). Η μερική της παράγωγος ως προς y θα ισούται με F

∀ ∞y΄ (x,y)=3y2. Τότε στο σημείο Ο(0,0) έχουμε Fy΄ (0,0)=0 και έτσι η συνθήκη α) δεν ισχύει. Παρόλα αυτά η εξίσωση αυτή έχει μοναδική και συνεχής λύση την x=y3 η οποία είναι συνεχής και μονότονη ως προς τη μεταβλητή y∈(- ,+∞ ). Κατά συνέπεια και η αντίστροφής της έχει τα ίδια χαρακτηριστικά.

Θεώρημα 2: Έστω σε μία περιοχή ενός σημείου Α(ξ,η) η συνάρτηση F(x,y) επαληθεύει τις ακόλουθες συνθήκες:

α) Υπάρχει περιοχή ενός σημείου Α(ξ,η) για τα σημεία της οποίας οι συναρτήσεις F(x,y) και Fy΄ (x,y) είναι συνεχείς.

β) Έχει συνεχής παράγωγο Fx΄ (x,y). γ) F(ξ,η)=0, Fy΄ (ξ,η) 0. ≠

Τότε στο σημείο Α[ξ,η=f(ξ)] η συνάρτηση y=f(x), ορισμένη με την εξίσωση

F(x,y)=0, έχει παράγωγο της μορφής ( , )( )( , )

x

y

Ff΄F

ξ ηξξ η

= − .

Γενικά: Αν υπάρχει η μερική παράγωγος Fx

∂∂

και είναι συνεχής συνάρτηση σε

κάποιο σύνολο Χ, τότε η παράγωγος της συνάρτησης y=f(x) μπορεί να υπολογιστεί αφού παραγωγιθεί η εξίσωση F(x,y)=0 ως προς x και ληφθεί υπ’ όψιν , ότι το αρι-στερό μέλος της εξίσωσης αυτής είναι μία συνάρτηση σύνθετη, η οποία εξαρτάτε ά-μεσα από το x και με τη συνάρτηση y=f(x) λαμβάνεται, ότι:

0

Fdy F F dyx

Fdx x y dxy

∂∂ ∂∂= − ⇔ + =

∂ ∂ ∂∂

.

Αν η συνάρτηση F(x,y) έχει συνεχείς μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης, η δεύτερη παράγωγος της πεπλεγμένης συνάρτησης y=f(x) δύναται να ληφθεί αν παραγωγηθεί ακόμη μία φορά ως προς x η ισότητα 0F F dy

x y dx∂ ∂

+ =∂ ∂

, για την οποία

πρέπει να ειπωθεί, ότι το αριστερό της μέλος εξαρτάτε από το x, τόσο άμεσα, όσο και από την συνάρτηση y=f(x). Έτσι λαμβάνεται ότι:

22 2 2 2

2 22 0F F dy F dy F d yx x y dx y dx y dx

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ 2 =

Η σκέψη αυτή μπορεί να συνεχιστεί και να υπολογιστούν η τρίτη, τέταρτη κ.τ.λ. παράγωγος της πεπλεγμένης συνάρτησης y=f(x).

Για παράδειγμα, έστω το y να είναι ορισμένο ως πεπλεγμένη συνάρτηση του x με την εξίσωση ημ(x+y)-y=0.

Αν παραγωγίσουμε την τελευταία ισότητα, λαμβάνεται, ότι:

( ) ( )( )

1 01

x ydy dy dyx ydx dx dx x y

συνσυν

συν+⎛ ⎞+ + − = ⇔ =⎜ ⎟ − +⎝ ⎠

.

Αν παραγωγιθεί η ισότητα ( ) 1 dy dyx ydx dx

συν ⎛ ⎞ 0+ + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

, λαμβάνεται, ότι:

Page 212: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

38 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

( ) ( ) ( )( )

2 2 2 2

2 2 21 01

x ydy d y d y d yx y x ydx dx dx dx 3

x y

ημημ συν

συν

+⎛ ⎞− + + + + − = ⇔ = −⎜ ⎟⎝ ⎠ − +⎡ ⎤⎣ ⎦

.

Έστω ακόμη ένα παράδειγμα: το y να είναι ορισμένο ως πεπλεγμένη συνάρ-τηση του x με την εξίσωση e2x+y-y2=0.

1η παράγωγος: 2

22

2 22 2 02 2

x yx y

x y

dy dy dy e dy ye ydx dx dx y e dx y

++

+

⎛ ⎞+ − = ⇔ = ⇔ =⎜ ⎟ − −⎝ ⎠.

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2 2

2 2 3

2 2 2 4 2 2 42 παράγωγος:

2 22 4

2.4. 82 = .2 2 2 2

dy dy dy dyy y y yd y dx dx dx dxdx y y

yy yy

y y y y

⎛ ⎞− − − − +⎜ ⎟⎝ ⎠= = =

− −

−= =

− − − −

22 y=

Ορισμός 2: Διαφορικό της πεπλεγμένης συνάρτησης y=f(x), ορισμένη από την εξίσωση F(x,y)=0, ονομάζεται η ισότητα: 0F Fdx dy

x y∂ ∂

+ =∂ ∂

.

4.1.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Να οριστούν οι πρώτες παράγωγοι dydx

των πεπλεγμένων συναρ-

τήσεων, ορισμένες από τις ακόλουθες εξισώσεις:

2 2 2

. 0 .1 ln( ) 0

. . 1 0

. 0 .

nx y xy xy

x y n

i y nx ae vi xy e eyii x y vii x yx

x yiii e xe viii yx

ημ ημ

ημ

τοξεφ τοξημ τοξημ

+ −− = + − + =

+ = − − =

+− = =

2 22 2

2 2

2 2

. ln . 1 0

. . 02 4

yy x yiv x y ixx a b

x a y av x y x yx a y

τοξεφ

πτοξεφ τοξεφ τοξεφ

+ = + − =

− −− = − + =

+ +x

Λύση

i. Παραγωγίζεται το αριστερό μέλος της εξίσωσης ως προς x και λαμβάνεται:

( )0nx y

nx ynx y

dy dy dy n ae y nxnx ny nx ae ndx dx dx nx ae

συνημ συνημ

++

+

−⎛ ⎞+ − + = ⇔ =⎜ ⎟ −⎝ ⎠.

2 2 2 22 2 2 2

2

2 2

2 2

1 1. 2 22 1

.

dy dy dyx y x y x ydy dx dx dxii x ydx y x x yx y x y

xx x y ydy

dx y x y x

− + −⎛ ⎞+ = ⇔ =⎜ ⎟ +⎝ ⎠+ ++

+ +⇔ = −

+ −

Page 213: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 3ο 39

Άσκηση 2: Να οριστούν οι δεύτερες παράγωγοι 2

2

d ydx

των πεπλεγμένων συ-

ναρτήσεων, ορισμένες από τις ακόλουθες εξισώσεις:

2 3 3. 2 . 3 0

. (0 1) . 0. ( ) . 0

. 2

ax by

y x x

a yi x a ay y v x y axya

ii y y x vi e ciii x y x y vii y ye x

yiv y xx

τοξσυν

εημ ε

τοξεφ

−= − − + −

− = < < − =

= ≠ + − =

= 2 2 . 2viii x xy y a

=

2+ − =

Λύση

i. Παραγωγίζεται το αριστερό μέλος της εξίσωσης ως προς x και λαμβάνεται:

( )2 2

2 2 2

2

1 1 11 22 2

1

1 21 12 21

dy dya aa dx dxay ya y

a

dy dy a y dy adx dx dx ya ay y ay y

a

⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠ −−⎛ ⎞− − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

−⇔ = − ⇔ = −

− + −−

2

.

y ⇔

Παραγωγίζεται η τελευταία ισότητα ως προς x και λαμβάνεται: 2 2

2 2 22

2

2 2

1 2 2 12 22 1 1

.

d y a dy d y a adx ydx y dxa ay

y y

d y adx y

⎛ ⎞− −= ⇔ =⎜ ⎟

⎝ ⎠− −

−⇔ =

− ⇔

Άσκηση 3: Να υπολογιστεί ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτόμενης

στη γραφική παράσταση της καμπύλης η οποία έχει εξίσωση x2+y2=10y, στο σημείο τομής με την ευθεία x=3.

Λύση

Αρχικά υπολογίζεται το σημείο τομής, αφού λυθεί το ακόλουθο μη γραμμικό σύστημα:

2 2 2 2 2 1 ή 10 3 10 10 9 033 3 3

y yx y y y y y yxx x x

9= =+ = + = − + =⇔ ⇔ ⇔

== = =. Κατά συνέπεια τα ση-

μεία τομής είναι δυο: Α(3,1) και Β(3,9).

Εν συνεχεία παραγωγίζεται η εξίσωση x2+y2=10y ως προς x και λαμβάνεται, ότι: 2 2 10 2 10 2

5dy dy dy dy dy xx y y xdx dx dx dx dx y

−+ = ⇔ − = − ⇔ =

−.

α. Για το σημείο τομής Α(3,1)

(3,1) (3,1)

31 5 4

dy dydx dx

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇔ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 , άρα ο συντελεστής διεύθυνση είναι ο 3

4.

β. Για το σημείο τομής Β(3,9)

Page 214: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

40 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

(3,9) (3,9)

39 5 4

dy dydx dx

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇔ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠3− , άρα ο συντελεστής διεύθυνση είναι ο 3

4− .

Άσκηση 4: Να βρεθούν τα σημεία εκείνα της καμπύλης με εξίσωση x2+y2+2x-2y=2, στα οποία η εφαπτόμενη στη γραφική της παράσταση είναι παράλληλη με:

i. Τον άξονα Οx ii. Τον άξονα Oy.

Άσκηση 5: Να υπολογιστούν τα ακρότατα της συνάρτησης y=f(x) η οποία ορίζεται

από την εξίσωση x3+y3-3xy=0. 4.2. Πεπλεγμένη συνάρτηση πολλών ανεξάρτητων μεταβλητών 4.2.1. Βασικές έννοιες, ορισμοί και θεωρήματα

Ορισμός 3: Η συνάρτηση F(x,y,z)=0, στην οποία εμφανίζονται τρεις μεταβλητές, ορίζει τη μεταβλητή z ως πεπλεγμένη συνάρτηση των x και y, σε κάποια περιοχή Ν του επιπέδου, αν υπάρχει συνάρτηση z=f(x,y), ορισμένη στο Ν και να επαληθεύει τις ακόλουθες συνθήκες:

α) Για κάθε σημείο Β(x,y)∈N, το σημείο Α[x,y,f(x,y)] ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης F(x,y,z).

β) Για κάθε σημείο Β(x,y)∈N, ισχύει, ότι: F[x,y,f(x,y)]=0.

Με τρόπο ανάλογο με τον προαναφερόμενο, μπορεί να οριστεί και η πεπλεγ-μένη συνάρτηση πολλών μεταβλητών και συγκεκριμένα:

Ορισμός 4: Η εξίσωση F(x1,x2,…,xn)=0 προσδιορίζει μία εκ των μεταβλητών, για παράδειγμα την xn, σε εξάρτηση με τις άλλες μεταβλητές x1, x2,…,xn-1, δηλαδή xn=f(x1,x2,…,xn-1). Η τελευταία συνάρτηση λέγεται πεπλεγμένη συνάρτηση των x1, x2,…,xn, η οποία ορίζεται από την εξίσωση F(x1,x2,…,xn)=0.

Ο υπολογισμός των παραγώγων τέτοιων πεπλεγμένων συναρτήσεων γίνεται με τρόπο ανάλογο μ’ αυτόν της πεπλεγμένης συνάρτησης μιας μεταβλητής, μόνο που τώρα γίνεται αναφορά για μερικές παραγώγους πρώτης, δεύτερης, κ.τ.λ. τάξης των μεταβλητών x1, x2, x3,…,xn.

Θεώρημα: Έστω η συνάρτηση F(x,y)=F(x1,x2,…,xn,y) η οποία επαληθεύει τις ακόλουθες συνθήκες:

α) Υπάρχει περιοχή ενός σημείου Α(ξ1,ξ2,ξ3,…,ξn,η) για τα σημεία της οποίας οι συναρτήσεις F(x,y) και Fy΄(x,y) είναι συνεχείς.

β) F(ξ1,ξ2,ξ3,…,ξn,η)=0, Fy΄(ξ1,ξ2,ξ3,…,ξn,η)≠ 0.

Υπό αυτές τις συνθήκες, σε κάποια περιοχή του σημείου Α(ξ1,ξ2,ξ3,…,ξn,η), υπάρχει μοναδική συνάρτηση y=f(x1,x2,…,xn) η οποία είναι συνεχής, επαληθεύει την εξίσωση F[x1,x2,…,xn,f(x1,x2,…,xn)]=0 και για την οποία η= f(ξ1,ξ2,ξ3,…,ξn).

Αν εκτός αυτού σε μία περιοχή του σημείου Α(ξ1,ξ2,ξ3,…,ξn,η), η συνάρτηση F(x1,x2,…,xn,η) έχει συνεχείς μερικές παραγώγους

i

Fx∂∂

, (i=1, 2,…,n), τότε υπάρχουν

Page 215: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 3ο 41

της πεπλεγμένης συνάρτησης f(x1,x2,…,xn) συνεχείς μερικές παράγωγοι i

fx∂∂

, (i=1,

2,…,n), σε κάποια περιοχή του σημείο ξ(ξ1,ξ2,ξ3,…,ξn). Η δε μορφή αυτών των μερι-

κών παραγώγων αυτών είναι η ακόλουθη: i

i

FxfFxy

∂∂∂

= −∂∂∂

(i=1, 2,…,n).

Για παράδειγμα, αν n=3, τότε η εξίσωση θα έχει τη μορφή F(x,y,z)=0 και έστω z=f(x,y) να είναι πεπλεγμένη συνάρτηση των x και y, ορισμένη από την εξίσω-

ση F(x,y,z)=0. Τότε οι μερικές παράγωγοι zx∂∂

, zy∂∂

, 2

2

zx∂∂

, 2

2

zy∂∂

, 2z

x y∂∂ ∂

,…του z ως

προς x και ως προς y, ορίζονται αν παραγωγιθεί το αριστερό μέλος της εξίσωσης F(x,y,z)=0 ως προς x και ως προς y, αφού ληφθεί υπ’ όψιν, ότι το αριστερό μέλος της εξίσωσης αυτής εξαρτάτε από τα x και y, τόσο άμεσα, όσο και από την πεπλεγμένη συνάρτηση z=f(x,y).

Έτσι για τις πρώτες μερικές παράγωγοι λαμβάνονται οι ακόλουθες εξισώσεις:

0

0

x

z

y

z

Fz x

F΄zF F z Fxx F΄x z x z

F F z F F ΄zz yy z y y F΄

Fyz

∂⎧⎪∂ ∂= −⎪ ∂⎧∂ ∂ ∂ ∂⎧ ∂ = −⎪+ = ⎪⎪ ∂∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪ ⎪+ = = −∂ ∂∂ ∂ ∂⎪ ⎪ ⎪∂⎩ ⎩= −⎪ ∂∂⎪

∂⎩

Έστω για παράδειγμα, ότι η συνάρτηση F(x,y,z)= 0 ορίζεται με την εξίσωση συν2x+συν2y+συν2z=0. Τότε οι μερικές παράγωγοι ως προς x και ως προς y υπολογί-ζονται με τον ακόλουθο τρόπο:

22 2 0 2 2 02

z zx x z z x z z xx x x z

ημσυν ημ συν ημ ημ ημημ

∂ ∂ ∂− − = ⇔ − − = ⇔ = −

∂ ∂ ∂.

Με τρόπο ανάλογο βρίσκουμε, ότι 22

z yy z

ημημ

∂= −

∂.

Για τις μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης λαμβάνονται οι ακόλουθες εξισώσεις:

22 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2

22 2 2 2

2 2 2

2 0

0

2 0

F F z F z F zx x z x z x z xF F z F z F z z F z

x y x z y y z x z x y z x y

F F z F z F zy y z y z y z y

⎧∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎪ + + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎪⎪ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ + + + +⎨∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪⎪ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ + + + =⎜ ⎟⎪ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎩

=

Ορισμός 4: Πλήρες διαφορικό πρώτης τάξης της πεπλεγμένης συνάρτησης z=f(x,y), ορισμένη από την εξίσωση F(x,y,z)=0, λέγεται η εξίσωση:

0F F FdF dx dy dzx y z

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

=

Page 216: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

42 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Ορισμός 5: Πλήρες διαφορικό δεύτερης τάξης της πεπλεγμένης συνάρτησης z=f(x,y), ορισμένη από την εξίσωση F(x,y,z)=0, λέγεται η εξίσωση:

2 2 0Fd F dx dy dz F d Fx y z z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

=

4.2.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Να υπολογιστούν τα zx∂∂

και zy∂∂

των ακόλουθων εξισώσεων:

2 2 2

2 2 23 3

2 2 2

. 2 4 2 5 0 . 0

. 3 . + + =0

xi x y z x z iii e xyzx y zii z xyz a iva b c

− + − + − = − =

+ =

Λύση

Παραγωγίζονται οι δεδομένες εξισώσεις ως προς x και ως προς y και λαμβά-νονται τα ακόλουθα:

i. 22 4 (2 2) 01

z zx z xx x z∂ ∂ −

− + + = ⇔ =∂ ∂ +

και 24 (2 2) 01

z zy zy y z

y∂ ∂− + + = ⇔ =

∂ ∂ +.

Άσκηση 2: Να αποδειχτεί, ότι οι πεπλεγμένες συναρτήσεις ορισμένες με τις

εξισώσεις: 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

. 2 ( 1) 4 1 . 3( ). ( 2 ) 2 ( ) . ( 2 ). 5( ) . 0xy

i x y y z iv x y z x y zii x y x z xy v xz xz y x ziii x z xy y vi xe yz

+ = + − + + = + +

+ = + = − − +

+ = − − =

2

επαληθεύουν αντίστοιχα τις ακόλουθες εξισώσεις: 2 2

2 22 2 2 2

2 2

. 2 . ( ) ( )

. . ( )

. ( ) 0 . 2 0

z z z zi x y x y iv y z z x x yx y x yz z z zii x y z xy v x xz y zx y x yz z z ziii z z x x vi x y yx y x y

∂ ∂ ∂ ∂− = + − − = −

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

+ = − + + =∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + = − − =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂zy

Λύση

vi. Παραγωγίζεται η εξίσωση xexy-yz2=0 μερικός ως προς x και ως προς y και λαμβά-νονται τα ακόλουθα:

2 2

2 0(1)

2 0

xy xy

xy

ze xe y y zx

zx e z zyy

∂⎧ + − =⎪ ∂⎪⎨ ∂⎪ − − =

∂⎪⎩

και κατά συνέπεια:

Page 217: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 3ο 43

2 2

(1 )2

(2)

2

xy

xy

z e xyx yzz x e zy yz

⎧∂ +=⎪∂⎪

⎨∂ −⎪ =⎪∂⎩

. Από τη σχέση (2) και την εξίσωση xexy-yz2=0 λαμβάνεται, ότι:

( 12(3)

( 12

z z xy )

)x xz z xyy y

∂ +⎧ =⎪∂⎪⎨∂ −⎪ =∂⎪⎩

.

Παραγωγίζεται η πρώτη εξίσωση από το σύστημα εξισώσεων (1) ως προς x ενώ η δεύτερη ως προς y και λαμβάνονται τα ακόλουθα:

2 2

2(4) ( ) 2 0xy xy xy z zye y e xye y zx x

⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞+ + − + =⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ και

23

2(5) 2 2 0xy z z z zx e z z y yzy y y y

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂− − + + =⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

Από τις εξισώσεις (4) και (5) λαμβάνονται αντίστοιχα τα ακόλουθα: 22

2

1(6) ( 2) 22

xyz ze xyx z x

⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞= + −⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ και

223

2

1(7) 4 22

xyz zx e yy yz y y

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂= − −⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

z∂∂

Από τις εξισώσεις (6), (7) και (3) συνεπάγεται, ότι: 2

2 22 2

22 2

2 2

( 24(8)

( 24

z z x y xyx xz z x y xy

y y

⎧∂= +⎪∂⎪

⎨∂⎪ = −

⎪∂⎩

1)

3)

+

Από τις εξισώσεις (3) και (8) συνεπάγεται, ότι:

2 22 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 22 2 2 2 2 2

2 2

2 22 2

2 2

( 1)2 ( 2 1) ( 2 3) 224 4

2 (2 1 2 3 4 4)4

2 0.

z z z z z z xyx y y x x y xy y x y xy yy yx y x y

z z z zx y y xy x y x y xy xyyx y

z z zx y yyx y

∂ ∂ ∂ −− − = + − − − + −

∂∂ ∂

∂ ∂ ∂⇔ − − = + − − + − − + ⇔

∂∂ ∂

∂ ∂ ∂⇔ − − =

∂∂ ∂

το

οποίο και έπρεπε να αποδειχτεί.

Άσκηση 3: Να υπολογιστούν τα 2

2

zx∂∂

, 2z

x y∂∂ ∂

και 2

2

zy∂∂

για την πεπλεγμένη συ-

νάρτηση z=f(x,y) η οποία ορίζεται με την εξίσωση: 2 2 2

2 2 2 1 0x y ya β γ

+ + − =

Page 218: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

44 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Λύση Ψάχνουμε τα

i) 2 2 2( , , ) 0x y zdF x y z dx dy dza β γ

= + + = .

ii) 2 2 2 22 2 2 2

1 1 1( , , ) 0zd F x y z dx dy dz d za β γ γ

= + + + 2 = .

2 2

2 2 2 2 20x y z x ydx dy dz dz dx dya a

γ γβ γ β

+ + = ⇔ = − −z z

.

22 22 2 2

2 2 2 2 2 2

4 2 2 4 4 2 22 2

2 3 2 2 2 2 3 2 3 2 2

1 1 1 0

2 .

x y zdx dy dx dy d za a z z

x z xy y zd z dx dxdy dya z a a z z

γ γβ γ β γ

γ γ γγ β β β γ

⎛ ⎞+ + − − + = ⇔⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇔ = − + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

Αλλά είναι γνωστό, ότι: 2 2 2

2 22 2z z zd z dx dxdy dy

x x y y∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂ ∂

22

και τα dx, dy, dz

είναι τυχαίοι αριθμοί. Κατά συνέπεια λαμβάνεται, ότι: 2 4 2 2

22 2 3 2

z x zx a z a

γγ

⎛ ⎞∂ = − +⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠,

2 4

2 2 3

z xyx y a z

γβ

∂= −

∂ ∂ και

2 4 2

2 2 3 2

2

2

z y zy z

γβ β γ

⎛ ⎞∂= − +⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

.

Άσκηση 4: Δίνεται η εξίσωση: 2ημ(x+2y-3z)=x+2y-3z. Να αποδειχτεί, ότι:

1z zx y∂ ∂

+ =∂ ∂

.

4.3. Πεπλεγμένη συνάρτηση ορισμένη με σύστημα 4.3.1. Βασικές έννοιες, ορισμοί και θεωρήματα

Όταν αντί μιας εξίσωσης, η οποία περιέχει δυο ή περισσότερες μεταβλητές, δίνεται πλήθος εξισώσεων λαμβανόμενες ως σύστημα εξισώσεων, δύναται να ορίσουμε περισσότερες από μία πεπλεγμένες συναρτήσεις.

Απαραίτητη προϋπόθεση είναι ο αριθμός των μεταβλητών, που εμφανίζονται στο σύστημα αυτό των εξισώσεων να είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των εξισώ-σεων. Τότε ο αριθμός των πεπλεγμένων συναρτήσεων, οι οποίες ορίζονται από το σύστημα αυτό, είναι ίσος με τον αριθμό των εξισώσεων που δίνονται στο σύστημα αυτό.

Ορισμός 1: Έστω F(x,y,z) και G(x,y,z) να είναι δυο συναρτήσεις με κοινό πε-

δίο ορισμού Χ. Θα λέγεται, ότι το σύστημα ( , , ) 0( , , ) 0

F x y zG x y z

==

ορίζει τα y και z ως

πεπλεγμένες συναρτήσεις του x σε κάποιο σύνολο Δ πάνω στην ευθεία των πραγμα-τικών αριθμών, αν υπάρχουν δυο συναρτήσεις y=f(x) και z=g(x), ορισμένες στο σύνολο Δ, με τις ακόλουθες δυο προϋποθέσεις:

α) Για κάθε σημείο x∈Δ, το σημείο Α[x,f(x),g(x)]∈X.

β) Για κάθε σημείο x∈Δ, ισχύει, ότι: F[x,y,f(x),g(x)]=0 και G[x,y,f(x),g(x)]=0.

Page 219: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 3ο 45

Αν υποθέσουμε, ότι οι συναρτήσεις F(x,y,z) και G(x,y,z) έχουν όλες τις μερικές παραγώγους, που είναι απαραίτητες και ότι οι πεπλεγμένες συναρτήσεις y=f(x), z=g(x), επίσης είναι παραγωγίσιμες, τότε οι y΄, y΄΄, z΄, z΄΄ κ.τ.λ. υπολογίζονται με τον τρόπο που ακολουθεί.

Λαμβάνεται υπ’ όψιν, ότι μετά την αντικατάσταση των μεταβλητών y και z

στο σύστημα ( , , ) 0( , , ) 0

F x y zG x y z

==

, αντίστοιχα με τις πεπλεγμένες συναρτήσεις y=f(x) και

z=g(x), οι δυο εξισώσεις του συστήματος αυτού, οδηγούνται σε ισοδυναμίες τις οποίες παραγωγίζουμε και λαμβάνεται ότι:

0

0

F F Fy΄ z΄x y zG G Gy΄ z΄x y z

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

το οποίο αποτελεί ένα νέο σύστημα εξισώσεων. Αν για το νέο σύστημα εξισώσεων οι y΄ και z΄ ληφθούν σαν άγνωστοι, τότε το σύστημα αυτό είναι πρώτης δύναμης με δυο αγνώστους, το οποίο μπορούμε εύκολα να λύσουμε. Έτσι υπολογίζονται οι παράγω-γοι y΄ και z΄.

Αν θέλουμε να βρούμε τις παραγώγους y΄΄ και z΄΄, αντίστοιχα παραγωγίζουμε τις εξισώσεις του τελευταίου συστήματος και λαμβάνεται ένα νέο σύστημα με δυο εξισώσεις πρώτου βαθμού από το οποίο υπολογίζονται οι παράγωγοι y΄΄ και z΄΄.

Για παράδειγμα, έστω τα y και z να ορίζονται σαν πεπλεγμένες συναρτήσεις

του x, ορισμένες από το σύστημα 2 2 2

2y z xx y z+ =+ + =

. Παραγωγίζοντας κάθε εξίσωση λαμ-

βάνεται, ότι: 2 2 21 0 1

x yy΄yy΄ zz΄ x yy΄ zz΄ x y z

y΄ z΄ y΄ z΄ x yz΄y z

+=

+ = + = −⇔ ⇔

+ + = + = − += −

. Παραγωγίζουμε για ακόμη

μία φορά το τελευταίο σύστημα και έχουμε:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

2

2

2

x z x yy΄΄

y z

x y x zz΄΄

y z

+ += −

+ +=

.

Ορισμός 2: Έστω F(x,y,u,v) και G(x,y,u,v) να είναι δυο συναρτήσεις με

κοινό πεδίο ορισμού Χ Ε⊂ 4. Θα λέγεται, ότι το σύστημα ( , , , ) 0( , , , ) 0

F x y u vG x y u v

==

ορίζει τα u

και v ως πεπλεγμένες συναρτήσεις των x και y σε κάποια περιοχή Ν του επιπέδου, αν υπάρχουν δυο συναρτήσεις u=f(x,y) και v=g(x,y), ορισμένες στο σύνολο Ν με τις α-κόλουθες δυο προϋποθέσεις:

α) Για κάθε σημείο Α(x,y)∈Ν, το σημείο Β[x,y,f(x,y),g(x,y)]∈X. β) Για κάθε σημείο Α(x,y)∈Ν, ισχύει, ότι: F[x,y,f(x,y),g(x,y)]=0 και G[x,y,f(x,y),g(x,y)]=0. Η εύρεση των μερικών παραγώγων των προαναφερόμενων δυο πεπλεγμένων συναρτήσεων γίνεται με την παραγώγιση των δυο εξισώσεων του συστήματος

Page 220: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

46 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

( , , , ) 0( , , , ) 0

F x y u vG x y u v

==

, τα οποία, μετά την αντικατάσταση των u και v αντίστοιχα με f(x,y)

και g(x,y), μετατρέπονται σε ισοδυναμίες. Αφού παραγωγιθούν ως προς x, λαμβάνε-

ται, ότι: 0

0

F F u F vx u x v xG G u G vx u x v x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

=

. Εδώ οι άγνωστοι είναι οι μερικές παράγωγοι ux∂∂

και

vx∂∂

, οι οποίες εμπεριέχονται σε ένα σύστημα πρώτης τάξης με δυο αγνώστους και

έτσι η εύρεσή τους δεν θεωρείται δύσκολη εργασία.

Αναλόγως, αν το σύστημα ( , , , ) 0( , , , ) 0

F x y u vG x y u v

==

παραγωγιθεί ως προς y, λαμβάνε-

ται, ότι: 0

0

F F u F vy u y v yG G u G vy u y v y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

=

. Εδώ οι άγνωστοι είναι οι μερικές παράγωγοι uy∂∂

και

vy∂∂

, οι οποίες υπολογίζονται, όπως και οι μερικές παράγωγοι ux∂∂

και vx∂∂

.

Για παράδειγμα, έστω το σύστημα x y u vx uy v

ημημ

+ = +

=.

Παράγωγος ως προς x: ( )( )

( )

2

2

1

1

u v y uu vx y u vx x

u u u v v y u vvy v x v x x y u v

vημ ημ συνημ

συν ημ ημ συν ημημ ημ ημ

∂ +∂ ∂ == + ∂ +∂ ∂⇔

∂ ∂ −∂= − =∂ ∂ ∂ +

Παράγωγος ως προς y: ( )

( )( )

2 2

2

2 2 2

1u x v y uu vy y u vy y

x u u u v v y u x vvy v y v y y y u v

vημ ημ συημ

συν ημ

ν

ημ συν ημημ ημ ημ

∂ − +∂ ∂ == + ∂ +∂ ∂⇔

∂ ∂ +∂− = − =∂ ∂ ∂ +

4.3.2. Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Το σύστημα που ακολουθεί προσδιορίζει τα y και z ως πεπλεγμέ-

νες συναρτήσεις του x:3 2

3 2

3 02 0

x y z az y x b+ − + =

− − + =.

Να υπολογιστούν οι πρώτες παράγωγοι των y και z ως προς x.

Λύση

Υπολογίζονται για κάθε μία εξίσωση του συστήματος οι πρώτες παράγωγοι των y και z ως προς x και εν συνεχεία λύνεται το αντίστοιχο μη γραμμικό σύστημα με

αγνώστους τα dydx

και dzdx

. Συγκεκριμένα:

Page 221: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 3ο 47

22 2 2

2 22

3 2 3 02 1 6,

2 (2 ) 6 31 4 3 0

dy dzx ydy x z dz xdx dx

dy dz dx y z dx zy zdx dx

+ − =1− −

⇔ = =− −

− − + =

Άσκηση 2: Τα συστήματα που ακολουθούν προσδιορίζουν τα y και z ως

πεπλεγμένες συναρτήσεις του x: 3 3

2 2 2 2 2 22 2

3 3 3

3 12 0. . 32 0

10

.

x y z ax by cz mi iii

a x b y c z nz y x

x y z aii

x y z bσυν συν συν

+ − + = + + =

+ + =− − + =

+ + =

+ + =

Να υπολογιστούν οι πρώτες παράγωγοι των y και z ως προς x σε κάθε μία από τις προαναφερόμενες περιπτώσεις συστήματος εξισώσεων.

Άσκηση 3: Τα σύστημα που ακολουθούν προσδιορίζουν τα y και z ως

πεπλεγμένες συναρτήσεις του x: 3 3 3

3 3 3

13 0. .

2 1x y zx y z xyz

i iix y z x y z

συν συν συν+ + =+ + − =+ + = + + =

Να υπολογιστούν οι πρώτες παράγωγοι των y και z ως προς x σε κάθε μία από της προαναφερόμενες περιπτώσεις συστήματος εξισώσεων.

Page 222: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο
Page 223: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Δρ. Σάλτας Βασίλειος

Καβάλα 2011

Μαθηματικά Ι

Βοήθημα για λύση ασκήσεων

Μέρος 4ο

1. Θεωρία συνόλων

2. Διπλό ολοκλήρωμα

3. Διαφορικές εξισώσεις

4. Μιγαδικοί αριθμοί

5. Γραμμική άλγεβρα

Page 224: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Κεφάλαιο 1

Θεωρία συνόλων

1.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό αφορά κατά βάση την πολλαπλή ολοκλήρωση και συνδέεται άμεσα με την έννοια του πολυγωνικού σχήματος, έννοια που είναι απαραίτητη για τον υπολογισμό διπλών, τριπλών, επικαμπύλιων και επιφανειακών ολοκληρωμάτων, όπως θα δούμε και στα επόμενα τέσσερα κεφάλαιο του 1ου Μέρους του βιβλίου.

Στο κεφάλαιο αυτό θα δείξουμε ότι είναι δυνατή η επέκταση του γνωστού από την γεω-μετρία – επιπεδομετρία όρου «εμβαδόν» και για το γενικότερο υπολογισμό του εμβαδού πολυγωνικών σχημάτων. Κάτι ανάλογο θα γίνει και για το στερεομετρικό όρο «όγκος».

Θα πρέπει να πούμε ότι οι προαναφερθείσες δύο βασικές διευρύνσεις αρχικά υλοποιήθη-καν και εδραιώθηκαν κυρίως από τους μαθηματικούς Giuseppe και Camille.

1.2 Βασικές έννοιες της θεωρία συνόλων Οι έννοιες που θα ορίσουμε στη συνέχεια, και οι οποίες θεωρούνται απαραίτητες για την ομαλή και ολοκληρωμένη απόδοση της θεωρίας σχετικά με την πολλαπλή ολοκλήρωση, αναφέρονται στο επίπεδο, αλλά όπως θα δούμε σε σχετική ενότητα του κεφαλαίου αυτού μπορούν να γενικευτούν για οποιονδήποτε Ευκλείδειο χώρο ( )3 4, ,..., nE E E .

Ορισμός 1: Το σύνολο το οποίο αποτελείται από σημεία του επιπέδου ή του χώρου, ονο-μάζεται σημειοσύνολο. Συμβολίζεται με ένα ελληνικό ή λατινικό κεφαλαίο γράμμα (Α, Β, Γ,…,Ω ή , , ,...,A B C Z ). Σε συντομία θα αναφέρεται απλώς ως σύνολο.

Ορισμός 2: Αν ένα σημείο του συνόλου Α δεν περιέχει σημεία, τότε το σύνολο αυτό ο-νομάζεται κενό σύνολο. Συμβολίζεται με ∅ ή .

Ορισμός 3: Θεωρούμε δύο σύνολα Α και Β. Αν κάθε σημείο του συνόλου Α ανήκει και στο σύνολο Β, τότε λέμε ότι το σύνολο Α είναι υποσύνολο του Β. Αυτό συμβολίζεται με το Α Β. Η περίπτωση αυτή απεικονίζεται στο Σχήμα 1. ⊂

Ορισμός 4: Έστω δύο σύνολα Α και Β. Τα κοινά σημεία των δύο αυτών συνόλων αποτε-λούν ένα νέο σύνολο το οποίο ονομάζεται τομή των συνόλων Α και Β. Αυτό συμβολίζε-ται ως Γ=Α Β. Η περίπτωση αυτή απεικονίζεται στο Σχήμα 2. ∩

Ορισμός 5: Έστω δύο σύνολα Α και Β. Τα σημεία τα οποία ανήκουν σε τουλάχιστον ένα από τα δύο αυτά σύνολα αποτελούν ένα νέο σύνολο το οποίο ονομάζεται ένωση των συ-

Page 225: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 19

νόλων Α και Β, και συμβολίζεται ως Δ=Α Β. Η περίπτωση αυτή απεικονίζεται στο Σχήμα 3.

Ορισμός 6: Έστω δύο σύνολα Α και Β. Το σύνολο το οποίο αποτελείται από τα σημεία εκείνα του συνόλου Α που δεν ανήκουν στο Β ονομάζεται διαφορά των συνόλων Α και Β, και συμβολίζεται ως Ε=Α-Β ή Ε=Α/Β. Η περίπτωση αυτή απεικονίζεται στο Σχήμα 4.

A

B

Σχήμα 1

Γ BA

Σχήμα 2

A

Σχήμα 3

B

Ε

A

Σχήμα 4.

ΖA B

Σχήμα 5

Page 226: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

20 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Παρατήρηση 1: Μπορεί να οριστεί και το σύνολο Ζ=Β-Α (ή Ζ=Β/Α) το οποίο θα αποτε-λείται από τα σημεία εκείνα του Β που δεν ανήκουν στο Α (Σχήμα 5).

Παρατήρηση 2: Η ύπαρξη του κενού συνόλου εξασφαλίζει την ύπαρξη τόσο της τομής Γ, όσο και της διαφοράς Ε (ή Ζ) δύο συνόλων Α και Β.

Παρατήρηση 3: Στη συνέχεια του κειμένου, σε περιπτώσεις όπου ζητείται ο υπολογι-σμός κάποιου εμβαδού σχήματος – σημειοσυνόλου, τότε τόσο το σύνολο Γ όσο και το Ε (ή το Ζ) πρέπει να είναι διαφορετικά από το κενό σύνολο. Σε αντίθετη περίπτωση δεν υφίσταται ο όρος «εμβαδόν» σχήματος.

1 2, ,..., nΑ Α ΑΟρισμός 7: Έστω πεπερασμένος αριθμός συνόλων . Το σύνολο Α ονομάζε-ται ένωση των συνόλων ( ) αν περιέχει τα σημεία τα οποία ανήκουν σε τουλάχιστον ένα από τα n αυτά σύνολα. Αυτό γράφεται ως εξής:

1, 2,...,i = niΑ

1

n

ii=

Α = ΑU .

Ορισμός 8: Έστω πεπερασμένος αριθμός συνόλων Α

1, Α ,…Α2 n. Το σύνολο Α ονομάζε-ται τομή των συνόλων ( ) αν περιέχει τα κοινά σημεία των n αυτών συνό-λων. Αυτό γράφεται ως εξής:

1, 2,...,i = niΑ

1

n

ii=

Α = ΑI .

Ορισμός 9: Το σύνολο των σημείων ενός συνόλου Α τα οποία βρίσκονται περιμετρικά, δηλαδή στην περιφέρειά του, ονομάζεται περίγραμμα του συνόλου Α και συμβολίζεται ως ΚΑ.

Θεώρημα 1: Έστω δύο σύνολα Α και Β με ΚΑ και ΚΒ να είναι τα περιγράμματά τους αντίστοιχα. Με Κ συμβολίζουμε την ένωση των δύο αυτών περιγραμμάτων, δηλαδή Κ=Κ ∪ΚΑ Β. Με Κ1 συμβολίζουμε το περίγραμμα της ένωσης Δ των δύο συνόλων Α και Β (Σχήμα 6). Με Κ2 συμβολίζουμε το περίγραμμα της τομής Γ των δύο συνόλων Α και Β (Σχήμα 7). Τέλος, με Κ3 συμβολίζουμε το περίγραμμα της διαφοράς Ε των δύο συνόλων Α και Β (Σχήμα 8). Τότε ισχύει ότι:

⊂K i) K1

⊂K ii) K2

⊂K iii) K3

A B

Δ

Page 227: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 21

Σχήμα 6

A B

Γ

Σχήμα 7

A B

E

Σχήμα 8

Το σημείο αυτό δεν είναι εσωτερικό σημείο ούτε για το σύνολο Α αλλά ούτε για το Β. Αυτό συμβαίνει για τον ακόλουθο λόγο: αν υποθέσουμε ότι είναι εσωτερικό σημείο για το Α, τότε θα έχει περιοχή η οποία θα αποτελείται εξολοκλήρου από σημεία τα οποία θα ανήκουν στο Α, και συνεπώς και στο Δ. Το τελευταίο σημαίνει ότι το σημείο Χ θα είναι εσωτερικό και για το Δ, πράγμα άτοπο. Το ίδιο θα συνέβαινε και αν ήταν το σημείο Χ ήταν εσωτερικό για το σύνολο Β. Κατά συνέπεια το Χ είναι εξωτερικό για το Δ ή περιφε-ρειακό σημείο, δηλαδή ανήκει στο περίγραμμά του.

Υποθέτουμε ότι το σημείο Χ είναι εξωτερικό σημείο τόσο για το Α όσο και για το Β. Τό-τε θα έχει περιοχή Α΄ η οποία θα αποτελείται μόνο από σημεία τα οποία δεν ανήκουν στο Α. Επίσης θα έχει περιοχή Β΄ η οποία θα αποτελείται μόνο από σημεία τα οποία δεν ανή-κουν στο Β.

Με τον τρόπο αυτό, η μικρότερη από τις δύο αυτές περιοχές Α΄ και Β΄ θα αποτελείται από σημεία τα οποία δεν ανήκουν ούτε στο Α, αλλά ούτε και στο Β. Το τελευταίο σημαί-νει ότι το σημείο Χ είναι εξωτερικό για το σύνολο Δ, το οποίο είναι άτοπο.

Συνεπώς το σημείο Χ πρέπει να ανήκει στο περίγραμμα ενός από τα σύνολα Α και Β, δη-λαδή ανήκει στο σύνολο Κ=Κ ∪ ⊂Κ. Κ

Α Β (Σχήμα 6). Έτσι αποδείξαμε ότι Κ1

Page 228: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

22 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

1.3 Μέτρο συνόλου Στην επιπεδομετρία ορίζεται ο όρος «πολύγωνο». Ο όρος αυτός μπορεί να χρησιμοποιη-θεί, αλλά με κάποιες επιπρόσθετες διευκρινήσεις και στη θεωρία που θα αναπτύξουμε στο 1ο Μέρος αυτού του βιβλίου.

Ορισμός 10: Πολυγωνικό σχήμα ονομάζεται κάθε σύνολο του επιπέδου το οποίο ή είναι πολύγωνο, ή μπορεί να ληφθεί ως ένωση πεπερασμένου αριθμού πολυγώνων.

Παρατήρηση 4: Ο Ορισμός 10 επιτρέπει να θεωρήσουμε πολύγωνα κάποια σχήματα τα οποία δεν είναι αποδεκτά ως πολύγωνα από τη γεωμετρία. Για παράδειγμα, το Σχήμα 9 είναι πολυγωνικό σχήμα και κατά την επιπεδομετρία και κατά τον Ορισμό 10. Όμως το Σχήμα 10 είναι πολύγωνο με βάση τον Ορισμό 10, αλλά δεν ισχύει το ίδιο και για τη γε-ωμετρία. Σχετικά με το τελευταίο, το Σχήμα 10 αποτελείται από τουλάχιστον δύο διαφο-ρετικά πολύγωνα, όπως για παράδειγμα τα ΑΒΓΗ και ΓΗΖΕΔ.

Παρατήρηση 5: Το γραμμοσκιασμένο σχήμα του Σχήματος 11 είναι και αυτό πολυγωνι-κό σχήμα με βάση τον Ορισμό 10.

Παρατήρηση 6: Το κενό σύνολο μπορεί να θεωρηθεί και αυτό πολυγωνικό σχήμα.

Όπως είναι γνωστό και από την επιπεδομετρία, μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός πολυγώνου είτε άμεσα είτε έμμεσα, αφού πρώτα το διαιρέσουμε σε άλλα γνωστά πολύγωνα τα οποία δεν έχουν μεταξύ τους κοινά σημεία, εκτός από κάποια περιφερειακά σημεία.

Το εμβαδόν το συμβολίζουμε συνήθως με Ε ή S ή S(Α), όπου Α είναι το πολυγωνικό σχήμα, για παράδειγμα το ΑΒΓΔΕΖ του Σχήματος 9. Με βάση την παρατήρηση 6, το κε-νό σύνολο έχει εμβαδόν ίσο με 0.

Συμπερασματικά αναφέρουμε ότι η ένωση δύο πολυγωνικών σχημάτων είναι με τη σειρά της ένα πολυγωνικό σχήμα (Σχήμα 11).

Ορισμός 11: Αν Ρ είναι ένα σημειοσύνολο του επιπέδου, τότε εσωτερικό του συνόλου αυτού λέγεται το σύνολο όλων των εσωτερικών σημείων του Ρ, χωρίς τα περιφερειακά του σημεία (Σχήμα 12).

Α

Σχήμα 9 Σχήμα 10 Σχήμα 11

Η Β

Γ Δ

Ε

Ζ Β Γ

Α

Δ Ζ

Ε

Page 229: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 23

Ρ

Σχήμα 12 Σχήμα 13

Ορισμός 12: Έστω Ρ ένα φραγμένο σύνολο σημείων του επιπέδου. Ένα πολυγωνικό σχήμα Α ονομάζεται εγγεγραμμένο στο Ρ αν, μαζί με το περίγραμμά του, ανήκει στο ε-σωτερικό του συνόλου Ρ (Σχήμα 13).

Ορισμός 13: Έστω Ρ ένα φραγμένο σύνολο σημείων του επιπέδου. Ένα πολυγωνικό σχήμα Β ονομάζεται περιγεγραμμένο γύρω από το Ρ αν, μαζί με το περίγραμμά του, πε-ριέχει το σύνολο Ρ (Σχήμα 14).

Αφού το σύνολο Ρ θεωρείται εξ επιλογής φραγμένο, θα υπάρχει κάποιο πολύγωνο γύρω από το Ρ. Από την άλλη πλευρά, το κενό σύνολο, το οποίο περιέχεται σε κάθε άλλο σύ-νολο, θα είναι εγγεγραμμένο στο πολυγωνικό σχήμα – σύνολο Ρ. Εξαιτίας αυτού του γε-γονότος μπορούμε να μιλάμε για εγγεγραμμένο και περιγεγραμμένο πολυγωνικό σχήμα όποιο και να είναι το φραγμένο σύνολο Ρ.

Ορισμός 14: Θεωρούμε το σύνολο όλων των εμβαδών των πολυγωνικών σχημάτων που είναι περιγεγραμμένα γύρω από το Ρ. Το σύνολο αυτό αποτελείται από θετικούς αριθ-μούς, συνεπώς είναι φραγμένο από κάτω. Το ακριβώς κάτω φράγμα του συνόλου αυτού ονομάζεται άνω μέτρο του Ρ. Αυτό συμβολίζεται με

Ρ Α

( )μ Ρ .

Ρ Β

Σχήμα 14

Page 230: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

24 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Ορισμός 15: Θεωρούμε το σύνολο όλων των εμβαδών των πολυγωνικών σχημάτων που είναι εγγεγραμμένα στο Ρ. Το σύνολο είναι φραγμένο από επάνω, επειδή το κάθε τέτοιο εμβαδόν είναι μικρότερο, για παράδειγμα, από το εμβαδόν του προαναφερθέντος πολυ-γώνου το οποίο εμπεριέχει το σύνολο Ρ. Το ακριβώς άνω φράγμα του συνόλου αυτού ο-νομάζεται κάτω μέτρο του Ρ, και συμβολίζεται με το ( )μ Ρ .

Θεωρούμε τυχαίο πολυγωνικό σχήμα Α εγγεγραμμένο στο σύνολο Ρ, και τυχαίο πολυγω-νικό σχήμα Β περιγεγραμμένο γύρω από το Ρ. Τότε το πολυγωνικό σχήμα Α θα είναι εγ-γεγραμμένο και στο πολυγωνικό σχήμα Β. Κατά συνέπεια, με βάση την επιπεδομετρία, το εμβαδόν του Α θα είναι μικρότερο από το εμβαδόν του Β, δηλαδή θα ισχύει S(A)<S(B).

Αν θεωρήσουμε τυχαίο το πολυγωνικό σχήμα Β, τότε η τελευταία ανισότητα ισχύει για κάθε πολυγωνικό σχήμα Α το οποίο είναι εγγεγραμμένο στο Ρ, γεγονός που συνεπάγεται ότι ( ) ( )S Bμ Ρ ≤ .

Το πολυγωνικό σχήμα Β είναι τυχαία περιγεγραμμένο γύρω από το Β. Τότε από την ανι-σότητα ( ) ( )μ μΡ ≤ Ρ( ) ( )S Bμ Ρ ≤ συνεπάγεται ότι .

Ορισμός 16: Ένα επίπεδο σημειοσύνολο Ρ λέγεται μετρήσιμο αν ισχύει ότι ( ) ( )μ μΡ = Ρ .

( )μ Ρ για την οποία Ορισμός 17: Αν το σύνολο Ρ είναι μετρήσιμο, τότε η τιμή ( ) ( ) ( )μ μ μΡ = Ρ = Ρ ονομάζεται μέτρο του συνόλου Ρ.

Παρατήρηση 7: Όταν δίνεται ένα πολυγωνικό σχήμα Ρ του επιπέδου, τότε υπάρχει τόσο εγγεγραμμένο σε αυτό πολυγωνικό σχήμα, όσο και περιγεγραμμένο. Τα δε εμβαδά των σχημάτων αυτών μπορούμε να τα κάνουμε να διαφέρουν από το εμβαδόν του δεδομένου πολυγωνικού σχήματος Ρ όσο λίγο επιθυμούμε εμείς.

Παρατήρηση 8: Για κάθε μετρήσιμο πολυγωνικό σχήμα Ρ του επιπέδου, το μέτρο του ( ) ( )Sμ Ρ = Ρ( )μ Ρ είναι στην ουσία το εμβαδόν του S(Ρ), δηλαδή . Έτσι οι έννοιες του

μέτρου συνόλου Ρ και του εμβαδού πολυγωνικού σχήματος Ρ είναι ταυτόσημες.

Όπως είναι γνωστό και από την επιπεδομετρία, το εμβαδόν ενός πολυγώνου δεν μετα-βάλλεται αν αυτό υποβληθεί σε κάποια μετατόπιση πάνω στο επίπεδο σχεδίασης. Το ίδιο συμβαίνει και γενικότερα για τα πολυγωνικά σχήματα Ρ, επομένως και για το μέτρο του συνόλου Ρ, δηλαδή το ( )μ Ρ .

Επίσης είναι γνωστό ότι το εμβαδόν ενός πολυγώνου είναι θετικός αριθμός, κάτι που ι-σχύει και για το μέτρο του μετρήσιμου συνόλου σημείων Ρ, και συγκεκριμένα ( ) 0μ Ρ ≥ .

Θεώρημα 2: Ένα σύνολο Ρ έχει μέτρο ίσο με το μηδέν αν, για κάθε ε > 0, μπορεί να βρεθεί πολυγωνικό σχήμα τέτοιο ώστε να είναι περιγεγραμμένο γύρω από το Ρ και να έχει εμβαδόν μικρότερο από ε.

( )μ ΡΘεώρημα 3: Για κάθε υποσύνολο Ρ του συνόλου Ρ για το οποίο =0, θα ισχύει ότι 1

1( )μ Ρ =0.

Page 231: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 25

Θεώρημα 4: Η ένωση πεπερασμένου αριθμού συνόλων με μέτρο ίσο με το 0 αποτελεί σύνολο το οποίο θα έχει και αυτό μέτρο ίσο με το 0, δηλαδή αν ( )iμ Ρ = 0, (για

), και , τότε 1, 2,...,i n=1Pn

ii=Ρ =U ( )μ Ρ = 0.

( )y f x=Παρατήρηση 9: Αν θεωρήσουμε μια θετική και συνεχή συνάρτηση σε πεπε-ρασμένο και κλειστό διάστημα [ ],a β , τότε το σύνολο Ρ, το οποίο περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης ( )y f x=fC της συνάρτησης , του άξονα x΄x, και των ευ-θειών x β=x a= , (Σχήμα 15) είναι ένα μετρήσιμο σύνολο. Στην περίπτωση αυτή, ό-πως είναι γνωστό, για να ορίσουμε το εμβαδόν του Ρ υπολογίζουμε το ορισμένο ολοκλή-ρωμα της ( )f x

με όρια τα καιa β , δηλαδή υπολογίζουμε το

( ) ( )a

S P f x dxβ

= ∫ .

Αυτό στην ουσία δεν είναι τίποτα άλλο από το μέτρο του συνόλου Ρ. Συνεπώς μπορούμε να γράψουμε ότι:

( ) ( )a

P f x dβ

μ = ∫ .x

Παρατήρηση 10: Επισημαίνουμε ότι, σε αντιδιαστολή με όσα αναφέρουμε σε σχετική ενότητα του βιβλίου «Μαθηματικά Ι: Θεωρία και Πράξη», (Δρ. Σάλτας Βασίλειος, «Γκιούρδας Εκδοτική», Αθήνα 2007, Σελίδα 231), όπου ορίζεται το ορισμένο ολοκλή-ρωμα και τα εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα πολύγωνα, στη συγκεκριμένη

περίπτωση για τα πολυγωνικά σχήματα πρέπει να διασφαλίζονται οι προϋποθέσεις που αναφέραμε σε αυτό το κεφάλαιο του παρόντος βιβλίου, οι οποίες δεν διαφέρουν τελικά κατά πολύ.

y fC

Ρ

x΄ O β x a

y΄ Σχήμα 15

1.4 Συνθήκη μετρησιμότητας συνόλου Στην ενότητα αυτή αρχικά θα δώσουμε και θα αποδείξουμε τόσο την αναγκαία συνθήκη για να είναι ένα σύνολο Ρ μετρήσιμο, όσο και την ικανή συνθήκη. Η ολοκλήρωση της

Page 232: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

26 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

μετρησιμότητας ενός σημειοσυνόλου Ρ θα υλοποιηθεί με τη διατύπωση και απόδειξη βα-σικών σχετικών θεωρημάτων.

Αναγκαία συνθήκη μετρησιμότητας ενός συνόλου Ρ: Έστω ένα μετρήσιμο σύνολο Ρ. Θεωρούμε θετικό αριθμό ε για τον οποίο μπορεί να βρεθεί πολυγωνικό σχήμα Α εγγε-γραμμένο στο Ρ, του οποίου το εμβαδόν να επαληθεύει τη σχέση

( ) ( )2

S εμΑ > Ρ − .

Αναλόγως, θεωρούμε θετικό αριθμό ε για τον οποίο μπορεί να βρεθεί πολυγωνικό σχήμα Β περιγεγραμμένο γύρω από το Ρ του οποίου το εμβαδόν να επαληθεύει τη σχέση

( ) ( )2

S εμΒ < Ρ − .

Επισημαίνουμε ότι η ύπαρξη των πολυγωνικών σχημάτων Α και Β διασφαλίζεται από τον ορισμό του ακριβούς άνω και ακριβούς κάτω φράγματος για το σύνολο των πραγματικών θετικών αριθμών R+.

( ) ( )μ μΡ = ΡΑφού το σύνολο Ρ είναι μετρήσιμο, αυτό συνεπάγεται ότι . Από αυτό, και με βάση τις δύο προηγούμενες ανισοτικές σχέσεις, παίρνουμε την ακόλουθη σχέση εμβα-δών: S(B) - S(A) < ε.

Η τελευταία ανισότητα δηλώνει ότι, για κάθε ε > 0, υπάρχουν πολυγωνικά σχήματα Α και Β με το πρώτο να είναι εγγεγραμμένο στο σύνολο Ρ, ενώ το δεύτερο να είναι περιγε-γραμμένο γύρω από το σύνολο αυτό, για τα οποία S(B) - S(A) < ε.

Ικανή συνθήκη μετρησιμότητας ενός συνόλου Ρ: Για το δεδομένο φραγμένο επίπεδο σύνολο Ρ, ισχύει ότι για κάθε επιλογή ενός θετικού αριθμού ε υπάρχουν πολυγωνικά σχήματα Α και Β με το πρώτο να είναι εγγεγραμμένο στο σύνολο Ρ, ενώ το δεύτερο να είναι περιγεγραμμένο γύρω από το σύνολο αυτό. Για τα δε εμβαδά τους S(Α) και S(Β) ισχύει ότι ( ) ( ) ( ) ( )S μ μ SΑ ≤ Ρ ≤ Ρ ≤ Β , από το οποίο συνεπάγεται ότι 0 ( ) ( ) ( ) ( )S Sμ μ ε≤ Ρ − Ρ ≤ Β − Α < .

( ) ( )μ μ εΡ − Ρ <Όμως ο αριθμός ε είναι τυχαίος θετικός αριθμός, επομένως η σχέση ισχύει μόνο στην περίπτωση όπου ( ) ( ) 0μ μΡ − Ρ = ( ) ( )μ μΡ = Ρ, δηλαδή . Με άλλα λό-για, ισχύει όταν το σύνολο Ρ είναι μετρήσιμο.

Θεώρημα 5: Αν Ρ είναι ένα μετρήσιμο σύνολο τότε το περίγραμμά του έχει μέτρο ίσο με το μηδέν, και αντιστρόφως.

Σχήμα 16

Β Α

Ζ

Ρ

Page 233: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 27

Θεώρημα 6: Η ένωση πεπερασμένου αριθμού μετρήσιμων συνόλων είναι επίσης μετρή-σιμο σύνολο.

Θεώρημα 7: Η τομή πεπερασμένου αριθμού μετρήσιμων συνόλων είναι επίσης μετρήσι-μο σύνολο.

Θεώρημα 8: Η διαφορά δύο μετρήσιμων συνόλων είναι επίσης μετρήσιμο σύνολο.

Θεώρημα 9: Η γραφική παράσταση κάθε συνάρτησης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής

( )f x , η οποία είναι συνεχής σε πεπερασμένο και κλειστό διάστημα [ ],a β , είναι μετρή-σιμο σύνολο με μέτρο ίσο με το μηδέν.

1.5 Βασικές ιδιότητες του μέτρου συνόλου Όπως είναι γνωστό, οι Peano και Jordan ήταν από τους βασικότερους που ασχολήθηκαν με τη θεωρία των συνόλων. Στην ενότητα αυτή θα αποδείξουμε κάποιες βασικές ιδιότη-τες και θεωρήματα σχετικά με το μέτρο ενός μετρήσιμου συνόλου Ρ, δηλαδή το ( )μ Ρ .

Θεώρημα 10: Έστω Ρ1 και Ρ2 δύο μετρήσιμα σύνολα για τα οποία ισχύει ότι , δηλαδή έχουν μόνο περιφερειακά κοινά σημεία. Τότε θα ισχύει ότι:

1 2Ρ ∩Ρ =∅

( )1 2 1 2( ) ( )μ μΡ ∪Ρ = Ρ + Ρμ .

Παρατήρηση 11: Το θεώρημα 10 μπορεί να γενικευτεί και για πεπερασμένο αριθμό με-τρήσιμων συνόλων. Συγκεκριμένα, αν Ρ1, Ρ2,…, Ρn είναι n μετρήσιμα σύνολα για τα ο-ποία , τότε θα ισχύει ότι:

1( ) ( )n

iiμ μ

=Ρ = Ρ∑1

nii=

Ρ = ΡU .

1Ρ ⊂ ΡΘεώρημα 11: Αν Ρ1 και Ρ2 είναι δύο μετρήσιμα σύνολα για τα οποία 2 τότε ,

1 2( ) ( )μ μΡ ≤ Ρ . Παρατήρηση 12: Το Θεώρημα 11 μπορεί επίσης να γενικευτεί για πεπερασμένο αριθμό

μετρήσιμων συνόλων, και να πούμε ότι: αν 1

n

ii=

Ρ = ΡU 1( ) ( )n

iiμ μ

=Ρ ≤ Ρ∑, τότε .

Θεώρημα 12: Αν Ρ και Ρ1 2 είναι δύο μετρήσιμα σύνολα, τότε θα ισχύει ότι:

( )1 2 1 2( ) ( )μ μΡ ∪Ρ ≤ Ρ + Ρμ .

1.6 Σύνολο στο χώρο 1.6.1 Βασικές έννοιες και ορισμοί Μέχρι τώρα έχουμε παρουσιάσει τον ορισμό και τις σχετικές ιδιότητες του μέτρου συνό-λου στο επίπεδο. Κάτι ανάλογο μπορεί να διατυπωθεί και για το μέτρο ενός συνόλου στο χώρο. Το τελευταίο σχετίζεται άμεσα με τον όρο «όγκος στερεού».

Ορισμός 18: Ο όγκος στερεού στη γεωμετρία, και συγκεκριμένα στη στερεομετρία, υπο-λογίζεται για προκαθορισμένα τρισδιάστατα σχήματα – στερεά σώματα, τα οποία είναι τα ακόλουθα: κύβος, ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, κύλινδρος, πυραμίδα, κώνος και σφαίρα, τα οποία ονομάζουμε απλά στερεά ή στερεά.

Page 234: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

28 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Ορισμός 19: Πολύεδρο σχήμα ονομάζεται το στερεό το οποίο είναι αποτέλεσμα της έ-νωσης πεπερασμένου αριθμού άλλων απλών στερεών.

Στην ενότητα αυτή, το πολύεδρο σχήμα θα αποτελείται από πολύεδρα στερεά σχήματα τα οποία θα είναι εγγεγραμμένα ή περιγεγραμμένα σε ένα δεδομένο τρισδιάστατο σύνολο. Τότε το μέτρο συνόλου στο χώρο, το οποίο λαμβάνεται με βάση τα παραπάνω, διασφαλί-ζει τις ίδιες προϋποθέσεις με εκείνες του μέτρου συνόλου στο επίπεδο.

)Ορισμός 20: Ανοικτό n–διάστατο ορθογώνιο ονομάζεται το σύνολο των σημείων

( 1 2, ,..., nX x x x του n–διάστατου χώρου, οι συντεταγμένες των οποίων ικανοποιούν τις ακόλουθες διπλές ανισώσεις: a x , i i ib< < 1,2,...,i n= .

Ορισμός 21: Κλειστό n–διάστατο ορθογώνιο ονομάζεται το σύνολο των σημείων ( )X 1 2, ,..., nx x x n

b≤ ≤ 1,2,...,i n του –διάστατου χώρου, οι συντεταγμένες των οποίων ικανοποιούν τις

ακόλουθες διπλές ανισώσεις: a x , i i i = .

Ορισμός 22: Στοιχειώδες n–διάστατο σχήμα ονομάζεται η ένωση πεπερασμένου αριθ-μού ορθογωνίων.

Παρατήρηση 13: Στο δισδιάστατο χώρο, το ορθογώνιο είναι ουσιαστικά το κλασικό γε-ωμετρικό σχήμα με πλευρές παράλληλες στους δύο άξονες συντεταγμένων x΄x και y΄y.

Παρατήρηση 14: Στον τρισδιάστατο χώρο, το στερεό είναι ορθογώνιο ή πλάγιο παραλ-ληλεπίπεδο με έδρες παράλληλες προς τα επίπεδα συντεταγμένων Oxy, Oxz, και Oyz.

Παρατήρηση 15: Αντί του πολυγωνικού σχήματος χρησιμοποιούμε το στοιχειώδες σχή-μα χωρίς ουσιαστικές διαφορές με αυτά που αναφέρονται στις ενότητες 1.3, 1.4, και 1.5 του κεφαλαίου αυτού.

1.6.2 Μέτρο συνόλου στο χώρο Στο χώρο μπορούμε να θεωρήσουμε το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz και ένα σύνολο Ρ το οποίο να είναι μετρήσιμο στο επίπεδο Oxy. Θεωρούμε επίπεδο p το οποίο να είναι παράλληλο με το επίπεδο Oxy και τοποθετημένο σε απόσταση d από αυτό. Κατά συνέπεια, το επίπεδο p έχει την ακόλουθη εξίσωση: z = d, με d > 0.

Από κάθε σημείο του συνόλου Ρ κατασκευάζουμε ευθείες παράλληλες με τον άξονα Oz. Επομένως οι ευθείες αυτές θα είναι κάθετες προς το επίπεδο Oxy. Τότε τα ευθύγραμμα τμήματα που βρίσκονται μεταξύ των επιπέδων p και Oxy θα σχηματίζουν ένα κυλινδρο-ειδές στερεό , όπως φαίνεται και στο Σχήμα 17. D

Το στερεό είναι σε τελική ανάλυση μετρήσιμο, και για το τρισδιάστατο πλέον μέτρο του

D( )Dμ ( ) . ( )D dμ μ= Ρ ( )μ Ρ θα ισχύει ότι: , όπου είναι το δισδιάστατο μέτρο του

επιπέδου Ρ, δηλαδή το εμβαδόν του, και d 0 είναι η απόσταση του επιπέδου z από το επίπεδο Oxy.

Στη συνέχεια της ενότητας, όπου γίνεται λόγος για μέτρο συνόλου στο χώρο θα εννοούμε τον όγκο ενός δεδομένου στερεού σχήματος, και θα τον συμβολίζουμε με το λατινικό γράμμα V.

Page 235: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 29

z p

D Ο y

x P

Σχήμα 17

1.7 Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση Άσκηση 1: Δίνεται το σύνολο Ρ του επιπέδου το οποίο περιέχει σημεία με την εξής ιδιό-τητα: , : 0 1,0x y R x y 1∈ ≤ ≤ ≤ ≤Ρ = .

i) Να μελετηθεί το σύνολο Ρ ως προς τη μετρησιμότητα.

ii) Να βρεθεί το μέτρο του

iii) Να προσδιοριστεί σχηματικά

Λύση i) Το σύνολο Ρ είναι μετρήσιμο στο επίπεδο.

ii) Το μέτρο του μ(Ρ) είναι ίσο με το 1.

iii) Το σύνολο Ρ είναι το μοναδιαίο τετράγωνο, δηλαδή το τετράγωνο με πλευρά ίση με το 1.

Άσκηση 2: Δίνεται το σύνολο Ρ του χώρου το οποίο περιέχει σημεία με την εξής ιδιότη-τα: , , : 0 1,0 1,0 1x y z R x y zΡ = ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ .

i) Να μελετηθεί το σύνολο Ρ ως προς τη μετρησιμότητα.

ii) Να βρεθεί το μέτρο του

iii) Να προσδιοριστεί σχηματικά

Λύση i) Το σύνολο Ρ είναι μετρήσιμο στο χώρο.

( )μ Ρ είναι ίσο με το 1. ii) Το μέτρο του

iii) Το σύνολο Ρ είναι ο μοναδιαίος κύβος, δηλαδή ο κύβος με πλευρά ίση με το 1.

Άσκηση 3: Δίνεται το σύνολο Ρ των σημείων του τετραγώνου, με το σύνολο Ρ να ορίζε-ται ως εξής: , : 0 1,0x y R x y 1∈ ≤ ≤ ≤ ≤Ρ = .

i) Να μελετηθεί το σύνολο Ρ ως προς τη μετρησιμότητα.

Page 236: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

30 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

ii) Να βρεθεί το μέτρο του, αν υπάρχει.

iii) Να προσδιοριστεί σχηματικά

Λύση i) Το σύνολο Ρ είναι μη μετρήσιμο στο επίπεδο, αφού οι συντεταγμένες του τετραγώ-

νου είναι ακέραιες.

( ) 1Pμ =( ) 0μ Ρ = , ενώ το . ii) Το μέτρο του

iii) Το σύνολο Ρ είναι τα σημεία του επιπέδου Οxy τα οποία παρουσιάζονται στο Σχήμα 18 που ακολουθεί.

Page 237: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Κεφάλαιο 2

Διπλό ολοκλήρωμα

2.1 Εισαγωγή Ο ορισμός του διπλού ολοκληρώματος γίνεται με τρόπο ανάλογο με εκείνον του ορισμέ-νου ολοκληρώματος με υπό ολοκλήρωση συνάρτηση με μία ανεξάρτητη μεταβλητή. Στην περίπτωση του διπλού ολοκληρώματος, σε αντιδιαστολή με το ορισμένο ολοκλή-ρωμα όπου γίνεται λόγος για σημεία πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών, ανα-φερόμαστε σε επίπεδο από σύνολο σημείων και φυσικά σε συνάρτηση δύο ανεξάρτητων μεταβλητών.

2.2 Ορισμός διπλού ολοκληρώματος Έστω συνάρτηση ( ),f x y δύο ανεξάρτητων μεταβλητών x και y , η οποία έχει πεδίο ορισμού το επίπεδο μετρήσιμο πεδίο (ή σύνολο) P και στο οποίο η συνάρτηση αυτή εί-ναι φραγμένη.

Διαιρούμε το Ρ σε πεπερασμένο αριθμό υποσυνόλων 1 2, ,..., nP P P με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε δύο από αυτά ή έχουν κοινά σημεία, ή έχουν μόνο περιφερειακά κοινά σημεία. Στην περίπτωση της διαίρεσης αυτής ισχύει η σχέση:

( )1

( )n

ii

μ P μ P=

= ∑ .

Ορισμός 1: Έστω im το ακριβώς κάτω φράγμα της συνάρτησης ( ),f x y στο σύνολο P . Ο αριθμός

( )1

n

i ii

s m μ P=

= ∑

ονομάζεται μικρό άθροισμα Darboux για τη συνάρτηση δύο ανεξάρτητων μεταβλητών ( ),f x y .

Ορισμός 2: Έστω iM το ακριβώς άνω φράγμα της συνάρτησης ( ),f x y στο σύνολο P . Ο αριθμός

( )1

n

i ii

S M μ P=

= ∑

ονομάζεται μεγάλο άθροισμα Darboux για τη συνάρτηση δύο ανεξάρτητων μεταβλητών ( ),f x y .

Page 238: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

32 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Αφού γίνουν όλες οι δυνατές διαιρέσεις του P σε υποσύνολα με τον τρόπο που προανα-φέρθηκε, θα λάβουμε άπειρα αντίστοιχα μικρά και μεγάλα αθροίσματα Darboux.

Ορισμός 3: Το ακριβώς άνω φράγμα 1I του συνόλου των μικρών αθροισμάτων Darboux ονομάζεται κάτω διπλό ολοκλήρωμα της συνάρτησης δύο ανεξάρτητων μεταβλη-τών ( ),f x y στο σύνολο P .

Ορισμός 4: Το ακριβώς κάτω φράγμα 2I του συνόλου των μικρών αθροισμάτων Darboux ονομάζεται άνω διπλό ολοκλήρωμα της συνάρτησης δύο ανεξάρτητων μετα-βλητών ( ),f x y στο σύνολοP .

Όπως είναι γνωστό και από το ορισμένο ολοκλήρωμα, για τα 1I και 2I θα ισχύει ότι

1 2I I≤ .

Ορισμός 5: Η συνάρτηση ( ),f x y λέγεται ολοκληρώσιμη στο σύνολο P αν ισχύει ότι

1 2I I= .

Ορισμός 6: Η κοινή τιμή του άνω και του κάτω φράγματος, δηλαδή 1 2I I I= = , ονομά-ζεται διπλό ολοκλήρωμα της συνάρτησης δύο ανεξάρτητων μεταβλητών ( ),f x y στο σύνολο P . Αυτό συμβολίζεται ως

( , )P

f x y dxdy∫∫ .

Ορισμός 7: Το σύνολο P ονομάζεται ολοκληρωτικό πεδίο ή ολοκληρωτικό σύνολο, ενώ η συνάρτηση ( ),f x y λέγεται υπό ολοκλήρωση συνάρτηση.

Παρατήρηση 1: Η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση ( ),f x y είναι συνάρτηση δύο ανεξάρ-τητων μεταβλητών x και y , κάτι που από εδώ και στο εξής δεν θα αναφέρεται, αλλά θα θεωρείται δεδομένο.

Γεωμετρική ερμηνεία του διπλού ολοκληρώματος Στην περίπτωση που η συνάρτηση ( ),f x y >0 και υπάρχει το ολοκλήρωμα

( , )P

f x y dxdy∫∫ ,

τότε σχετικά με τη γεωμετρική ερμηνεία αυτού του διπλού ολοκληρώματος μπορούμε να πούμε τα ακόλουθα: από ένα σημείο Αi του συνόλου P κατασκευάζονται ευθείες παράλ-ληλες προς τον άξονα Οz (Σχήμα 1) Τότε προκύπτει το τρισδιάστατο σχήμα G, το οποίο είναι ουσιαστικά το αποτέλεσμα των ευθύγραμμων τμημάτων που δημιουργήθηκαν από τις προαναφερθείσες παράλληλες ευθείες, το επίπεδο Oxy , και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ),f x y .

Το G στην περίπτωση αυτή είναι μετρήσιμο, και το διπλό ολοκλήρωμα

( , )P

f x y dxdy∫∫

είναι η τιμή του. Με άλλα λόγια αυτό το διπλό ολοκλήρωμα είναι ουσιαστικά ο όγκος V του σχηματιζόμενου τρισδιάστατου σχήματος (στερεού) G . Άρα θα έχουμε ότι:

( ) ( , )P

V G f x y dxdy= ∫∫ .

Page 239: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 33

z

( ),f x y

G

Ο y

A

x Σχήμα 1

Παρατήρηση 2: Όταν η συνάρτηση ( ),f x y είναι σταθερή, τότε θα υπάρχει και το αντί-στοιχο διπλό ολοκλήρωμα για κάθε διαίρεση του P , για τον ακόλουθο λόγο: έστω ότι ( ),f x y c= με c R+∈ , για κάθε σημείο του συνόλου P . Τότε, για κάθε διαίρεση του P

σε υποσύνολα (υποπεδία) 1 2, ,..., nP P P , θα ισχύει ότι για κάθε μικρό και μεγάλο άθροισμα Darboux s και S αντίστοιχα θα έχουμε ότι:

( ) ( ) ( )1

n

i ii

s S cμ P c μ P cμ P=

= = = =∑ ∑ .

Κατά συνέπεια, για κάθε διαίρεση iP ( 1,2,...,i n= ) του συνόλου P , θα έχουμε ότι:

( )( , ) ,P

f x y dxdy cμ P c R+= ∈∫∫ .

Παρατήρηση 3: Αν c =1, τότε το διπλό ολοκλήρωμα

( , )P

f x y dxdy∫∫

είναι ουσιαστικά ο τύπος υπολογισμού του εμβαδού σχήματος με τη βοήθεια του διπλού ολοκληρώματος.

Παρατήρηση 4: Όταν το ( )μ P είναι ίσο με το μηδέν, τότε κάθε φραγμένη συνάρτηση ( ),f x y είναι ολοκληρώσιμη στο P . Αυτό ισχύει για τον ακόλουθο λόγο: αν ( ) 0μ P = ,

τότε για κάθε διαίρεση iP ( 1,2,...,i n= ) του συνόλου P θα έχουμε ( ) 0iμ P = . Τότε όλα τα αντίστοιχα μικρά και μεγάλα αθροίσματα Darboux θα είναι ίσα με το μηδέν, και έτσι

( , )P

f x y dxdy∫∫ = 0.

Θεώρημα 1: Αν το σύνολο P είναι μετρήσιμο και κλειστό ενώ η συνάρτηση ( ),f x y είναι συνεχής στο P , τότε θα υπάρχει το διπλό ολοκλήρωμα ( , )

Pf x y dxdy∫∫ .

2.3 Αθροίσματα Riemann Διαιρούμε το σύνολο P σε n υποσύνολα 1 2, ,..., nP P P . Επιλέγουμε ένα σημείο σε καθένα από τα υποσύνολα iP ( 1,2,...,i n= ). Έστω ( ),i iA ξ η να είναι τα n αυτά διαφορετικά ση-μεία.

Ορισμός 8: Ο αριθμός ( ) ( )1,n

i i iiσ f ξ η μ P

== ∑ λέγεται άθροισμα Riemann.

Page 240: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

34 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Αν s και S είναι αντίστοιχα το μικρό και το μεγάλο άθροισμα Darboux για την ίδια διαί-ρεση του συνόλου P σε υποσύνολα iP , 1,2,...,i n= , με κδ να είναι η μεγαλύτερη διάμε-τρος των διαφόρων υποσυνόλων του Ρ κατά την κ –διαίρεσή του. Θεωρούμε την ακο-λουθία 1 2, ,..., ,...κδ δ δ η οποία τείνει στο 0.

Θεώρημα 2: Έστω σύνολο P το οποίο είναι μετρήσιμο και κλειστό, ενώ η συνάρτηση f(x, y) είναι συνεχής στο σύνολο P . Δίνεται επίσης η ακολουθία 1 2, ,..., ,...κδ δ δ , η οποία τείνει στο 0. Αν για κάθε διαίρεση της ακολουθίας αυτής δημιουργηθεί από ένα άθροισμα Riemann iσ ( 1,2,...,i n= ), τότε η ακολουθία των αθροισμάτων αυτών 1 2, ,..., ,...nσ σ σ είναι συγκλίνουσα και έχει όριο το διπλό ολοκλήρωμα

( , )P

f x y dxdy∫∫ , δηλαδή lim ( , )nnP

σ f x y dxdy→+∞

= ∫∫ .

2.4 Ιδιότητες διπλού ολοκληρώματος Με βάση τα αναφερόμενα ως εδώ, δηλαδή τους ορισμούς, τις έννοιες, και τα θεωρήματα, μπορούμε να διατυπώσουμε τις ακόλουθες έξι βασικές ιδιότητες διπλών ολοκληρωμά-των, και συγκεκριμένα τις ακόλουθες:

i) Αν η συνάρτηση ( ),f x y είναι συνεχής σε ένα μετρήσιμο σύνολο P και c είναι μια πραγματική σταθερά, τότε θα ισχύει ότι:

( , ) ( , )P P

cf x y dxdy c f x y dxdy=∫∫ ∫∫ .

ii) Αν οι συναρτήσεις ( ),f x y και ( ),g x y είναι συνεχείς σε ένα μετρήσιμο σύνολο P , τότε

[ ]( , ) ( , ) ( , ) ( , )P P P

f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy+ = +∫∫ ∫∫ ∫∫ .

iii) Αν οι συναρτήσεις ( ),f x y και ( ),g x y είναι συνεχείς σε ένα μετρήσιμο σύνολο P , τότε

[ ]( , ) ( , ) ( , ) ( , )P P P

f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy− = −∫∫ ∫∫ ∫∫ .

iv) Αν οι συναρτήσεις ( ),f x y και ( ),g x y είναι συνεχείς σε ένα μετρήσιμο σύνολο P και επίσης ( ),f x y ≤ ( ),g x y , τότε

( , ) ( , )P P

f x y dxdy g x y dxdy≤∫∫ ∫∫ .

v) Αν η συνάρτηση ( ),f x y είναι συνεχής σε ένα μετρήσιμο σύνολο P , τότε ισχύει ότι:

( , ) ( , )P P

f x y dxdy f x y dxdy≤∫∫ ∫∫ .

vi) Αν 1P και 2P είναι δύο μετρήσιμα και κλειστά επίπεδα σύνολα τα οποία δεν έχουν κοινά περιφερειακά σημεία, και αν η συνάρτηση ( ),f x y είναι συνεχής στα δύο αυτά σύνολα 1P και 2P , τότε

Page 241: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 35

1 2 1 2

( , ) ( , ) ( , )P P P P

f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy∪

= +∫∫ ∫∫ ∫∫ .

Γενίκευση (της ιδιότητας vi)): Αν 1 2, ,..., nP P P είναι n μετρήσιμα και κλειστά επίπεδα σύνολα τα οποία δεν έχουν κοινά περιφερειακά σημεία, και αν η συνάρτηση ( ),f x y εί-ναι συνεχής στα n αυτά σύνολα 1 2, ,..., nP P P , και αν επίσης ισχύει ότι

1

nii

P P=

=U , τότε αποδεικνύεται ότι:

1 2

( , ) ( , ) ( , ) ... ( , )nP P P P

f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy= + + +∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ .

vii) Αν η συνάρτηση ( ),f x y είναι συνεχής σε ένα μετρήσιμο και κλειστό σύνολο P , και αν για κάθε σημείο του P ισχύει ότι ( ),m f x y M≤ ≤ , τότε θα ισχύει ότι

( ) ( ) ( ),mμ P f x y dxdy Mμ P≤ ≤∫∫ .

Παρατήρηση 5: Επισημαίνεται ότι οι προαναφερθείσες επτά βασικές ιδιότητες του δι-πλού ολοκληρώματος ισχύουν και στην περίπτωση όπου η συνάρτηση ( ),f x y δεν είναι μόνο συνεχής, αλλά είναι γενικά ολοκληρώσιμη στο σύνολο P .

2.5 Υπολογισμός διπλού ολοκληρώματος 2.5.1 Εισαγωγή Όπως και σε πολλές άλλες περιπτώσεις του διαφορικού και του ολοκληρωτικού λογι-σμού, ο υπολογισμός του διπλού ολοκληρώματος με τη βοήθεια του ορισμένου ολοκλη-ρώματος, είναι μια εργασία αρκετά δύσκολη και χρονοβόρα, αν και ορθή.

Αυτό που κρίνεται απαραίτητο σε κάθε περίπτωση υπολογισμού διπλού ολοκληρώματος είναι ο επιπρόσθετος προσδιορισμός του συνόλου P , δηλαδή του υπό ολοκλήρωση. Επι-σημαίνουμε ότι δεν είναι αρκετή η προϋπόθεση η συνάρτηση ( ),f x y είναι συνεχής στο P .

Για το λόγο αυτό τα ακόλουθα αναφέρονται σε κάποια ειδική κατηγορία συνόλων P , αλλά σε κάθε περίπτωση είναι αρκετά για να αποδώσουν την πρακτική σημασία του δι-πλού ολοκληρώματος.

Απώτερος σκοπό μας είναι, κατά τον υπολογισμό του διπλού ολοκληρώματος, η μεταβο-λή του σε υπολογισμό ορισμένου ολοκληρώματος, όπως εκείνα δηλαδή όπου η υπό ολο-κλήρωση συνάρτηση έχει μία ανεξάρτητη μεταβλητή. Για την επίτευξη του σκοπού αυ-τού κρίνεται απαραίτητη η αναφορά σε κάποιες επιπρόσθετες θεωρητικές έννοιες (ορι-σμούς και θεωρήματα).

2.5.2 Βοηθητικές έννοιες σχετικές με το διπλό ολοκλήρωμα Έστω δύο συναρτήσεις ( )g x και ( )h x οι οποίες ορίζονται σε διάστημα [ ],a β , είναι συ-νεχείς στο διάστημα αυτό, και επίσης ισχύει ( )g x ≤ ( )h x . Έστω ότι με Cg και Ch συμ-

Page 242: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

36 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Cg

Ch

P

βολίζουμε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ( )g x και ( )h x αντίστοιχα, για τις οποίες είναι φανερό ότι η Cg είναι κάτω από τη Ch, αφού ( )g x ≤ ( )h x .

Θεωρούμε τις παράλληλες ευθείες x a= και x β= . Τότε το σχήμα που προκύπτει από τις γραφικές παραστάσεις των τεσσάρων αυτών συναρτήσεων ( ( )g x , ( )h x , x a= , και x β= ) φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί (Σχήμα 2).

Ορισμός 9: Έστω ότι P είναι η περιοχή (το σύνολο των σημείων) που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις Cg, Cf, x a= , και x β= (Σχήμα 2). Τα σημεία ( , )iA x y τα ο-ποία ικανοποιούν τις ανισώσεις a x β≤ ≤ και ( )g x ≤ y ≤ ( )h x ορίζουν το σχήμα Ρ, το οποίο λέγεται καμπυλόγραμμο τραπέζιο.

Λόγω της συνέχειας των συναρτήσεων ( )g x και ( )h x , το καμπυλόγραμμο τραπέζιο P θα αποτελεί μετρήσιμο σύνολο στο επίπεδο, το οποίο είναι κλειστό. Επίσης το μέτρο ( )μ P για το καμπυλόγραμμο τραπέζιο P , που ορίζεται μέσω των ανισοτήτων a x β≤ ≤

και ( )g x ≤ y ≤ ( )h x , θα ισούται με ( ) [ ]( ) ( )β

a

μ P h x g x dx= −∫ y

x΄ x

y΄ x a= x β=

Σχήμα 2

και το τελευταίο προκύπτει από το

( ) ( )β

a

μ A f x dx= ∫ ,

το οποίο αναφέραμε σε προηγούμενη ενότητα αυτού του κεφαλαίου, για την περίπτωση όπου οι συναρτήσεις ( )g x και ( )h x είναι θετικές. Αν αυτό δεν ισχύει, λαμβάνεται ένας αριθμός m ώστε

( )g x m≥ , ( )h x m≥ x∀ [ ],a β∈

και θα μελετήσουμε το καμπυλόγραμμο τραπέζιο 1P που ορίζεται με τις ανισώσεις

1 :( ) ( )

a x βP

g x m y h x m≤ ≤

− ≤ ≤ −

Ο a β

Page 243: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 37

Αφού το σύνολο 1P έχει ληφθεί με την κατακόρυφη μετακίνηση του συνόλου P , τα δύο αυτά σύνολα έχουν ίσα μέτρα. Σχετικά με το σύνολο 1P , εξαιτίας της θετικότητας των συναρτήσεων ( )g x m− και ( )h x m− θα ορίζεται το ορισμένο ολοκλήρωμα

[ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( )β β

a a

h x m g x m dx h x g x dx− − − = −∫ ∫ .

Θεώρημα 3: Αν η συνάρτηση ( ),f x y είναι συνεχής στο καμπυλόγραμμο τραπέζιο P , το οποίο ορίζεται με τις ανισώσεις

:( ) ( )

a x βP

g x y h x≤ ≤

≤ ≤,

τότε το ολοκλήρωμα

( )( )

( )

, ( )h x

g x

f x y dy F x=∫

υπάρχει για κάθε συγκεκριμένη συνάρτηση του x στο διάστημα αυτό. Παρατήρηση 6: Στην περίπτωση όπου ( )g x = ( )h x , τότε η συνάρτηση ( )F x θα ισούται με το μηδέν.

Θεώρημα 4: Η συνάρτηση

( )( )

( )

( ) ,h x

g x

F x f x y dy= ∫

είναι συνεχής στο διάστημα [ ],a β , όπου ( )g x και ( )h x είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα αυτό.

Παρατήρηση 7: Οι υποπεριπτώσεις 2β, 2γ και 2δ αποδεικνύονται με τρόπο ανάλογο με εκείνον της υποπερίπτωσης 2α.

Θεώρημα 5: Έστω ότι οι συναρτήσεις ( )g x και ( )h x είναι ορισμένες και συνεχείς σε διάστημα [ ],a β , και ότι επίσης ( )g x ≤ ( )h x . Αν η συνάρτηση ( ),f x y είναι συνεχής σε καμπυλόγραμμο τραπέζιο P ορισμένο με τις ανισοτικές σχέσεις a x β≤ ≤ και

( )g x ≤ y ≤ ( )h x , τότε θα ισχύει ότι: ( )

( )

( , ) ( , )β h x

P a g x

f x y dxdy f x y dy dx⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫∫ ∫ ∫

Παρατήρηση 8: Έστω ( )p y και ( )q y δύο συναρτήσεις ορισμένες και συνεχείς σε διά-στημα [ ],a β και οι οποίες ανήκουν στο επίπεδο Οxy με ( ) ( )p y q y≤ . Τότε το σύνολο P ορίζεται με τις ανισοτικές σχέσεις a y β≤ ≤ και ( ) ( )p y x q y≤ ≤ , ενώ για το αντίστοιχο διπλό ολοκλήρωμα για το σύνολο P θα ισχύει ότι:

( )

( )

( , ) ( , )β q y

P a p y

f x y dxdy f x y dx dy⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫∫ ∫ ∫ .

Page 244: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

38 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

2.5.3 Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Να προσδιοριστεί το καμπυλόγραμμο τραπέζιο P , το οποίο ορίζεται με τις ανισοτικές σχέσεις

2 2

2 2

21

x y xx y+ ≤

+ ≤

και με την τομή του με την τετμημένη x΄x.

Λύση Η πρώτη από τις δύο δεδομένες ανισώσεις, και συγκεκριμένα η 2 2 2x y x+ ≤ , η οποία γράφεται και ως ( )2 21 1 0x y− + − ≤ , αντιστοιχεί στα σημεία κύκλου κ2 με κέντρο Α(1, 0) και ακτίνα 1, που βρίσκονται στο εσωτερικό του μαζί με την περιφέρειά του. Η δεύτερη αντιστοιχεί στα σημεία του κύκλου κ1 (Ο, 1), όπου Ο(0, 0).

Τα σημεία τομής των δύο αυτών κύκλων κ1 και κ2 υπολογίζονται με τη λύση του μη γραμμικού σύστημα 2×2 που ακολουθεί, και συγκεκριμένα:

2 2

22 22 22 2 2

1 31 ,1 2 21 22 2

ή2111 1 1 1 32 ,

2 2

x yxx xx y x

x yx y x y yx y

= === =+ =

⇔ ⇔ ⇔ ⇔+ = ⎛ ⎞+ = + = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠ = = −

Οπότε υπάρχουν δύο κοινά σημεία, το 1 3,2 2

B⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

και το 1 3Γ ,2 2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠, όπως φαίνεται και

στο Σχήμα 4

x x

y

Ο Α

κ1κ2

Β

Γ

-1 1 2

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Σχήμα 4

Στην περίπτωση αυτή το σύνολο P ορίζεται ως καμπυλόγραμμο τραπέζιο με τον ακό-λουθο τρόπο:

1 2

0 1:

m mx

P΄y

≤ ≤≤ ≤

,

Page 245: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 39

με τα 1m , 2m να λαμβάνουν τιμές με δεδομένο ότι 2 2 2 2 21 1 1x y y x y x+ = ⇔ = − ⇔ = ± − και

2 2 2 2 22 2 2x y x y x x y x x+ = ⇔ = − ⇔ = ± −

με ( )2 21 min 1 , 2m x x x= − − − − και ( )2 2

2 max 1 , 2m x x x= − − − − .

Οι συναρτήσεις 1m και 2m δεν είναι παραγωγίσημες. Για το λόγο αυτό το σύνολο P γράφεται ως ένωση δύο άλλων συνόλων P 1 και P 2, δηλαδή P = P 1∪ P 2, τα οποία ορί-ζονται με τον ακόλουθο τρόπο:

12 2

102:

2 2

xP

x x y x x

≤ ≤

− − ≤ ≤ − και 2

2 2

1 12:2 1 1

xP

x y x

≤ ≤

− − ≤ ≤ −

Άσκηση 2: Να προσδιοριστεί το καμπυλόγραμμο τραπέζιο P το οποίο ορίζεται από τις ανισοτικές σχέσεις

2 2

2 2

21

x y xx y+ ≤

+ ≤

και την τομή του με την τεταγμένη y΄y.

Λύση

Προσδιορίζονται, όπως και στην προηγούμενη άσκηση, τα σημεία Α(1,0), 1 3,2 2

B⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

και

1 3Γ ,2 2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠, όπως φαίνεται και στο Σχήμα 4. Τότε το σύνολο P ορίζεται ως καμπυλό-

γραμμο τραπέζιο με τον ακόλουθο τρόπο.

2 2

3 32 2:

1 1 1

yP

y x y

− ≤ ≤

− − ≤ ≤ −

,

αφού ισχύουν τα ακόλουθα: 2 2 2 2 21 1 1x y y x y x+ = ⇔ = − ⇔ = ± −

και 2 2 2 2 22 2 2x y x y x x y x x+ = ⇔ = − ⇔ = ± −

Άσκηση 3: Να προσδιοριστεί το καμπυλόγραμμο τραπέζιο P , το οποίο ορίζεται με τις ανισώσεις 0 1y≤ ≤ και 22 1 1y x y− ≤ ≤ + − , ως καμπυλόγραμμο τραπέζιο με κατακό-ρυφες βάσεις.

Λύση Το σύνολο P περικλείεται από τις ευθείες με εξισώσεις 2 y x− = , 0y = και 1y = , κα-θώς και από την καμπύλη με εξίσωση 21 1x y= + − , η οποία στην ουσία είναι μέρος

Page 246: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

40 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

κύκλου κ1 με εξίσωση ( )2 21 1x y− + = ο οποίος έχει κέντρο Γ(1, 0), όπως φαίνεται και στο σχήμα που ακολουθεί (Σχήμα 5).

x

2-y=x

O

y

κ1x=1

A

B

y=0-1 1 2

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Σχήμα 5

Για τον προσδιορισμό των σημείων τομής εργαζόμαστε ως εξής:

2

2 2 2

1, 12 2 1 1 2ή

1 1 1 1 1 1 2, 0

x yy x x y y y

x y x y x y x y

= =− = + = + − + =⇔ ⇔ ⇔

= + − = + − = + − = =.

Κατά συνέπεια υπάρχουν δύο κοινά σημεία, και συγκεκριμένα τα Α(2, 0) και Β(1, 1). Από το σχήμα είναι φανερό ότι το καμπυλόγραμμο τραπέζιο P ορίζεται από τις ανισώ-σεις

2

1 2:

2 2x

P΄x y x x

≤ ≤

− ≤ ≤ −

όπου τα 2 x− και 22x x− λαμβάνονται με λύση αντίστοιχα των εξισώσεων 2 y x− =

και 21 1x y= + − ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή y, και αυτό στην περίπτωση που 1y ≥ .

Άσκηση 4: Να προσδιοριστεί το σύνολο W , το οποίο ορίζεται με τις ανισώσεις 2 2 22y ax x y≤ ≤ + , 2x a≤ και 0y ≥ , ως τομή του καμπυλόγραμμου τραπέζιου με τον

οριζόντιο άξονα.

Λύση Το σύνολο Ρ περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των ευθειών 0y = , 2x a= , y a= , και 2 2 2x y ax+ = . Η τελευταία είναι γραφική παράσταση κύκλου κ με κέντρο ( )Α ,0a και ακτίνα α, για τον ακόλουθο λόγο, όπως φαίνεται και από το Σχήμα 6:

( )22 2 2 2 2 22 2 0x y ax x y ax x a y a+ = ⇔ + − = ⇔ − + =

Προσδιορίζουμε τα σημεία τομής με τον ακόλουθο τρόπο:

Page 247: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 41

22 , 2

22 , 2

x a y ay axx a

x a y a

= ==

⇔=

= = −,

οπότε υπάρχουν δύο σημεία τομής, και συγκεκριμένα το ( )Β 2 ,2a a και το ( )Γ 2 , 2a a− .

B

y

xx Ο Α

κ

y=α

x=2α

R

P

Q

Γ

-2 2 4

-3

-2

-1

1

2

3

Σχήμα 6

Κατά συνέπεια ΡW Q R= ∪ ∪ , όπου τα Q , Ρ, και R ορίζονται αντίστοιχα ως εξής:

22 2

0:

2

y aQ y x a a y

a

≤ ≤

≤ ≤ − −,

2 2

0:

2

y aP

a a y x a

≤ ≤

+ − ≤ ≤, 2

0:

22

y aR y x a

a

≤ ≤

≤ ≤

επειδή έχουμε

( ) ( )2 22 2 2 2

2 2 2 2

x a y a x a a y

x a a y x a a y

− + = ⇔ − = − ⇔

⇔ − = ± − ⇔ = ± −

και επίσης 2

2 22yy ax xa

= ⇔ = .

Άσκηση 5: Να αποδοθεί το σύνολο Ρ, το οποίο ορίζεται με τις ανισώσεις 0 x π≤ ≤ και 0 y ημx≤ ≤ , ως τομή του καμπυλόγραμμου τραπέζιου με τον οριζόντιο άξονα.

Page 248: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

42 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Λύση Το καμπυλόγραμμο τραπέζιο Ρ φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί (Σχήμα 7).

−2 π − 3 π2

−π π2π2

π 3π2

x

-1

-0.5

0.5

1

y

Σχήμα 7

Έστω 0 1y≤ ≤ , τότε y ημx x τοξημy= ⇔ = , από το οποίο συνεπάγεται ότι

02πx≤ ≤ και επίσης x π τοξημy= − για

2π x π≤ ≤ .

Άρα τα δύο κοινά σημεία θα έχουν τις ακόλουθες συντεταγμένες: ( )Α ,0τοξημy και ( )Γ ,0π τοξημy− .

Κατά συνέπεια το καμπυλόγραμμο τραπέζιο ορίζεται ως εξής

0 1:

yP

τοξημy x π τοξημy≤ ≤

≤ ≤ −.

Άσκηση 6: Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα 2

P

I x ydxdy= ∫∫ ,

αν το P ορίζεται από τις ανισώσεις 0 ≤ x ≤ 1 και 0 ≤ y ≤ 2.

Λύση 21 2 1 1 1

22 2 2 2 2 2

000 0 0 0 0

11 3 3 32

0 0

1 1 1 42 2 2

4 1 0 22 2 .2 3 3 3 3

I x ydy dx x y dx x y dx x dx

xx dx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = = =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= = = − =⎜ ⎟⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Άσκηση 7: Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα 2 2

P

I x y dxdy= ∫∫ ,

αν το P είναι η περιοχή–σχήμα που ορίζεται από τις ανισοτικές σχέσεις 11 2 και x y xx

≤ ≤ ≤ ≤ .

y ημx=Α Γ

Ρ

y

O

Page 249: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 43

Λύση

2 2 2 32 2 2 2 2

11 11 1 1

22 2 62 3 5

31 1 1

3

1 1 1 1 1 1 63ln ln 2 .3 3 3 6 3 6

xx x

xx x

yI x y dy dx x y dy dx x dx

xx x dx x dx xx x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

Άσκηση 8: Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα

( )P

I x y dxdy= −∫∫ , αν 0

: 02

xP y

x y

≥≥+ =

.

Λύση Με βάση τις τρεις δεδομένες ανισοτικές σχέσεις, το σύνολο P , ως καμπυλόγραμμο τρα-πέζιο, γράφεται ως

0 2:

0 2x

Py x

≤ ≤≤ ≤ −

.

( ) ( ) ( )2 22 2 2 22

0 0 0 00

22 22 2 2 32

0 0 0

22

2 2

3 4 32 2 2 4 2 2 0.2 2 2 2 3

xx xyI x y dy dx xy dx x x dx

x x x xx x x dx x dx x

−− ⎡ ⎤⎡ ⎤ −⎡ ⎤= − = − = − − =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − − + − = − − = − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

Άσκηση 9: Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα

( )2

P

I x y x dxdy= −∫∫ , αν

2

2:0 1

y xP x y

x

≥≤ ≤

.

Λύση Αφού 0 1x≤ ≤ , συνεπάγεται ότι 2x x≤ . Επομένως:

2 2

2 0y x x y x

xx y≥ ≤ ≤

⇔≥≥

Επίσης

( )( )( )

2 4 3

2

0 1 0

1 1 0 1 0

x x x x x x

x x x x x

≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔

⇔ − + + ≤ ⇔ − ≤

αφού 2 1 0,x x x R+ + ≥ ∀ ∈ .

Βάσει τις προηγούμενες ανισοτικές σχέσεις, το σύνολο P ως καμπυλόγραμμο τραπέζιο γράφεται ως

Page 250: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

44 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

2

0 1:

xP

x y x

≤ ≤

≤ ≤.

( )2 2

1 1 1 72 3 62 2 3 52

0 0 0

1 .2 2 2 504

xx

x x

y x xI x y x dy dx x x y dx x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎛ ⎞

= − = − = − − − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫

Άσκηση 10: Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα 2

P

I xy dxdy= ∫∫ ,

αν το Ρ ορίζεται από τις γραφικές παραστάσεις των ευθειών 2x = , 0y = και y x= .

Λύση Με βάση τα δεδομένα, το καμπυλόγραμμο τραπέζιο θα είναι το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΟ , όπως φαίνεται και στο Σχήμα 8 που ακολουθεί.

P

x

Ο

y=x

x=2

A

B

-1 1 2 3x

2

4

Σχήμα 8

Κατά συνέπεια το καμπυλόγραμμο τραπέζιο Ρ θα ορίζεται με βάση τις ανισοτικές σχέ-σεις 0 2x≤ ≤ και 0 y x≤ ≤ . Τότε το διπλό ολοκλήρωμα υπολογίζεται με τον ακόλουθο τρόπο:

( )

( )

2 2 2 2 232 2 3 3 4

0 0 0 0 0 0 00

255 5

0

1 103 3 3

1 1 322 0 .3 5 15 15

xx x yI xy dy dx x y dy dx x dx x x dx x dx

x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = = − = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= = − =⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Άσκηση 11: Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα

2 2P

xyI dxdyx y

=+

∫∫ , αν 0 1

:1 2

xP

y≤ ≤≤ ≤

.

Page 251: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 45

Λύση Γραφικά το καμπυλόγραμμο αυτό τραπέζιο αποτελεί το ακόλουθο σχήμα (Σχήμα 9), το οποίο είναι στην ουσία ένα τετράγωνο πλευράς 1:

P

x

x=1

y=2

y=1

O-2 -1 1 2x

-1

1

2

3y

Σχήμα 9

( )

( ) ( )

1 2 1 2 1 22 2 2

2 2 2 2 2 20 1 0 1 0 1

1 1 122 2 2 2 2 2 2 2

10 0 0

1 12 2

1 20 0

11 122

2 1 4 1

4 1 .

xxyI dy dx dy dx x d y x dxx y x y x y

x x y dx x x x dx x x x dx

x x dx x x dx I I

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥

= = = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

⎡ ⎤= + = + − + = + − + =⎣ ⎦

= + − + = −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 22

10 0 0 0

1 11 31 12 22 2 3 3 3

2 2 22 2 2

0

0 0

1 1 14 4 4 4 4 42 2 2

4 41 1 1 14 1 4 0 41 32 2 3 312 2

I x x dx x dx x d x x d x

x xx

+

= + = + = + + = + + =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = = + = + − + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥+

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫

Page 252: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

46 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

( ) ( ) ( )3 3

3 3 2 22 21 1 1 15 4 5 4 5 .5 4 .4 5 5 83 3 3 3⎛ ⎞

= − = − = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 22

20 0 0 0

1 11 31 12 22 2 3 3 3

2 2 22 2 2

0

0 0

2 23 3 23 3

1 1 11 1 1 1 1 12 2 2

1 11 1 1 11 1 1 0 11 32 2 3 312 2

1 1 1 12 1 2 1 2 .2 1 2 2 13 3 3 3

I x x dx x dx x d x x d x

x xx

+

= + = + = + + = + + =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = = + = + − + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥+

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎛ ⎞= − = − = − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫

Κατά συνέπεια το ζητούμενο διπλό ολοκλήρωμα θα ισούται με

( ) ( ) ( )1 1 15 5 8 2 2 1 5 5 2 2 73 3 3

I = − − − = − − .

Άσκηση 12: Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα 2 2

P

I x y dxdy= +∫∫ ,

αν το Ρ ορίζεται με τις ανισώσεις 0 1y x≤ ≤ ≤ .

Λύση Το Ρ περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των ευθειών y = 0, y = x, και x = 1. Εί-ναι ουσιαστικά ένα ορθογώνιο τρίγωνο, όπως φαίνεται και στο Σχήμα 10.

Άρα 0 1

:0

xP

y x≤ ≤≤ ≤

.

x

Ο

y=x

P

x=1

A

B-1 1 2 3

x

2

Σχήμα 10

Page 253: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 47

12 2 2 2

Ρ 0 0

.x

I x y dxdy x y dy dx⎡ ⎤

= + = +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫∫ ∫ ∫

Έστω

( ) ( )

2 2 2 22 2 2 2 2

1 2 2 2 200 0 0

2 2 22 2 2 2 2

2 2 2 2 2 20 0 0 0

2 2 2 2 2 21 1

0

2

12 2

2 ln 2 ln 2 ln .

x x xx

x x x x

x

y y x xI x y dy y x y dy x x dyx y x y

y x xx dy dy x x y dy x dyx y x y x y

x I x y x y x I x x x x

+ −⎡ ⎤= + = + − = − =⎣ ⎦ + +

+= − + = − + + =

+ + +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + + + = − + + −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

Κατά συνέπεια

( )( )

( )

2 21 1

2 21

21

2 ln 2 ln

2 2 ln 2 ln

2 ln 1 2

2

I x I x x x x

I x x x x x

I x

⎡ ⎤= − + + − ⇔⎣ ⎦⎡ ⎤⇔ = + + − ⇔⎣ ⎦

+ +⇔ =

Επομένως

( ) ( ) ( )11 32

0 0

2 ln 1 2 2 ln 1 2 2 ln 1 2.

2 2 3 6xI x dx

+ + + + + +⎡ ⎤= = =⎢ ⎥

⎣ ⎦∫

Άσκηση 13: Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα

( )P

I x y dxdy= +∫∫ ,

αν το Ρ ορίζεται από τις γραφικές παραστάσεις της παραβολής 2y x= και της ευθείας 1x = .

Λύση Αφού 2y x y x= ⇔ = ± , κατά συνέπεια το καμπυλόγραμμο τραπέζιο Ρ θα ορίζεται με τις σχέσεις: 0≤ x ≤ 1 και x− ≤ y≤ x (Σχήμα 11).

( )

[ ] ( ) ( ) ( )

1 1 1 2

0 0 0

1 1 12 2

0 0 01

3 11 11 3 22 2

0 0

0

2

1 1 22 2

42 2 2 3 12

xx x x x

x x x x x

x

x

yI x y dy dx xdy ydy dx x dy dx

x y x x dx x x x x x dx x xdx

xxx dx x dx

− − − − −

+

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪= + = + = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎡ ⎤= + − − = + + − = =⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥

= = = =⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫15 5 5

2 2 2

0

4 41 0 .5 5 5

x⎡ ⎤ ⎛ ⎞

= − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠

Page 254: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

48 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

O

x=1

x

x = y2

P

-2 2 4x

-3

-2

-1

1

2

3

y

Σχήμα 11

Άσκηση 14: Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα 2

P

I y dxdy= ∫∫ ,

αν το Ρ ορίζεται από τις γραφικές παραστάσεις της υπερβολής 1xy = και των ευθειών 0x = , 1y = , και 2y = .

Λύση

Το καμπυλόγραμμο τραπέζιο Ρ ορίζεται με τις ανισώσεις 1≤ y≤ 2 και 0≤ x≤ 1y

, αφού

11xy xy

= ⇔ = (Σχήμα 12).

Page 255: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 49

x

O

y=2

y=1

xy=1

P

-4 -2 2 4x

-3

-2

-1

1

2

3

y

Σχήμα 12

Επομένως, με βάση την Παρατήρηση 8 αυτού του κεφαλαίου, το διπλό ολοκλήρωμα I υπολογίζεται με τον ακόλουθο τρόπο:

[ ]

1 112 2 2 2

2 2 2 20

1 0 1 0 1 1

22 2 2 2

1 1

1 0

2 1 3 .2 2 2 2

y yyI y dx dy y dx dy y x dy y dy

y

yydy

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= = = = − =⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= = = − =⎜ ⎟⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Page 256: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

50 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Άσκηση 15: Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα

P

I xydxdy= ∫∫ ,

αν το Ρ ορίζεται από την ευθεία y x= και την παραβολή 2y x= .

Λύση Υπολογίζονται τα σημεία τομής των y x= και 2y x= μέσω της λύσης του μη γραμμικού συστήματος που ακολουθεί, και συγκεκριμένα:

( )2 2

2 22 2 2

0, 01 0 0 ή 10

ή1, 1

x yx xy x x xx x x x

y x y xy x y x y x x y

= =− == = == − =

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔= == = = = =

Επομένως υπάρχουν δύο σημεία τομής, το Ο(0, 0) και το Α(1, 1), όπως φαίνεται και στο Σχήμα 13.

Έτσι το Ρ ορίζεται από τις ανισώσεις 0 1x≤ ≤ και 2x y x≤ ≤ , ενώ το ζητούμενο διπλό ολοκλήρωμα I υπολογίζεται με τον ακόλουθο τρόπο.

2 2 2

1 1 1 12 2 4

0 0 0 0

1 11 1 4 6 4 4 6 63 5

0 0 0 0

2 2 2

1 1 1 1 0 1 0 1 .2 2 4 6 2 4 4 6 6 24

xx x

x x x

y x xI xydy dx x ydy dx x dx x dx

x xx dx x dx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞= = = = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= − = − = − − − =⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

Άσκηση 16: Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα

( )2 2

P

I x y dxdy= +∫∫ ,

αν το P ορίζεται από τις ευθείες 0y = , 1 0x y+ − = , και 1 0x y− + = .

Λύση Το σημείο τομής των δύο ευθειών 1 0x y+ − = και 1 0x y− + = υπολογίζεται με τη λύση του αντίστοιχου γραμμικού συστήματος, και είναι το Α(0, 1).

Page 257: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 51

P

A

O

y = x2

x-3 -2 -1 1

x

-1

1

2

3y

Σχήμα 13

Το καμπυλόγραμμο τραπέζιο, που στην ουσία είναι το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ , ορίζε-ται ως

1 1:

0 1y x y

Py

− ≤ ≤ −≤ ≤

(Σχήμα 14).

Έτσι το ζητούμενο διπλό ολοκλήρωμα I υπολογίζεται με τον ακόλουθο τρόπο.

Page 258: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

52 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

A

O

x Β Γ

x=y-1 x=1-y

P

-3 -2 -1 1x

-1

1

2

3y

Σχήμα 14

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

111 1 32 2 2

0 1 0 1

3 31 132 2 2

0 0

14 43

0

3

1 1 21 1 1 2 13 3 3

12 2 2 1 1 2 12 .3 4 3 4 3 2 6 6 3

yy

y y

xI x y dx dy xy dx

y yy y y y dy y y y dy

y yy

−−

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤− − ⎡ ⎤= + − − − − = − + − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤−= − + − = − + = =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∫ ∫

Άσκηση 17: Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα

P

I ydxdy= ∫∫ ,

αν το Ρ είναι το μέρος του κύκλου 2 2 2x y ρ+ = το οποίο βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x.

Page 259: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 53

P

y

xx Ο

κ

-1 1

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Σχήμα 15

Λύση Το καμπυλόγραμμο τραπέζιο ορίζεται ως

2 2:

0

ρ x ρP

y ρ x

− ≤ ≤

≤ ≤ − (Σχήμα 15),

ενώ το ζητούμενο διπλό ολοκλήρωμα I θα υπολογιστεί με τον ακόλουθο τρόπο, όπου Ρ είναι το ημικύκλιο κύκλου ( )Ο,κ ρ , 0ρ > , πάνω από τον άξονα x΄x.

( )2 22 2

2 32 2 2 3

0 0

1 1 2 .2 2 2 3 3

ρ x ρρ xρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

y xI ydy dx dx ρ x dx ρ x ρ−−

− − − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= = = − = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫

Άσκηση 18: Να προσδιοριστεί το σύνολο P το οποίο ορίζεται με τις ακόλουθες τρεις ανισώσεις: 1, 1 1, 0x y x y+ < − ≤ ≤ ≥ .

Άσκηση 19: Να προσδιοριστεί το σύνολο P το οποίο ορίζεται με τις ακόλουθες τρεις ανισώσεις: 2 22, 2 , 0x y x y x y+ ≤ + ≤ ≥ .

Άσκηση 20: Να προσδιοριστεί το σύνολο P το οποίο ορίζεται με τις ακόλουθες τρεις ανισώσεις: 8 , 2 ,4 24y x y x x y≤ ≥ + ≤ .

Page 260: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

54 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Page 261: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Κεφάλαιο 3

Διαφορικές εξισώσεις πρώ-της τάξης

3.1 Βασικές έννοιες, ορισμοί και θεωρήματα Ορισμός 1: Η εξίσωση στην οποία τα άγνωστα μεγέθη είναι, εκτός από συναρτήσεις μίας ή περισσοτέρων μεταβλητών, και οι παράγωγοί τους λέγεται διαφορική εξίσωση.

Ορισμός 2: Αν οι άγνωστες συναρτήσεις είναι συναρτήσεις μίας ανεξάρτητης μεταβλη-τής, τότε η εξίσωση ονομάζεται συνήθης διαφορική εξίσωση.

Ορισμός 3: Αν οι άγνωστες μεταβλητές είναι δύο ή περισσότερες, στη διαφορική εξίσω-ση εμφανίζονται μερικές παράγωγοι και τότε η εξίσωση ονομάζεται μερική διαφορική εξίσωση.

Ορισμός 4: Συνήθης διαφορική εξίσωση n τάξης λέγεται η εξίσωση της μορφής , όπου ( )( , , , ,..., 0nF x y y΄ y΄΄ y =) y είναι άγνωστη συνάρτηση με ανεξάρτητη μεταβλη-

τή την x και

( )n

nn

d yydx

= ,

ενώ η F είναι δεδομένη συνάρτηση η οποία έχει 2n + παραγώγους.

Ορισμός 5: Η μεγαλύτερη δύναμη της μεταβλητής στη διαφορική εξίσωση λέγεται τάξη της διαφορικής αυτής εξίσωσης. ( )( , , , ,..., 0nF x y y΄ y΄΄ y =)

Ορισμός 6: Η εξίσωση ( ), , 0F x y y΄ = λέγεται συνήθης διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης.

Ορισμός 7: Η παραγωγίσιμη συνάρτηση ( )y xϕ= , ορισμένη σε κάποιο διάστημα Δ, λέ-γεται λύση της διαφορικής εξίσωσης ( ), , 0F x y y΄ = αν, για κάθε , το σημείο x∈Δ( ), ( ), ( )A x x ΄ xϕ ϕ ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης F και ισχύει επίσης ότι ( ), ( ), ( ) 0F x x ΄ xϕ ϕ = .

Ορισμός 8: Η γραφική παράσταση οποιασδήποτε λύσης της εξίσωσης λέγεται ολοκληρωτική καμπύλη.

( ), , 0F x y y΄ =

Ορισμός 9: Η διαδικασία εύρεσης της λύσης της εξίσωσης ( ), , 0F x y y΄ = λέγεται ολο-κλήρωση της διαφορικής εξίσωσης.

Page 262: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

56 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Επισημαίνουμε ότι βασικός τύπος συνήθους διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης είναι οι εξισώσεις εκείνες που είναι λυμένες ως προς μία μεταβλητή. Με άλλα λόγια, είναι οι εξι-σώσεις της μορφής ( ),y΄ f x y= .

3.2 Λύση της συνήθους διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης

Έστω μια περιοχή , καθώς και ότι η συνάρτηση 2G R⊆ f της εξίσωσης ( ),y΄ f x y= ορίζεται στην περιοχή αυτή και ( )0 0,A x y G∈ είναι ένα τυχαίο σημείο. Η ζητούμενη λύση ( )y xϕ= της εξίσωσής ( ),y΄ f x y= ορίζεται σε κάποια περιοχή του σημείου 0x η οποία επαληθεύει την εξίσωση ( )0 0x yϕ = . Αυτό είναι γνωστό και ως άσκηση Cauchy.

Θεώρημα 1 (Peano): Έστω ότι η συνάρτηση f είναι ορισμένη και συνεχής σε ένα ορ-θογώνιο 0 0| | ,| | ,G x x a y y b a b= − ≤ − ≤ − > 0 . Τότε η άσκηση Cauchy έχει τουλάχι-στον μία λύση, ορισμένη ως [ ]0 0,x x h x h∈ − + , όπου

min ,bh aM

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

και

( )( )

,max | , |x y G

M f x y∈

= .

Θεώρημα 2: Έστω ότι ισχύουν τα ακόλουθα:

1) Η συνάρτηση f είναι ορισμένη και συνεχής σε ένα ορθογώνιο 0 0| | ,| | ,G x x a y y b a b= − ≤ − ≤ − > 0 .

2) Για τη συνάρτηση f ισχύει ότι ( ) ( )1 2 1| , , | | 2 |f x y f x y L y y− ≤ − , όπου και L R∈( )1,x y , ( 2, )x y είναι δύο σημεία του . G

Τότε η άσκηση Cauchy έχει μοναδική λύση, ορισμένη ως [ ]0 0,x x h x h∈ − + , όπου

min ,bh aM

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

και

( )( )

,max | , |x y G

M f x y∈

= .

Σχετικά με τα προηγούμενα για τη λύση μιας διαφορικής εξίσωσης, μπορούμε να πούμε ότι αυτή μπορεί να παρουσιάζεται με μη πεπλεγμένο, με πεπλεγμένο, ή με παραμετρικό τρόπο, όπως φαίνεται και στις ασκήσεις 1, 2, και 3 της επόμενης ενότητας, αντίστοιχα.

Τέλος αναφέρουμε ότι στη διαδικασία της λύσης μιας διαφορικής εξίσωση χρησιμοποιεί-ται ολοκλήρωμα (αόριστο), και η έτσι η λύση της διαφορικής εξίσωσης μπορεί να λάβει τις ακόλουθες μορφές:

1) Μη πεπλεγμένη μορφή: ( )y xϕ= ή ( )x yψ=

2) Πεπλεγμένη μορφή: ( ), 0x yϕ =

3) Παραμετρική μορφή: ( ), ( )x t y tξ η= =

Page 263: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 57

Παρατήρηση: Όπου εμφανίζεται το y ή , αυτό θα ισούται με ή αντί-στοιχα.

y΄ ( )y x ( )y΄ x

3.3 Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση Άσκηση 1: Να λυθεί η ακόλουθη διαφορική εξίσωση: 2y΄ x= .

Λύση 22 2y΄ x y΄dx xdx y x c c R= ⇔ = ⇔ = + ∈∫ ∫ , .

Άσκηση 2: Να λυθεί η ακόλουθη διαφορική εξίσωση: 0x yy΄+ = .

Λύση 2

21

2 21

10 ( ) ( ) 0 ( )2 2

, , 2

xx yy΄ xdx y x y΄ x dx y x c

x y c c R c c

+ = ⇔ + = ⇔ + + = ⇔

⇔ + = ∈ = −

∫ ∫ 0

Άσκηση 3: Να λυθεί η ακόλουθη διαφορική εξίσωση: lnx y΄ y΄= + .

Λύση Θέτουμε , όποτε θα έχουμε ότι: y΄ t=

( ) 1 1ln ln ln 1x y΄ y΄ x t t dx d t t dx dt dt dx dtt t

⎛ ⎞= + ⇔ = + ⇔ = + ⇔ = + ⇔ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

Όμως

( )21( ) 1 1 ,2ty y΄ x dx t dt t dt t c c R

t⎛ ⎞= = + = + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∈ .

Οπότε οι ζητούμενες λύσεις θα είναι οι: 2

ln

,2

x t tty t c c

= +⎧⎪⎨

R= + + ∈⎪⎩

Άσκηση 4: Να λυθεί η ακόλουθη διαφορική εξίσωση: 3y΄ x= .

Άσκηση 5: Να λυθεί η ακόλουθη διαφορική εξίσωση: 2 ,y΄ x x 0= ≥ .

Page 264: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

58 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Page 265: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Κεφάλαιο 4

Διαφορικές εξισώσεις με χωρισμένες μεταβλητές

4.1 Βασικές έννοιες και ορισμοί 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0X x Y y dx X x Y y dy+ = XΟρισμός 1: Η διαφορική εξίσωση , όπου 1 X, 2 εί-

ναι δεδομένες συνεχείς συναρτήσεις του x ενώ είναι συνεχείς συναρτήσεις του , λέγεται διαφορική εξίσωση με χωρισμένες μεταβλητές.

y1 2,Y Y

Για , η προηγούμενη εξίσωση παίρνει την ακόλουθη μορφή: 1 2( ) ( ) 0Y y X x ≠

1 2

2 1

( ) ( )0

( ) ( )X x Y y

dx dyX x Y y

+ = .

Ολοκληρώνουμε την τελευταία εξίσωση και βρίσκουμε ότι:

1 2

2 1

( ) ( ),

( ) ( )X x Y y

dx dy c c RX x Y y

+ = ∈∫ ∫ .

Τα ολοκληρώματα αυτά μπορούν να γραφτούν και ως εξής:

0 0

1 2

2 1

( ) ( )0

( ) ( )

yx

x y

X x Y ydx dy

X x Y y+ =∫ ∫ .

( )y y x=Με βάση την εξίσωση αυτή παίρνουμε τη λύση , η οποία, για , διέρ-χεται από το σημείο ( )

2 ( ) 0Y y ≠

0 0,x y .

,x a y b= =Παρατήρηση: Αν είναι οι λύσεις των εξισώσεων , αντίστοιχα, τότε τα

1 2( ) 0, ( ) 0Y y X x= =,x a y b= = θα είναι λύσεις και της εξίσωσης

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0X x Y y dx X x Y y dy+ = .

Page 266: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

60 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

,x a y b= =Ορισμός 2: Αν οι λύσεις λαμβάνονται από την εξίσωση

1 2

2 1

( ) ( )( ) ( )

X x Y ydx dy c

X x Y y+ =∫ ∫

c R∈για συγκεκριμένη τιμή της παραμέτρου τότε λέγονται μερικές, ενώ στην αντίθετη περίπτωση λέγονται ειδικές λύσεις. Η εξίσωση

0 0

1 2

2 1

( ) ( )0

( ) ( )

yx

x y

X x Y ydx dy

X x Y y+ =∫ ∫

( ) ( ) 0X x Y y+ = ( ), ( )X x Y y, όπου μπορεί να γραφτεί και ως είναι συναρτήσεις οι ο-ποίες ορίζονται σε κάποια περιοχή των σημείων 0 0,x y υπό την προϋπόθεση ότι

. ( ) ( )1 0 2 00, 0Y y X x≠ ≠

Έστω ότι για ( ) ( )1 20, 0Y y Y y≠ ≠ ( ) *0 0, ,y y y Rδ δ δ +∈ − + ∈ . Τότε η συνάρτηση

είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα ( )0 0,y yδ δ− +( )Y y , και η εξίσωση μπορεί να λυθεί ως προς ως εξής: ( )1 ( )y Y X x−= −y( ) ( ) 0X x Y y+ = , όπου

είναι η αντίστροφη συνάρτηση της , η οποία είναι ορισμένη σε ένα ανοιχτό διάστη-μα θετικών πραγματικών αριθμώ, υπό τις προαναφερθείσες συνθήκες.

1 ( )y u−

( )Y y

Επομένως η σχέση ορίζεται για κάθε (1 ( )y Y X x−= − ) x για το οποίο . Α-φού , συνεπάγεται ότι η τελευταία ανισοτική σχέση θα ισχύει για αρκετά μι-κρές τιμές του

| ( ) |X x ≤ Δ

0( ) 0X x =

0| |x x− .

1 2( ) 0, ( ) 0X x X x≠ ≠Με ανάλογο τρόπο εργαζόμαστε και στην περίπτωση όπου σε κά-ποια περιοχή του σημείου 0x . Στην περίπτωση αυτή, η εξίσωση λύνε-ται ως προς

( ) ( ) 0X x Y y+ =( )1 ( )x X Y y−= −x , και συγκεκριμένα: , για αρκετά μικρές τιμές του

. 0| |y y−

4.2 Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση Άσκηση 1: Να λυθεί η διαφορική εξίσωση

dy ydx x

= .

Λύση

1 11

1 1 1 1

ln | | ln | | ln | | ln | | ln

| | | | , ,

c

c c

dy y xdy ydx dx dy dx dydx x x y x y

x xx y c x y c c ey y

y x e y xe c c c R

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔

⇔ = + ⇔ − = ⇔ = ⇔ =

⇔ = ⇔ = ± = − ∈

∫ ∫

Άσκηση 2: Να λυθεί η διαφορική εξίσωση

Page 267: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 61

( ) ( )2 21 1 dyx y y xdx

0+ + + = .

Λύση

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 21

2 2

2 2 2 2

1 1 0 1 1 0

0 01 1 1 11 1 1 1 1ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln2 2 2 2 2ln 1 ln 1 ln

ln 1 1 ln 1 1

dyx y y x x y dx y x dydx

x y x ydx dy dx dyx y x y

x y c x y c

x y c

x y c x y c

+ + + = ⇔ + + + = ⇔

⇔ + = ⇔ + = ⇔+ + + +

⇔ + + + = ⇔ + + + =

⇔ + + + = ⇔

⎡ ⎤⇔ + + = ⇔ + + =⎣ ⎦

∫ ∫

*1

1 ln ,2

c c c R+= ∈ με

Άσκηση 3: Να λυθεί η διαφορική εξίσωση

( )2 22 1y y y dx x dy 0− + + = ,

για (στην περιοχή 0 1( )0 00, 1x y x= y< ≤= ).

Λύση

( )

( )

2 22 2

2 22 2

2

2 12 1 0 01

2 1 1 1 10 01 1 2

1 1 ,1

y y y dx x dy dx dyx y y y

dx dy dx dyx xy y y y y y

yx c y c Ry c x

τοξεϕτοξεϕ

− + + = ⇔ + = ⇔+ −

⇔ + = ⇔ + =+ +− −

−⇔ − = ⇔ = ∈

+ +

∫ ∫ ∫ ∫ ⇔

( )2

11

yc xτοξεϕ

=+ +

0 1y< ≤ συνεπάγεται ότι . Από το

21 0,2x y y y+ = − =2 0 0, 1y y= =Από τις εξισώσεις συνεπάγεται ότι . Η λύση είναι μερική επειδή λαμβάνεται για . Η λύση c →+∞0y = 1y = είναι ειδική, αφού

λαμβάνεται με αντικατάσταση των δεδομένων ( )0 00, 1x y x= = στη λύση

( )2

11

yc xτοξεϕ

=+ +

,

από την οποία λαμβάνεται ότι . 0c =

Άσκηση 4: Να λυθεί η διαφορική εξίσωση 2 2 1x y y΄ y+ = .

Page 268: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

62 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Λύση

( )

2 2x y 2 2 2 2 2 2

2 22 2

2 2

2 2

2

1 1

1 111 1

1 1 1 1 ln | 1| ,1 2

dyy΄ y x y y x y dy dx ydx x y dy ydx dxdx

y yx y dy y dx dx dy dx dyx y x y

y ydx dy y y c c Rx y x

+ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = − ⇔

⇔ = − ⇔ = ⇔ = ⇔− −

+ −⇔ = ⇔ − = + + − + ∈

∫ ∫

∫ ∫

( )2 1x yΕπισημαίνουμε ότι όταν διαιρούμε με το − χάνονται οι λύσεις και . Η λύση είναι αποδεκτή, ενώ η λύση

0x = 1y =1y = 0x = απορρίπτεται, με βάση τα δεδομένα της

άσκησης. 2 1y΄ y=Άσκηση 5: Δίνεται η διαφορική εξίσωση +

(. Να υπολογιστεί η λύση της η ο-

ποία διέρχεται από το σημείο ) ( )0 0x y =

( )X x Y

, 0,0 .

Λύση ( ) 0y+ = θα έχουμε ότι: Με βάση τον τύπο – εξίσωση 0 ,x y y x x yτοξϕ

1y Y −

εϕ εϕ τοξεϕ− = ⇔ = =

Τότε από τον τύπο συμπεραίνουμε ότι ( )( )X x= − ,2 2

x π π⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠

2x y΄

.

Άσκηση 6: Να λυθεί η διαφορική εξίσωση ( )1 0xy+ + = .

( )2 22 1xy x 0y΄+ − =Άσκηση 7: Να λυθεί η διαφορική εξίσωση .

( )2y΄ y xΆσκηση 8: Να λυθεί η διαφορική εξίσωση εϕ= −2 22 2y x

.

0yy΄− − =Άσκηση 9: Να λυθεί η διαφορική εξίσωση . xΆσκηση 10: Να λυθεί η διαφορική εξίσωση 2 yy΄ += .

Page 269: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο
Page 270: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο
Page 271: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Κεφάλαιο 5

Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις

5.1 Βασικές έννοιες και ορισμοί ( ) ( ), ,P x y dx Q x y dy 0+ =Ορισμός 1: Η διαφορική εξίσωση της μορφής λέγεται ομο-

γενής διαφορική εξίσωση.

( ) ( ), , ,P x y Q x yΣτις ομογενείς διαφορικές εξισώσεις, οι συναρτήσεις είναι ομογενείς ως προς ,x y της ίδιας δύναμης.

Για τη λύση τους θέτουμε ή y cx= x ty= ,c t R∈, , το οποίο μας οδηγεί σε διαφορική εξίσωση με χωρισμένες μεταβλητές, η οποία λύνεται με τον τρόπο που αναφέρθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο.

Η διαφορική εξίσωση

1 1 1

2 2 2

a x b y cdy fdx a x b y c

⎛ ⎞+ += ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

,

υπό την προϋπόθεση ότι , μετασχηματίζεται σε ομογενή διαφορική εξί-σωση αν θέσουμε

1 2 2 1 0a b a b− ≠

1 2,x d y dξ η= + = + ,ξ η, όπου είναι δύο νέες μεταβλητές, ενώ οι σταθερές προσδιορίζονται από το 1 2,d d 2 2× γραμμικό σύστημα:

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

00

a d b d ca d b d c

+ + =+ + =

1 2 2 1 0a b a b− ≠ . το οποίο έχει μοναδική λύση, αφού

Αν , τότε θα έχουμε ότι: 2 21 2 2 1 2 20, 0a b a b a b− = + >

( ) ( )1 1 11 1 11 2 2

2 2 2 2 2 2

k a x b y ca x b y cdy dyf f f a x b ydx a x b y c dx a x b y c

+ +⎛ ⎞⎛ ⎞+ += ⇔ = =⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

2 2z a x b y= +Αν στην τελευταία εξίσωση θέσουμε , θα πάρουμε μια διαφορική εξίσωση με χωρισμένες μεταβλητές.

x ρσυνϕ= y ρημϕ=Παρατήρηση: Αν θέσουμε και , τότε η ομογενής διαφορική εξί-σωση θα μετασχηματιστεί σε διαφορική εξίσωση με χωρισμένες μεταβλητές.

Page 272: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

64 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

5.2 Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση Άσκηση 1: Να λυθεί η ομογενής διαφορική εξίσωση

, ,x yy΄ x y xx y

0+= ≠ >

−.

Λύση yy tx t y txx

= ⇔ = ⇔ =Θέτουμε .

dt dy dty΄ t x t x dy xdt tdxdx dx dx

= + ⇔ = + ⇔ = +Έτσι έχουμε .

( )( )

( )( ) ( )

( )

( ) ( )

2

212

12 2 2

1 11 1

1 11 1 01 1

1 1 10 ln ln 11 2

1ln ln 1 ln ln ln 1 l2

x tx y dt x tx dt dt ty΄ t x t x t xx y dx x tx dx x t dx t

tdx xdt t ttdx xdt t t dx dx dtdx t x t

tdx dt x t t cx t

x t t c x t t

τοξεϕ

τοξεϕ τοξεϕ

++ + += ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔

− − − −

+ − −⇔ = ⇔ + + = − ⇔ + =

+ +−

⇔ + = ⇔ + + − = ⇔+

⇔ + + − = ⇔ + + − =

∫ ∫

1⇔

2 2

2 22

2 2 *1

n

ln ln 1 ln ln 1 ln ln

1 1ln ln 1

, ln ,

t

tt t

yx

c

x t t c x t e c

x t x tc c x t cee e

x y ce c c c R

τοξεϕ

τοξεϕτοξεϕ τοξεϕ

τοξεϕ

τοξεϕ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+

⇔ + + − = ⇔ + − = ⇔

+ +⇔ = ⇔ = ⇔ + = ⇔

⇔ + = = ∈

Άσκηση 2: Να λυθεί η ομογενής διαφορική εξίσωση

( ) ( )2 2 2 22 2x xy y dx y xy x dy+ − + + − = 0 .

Λύση yy tx tx

= ⇔ = . Θέτουμε

dt dy dty΄ t x t x dy xdt tdxdx dx dx

= + ⇔ = + ⇔ = +Έτσι έχουμε .

( ) ( )( ) ( )( )

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 0

2 2

x xy y dx y xy x dy

x tx t x dx t x x t x xdx tdx

+ − + + − = ⇔

⇔ + − + + − + = ⇔0

Page 273: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 65

( ) ( )

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

23 2 2

3 2

2 2

2 2

22 2 2

1 2 11 2 1 0 01

1 2 1 1 2 10 01 1 1 1

1 1 1 1 ,

t tt t t dx t t xdt dx dtx t t t

t t t tdx dt dx dtx xt t t t

y yx t c t x c x y c x y cx x

+ −⇔ + + + + + − = ⇔ + = ⇔

+ + ++ − + −

⇔ + = ⇔ + = ⇔+ + + +

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ + = + ∈⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

R

)1

Όταν διαιρούμε με το μπορεί να χαθούν οι λύσεις ( )(2 1x t t+ + 0x = και . Εί-ναι προφανές ότι το δεν είναι ρίζα της δεδομένης διαφορικής εξίσωσης. Από την άλλη πλευρά όμως, το

1t = −0x =

1 1yt yx

= − ⇔ = − ⇔ = −x

είναι ρίζα της εξίσωσης.

Άσκηση 3: Να λυθεί η ομογενής διαφορική εξίσωση

( ) ( )1 3x y dx y x dy+ + + − − = 0 .

Λύση Επειδή , θέτουμε ( )1 2 2 1 1.1 1 .1 2 0a b a b− = − − = ≠ 1 2,x d y dξ η= + = + οπότε και , με τις παραμέτρους να ορίζονται από το

dx dξ=

1 2,d d 2 2×dy dη= γραμμικό σύστημα

( )1 2 1

1 2 2

1. 1. 1 0 21 . 1. 3 0 1

d d dd d d+ + = = −

⇔− + − = =

.

, x y 2, 1ξ η− + με αντίστοιχα, και παίρνουμε ότι: Υλοποιούμε αντικατάσταση των

( ) ( ) 0 ,dd dd

η ξ ηξ η ξ η ξ η ξ ηξ ξ η

++ + − = ⇔ = ≠

−.

Με βάση την άσκηση 1, θα έχουμε ότι:

( ) ( )1

2 22 2 *22 1 ,yxce x y ce c R

ητοξεϕ τοξεϕξξ η⎛ ⎞ −⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠

++ = ⇔ + + − = ∈

Άσκηση 4: Να λυθεί η ομογενής διαφορική εξίσωση

( ) ( )2 1 4 2 3x y dx x y dy+ + − + − = 0

y

.

Λύση Επειδή , θέτουμε 1 2 2 1 2.2 4.1 0a b a b− = − = 2z x= + από το οποίο συνεπάγεται ότι:

22 2dz dx dy dydz dx dy z΄dx dx dx

+= + ⇔ = ⇔ = + .

Page 274: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

66 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )2 *

1 1

2 1 4 2 3 0 5 1 2 3 02 3 2 30 0 ln | 1| 2 5

5 1 5 112 1 , ,y x

y dx x y dy z dx z dzz zdz dx dz c z z xz z

x y c e c c Rc

−+

+ + − + − = ⇔ − − − = ⇔

− −⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = − ⇔

− −

⇔ + − = = ∈

∫ ∫

x

dx

Άσκηση 5: Να λυθεί η ομογενής διαφορική εξίσωση

ln yxy΄ y xx

= + .

Άσκηση 6: Να λυθεί η ομογενής διαφορική εξίσωση xdy 2 2x y y= − + . dx

Άσκηση 7: Να λυθεί η ομογενής διαφορική εξίσωση

( )1 2 1 dyy xdx

= − −x y− +

2 3x y΄

Άσκηση 8: Να λυθεί η ομογενής διαφορική εξίσωση

4 2y xy= + .

Page 275: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο
Page 276: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο
Page 277: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Κεφάλαιο 6

Γραμμικές εξισώσεις πρώτης τάξης

6.1 Βασικές έννοιες και ορισμοί Ορισμός 1: Η εξίσωση της μορφής

( ) ( )dy a x y b xdx

+ =

λέγεται γραμμική διαφορική εξίσωση. Ορισμός 2: Η γραμμική διαφορική εξίσωση

( ) 0dy a x ydx

+ =

λέγεται ομογενής διαφορική εξίσωση. Διακρίνουμε συνολικά τρεις τρόπους – μεθόδους υπολογισμού της λύσης γραμμικών διαφορικών εξισώσεων, και συγκεκριμένα: τη μέθοδο Lagrange, τη μέθοδο Bernoulli, και τέλος τη μέθοδο της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες. Αναλυτικότερα:

Μέθοδος Lagrange Θεωρούμε την ομογενή διαφορική εξίσωση

( ) 0dy a x ydx

+ = .

Η λύση της θα είναι η . Τότε η λύση της γραμμικής διαφορικής εξίσω-σης

( )a x dxy ce

−∫=

( ) ( )dy a x y b xdx

+ =

Page 278: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 69

θα αναζητείται στη μορφή της . ( )

( )a x dx

y c x e−∫=

( ) ( )dy a x y b xdx

+ =Από την εξίσωση συνεπάγεται ότι:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )a x dx a x dxdc x b x e c x c b x e dx

dx∫ ∫= ⇔ = + ∫ , όπου c R∈ .

Κατά συνέπεια, η λύση της ζητούμενης γραμμικής διαφορικής εξίσωσης θα ισούται με:

( ) ( )( )

a x dx a x dxy e c b x e dx

− ⎡ ⎤∫ ∫= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫

( ) ( )dy a x y b xdx

+ =Για τη λύση της εξίσωσης , η οποία επαληθεύει την εξίσωση

, εργαζόμαστε με τη βοήθεια του ακόλουθου τύπου: ( )0y x y= 0

0

0

( ) ( )

0 ( )

x x

x

a t dt x a t dt

x

y y e b e dττ τ− ∫ ∫

= + ∫

Μέθοδος Bernoulli Η λύση της γραμμικής διαφορικής εξίσωσης

( ) ( )dy a x y b xdx

+ =

( ) ( )y u x v x=αναζητείται στη μορφή . Τότε έχουμε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )du dvv x u x a x u x v x b xdx dx

+ + = .

Έστω ότι είναι η λύση της εξίσωσης ( )u x

( ) ( ) 0du a x u xdx

+ =

και για παράδειγμα . ( )

( )a x dx

u x e−∫=

Page 279: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

70 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

( )( )

a x dx dve bdx

−∫ =Τότε η συνάρτηση πρέπει να επαληθεύει την εξίσωση ( )v x x . Επο-

μένως ( )

( ) ( ) , a x dx

v x c b x e dx c R∫= + ∈∫ .

Κατά συνέπεια, η λύση της ζητούμενης γραμμικής διαφορικής εξίσωσης θα είναι η ακόλουθη:

( ) ( )( ) ( ) ( )

a x dx a x dxy u x v x e c b x e dx

− ⎡ ⎤∫ ∫= = +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ .

Μέθοδος ολοκληρωτικών παραγόντων Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης

( ) ( )dy a x y b xdx

+ =

με τον παράγοντα και τη γράφουμε με τον ακόλουθο τρόπο: ( )a x dx

e∫

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

a x dx a x dx a x dx a x dx

a x dx a x dx

d ye b x e ye c b x e dxdx

y e c b x e dx−

⎛ ⎞∫ ∫ ∫ ∫= ⇔ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤∫ ∫⇔ = +⎢ ⎥⎣ ⎦

Παρατήρηση 1: Ορισμένες διαφορικές εξισώσεις μετασχηματίζονται σε γραμμικές αν θεωρήσουμε το x ως συνάρτηση, ενώ το ως μεταβλητή. Έτσι, για παράδειγμα, η διαφορική εξίσωση

y

( ) ( ) ( ) 0dxA y B y x C ydy

+ − =

λύνεται με τρόπο ανάλογο με εκείνον της γραμμικής διαφορικής εξίσωσης

( ) ( )dy a x y b xdx

+ = ,

αν τη μετασχηματίσουμε στη μορφή

( ) ( )dx y x f ydy

ϕ+ = , όπου ( )( )( )

B yyA y

ϕ =( )( )( )

C yf yA y

= και .

Σε γραμμική διαφορική εξίσωση μετασχηματίζονται και οι εξισώσεις της μορφής

Page 280: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 71

( ) ( ) ( ) ( )dyf΄ y f y a x bdx

+ = x

( )z f y=στις οποίες υλοποιούμε την αλλαγή μεταβλητής . Με τον τρόπο αυτό και στις δύο προαναφεόμενες περιπτώσεις, η λύση θα έχει την ακόλουθη μορφή:

( ) ( )( )

a y dy a y dyx e c b y e d

−y⎡ ⎤∫ ∫= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ .

Ορισμός 3: Η εξίσωση

( ) ( ) ndy a x y b x ydx

+ = ,

0,1n ≠ λέγεται εξίσωση Bernoulli. Αν την εξίσωση Bernoulli διαιρέσουμε με , τότε αυτή μετασχηματίζεται στην ακόλουθη μορφή:

, 0,1ny n ≠

1( ) ( ), 0n ndyy a x y b x ydx

− −+ = ≠ ,

η οποία οδηγείται σε γραμμική διαφορική εξίσωση, αφού πρώτα θέσουμε . 1 nu y −=

Ορισμός 4: Η εξίσωση

2( ) ( ) ( )dy a x y b x y c xdx

+ + =

λέγεται εξίσωση Riccati. Παρατήρηση 2: Η προαναφερθείσαν διαφορική εξίσωση Riccati δεν λύνεται ως δευ-τεροβάθμια.

Αν για τη διαφορική εξίσωση Riccati είναι γνωστή και μια μερική της λύση , τότε η εξίσωση 1 ( )y y x=

2( ) ( ) ( )dy a x y b x y c xdx

+ + =

z1y y z= + , όπου οδηγείται σε μορφή εξίσωσης Bernoulli, αφού πρώτε θέσουμε είναι μια νέα μεταβλητή, όπως θα αναλυθεί και στις ακσήσεις που ακολουθούν.

Page 281: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

72 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

6.2 Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση Από τις ασκήσεις που ακολουθούν, οι Ασκήσεις 1, 2 και 3 αναφέρονται στις μεθό-δους Lagrange, Bernoulli και ολοκληρωτικών παραγόντων, οι Ασκήσεις 4, 5, 6 και 7 στην εξίσωση Bernulli, ενώ οι Ασκήσεις 8 και 9 στην εξίσωση Riccati.

Άσκηση 1: Να λυθεί η ακόλουθη διαφορική εξίσωση:

, 0xy΄ y x x+ = > .

Λύση 1 1xy΄ y x y΄ yx

+ = ⇔ + = , για 0x >Έχουμε ότι:

1( ) , ( ) 1a x b xx

= =Επομένως .

( ) ( )( )

a x dx a x dxy e c b x e dx

− ⎡ ⎤∫ ∫= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ θα έχουμε τα ακόλουθα: Με βάση τον τύπο

( ) ( )

( )

1 1ln ln 1

2

1.

1 1 ,2 2

dx dx x xx xy e c e dx y e c e dx y x c xdx

x c xy c xdx y c y c Rx x x

− − −⎛ ⎞∫ ∫= + ⇔ = + ⇔ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⇔ = + ⇔ = + ⇔ = + ∈⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫

⇔∫

Άσκηση 2: Να λυθεί η ακόλουθη διαφορική εξίσωση:

( ) 21 3 ,xxy΄ x y x e x− 0+ + = > .

Λύση

( ) 2 11 3 3x xxxy΄ x y x e y΄ y xex

− −++ + = ⇔ + =Έχουμε ότι:

1( ) , ( ) 3 xxa x b x xex

−+= =Επομένως .

( ) ( )( )

a x dx a x dxy e c b x e dx

− ⎡ ⎤∫ ∫= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ θα έχουμε τα ακόλουθα: Με βάση τον τύπο

Page 282: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 73

( ) ( )( ) ( ) ( )

1 11 1 1 1

ln ln ln ln

1 2

3 3

3 3

1 13 3

x x dx dxdx dxx xx xx x

x x x x x x x x

xx x

y e c xe e dx y e c xe e dx

y e c xe e e dx y e e c xe dx

3 ,y e x c xxdx y c x dx y c x cxe xe

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − + +− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− − − − −

− −

⎛ ⎞⎛ ⎞ ∫ ∫∫ ∫= + ⇔ = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇔ = + ⇔ = + ⇔

⇔ = + ⇔ = + ⇔ = + ∈

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ R

Page 283: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

74 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Άσκηση 3: Να λυθεί η ακόλουθη διαφορική εξίσωση:

23yy΄

x y=

−.

Λύση x,x yΑλλάζουμε τους ρόλους των θεωρώντας το ως συνάρτηση και το ως μετα-

βλητή (Παρατήρηση 1). Αυτό είναι δυνατό για , οπότε

y

2 03

yx y

>−

0y΄ > , ή για

, οπότε 2 03

yx y

<−

0y΄ < .

Με βάση αυτά θα έχουμε:

2

2 2

3 33 3

y dy y dx x y dxy΄ x yx y dx x y dy y dy y

−= ⇔ ⇔ ⇔ = ⇔ − =

− −−

3( ) , ( )a y b y yy

= − = − . Οπότε:

( ) ( )( )

a y dy a y dyx e c b y e d

−y⎡ ⎤∫ ∫= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ θα έχουμε τα ακόλουθα: Με βάση τον τύπο

( )

( ) ( ) ( )( )

3 3

3 3 1 13 3

3ln 3ln ln ln 3 3

3 2 3 1 ,

dy dy dy dyy y y y

y y y y

x e c y e dy x e c ye dy

x e c ye dy x e c ye dy x y c yy dy

x y c y dy x y c c Ry

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −

⎡ ⎤ ⎛ ⎞∫ ∫ ∫ ∫⎢ ⎥= + − ⇔ = − ⇔⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔

⎛ ⎞⇔ = − ⇔ = + ∈⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫

∫ ∫

Άσκηση 4: Να λυθεί η ακόλουθη διαφορική εξίσωση : 2 2y΄ y x y+ = .

Page 284: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 75

Λύση Η εν λόγω διαφορική εξίσωση είναι εξίσωση Bernoulli. Έτσι διαιρούμε και τα δύο

μέλη της δεδομένης διαφορικής εξίσωσης με το 22

1yy−= και παίρνουμε το ακόλου-

θο: 2 2

2 2 2 1 22 2 2

y΄ y x y dyy΄ y x y y y xy y y dx

− −+ = ⇔ + = ⇔ + =

Page 285: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

76 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Θέτουμε , οπότε θα έχουμε ότι: 1u y−=1

2 22

1du dy du dy du dy dy duy ydx dx dx dx dx dx dx dxy

−−= ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − .

Έτσι:

2 1 2 2 2 2 2dy du du duy y x y y u x u x udx dx dx dx

− − − ⎛ ⎞+ = ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

2x

Η τελευταία διαφορική εξίσωση λύνεται ως γραμμική (Μέθοδος Lagrange ή Ber-noulli) με συνάρτηση τη η οποία έχει ως ανεξάρτητη μεταβλητή την u x . Έτσι

και ( ) 1a x = − ( ) 2b x x= − , οπότε παίρνουμε το ακόλουθο:

( ) 12 1 2 22 2 2 2 2 2x xu x x ce y x x ce y x x ce−−= + + + ⇔ = + + + ⇔ = + + + x

0y =Αναφέρουμε ότι η λύση δεν είναι ειδική.

Άσκηση 5: Να λυθεί η ακόλουθη διαφορική εξίσωση:

( )2 ln 1 0xy΄ y y x− − = .

Λύση 2xyΔιαιρούμε και τα δύο μέλη της δεδομένης διαφορικής εξίσωσης με το και παίρ-

νουμε το ακόλουθο:

( ) 2

22 1

2 2 2

2 1

2 ln 1 0 2 ln 0

2 ln 1 ln0 2

1 ln2

xy΄ y y x xy΄ y x y

xy΄ y x y xy y΄ yxy xy xy x x

dy xy ydx x x

− −

− −

− − = ⇔ − + = ⇔

⇔ − + = ⇔ + = ⇔

⇔ + =

Θέτουμε , οπότε θα έχουμε ότι: 1u y−=1

2 22

1du dy du dy du dy dy duy ydx dx dx dx dx dx dx dxy

−−= ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = −

2 2 11 ln 1 l2 2du x du xy y y udx x x dx x x

− −⎛ ⎞− + = ⇔ − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

nΕπομένως

Page 286: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 77

( ) ln2 xb xx

= −( ) 1a xx

= −Κατά συνέπεια , , αν λάβουμε υπόψη ότι έχουμε συνάρ-

τηση u με ανεξάρτητη μεταβλητή την x . ( ) ( )

( )a x dx a x dx

y e c b x e dx− ⎡ ⎤∫ ∫= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫Με βάση τον τύπο , θα έχουμε τα ακόλουθα:

( ) ( )

1 1 1 1

ln ln 1

12

ln ln2 2

ln ln2 2

ln2 2 ln 1 2 ln 1

dx dx dx dxx x x x

x x

x xu e c e dx u e c e dxx x

x xu e c e dx u x c x dxx x

xu x c dx u cx x y cx xx

y cx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∫ ∫⎛ ⎞ ⎛ ⎞∫ ∫= + − ⇔ = + −⎢ ⎥ ⇔⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ = − ⇔ = − ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⇔ = − ⇔ = + + ⇔ = + + ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔ = +

∫ ∫

∫ ∫

( ) 12 ln 1 ,x c R

−+ ∈⎡ ⎤⎣ ⎦

Αναφέρουμε ότι η λύση 0y = η οποία λαμβάνεται από την εξίσωση δεν είναι ειδική.

2 0xy =

Άσκηση 6: Να λυθεί η ακόλουθη διαφορική εξίσωση:

( )22 lnx y y x y΄ y− = .

Λύση Επειδή στην εξίσωση έχουμε τη συνάρτηση , θα κάνουμε αλλαγή των ρόλων των y

,x y , και συγκεκριμένα:

( ) 21 2 lndx x y xdy y

+ = .

Η τελευταία εξίσωση είναι εξίσωση Bernoulli. Διαιρούμε και τα δύο μέλη της με το και παίρνουμε: 2 0x ≠

2 1 1 2 lndxx x ydy y

− −+ = .

Θέτουμε , οπότε 1u x−=

2 2du dx dx dux xdx dy dy dx

−= − ⇔ = −

Page 287: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

78 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

και κατά συνέπεια θα έχουμε ότι: 1 12 ln 2 lndu duu y u

dy y dy y− + = ⇔ − = − y .

( ) 1a yy

= − ( ) 2 lnb y y= − και . Επομένως

Κατά συνέπεια, με βάση τον τύπο ( ) ( )

( )a y dy a y dy

x e c b y e d−

y⎡ ⎤∫ ∫= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ,

θα έχουμε τα ακόλουθα:

( ) ( ) ( ) 12 1 2 2ln ln lnu y c y x y c y x y c y−

− ⎡ ⎤= − ⇔ = − ⇔ = −⎣ ⎦

Επειδή η δεν είναι λύση της εξίσωσης αυτής, τότε μπορούμε να πούμε ότι η δεδομένη εξίσωση δεν έχει ειδική λύση.

0x =

Άσκηση 7: Να λυθεί η ακόλουθη διαφορική εξίσωση:

( )2 *2 , , ny x ay x y΄ a R n N= − ∈ ∈ * .

Λύση

( )2 2

2 2 22n

n dx x ay xy x ay x y΄dy y

−= − ⇔ = .

xΤο τελευταίο είναι εξίσωση Bernoulli ως προς .

2 2du dx dx dux xdx dy dy dx

−= − ⇔ = −Θέτουμε , οπότε 1u x−= .

2 2 2 22 12 2n n

ndx x ay x du x ay x du 2x u aydy y dx y dy y

−− −= ⇔ − = ⇔ + = .

( ) 2a yy

= ( ) 1nb y ay −= και . Οπότε

Κατά συνέπεια, και με βάση τον τύπο ( ) ( )

( )a y dy a y dy

x e c b y e d−

y⎡ ⎤∫ ∫= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ,

θα έχουμε τα ακόλουθα:

Page 288: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 79

2 2 2 21 1

2 2

1 12 22

2

1 12 2

1 ,2 2

n ndy dyny y

n n

y yu e c ay e dy c a x c an ny y

y yx c a x y c a c Rn ny

+ +−− −

− −+ +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∫ ∫= + = + ⇔ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ = + ⇔ = + ∈⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Άσκηση 8: Να λυθεί η ακόλουθη διαφορική εξίσωση: 2 2 2 4x y΄ xy x y+ + =

2yx

=με μερική λύση της την .

Λύση 2y 2

2y΄ u΄x

= − +ux

= +Θέτουμε , οπότε .

Επομένως . Η τελευταία είναι εξί-σωση Bernoulli ως προς

2 2 2 2 2 24 5x y΄ xy x y x u΄ xu x u+ + = ⇔ + + = 0x .

1u− z=Έτσι διαιρούμε με και εν συνεχεία θέτουμε 2u , οπότε:

2 2dz duu z΄ u u΄dx dy

− −= − ⇔ = −

2 2 1 2 1 55 0 5 1 dzx u u΄ xu x z΄ z z 1x dx x

− −+ + = ⇔ − = ⇔ − = . και κατά συνέπεια

( ) 5a xx

= ( ) 1b x =από το οποίο συμπεραίνεται ότι: και επίσης .

Με βάση τον τύπο

( ) ( )( )

a x dx a x dxy e c b x e dx

− ⎡ ⎤∫ ∫= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ,

θα έχουμε τα ακόλουθα:

Page 289: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

80 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

15 1 5 5

15

5

24 4

2 2 4 ,4 4

x xz cx u cx y cxx

xy cx y c Rx x cx x

−−

⎛ ⎞= − ⇔ = − ⇔ − = − ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⇔ − = − ⇔ = + ∈⎜ ⎟ −⎝ ⎠

4x

z

0u =1u− =Όταν θέτουμε χάνεται η λύση από την οποία συνεπάγεται ότι 2yx

= ,

η οποία είναι μερική λύση της δεδομένης διαφορικής εξίσωσης.

Άσκηση 9: Να λυθεί η ακόλουθη διαφορική εξίσωση:

( )2 2 21 2y΄ x y x y x 0− − + + = 2y x= −με μερική λύση της την .

Λύση Θέτουμε , οπότε 2y z x= − 2y΄ z΄ x= − .

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

22 2 2 2 2 2 2

2 2 2 22 2 2

2 2 22 2 2 2

1 2 0 2 1 2

1 3 3 1 11 31 11 1

y΄ x y x y x z΄ x x z x x z x x

x z΄ z x z z΄ xx z΄ z x zzz x xz x z x

− − + + = ⇔ − − − − + − + = ⇔

− −⇔ − = − ⇔ = ⇔ = − +

− −− −

0

z

2 2du dzu u ΄ z΄dy dx

− −Θέτουμε , οπότε 1u− = u− = ⇔ − = .

2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 32

2 2

3 1 1 3 1 11 1 1 1 1 1

1 1 1 ,1

z΄ x x c x c xu΄ u uz zz x x x x x xc x x x cx xy x y c R

c x c xy x x

− −= − + ⇔ = − ⇔ = ⇔ = ⇔

− − − − − −− − − − +

⇔ = ⇔ + = ⇔ = ∈− −+ −

1x = 20z y x= ⇔ = δεν είναι λύση, ενώ η Η είναι μερική λύση της δεδομένης δι-αφορικής εξίσωσης.

Από τις Ασκήσεις που ακολουθούν, οι Ασκήσεις 10 – 15 αναφέρονται στις μεθόδους Lagrange, Bernoulli και ολοκληρωτικών παραγόντων, οι Ασκήσεις 16 – 22 στην εξί-σωση Bernoulli και οι Ασκήσεις 23 – 29 στην εξίσωση Riccati.

Page 290: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 81

Άσκηση 10: Να λυθεί η ακόλουθη διαφορική εξίσωση:

( ) ( )22 1 1 xx y΄ x y xe−+ − − = .

Άσκηση 11: Να λυθεί η ακόλουθη διαφορική εξίσωση:

( ) ( )1

2 221 1 1 xxy΄ x y x−

+ − = + − e .

Άσκηση 12: Να λυθεί η ακόλουθη διαφορική εξίσωση:

( ) ( )1 2x y΄ x y xημ συν− + = εϕ .

Άσκηση 13: Να λυθεί η ακόλουθη διαφορική εξίσωση:

( )2 4 lnx y dy ydx ydy+ = + .

Άσκηση 14: Να λυθεί η ακόλουθη διαφορική εξίσωση:

2 1,4 2

y΄ y x y y πεϕ συν ⎛ ⎞+ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Άσκηση 15: Να λυθεί η ακόλουθη διαφορική εξίσωση:

( )2 34 5, 12 2

yy΄ x x yx

− = + + − =+

.

Άσκηση 16: Να λυθεί η ακόλουθη διαφορική εξίσωση: 2 2 3 3x y y΄xy = .

Άσκηση 17: Να λυθεί η ακόλουθη διαφορική εξίσωση: 2 ln 0xy΄ y x y+ − + = .

Άσκηση 18: Να λυθεί η ακόλουθη διαφορική εξίσωσης:

21y΄ yxy

= − .

Άσκηση 19: Να λυθεί η ακόλουθη διαφορική εξίσωση:

( ) ( )2 24 4 2x y΄ y x− − = − + y .

Άσκηση 20: Να λυθεί η ακόλουθη διαφορική εξίσωση:

Page 291: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

82 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

x4y΄ y x yσυν εϕ= + .

Page 292: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Κεφάλαιο 7

Μιγαδικοί αριθμοί

7.1 Βασικές έννοιες, ορισμοί και θεωρήματα Ορισμός 1: Το διατεταγμένο ζεύγος σημείων λέγεται μιγαδικός αριθμός. Συμβολί-ζεται με ( ή με .

, a b)

),a b z

Ο μιγαδικός αριθμός θα ισούται με τον πραγματικό αριθμό , δηλαδή και, ως ειδική περίπτωση, ο μιγαδικός αριθμός (0,0) θα ισούται με το 0. Κατά συνέπεια, το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι ένα υποσύνολο του συνόλου των μιγαδικών αριθμών, το οποίο συμβολίζεται συνήθως με το λατινικό γράμμα C και θα ισούται με

( ,0a a ( ),0a a=

( ) , , ,C z a b a b R= = ∈ .

Ορισμός 2: Έστω ότι και (1 1 1,z a b= ) ( )2 2 2,z a b= είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί. Λέμε ότι οι δύο αυτοί μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι αν και μόνο αν 1a a2= και . 1 2b b=

Ορισμός 3: Άθροισμα δύο μιγαδικών αριθμών ( )1 1 1,z a b= και λέγεται ο μιγαδικός αριθμός . Αυτό συμβολίζεται και ως

(2 2 2,z a b= ))( 1 2 1 2,z a a b b= + + 1 2z z z= + .

Ορισμός 4: Γινόμενο δύο μιγαδικών αριθμών ( )1 1 1,z a b= και ( )2 2 2,z a b= λέγεται ο μιγαδικός αριθμός . Συμβολίζεται και ως . ( 1 2 1 2 1 2 2 1,z a a b b a b a b= − + ) 1 2z z z=

Θεώρημα 1: Έστω ότι , ( )1 1 1,z a b= ( )2 2 2,z a b= , και ( )3 3 3,z a b= είναι τρεις μιγαδι-κοί αριθμοί. Τότε ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:

i) (αντιμεταθετική ιδιότητα ως προς την πρόσθεση) 1 2 2z z z z+ = + 1

)ii) 1 2 2 1z z z z= (αντιμεταθετική ιδιότητα ως προς τον πολλαπλασιασμό)

iii) (προσεταιριστική ιδιότητα ως προς την πρόσθεση) ( ) (1 2 3 1 2 3z z z z z z+ + = + +

Page 293: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

84 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

iv) ( ) ( )1 2 3 1 2 3z z z z z z= (προσεταιριστική ιδιότητα ως προς τον πολλαπλασιασμό)

v) (επιμεριστική ιδιότητα) ( )1 2 3 1 2 1 3z z z z z z z+ = +

Θεώρημα 2: Υπάρχει μοναδικός μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει ότι , όπου και 1 2z z z+ = )(1 1 1,z a b= ( )2 2 2,z a b= είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί. Επιπλέον

. ( )2 1 2 1,z a a b b= − −

)Θεώρημα 3: Υπάρχει μοναδικός μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει ότι , όπου και είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί.

1 2z z z=( )1 1 1, 0z a b= ≠ (2 2 2,z a b=

Επιπλέον 1 2 1 2 1 2 2 12 2 2 21 1 1 1

,a a b b a b a b

za b a b

⎛ ⎞+ −= ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

.

Ορισμός 5: Οι αριθμοί , ( )0,0 0= ( )1,0 1= , και ( )0,1 i= λέγονται αντίστοιχα μηδέν, μονάδα, και φανταστική μονάδα.

Για τους προαναφερθέντες τρεις χαρακτηριστικούς αριθμούς συμπεραίνουμε τα ακόλου-θα: , , και 0z z+ = 0 0z ⋅ = 1z ⋅ = z 2 1i i i= ⋅ = − .

Ορισμός 6: Ο μιγαδικός αριθμός της μορφής z a bi= + λέγεται αλγεβρικός μιγαδικός αριθμός. Ισχύει ότι: ( ),a bi a b+ =

Ορισμός 7: Αν z a bi= + είναι ένας αλγεβρικός μιγαδικός αριθμός, τότε ο αριθμός λέγεται πραγματικό μέρος του μιγαδικού αριθμού, ενώ το λέγεται φανταστικό μέρος. Αυτά συμβολίζονται αντίστοιχα ως

ab

Re( )z a= και Im( )z b= .

Ορισμός 8: Έστω ότι είναι ένας μιγαδικός αριθμός. Τότε ο θετικός αριθμός

( ),z a b a b= = + i2 2z a b= + λέγεται μέτρο του μιγαδικού αριθμού.

Θεώρημα 4: Έστω ότι και (1 1 1,z a b= ) ( )2 2 2,z a b= είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί. Τότε ισχύει η ακόλουθη ιδιότητα: 1 2 1 2z z z z= .

Θεώρημα 5: Έστω ότι και (1 1 1,z a b= ) ( )2 2 2,z a b= είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί, με . Τότε ισχύει η ακόλουθη ιδιότητα: 2 0z ≠

11

2 2

zzz z

= .

Θεώρημα 6: Έστω ότι είναι ένας μιγαδικός αριθμός. Τότε ισχύουν τα ακό-λουθα:

( ,z a b= )

i) Re( )z z− ≤ ≤ z

ii) Im( )z z− ≤ ≤ z

)

Θεώρημα 7: Έστω ότι και (1 1 1,z a b= ( )2 2 2,z a b= είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί. Τότε ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:

i) 1 2 1 2z z z z+ ≤ +

ii) 2 1 2 1z z z z− ≥ −

iii) 1 2 1 2z z z z− ≤ +

Page 294: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 85

iΟρισμός 9: Έστω ότι είναι ένας μιγαδικός αριθμός. Τότε ο αριθμός λέγεται συζυγής μιγαδικός αριθμός του . Αυτός συμβολίζεται με

το

( ),z a b a b= = +( ),z΄ a b a bi= − = − z

z .

Θεώρημα 8: Έστω ότι και (1 1 1,z a b= ) ( )2 2 2,z a b= είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί. Τότε ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:

i) 1 2 1z z z z+ = + 2

ii) 1 2 1 2z z z z=

iii) 2zz z=

iv) 2Re( )z z z+ =

v) 2 Im( )z z i z− =

Παρατήρηση 1: Όπως είναι γνωστό, για τρεις πραγματικούς αριθμούς α, β, και γ ισχύουν τα ακόλουθα:

i) Διάταξη αριθμών: α < β, α > β, τότε α = β.

ii) Αν α < β και β < γ, τότε α < γ

iii) Αν α < β, τότε α + γ < α + γ

iv) Αν α < β (α > β) και γ > 0, τότε αγ < βγ (αγ > βγ)

v) Αν α < β (α > β) και γ < 0, τότε αγ > βγ (αγ < βγ)

Τα παραπάνω δεν ισχύουν αν οι τρεις πραγματικοί αριθμοί α, β, και γ είναι μιγαδικοί. Συ-γκεκριμένα, για τους μιγαδικούς αριθμούς δεν ισχύουν οι σχέσεις «<» ή «>», αλλά μόνο η σχέση «=». Στην περίπτωση που στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών έχουν οριστεί δύο μιγαδικοί αριθμοί και (1 1 ,0z a= ) ( )2 2 ,0z a= , τότε μπορούμε να ισχυριστούμε ότι

, οι οποίοι στην ουσία είναι δύο πραγματικοί αριθμοί. 1z z< 2

Παρατήρηση 2: Αφού για τη φανταστική μονάδα ισχύει ότι 0i ≠ , τότε με βάση την ι-διότητα i) της πρώτης παρατήρησης θα ήταν δυνατόν να έχουμε ότι ή . 0i > 0i <

α) Αν , τότε με βάση την ιδιότητα iv) της πρώτης παρατήρησης θα ισχύει ότι , πράγμα άτοπο.

0i >( )0 1,0 0 1i i⋅ > ⇔ − > ⇔ − > 0

0

β) Αν , τότε με βάση την ιδιότητα iii) της πρώτης παρατήρησης θα ισχύει ότι , και από αυτό με βάση την ιδιότητα iv) θα έχουμε ότι

, πράγμα άτοπο.

0i <0i− >

( ) ( )20 0 1,0 0 1i i i− < ⇔ − < ⇔ < ⇔ <

Από τα προηγούμενα καταλήγουμε στο γενικό συμπέρασμα ότι δεν ισχύει καμία από τις ακόλουθες σχέσεις: , , και 0i > 0i < 0i = .

7.2 Γεωμετρική ερμηνεία των μιγαδικών αριθμών Στο επίπεδο, θεωρούμε το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy. Σε κάθε μιγαδικό αριθμό αντιστοιχίζουμε το σημείο ( ),z a b a b= = + i ( ),A a b , όπως φαίνεται και στο Σχήμα 1. Με τον τρόπο αυτό, μεταξύ του επιπέδου και των μιγαδικών αριθμών υπάρχει μοναδική και αντίστροφη συσχέτιση.

Page 295: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

86 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Ορισμός 10: Το επίπεδο στο οποίο υλοποιείται η απεικόνιση των μιγαδικών αριθμών ονομάζεται μιγαδικό επίπεδο ή επίπεδο Gauss και συμβολίζεται με (z). Οι δε μιγαδικοί αριθμοί λέγονται σημεία.

Ένας διαφορετικός τρόπος απόδοσης της γεωμετρικής ερμηνείας των μιγαδικών αριθμών είναι ο ακόλουθος: για κάθε μιγαδικό αριθμό ( ),z a b a bi= = + αντιστοιχίζουμε τη δια-νυσματική ακτίνα του σημείου ( , )A a b , όπως είναι σχεδιασμένο και στο Σχήμα 2.

Το μέτρο της διανυσματικής ακτίνας OAuuur

, δηλαδή 2 2OA a b= +

uuur,

θα ισούται με το μέτρο του μιγαδικού αριθμού , επειδή z 2 2z a b= + .

( ),A a b ( ),A a b

y y

x΄ O x x΄ O x

y΄ y΄ Σχήμα 1 Σχήμα 2

Παρατήρηση 3: Η διανυσματική ακτίνα είναι ένα διάνυσμα με αρχή το σημείο Ο(0,0) του ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων Oxy και πέρας το σημείο ( ),A a b .

Είναι φανερό ότι μεταξύ του συνόλου των μιγαδικών αριθμών C και των διανυσματικών ακτίνων στο επίπεδο (z) υπάρχει μοναδική και αντίστροφη συσχέτιση. Οι μιγαδικοί αριθ-μοί στην προκείμενη περίπτωση θα λέγονται και διανύσματα.

Όπως και στα διανύσματα, έτσι και εδώ ορίζονται κάποιες πράξεις, όμοιες με εκείνες της διανυσματικής άλγεβρας, και συγκεκριμένα οι ακόλουθες:

Ορισμός 11: Δύο διανύσματα ( )1 1 2,z a b= και ( )2 2 2,z a b= θα λέγονται ίσα αν έχουν την ίδια κατεύθυνση και επίσης 1 2z z= , b b1 2= .

Ορισμός 12: Γινόμενο ενός διανύσματος ( )1 1 2,z a b= με έναν πραγματικό αριθμό *Rλ ∈ λέγεται το διάνυσμα ( )1 1 2,z z a aλ λ λ= = , το οποίο είναι ομόρροπο με το z αν

0λ > και αντίρροπο με το διάνυσμα αυτό αν 0λ < .

Ορισμός 13: Άθροισμα δύο διανυσμάτων ( )1 1 2,z a b= και ( )2 2 2,z a b= λέγεται το διά-νυσμα , το οποίο προκύπτει με τον κανόνα του παραλλη-λογράμμου, όπως αυτός παρουσιάζεται στο Σχήμα 3.

(1 2 1 2 1 2,z z z a a b b= + = + + )

Ορισμός 14: Διαφορά δύο διανυσμάτων ( )1 1 2,z a b= και ( )2 2 2,z a b= λέγεται το διά-νυσμα το οποίο προκύπτει με τον κανόνα του παραλληλο-γράμμου, όπως αυτός παρουσιάζεται στο Σχήμα 4.

(2 1 2 1 2 1,z z z a a b b= − = − − )

Page 296: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 87

2z

1 2z z z= +

2 z1z

2 1z z z= −

y y

1z

x΄ O x x΄ O x y΄ y΄ Σχήμα 3 Σχήμα 4

Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό (διάνυσμα) ( ),z a b a bi= = + , με μέτρο το 2r z a b= = + 22r z a b= = + , και έστω ότι , και έστω ότι θ είναι η γωνία που σχηματίζει η διανυσματική ακτίνα

με την τετμημένη x΄x. z

Ορισμός 15: Η γωνία θ που σχηματίζει η διανυσματική ακτίνα του με την τετμημένη x΄x λέγεται όρισμα του μιγαδικού αριθμού

z( ),z a b a bi= = + , συμβολίζεται με ,

και σχηματικά αποτελεί αυτό που φαίνεται και στο Σχήμα 5. ( )arg z

Επισημαίνουμε ότι το όρισμα δεν ορίζεται μοναδικά. Ένας μιγαδικός αριθμός μπορεί να έχει άπειρα ορίσματα, τα οποία είναι πολλαπλάσια του 2π. Με βάση την τελευταία ιδιό-τητα για το όρισμα, μπορούμε να πούμε ότι αν λαμβάνει τιμές ώστε να ισχύει

arg( )zπ π− < ≤ ή 0 arg( ) 2z π≤ < , τότε θα λέγεται πρωτεύον όρισμα.

z y

r

θ b

x΄ O α x y΄ Σχήμα 5

Από το Σχήμα 5 συμπεραίνουμε ότι a rσυνθ= , και επίσης ότι b rημθ= . Κατά συνέ-πεια, για το μιγαδικό αριθμό ( ),z a b a bi= = + θα ισχύει ότι:

( )z r ir r iσυνθ ημθ συνθ ημθ= + = + .

Ορισμός 16: Αν ( ),z a b a bi= = + είναι ένας μιγαδικός αριθμός με όρισμα arg( )z θ= , τότε η γραφή του (z r i )συνθ ημθ= + λέγεται τριγωνομετρική μορφή του μιγαδικού αριθμού . Τότε θα έχουμε: z

br

ημθ = και ar

συνθ = .

Θεώρημα 9 (Τύπος Euler): Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό 1z bi= . Τότε ισχύει ότι bie b i bσυν ημ= + .

Page 297: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

88 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Παρατήρηση 4: Αν είναι ένας μιγαδικός αριθμός, τότε ο τύπος Euler θα είναι ο ακόλουθος:

z a bi= +( )z a bi a bi ae e e e e b i bσυν ημ+= = = + .

Ορισμός 17: Έστω δύο μιγαδικοί αριθμοί ( )1 1 2,z a b= και ( )2 2 2,z a b= με μέτρα , και ορίσματα

1r 2r

1θ , 2θ , αντίστοιχα. Διανυσματικό γινόμενο ή γινόμενο των και λέ-γεται ο μιγαδικός αριθμός , ο οποίος έχει ως μέτρο το γινόμενο των μέ-τρων των μιγαδικών αριθμών , , και ως όρισμα

1z 2z

1 2z z z= r 1 2r r

1z 2z θ το άθροισμα 1 2θ θ+ των ορισμά-των τους.

Σχηματικά, το παραπάνω γινόμενο παρουσιάζεται στο σχήμα που ακολουθεί (Σχήμα 6).

y

x΄ Ο x

z

1z

2z

θ1

θ θ2

Σχήμα 6

Με βάση τον ορισμό θα έχουμε ότι:

( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2z z z r r iσυν θ θ ημ θ θ= = + + +⎡ ⎤⎣ ⎦

Επίσης θα έχουμε και τα ακόλουθα:

( ) ( )( ) (( ) ( ) ( )

1 2 1 1 1 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1

1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1,

z z z r i r i

r r r r i r r r r

a a b b i a b a b a a b b a b a b

συνθ ημθ συνθ ημθ

συνθ συνθ ημθ ημθ συνθ ημθ συνθ ημθ

= = + + =

= − + +

= − + + = − +

) =

1i 2i

Το τελευταίο ταυτίζεται με τον ορισμό του γινομένου δύο μιγαδικών αριθμών και , δηλαδή με τον Ορισμό 4. ( )1 1 1 1,z a b a b= = + ( )2 2 2 2,z a b a b= = +

Ορισμός 18: Έστω δύο μιγαδικοί αριθμοί ( )1 1 2,z a b= και ( )2 2 2,z a b= με μέτρα ,

και ορίσματα

1r 2r

2θ , 1θ , αντίστοιχα. Πηλίκο των και λέγεται ο μιγαδικός 1z 2z 2

1

zz

z= ο

οποίος έχει ως μέτρο το πηλίκο r 2

1

rr

των μέτρων των μιγαδικών αριθμών , , και ως

όρισμα

1z 2z

θ τη διαφορά 1 2θ θ− των ορισμάτων τους.

Αυτό συμβαίνει για τον ακόλουθο λόγο:

Page 298: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 89

( ) ( ) ( )

( ) ( )

22 1 2 2 2 1 1 1

1

2 2

2 1 1 1

2 1 22 2 1 1

και και και

zz z zz r i rr i

zr r

r rr rr r r

i i

συνθ ημθ συν θ θ ημ θ θ

1θ θ θ θ θ θσυνθ ημθ συν θ θ ημ θ θ

= ⇔ = ⇔ + = + + + ⇔⎡ ⎤⎣ ⎦

⎧ ⎧= =⎪ ⎪⎧ = ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨⎪ ⎪

⇔ ⎨⎪= + =+ = + + +⎩ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎩ ⎩

Επίσης έχουμε ότι:

( ) ( )

( )

( )

( )

22 1 2 1

1

1 22 1 2 1 1 2 1 22

1

2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 221

1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 22 2 2 2

1 1 1 1

1

rz i

rr r

ir

r r r r i r r r rr

a a b b i a b a b a a b b a b ai

a b a b

συν θ θ ημ θ θ

συνθ συνθ ημθ ημθ συνθ ημθ ημθ συνθ

συνθ συνθ ημθ ημθ συνθ ημθ ημθ συνθ

= − + − =⎡ ⎤⎣ ⎦

= + + − =⎡ ⎤⎣ ⎦

= + + −⎡ ⎤⎣ ⎦

+ + − + −= = +

+ +

=

2 1 1 2 1 2 1 2 2 12 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

,b a a b b a b a b

a b a b a b⎛ ⎞+ −

= ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

Το τελευταίο είναι όμοιο με το αναφερόμενο στο Θεώρημα 3, δηλαδή

1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 12 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1

,a a b b a b a b a a b b a b a b

z ia b a b a b a b

⎛ ⎞+ − + −= = +⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠

.

7.3 Δύναμη μιγαδικού αριθμού Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό . Τότε θα έχουμε τις ακόλουθες τιμές δυνάμεων: z i=

4

4 1

4 2

4 3

1

με 1

k

k

k

k

zz i

k Zzz i

+

+

+

⎫=⎪

= ⎪ ∈⎬= − ⎪

⎪= − ⎭

. Μερικά παραδείγματα είναι τα ακόλουθα:

0 1 2 3 4 1 2 3 41, , 1, , 1, , 1, και 1i i i i i i i i i i i i i− − − −= = = − = − = = − = − = = Με βάση τον τύπο Euler, και συγκεκριμένα ότι bie b i bσυν ημ= + , αν b ϕ= θα έχουμε ότι ieϕ iσυνϕ ημϕ= + . Κατά συνέπεια, για το μιγαδικό αριθμό , ο οποίος είναι γραμ-μένος σε τριγωνομετρική μορφή

z( )| |z z iσυνϕ ημϕ= + , θα ισχύει το ακόλουθο:

| | iz z e ϕ= . Λαμβάνοντας υπόψη αυτό το γεγονός, μπορούμε να γράψουμε τις ακόλουθες ειδικές περιπτώσεις δυνάμεων:

Page 299: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

90 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

( )

2

2 1

2

23

32

43

1

1

1 3 με 2 2

1 32 2

i k

i k

i

i

i

i

e

e

e i

k Ze i

e i

e i

π

π

π

π

π

π

+

⎫=⎪

= − ⎪⎪⎪=⎪⎪ ∈⎬= − +⎪⎪⎪= −⎪⎪

= − − ⎪⎭

.

Με βάση τα προηγούμενα σχετικά με τις δυνάμεις μιγαδικών αριθμών, παίρνουμε τα α-κόλουθα σχετικά με τις βασικές ταυτότητες με μιγαδικούς αριθμούς:

( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2 2 2

2 2 2

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

4 4 2 2 4 3 3

4 4 2 2 4 3 3

1) 2

2) 2

3) 3 3

4) 3 3

5) 6 4 4

6) 6 4 4

a bi a abi b

a bi a abi b

a bi a ab i a b b

a bi a ab i a b b

a bi a a b b i a b ab

a bi a a b b i a b ab

+ = + −

− = − −

+ = − + −

− = − + − +

+ = − + + −

− = − + + − +

Θεώρημα 10 (Τύπος DeMoiver): Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό ( )| |z z iσυνϕ ημϕ= + . Τότε ισχύει ότι ( )| | , n nz z n i n nσυν ϕ ημ ϕ= + Z∈ . Αν | | iz z e ϕ= , τότε

. | | , n n inz z e n Zϕ= ∈

7.4 Μιγαδικές ρίζες Ορισμός 19: Θεωρούμε την εξίσωση *,nx z n N 1= ∈ − . Οι λύσεις της λέγονται μιγα-δικές nοστές ρίζες του μιγαδικού αριθμού z a bi= + .

Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό z , ο οποίος είναι γραμμένος σε τριγωνομετρική μορφή (| |z z i )συνϕ ημϕ= + , καθώς επίσης και ότι ( )| |x x iσυνω ημω= + . Τότε, με βάση τον

τύπο DeMoiver, θα έχουμε ότι:

( ) ( )

*

| | | |

| | | || | | |, 1

n n

nn

x z x n i n z i

x zx zn N

nn

συν ω ημ ω συνϕ ημϕ

ϕω ϕ ω

= ⇔ + = +

⎧ =⎧ = ⎪⇔ ⇔ ∈ −⎨ ⎨= =⎩ ⎪⎩

1

Το τελευταίο δηλώνει ότι οι οστέςn ρίζες της εξίσωσης *,nx z n N= ∈ − θα είναι της μορφής:

( ) *2 2| | , 1, 0,1,2,3,..., 1nk

k kx z i n N k nn n

ϕ π ϕ πσυν ημ+ +⎛ ⎞= + ∈ − ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 300: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 91

Αν iz e ϕ= , τότε ( ) 2

*| | , 1, 0,1, 2,3,..., 1i k

knkx z e n N k n

ϕ π+

= ∈ − ∈ − .

Τότε, στην περίπτωση όπου | | και 1z = 0ϕ = , θα έχουμε τα ακόλουθα: 2 21) 1, οπότε

2 22) 1, οπότε

k

k

ne e

ne e

k kx x in n

k kx x in n

π πσυν ημ

π π πσυν ημ

= = +

+ += − = +

π

με ( ) * 1, 0,1, 2,3,..., 1n N k n∈ − ∈ − .

Παρατήρηση 5: Θεωρούμε το διώνυμο *0 0, 1nx a n N+ = ∈ − . Τότε οι λύσεις του δί-

νονται από τον ακόλουθο τύπο:

( ) 0 0 *

0 0

, 0, 1, 1, 0,1, 2,3,..., 1

, 0, 1k k

k k

nr e

kn

r e

a x a xx n N k

a x a x

⎧ ≥ = −⎪= ∈ − ∈⎨− < =⎪⎩

n −

Θεωρούμε τη δευτεροβάθμια εξίσωση 2 0, 0ax bx c a+ + = ≠ , για την οποία είναι γνω-στό ότι . Τότε οι δύο λύσεις της στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών C είναι οι α-κόλουθες:

0Δ <

1,2 2b ix

a− ± −Δ

= .

Επειδή

1 2 2 2b i bx i

a a− + −Δ − −Δ

= = +a

και 1 2 2 2b i bx i

a a a− − −Δ − −Δ

= = − ,

μπορούμε να πούμε ότι οι δύο μιγαδικές ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι συζυ-γείς, δηλαδή ότι 1 2x x= ή 2 1x x= .

Τέλος, στο Παράρτημα 9 υπάρχει σχετική αναφορά στον τρόπο λύσης τριτοβάθμιων εξι-σώσεων με τη χρήση και μιγαδικών ριζών.

7.5 Φυσικός λογάριθμος μιγαδικού αριθμού Ορισμός 20: Θεωρούμε τον μιγαδικό αριθμό ( )| | , 0z z i zσυνϕ ημϕ= + ≠ . Τότε φυσι-κός λογάριθμος λέγεται ο μιγαδικός αριθμός w u vi= + , όπου wz e= .

Με βάση την ισότητα ( )u vi u vi ue e e e v i vσυν ημ+ = = + , παίρνουμε ότι ( ) ( )| | u v i vwz i z e e συν ημσυνϕ ημϕ ++ = = = . Όμως ,u v R∈ , οπότε θα ισχύουν τα ακό-

λουθα: και | | ln | |ue z u z= ⇔ = 2 ,v k k Zϕ π= + ∈ . Κατά συνέπεια, θα έχουμε ότι: ( )ln ln | | ln | | 2 ,z w u vi z vi z i k k Zϕ π= = + = + = + + ∈ .

Ορισμός 21: Αν 0k = , τότε θα έχουμε ότι: ln ln | |z z iϕ= + , το οποίο λέγεται βασική τιμή.

Διακρίνουμε τις ακόλουθες πέντε βασικές περιπτώσεις υπολογισμού φυσικού λογαρίθμου μιγαδικού αριθμού:

1) Αν . Τότε ,z bi b= > 02πϕ = και έτσι

Page 301: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

92 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

ln ln 2 ,2

z b i k kπ π⎛ ⎞ Z= + + ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

2) Αν . Τότε ,z bi b= − > 0 32πϕ = και έτσι

3ln ln 2 ,2

z b i k kπ π⎛ ⎞ Z= + + ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

3) Αν . Τότε ,z a b= > 0 0ϕ = και έτσι ( )0 2ln ln ln 2 ,i kz ae a k i kπ π+⎡ ⎤= = +⎣ ⎦ Z∈

0

4) Αν . Τότε ,z a b= − > ϕ π=− και έτσι ( ) ( )2ln ln ln 2 ,i kz ae a k i kπ π π π+⎡ ⎤= = + +⎣ ⎦ Z∈

i

5) Αν ή ή ή 1z = 1z = − z i= z = − , τότε αντίστοιχα θα έχουμε τα ακόλουθα:

ln1 2k iπ= , ( ) ( )ln 1 2 iπ κπ− = + , ln 22

i k iπ

π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) και 3ln 22

i k iπ π⎛ ⎞− = +⎜ ⎟⎝ ⎠

1z

Z

i

.

Ορισμός 22: Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς και . Τότε δύναμη μιγαδικού αριθμού με μιγαδικό εκθέτη λέγεται ο μιγαδικός αριθμός , με

.

1z 2z2 2 ln

1z zz e=

( )1 1 1ln ln | | 2 ,z z i k kϕ π= + + ∈

7.6 Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση Άσκηση 1: Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 1 2 31 , 2 3 , 3 2z i z i z= + = − = + . Να υπολογι-στούν τα ακόλουθα:

α) β) 1z z+ 2 31z z− γ) δ) 1 2z z 1 2 1z z z z2+ − ε) 1 2 3z z z

Λύση

α) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 3 1 2 1 3 3z z i i i+ = + + − = + + − = − 2i

β) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 1 3 2 1 3 1 2 2z z i i i− = + − + = − + − = − − i

γ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )1 2 1 2 3 1.2 1. 3 1. 3 1.2

2 3 3 2 5

z z i i i

i i

= + − = − − + − + =⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣= + + − + = −

⎤⎦

δ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 5

3 5 2 1 2

z z z z z z z z i i

i i

+ − = + − = − − − =

= − + − − − = − −⎡ ⎤⎣ ⎦

ε) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )1 2 3 1 2 3 5 3 2 5.3 1.2 5.2 1 3

15 2 10 3 17 7

z z z z z z i i i

i i

= = − + = − − + + − =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦= + + − = +

Άσκηση 2: Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 1 23 , 1z i z i= + = − . Να υπολογιστεί το πηλίκο

2

1

zz

.

Page 302: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 93

Λύση

( ) ( )22 2 2 2

1

3.1 1. 1 3. 1 1.13 3 1 3 11 3 1 3 1 9 1 9 1 10 10 5

z i i i iz i

+ − − −+ − − −= = + = + = − = −

− + + + +2 4 1 2

5i

Άσκηση 3: Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός 22

izi

+=

−.

Να μετατραπεί στην αλγεβρική του μορφή, δηλαδή ως a bi+ .

Λύση

( )( )( )( )

2 2

2 2

2 22 2 2.2. 4 4 1 3 4 3 42 2 2 2 4 1 5 5

i ii i i iz ii i i i

+ ++ + + + − += = = = = = +

− − + − + 5i .

Άσκηση 4: Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 2z i= + και 2w i= − . Να υπολογιστούν τα ακόλουθα: , , , z w z w z w+ + .

Λύση (

2 2z i i= + = − , )2 2 2w i i= − = − − = + ( ) ( )i , 2 2 4 4z w i i+ = + + − = = και επί-σης ( ) ( )2 2 2 2 2 2z w i i i i i i+ = + + − = − + + = − + + = 4 .

Άσκηση 5: Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός 3z i= + . Να υπολογιστεί το μέτρο του και κατόπιν να γραφτεί σε τριγωνομετρική μορφή.

Λύση

( )22| | 3 1 3 1 4 2z = + = + = = , 1

| | 2bz

ημϕ και 3| | 2az

συνϕ = = . = =

Κατά συνέπεια 6πϕ = (1ο τεταρτημόριο), και έτσι 2

6 6z iπ πσυν ημ⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Page 303: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

94 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

iΆσκηση 6: Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός 1z = − − . Να υπολογιστεί το μέτρο του και κατόπιν να γραφτεί σε τριγωνομετρική μορφή.

Λύση

( ) ( )2 2| | 1 1 1 1 2z = − + − = + = , 1 222

ημϕ −= = − και 1 2

22συνϕ −

= = − . Κα-

τά συνέπεια 5

4 4π πϕ π= + = (3ο τεταρτημόριο) και έτσι

5 524 4

z iπ πσυν ημ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Άσκηση 7: Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός 1z i= + .

α) Να γραφτεί σε τριγωνομετρική μορφή.

β) Να υπολογιστεί ο μιγαδικός αριθμός 4w z=

Λύση

α) 2 2| | 1 1 1 1 2z = + = + = , 1| | 22bz

ημϕ = = =2 και

1 2| | 22az

συνϕ = = = .

Κατά συνέπεια 4πϕ = (1ο τεταρτημόριο) και έτσι 2

4 4z iπ πσυν ημ⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠.

β) Με βάση τον τύπο DeMoiver, θα έχουμε τα ακόλουθα:

( ) ( ) ( )

( )

24 24 2 4 4 2

4 44 1 0 4

w z i i

i

π πσυν ημ συνπ ημπ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= = + = + =⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠= − + = −

Page 304: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 95

Άσκηση 8: Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός 3z i= − + .

α) Να μετατραπεί σε τριγωνομετρική μορφή.

β) Να υπολογιστεί ο μιγαδικός αριθμός . 10w z=

Λύση

α) ( ) 2| | 3 1 3 1 4 2z = − + = + = = , 12

ημϕ = και 32

συνϕ = − . Κατά συνέπεια

56 6π πϕ π= − = (2ο τεταρτημόριο), και έτσι 5 52

6 6z iπ πσυν ημ⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠.

β) 10 10 105 5 25 252 10 10 26 6 3

w z i i3

π π πσυν ημ συν ημ⎛ ⎞ ⎛= = + = +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

π ⎞⎟⎠

.

Άσκηση 9: Στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών C, να λυθεί η ακόλουθη δευτεροβάθμια εξίσωση: . 2 1 0x x− + =

Λύση Επειδή , θα έχουμε ότι: ( )21 4.1.1 1 4 3 0Δ = − − = − = − <

( ) ( )1,2

1 3 1 3 1 32.1 2 2 2i ix i

− − ± − − ±= = = ± .

Άρα 112 2

3x i= + και 21 32 2

x i= − .

Άσκηση 10: Να υπολογιστούν όλες οι τιμές του μιγαδικού αριθμού 3z i= .

Λύση

Έστω . Τότε w i= 2 2| | 0 1 1w = + = 1 1| | 1bz

ημϕ = = = και 0| |az

συνϕ = = .

Κατά συνέπεια 2πϕ = , και έτσι

2 2w iπ πσυν ημ= + . Επομένως θα έχουμε τα ακόλουθα:

3 3

2 22 2

2 2 3 3

k kz w i i

π ππ ππ πσυν ημ συν ημ+ +

= = + = + .

Με τον τρόπο αυτό λαμβάνονται οι εξής τρεις τιμές για το μιγαδικό αριθμό 3z i= :

0

1

2

3 1 , για 06 6 2 25 5 3 1 , για 16 6 2 23 3 , για 22 2

x i i k

x i i

x i i k

π πσυν ημ

π πσυν ημ

π πσυν ημ

= + = + =

= + = − +

= + = − =

k =

Άσκηση 11: Να υπολογιστούν οι 4ης τάξης ρίζες του μιγαδικού αριθμού 1 3z i= − .

Page 305: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

96 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Λύση

( )2| | 1 3 1 3 4 2z = + − = + = = , 3

2ημϕ = − και

12

συνϕ = . Κατά συνέπεια

523 3π πϕ π= − = (4ο τεταρτημόριο), και έτσι

5 523 3

z iπ πσυν ημ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Επομένως για τις ζητούμενες ρίζες ισχύει ότι:

4

5 52 23 32 ,

4 4k

k kx i

π ππ πσυν ημ

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟= +⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

k ∈Ζ .

Συνεπώς:

4 40

5 52.0. 2.0. 5 53 32 2 για 04 4 12 12

x i i

π ππ π π πσυν ημ συν ημ

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

, k =

4 41

5 52.1. 2.1. 11 113 32 2 για 14 4 12 12

x i i

π ππ π π πσυν ημ συν ημ

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

, k =

4 42

5 52.2. 2.2. 17 173 32 2 για 24 4 12 12

x i i

π ππ π π πσυν ημ συν ημ

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

, k =

4 43

5 52.3. 2.3. 23 233 32 2 για 34 4 12 12

x i i

π ππ π π πσυν ημ συν ημ

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

, k =

Άσκηση 12: Να υπολογιστούν οι κυβικές ρίζες του μιγαδικού αριθμού . 64z = −

Λύση Έχουμε ότι: ( ) ( )64 64 1 64z iσυνπ ημπ= − = − = + . Κατά συνέπεια, για τις ζητούμενες κυβικές ρίζες ισχύει ότι:

3 2 264 , 3 3k

k kx iπ π π πσυν ημ+ +⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

k ∈Ζ

02.0. 2.0.4 4 για 03 3 3 3

x i iπ π π π π πσυν ημ συν ημ+ +⎛ ⎞ ⎛= + = +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

, k⎞ =⎟⎠

( )12.1. 2.1.4 4 για 13 3

x i iπ π π πσυν ημ συνπ ημπ+ +⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

, k =

22.2. 2.2. 5 54 4 για 23 3 3 3

x i iπ π π π π πσυν ημ συν ημ+ +⎛ ⎞ ⎛= + = +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

, k⎞ =⎟⎠

Page 306: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μαθηματικά Ι: Μέρος 4ο 97

Άσκηση 13: Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z i= . Να υπολογιστεί ο φυσικός λογάριθμός του . ln z

Λύση

ln ln ln1 2 2 , 2 2

z i i i k k i kπ ππ π⎛ ⎞= = + + = + ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

Z , αν λάβουμε υπόψη ότι:

12 2

z i iπ πσυν ημ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟⎝ ⎠

με | | και 1z =2πϕ = .

Άσκηση 14: Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z i= . Να υπολογιστεί ο αριθμός . zw z=

Λύση

Έχουμε ότι: 12 2

z i iπ πσυν ημ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟⎝ ⎠

. Οπότε ln 2 , 2

z k i kπ π⎛ ⎞ Z= + ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Συνεπώς: 2

ln 2 , k

z i i iw z i e e k Zπ

π⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠= = = = ∈ .

Άσκηση 15: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα:

α) iz e π= β) 1

2i

z eπ

− +=

Λύση Με βάση τον τύπο Euler θα έχουμε τα ακόλουθα:

α) 1 0z i i 1συνπ ημπ= + = − + ⋅ = −

β) ( )1 1 0 12 2

iz e i ie e

π πσυν ημ− ⎛ ⎞= + = + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

=

i

Άσκηση 16: Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός 3 2z = + . Να υπολογιστούν οι μιγαδικοί α-ριθμοί και 2w = z 2k z= − .

Άσκηση 17: Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός . Να μετατραπεί στην αλγεβρική μορφή a .

( 21 2z = + )i

)ibi+

Άσκηση 18: Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός . Να μετατραπεί στην αλγεβρική μορφή a .

( 31 2z = +bi+

Άσκηση 19: Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός 1

3 2z

i=

−.

Να μετατραπεί στην αλγεβρική μορφή a bi+ .

Page 307: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

98 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Άσκηση 20: Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 2z i= + και 2w i= − . Να υπολογιστούν τα

ακόλουθα: ( )22 2, , z z z .

Άσκηση 21: Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 2z i= + και 2w i= − . Να υπολογιστούν τα

ακόλουθα: ( ) ( )2 2, z w z w+ + .

Άσκηση 22: Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός 3 3z i= − + . Να μετατραπεί σε τριγωνομετρική μορφή.

Page 308: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Κεφάλαιο 8

Γραμμική άλγεβρα

8.1 Πίνακες 8.1.1 Βασικές έννοιες, ορισμοί, και ιδιότητες Ορισμός 1: Η ορθογώνια διάταξη της μορφής

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

m m mn

a a aa a a

a a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

των αριθμών ija , , 1, 2,...,i j n= , *n N∈ λέγεται πίνακας. Ο πίνακας συμβολίζεται συ-νήθως με ένα κεφαλαίο ελληνικό ή αγγλικό γράμμα. Επίσης, εκτός από τον προηγούμενο τρόπο γραφής του πίνακα (με παρένθεση), αυτός μπορεί να γραφτεί και ως

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

m m mn

a a aa a a

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ή ως

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

m m mn

a a aa a a

a a a

.

Ο πίνακας αυτός λέμε ότι έχει διάσταση m n× .

Για ομοιομορφία, θα χρησιμοποιούμε το δεύτερο συμβολισμό, με τη χρήση του κεφαλαί-ου γράμματος και τις γωνιακές αγκύλες «[ ]», δηλαδή

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

m m mn

a a aa a a

A

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Ορισμός 2: Οι αριθμοί ( ) 1, 2,..., και 1, 2,...,ija i m j n= = λέγονται στοιχεία του πίνακα.

Page 309: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

100 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Ορισμός 3: Αν ija R∈ , τότε ο πίνακας λέγεται πραγματικός πίνακας, ενώ αν ija C∈ τότε ο πίνακας λέγεται μιγαδικός πίνακας.

Τα στοιχεία ( )1 2, ,..., 1,2,...,i i ina a a i m= αποτελούν την i γραμμή του πίνακα, ενώ τα στοιχεία ( )1 2, ,..., 1, 2,...,j j mja a a j n= αποτελούν την j στήλη του πίνακα. Ορισμός 4: Οι αριθμοί m και n λέγονται διαστάσεις του πίνακα. Με βάση αυτό το γε-γονός, ο πίνακας μπορεί να συμβολιστεί και ως ( )ijA a= ή ijA a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ , ή ijA a= ή

m nA × , όπου 1, 2,..., , 1, 2,...,i m j n= = και *,m n N∈ .

Ορισμός 5: Ο πίνακας ο οποίος αποτελείται μόνο από μηδενικά στοιχεία, δηλαδή 0ija = , λέγεται μηδενικός πίνακας και συμβολίζεται με O («όμικρον έντονο»).

Ορισμός 6: Αν στον πίνακα

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

m m mn

a a aa a a

A

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

αλλάξουν αμοιβαία τα στοιχεία των γραμμών και των στηλών, τότε προκύπτει ένας νέος πίνακας ο οποίος ονομάζεται ανάστροφος. Αυτός ισούται και συμβολίζεται με

11 21 1

12 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

m

mT

n n mn

a a aa a a

A

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Είναι στην ουσία ένας πίνακας διάστασης n m× . Παρατήρηση 1: Εύκολα συμπεραίνουμε ότι ( )TTA A= .

Ορισμός 7: Αν m n= , τότε ο πίνακας λέγεται τετραγωνικός και ο αριθμός n λέγεται τάξη ή σειρά του πίνακα. Τα δε στοιχεία 11 22, ,..., nna a a αποτελούν την διαγώνιο του πί-νακα αυτού.

Ορισμός 8: Αν όλα τα στοιχεία τα οποία δεν ανήκουν στη διαγώνιο ενός τετραγωνικού πίνακα ισούνται με το μηδέν, τότε ο πίνακας λέγεται διαγώνιος πίνακας. Συμβολίζεται με

( )

11

2211 22

0 ... 00 ... 0

, ,...,... ... ... ...0 0 ...

nn

nn

aa

diag a a a

a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Αν ο πίνακας δεν είναι τετραγωνικός, δηλαδή αν m n≠ , τότε τα στοιχεία

, , 1, 2,..., , 1, 2,...,i ja i k j k= = και *m n k N= = ∈ αποτελούν την κύρια διαγώνιό του.

Ορισμός 9: Ο διαγώνιος πίνακας

Page 310: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μθηαματικά Ι: Μέρος 4ο 101

( )

1 0 ... 00 1 ... 0

1,1,...,1... ... ... ...0 0 ... 1

diag

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

λέγεται μοναδιαίος πίνακας. Συμβολίζεται με I ή nI ή E ή με nE , *n N∈ .

Ορισμός 10: Αν όλα τα στοιχεία ενός τετραγωνικού πίνακα τα οποία βρίσκονται πάνω από τη διαγώνιό του είναι ίσα με το μηδέν, τότε ο πίνακας λέγεται τριγωνικός κάτω και έχει την ακόλουθη μορφή:

11

21 22

1 2

0 ... 0... 0

... ... ... ......n n nn

aa a

A

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Ορισμός 11: Αν όλα τα στοιχεία ενός τετραγωνικού πίνακα τα οποία βρίσκονται κάτω από τη διαγώνιό του είναι ίσα με το μηδέν, τότε ο πίνακας λέγεται τριγωνικός άνω και έχει την ακόλουθη μορφή:

11 12 1

22 2

...0 ...... ... ... ...0 0 ...

n

n

nn

a a aa a

A

a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Ορισμός 12: Δύο m n× πίνακες ijA a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ και ijB b⎡ ⎤= ⎣ ⎦ λέγονται ίσοι αν

, 1, 2,...,ij ija b i m= = και 1, 2,...,j n= . Αυτό συμβολίζεται ως A B= ή ως

ij ija b⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

Παρατήρηση 2: Επισημαίνεται ότι δύο πίνακες είναι ίσοι μόνο στην περίπτωση που έ-χουν την ίδια διάσταση m n× .

Ορισμός 13: Ένας τετραγωνικός πίνακας ijA a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ λέγεται συμμετρικός αν

, 1, 2,...,ij jia a i n= = και 1, 2,...,j n= , δηλαδή αν τα στοιχεία του είναι συμμετρικά το-ποθετημένα ως προς τη διαγώνιό του.

Από τον ορισμό του συμμετρικού πίνακα, συμπεραίνουμε ότι ένας πίνακας είναι συμμε-τρικός μόνο στην περίπτωση όπου TA A= . Επίσης τονίζουμε ότι τόσο ο διαγώνιος, όσο και ο μοναδιαίος πίνακας είναι συμμετρικοί.

Ορισμός 14: Ένας τετραγωνικός πίνακας ijA a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ λέγεται ημισυμμετρικός ή αντισυμ-μετρικός αν , 1,2,...,ij jia a i n= − = και 1, 2,...,j n= .

Ορισμός 15: Ο πίνακας ο οποίος αποτελείται μόνο από μια στήλη λέγεται πίνακας στή-λη και γράφεται ως

Page 311: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

102 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

11

21

1

...

m

aa

A

a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ή [ ]1 , 1, 2,...,iA a i m= = .

Ορισμός 16: Ο πίνακας ο οποίος αποτελείται μόνο από μια γραμμή λέγεται πίνακας γραμμή και γράφεται ως [ ]11 12 1... nA a a a= ή 1 , 1, 2,...,jA a j n⎡ ⎤= =⎣ ⎦ .

8.1.2 Πράξεις με πίνακες Ορισμός 17: Έστω δύο πίνακες ijA a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ και ijB b⎡ ⎤⎣ ⎦ με 1, 2,...,i m= και 1, 2,...,j n=

(διάσταση m n× ). Άθροισμα δύο πινάκων A και B λέγεται ο πίνακας C ο οποίος είναι διάσταση m n× και ισούται με ijC c⎡ ⎤= ⎣ ⎦ , όπου ij ij ijc a b= + . Συμβολίζεται με

C A B= + .

Ιδιότητες πρόσθεσης πινάκων 1) A B B A+ = + (αντιμεταθετή ιδιότητα)

2) ( ) ( )A B C A B C+ + = + + (προσεταιριστική ιδιότητα)

3) A A A+ = + =O O (ουδέτερο στοιχείο πρόσθεσης)

Παρατήρηση 3: Γενικά, για s πίνακες διάστασης m n× ισχύει επαγωγικά το ακόλουθο: ( )1 2 1 1 2 1.... ...s s s sA A A A A A A A− −+ + + + = + + + + .

Ορισμός 18: Έστω ο πίνακας ijA a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ με 1, 2,...,i m= και 1, 2,...,j n= (διάσταση

m n× ). Θεωρούμε τον αριθμό Rλ ∈ . Γινόμενο του αριθμού λ με τον πίνακα A λέγεται ο πίνακας ijC c⎡ ⎤= ⎣ ⎦ , όπου ij ijc aλ= . Αυτό συμβολίζεται ως C Aλ= .

Ορισμός 19: Έστω ο πίνακας ijA a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ με 1, 2,...,i m= και 1, 2,...,j n= (διάσταση

m n× ). Ο πίνακας ijA΄ a ΄⎡ ⎤= ⎣ ⎦ , όπου ij ija ΄ a= − , λέγεται αντίθετος του A . Αυτό συμβο-λίζεται ως A− .

Με βάση τον παραπάνω ορισμό, μπορούμε να αναφέρουμε επίσης και την ακόλουθη ι-διότητα της πρόσθεσης πινάκων:

4) ( ) ( )A A A A+ − = − + = O .

Ιδιότητες πολλαπλασιασμού αριθμού επί πίνακα 1) kA Ak= , k R∈ και , 1, 2,..., , 1, 2,...,ijA a i m j n⎡ ⎤= = =⎣ ⎦

2) ( ) ( )k lA kl A= , ,k l R∈ και , 1, 2,..., , 1, 2,...,ijA a i m j n⎡ ⎤= = =⎣ ⎦

3) ( )k A B kA kB+ = + , k R∈ και , , 1, 2,..., , 1, 2,...,ij ijA a B b i m j n⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

4) ( )k l A kA lA+ = + , ,k l R∈ και , 1, 2,..., , 1, 2,...,ijA a i m j n⎡ ⎤= = =⎣ ⎦

5) 1. .1A A A= = , , 1, 2,..., , 1, 2,...,ijA a i m j n⎡ ⎤= = =⎣ ⎦

6) 0. .0A A= = 0 , , 1, 2,..., , 1, 2,...,ijA a i m j n⎡ ⎤= = =⎣ ⎦

Παρατήρηση 4: Επισημαίνουμε ότι ( ) ( )1A B A B A B− = + − = + − .

Page 312: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μθηαματικά Ι: Μέρος 4ο 103

Ορισμός 20: Έστω ο πίνακας ijA a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ , διάστασης m n× , και ο πίνακας ijB b⎡ ⎤⎣ ⎦ διά-

στασης n s× . Γινόμενο των δύο πινάκων A και B λέγεται ο πίνακας C , ο οποίος έχει διάσταση m s× και ισούται με ijC c⎡ ⎤= ⎣ ⎦ , όπου

1 1 2 21

...n

ij i j i j i j in njc a b a b a b a bν νν =

= = + + +∑ .

Αυτό συμβολίζεται ως C AB= . Με βάση τον προηγούμενο ορισμό για το γινόμενο δύο πινάκων A και B , τα στοιχεία του νέου πίνακα C έχουν την ακόλουθη προέλευση: τα στοιχεία της i γραμμής και της j στήλης προέρχονται από το γινόμενο των στοιχείων της i γραμμής του πίνακα A ( n αριθμοί) αντίστοιχα επί τα στοιχεία της j στήλης του πίνακα B ( n αριθμοί), και τα λαμβανόμενα γινόμενα προστίθενται.

Παρατήρηση 5: Για να είναι υλοποιήσιμος ο πολλαπλασιασμός μεταξύ δύο πινάκων, θα πρέπει ο αριθμός των στηλών του πρώτου πίνακα να ισούται με τον αριθμό των γραμμών του δεύτερου πίνακα, δηλαδή

m × n n × s

Ιδιότητες πολλαπλασιασμού πινάκων 1) Για τυχαίο πίνακα ijA a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ , με 1, 2,...,i m= και 1, 2,...,j n= , υπάρχουν μοναδιαί-

οι πίνακες mI και nI για τους οποίους ισχύουν: mI A A= και nAI A= .

2) Αν O είναι ένας μηδενικός πίνακας διάστασης n s× , τότε ο πίνακας C A= =O O θα έχει διάσταση m s× , όπου ijA a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ με 1, 2,...,i m= και 1, 2,...,j n= .

3) Αν O είναι ένας μηδενικός πίνακας διάστασης s m× , τότε ο πίνακας C A= =O O θα έχει διάσταση s n× , όπου ijA a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ με 1, 2,...,i m= και 1, 2,...,j n= .

4) ( ) ( )AB C A BC= , όπου , , A B C είναι πίνακες

5) ( ) ( ) ( )k AB kA B A kB= = , όπου , A B είναι πίνακες και k R∈

6) ( )A B C AC BC+ = + , όπου , , A B C είναι πίνακες

7) ( )C A B CA CB+ = + , όπου , , A B C είναι πίνακες

Παρατήρηση 6: Η ιδιότητα 4) μπορεί να γενικευτεί, και επαγωγικά να γράψουμε το α-κόλουθο:

( ) ( )( )

1 2 3 2 1 1 2 3 2 1 1 2 3 2 1

1 2 3 2 1

... ... ... ...

... ...s s s s s s s s s

s s s

A A A A A A A A A A A A A A A A A A

A A A A A A− − − − − −

− −

= = =

=

Παρατήρηση 7: Σχετικά με την ιδιότητα 6) μπορούμε να πούμε τα ακόλουθα: για να έχει νόημα η πρόσθεση A B+ , θα πρέπει οι πίνακες A και B να έχουν διάσταση m n× . Κα-τά συνέπεια, για να έχει νόημα το γινόμενο ( )A B C+ , θα πρέπει ο πίνακας C να έχει διάσταση n s× . Στην περίπτωση αυτή, το αποτέλεσμα θα είναι ένας νέος πίνακας

( ) ijD A B C d⎡ ⎤= + = ⎣ ⎦ , όπου 1, 2,...,i m= και 1, 2,...,j s= , δηλαδή θα έχει διάσταση

Page 313: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

104 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

m s× . Τα δε στοιχεία του ijd , με βάση τον ορισμό του γινομένου δύο πινάκων, θα προέρχονται από τον πολλαπλασιασμό των στοιχείων της i γραμμής του πίνακα A B+ επί τα στοιχεία της j στήλης του πίνακα C . Συνεπώς:

( )1 1 1

n n n

ij i i j i j i jd a b c a c b cν ν ν ν ν ν νν ν ν= = =

= + = +∑ ∑ ∑

Το τελευταίο δηλώνει ότι τα στοιχεία της i γραμμής και της j στήλης των πινάκων AC και BC , οι οποίοι έχουν διάσταση m n× , είναι αντίστοιχα τα αθροίσματα

1

n

i ja cν νν =∑ και

1

n

i jb cν νν =∑ .

Ορισμός 21: Έστω ο τετραγωνικός πίνακας ijA a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ , διάστασης n n× , , 1, 2,...,i j n= .

Ως δύναμη k τάξης του πίνακα A ορίζεται το ακόλουθο: 1A A= , 1

φορές

. ..... , 1k k

k

A A A A A A k−

= = >14243 .

Αν A ≠ O , τότε 0A I= .

8.1.3 Ιδιότητες ανάστροφου πίνακα Έστω ο πίνακας

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

m m mn

a a aa a a

A

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

διάστασης m n× και ο ανάστροφός του

11 21 1

12 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

m

mT

n n mn

a a aa a a

A

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,

ο οποίος έχει διάσταση n m× . Τότε για τον ανάστροφο πίνακα ισχύουν τα ακόλουθα:

1) ( )TTA A=

2) ( )T TkA kA= , k R∈

3) ( )T T TA B A B+ = +

4) ( )T T TAB B A=

Θα ακολουθήσει η απόδειξη της τέταρτης ιδιότητας του ανάστροφου πίνακα, ενώ οι υπό-λοιπες αποδεικνύονται με ανάλογο τρόπο. Συγκεκριμένα:

Αρχικά θα πρέπει να αποδειχθεί ότι οι πίνακες ( )TAB και T TB A έχουν την ίδια διάστα-ση. Αυτό γίνεται ως εξής: ο πίνακας A είναι διάστασης m n× και κατά συνέπεια ο πίνα-κας B θα πρέπει να είναι κάποιος πίνακας διάστασης n s× . Έτσι ο πίνακας AB θα είναι διάστασης m s× , από το οποίο συνεπάγεται ότι ο ανάστροφος του γινομένου αυτού

Page 314: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μθηαματικά Ι: Μέρος 4ο 105

( )TAB θα είναι ένας πίνακας διάστασης s m× . Από την άλλη πλευρά, ο TB είναι πίνα-κας διάστασης s n× , ο TA έχει διάσταση n m× , και κατά συνέπεια το γινόμενο T TB A θα είναι πίνακας διάστασης s m× , το οποίο και ήταν το ζητούμενο.

Στη συνέχεια πρέπει να αποδείξουμε ότι οι δύο πίνακες ( )TAB και T TB A είναι ίσοι. Αυ-τό γίνεται ως εξής: με βάση τον τρόπο υπολογισμού του γινομένου δύο πινάκων, και συ-γκεκριμένα «γραμμή επί στήλη», για τα στοιχεία ijd του πίνακα AB (i γραμμή και j στήλη), θα έχουμε ότι:

1 1 2 2 ...ij i j i j i j in njd a b a b a b a bν ν= = + + +∑ .

Κατά συνέπεια θα έχουμε στοιχεία τα οποία βρίσκονται στην j γραμμή και στην i στή-λη του πίνακα ( )TAB . Για να λάβουμε τα αντίστοιχα στοιχεία του γινομένου T TB A , πολλαπλασιάζουμε την j γραμμή του πίνακα TB με την i στήλη του πίνακα TA , ή δια-φορετικά πολλαπλασιάζουμε την j στήλη του πίνακα B με την i γραμμή του πίνακα A , αφού οι πίνακες TB και TA είναι αντίστοιχα οι ανάστροφοι των πινάκων B και A .

Με τον τρόπο αυτό λαμβάνεται επίσης το τελευταίο άθροισμα, δηλαδή

1 1 2 2 ...ij i j i j i j in njd a b a b a b a bν ν= = + + +∑ ,

το οποίο ήταν και το ζητούμενο.

Παρατήρηση 8: Αν υπάρχει το γινόμενο 1 2 3..... kA A A A , τότε αποδεικνύεται ότι ( )1 2 3 1 1 3 2 1..... .....T T T T T T

k k k kA A A A A A A A A A− −= .

8.1.4 Μετασχηματισμός πινάκων (Απαλοιφή Gauss) Θεωρούμε τον τετραγωνικό n n× πίνακα

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Μπορούν να υλοποιηθούν οι ακόλουθες τρεις στοιχειώδεις πράξεις μεταξύ γραμμών, (γνωστές και ως «γραμμοπράξεις»), ώστε ο προαναφερόμενος πίνακας A να μετασχημα-τιστεί σε τριγωνικό άνω ή σε τριγωνικό κάτω ή σε διαγώνιο. Συγκεκριμένα:

1ος Κανόνας Gauss – Εναλλαγή γραμμών: Η εναλλαγή γραμμών υλοποιείται με τον πολλαπλασιασμό από τα αριστερά του πίνακα A με τον πίνακα

0 1 ... 11 0 ... 1... ... ... ...1 1 ... 0

J

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,

Page 315: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

106 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

2ος Κανόνας Gauss – Πολλαπλασιασμός γραμμής με αριθμό: Ο πολλαπλασιασμός μιας γραμμής με έναν αριθμό υλοποιείται με τον πολλαπλασιασμού από τα αριστερά του πίνακα A με τον πίνακα

0 ... 00 ... 0

,... ... ... ...0 0 ...

cc

I c R

c

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,

ο οποίος στην ουσία είναι ο μοναδιαίος πίνακας, αλλά πολλαπλασιασμένος με τον πραγματικό αριθμό c .

3ος Κανόνας Gauss – Πρόσθεση γραμμής σε άλλη: Η πρόσθεση μιας γραμμής, η οποία μπορεί να έχει πρώτα πολλαπλασιαστεί με κάποιον αριθμό (δεύτερος κανόνας Gauss), υλοποιείται με τον πολλαπλασιασμού από τα αριστερά του πίνακα A με τον α-ντίστοιχο μοναδιαίο πίνακα I , αφού πρώτα πολλαπλασιαστεί η i γραμμή του I με τον αντίστοιχο πραγματικό αριθμό και προστεθεί το αποτέλεσμα στην j γραμμή του.

Η κάθε γραμμή συμβολίζεται με iΓ , όπου 1, 2,...,i n= , και σε κάθε έναν από τους προαναφερθέντες μετασχηματισμούς εργαζόμαστε ως εξής (συμβολικά):

i i ja bΓ ↔ Γ ± Γ , όπου , 1, 2,...,i j m= και ,a b R∈ .

Παρατήρηση 9: Επισημαίνεται ότι κάθε πίνακας μπορεί να μετασχηματιστεί με βάση τους παραπάνω τρεις κανόνες Gauss. Επίσης, κατά το μετασχηματισμό ενός πίνακα με βάση τους προηγούμενους τρεις κανόνες, δεν χρησιμοποιείται το σύμβολο της ισότητας «=» αλλά το « ».

Στην περίπτωση όπου ο πίνακας A δεν είναι τετραγωνικός, αλλά έχει διάσταση m n× , τότε τα προαναφερθέντα 1), 2), και 3) ισχύουν για την κύρια διαγώνιό του.

Παρατήρηση 10: Είναι δυνατόν τα στοιχεία της διαγωνίου ή της κύριας διαγωνίου ενός πίνακα να αλλάξουν και να γίνουν μονάδα, αν η κάθε γραμμή διαιρεθεί (αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού) με αριθμό ίσο με το στοιχείο της (2ος Κανόνας Gauss).

8.1.5 Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 1: Δίνονται οι πίνακες

1 2 33 4 32 1 5

A⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, 2 3 72 4 01 2 3

B−⎡ ⎤

⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

.

Να υπολογιστεί ο πίνακας C A B= + .

Λύση

1 2 3 2 3 7 1 2 2 3 3 7 3 5 43 4 3 2 4 0 3 2 4 4 3 0 5 0 32 1 5 1 2 3 2 1 1 2 5 3 3 1 2

C A B− + + − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + = − + = + − + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − + − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Page 316: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μθηαματικά Ι: Μέρος 4ο 107

Άσκηση 2: Δίνεται ο πίνακας 2 1 30 2 5

A−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Να υπολογιστεί ο πίνακας 2C A= .

Λύση

( )2 1 3 4 2 62.2 2. 1 2.32 2

0 2 5 0 4 102.0 2.2 2.5C A

− −⎡ − ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Άσκηση 3: Δίνονται οι πίνακες 2 30 2

A−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

, 2 4 51 3 0

B ⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

Να υπολογιστεί ο πίνακας C AB= . Μπορεί να υπολογιστεί το γινόμενο D BA= ;

Λύση Ο νέος πίνακας του γινομένου C θα έχει διάσταση 2 3× , για τον ακόλουθο λόγο:

2 × 2 2 × 3

( )( ) ( ) ( )( )

2.2 3 1 2.4 3 .3 2.5 3 .02 3 2 4 5 7 1 100.2 2. 1 0.4 2.3 0.5 2.00 2 1 3 0 2 6 0

C+ − − + − + −⎡ ⎤− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − + +− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Επισημαίνεται ότι το γινόμενο BA δεν μπορεί να υλοποιηθεί, επειδή το πλήθος των στη-λών του πίνακα B είναι 3, ενώ το πλήθος των γραμμών του πίνακα A είναι 2.

Άσκηση 4: Δίνονται οι πίνακες 2 3

1 2A

− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

, 2 42 1

B ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Να υπολογιστούν οι πίνακες C AB= και D BA= .

Λύση

( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 4 10 112 .2 3 .2 2 4 3 .11 2 2 1 6 61.2 2.2 1.4 2.1

C− − − −⎡ − + − − + − ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

( ) ( )( ) ( )

2. 2 4.1 2. 3 4.22 4 2 3 0 22. 2 1.1 2. 3 1.22 1 1 2 3 4

D− + − +⎡ ⎤− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + − + − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Συνεπώς C D≠ , δηλαδή AB BA≠ .

Άσκηση 5: Δίνονται οι πίνακες 1 23 4

A ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

, 0 21 2

B ⎡ ⎤= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦

.

Να υπολογιστούν οι πίνακες C AB= και D BA= .

Page 317: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

108 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Λύση

( ) ( )( ) ( )

1.0 2. 1 1.2 2. 21 2 0 2 2 2 1 12

3.0 4. 1 3.2 4. 23 4 1 2 4 2 2 1C

+ − + −⎡ ⎤ − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = = −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − + −− − − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )0.1 2.3 0.2 2.40 2 1 2 6 8

1 .1 2 .3 1 .2 2 .41 2 3 4 7 10D

+ +⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + − − + −− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

.

Συνεπώς C D≠ .

Άσκηση 6: Δίνονται οι πίνακες 1 11 1

A ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

, 1 11 1

B−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦.

Να υπολογιστούν οι πίνακες C AB= και D BA= .

Λύση

( ) ( )( ) ( )

1.1 1. 1 1. 1 1.11 1 1 1 0 01.1 1. 1 1 1 1.11 1 1 1 0 0

C+ − − +⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − − +−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦O

( ) ( )( ) ( )1.1 1 .1 1.1 1 .11 1 1 1 0 0

1 .1 1.1 1 .1 1.11 1 1 1 0 0D

+ − + −⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + − +−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

O

Συνεπώς C D=

Άσκηση 7: Δίνεται ο πίνακας 1 34 12

A−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Να υπολογιστούν τα ακόλουθα: Aλ , ( )TAλ , TA , και TAλ , όπου Rλ ∈ .

Λύση 1 3 34 12 4 12

Aλ λ

λ λλ λ

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦, ( )

43 12

TAλ λ

λλ λ

⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

, 1 43 12

TA ⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

και

43 12

TAλ λ

λλ λ

⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

Από τα προηγούμενα συμπεραίνουμε ότι ( ) ,T TA A Rλ λ λ= ∈ .

Άσκηση 8: Δίνονται οι πίνακες 1 34 12

A−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

και 2 31 0

B ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Να υπολογιστούν τα ακόλουθα: A B+ , ( )TA B+ , TA , TB , και T TA B+ .

Άσκηση 9: Δίνονται οι πίνακες

1 0 12 1 2

A ⎡ ⎤= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦

και 1 12 11 3

B⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

Page 318: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μθηαματικά Ι: Μέρος 4ο 109

Να υπολογιστούν τα ακόλουθα: AB , ( )TAB , TA , TB , και T TB A .

Άσκηση 10: Δίνεται ο πίνακας 1 0 12 1 2

A ⎡ ⎤= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦

.

Να υπολογιστούν τα ακόλουθα: TAA και TA A .

Άσκηση 11: Δίνεται ο πίνακας

0 1 12 3 41 3 1

A−⎡ ⎤

⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Να μετασχηματιστεί σε τριγωνικό άνω πίνακα.

Λύση

( )

1 2

3 3 1

3 2 3

0 1 1 2 3 42 3 4 0 1 11 3 1 1 3 1 2 .

2 3 4 2 3 40 1 1 0 1 10 3 2 3. 0 0 1

− Γ ↔ Γ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Γ ↔ − Γ + Γ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− Γ ↔ Γ + Γ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Άσκηση 12: Δίνεται ο πίνακας

0 1 12 3 4

1 1 1A

−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

Να μετασχηματιστεί σε διαγώνιο πίνακα.

Άσκηση 13: Δίνονται οι πίνακες

11 2 313 4 32 1 2

A−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

, 2 0 00 2 00 0 3

B⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

Να υπολογιστεί ο πίνακας C A B= + .

Άσκηση 14: Δίνεται ο πίνακας 2 1 3

0 2 1A

− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Να υπολογιστεί ο πίνακας ,B kA k R= ∈ .

Page 319: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

110 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Άσκηση 15: Δίνονται οι πίνακες 1 2 3 61 2 3 3

0 0 1 12 2 1 1

A

−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

,

1 0 02 3 00 0 11 1 2

B

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

.

Να υπολογιστεί ο πίνακας C AB= .

Άσκηση 16: Δίνονται οι πίνακες

1 0 01 2 02 2 3

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, 2 1 2

0 2 40 0 3

B−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Να υπολογιστούν οι πίνακες C AB= και D BA= .

Άσκηση 17: Δίνονται οι πίνακες

1 0 122 3 1

10 03

A

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥

= −⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

και 3

1 2 42 1 4

2 0 1

B⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

Να αποδειχθεί ότι ( )( )2 2A B A B A B− ≠ − + .

Άσκηση 18: Δίνεται ο πίνακας 0 1 1 13 4 0 11 2 3 0

1 1 3 0

A

− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎣ ⎦

.

Να μετασχηματιστεί σε διαγώνιο πίνακα.

Άσκηση 19: Δίνεται ο πίνακας 1 2 3 0 13 2 1 1 00 2 1 2 01 1 2 0 1

A

−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

.

Να μετασχηματιστεί σε τριγωνικό κάτω πίνακα, ως προς την κύρια διαγώνιό του.

Άσκηση 20: Να υπολογιστούν τα ,x y R∈ αν δίνονται τα ακόλουθα: 1 0

2 23

yxyx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

.

Page 320: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μθηαματικά Ι: Μέρος 4ο 111

8.2 Ορίζουσες 8.2.1 Βασικές έννοιες, ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε ένα τυχαίο σύνολο n αριθμών 1 2, ,..., ,..., ,...,i j nX x x x x x= .

Ορισμός 22: Κάθε διατεταγμένο σύνολο Y αποτελούμενο από τα στοιχεία ενός συνόλου X λέγεται μετάθεση του συνόλου αυτού.

Το πλήθος όλων των μεταθέσεων Y του συνόλου X συμβολίζεται με nP , και ισούται με ( )! 1 2 3 ... 1n n n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ .

Επισημαίνουμε ότι με τον όρο «διατεταγμένο» εννοούμε το σύνολο στο οποίο έχει σημα-σία η θέση των αριθμών.

Για παράδειγμα, έστω ότι έχουμε το σύνολο 1, 2,3X = . Τότε έχουμε ότι 123,132, 213, 231,312,321Y = . Επίσης έχουμε ότι 3 3! 1 2 3 6P = = ⋅ ⋅ = .

Θεωρούμε την τυχαία μετάθεση 1 2 3a ,a ,a ,..., a ,..., a ,..., ai j n των αριθμών 1, 2,3,...,n .

Ορισμός 23: Δύο αριθμοί λέγονται υπερβατικοί για την προαναφερθείσα μετάθεση αν ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς βρίσκεται αριστερά από το μικρότερο αριθμό. Το πλήθος των υπερβατικών αριθμών συμβολίζεται με [ ]1 2 3a ,a ,a ,..., an .

Ορισμός 24: Αν το πλήθος των υπερβατικών αριθμών είναι άρτιος αριθμός τότε η μετά-θεση λέγεται άρτια, ενώ αν είναι περιττός τότε λέγεται περιττή. Παραδείγματα:

1) Η μετάθεση 1, 2,3,...,n έχει μηδέν υπερβατικούς αριθμούς και θεωρείται άρτια με-τάθεση.

2) Η μετάθεση 3,6, 2,1,7 έχει 5 (περιττός αριθμός) υπερβατικά ζεύγη, και συγκεκριμέ-να τα ακόλουθα: ( ) ( ) ( ) ( )3, 2 , 3,1 , 6, 2 , 6,1 και ( )2,1 , και θεωρείται περιττή μετάθε-ση.

3) Η μετάθεση 0,6, 2,5 έχει 2 (άρτιος αριθμός) υπερβατικά ζεύγη και συγκεκριμένα τα ακόλουθα: ( )6, 2 και ( )6,5 , και θεωρείται άρτια μετάθεση.

Έστω ο τετραγωνικός πίνακας

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Θεωρούμε ένα γινόμενο από n στοιχεία του πίνακα A το οποίο δημιουργείται ως εξής: κάθε γραμμή (στήλη) να αντιπροσωπεύεται από ακριβώς ένα στοιχείο της. Ένα τέτοιο γινόμενο μπορεί να γραφτεί ως εξής: ( )1 2 31a 2a 3a a. . .....

nna a a aε ⋅ , όπου ο δεύτε-ρος δείκτης (ο αριθμός των στηλών) αποτελεί μετάθεση 1 2 3a ,a ,a ,...,an . Ο πολλα-πλασιαστέος ε είναι ίσος με το 1 αν η μετάθεση είναι άρτια και ίσος με το -1 αν εί-ναι περιττή. Το πλήθος όλων των δυνατών γινομένων ισούται με το πλήθος των με-ταθέσεων n στοιχείων, δηλαδή ισούται με !n .

Page 321: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

112 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Ορισμός 25: Το άθροισμα !n όλων των γινομένων λέγεται ορίζουσα του πίνακα A , και συμβολίζεται ως det A ή | |A ή | |ija ή

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a aa a a

a a a

.

Για ευκολία θα χρησιμοποιούμε το συμβολισμό | |A .

Έτσι θα έχουμε ότι:

( )[ ]

( )

1 2 3

1 2 3

1 2 3

a ,a ,a ,...,a1a 2a 3a a

a ,a ,a ,...,a| | 1 ...n

n

n

nA a a a a= −∑ ,

όπου ο συμβολισμός [ ]1 2 3a ,a ,a ,...,an μέσα στο άθροισμα ∑ δηλώνει ότι η άθροιση

γίνεται με όλες τις δυνατές μεταθέσεις 1 2 3a ,a ,a ,...,an .

Ορισμός 26: Το πλήθος των γραμμών n της ορίζουσας | |A λέγεται τάξη της ορίζουσας.

Παρατήρηση 10: Επισημαίνεται ότι οι μεταθέσεις του δεύτερου δείκτη μπορούν να αλ-λάξουν αμοιβαία με τις μεταθέσεις του πρώτου δείκτη. Συνεπώς η ορίζουσα | |A θα ι-σούται και με

( )[ ]

( )

1 2 3

1 2 3

1 2 3

a ,a ,a ,...,aa 1 a 2 a 3 a

a ,a ,a ,...,a| | 1 ...n

n

n

nA a a a a= −∑ .

8.2.2. Ορίζουσες 2ης και 3ης τάξης Έστω ο 2 2× πίνακας

11 12

21 22

a aA

a a⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

,

ο οποίος είναι ένας τετραγωνικός πίνακας δεύτερης τάξης. Για τον υπολογισμό της ορί-ζουσάς του | |A εργαζόμαστε με τον εξής τρόπο:

( )[ ]

( )( )[ ] ( )[ ]

( ) ( )

1 2

1 2

1 2

a ,a 1,2 2,111 121a 2a 11 22 12 21

a ,a21 22

0 111 22 12 21 11 22 12 21

| | 1 1 1

1 1

a aA a a a a a a

a a

a a a a a a a a

= = − = − + − =

= − + − = −

Επισημαίνουμε ότι για τους αριθμούς 1, 2 δεν έχουμε υπερβατικά ζεύγη αριθμών και τη θεωρούμε άρτια μετάθεση (ίση με το μηδέν), ενώ για τους αριθμούς 2,1 έχουμε ένα υ-περβατικό ζεύγος, το ( )2,1 , δηλαδή είναι περιττή μετάθεση.

Έστω ο 3 3× πίνακας

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aA a a a

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,

ο οποίος είναι ένας τετραγωνικός πίνακας τρίτης τάξης. Για τον υπολογισμό της ορίζου-σάς του | |A εργαζόμαστε με τον ακόλουθο τρόπο:

Page 322: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μθηαματικά Ι: Μέρος 4ο 113

- - -

+ + +

- - -

( )[ ]

( )

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( )

1 2 3

1 2 3

1 2 3

11 12 13a ,a ,a

21 22 23 1a 2a 3aa ,a ,a

31 32 33

1,2,3 1,3,2 2,1,311 22 33 11 23 32 12 21 33

2,3,1 3,1,2 3,2,112 23 31 13 21 32 13 22 31

0 111 22 33 11 2

| | 1

1 1 1

1 1 1

1 1

a a aA a a a a a a

a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥= = − =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= − + − + − +

+ − + − + − =

= − + −

( )( ) ( ) ( )

13 32 12 21 33

2 2 312 23 31 13 21 32 13 22 31

11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31

1

1 1 1

a a a a

a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a

+ − +

+ − + − + − =

= − − + + −

Επισημαίνουμε ότι για τους αριθμούς 1, 2,3 δεν έχουμε υπερβατικά ζεύγη αριθμών και έτσι είναι άρτια μετάθεση, για τους αριθμούς 1,3,2 έχουμε ένα υπερβατικό ζεύγος, το ( )3, 2 , για τους αριθμούς 2,1,3 έχουμε ένα υπερβατικό ζεύγος, το ( )2,1 , για τους αριθ-μούς 2,3,1 έχουμε δύο υπερβατικά ζεύγη, τα ( )2,1 και ( )3,1 , για τους αριθμούς 3,1, 2 έχουμε δύο υπερβατικά ζεύγη, τα ( )3,1 και ( )3, 2 , και τέλος για τους αριθμούς 3, 2,1 έχουμε τρία υπερβατικά ζεύγη, τα ( )3, 2 , ( )3,1 , και ( )2,1 .

Ο υπολογισμός της ορίζουσας ενός 3 3× πίνακα υλοποιείται εύκολα και με τον λεγόμενο κανόνα Sarrus. Επισημαίνουμε ότι ο κανόνας Sarrus ισχύει μόνο για πίνακες 3 3× .

Σχηματίζουμε τον πίνακα

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

a a a a aB a a a a a

a a a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,

ο οποίος λέγεται επαυξημένος πίνακας. Τότε, με βάση τον κανόνα του Sarrus, η ορίζου-σά του υπολογίζεται ως εξής:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

11 22 33 12 23 31 13 21 32

31 22 13 32 23 11 33 21 12

11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12

11 22 33 11 23 32

| |a a a a a

B a a a a aa a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a aa a a a a a

= =

= + + + + + +

+ − + − + − =

= + + − − − == − − 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31a a a a a a a a a a a a+ + −

8.2.3. Ιδιότητες οριζουσών Σχετικά με τις ιδιότητες των οριζουσών, διακρίνουμε τις ακόλουθες επτά περιπτώσεις:

1) Η ορίζουσα | |A ενός πίνακα

Page 323: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

114 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ισούται με την ορίζουσα του ανάστροφου πίνακά TA , δηλαδή | | | |TA A= .

2) Αν όλα τα στοιχεία κάποιας τυχαίας γραμμής (ή στήλης) του πίνακα A ισούνται με το μηδέν, τότε | | 0A = .

3) Αν ο πίνακας B προέρχεται από τον πίνακα A με πολλαπλασιασμό μιας γραμμής ή μιας στήλης με ένα πραγματικό αριθμό λ, τότε | | | |B Aλ= .

α) Αν κάθε στοιχείο κάποιας τυχαίας στήλης i ενός πίνακα A είναι άθροισμα δύο προσθετέων, δηλαδή

11 1 1 1

21 2 2 2

1

... ...

... ...... ... .... ... ...

... ...

i i n

i i n

n ni ni nn

a a΄ a΄΄ aa a΄ a΄΄ a

A

a a΄ a΄΄ a

+⎡ ⎤⎢ ⎥+⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦

,

τότε για την ορίζουσά του θα έχουμε ότι:

11 1 1 11 1 1

21 2 2 21 2 2

1 1

... ... ... ...

... ... ... ...| |

... ... .... ... ... ... ... .... ... ...... ... ... ...

i n i n

i n i n

n ni nn n ni nn

a a΄ a a a΄΄ aa a΄ a a a΄΄ a

A

a a΄ a a a΄΄ a

= + .

β) Αν κάθε στοιχείο κάποιας τυχαίας γραμμής j ενός πίνακα A είναι άθροισμα δύο προσθετέων, δηλαδή

11 12 1

1 1 2 2

1 2

...... ... ... ...

...... ... ... ...

...

n

j j j j jn jn

n n nn

a a a

A a΄ a΄΄ a΄ a΄΄ a΄ a΄΄

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= + + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,

τότε για την ορίζουσά του θα έχουμε ότι:

11 12 1 11 12 1

1 2 1 2

1 2 1 2

... ...... ... ... ... ... ... ... ...

| | ... ...... ... ... ... ... ... ... ...

... ...

n n

j j jn j j jn

n n nn n n nn

a a a a a a

A a΄ a΄ a΄ a΄΄ a΄΄ a΄΄

a a a a a a

= + .

4) Αν σε μια ορίζουσα γίνει αλλαγή θέσης δύο γραμμών ή δύο στηλών, τότε η προκύ-πτουσα ορίζουσα θα ισούται με την αρχική πολλαπλασιασμένη με 1− .

Page 324: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μθηαματικά Ι: Μέρος 4ο 115

5) Αν ο πίνακας A έχει δύο ίσες γραμμές (ή στήλες), τότε η ορίζουσά του θα ισούται με το μηδέν.

6) Αν ο πίνακας A έχει δύο ανάλογες γραμμές (ή στήλες), τότε η ορίζουσά του θα ι-σούται με το μηδέν.

7) Αν η γραμμή (ή η στήλη) μιας ορίζουσας ενός πίνακα πολλαπλασιαστεί με πραγμα-τικό αριθμό και στη συνέχεια προστεθεί σε κάποια άλλη γραμμή (ή στήλη), τότε η ορίζουσα αυτή παραμένει ίδια.

8.2.4 Ελάσσονες ορίζουσες Έστω ο τετραγωνικός πίνακας

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

με ορίζουσα την

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...| |

... ... ... ......

n

n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

= .

Ορισμός 27: Η ορίζουσα | |ijA , η οποία προέρχεται από τα στοιχεία του πίνακα αφού

«διαγραφούν» τα στοιχεία της i γραμμής και της j στήλης, ονομάζεται ελάσσων ορί-

ζουσα του πίνακα A . Ισούται με το γινόμενο του ( )1 i j+− επί την αντίστοιχη ελάσσονα

ορίζουσα.

Για παράδειγμα: αν «διαγραφούν» τα στοιχεία της 1ης γραμμής και της 1ης στήλης, η ε-λάσσων ορίζουσα θα ισούται με

( )22 2 22 2

1 111

2 2

... ...| | 1 ... ... ... ... ... ...

... ...

n n

n nn n nn

a a a aA

a a a a

+= − = .

Αν «διαγραφούν» τα στοιχεία της 2ης γραμμή και της 1ης στήλης, η ελάσσων ορίζουσα θα ισούται με

( )

12 13 1 12 13 1

1 2 32 33 3 32 33 321

2 3 2 3

... ...

... ...| | 1

... ... ... ... ... ... ... ...... ...

n n

n n

n n nn n n nn

a a a a a aa a a a a a

A

a a a a a a

+= − = − κ.τ.λ.

Θεωρούμαι ως ειδική περίπτωση τον 3 3× πίνακα

Page 325: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

116 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aA a a a

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

με ορίζουσα την

11 12 13

21 22 23

31 32 33

| |a a a

A a a aa a a

= .

Τότε τρεις από τις εννέα ελάσσονες ορίζουσές του μπορεί να είναι οι ακόλουθες:

( ) ( )

( )

1 1 1 222 23 22 23 21 23 21 2311 12

32 33 32 33 31 33 31 33

1 3 21 22 21 2213

31 32 31 32

1 , A 1 ,

A 1 κ.τ.λ.

a a a a a a a aA

a a a a a a a a

a a a aa a a a

+ +

+

= − = = − = −

= − =

Θεώρημα 1: Θεωρούμε τον τετραγωνικό πίνακα

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Τότε για την ορίζουσά του ισχύουν τα ακόλουθα:

α) Αν επιλεγεί η i γραμμή ως ανάπτυξη των ελασσόνων οριζουσών, τότε η ορίζουσά του θα ισούται με 1 1 2 2| | ...i i i i in inA a A a A a A= + + + .

β) Αν επιλεγεί η j στήλη ως ανάπτυξη των ελασσόνων οριζουσών, τότε η ορίζουσά του θα ισούται με 1 1 2 2| | ...j j j j nj njA a A a A a A= + + + .

Θεώρημα 2: Η ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα n n× ισούται με το άθροισμα των γινομένων των ελασσόνων οριζουσών s τάξης (1 s n≤ ≤ ), σχηματισμένες από τα στοι-χεία τυχαίας γραμμής s (ή στήλης), επί το στοιχείο της αντίστοιχης γραμμής (ή στήλης) πολλαπλασιασμένο με το ( )1 i j+− .

Στην ειδική περίπτωση του 3 3× πίνακα

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aA a a a

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,

η ορίζουσα υπολογίζεται ως εξής:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

11 12 131 1 1 2 1 322 23 21 23 21 22

21 22 23 11 12 1332 33 31 33 31 32

31 32 33

11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31

11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 1

| | 1 1 1a a a

a a a a a aA a a a a a a

a a a a a aa a a

a a a a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a a

+ + += = − + − + − =

= − − − + − =

= − − + + − 3 22 31a a

Page 326: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μθηαματικά Ι: Μέρος 4ο 117

+ + +

- - -

8.2.5 Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 21: Δίνεται ο τετραγωνικός 3 3× πίνακας

1 2 40 1 41 0 2

A⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

,

με τη βοήθεια του ορισμού, να υπολογιστεί η ορίζουσά του | |A .

Λύση

( ) ( ) ( )( )1 2 4

| | 0 1 4 1 1 2 1 4 0 2 0 2 2 4 1 4 0 0 4 1 11 0 2

2 0 0 8 0 4 14.

A = − = ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − ⋅ − − =−

= − − − − + − = −

Άσκηση 22: Δίνεται ο τετραγωνικός 3 3× πίνακας

1 2 40 1 41 0 2

A⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

,

με τη βοήθεια του κανόνα Sarrus, να υπολογιστεί η ορίζουσά του | |A .

Λύση

( ) ( ) ( )( )1 2 4 1 2

| | 0 1 4 0 1 1 1 2 2 4 1 4 0 0 1 1 4 0 4 1 2 0 21 0 2 1 0

2 8 0 4 0 0 14

A = − − = ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − − − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅− −

= − − + − − − = −

Άσκηση 23: Δίνεται ο τετραγωνικός 2 2× πίνακας 2 30 1

A ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

.

α) Να βρεθεί ο ανάστροφός του TA .

β) Να υπολογιστούν και να συγκριθούν οι ορίζουσες | |A και | |TA .

Άσκηση 24: Δίνεται ο τετραγωνικός 3 3× πίνακας

1 2 40 0 01 2 2

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

.

Να αποδειχθεί ότι | | 0A = .

Page 327: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

118 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Άσκηση 25: Δίνεται ο τετραγωνικός 3 3× πίνακας

3 2 31 2 35 2 0

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,

με τη βοήθεια των ελασσόνων οριζουσών, να υπολογιστεί η ορίζουσά του | |A .

Λύση

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 1 33 2 3

2 3 1 3 1 2| | 1 2 3 1 3 1 2 1 3

2 0 5 0 5 25 2 0

3 2 0 3 2 2 1 0 3 5 3 1 2 2 5 3 6 2 15 3 8 12

A + + += = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ = − − − + − = −

Άσκηση 26: Δίνεται ο τετραγωνικός 4 4× πίνακας 1 2 3 02 3 1 2

1 3 3 22 0 3 4

A

⎡ ⎤⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

α) Να βρεθεί ο ανάστροφός του TA .

β) Να υπολογιστούν και να συγκριθούν οι ορίζουσες | |A και | |TA

8.3 Αντίστροφος πίνακας 8.3.1 Βασικές έννοιες, ορισμοί, και θεωρήματα Έστω ο τετραγωνικός 4 4× πίνακας

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

με ορίζουσα την

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...| |

... ... ... ......

n

n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

= .

Σχηματίζουμε τον πίνακα C με τον ακόλουθο τρόπο: τα στοιχεία του είναι οι πίνακες

22 2

11

2

...... ... ...

...

n

n nn

a aA

a a

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,21 2

12

1

...... ... ...

...

n

n nn

a aA

a a

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,

Page 328: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μθηαματικά Ι: Μέρος 4ο 119

21 2 1

13

1 1

...... ... ...

...

n

n nn

a aA

a a

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, 12 1

21

2

...... ... ...

...

n

n nn

a aA

a a

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

κ.τ.λ.

και συγκεκριμένα:

11 21 1

12 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

n n nn

A A AA A A

C

A A A

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ .

Θεώρημα 3: Αν A και C είναι οι προαναφερθέντες δύο πίνακες, τότε ισχύει ότι: | |AC CA A I= = , όπου I είναι ο μοναδιαίος n n× πίνακας.

Ορισμός 28: Αντίστροφος του πίνακα A λέγεται ο n n× πίνακας 1A− για τον οποίο ισχύει ότι 1 1AA A A I− −= = .

Θεώρημα 4: Για να υπάρχει αντίστροφος πίνακας 1A− του A θα πρέπει | | 0A ≠ , και ο αντίστροφος θα ισούται με

1 1| |

A CA

− = .

Ορισμός 29: Αν ένας πίνακας έχει αντίστροφο πίνακα, τότε λέγεται αντιστρέψιμος ή ιδιάζων πίνακας. Στην περίπτωση όπου δεν έχει αντίστροφο λέγεται μη αντιστρέψιμος ή μη ιδιάζων πίνακας.

Θεώρημα 5: Αν υπάρχει αντίστροφος πίνακας 1A− του A , τότε αυτός είναι μοναδικός.

Ιδιότητες αντίστροφου πίνακα

1) 1 1| || |

AA

− =

2) ( ) 11A A−− =

3) ( ) 1 1 1AB B A− − −=

4) ( ) ( )1 1 , kkA A k N

− −= ∈

Παρατήρηση 11: Έστω ο 2 2× πίνακας

11 12

21 22

a aA

a a⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

με ορίζουσα την 11 22 12 21| |A a a a a= − η οποία είναι διαφορετική από το μηδέν. Τότε ο αντίστροφός του θα ισούται με:

22 121

21 11

1| |

a aA

a aA− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

Ορισμός 30: Το πλήθος των μη μηδενικών γραμμών ενός τριγωνικού άνω πίνακα m n× λέγεται βαθμός του πίνακα και συμβολίζεται με ( )rank A .

Page 329: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

120 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Παρατήρηση 12: Αν ένας πίνακας δεν είναι άμεσα τριγωνικός άνω, τότε μετασχηματίζε-ται, με βάση τους ήδη αναφερθέντες κανόνες μετασχηματισμού, σε τριγωνικό άνω, και στη συνέχεια υπολογίζεται το πλήθος των μη μηδενικών γραμμών του.

Θεωρούμε τον πίνακα A Iλ− , όπου I είναι ο μοναδιαίος n n× πίνακας, Cλ ∈ , και | |A Iλ− είναι η ορίζουσά του.

Ορισμός 31: Το πολυώνυμο ( ) | |p A Iλ λ= − λέγεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο του τετραγωνικού πίνακα A .

Ορισμός 32: Η εξίσωση ( ) 0p λ = λέγεται χαρακτηριστική εξίσωση του τετραγωνικού πίνακα A .

Ορισμός 33: Οι ρίζες 1 2, ,..., n Cλ λ λ ∈ της χαρακτηριστικής εξίσωσης λέγονται ιδιοτι-μές του τετραγωνικού πίνακα A .

Ορισμός 34: Το σύνολο όλων των ιδιοτιμών ενός πίνακα A λέγεται φάσμα του τετρα-γωνικού πίνακα, και συμβολίζεται με ( )Aλ .

8.3.2 Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση

Άσκηση 27: Να αποδειχθεί ότι ο πίνακας

2 3 51 1 41 9 2

A−⎡ ⎤

⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

δεν έχει αντίστροφο.

Λύση Βρίσκουμε ότι | | 0A = . Με βάση το Θεώρημα 4, δεν υπάρχει αντίστροφος 1A− του δε-δομένου πίνακα A .

Άσκηση 28: Δίνεται ο 3 3× τετραγωνικός πίνακας

1 2 12 1 21 2 1

A−⎡ ⎤

⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Να βρεθεί ο αντίστροφός του, αν υπάρχει.

Λύση Η ορίζουσα του συγκεκριμένου πίνακα A ισούται με | | 6 0A = − ≠ . Άρα υπάρχει αντί-στροφος, με βάση το Θεώρημα 4. Στη συνέχεια υπολογίζουμε τις ακόλουθες ελάσσονες ορίζουσες:

Page 330: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μθηαματικά Ι: Μέρος 4ο 121

( )1 111

1 21 3

2 1A += − = − , ( )2 1

21

2 11 4

2 1A + −

= − = − , ( )3 131

2 11 5

1 2A + −

= − = ,

( )1 212

2 21 0

1 1A += − = , ( )2 2

22

1 11 2

1 1A + −

= − = , ( )3 232

1 11 4

2 2A + −

= − = − ,

( )1 313

2 11 3

1 2A += − = , ( )2 3

23

1 21 0

1 2A += − = , ( )3 3

33

1 21 3

2 1A += − = −

Με βάση όσα αναφέραμε, θα έχουμε:

11 21 31

12 22 32

13 23 33

3 4 50 2 43 0 3

A A AC A A A

A A A

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Κατά συνέπεια, ο ζητούμενος αντίστροφος 1A− του πίνακα A θα ισούται με:

1

1 2 52 3 63 4 5

1 1 1 20 2 4 0| | 6 3 3

3 0 3 1 102 2

A CA

⎡ ⎤−⎢ ⎥− −⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = − − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Άσκηση 29: Δίνεται ο πίνακας

1 2 00 3 11 1 0

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

Να υπολογιστεί ο βαθμός του.

Λύση

( )3 1 3 3 3 2

1 2 0 1 2 0 1 2 00 3 0 0 3 0 0 3 01 1 0 1 0 3 0 0 0 0

A⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− Γ ↔ − ⋅Γ +Γ − Γ ↔ Γ +Γ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Κατά συνέπεια ( ) 2rank A = , αφού το πλήθος των μη μηδενικών γραμμών του τελευταί-ου μετασχηματισμένου τριγωνικού άνω πίνακα είναι 2 (δηλαδή οι γραμμές 1Γ και 2Γ ).

Άσκηση 30: Δίνεται ο πίνακας 1 31 4

A ⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

Να υπολογιστούν τα ακόλουθα:

α) Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα A

β) Οι ιδιοτιμές του πίνακα A

γ) Το φάσμα ( )Aλ του πίνακα A

Page 331: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

122 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Λύση

( )( ) ( ) 2 2

1 3 1 0 1 3α) ( ) | | | | | |

1 4 0 1 1 4

1 4 3 1 4 4 3 5 7

p A I A Iλ

λ λ λ λλ

λ λ λ λ λ λ λ

−= − = − = − = =

− − −

= − − − − = − − + + = − +

2β) ( ) 0 5 7 0p λ λ λ= ⇔ − + = , ( )25 4 1 7 25 28 3 0Δ = − − ⋅ ⋅ = − = − < . Κατά συνέπεια οι ιδιοτιμές του πίνακα A θα είναι μιγαδικοί αριθμοί. Και συγκεκριμένα:

( )1,2

5 3 5 3 5 32.1 2 2 2

i i iλ− − ± ±

= = = ± ,

δηλαδή 15 32 2

iλ = + και 15 32 2

iλ = − .

γ) Επειδή 15 32 2

iλ = + και 15 32 2

iλ = − , δηλαδή δύο ρίζες (μιγαδιές) συμπεραίνουμε

ότι το φάσμα του πίνακα A ισούται με ( ) 2Aλ = .

Άσκηση 31: Δίνεται ο 3 3× τετραγωνικός πίνακας

1 2 12 0 20 2 2

A− −⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Να βρεθεί ο αντίστροφός του, αν υπάρχει.

Άσκηση 32: Δίνεται ο 4 4× τετραγωνικός πίνακας 1 2 3 01 2 4 1

1 1 0 34 2 1 2

A

⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Να βρεθεί ο αντίστροφός του, αν υπάρχει.

Άσκηση 33: Δίνεται ο3 3× τετραγωνικός πίνακας

0 2 00 2 11 1 1

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

.

Να υπολογιστεί ο βαθμός του.

Page 332: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μθηαματικά Ι: Μέρος 4ο 123

8.4 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων 8.4.1 Βασικές έννοιες και ορισμοί Θεωρούμε το n n× πίνακα

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

και έναν ακόμα πίνακα – στήλη 1n×

1

2

...

n

xx

x

x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Τότε, με βάση τον ορισμό του γινομένου δύο πινάκων, θα έχουμε ότι:

11 12 1 1 11 1 12 2 1

21 22 2 2 21 1 22 2 2

1 2 1 1 2 2

... ...

... ...... ... ... ... ... ......................................

... ...

n n n

n n n

n n nn n n n nn n

a a a x a x a x a xa a a x a x a x a x

Ax

a a a x a x a x a x

+ + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Τα στοιχεία του τελευταίου πίνακα θα τα συμβολίσουμε με 1 2, ,..., nb b b .

Τότε θα έχουμε τα ακόλουθο:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...............................................

...

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

+ + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨⎪⎪ + + + =⎩

Αν

1

2

...

n

bb

b

b

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, τότε το τελευταίο θα ισούται με Ax b= .

Ορισμός 35: Το σύνολο των εξισώσεων

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...............................................

...

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

+ + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨⎪⎪ + + + =⎩

λέγεται σύστημα n γραμμικών εξισώσεων με n αγνώστους.

Ορισμός 36: Λύση ενός γραμμικού συστήματος λέγονται οι τιμές του πίνακα

Page 333: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

124 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

1

2

...

n

xx

x

x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

για τον οποίο ισχύει ότι Ax b= .

Ορισμός 37: Τα στοιχεία του πίνακα

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

λέγονται συντελεστές του γραμμικού συστήματος, ενώ τα στοιχεία του πίνακα

1

2

...

n

bb

b

b

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

λέγονται σταθεροί όροι .

Ορισμός 38: Ο πίνακας

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

...

...... ... ... ... ...

...

n

n

n n nn n

a a a ba a a b

A

a a a b

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

%

λέγεται επαυξημένος πίνακας του γραμμικού συστήματος εξισώσεων, με κύρια διαγώνιο αυτή με στοιχεία ija , i j= και , 1, 2,...,i j n= .

8.4.2 Λύση γραμμικών συστημάτων εξισώσεων Θα παρουσιάσουμε τώρα τις τέσσερις βασικότερες μεθόδους – τρόπους λύσης γραμμι-κών συστημάτων n n× , και συγκεκριμένα τη μέθοδο Gramer, τη μέθοδο αντίστροφου πίνακα, τη μέθοδο Gauss, και τη μέθοδο Gauss – Jordan.

Μέθοδος Gramer

Έστω ένα σύστημα n γραμμικών εξισώσεων με n αγνώστους

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...............................................

...

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

+ + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨⎪⎪ + + + =⎩

Page 334: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μθηαματικά Ι: Μέρος 4ο 125

με

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,

1

2

...

n

bb

b

b

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, και

1

2

...

n

xx

x

x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Θεωρούμε επίσης ότι | | 0A ≠ και ότι 1A− είναι ο αντίστροφος του πίνακα αυτού. Τότε 1 1

| |A C

A− = , όπου

11 21 1

12 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

n n nn

A A AA A A

C

A A A

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Έτσι θα έχουμε: 1 1| |

Ax b x A b x CbA

−= ⇔ = ⇔ =

και επίσης

11 21 1 1 1 11 2 21 1

12 22 2 2 1 12 2 22 2

1 2 1 1 2 2

... ...

... ...... ... ... ... ... .....................................

... ...

n n n

n n n

n n nn n n n n nn

A A A b b A b A b AA A A b b A b A b A

Cb

A A A b b A b A b A

+ + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Έστω ( )1 1 2 2| | | | | | ... | |, 1, 2,...,i i i n niA b A b A b A i n= + + + = να είναι η ορίζουσα του i στοιχείου του πίνακα Cb . Αποδεικνύεται ότι η ορίζουσα iA μπορεί να αποδοθεί ως ορί-ζουσα ενός πίνακα ο οποίος προέρχεται από τον πίνακα A αν τα στοιχεία της i στήλης του αντικατασταθούν με τα στοιχεία του πίνακα – στήλης b , δηλαδή

11 1, 1 1 1, 1 1

21 2, 1 2 2, 1 2

1 , 1 , 1

... ...

... ...| |

... ... ... ... ... ... ...... ...

j j n

j j ni

n n j n n j nn

a a b a aa a b a a

A

a a b a a

− +

− +

− +

= .

Με βάση τα προηγούμενα, η λύση του συστήματος θα είναι η ακόλουθη:

1

21...| |

n

AA

xA

A

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ή διαφορετικά

1 21 2

| || | | |, ,...,

| | | | | |n

nAA A

x x xA A A

= = = .

Επομένως η λύση του συστήματος θα είναι η ( ) 1 21 2

| || | | |, ,..., , ,...,

| | | | | |n

nAA A

x x xA A A

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Page 335: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

126 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Μέθοδος αντίστροφου πίνακα

Έστω ένα σύστημα n γραμμικών εξισώσεων με n αγνώστους

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...............................................

...

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

+ + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨⎪⎪ + + + =⎩

με

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,

1

2

...

n

bb

b

b

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, και

1

2

...

n

xx

x

x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Θεωρούμε επίσης ότι | | 0A ≠ και ότι 1A− είναι ο αντίστροφος του πίνακα αυτού. Τότε 1 1

| |A C

A− = , όπου

11 21 1

12 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

n n nn

A A AA A A

C

A A A

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Έτσι θα έχουμε:

( ) ( )1 1 1 1 1 1

1 1| | | |

Ax b A Ax A b A A x A b IA A b x A b

x Cb x BA A

− − − − − −= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔

⇔ = ⇔ =

και επίσης

11 21 1 1 1 11 2 21 1

12 22 2 2 1 12 2 22 2

1 2 1 1 2 2

... ...

... ...... ... ... ... ... .....................................

... ...

n n n

n n n

n n nn n n n n nn

A A A b b A b A b AA A A b b A b A b A

B

A A A b b A b A b A

+ + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Οπότε η λύση του συστήματος θα ισούται με:

1 1 11 2 21 1

2 1 12 2 22 2

1 1 2 2

...

...1... .....................................| |

...

n n

n n

n n n n nn

x b A b A b Ax b A b A b A

Ax b A b A b A

+ + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

από το οποίο συνεπάγεται ότι

( )1 1 11 2 21 11 ...

| | n nx b A b A b AA

= + + + ,

( )2 1 12 2 22 211 ...

| | nx b A b A b AA

= + + + ,…, ( )1 2 2 2 11 ...

| |n n n n nx b A b A b AA

= + + + .

Επομένως, για τη λύση αυτού του γραμμικού συστήματος θα έχουμε ότι:

Page 336: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μθηαματικά Ι: Μέρος 4ο 127

( )

( ) ( )

( )

1 2

1 11 2 21 1 1 12 2 22 21

1 2 2 2 1

, ,...,

1 1... , ... ,...,| | | |

1, ...| |

n

n n n

n n n n

x x x

b A b A b A b A b A b AA A

b A b A b AA

=

⎛= + + + + + +⎜⎝

⎞+ + + ⎟

Μέθοδος Gauss

Έστω ένα σύστημα n γραμμικών εξισώσεων με n αγνώστους

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...............................................

...

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

+ + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨⎪⎪ + + + =⎩

με

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,

1

2

...

n

bb

b

b

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, και

1

2

...

n

xx

x

x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Σχηματίζουμε τον επαυξημένο πίνακα του A% , δηλαδή τον A μαζί με τον πίνακα – στήλη b :

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

...

...... ... ... ... ...

...

n

n

n n nn n

a a a ba a a b

A

a a a b

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

% .

Με βάση την μέθοδο Gauss, αν ο επαυξημένος πίνακας δεν είναι τριγωνικός άνω τότε τον μετασχηματίζουμε σε τέτοιο, ως προς την κύρια διαγώνιό του, ώστε να πάρει την ακό-λουθη μορφή:

11 12 1 1

22 2 2

...0 ...... ... ... ... ...0 0 ...

n

n

nn n

a a a ba ΄ a ΄ b ΄

A

a ΄ b ΄

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

%

Αφού τον μετασχηματίσουμε σε τριγωνικό πίνακα, για παράδειγμα σε τριγωνικό άνω, τα στοιχεία η n γραμμής προσδιορίζουν το

nn

nn

b ΄x

a ΄= .

Με γνωστό το nx , από τα στοιχεία της 1n − γραμμής προσδιορίζεται το 1nx − , λαμβάνο-ντας τα στοιχεία της 1n − γραμμής ως συντελεστές των αντίστοιχν αγνώστων κ.τ.λ., έως τον προσδιορισμό του 1x με τη βοήθεια της 1ης γραμμής και του ήδη προσδιορισμένου

2x , βάσει την εξίσωση 11 1 12 2 1 1... n na x a x a x b+ + + = .

Page 337: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

128 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Παρατήρηση 13: Ορισμένες φορές, αφού μετατραπεί ο πίνακας σε κλιμακοτώ άνω, τα

στοιχεία της κύριας διαγωνίου γίνονται μονάδες. Αυτό υλοποιείται με διάρεση της κάθε

γραμμής του πίνακα με το στοιχείο – αριθμό της κύριας διαγωνίου που θέλουμε να κά-

νουμε μονάδα. Έτσι λαμβάνεται ο πίνακας:

12 1 1

2 2

1 ...0 1 ...... ... ... ... ...0 0 ... 1

n

n

n

a ΄ a ΄ b΄a ΄΄ b ΄΄

A

b ΄΄

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

% , όπου 1212

11

aa ΄a

= , nn

nn

b ΄b ΄΄a ΄

= κ.τ.λ.

Από την τελευταία γραμμή του τελευταίου πίνακα λαμβάνουμε n nx b ΄΄= . Με γνωστό το

nx , από τα στοιχεία της 1n − γραμμής προσδιορίζεται το 1nx − , λαμβάνοντας τα στοιχεία της 1n − γραμμής ως συντελεστές των αντίστοιχν αγνώστων κ.τ.λ., έως τον προσδιορι-σμό του 1x με τη βοήθεια της 1ης γραμμής και του ήδη προσδιορισμένου 2x , βάσει την εξίσωση 1 12 2 1 1... n nx a ΄x a ΄x b΄+ + + = .

Μέθοδος Gauss – Jordan

Έστω ένα σύστημα n γραμμικών εξισώσεων με n αγνώστους

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...............................................

...

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

+ + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨⎪⎪ + + + =⎩

με

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,

1

2

...

n

bb

b

b

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, και

1

2

...

n

xx

x

x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Σχηματίζουμε τον επαυξημένο πίνακα του A% , δηλαδή τον A μαζί με τον πίνακα – στήλη b :

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

...

...... ... ... ... ...

...

n

n

n n nn n

a a a ba a a b

A

a a a b

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

% .

Με βάση την μέθοδο Gauss – Jordan, αν ο επαυξημένος πίνακας δεν είναι διαγώνιος, τό-τε τον μετασχηματίζουμε σε τέτοιο, ως προς την κύρια διαγώνιό του, ώστε να πάρει την ακόλουθη μορφή:

Page 338: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μθηαματικά Ι: Μέρος 4ο 129

11 1

22 2

0 ... 00 ... 0... ... ... ... ...0 0 ... nn n

a b΄a ΄ b ΄

A

a ΄ b ΄

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

% .

Αφού τον μετασχηματίσουμε σε διαγώνιο πίνακα, τα στοιχεία της n γραμμής προσδιορί-ζουν το

nn

nn

b ΄x

a ΄= ,

τα στοιχεία της 1n − γραμμής προσδιορίζουν το

11

1

nn

n n

b ΄x

a ΄−

−−

= , κ.τ.λ.,

τα στοιχεία της 2ης γραμμής προσδιορίζουν το

22

22

b ΄x

a ΄=

και τέλος, τα στοιχεία της 1ης γραμμής προσδιορίζουν το

11

11

b΄x

a= .

Παρατήρηση 14: Ορισμένες φορές, αφού μετατραπεί ο πίνακας σε διαγώνιος, τα στοι-

χεία της κύριας διαγωνίου γίνονται μονάδες. Αυτό υλοποιείται με διάρεση της κάθε

γραμμής του πίνακα με το στοιχείο – αριθμό της κύριας διαγωνίου που θέλουμε να κά-

νουμε μονάδα. Έτσι λαμβάνεται ο πίνακας:

1

2

1 0 ... 00 1 ... 0... ... ... ... ...0 0 ... 1 n

b΄΄b ΄΄

A

b ΄΄

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

% , όπου 11

11

b΄b΄΄a

= , 22

22

b ΄b ΄΄a ΄

= , …, nn

nn

b ΄b ΄΄a ΄

=

Από την τελευταία γραμμή του τελευταίου πίνακα λαμβάνουμε n nx b ΄΄= . Από την 1n − γραμμής προσδιορίζουν το 1 1n nx b ΄΄− −= , έως τα στοιχεία της 2ης γραμμής τα οποία προσ-διορίζουν το 2 2x b ΄΄= και τέλος, τα στοιχεία της 1ης γραμμής τα οποία προσδιορίζουν το

1 1x b΄= .

Παρατήρηση 15: Για να έχει ένα γραμμικό σύστημα n με n αγνώστους λύση, θα πρέ-πει η αντίστοιχη ορίζουσά του | |A να είναι διάφορη του μηδενός.

Page 339: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

130 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

8.5 Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση Άσκηση 34: Με τη βοήθεια της μεθόδου Gramer, να λυθεί το ακόλουθο 3 3× γραμμικό σύστημα εξισώσεων:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 2 93 2 3

3 3 2 1

x x xx x x

x x x

− + =⎧⎪ + − =⎨⎪− + − = −⎩

.

Λύση

2 3 23 2 13 3 2

A−⎡ ⎤

⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

, 1

2

3

xx x

x

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, και 931

B⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

με Ax b= .

Οπότε θα έχουμε τα ακόλουθα, σχετικά με τις απαραίτητες ορίζουσες:

2 3 2| | 3 2 1 1 0

3 3 2A

−= − = ≠− −

, 1

9 3 2| | 3 2 1 8

1 3 2A

−= − = −− −

,

2

2 9 2| | 3 3 1 79

3 1 2A = − =

− − − και 3

2 3 9| | 3 2 3 131

3 3 1A

−= =− −

.

Άρα 11

| | 8 8| | 1A

xA

−= = = − , 2

2| | 79 79| | 1A

xA

= = = και 33

| | 131 131| | 1A

xA

= = = .

Συνεπώς η λύση του συστήματος αυτού είναι η ( ) ( )1 2 3, , 8,72,131x x x = − .

Άσκηση 35: Με τη βοήθεια της μεθόδου του αντίστροφου πίνακα, να λυθεί το ακόλουθο 3 3× γραμμικό σύστημα εξισώσεων:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 12 2 2

2 0

x x xx x x

x x x

+ − =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

.

Λύση Ορίζεται ο πίνακας

1 2 12 1 21 2 1

A−⎡ ⎤

⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Η ορίζουσα αυτού του πίνακα A ισούται με | | 6 0A = − ≠ . Κατόπιν υπολογίζουμε τις ακόλουθες ελάσσονες ορίζουσες:

Page 340: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μθηαματικά Ι: Μέρος 4ο 131

( )1 111

1 21 3

2 1A += − = − , ( )2 1

21

2 11 4

2 1A + −

= − = − , ( )3 131

2 11 5

1 2A + −

= − = ,

( )1 212

2 21 0

1 1A += − = , ( )2 2

22

1 11 2

1 1A + −

= − = , ( )3 232

1 11 4

2 2A + −

= − = − ,

( )1 313

2 11 3

1 2A += − = , ( )2 3

23

1 21 0

1 2A += − = , ( )3 3

33

1 21 3

2 1A += − = −

Με βάση όσα έχουμε αναφέρει, θα έχουμε:

11 21 31

12 22 32

13 23 33

3 4 50 2 43 0 3

A A AC A A A

A A A

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Κατά συνέπεια, ο αντίστροφος του πίνακα A θα ισούται με:

1

1 2 52 3 63 4 5

1 1 1 20 2 4 0| | 6 3 3

3 0 3 1 102 2

A CA

⎡ ⎤−⎢ ⎥− −⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = − − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Τότε, με βάση τη μέθοδο του αντίστροφου πίνακα, η λύση του συστήματος θα είναι η ακόλουθη:

( ) ( ) ( )1 1 11 2 21 3 311 1 111 3 2 4 0 5

| | 6 6x b A b A b A

A= + + = ⋅ − + ⋅ − + ⋅ =⎡ ⎤⎣ ⎦−

,

( ) ( )2 1 12 2 22 3 321 1 21 0 2 2 0 4

| | 6 3x b A b A b A

A= + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ − = −⎡ ⎤⎣ ⎦−

, και

( ) ( )3 1 13 2 23 3 331 1 11 3 2 0 0 3

| | 6 2x b A b A b A

A= + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ − = −⎡ ⎤⎣ ⎦−

.

Επομένως η λύση του εν λόγω συστήματος είναι η

( )1 2 311 2 1, , , ,6 3 2

x x x ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Άσκηση 36: Με τη βοήθεια της μεθόδου Gauss, να λυθεί το ακόλουθο 3 3× γραμμικό σύστημα εξισώσεων:

1 2 3

1 2

1 2 3

2 2 12 2

1

x x xx xx x x

+ − =⎧⎪− − =⎨⎪− − − = −⎩

.

Page 341: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

132 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Λύση

2 2 1

3 3 1

2 2 1 1 2 2 1 11 2 0 2 2 0 2 1 51 1 1 1 1 1 1 1 2

2 2 1 10 2 1 50 0 3 1

A− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − Γ ↔ ⋅Γ +Γ − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − − − − Γ ↔ ⋅Γ +Γ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

Οπότε, από την 3η γραμμή του τελευταίου μετασχηματισμένου επαυξημένου πίνακα, συ-νεπάγεται ότι:

3 313 13

x x− = − ⇔ =

Με βάση το 313

x = και τη 2η γραμμή του τελευταίου μετασχηματισμένου επαυξημένου

πίνακα θα έχουμε ότι:

2 3 2 2 2 21 1 16 82 5 2 5 2 5 23 3 3 3

x x x x x x− − = ⇔ − − = ⇔ − = + ⇔ − = ⇔ = −

Αφού 283

x = και 313

x = , λαμβάνοντας υπόψη την 1η γραμμή του τελευταίου μετασχη-

ματισμένου επαυξημένου πίνακα θα έχουμε ότι:

1 2 3 1 1 18 1 17 102 2 1 2 2 1 2 13 3 3 3

x x x x x x+ − = ⇔ − − = ⇔ = + ⇔ =

Συνεπώς η λύση του εν λόγω συστήματος είναι η

( )1 2 310 8 1, , , ,3 3 3

x x x ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Άσκηση 37: Με τη βοήθεια της μεθόδου Gauss – Jordan, να λυθεί το ακόλουθο 3 3× γραμμικό σύστημα εξισώσεων:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 22 1

2 1

x x xx x x

x x x

+ + =⎧⎪ + − =⎨⎪ − + =⎩

.

Λύση

( )2 2 1

3 1 3

1 1 2

3 2 3

1 1 2 2 1 1 2 21 2 1 1 0 1 3 12 1 1 1 2 1 1 1 2

1 1 2 2 1 1 2 20 1 3 1 0 1 3 10 3 3 3 3 0 0 12 6

A⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − Γ ↔ Γ −Γ − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − Γ ↔ − ⋅Γ +Γ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Γ ↔ Γ −Γ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − Γ ↔ ⋅Γ +Γ − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Page 342: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μθηαματικά Ι: Μέρος 4ο 133

( )( )

( )( )( )

1 3 1

2 2 3

1 1

2 2

3 3

1 0 5 3 5 12 12 0 0 60 1 3 1 0 1 3 1 40 0 12 6 0 0 12 6

11 0 0212 0 0 6 : 1210 4 0 2 : 4 0 1 02

0 0 12 6 : 112 10 0 12

Γ ↔ ⋅Γ + + ⋅Γ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − Γ ↔ − ⋅Γ + Γ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥

Γ ↔ Γ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − Γ ↔ Γ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− − Γ ↔ Γ − ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Οπότε, από την 3η γραμμή του τελευταίου μετασχηματισμένου επαυξημένου πίνακα, βά-σει την Παρατήρηση 14, συνεπάγεται ότι:

312

x = .

Τότε από τη 2η γραμμή του τελευταίου μετασχηματισμένου επαυξημένου πίνακα συνεπά-γεται ότι:

212

x = .

Έτσι από την 1η γραμμή του τελευταίου μετασχηματισμένου επαυξημένου πίνακα συνε-πάγεται ότι:

112

x = .

Συνεπώς η λύση του συστήματος αυτού είναι η

( )1 2 31 1 1, , , ,2 2 2

x x x ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Άσκηση 38: Με τη βοήθεια της μεθόδου Gramer, να λυθεί το ακόλουθο 3 3× γραμμικό σύστημα εξισώσεων:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 2 22 3

3 3 1

x x xx x xx x x

− − =⎧⎪− + − =⎨⎪ + − = −⎩

.

Άσκηση 39: Με τη βοήθεια της μεθόδου του αντίστροφου πίνακα, να λυθεί το ακόλουθο 3 3× γραμμικό σύστημα εξισώσεων:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 13 2 2

3 2 2

x x xx x x

x x x

− + − =⎧⎪ − + =⎨⎪− + + =⎩

.

Page 343: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

134 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Άσκηση 40: Με τη βοήθεια της μεθόδου Gauss, να λυθεί το ακόλουθο 3 3× γραμμικό σύστημα εξισώσεων:

1 2 3

1 2

1 2 3

2 3 02 0

1

x x xx x

x x x

− − + =⎧⎪− + =⎨⎪− − + =⎩

.

Άσκηση 41: Με τη βοήθεια της μεθόδου Gauss – Jordan, να λυθεί το ακόλουθο 3 3× γραμμικό σύστημα εξισώσεων:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 23 1

2 1 1

x x xx x x

x x x

− − =⎧⎪ + + =⎨⎪− − + = −⎩

.

8.6 Ομογενή συστήματα γραμμικών εξισώσεων 8.6.1 Ορισμός και βασικές έννοιες Έστω ένα γραμμικό σύστημα με n γραμμικές εξισώσεις και n αγνώστους για το οποίο ισχύει ότι b = O .

Ορισμός 39: Το σύνολο των εξισώσεων

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

... 0

... 0............................................

... 0

n n

n n

n n nn n

a x a x a xa x a x a x

a x a x a x

+ + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨⎪⎪ + + + =⎩

λέγεται ομογενές σύστημα n γραμμικών εξισώσεων με n αγνώστους.

Αν η ορίζουσα | |A του πίνακα

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

m m mn

a a aa a a

A

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

δεν είναι μηδέν, τότε το ομογενές σύστημα έχει πάντα μια λύση και αυτή είναι η 00...0

x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Στην αντίθετη περίπτωση, δηλαδή αν | | 0A = , το σύστημα είναι αόριστο ή διαφορετικά έχει άπειρες λύσεις. Τη μορφή της αοριστίας μπορούμε να την προσδιορίσουμε με τη βοήθεια του επαυξημένου πίνακα, ο οποίος μετασχηματίζεται σε τριγωνικό άνω (ή κά-τω), ως προς την κύρια διαγώνιό του, δηλαδή εφαρμόζουμε τη μέθοδο Gauss (τους κανό-

Page 344: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μθηαματικά Ι: Μέρος 4ο 135

νες μετασχηματισμού). Στην περίπτωση αυτή ο μετασχηματισμένος πίνακας θα έχει την ακόλουθη μορφή:

11 12 1

22 2

... 00 ... 0... ... ... ... ...0 0 ... 0

n

n

nn

a a aa ΄ a ΄

A

a ΄

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Οπότε 1 2 1... 0n nx x x x−= = = = = .

Επισημαίνουμε επίσης ότι, αν | | 0A = , τότε ο επαυξημένος πίνακας μετασχηματίζεται ως εξής:

11 12 1

22 2

... 00 ... 0... ... ... ... ...0 0 ... 0 0

n

n

a a aa ΄ a ΄

A

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Οπότε θα έχουμε τις τιμές των 2 3 2 1, ,..., ,n nx x x x− − συναρτήσει του 3x .

Τέλος, από τα προηγούμενα συνεπάγεται ότι ένα ομογενές σύστημα δεν μπορεί να είναι αδύνατο, αφού όπως προαναφέρθηκε έχει πάντα λύση το μηδέν ή είναι αόριστο.

8.7 Ασκήσεις λυμένες και προτεινόμενες για λύση Άσκηση 42: Να λυθεί το ακόλουθο ομογενές 3 3× γραμμικό σύστημα

1 2 3

1 2 3

1 2 3

02 0

2 3 0

x x xx x xx x x

+ + =⎧⎪− − + =⎨⎪ + − =⎩

.

Λύση Η ορίζουσα του πίνακα είναι διαφορετική από το μηδέν, οπότε το σύστημα έχει μοναδική λύση, τη μηδενική. Πράγματι:

( )2 2 1

3 1 3

3 3 2

1 1 1 0 1 1 1 01 2 1 0 0 1 2 0

2 1 3 0 2 1 3 0 2

1 1 1 0 1 1 1 00 1 2 0 0 1 2 00 1 5 0 0 0 7 0

A⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − Γ ↔ Γ +Γ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − Γ ↔ − ⋅Γ +Γ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − Γ ↔ Γ −Γ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Άρα 3 37 0 0x x− = ⇔ = , 2 3 22 0 0x x x− + = ⇔ = , και 1 2 31 1 1 0x x x⋅ + ⋅ + ⋅ =

1 0x⇔ = .

Συνεπώς η λύση αυτού του ομογενούς γραμμικού συστήματος 3 3× θα είναι η ( ) ( )1 2 3, , 0,0,0x x x = .

Page 345: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

136 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Άσκηση 43: Να λυθεί το ακόλουθο ομογενές 3 3× γραμμικό σύστημα

1 2 3

1 3

1 2 3

2 04 0

2 0

x x xx xx x x

+ − =⎧⎪− + =⎨⎪− − + =⎩

.

Λύση Βρίσκουμε, μετά από σχετικό υπολογισμό, ότι | | 0A = . Επομένως αυτό το ομογενές γραμμικό 3 3× σύστημα θα είναι αόριστο. Έτσι εργαζόμαστε με τον ακόλουθο τρόπο:

2 2 1

3 3 1

1 1 2 0 1 1 2 01 0 4 0 0 1 2 01 1 2 0 1 1 2 0

A− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − Γ ↔ Γ + Γ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − Γ ↔ Γ + Γ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 1 2 00 1 2 00 0 0 0

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Κατά συνέπεια θα έχουμε ότι 3x R∈ .

Οπότε από τη 2η γραμμή του τελευταίου μετασχηματισμένου επαυξημένου πίνακα, θα ισχύει ότι:

2 3 2 31 2 0 2x x x x⋅ + ⋅ = ⇔ = − .

Επίσης από την 1η γραμμή του τελευταίου μετασχηματισμένου επαυξημένου πίνακα έ-χουμε:

( )1 2 3 1 2 3 1 3 3 1 31 1 2 0 2 2 2 4x x x x x x x x x x x⋅ + ⋅ − ⋅ = ⇔ = − + ⇔ = − − + ⇔ =

Συνεπώς η λύση του συστήματος αυτού θα είναι η ( )1 2 3 3 3 3( , , ) 4 , 2 ,x x x x x x= − , με

3 x R∈ .

Άσκηση 44: Να λυθεί το ακόλουθο ομογενές 3 3× γραμμικό σύστημα

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 00

2 3 0

x x xx x xx x x

− + + =⎧⎪− + + =⎨⎪− + + =⎩

.

Άσκηση 45: Να λυθεί το ακόλουθο ομογενές 3 3× γραμμικό σύστημα

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 2 04 2 0

2 4 4 0

x x xx x xx x x

− + =⎧⎪− − + =⎨⎪− + − =⎩

.

Page 346: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Μθηαματικά Ι: Μέρος 4ο 137

Page 347: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο
Page 348: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Δρ. Σάλτας Βασίλειος

Καβάλα 2011

Μαθηματικά Ι Βοήθημα για λύση ασκήσεων

Βασικές έννοιες

1. Βασικοί μαθηματικοί συμβολισμοί 2. Βασικές έννοιες και ιδιότητες δυνάμεων 3. Βασικές έννοιες και ιδιότητες απόλυτης τιμής αριθμού 4. Βασικές έννοιες και ιδιότητες ριζών 5. Βασικές έννοιες και ιδιότητες λογαρίθμων 6. Βασικές έννοιες και ιδιότητες προόδων 7. Αλγεβρικές παραστάσεις 8. Ταυτότητες 9. Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων 10. Κλασματικές παραστάσεις 11. Βασικές ιδιότητες και θεωρήματα ακολουθιών 12. Βασικές ιδιότητες και θεωρήματα τριγωνομετρίας

Page 349: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Βασικοί μαθηματικοί συμβολισμοί 1

Βασικοί μαθηματικοί συμβολισμοί

Α – πεπερασμένο σύνολο με Α=α,β,…,ω

– άγκιστρα για το συμβολισμό του συνόλου

α, β, γ, δ – σύνολο με στοιχεία τα α, β, γ και δ.

ή – κενό σύνολο ∅

⊂ – είναι υποσύνολο (Α Β – «το σύνολο Α είναι υποσύνολο του συνόλου Β») ⊂

⊆ – είναι γνήσιο υποσύνολο (Α⊆Β – «το σύνολο Α είναι γνήσιο υποσύνολο του συ-νόλου Β»)

∩ – τομή (Α∩Β – «τομή των συνόλων Α, Β»)

∪ – ένωση (Α Β – «ένωση των συνόλων Α, Β») ∪

Ν – σύνολο φυσικών αριθμών

Ν* – σύνολο φυσικών αριθμών χωρίς το 0

Ζ – σύνολο ακεραίων αριθμών

Ζ* – σύνολο ακεραίων αριθμών χωρίς το 0

Ζ+ – σύνολο θετικών ακεραίων αριθμών

Ζ- – σύνολο αρνητικών ακεραίων αριθμών

Q – σύνολο ρητών αριθμών

Q* – σύνολο ρητών αριθμών χωρίς το μηδέν

Q+ – σύνολο θετικών ρητών αριθμών

Q- – σύνολο αρνητικών ρητών αριθμών

R – σύνολο πραγματικών αριθμών

R* – σύνολο πραγματικών αριθμών χωρίς το μηδέν

R+ – σύνολο θετικών πραγματικών αριθμών

R- – σύνολο αρνητικών πραγματικών αριθμών

supΑ – ακριβώς άνω φράγμα ενός συνόλου Α

infΑ – ακριβώς κάτω φράγμα ενός συνόλου Α

Ε1 ή Ε1 – μονοδιάστατος ευκλείδειος χώρος

Ε2 ή Ε2 – δυσδιάστατος ευκλείδειος χώρος

Ε3 ή Ε3 – τρισδιάστατος ευκλείδειος χώρος

Εν ή Εν – πολυδιάστατος ευκλείδειος χώρος

∈ – ανήκει (χ∈Α – «το χ ανήκει στο σύνολο Α»)

∉ – δεν ανήκει (χ∉Α – «το χ δεν ανήκει στο σύνολο Α»)

∃ – υπάρχει (∃ χ – «υπάρχει χ…»)

∃ – δεν υπάρχει (∃ χ – «δεν υπάρχει χ…»)

Page 350: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

2 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

∀ – για κάθε (∀ χ – «για κάθε χ»)

(χ, ψ) – διατεταγμένο ζεύγος των χ και ψ

(χ,ψ,ζ) – διατεταγμένη τριάδα των χ, ψ και ζ

(χ1,χ2,χ3,..,χν) – διατεταγμένη ν-άδα των χ1,χ2,χ3,.. ,χνd – απόσταση δυο σημείων

(ξ-δ,ξ+δ) – περιοχή σημείου ξ, δ>0

U(α,ε) – περιοχή σημείου α, ε>0

Ρ(α,δ1,δ2,δ3,…,δν) – ορθογώνια περιοχή σημείου α, δ>0

⇒ – συνεπάγεται (Α⇒Β – «από το Α συνεπάγεται το Β»)

⇔ – ισοδυναμεί (Α⇔Β – «το Α ισοδυναμεί με το Β»)

= – ίσο

≠ – διάφορο

≈ ή – κατά προσέγγιση ίσο

> – μεγαλύτερο

≥ – μεγαλύτερο ή ίσο

< – μικρότερο

≤ – μικρότερο ή ίσο

∞ – άπειρο

+ – συν άπειρο ∞

- – πλην άπειρο ∞

| | – απόλυτο

+ – συν (πρόσθεση)

- – πλην (αφαίρεση) . ή x ή * – επί (πολλαπλασιασμός)

: ή / – δια (διαίρεση)

χ – τετραγωνική ρίζα του χ (χ 0) ≥

ν χ – νιοστή ρίζα του χ (ν 2, ν≥ ∈Ν)

logαχ – λογάριθμος με βάση το α του χ (α>0, α≠ 1, χ>0)

logχ ή lgχ – δεκαδικός λογάριθμος του χ (χ>0)

lnχ – νεπέριος λογάριθμος του χ (χ>0)

αχ – εκθετικός αριθμός (α>0, α 1) ≠

! – παραγοντικό

e – ο αριθμός 2,71…

π – ο αριθμός 3,1415… ή 180ο

Page 351: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Βασικοί μαθηματικοί συμβολισμοί 3

→ – τείνει

(αν) ή αν ή αν – ακολουθία

1

n

i=∑ – άθροισμα από 1 έως n

… – και τα λοιπά

α1, α2,…,αν – άλφα 1, άλφα 2 και τα λοιπά, άλφα ν

(α, β) – ανοιχτό διάστημα α, β

[α, β] – κλειστό διάστημα α, β

[α, β) – κλειστό α, ανοιχτό β

(α, β] – ανοιχτό α, κλειστό β

f(x) ή y=f(x) – συνάρτηση του x, x – ανεξάρτητη, y – εξαρτημένη μεταβλητή

Df – πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x)

f(Df) – πεδίο τιμών της συνάρτησης f(x)

f(x,y) – συνάρτηση δυο μεταβλητών

f(x1,x2,x3,…,xn) – συνάρτηση πολλών μεταβλητών

f-1(y) – αντίστροφη συνάρτηση της f(x)=y

«1-1» – ένα προς ένα

Τ – περίοδος συνάρτησης

φ(t)=F(f(t) – σύνθετη συνάρτηση

(fog)(x)=f(g(x)) – g σύνθεση f

(gof)(x)=g(f(x)) – f σύνθεση g

0

lim ( )x x

f x→

– όριο της συνάρτηση f(x) για x x→ 0

lim ( )x

f x→+∞

– όριο της συνάρτηση f(x) για x +→ ∞

lim ( )x

f x→−∞

– όριο της συνάρτηση f(x) για x -→ ∞

0 0( , ) ( , )lim ( , )

x y x yf x y

→ – όριο της συνάρτηση f(x,y) για x x→ 0 και y y→ 0

0 0

lim lim ( , )x x y y

f x y→ →

– επαναληπτικό όριο της συνάρτηση f(x,y) για x x→ 0 και y→y0

f΄(x) ή ( )df xdx

ή dfdx

ή dzdx

ή fx΄ ή fx ή zx΄ ή zx – πρώτη παραγωγός της συνάρτησης

z=f(x)

f΄΄(x) ή 2 ( )d f xdx

ή 2d fdx

ή 2d z

dx ή fx΄΄ ή fx ή zx΄΄ ή zx – δεύτερη παράγωγος της συ-

νάρτησης z=f(x)

Page 352: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

fν(x) ή ( ) ( )d f x

dx

ν

ή ( )d fdx

ν

ή ( )d zdx

ν

ή fx(ν) ή zx

(ν) – ν-ιοστή παράγωγος της συνάρτησης

z=f(x)

df – διαφορικό της y=f(x) πρώτης τάξης

d2f – διαφορικό της y=f(x) δεύτερης τάξης

dνf – διαφορικό της y=f(x) ν-ιοστής τάξης

fx∂∂

, fy∂∂

– πρώτη μερική παράγωγος της συνάρτησης y=f(x) ως προς x και y αντίστοι-

χα 2 2 2

2 , , 2

f f fx x y y

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

– δεύτερη μερική παράγωγος της συνάρτησης z=f(x,y) ως προς x

και y αντίστοιχα

df(x,y) – πλήρες διαφορικό της συνάρτησης z=f(x,y)

dm f(x,y) – πλήρες διαφορικό m-τάξης της συνάρτησης z=f(x,y)

F[x,f(x)] – πεπλεγμένη συνάρτηση μιας μεταβλητής

F[x,y,f(x,y)] – πεπλεγμένη συνάρτηση δυο μεταβλητών

( 11v

s m x xν

ν ν ν −=

= −∑ )

)

)

– μικρό άθροισμα Darboux

( 11v

S M x xν

ν ν ν −=

= −∑ – μεγάλο άθροισμα Darboux

( 11

( )v

f x xν

ν ν νσ ξ −=

= −∑ – άθροισμα Riemann

( )f x dx∫ – αόριστο ολοκλήρωμα της f(x)

( )f xβ

α∫ – ορισμένο ολοκλήρωμα της f(x)

Α, Β, Γ,… – σημεία

α, β, γ,… – ευθείες

p, q, r,… – επίπεδα

≅ ή = – ισότητα γεωμετρικών σχημάτων

ή – ομοιότητα γεωμετρικών σχημάτων ≈

…ο – μοίρα

Α ή – γωνία a

ΑΒΓ – τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α, Β και Γ

α β – κάθετες ευθείες ⊥

α β – παράλληλες ευθείες

Page 353: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Βασικοί μαθηματικοί συμβολισμοί 5

α β – οι ευθείες ταυτίζονται ≡

rad – ράντ (ακτίνιο)

l – μήκος τόξου

Ε ή S – εμβαδόν σχήματος

V – όγκος σχήματος

ημ ή sin – ημίτονο

συν ή cos – συνημίτονο

εφ ή tan – εφαπτομένη

σφ ή ctan – συνεφαπτομένη

τοξημ ή arcsin – τόξο ημίτονου

τοξσυν ή arccos– τόξο συνημίτονου

τοξεφ ή arctan– τόξο εφαπτομένης

τοξσφ ή arcctan– τόξο συνεφαπτομένης

Page 354: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

6 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Σελίδα σημειώσεων

Page 355: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Βασικές έννοιες ιδιότητες δυνάμεων 7

Βασικές έννοιες και ιδιότητες δυνάμεων Ορισμός δύναμης: αν= . . ....

έ

a a a aν φορ ς−14243 , α∈R, ν∈Ν, α – βάση της δύναμης,

ν– εκθέτης της δύναμης. Ειδικές περιπτώσεις: α2 – τετράγωνο του α, α3 – κύβος του α.

Ιδιότητες δυνάμεων

1) α0=1, α∈R*

2) 1ν=1, ν∈R

3) α1=α, α∈R

4) αμ.αν=αμ+ν, α∈R+, ν∈R, μ∈R

5) αμ:αν=αμ-ν, α∈R+, ν∈R, μ∈R

6) (αμ)ν=αμ.ν, α∈R+, ν∈R, μ∈R

7) (α.β)μ=αμ.βμ, α∈R+, β∈R+, μ∈R

8) μ μ

μ

α αβ β

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠, α∈R+, β∈R*

+ , μ∈R

9) 1a μμα

− = , α∈R*+, μ∈R

10) p

q pq aα = , α 0, q=2κ, κ≥ ∈Ν

11) p

q pq aα = , α∈R, q=2κ+1, κ∈Ν

12) Αν α>1 και ν>0, τότε αν>1

13) Αν α>1 και ν<0, τότε αν<1

14) Αν 0<α<1 και ν>0, τότε αν<1

15) Αν 0<α<1 και ν<0, τότε αν>1

Page 356: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

8 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Σελίδα σημειώσεων

Page 357: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Βασικές έννοες και ιδιότητες απόλυτης τιμής αριθμού 9

Βασικές έννοιες και ιδιότητες απόλυτης τιμής αριθμού

Ορισμός απόλυτης τιμής αριθμού α∈R: , αν 0

0,αν 0, αν 0

a aa a

>⎧⎪= =⎨⎪− <⎩

Ιδιότητες απόλυτης τιμής

1) |α| 0, α∈R ≥

2) |-α|=|α|, α∈R

3) α≤ |α|, α∈R

4) |χ|≤ α -α⇔ ≤ χ α, χ∈R, α≤ ∈R+

5) |χ|≥ α χ⇔ ≤ -α ή χ≥ α, χ∈R, α∈R+

6) |α+β| |α|+|β|, α∈R, β∈R ≤

7) |α-β|≥ |α|-|β|, α∈R, β∈R

8) |α+β| ||α|-|β||, α∈R, β∈R ≥

9) |α.β|=|α|.|β|, α∈R, β∈R

10) αα

β β= , α∈R, β∈R*

Page 358: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

10 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Σελίδα σημειώσεων

Page 359: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Βασικές έννοιες και ιδιότητες ριζών 11

Βασικές έννοιες και ιδιότητες ριζών Αν α≥ 0, ν>1, ν∈Ν, ν – άρτιος αριθμός, τότε ν α =χ, όπου χ 0, είναι η θετική λύση της εξίσωσης χ

≥ν=α και τότε ν α λέγεται νιοστή ρίζα του πραγματικού αριθμού

α. Ο φυσικός αριθμός ν λέγεται δείκτης και ο α λέγεται υπόριζη ποσότητα. Αν α<0 τότε η νιοστή ρίζα ν α υπάρχει για ν – περιττό.

Ιδιότητες ριζών

1) 0ν =0, ν>1, ν∈Ν.

2) 1ν =1, ν>1, ν∈Ν.

3) ν να =|α|, ν>1, ν∈Ν.

4) . .νν να β α β= , α≥ 0, β 0, ν>1, ν≥ ∈Ν.

5)ν

νν

α αβ β= , α≥ 0, β>0, ν>1, ν∈Ν.

6) ( )μ ν μν α α= , α≥ 0, ν>1, μ>1, ν∈Ν, μ∈Ν.

7) .μ ν μν α α= , α≥ 0, ν>1, μ>1, ν∈Ν, μ∈Ν.

8) . .ν κ νμ κ μα α= , α≥ 0, ν>1, μ>1, ν∈Ν, μ∈Ν, κ∈Ν.

Τύποι μετασχηματισμού τετραγωνικών ριζών

1) 2 2

2 2α α β α α β

α β+ − − −

+ = + , α 0, β≥ 0, α≥ 2-β 0. ≥

2) 2 2

2 2α α β α α β

α β+ − − −

− = − , α 0, β≥ 0, α≥ 2-β 0, α-≥ β ≥0.

3) ( )22 .α β α β α β α+ + = + = + β , α 0, β 0. ≥ ≥

Page 360: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

12 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Μετατροπή κλάσματος με άρρητο παρανομαστή σε ισοδύναμο με ρητό παρανομαστή

1) | |

ν ν ν νν μ ν μ ν μ ν

ν ν ν νμ μ ν μ ν

α α α αα αα α α α

− − − −

Α Α Α Α Α= = = =

μ

, α>0.

2) ( )

( )( )( )α β α β

α βα β α β α β

Α ΑΑ= =

−± ±

m m

m, α≥ 0, β 0, α β. ≥ ≠

Page 361: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Βασικές έννοιες και ιδιότητες λογαρίθμων 13

Βασικές έννοιες και ιδιότητες λογαρίθμων Αν α>0, α 1 και β>0, τότε log≠ αβ=χ⇔ αχ=β, με α – βάση του λογαρίθμου, χ – λογά-ριθμος και β – αντιλογάριθμος του χ.

Ιδιότητες λογαρίθμων

1) logα1=0, α>0, α≠ 1.

2) logαα=1, α>0, α≠ 1.

3) logα βα β= , α>0, α 1, β>0. ≠

4) Αν logαΑ=logαΒ, τότε A=B, α>0, α≠ 1, A>0, B>0.

5) Αν α>1 και Α>Β>0, τότε logαΑ>logαΒ.

6) Αν 0<α<1 και Α>Β>0, τότε logαΑ<logαΒ.

7) Αν α>1, 0<Α<1, τότε logαΑ<0.

8) Αν α>1, Α>1, τότε logαΑ>0.

9) Αν 0<α<1, 0<Α<1, τότε logαΑ>0.

10) Αν 0<α<1, Α>1, τότε logαΑ<0.

Θεωρήματα λογαριθμοποίησης 1) logα(χ.ψ)=logαχ+logαψ, α>0, α 1, χ>0, ψ>0. ≠

2) logα(χψ

)=logαχ-logαψ, α>0, α 1, χ>0, ψ>0. ≠

3) logαχν=νlogαχ, α>0, α 1, χ>0, ν≠ ∈R.

4) logα ν χ =1ν

logαχ, α>0, α 1, χ>0, ν≠ ∈Ν, ν>1.

5) Αλλαγή βάσης: logαχ=loglog

β

β

χα

, α>0, α≠ 1, β>0, β≠ 1, χ>0.

6) Αν β=αχ, τότε: 1log logκ ααχ χ

κ= α>0, α≠ 1, χ>0, κ∈Ν*.

Παρατήρηση: Αν α=e 2,71…, τότε log≅ αχ=lnχ και λέγεται νεπέριος λογάριθμος του α-ριθμού χ (Ισχύουν οι ίδιες ιδιότητες).

Page 362: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

14 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Σελίδα σημειώσεων

Page 363: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Βασικές έννοιες και ιδιότητες προόδων 15

Βασικές έννοιες και ιδιότητες προόδων Αριθμητική πρόοδος

.

. α1, α2, α3,…,αν,…(α1 – πρώτο στοιχείο, αν – νιοστό στοιχείο ή τυχαίο στοιχείο).

Συμβολίζεται και ως αν ακ=ακ-1+ω, ν∈Ν, ν – πλήθος στοιχείων. ω=α2-α1=α3-α2=…=ακ-ακ-1=… - διαφορά αριθμητικής προόδου. Αν ω>0 – αύξουσα αριθμητική πρόοδος. Αν ω<0 – φθίνουσα αριθμητική πρόοδος.

Ιδιότητες αριθμητικής προόδου

1) ακ= 1 1

2κ κα α− ++ .

2) α1+αν=α2+αν-1=….

3) αν=α1+(ν-1)ω.

4) 112 ( 1). .2 2

νν

α αα ν ων ν ++ −Σ = = - άθροισμα ν όρων αριθμητικής προόδου.

Γεωμετρική πρόοδος

. .

.. α1, α2, α3,…,αν,…(α1 – πρώτο στοιχείο, α1≠ 0 αν – νιοστό στοιχείο ή τυχαίο

στοιχείο). Συμβολίζεται και ως αν

ακ=ακ-1.λ

λ= 32 4

1 2 3 1

... ...κ

κ

αα α αα α α α −

= = = = = - λόγος γεωμετρικής προόδου.

Αν λ>1 – αύξουσα γεωμετρική πρόοδος.

Αν λ<1 – φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος.

Ιδιότητες γεωμετρικής προόδου

1) 2κα =ακ-1.ακ+1.

2) αν=α1.λν-1.

3) α1.αν=α2.αν-1=…

4) 11

. 1.1 1

νν

να λ α λαλ λ− −

Σ = =− −

, λ - άθροισμα ν όρων γεωμετρικής προόδου. 1≠

5) 1

1S α

λ=

−, |λ|<1 - άθροισμα απείρων όρων φθίνουσας γεωμετρικής προόδου.

Page 364: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

16 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Σελίδα σημειώσεων

Page 365: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Αλγεβρικές παραστάσεις 17

Αλγεβρικές παραστάσεις Παραδείγματα:

1) 2βx2+γx, 1 xxεφ+ ,

3xyα+ , 3x - αναλυτικές αλγεβρικές παραστάσεις.

2) 2αx2+βy3, xν, ν∈Ν, 2

3

xyβ+ - ρητές αλγεβρικές παραστάσεις.

3) 3xyα+ , 3x , 2x+lnx – μεταθετικές αλγεβρικές παραστάσεις.

Ακέραιες αλγεβρικές παραστάσεις

Ορισμός 1: Μονώνυμο του x είναι κάθε παράσταση της μορφής αxν, όπου

α∈R, ν∈ *Z+ και x – μεταβλητή, x∈R. Για παράδειγμα: 3a x2y, 2x3y2z,

3

2xyβ

.

Ορισμός 2: Πολυώνυμο του x είναι κάθε παράσταση της μορφής ανxν+αν-1xν-1+…+α1x+α0, ν∈Ν, α0, α1,…,αν-1, αν∈R. Συμβολίζεται με P(x) και είναι σε τελική ανάλυση το άθροισμα πολλών μονώνυμων. Για παράδειγμα: x+y3, x4+2x3y+2αx.

Ορισμός 3: Τα μονώνυμα ανxν, αν-1xν-1,…,α1x, α0 (ν∈Ν, α0, α1,…,αν-1, αν∈R) λέγονται όροι του πολυωνύμου Ρ(x), οι πραγματικοί αριθμοί α1,…,αν-1, αν λέγονται συντελεστές του πολυωνύμου Ρ(x), ενώ ο α0 λέγεται σταθερός όρος του Ρ(x).

Παρατηρήσεις 1) Σταθερό πολυώνυμο: P(x)=α0. 2) Μηδενικό πολυώνυμο: P(x)=0.

Ορισμός 4: Έστω τα πολυώνυμα P(x)= ανxν+αν-1xν-1+…+α1x+α0 και Q(x)=βνxμ+βν-1xμ-1+…+β1x+β0 με νΝ, μ∈Ν, α0, α1,…,αν-1, αν∈R και β0, β1,…,βν-1, βν∈R. Τα δυο αυτά πολυώνυμα λέγονται ίσα και γράφεται P(x)=Q(x), αν α0=β0, α1=β1,…,αν-1=βμ-1, αν=βμ και αν+1=αν+2=…=αμ=0, μ ν. ≥

Ορισμός 5: Η τιμή της μέγιστης δύναμης της μεταβλητής x λέγεται βαθμός του πολυωνύμου.

Ορισμός 6: Έστω P(x)=ανxν+αν-1xν-1+…+α1x+α0, ν∈Ν, α0, α1,…,αν-1, αν∈R, τότε ο πραγματικός αριθμός P(ρ)=ανρν+αν-1ρν-1+…+α1ρ+α0 λέγεται αριθμητική τιμή του P(x). Αν Ρ(ρ)=0, τότε ο αριθμός ρ λέγεται ρίζα του πολυωνύμου P(x).

Page 366: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

18 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Σελίδα σημειώσεων

Page 367: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Ταυτότητες 19

Ταυτότητες

1) Τετράγωνο αθροίσματος: (α+β)2=α2+2αβ+β2

1΄) α2+β2=(α+β)2-2αβ

2) Τετράγωνο διαφοράς: (α-β)2=α2-2αβ+β2

2΄) α2+β2=(α-β)2+2αβ

3) Κύβος αθροίσματος: (α+β)3=α3+3α2β+3αβ2+β3

3΄) α3+β3=(α+β)3-3α2β-3αβ2

4) Διαφορά κύβων: (α-β)3=α3-3α2β+3αβ2-β3

4΄) α3-β3=(α-β)3+3α2β-3αβ2

5) Διαφορά τετραγώνων: α2-β2=(α-β)(α+β)

6) Διαφορά κύβων: α3-β3=(α-β)(α2+αβ+β2)

6΄) Γενική μορφή: αν-βν=(α-β)(αν-1+αν-2β1+αν-3β2+…+αβν-2+βν-1), ν∈Ν, ν>1

7) Άθροισμα κύβων: α3+β3=(α+β)(α2-αβ+β2)

7΄) Γενική μορφή: αν+βν=(α+β)(αν-1-αν-2β1+αν-3β2-…+αβν-2-βν-1), ν∈Ν, ν>1

8) (α+β+γ)2=α2+β2+γ2+2αβ+2αγ+2βγ

9) (α+β+γ)3=α3+β3+γ3+3αβ2+3αγ2+3βα2+3βγ2+3γα2+3γβ2+6αβγ

10) Ταυτότητα Euler: α3+β3+γ3-3αβγ=(α+β+γ)(α2+β2+γ2-αβ-αγ-βγ)=

= 12

(α+β+γ)[(α-β)2+(β-γ)2+(γ-α)2]

11) Ταυτότητα Lagrange: (α2+β2)(x2+y2)-(αx+βy)2=(αy-βx)2

12) Ταυτότητα De Moure: α4+β4+γ4-2α2β2-2β2γ2=-(α+β+γ)(-α+β+γ)(α-β+γ)(α+β-γ)

Page 368: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

20 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Σελίδα σημειώσεων

Page 369: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων 21

Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων

Με κοινό παράγοντα αx2+βx=x(αx+β)

αx3+αβx2+αγx=αx(x2+βx+γ)

Με ομαδοποίηση αx2+αxy+y+x=αx(x+y)+(x+y)=(αx+1)(x+y)

4x2+α-2x-2αx=2x(2x-1)-α(2x-1)=(2x-1)(2x-α)

Με τη βοήθεια των ταυτοτήτων

1) α2+2αβ+β2= (α+β)2

2) α2-2αβ+β2=(α-β)2

3) α2-β2=(α-β)(α+β)

4) α3+3α2β+3αβ2+β3=(α+β)3

5) α3-3α2β+3αβ2-β3=(α-β)3

6) α3+β3=(α+β)(α2-αβ+β2)

7) αν+βν=(α-β)(αν-1-αν-2β1+αν-3β2-…+αβν-2-βν-1), ν∈Ν, ν>1

8) α3-β3=(α-β)(α2+αβ+β2)

9) αν-βν=(α+β)(αν-1+αν-2β1+αν-3β2+…+αβν-2+βν-1), ν∈Ν, ν>1

Page 370: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

22 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Σελίδα σημειώσεων

Page 371: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Κλασματικές παραστάσεις 23

Κλασματικές παραστάσεις Το Μ(x)= ( )

( )P xQ x

είναι κλασματική παράσταση, αν τα πολυώνυμα P(x) και

Q(x) είναι ακέραιες αλγεβρικές παραστάσεις και Q(x)≠ 0. Για παράδειγμα: 31x

yβ+

+ με

y -1, ≠ ( 2)( 1)( 3)

xx yα +− −

με x 1 και y≠ ≠ 3.

Βασική ιδιότητα κλασματικών παραστάσεων ( ) ( ) ( ) , ( ) 0 και M(x) 0( ) ( ) ( )

P x P x M x Q xQ x Q x M x

= ≠ ≠

Πράξεις με κλασματικές παραστάσεις

1) Πρόσθεση κλασματικών παραστάσεων: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

P x R x P x T x R x Q xQ x T x Q x T x

++ = ,

. ( ) 0, ( ) 0Q x T x≠ ≠

2) Αφαίρεση κλασματικών παραστάσεων: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

P x R x P x T x R x Q xQ x T x Q x T x

−− = ,

. ( ) 0, ( ) 0Q x T x≠ ≠

3) Πολλαπλασιασμός κλασματικών παραστάσεων: ( ) ( ) ( ) ( ).( ) ( ) ( ) ( )

P x R x P x R xQ x T x Q x T x

= ,

. ( ) 0, ( ) 0Q x T x≠ ≠

4) Διαίρεση κλασματικών παραστάσεων: ( ) ( ) ( ) ( ):( ) ( ) ( ) ( )

P x R x P x T xQ x T x Q x R x

= ,

. ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0Q x T x R x≠ ≠ ≠

5) Δύναμη: ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

P xP x P xQ x Q xQ x

ν ν ν

ν ν

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠, *

+( ) 0, ν ΖP x ≠ ∈ .

Βασικά χαρακτηριστικά διαίρεσης πολυωνύμων

Ταυτότητα διαίρεσης

Δ(x)=δ(x)π(x)+υ(x), όπου Δ(x), π(x), δ(x) και υ(x) είναι πολυώνυμα με δ(x) 0 και το υ(x) είναι πολυώνυμο βαθμού μικρότερου αυτό του πολυωνύμου δ(x) ή το μηδενικό πολυώνυμο

Δ(x) – διαιρετέος Δ(x) δ(x)

υ(x) π(x) δ(x) – διαιρέτης

π(x) – πηλίκο

υ(x) – υπόλοιπο

Θεώρημα 1: Το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου P(x) με το (x-ρ) εί-ναι το Ρ(ρ)=υ, δηλαδή Ρ(x)=(x-ρ)π(x)+Ρ(ρ).

Page 372: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

24 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Θεώρημα 2: Ένα πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα x-ρ αν και μόνο αν, Ρ(ρ)=0, δηλαδή το ρ να είναι ρίζα του Ρ(x).

Σχήμα Horner για τον υπολογισμό του πηλίκου και του υπολοίπου Να υπολογιστεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου P(x)=3x3+6x2-17x+20 με το x-ρ.

Συντελεστές του P(x)

3 6 -17 20 ρ 3ρ (3ρ+6)ρ [(3ρ+6)ρ-17]ρ 3 3ρ+6 (3ρ+6)ρ-17 [(3ρ+6)ρ-17]ρ+20

συντελεστές πηλίκου υπόλοιπο

π(x)=3x2+(3ρ+6)x+(3ρ+6)ρ-17

υ(x)=[(3ρ+6)ρ-17]ρ+20

Θεώρημα 3: Αν x1, x2,…, xν είναι τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί με x1<x2<…<xν, τότε για τη συνάρτηση f(x)=ρ(x-x1)(x-x2)…(x-xν) ισχύουν τα ακόλουθα:

α) Σε κάθε ένα από τα διαστήματα Δ1=(-∞, x1), Δ2=(x1, x2), …, Δν=(xν-1, xν), Δν+1=(xν, +∞) το πρόσημο της συνάρτησης f(x) είναι σταθερό..

β) Στα γειτονικά διαστήματα Δi, Δi+1 η f(x) έχει αντίθετα πρόσημα.

γ) Στο διάστημα Δν+1=(xν, +∞) η f(x) έχει το ίδιο πρόσημο με το ρ.

Πρακτική εφαρμογή του Θεωρήματος 3 Πρώτα τοποθετούνται οι αριθμοί x1, x2,…,xν πάνω στον άξονα των πραγματι-

κών αριθμών. Εν συνεχεία στο διάστημα (xν, +∞) γράφεται το πρόσημο το ρ και στο τέλος γράφονται τα πρόσημα στα υπόλοιπα διαστήματα εναλλάξ, προσδιορίζοντας έτσι το πρόσημο του f(x).

Παράδειγμα: Για τις διάφορες τιμές του x∈R, να προσδιοριστεί του πρόσημο

του γινομένου f(x)= -5x(x-2)(x-1)(x+2). Λύση

Με τη βοήθεια του θεωρήματος έχουμε ότι:

-∞ -2 + 0 1 + 2 +∞ - - -

Η γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης f(x) φαίνεται στο Σχήμα 2, από την οποία μπορεί να διαπιστωθεί σε ποια διαστήματα η γραφική της παράσταση είναι κά-τω από τον άξονα x´x (άρα f(x)<0) και σε ποια πάνω από τον x´x (άρα f(x)>0).

Page 373: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Κλασματικές παραστάσεις 25

5 3 1 1 3 5

4 0 0

2 0 0

2 0 0 y

x x΄

Cf

Επομένως f(x)>0 για κάθε x∈(-2, 0) (1, 2), ενώ f(x)<0 για κάθε x∈(-∞, -2)∪ (0, 1) ∪ (2, +∞). Για x= -2 ή x=0 ή x=1 ή x=2 το γινόμενο f(x) είναι ίσο με το μηδέν.

Αναγωγή αλγεβρικών παραστάσεων σε μορφή f(x)=ρ(x-x1)(x-x2)…(x-xν) Παράδειγμα: Να λυθεί η ανίσωση:

xxx41

13

22

+≥−

+−

Η σταδιακή λύση της εξίσωσης είναι η ακόλουθη:

Μεταφορά στο πρώτο μέλος: 0411

32

2≥−−

−+

− xxx

Παραγοντοποίηση παρανομαστών: Δεν είναι απαραίτητη

Ομώνυμα κλάσματα:

0)2)(1()2)(1(4

)2)(1()2)(1(

)2)(1()2(3

)2)(1()1(2

≥−−−−

−−−−−

−−−

−+

−−−

xxxxx

xxxxxx

xxxxx

xxxxx

Κοινός παρανομαστής: 0)2)(1(

)2)(1(4)2)(1()2(3)1(2≥

−−−−−−−−−+−

xxxxxxxxxxxx

Το Ε.Κ.Π. διάφορο του 0: x(x-1)(x-2)≠ 0⇔ x≠ 0 και x≠ 1 και x≠ 2

Πράξεις: 0)2)(1(

8844236322 22322

≥−−

−++−−+−−+−xxx

xxxxxxxxxx ⇔

⇔3 24 2 8 0( 1)( 2)

x x xx x x

− + + −≥

− −

Παραγοντοποίηση αριθμητή: Σχήμα Horner

-1 4 2 -8 ρ= 4 -4 0 8 -1 0 2 0

( )( )2 ( 4) 2 2( 4)( 2) 0 0( 1)( 2) ( 1)( 2)

x x xx xx x x x x x

− − + −− − +≥ ⇔ ≥

− − − −

Page 374: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

26 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Λαμβάνοντας υπό όψιν ότι το πηλίκο Α/Β έχει το ίδιο πρόσημο με το γινόμε-νο ΑΒ, η τελευταία ανίσωση μετατρέπεται ισοδύναμα σε

( )( )( 1)( 2)( 4) 2 2 0x x x x x x− − − − + − ≥ x(x-1)(x-2)(x+2)<0.

Με βάση το προαναφερόμενο θεώρημα θα έχουμε τα εξής:

-∞ - - 2 0 - 1 2 - 2 + 4 +∞ + + - Άρα ( ) ( ) ( )2,0 1, 2 2,4x∈ − ∪ ∪ .

Παρατήρηση Το προαναφερόμενο θεώρημα δεν μπορεί να εφαρμοστεί στην περίπτωση που

, και kmkkk xxxxxxxf )...()()()( 2121 νρ −−−= 1, k2,…km τουλάχιστον ένας άρτιος α-

ριθμός, i=1,…,ν, m . Τότε εφαρμόζεται η μέθοδος του πίνακα. Το προαναφερό-μενο θεώρημα μπορεί να εφαρμοστεί

*N∈μόνο όταν όλες οι δυνάμεις k1, k2,…km ,

m είναι περιττοί αριθμοί. *N∈ Παράδειγμα: Για τις διάφορες τιμές του x∈R, να προσδιοριστεί του πρόσημο του γινομένου f(x)=x(x-1)(x-2)(x+1)2.

Λύση Δημιουργούμε τον πίνακα του Σχήματος 4 με σημεία στον άξονα τις τιμές που μηδε-νίζουν τα x, x-1, x-2 και x+1.

x -∞ -1 0 1 2 +∞x - - + + +

x-1 - - - + + x-2 - - - - +

(x+1)2 + + + + + f(x) - - + - +

Από τον πίνακα συμπεραίνεται ότι f(x)>0 για κάθε x∈(0, 1) (2, +∞), f(x)<0

για κάθε x∈(-∞, -1)∪ (-1, 0) (1, 2), ενώ f(x)=0 για x= -1, ή x=0, ή x=1, ή x=2. ∪

Page 375: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Βασικές ιδιότητες και θεωρήματα ακολουθιών 27

Βασικές ιδιότητες και θεωρήματα ακολουθιών

Ορισμός 1: Λέγεται ότι μας έχει οριστεί ακολουθία πραγματικών αριθμών, όταν για κάθε φυσικό αριθμό, με τη βοήθεια κάποιου μαθηματικού κανόνα, αντιστοι-χείται κάποιος πραγματικός αριθμό.

Συμβολίζεται με αn ή (αn) ή αnή α1, α2, α3,…,αn,…

Τα α1, α2, α3,…,αn λέγονται μέλη, το α1 λέγεται πρώτος όρος, το αn λέγεται γενικός όρος, ενώ ο φυσικός αριθμός n λέγεται πλήθος μελών της ακολουθίας.

Για παράδειγμα: 3 6 9 3, , ,..., ,...11 16 21 5 6

nn +

ή 35 6n

nan

=+

.

Ορισμός 2: Όριο ακολουθίας αn στο μηδέν: ∀ ε>0, ∃nο∈Ν τέτοιο, ώστε, n>n∀ ο, n∈Ν συνεπάγεται, ότι |αn|<ε. Γράφεται ως εξής: lim 0na = ή ή

.

lim 0nna

→+∞=

0na →

Ορισμός 3: Ακολουθία φραγμένη άνω: ∀ n∈Ν, ∃ β: αn≤β.

Ορισμός 4: Ακολουθία φραγμένη κάτω: ∀ n∈Ν, ∃α: α≤αn.

Ορισμός 5: Φραγμένη ακολουθία: ∀ n∈Ν, ∃α, β: α≤αn≤β.

Ορισμός 6: Το μικρότερο άνω φράγμα μιας ακολουθίας αn λέγεται ακριβώς άνω φράγμα της.

Ορισμός 7: Το μεγαλύτερο κάτω φράγμα μιας ακολουθίας αn λέγεται ακρι-βώς κάτω φράγμα της.

Ιδιότητες ακολουθιών

( )1) lim 0 lim 0 lim | | 02) , lim 0 lim 03) Αν lim 0, τότε η ειναι φραγμένη

n n

n n k

n n

a ak N a a

a α+

= ⇔ − = ⇔ =

∀ ∈ = ⇔ =

=

na

Θεωρήματα

1) Αν lim 0nβ = και k∈Ν: n>k, n∃ ∈Ν και |αn|≤ |βn|, τότε lim 0na = .

2) Αν lim lim 0n na β= = , τότε ( )lim 0n na β+ = .

3) ( )lim 0, φραγμένη, τότε lim 0n n n na aβ β= − = .

4) Αν , τότε lim 0na = lim 0naλ = , λ∈R.

5) Αν και lim 0na = lim 0nβ = , τότε ( )lim 0n na β = .

Ορισμός 4: Συγκλίνουσα ακολουθία: ∀ ε>0, ∃nο∈Ν τέτοιο, ώστε, n>n∀ ο, n∈Ν συνεπάγεται, ότι |αn-λ|<ε. Γράφεται ως εξής: lim a λn = ή lim nn

a λ→+∞

= ή

na λ→ .

Ορισμός 5: Η ακολουθία α1, α2, α3,…,αn,…λέγεται αύξουσα, αν για κάθε φυ-σικό αριθμό n ισχύει, ότι αn≤αn+1.

Page 376: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

28 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Ορισμός 6: Η ακολουθία α1, α2, α3,…,αn,…λέγεται αύξουσα, αν για κάθε φυ-σικό αριθμό n ισχύει, ότι αn≥αn+1

Θεωρήματα 1) Αν αn και γn είναι δυο συγκλίνουσες ακολουθίας με το ίδιο όριο λ, δηλαδή lim limn na γ λ= = , τότε n>k και α∀ n≤βn≤γn, συνεπάγεται, ότι lim nβ λ= .

(Κριτήριο παρεμβολής)

2) Αν lim na λ= >0, τότε lim , 0,1mmna m Nλ= ∈ − .

3) Αν lim na λ= >0, τότε lim 1nna = .

4) Κάθε ακολουθία αύξουσα και φραγμένη άνω ή φθίνουσα και φραγμένη κάτω είναι συγκλίνουσα.

5) Αν 11n

nan

⎛= +⎜⎝ ⎠

⎞⎟ , τότε lim na ε= , όπου ε≅ 2,71…

Πράξεις με συγκλίνουσες ακολουθίες

( )( )( )( )( ) ( )

1) lim lim lim

2) lim lim lim

3) lim . lim .lim

4) lim lim ,

5) lim lim ,lim6) lim , 0lim

n n n

n n n

n n n n

n n

m mn n

n nn

n n

a a

a a

a a

ma m a m R

a a ma a

n

n

R

β β

β β

β β

ββ β

+ = +

− = −

=

= ∈

= ∈

= ≠

Ορισμός 7: Μη συγκλίνουσα ακολουθία: ∀Μ>0, ∃nο∈Ν τέτοιο, ώστε, n>n∀ ο, n∈Ν συνεπάγεται, ότι αn>Μ, τότε lim na = +∞ ή lim nn

a→+∞

= +∞ ή . na →+∞

Αν Μ>0, n∀ ∃ ο∈Ν τέτοιο, ώστε, ∀ n>nο, n∈Ν συνεπάγεται, ότι αn<-Μ, τότε ή ή . lim na = −∞ lim nn

a→+∞

= −∞ na →−∞

Ιδιότητες μη συγκλινουσών ακολουθιών

1) . *, lim (ή ) lim (ή )n n kk N a a +∀ ∈ = +∞ −∞ ⇔ = +∞ −∞

2) . ( )lim (ή ) lim (ή + )n na a= +∞ −∞ ⇔ − = −∞ ∞

3) . lim (ή ) lim | | +n na a= +∞ −∞ ⇔ = ∞

4) Αν , τότε lim (ή na = +∞ −∞) ∃nο∈Ν τέτοιο, ώστε, ∀ n>nο, n∈Ν συνεπάγεται, ότι αn>0 (ή αn<0).

5) Έστω k∈N και ∀ n∈N να ισχύει, ότι αn≤βn. Τότε θα ισχύουν:

α) Αν lim limn na β= +∞⇒ = +∞

β) Αν lim limn na β= −∞⇒ = −∞

Page 377: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Βασικές ιδιότητες και θεωρήματα ακολουθιών 29

Θεωρήματα 1) Αν η ακολουθία αn είναι μη συγκλίνουσα και ∃ ε>0 τέτοιο, ώστε, ∀ nο∈Ν, n∃ 1, n2∈Ν, n1>no, n2>no με

1 2| |n na a ε− ≥ .

2) Αν η ακολουθία αn είναι συγκλίνουσα, τότε είναι και φραγμένη.

3) . lim | | | lim |n na a=

4) lim 1n n = .

5) Αν lim 0na λ= ≠ , τότε n∃ ο∈Ν τέτοιο, ώστε οι όροι με δείχτη n>no να είναι ομό-σημοι με τον αριθμό – όριο λ.

Σύγκλιση και διάταξη 1) Αν οι ακολουθίες αn και βn είναι συγκλίνουσες, τότε ∃k∈Ν τέτοιο, ώστε, n>k, n∈Ν,

∀lim limn n na a nβ β≤ ⇒ ≤ .

2) Αν , n∈Νlim na = +∞ * και 0 , τότε na ≥ lim , 0,1mna m N= +∞ ∈ − .

3) Αν α>1, τότε . lim na = +∞

Μη πεπερασμένες πράξεις

1) Αν και βlim na = ±∞ n – φραγμένη κάτω (ή άνω), τότε ( )lim n na β+ = ±∞ .

2) Αν και η βlim na = ±∞ n έχει θετικό φράγμα, τότε ( )lim .n na β = ±∞ .

3) Αν και η βlim na = ±∞ n έχει αρνητικό φράγμα, τότε ( )lim .n na β = ∞m .

Θεωρήματα

1) 1lim ( ), , 0 lim 0n nn

a n N aa

= +∞ −∞ ∀ ∈ ≠ ⇒ = .

2) 1lim 0, : , 0( 0) lim ( )n n nn

a k N n k a aa

= ∃ ∈ ∀ > > < ⇒ = +∞ −∞ .

Page 378: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

30 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Σελίδα σημειώσεων

Page 379: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Βασικές ιδιότητες και θεωρήματα τριγωνομετρίας 31

Βασικές ιδιότητες και θεωρήματα τριγωνομετρίας

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Γ

P

β α α Α γ Β

ΑΒΓ - ορθογώνιο, =90Α ο, <90Β ο και Γ <90ο.

ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,β γ βημ συν εφ σφ γα α γ

Β = Β = Β = Β =β

ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,γ β γημ συν εφ σφ βα α β

Γ = Γ = Γ = Γ =γ

Πίνακας τιμών βασικών γωνιών σε μοίρες (ο) και σε ακτίνια (rad)

.180

aοο

πγ = , α – η τιμή της γωνίας σε μοίρες, γ – η τιμή της γωνίας σε ακτίνια.

Γωνία σε ο αο 0ο 1ο 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o

Γωνία σε rad γ.rad 0 0,0176π

2π π

32π 2π

Τριγωνομετρικοί αριθμοί τυχαίας γωνίας y t q B(0,r) s

q k Μ2

M(α,β) Ν

r φ β

x΄ O α Μ1 A(0,r) x

k(O,r=1) – μοναδιαίος κύκλος, t||y΄y, s||x΄x

2 1, , ,r r r r r r

β αημφ β συνφ α εφφ σφφΟΜ ΟΜ ΑΝ ΒΡ= = = = = = = = ΑΝ = = ΒΡ

Page 380: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

32 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Πρόσημα των τριγωνομετρικών αριθμών γωνίας φ

τριγ. αριθμός

τεταρτημόριο ημφ συνφ εφφ σφφ

1ο + + + +

2ο + - - -

3ο - - + +

4ο - + - -

Τιμές τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας φ

φ= 0ο 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o

ημφ 0 12

22

32

1 0 -1 0

συνφ 1 32

22

12

0 -1 0 1

εφφ 0 33

1 3 δεν ορί-

ζεται 0

δεν ορί-

ζεται 0

σφφ δεν ορί-

ζεται 3 1 3

30

δεν ορί-

ζεται 0

δεν ορί-

ζεται

Βασικές τριγωνομετρικές ισότητες

2 2 22

2

11) 1 4) 1

12) 5) 1

3) 6) . 1

ημ φ συν φ εφ φσυν φ

ημφεφφ σφφσυνφ ημ φσυνφσφφ εφφ σφφημφ

+ = + =

= +

= =

=

Page 381: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Βασικές ιδιότητες και θεωρήματα τριγωνομετρίας 33

Αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο

x= ημx συνx εφx σφx

-φ - ημφ συνφ -εφφ -σφφ

2π -φ συνφ ημφ σφφ εφφ

2π +φ συνφ - ημφ -σφφ -εφφ

π-φ ημφ -συνφ -εφφ -σφφ

π+φ - ημφ -συνφ εφφ σφφ

32π -φ -συνφ -ημφ σφφ εφφ

32π +φ -συνφ ημφ - σφφ -εφφ

2π-φ - ημφ συνφ -εφφ -σφφ

2π+φ +ημφ συνφ εφφ σφφ

Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος και διαφοράς δυο γωνιών

( )( )( )( )

( )

1)

2)

3)

4)

5) 1

ημ α β ημασυνβ συναημβ

ημ α β ημασυνβ συναημβ

συν α β συνασυνβ ημαημβ

συν α β συνασυνβ ημαημβεφα εφβεφ α β

εφαεφβ

+ = +

− = −

+ = −

− = +

++ =

( )

( )

( )

6) 1

17)

18)

εφα εφβεφ α βεφαεφβ

σφασφβσφ α βσφβ σφασφασφβσφ α βσφβ σφα

−− =

+−

+ =+

++ =

Page 382: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

34 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Τριγωνομετρικοί αριθμοί διπλάσιας γωνίας

2 2 2 2

2

2

1) 2 22) 2 1 2 2 1

23) 2 , ,1 4

14) 2 , ,2 2

k k Z

k k Z

ημ α ημασυνα

συν α συν α ημ α ημ α συν αεφα πεφ α αεφ α

σφ α πσφ α ασφα

=

= − = − =

= ≠ ∈−

−= ≠ ∈

Τριγωνομετρικοί αριθμοί τριπλάσιας γωνίας 3

3

3

2

3

2

1) 3 3 42) 3 4 3

33) 31 3

34) 33 1

ημ α ημα ημ α

συν α συν α συνα

εφα εφ αεφ αεφ α

σφ α σφασφ ασφ α

= −

= −

−=

−=

Τριγωνομετρικοί αριθμοί μισής γωνίας

11) 2 2

12) 2 2

1 13) 2 1 1

1 14) 2 1 1

α συναημ

α συνασυν

α συνα ημα συναεφσυνα συνα ημα

α συνα ημα συνασφημα συνα ημα

−= ±

+= ±

− −= ± = =

+ +

+ += ± = =

− −

Το πρόσημο + ή – ορίζεται ανάλογα με το τεταρτημόριο στο οποίο ανήκει η

γωνία 2α .

Ελάττωσης δύναμης 2

2

3

3

1) 2 1 22) 2 1 23) 4 3 34) 4 3 3

ημ α συν α

συν α συν α

ημ α ημα ημ α

ημ α συνα συν α

= −

= +

= −

= +

Page 383: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Βασικές ιδιότητες και θεωρήματα τριγωνομετρίας 35

Μετασχηματισμός αθροίσματος και διαφοράς σε γινόμενο

( )

1) 22 2

2) 22 2

3) 22 2

4) 2 22 2 2 2

5)

α β α βημα ημβ ημ συν

α β α βημα ημβ ημ συν

α β α βσυνα συνβ συν συν

α β α β α β β ασυνα συνβ ημ ημ ημ ημ

ημ α βεφα εφβ

συνασυνβ

+ −+ =

− +− =

+ −+ =

+ − + −− = − =

++ =

( )

( )

( )

6)

7)

8)

ημ α βεφα εφβ

συνασυνβημ α β

σφα σφβημαημβημ α β

σφα σφβημαημβ

−− =

++ =

−− =

Μετασχηματισμός γινομένου σε άθροισμα

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

11) 2

12) 2

13) 2

4)

5)

6)

ημαημβ συν α β συν α β

συνασυνβ συν α β συν α β

ημασυνβ ημ α β ημ α β

εφα εφβεφαεφβσφα σφβσφα σφβσφασφβεφα εφβεφα σφβεφασφβσφα εφβ

= − − +⎡ ⎤⎣ ⎦

= − + +⎡ ⎤⎣ ⎦

= + + −⎡ ⎤⎣ ⎦

+=

++

=++

=+

Page 384: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

36 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Διάφοροι τριγωνομετρικοί τύποι

2

2

2

2

2

221)

12

122)

12

3) 1 2

4) 1 2

5) 24

6) 24

7) 1 24

8) 1 22

αεφημα

αεφ

αεφσυνα

αεφ

συνα ημα συν α

συνα ημα συν απημα συνα συν α

πσυνα ημα ημ α

πημα συν α

ασυνα συν

=+

−=

+

+ = +

− = −

⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

+ =

( )

( )

2

2

22

22

9) 1 24 2

10) 1 22

24 411) 1

4

12) 1

13) 1

214) 1

215) 1

π αημα ημ

ασυνα ημ

π πσυν α ημ αεφα

π συνασυν συνα

συν α βεφαεφβ

συνασυνβσυν α β

σφασφβημαημβ

συν αεφ ασυν ασυν ασφ αημ α

⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

− =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞± ±⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠± = =

± =

± =

− =

− = −

m

m

Page 385: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

Βασικές ιδιότητες και θεωρήματα τριγωνομετρίας 37

Λύση βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων

( )( )

21) ή , , ,

2 1

x kx x k

x k

π αημ ημα

π α

⎧ = +⎪

= ⇔ ∈ −∞ +∞ ∈⎨⎪ = + −⎩

Z

( )2

2) συν ή , , , 2

x kx x k

x k

π ασυνα

π α

= +⎧⎪= ⇔ ∈ −∞ +∞ ∈⎨⎪ = −⎩

Z

( )3) εφ , 2 1 , 2

x x k x k k Zπεφα π α= ⇔ = + ≠ + ∈

4) σφ , , x x k x k k Zσφα π α π= ⇔ = + ≠ ∈

5) Αν α, β 0, x∈R τότε ισχύει, ότι: αημx+βσυνx=ρημ(x+φ), όπου ρ=≠ 2 2α β+ και

φ∈R με συνφ=αρ

και ημφ= βρ

.

Page 386: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο

38 Δρ. Βασίλειος Σάλτας

Σελίδα σημειώσεων

Page 387: Μαθηματικά - Webs4 Δρ. Βασίλειος Σάλτας λαμβάνεται μία νέα συνάρτηση του t, η οποία είναι ορισμένη στο