ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να...

46
ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄ 1

Transcript of ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να...

Page 1: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

1

Page 2: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

2

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται πρώτος και πότε σύνθετος;

Β. Πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2;

Γ. Πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 3;

Θέμα 2ο

Α. Να αναφέρετε ποια είναι τα είδη των τριγώνων, αν τα εξετάσουμε ως προς τις

γωνίες τους;

Β. Να γράψετε πώς ορίζεται κάθε ένα από τα προηγούμενα είδη τριγώνων.

Γ. Τι λέγεται ύψος ενός τριγώνου;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Να υπολογίσετε την παράσταση Α = 2x2 − 5x + 24y, όπου:

x = 3 · (2 · 5 23 + 4) + 62 : 4 8 · (24 − − − 13) και

y = 12

· 34

+16

:25−

34

Άσκηση 2η

Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ και μία ακτίνα ΟΑ κάθετη στη

διάμετρο ΒΓ. Να φέρετε τα τμήματα ΑΒ και ΑΓ.

Α. Πώς λέγονται στον κύκλο τα τμήματα ΑΒ και ΑΓ και γιατί;

Β. Να δικαιολογήσετε ότι τα τμήματα ΑΒ και ΑΓ είναι ίσα.

Γ. Αν γωνία ΑΒΓ = 45°, να υπολογίσετε τη γωνία ΑΓΒ, δικαιολογώντας την απάντησή σας.

Άσκηση 3η

Στο διπλανό σχήμα ισχύει ότι ε1 ε2.

Αν γωνία α = 35° και γωνία β = 120°,

να υπολογίσετε τις γωνίες ω, φ και θ.

Σε κάθε περίπτωση να δικαιολογήσετε

την απάντησή σας.

β = 120° ε1

φ

θ ωε2 α = 35°

ε

Page 3: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

3

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο Α. Ποιο τετράπλευρο λέγεται τραπέζιο; Β. Τι λέγεται ύψος του τραπεζίου; Γ. Να σχεδιάσετε ένα ισοσκελές τραπέζιο και το ύψος του. Θέμα 2ο Α. Ποια κλάσματα λέγονται ομώνυμα; Β. Πώς προσθέτω δύο ή περισσότερα ομώνυμα κλάσματα; Γ. Από δύο κλάσματα με τον ίδιο αριθμητή ποιο είναι το μεγαλύτερο;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Να αντιστοιχίσετε κάθε πράξη της πρώτης στήλης με το αποτέλεσμά της, στη δεύτερη στήλη:

Στήλη Α Στήλη Β

Α. 5

13−

Β. 2 53 6⋅

Γ. 1 32 8+

Δ. 3 6

:10 5

α. 59

β. 14

γ. 43

δ. 23

ε. 4

10

στ. 78

Άσκηση 2η

Α. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων:

Α = ( ) · ( ) + 3 · ( 2 ) + (5)0 + (2− 5− − 1− )3 και Β = 21

2−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+5 3

4 2− −

−2(2)−−

Β. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: Γ = (Α : Β) + (Α + Β)

Άσκηση 3η

Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες ε1 και ε2

είναι παράλληλες. A B ω = 30°α ε1

β yΑ. Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ

δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας.

Β. Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία x εί-

ναι διπλάσια από τη γωνία y, να υ-

πολογίσετε πόσες μοίρες είναι η

κάθε μία από τις γωνίες φ, x, y.

x γφε2

Γ δ1

Page 4: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

4

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Τι καλείται ευκλείδεια διαίρεση; Πότε η ευκλείδεια διαίρεση λέγεται τέλεια;

Β. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις:

α. Αν Δ = δ τότε π = …….

β. Αν δ = 1 τότε π = ……..

γ. Αν Δ = 0 τότε π = …….

Θέμα 2ο

Α. Να αναφέρετε τα είδη των τριγώνων ως προς τις πλευρές και ως προς τις γωνίες τους.

Β. Τι καλείται διάμεσος και τι ύψος ενός τριγώνου;

Γ. Να χαρακτηρίσετε με Σ(σωστό) ή Λ (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις:

α. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερο από 180°.

β. Οι γωνίες που πρόσκεινται στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι οξείες.

γ. Κάθε τρίγωνο έχει οπωσδήποτε δύο οξείες γωνίες.

δ. Κάθε αμβλυγώνιο τρίγωνο έχει δύο οξείες γωνίες.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Α. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

α. Α = − ⎥ ⎢ + ⎢18− 15− ⎥ β. Β =1 12 3+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

· 6 − [( 1− )2 3− · ( 22 1− − )]

Β. Να λυθεί η εξίσωση: x + Α = Β.

Άσκηση 2η

Τηλεόραση πουλήθηκε με έκπτωση 20 % και ο αγοραστής ωφελήθηκε 250 ευρώ. Ποια ήταν

η αξία της τηλεόρασης πριν την έκπτωση;

Άσκηση 3η

Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α

είναι 20°. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ

και προς τις δύο μεριές και παίρνουμε

τμήματα ΒΔ =ΑΒ και ΓΕ = ΑΓ.

A

Α. Να βρεθούν οι γωνίες Β και Γ του Δ B Γ E

τριγώνου ΑΒΓ.

Β. Να υπολογίσετε τις γωνίες Δ και Ε.

Γ. Να υπολογίσετε τη γωνία Α του τρι-

γώνου ΑΔΕ.

Page 5: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

5

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Να γραφούν τα είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες και ως προς τις πλευρές τους.

(ορισμοί – σχήματα)

Β. Γιατί ένα τρίγωνο δεν μπορεί να έχει δύο αμβλείες γωνίες;

Γ. Τι είναι ύψος και τι διάμεσος τριγώνου (ορισμοί – σχήματα)

Θέμα 2ο

Α. Γράψτε τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού στους ρητούς αριθμούς.

Β. Να συμπληρωθούν οι ισότητες:

αν : αμ = ……., ν

αβ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= ……., (αν)μ = …….., α0 = ……..

= ……., 1ν = …….., να−ν

αβ

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= ……..

Γ. Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι και πότε αντίστροφοι;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Στο παρακάτω σχήμα είναι ε1 // ε2. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΓ). Το τρίγωνο

ΑΓΔ είναι ορθογώνιο στο Γ και = 40°. Να υπολογιστούν οι γωνίες θ, φ, ω. Α

A Δε1 ω

40°

θ φ

ε2 B Γ

Άσκηση 2η

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης:

3·(52 − 23·3)6 + 103·0,12 − (8:22)·2 + 1002 : 103

Άσκηση 3η

Παντοπώλης έχει ένα βαρέλι με 120 kg τυρί. Την πρώτη μέρα πουλάει το 14του περιεχομέ-

νου του και τη δεύτερη μέρα τα 25του αρχικού περιεχομένου του. Να βρεθεί πόσα κιλά τυρί

έμειναν στο βαρέλι.

Page 6: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

6

ΘΕΜΑΤΑ

Θέμα 1ο

Α. Να γράψετε την ισότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης και να εξηγήσετε τα σύμβολα που

χρησιμοποιούνται.

Β. Αν διαιρέσουμε έναν φυσικό αριθμό με το 7, ποια μπορεί να είναι τα υπόλοιπα της

διαίρεσης; Σε ποια περίπτωση η διαίρεση είναι τέλεια;

Γ. Ποιες από τις παρακάτω ισότητες παριστάνουν Ευκλείδειες διαιρέσεις;

216 = 50 · 4 + 16 και 446 = 18 · 23 + 32

Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Θέμα 2ο

Α. Να σχεδιάσετε δύο κατακορυφήν γωνίες, να τις ονομάσετε και να γράψετε τη σχέση που

τις συνδέει.

Β. Ποιες γωνίες λέγονται παραπληρωματικές;

Γ. Σχεδιάστε δύο εφεξής και παραπληρωματικές γωνίες.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

Α = 1 3 1

:2 4 3

+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

−1 5 14 2 5+ ⋅⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

και

Β = ( · 7 82 : )3 23 5− − ( )212 8−

και να λύσετε την εξίσωση Α + x = B.

Άσκηση 2η

Σε μια αθλητική συνάντηση πήραν μέρος 450 αθλητές. Από αυτούς το 15ήταν άνδρες, τα

310

γυναίκες και τα υπόλοιπα παιδιά.

Α. Πόσοι ήταν οι άνδρες, πόσες οι γυναίκες και πόσα τα παιδιά;

Β. Τι ποσοστό % είναι οι άνδρες, οι γυναίκες και τα παιδιά;

Άσκηση 3η εΣτο σχήμα είναι ε1 // ε2. Να

υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ,

δ και ε.

δε1

A φ = 98°

α

γ BβΓω =38° Να δικαιολογήσετε τις απα-

ντήσεις σας. ε2

ε4ε3

Page 7: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

7

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο Α. Πώς συγκρίνουμε δύο κλάσματα;

Β. Πώς προσθέτουμε δύο κλάσματα;

Γ. Πώς πολλαπλασιάζουμε και πώς διαιρούμε δύο κλάσματα;

Θέμα 2ο

Α. Τι λέγεται μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος;

Β. Να σχεδιάσετε τη μεσοκάθετο ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ.

Γ. Ποια ιδιότητα έχει κάθε σημείο της μεσοκαθέτου;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Ο Γιώργος αγόρασε ένα Laptop με συντελεστή Φ. Π. Α. 21% και έδωσε συνολικά 1512,50 €.

Να υπολογιστούν:

Α. Η αξία του Laptop χωρίς Φ. Π. Α. (€)

Β. Ο Φ. Π. Α. που πλήρωσε (€)

Άσκηση 2η

Να υπολογιστούν οι παραστάσεις:

Α = ( )3 + ( + 3 · 5)2 : ( ) 2− 18− 3−

Β =8 73 2

− +⎛ ⎞⎜ · ( ) και ⎟⎝ ⎠

12−

Γ = 2 Α Β2

Άσκηση 3η A ωε1 θ α

Στο διπλανό σχήμα δίνεται:

ε1 // ε2, ω = 38° και = 102°. φγ φβ

Να υπολογιστούν οι γωνίες α, β, γ ε2 B Γ

και θ.

Page 8: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

8

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο Α. Πότε δύο ρητοί αριθμοί λέγονται ομόσημοι και πότε ετερόσημοι; Β. Να γράψετε πώς προσθέτουμε δύο ομόσημους και πώς δύο ετερόσημους ρητούς αριθ-

μούς. Γ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες, γράφοντας στην κόλλα σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το αντίστοιχο σύμβολο. α. Αντίθετοι ονομάζονται δύο αριθμοί που είναι ετερόσημοι. β. Οι αντίθετοι αριθμοί έχουν άθροισμα μηδέν. γ. Ο μεγαλύτερος από δύο αρνητικούς αριθμούς είναι εκείνος που έχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. δ. Οι αντίθετοι αριθμοί έχουν πηλίκο − 1. ε. Το γινόμενο δύο αρνητικών αριθμών είναι αρνητικός αριθμός. Θέμα 2ο Α. Να γράψετε τα είδη των τριγώνων με βάση τις γωνίες τους. Να κάνετε ένα σχήμα σε κάθε περίπτωση. Β. Τι ονομάζεται διάμεσος ενός τριγώνου; Γ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες, γράφοντας στην κόλλα σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το αντί-

στοιχο σύμβολο. α. Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 90°. β. Το ισόπλευρο τρίγωνο είναι πάντα οξυγώνιο. γ. Οι γωνίες ενός τριγώνου είναι παραπληρωματικές. δ. Ισόπλευρο λέγεται ένα τρίγωνο όταν έχει δύο ίσες πλευρές. ε. Οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Α. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = (32 23)10 + (72 − 2·23)3 (3·42 + 24) : 4 − −

Β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Β = 1 16 12+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

· 2

13

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Γ = Α·Β. Τι συμπέρασμα προκύπτει για τους αριθμούς Α, Β; Άσκηση 2η

Στο παρακάτω σχήμα είναι ε1 //ε2.

Να υπολογίσετε τις γωνίες φ, θ, x, ω.

Να αιτιολογήσετε πλήρως κάθε ισχυ-

ρισμό σας.

Άσκηση 3η

Σε ένα Γυμνάσιο υπάρχουν συνολικά 300 μαθητές. Αν τα 35των μαθητών αυτών είναι αγό-

ρια και το 14των κοριτσιών ασχολείται με το μπάσκετ. Να βρείτε:

ε3 ε4

144°

φε1

104°A θ

Γ ωB xε2

Α. Πόσα είναι τα αγόρια και πόσα τα κορίτσια του σχολείου; Β. Πόσα κορίτσια του σχολείου ασχολούνται με το μπάσκετ; Γ. Ποιο μέρος του συνόλου των μαθητών του σχολείου αντιπροσωπεύουν τα κορίτσια που ασχολούνται με το μπάσκετ;

Page 9: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

9

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο Α. Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα; Β. Να μεταφέρετε στην κόλλα σας τις παρακάτω προτάσεις ορθά συμπληρωμένες: α. Όταν δύο ποσά x και y είναι ανάλογα, τότε οι αντίστοιχες τιμές τους δίνουν πάντα …………… και συνδέονται με τη σχέση ……………………. β. Όταν δύο ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα, τότε …………… των αντίστοιχων τιμών τους παραμένει σταθερό και συνδέονται με τη σχέση ……………….. γ. Που βρίσκονται τα σημεία που αντιστοιχούν στα ζεύγη τιμών (x,y) δύο αναλόγων ποσών; δ. Που βρίσκονται τα σημεία που αντιστοιχούν στα ζεύγη τιμών (x, y) δύο αντιστρόφως αναλόγων ποσών; Θέμα 2ο Α. Ποιες γωνίες ονομάζονται εφεξής; να σχεδιάσετε δύο τέτοιες γωνίες. Β. Να μεταφέρετε στην κόλλα σας τις παρακάτω προτάσεις ορθά συμπληρωμένες: α. Δύο γωνίες που έχουν άθροισμα 180° ονομάζονται ……………….

β. Δύο γωνίες που έχουν άθροισμα 90° ονομάζονται ………………. γ. Κατακορυφήν γωνίες ονομάζονται δύο γωνίες που έχουν την κορυφή τους ……….. και τις πλευρές τους ……………. Γ. Να χαρακτηρίσεις τις παρακάτω προτάσεις γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος , αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Μια γωνία λέγεται αμβλεία όταν είναι μικρότερη από 90° β. Οι πλευρές της ορθής γωνίας είναι κάθετες ημιευθείες γ. Πλήρης γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 360°.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η Μια πλατεία έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου και το μήκος της είναι 20m. Το πλά-

τος της είναι ίσο με τα 45του μήκους της. Τότε:

Α. Να αποδείξετε ότι το πλάτος της είναι 16m. B. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της. Γ. Πόσες πλάκες σχήματος τετραγώνου με πλευρά 4m θα χρειαστούν, για να στρωθεί η πλατεία; Άσκηση 2η Δίνονται οι αριθμητικές παραστάσεις:

Α = ( 2)2 + ( 2)·(− − − 3) + 2·[( 3)3 : 3]− − ( − 3 − 1) και Β = 22− − 1 +22

3

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Να αποδείξετε ότι: Α. Α = 4 και Β. Β = −32

Γ. Να λύσετε την εξίσωση: x·Α = Β (όπου Α και Β είναι οι τιμές των αριθμητικών παραστάσεων που υπολογίσατε στα ερωτήματα α και β). Άσκηση 3η

δ Γ Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλλη-λες και α = 60° και γ = 70°. Να δικαιολογήσετε:

ε1 ε η ζ

Α. γιατί η γωνία ζ είναι 50°.

Β. γιατί η γωνία ε είναι 70°. γ α β ε2 BAΓ. Να υπολογίσετε τις γωνίες η, δ και β και να

δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Page 10: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

10

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται πρώτος;

Β. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται σύνθετος;

Γ. Πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2 και πότε διαιρείται με το 3;

Θέμα 2ο

Α. Πότε δύο γωνίες λέγονται παραπληρωματικές;

B. Πότε δύο γωνίες λέγονται συμπληρωματικές;

Γ. Ποια σχέση έχουν μεταξύ τους δύο κατακορυφήν γωνίες;

Σχεδιάστε δύο κατακορυφήν γωνίες.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Να βρείτε την τιμή της παράστασης:

12 (25 : 42 + 33 : 32) + 3 · (16 − 6) −

Άσκηση 2η

Να βρείτε την τιμή της παράστασης:

8 7 : −3 3 14 5 8+ −⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 4 · 17

Άσκηση 3η

Στο διπλανό σχήμα η ευθεία ε1 είναι παράλληλη

με την ημιευθεία Γx (ε1 // Γx). Το τρίγωνο ΑΒΓ

είναι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΓ) και η γωνία ρ = 150°.

Να βρεθούν:

δ

ε ρ = 150°

A y

Α. Οι γωνίες φ, ω, y, μ.

Β. Τι είδους τρίγωνο είναι το ΑΒΓ ως προς τις

γωνίες του;

Bφ μ ω

x G

Page 11: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

11

ΘΕΜΑΤΑ

Θέμα 1ο

Α. Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα;

Β. Τι συμβαίνει με το λόγο των αντίστοιχων τιμών που παίρνουν δύο ανάλογα ποσά και τι

ονομάζουμε συντελεστή αναλογίας;

Γ. Με ποια σχέση συνδέονται δύο ανάλογα ποσά x και y;

Θέμα 2ο

Τι ονομάζουμε μεσοκάθετο ενός ευθυγράμμου τμήματος;

Ποιες είναι οι ιδιότητες της μεσοκαθέτου (3 ιδιότητες);

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Αν α =54

·4

25

−⎛ ⎞⎜ +⎟⎝ ⎠

23

+34

:68και

β = 24 · (18,6 : 0,6 33) 8 · 0,52 − −

να βρεθεί ο x ώστε: α · x = β.

Άσκηση 2η

Ένας έμπορος αγόρασε 150 κιλά ντομάτες προς 1,2 € το κιλό. Του χάλασαν το 10% από αυ-

τές. Τις υπόλοιπες τις πούλησε προς 1,8 € το κιλό. Να βρεθούν:

Α. πόσα κιλά ντομάτες χάλασαν.

Β. πόσα χρήματα κέρδισε

Γ. το ποσοστό του κέρδους. AΆσκηση 3η

ε1

Στο διπλανό σχήμα είναι ε1 // ε2 και

ΑΔ διχοτόμος της γωνίας ΒΑΓ.

γ

Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ, δ

δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας. 150β δ α°B Δ ε2 Γ

Page 12: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

12

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Με ποιους τρόπους προκύπτουν ισοδύναμα (ίσα) κλάσματα;

Β. Ποιο κλάσμα λέγεται ανάγωγο;

Γ. Ποια κλάσματα λέγονται ομώνυμα και ποια ετερώνυμα;

Θέμα 2ο

Α. Τι είναι χορδή κύκλου; (Να γίνει και το σχήμα)

Β. Τι είναι διάμετρος κύκλου και τι ξέρετε για αυτή; (Να γίνει και το σχήμα)

Γ. Τι είναι τόξο του κύκλου; (Να γίνει και το σχήμα)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Η τιμή ενός αυτοκινήτου είναι 12000 € (ευρώ) και πουλήθηκε με έκπτωση 15%.

Να βρεθούν:

α. Το ποσό της έκπτωσης.

β. Πόσα ευρώ πουλήθηκε;

Άσκηση 2η

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης:

A= – (– 8) – (+ 2)·( – 3)·( – 4) + (– 5):( – 5) + 0( 2010)− −21

2

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

δ1 δ2 Άσκηση 3η

ε1 125° Στο διπλανό σχήμα δίνονται ότι οι ευθείες ε1

και ε2 είναι παράλληλες (ε1 // ε2). Να βρε-

θούν οι γωνίες α, β και γ. γ

βα50°ε2

Page 13: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

13

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Πότε ένας αριθμός διαιρείται με το 2;

Β. Πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 3;

Γ. Πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2 και το 5 συγχρόνως;

Θέμα 2ο

Πότε δύο γωνίες ονομάζονται:

Α. Εφεξής

Β. Κατακορυφήν

Γ. Συμπληρωματικές

Δ. Παραπληρωματικές

(Σε κάθε περίπτωση να κάνετε και σχήμα)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Να λύσετε τις εξισώσεις:

Α. x + 10 = 8 και

Β. x +10

8= 1

Άσκηση 2η

Να βρεθούν τα:

Α = 3·52 +2 33 6+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

·67

Β = 62(8 2·3) −

και η διαφορά τους Α Β. −

Άσκηση 3η A

Στο διπλανό σχήμα είναι: ω

ε1 // ε2, = 60° και = 38°. Γ z yB Exε1

Να υπολογίσετε τις γωνίες φ, x, y, ω χωρίς

να χρησιμοποιήσετε μοιρογνωμόνιο. 60° Δ φ Γ

38° ε2

(Δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας). ε3ε4

Page 14: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

14

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Τι λέγεται Ευκλείδεια διαίρεση;

Β. Ποιες από τις παρακάτω ισότητες προκύπτουν από Ευκλείδεια διαίρεση

82 = 8 · 9 + 10 (1)

47 = 7 · 6 + 8 (2)

Γ. Να γράψετε την ισότητα που προκύπτει από την Ε. διαίρεση 3583 : 17

Θέμα 2ο

Α. Πότε μια γωνία είναι οξεία, πότε ορθή και πότε αμβλεία; (σχήμα)

Β. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται εφεξείς; (σχήμα)

Γ. Πότε δύο γωνίες είναι συμπληρωματικές; (σχήμα)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Ένας έμπορος αγόρασε 60 κιλά βερίκοκα προς 2 € το κιλό και 90 κιλά πορτοκάλια προς

0,80 € το κιλό. Πούλησε τα βερίκοκα με ζημιά 5% και τα πορτοκάλια με κέρδος 10%.

Α. Πόσο πούλησε τα βερίκοκα το κιλό και πόσο τα πορτοκάλια;

Β. Κέρδισε ή ζημιώθηκε και πόσο;

Άσκηση 2η

Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων:

Α = 7 · 52 32 (4 · 3 22) (25 − 52) : 1 − − −

Β = 3 27 7−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

:5 37 7−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

Να υπολογίσετε το λόγο Α : Β

(να απλοποιήσετε το αποτέλεσμα) A Byωε1Άσκηση 3η

xΣτο διπλανό σχήμα η ε1 και ε2 είναι

παράλληλες και το τρίγωνο ΟΓΔ

είναι ισοσκελές με ΟΓ = ΟΔ. Να

υπολογίσετε τις γωνίες φ, x, y και ω.

O

φ

44° ε2 Γ Δ

ε4 ε3

Page 15: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

15

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις:

α. Αν δύο μεγέθη είναι αντιστρόφως ανάλογα και το ένα πολλαπλασιάζεται επί έναν αριθμό,

το άλλο ……. με τον …….. αριθμό.

β. Αν τα ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα τότε το ……. των αντίστοιχων τιμών τους

είναι ………

γ. Η γραμμή που βρίσκονται τα σημεία που παριστάνουν τα ζεύγη τιμών δύο αντιστρόφως

αναλόγων ποσών είναι …….. και λέγεται………

Οι προτάσεις συμπληρωμένες να μεταφερθούν στην κόλλα σας.

Θέμα 2ο

Να αντιστοιχίσετε κάθε γωνία ω της στήλης Α με την ονομασία της από τη στήλη Β.

Ο πίνακας με τις απαντήσεις να μεταφερθεί στην κόλλα σας.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β

α. ω = 180° 1. Πλήρης γωνία

β. ω< 90° 2. Μηδενική γωνία

γ. ω = 0°

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει μήκη πλευρών ΑΒ = 0,4dm, ΒΓ = 7,8cm και ΑΓ = 75mm.

Να βρείτε την περίμετρό του σε cm.

Άσκηση 2η

Να κάνετε τις πράξεις: 1 3 ⋅−25

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+( 5− ) ⋅23

:12

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Άσκηση 3η Στο παραπάνω σχήμα είναι ε1 // ε2. Να

υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ και δ.

Να μεταφέρετε το σχήμα στην κόλλα

σας και να δικαιολογήσετε τις απα-

ντήσεις σας.

3. Αμβλεία γωνία

δ. ω = 360° 4. Ευθεία γωνία

ε. 90° <ω<180° 5. Οξεία γωνία

α

β

γ

δ

ε

δ 70° Γ ε1

γ

β A Bαε2 50°

ε3 ε4

Page 16: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

16

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Πότε δύο κλάσματα ονομάζονται ομώνυμα;

Β. Πότε δύο κλάσματα ονομάζονται ετερώνυμα;

Γ. Πότε ένα κλάσμα ονομάζεται ανάγωγο;

(Να δώσετε και ένα παράδειγμα για κάθε περίπτωση).

Θέμα 2ο

Α. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται παραπληρωματικές;

Β. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται συμπληρωματικές;

Γ. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται κατακορυφήν;

(Να κάνετε και ένα σχήμα για κάθε περίπτωση).

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις:

Α = 52 +23 · 3 (6,2− − 3,2)2 : 31

Β = 1 12 3+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

:7 26 3− ·

1 31

2 4−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

Άσκηση 2η γε1 43°

Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες ε1 και ε2

είναι παράλληλες. Να υπολογίσετε τις

γωνίες α, β, γ, δ δικαιολογώντας τις

απαντήσεις σας.

α

65°β δ

ε2

ε4ε3

Άσκηση 3η

Από τους μαθητές της Α΄ Γυμνασίου ενός σχολείου τα 35παρακολουθούν Γερμανικά, τα

310

παρακολουθούν Γαλλικά και οι υπόλοιποι μαθητές παρακολουθούν Ιταλικά. Αν γνωρίζουμε

ότι 54 μαθητές παρακολουθούν Γερμανικά, να υπολογίσετε:

Α. πόσοι είναι οι μαθητές της Α΄ Γυμνασίου

Β. πόσοι μαθητές παρακολουθούν Γαλλικά

Γ. το ποσοστό των μαθητών της Α΄ Γυμνασίου που παρακολουθούν Ιταλικά.

Page 17: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

17

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Πώς προσθέτουμε δύο ομόσημους ρητούς αριθμούς;

Β. Πώς πολλαπλασιάζουμε δύο ετερόσημους ρητούς αριθμούς;

Γ. Πότε δύο αριθμοί, διαφορετικοί από το μηδέν, λέγονται αντίστροφοι;

Θέμα 2ο

Α. Τι ονομάζεται κύκλος; δ Β. Τι λέγεται χορδή ενός κύκλου;

Γ. Πώς λέγονται οι ευθείες ε και δ του διπλανού ε

M σχήματος, σε σχέση με τη θέση τους ως προς OA

τον κύκλο (Ο, ρ);

Να δώσετε τους αντίστοιχους ορισμούς. B (τα Α, Β, Μ είναι σημεία του κύκλου).

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης:

24 · 32 (37 4 · 23) · 9 + (43 : 4 7)2 : 3 − − −

Άσκηση 2η

Αν x =53−

1 73 2⋅ και y =

32

:7

44

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης: x + 3 ⋅ y.

Άσκηση 3η A

Στο διπλανό σχήμα είναι Δx // ΒΓ. Αν

ω = 80° και = 145°, να υπολογίσετε

(χωρίς μέτρηση) τις γωνίες του τριγώ-

νου ΑΒΓ.

φx φωΔ

E

Γ B

Page 18: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

18

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο Α. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά: α. Ομώνυμα λέγονται δύο κλάσματα που έχουν……….. β. Ετερώνυμα λέγονται δύο κλάσματα που………….. γ. Ισοδύναμα λέγονται δύο κλάσματα όταν………….. δ. Αν διαιρέσουμε και τους δύο όρους ενός κλάσματος με τον ίδιο φυσικό αριθμό, εκτός του μηδενός, προκύπτει κλάσμα……..με το αρχικό και τη διαδικασία ονομάζουμε……… ε. Από δύο κλάσματα ομώνυμα μεγαλύτερο είναι εκείνο που έχει …………… στ. Από δύο κλάσματα με τον ίδιο αριθμητή μεγαλύτερο είναι εκείνο που έχει…………. ζ. Τα κλάσματα πρέπει να είναι ή να γίνουν,……………., για να τα προσθέσουμε. Θέμα 2ο Α. Ποια είναι τα είδη των τριγώνων ως προς τις γωνίες τους; (να δώσετε ορισμούς και να κάνετε σχήματα). Β. Τι γνωρίζετε για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου; Γ. Πόσες ορθές γωνίες έχει ένα ορθογώνιο τρίγωνο και γιατί;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ δ1

Άσκηση 1η α βε1 Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες

ε1 και ε2 είναι παράλληλες. Να γράψετε:

γδ

ζεε2 θ η

Α. όλα τα ζεύγη των κατακορυφήν γωνιών και τι σχέση έχουν μεταξύ τους.

Β. όλα τα ζεύγη των εντός εναλλάξ γωνιών και τι σχέση έχουν μεταξύ τους. Γ. όλα τα ζεύγη των εντός, εκτός και επί τα αυτά γωνιών και τι σχέση έχουν μεταξύ τους

Δ. αν = 125°, να υπολογίσετε τις υπόλοιπες γωνίες του σχήματος. α

Άσκηση 2η Να βρείτε το σωστό και το λάθος από τα παρακάτω και να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας: α. x + x + x = x3 β. 2 · (α + 3) = 2α + 6

γ. 10 · 8 · 0 · 200 = 0

δ. 45 : 0 = 0 ε. 25 = 52 στ. 20 16 : 4 = 1 −ζ. 650 : 13 2(3 + 2)2 = 0 −Άσκηση 3η Α. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά: α. Αν διπλασιάσουμε την τιμή ενός από δύο ανάλογα ποσά και η αντίστοιχη τιμή του άλλου ποσού θα …………….. β. Αν x και y είναι δύο ανάλογα ποσά, τότε συνδέονται με τη σχέση…………. γ. Οι λόγοι των αντίστοιχων τιμών δύο ανάλογων ποσών είναι πάντα…………. δ. Να συμπληρώσετε τον πίνακα των παρακάτω ανάλογων ποσών: x 1 2 2,5

y x 8 16

Page 19: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

19

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Πότε δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα;

Β. Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίστροφοι;

Γ. Να συμπληρώσετε τις ισότητες. α ≠ 0

♦ α1

= …..

♦ αα

= ……

♦ 0α

= …….

Θέμα 2ο

Α. Τι λέγεται ύψος τριγώνου;

Β. Να αναφέρετε τα είδη των τριγώνων ως προς τις πλευρές και ως προς τις γωνίες τους.

Γ. Μπορεί ένα ισόπλευρο τρίγωνο να είναι συγχρόνως και ορθογώνιο;

(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας).

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Να βρείτε την τιμή της παράστασης:

Α = 1 + (72 2 · 23)4 (17 6 · 2) · [2 · 62 − − − − 4 (43 − 2 · 52)]

Άσκηση 2η

Τα 6 παντελόνια κοστίζουν 270 €.

Α. Πόσο κοστίζουν τα 15 παντελόνια;

Β. Για τα 15 παντελόνια μας έκαναν

έκπτωση 20%. Πόσα χρήματα πληρώσαμε

τελικά; δ1Άσκηση 3η δ2

Στο διπλανό σχήμα οι

ευθείες (ε1) και (ε2)

είναι παράλληλες. Να

υπολογίσετε τις γωνί-

ες α, β και γ.

γ

142°βε1

75° αε2

Page 20: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

20

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Πότε δύο κλάσματα λέγονται ομώνυμα;

Β. πότε δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα;

Γ. Να βάλετε το κατάλληλο από τα σύμβολα (>, <, = ) παρακάτω:

α. 34

....35

β. 58

....78

γ. 34

….68

δ. 54

….67

Θέμα 2ο

Α. Πότε δύο γωνίες λέγονται κατακορυφήν;

Β. Πότε δύο γωνίες λέγονται συμπληρωματικές;

Γ. Να σχεδιάσετε δύο γωνίες οι οποίες να είναι ταυτόχρονα εφεξής και παραπληρωματικές.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων:

Α. Α = 32 · (23 5) 82 : (42 23) + 12010 − − −

Β. Β = 1

43

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

·12−

3 14 2+⎛ ⎞

⎟⎜⎝ ⎠

:32

+1

Γ. Να λυθεί η εξίσωση: x ΑΒ−

= 0.

Άσκηση 2η

Στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε χαράξει το ύψος ΒΔ και

την ευθεία (ε) κάθετη στo τμήμα ΒΔ στο σημείο Β. A

64°Α. Να βρείτε τη σχετική θέση των ευθειών ΑΓ και

ε

(ε) και να τη δικαιολογήσετε. φ 48° ω

Β. Αν η γωνία ΒΑΓ = 64° και η γωνία ΔΒΓ = 48°, Γ B

να υπολογίσετε τις γωνίες ω και φ.

Άσκηση 3η

Στον παρακάτω πίνακα τα ποσά x και y είναι ανάλογα.

x 0,5 2

y 4 26 12

Α. Να υπολογίσετε το συντελεστή αναλογίας.

Β. Να γράψετε τη σχέση που συνδέει τα ποσά x και y.

Γ. Να συμπληρώσετε τον πίνακα.

Page 21: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

21

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Ποια είναι τα είδη των τριγώνων ως προς τις πλευρές;

Να γράψετε τον ορισμό και το σχήμα σε κάθε περίπτωση.

Β. Τι λέμε διάμεσο, τι ύψος και τι διχοτόμο τριγώνου;

Να γράψετε τον ορισμό και το σχήμα σε κάθε περίπτωση.

Θέμα 2ο

Α. Πότε δύο ρητοί αριθμοί λέγονται ομόσημοι και πότε ετερόσημοι;

Δώστε από ένα παράδειγμα.

Β. Πότε δύο ρητοί λέγονται αντίθετοι και πότε αντίστροφοι;

Δώστε από ένα παράδειγμα. Ποιος είναι ο αντίθετος του α και ποιος ο αντίστροφός του;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Αν Α = ( 4− ) + (− 6− ) ( + 7) + ( + 6) − − ( 3− ) + ( 4− ) και

Β = ( )( 23 · 3 32) +3− −1 13 2+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

: 16

Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων:

Α. Κ = Α Β− −

Β. Μ = ( ) · ( ) Α− Β−

Άσκηση 2η

Μια βεράντα έχει σχήμα ορθογώνιο με διαστάσεις 6,3m και 48dm. Θέλουμε να τη στρώσου-

με με τετράγωνες πλάκες πλευράς 30cm.

Α. Πόσες πλάκες θα χρειαστούμε;

Β. Αν οι πλάκες είναι συσκευασμένες σε πακέτα που περιέχουν 6 πλάκες το καθένα, πόσα

χρήματα θα πληρώσουμε αν το κάθε πακέτο κοστίζει 18 €.

Άσκηση 3η

ε1Στο παραπάνω σχήμα οι ευθείες ε1, ε2 είναι

παράλληλες (ε1 // ε2 ) και τέμνονται από την

ευθεία δ. Αν δίνονται οι γωνίες: = 74° και

= 32°, να υπολογίσετε τις γωνίες x, φ, και

ω και να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

α

β

α

xε2

ω φ

δβ

Page 22: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

22

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Πότε δύο κλάσματα λέγονται ομώνυμα;

Β. Πώς προσθέτουμε δύο ομώνυμα κλάσματα;

Γ. Από δύο ομώνυμα κλάσματα ποιο είναι το μεγαλύτερο;

Θέμα 2ο

Α. Πότε δύο γωνίες λέγονται εφεξής;

Β. Πότε δύο γωνίες λέγονται παραπληρωματικές;

Γ. Να σχεδιάσετε δύο εφεξής και παραπληρωματικές γωνίες.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Δίνονται οι παραστάσεις:

Α = 5·25 − 4·(82 3 · 42 ) 1 και − −

Β = 1 13 2+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

:16

Α. Να δείξετε εφαρμόζοντας την προτεραιότητα των πράξεων ότι Α = 95.

Β. Να δείξετε εφαρμόζοντας την προτεραιότητα των πράξεων ότι Β = 5.

Γ. Αντικαθιστώντας τις προηγούμενες τιμές στη θέση των Α και Β και εφαρμόζοντας στη

συνέχεια την προτεραιότητα των πράξεων να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

Γ = Α 7·Β. −

Άσκηση 2η

Δύο γωνίες είναι παραπληρωματικές και η μία είναι πενταπλάσια της άλλης. Να βρείτε πόσες

μοίρες είναι η κάθε μία.

Άσκηση 3η δ2 δ1

Στο διπλανό σχήμα δίνονται ότι ε1 //ε2 και

ότι οι γωνίες = 110° και = 42°. Να βρεί-

τε πόσες μοίρες είναι οι γωνίες γ, δ και ζ.

Να τοποθετήσετε δικά σας γράμματα σε

όσες άλλες γωνίες χρησιμοποιήσετε. Να

αιτιολογείτε κάθε βήμα που κάνετε.

α β

β = 42° δε1 γ

ζ

ε2 α= 110°

Page 23: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

23

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Πότε δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα ή ίσα; Αν ισχύει αβ

=γδμε ποια σχέση

συνδέονται οι όροι α, β, γ, δ των κλασμάτων; Β. Να γράψετε με ποιους τρόπους μπορούμε να πάρουμε ένα κλάσμα ισοδύναμο με ένα αρχικό κλάσμα. Να γράψετε παράδειγμα για κάθε περίπτωση. Γ. Να γράψετε πότε ένα κλάσμα λέγεται ανάγωγο και πότε δύο ή περισσότερα κλάσματα λέγονται ομώνυμα και πότε ετερώνυμα. Να δώσετε παράδειγμα για κάθε περίπτωση. Θέμα 2ο Α. Να δώσετε τους ορισμούς: κύκλος (Ο, ρ) και κυκλικός δίσκος (Ο, ρ). Πότε δύο κύκλοι είναι ίσοι; Το κέντρο ενός κύκλου είναι σημείο του; Β. Να δώσετε τους ορισμούς: ακτίνα, χορδή, διάμετρος και τόξο κύκλου. Να γίνουν τα κατάλληλα σχήματα. Γ. Σε πόσα τόξα χωρίζει κάθε διάμετρος έναν κύκλο; Πώς ονομάζονται αυτά και τι σχέση έχουν μεταξύ τους; Να γίνει το σχήμα..

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η Να υπολογίσετε τις τιμές των αριθμητικών παραστάσεων:

Α =5 16 2−⎛ ⎞

⎟⎜⎝ ⎠

:43και Β = (5·22 3 · 4) : 2 −

Για τις τιμές των Α και Β που βρήκατε να υπολογίσετε το γινόμενο Α · Β. Τι συμπεραίνετε

για τους αριθμούς Α και Β; Κατόπιν να βρείτε τη διαφορά Α −Β. Άσκηση 2η

Δίνεται η σχέση αναλογίας δύο ποσών: y = 75% · x

Α. Ποιος είναι ο συντελεστής αναλογίας; Β. Να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών: x 0 4 10

y 4,5 6 Γ. Να τοποθετήσετε τα παραπάνω σημεία (x, y) σε ένα ορθοκανονικό σύστημα ημιαξόνων και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της σχέσης αναλογίας των ποσών x και y. Άσκηση 3η Στο παρακάτω σχήμα οι ευθείες ε1 και ε2 είναι πα-ράλληλες (ε1 // ε2), η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας

ΒΑΓ και η γωνία ΒΑΔ = 47°. Η ΔΓ είναι κάθετη

στην ευθεία ε1.Να βρείτε χωρίς μέτρηση, με συλλο-γισμούς, τα μέτρα των γωνιών: ω, ν, θ, φ, κ, λ.

ε2 ε1

Δ v Γ

ω47°

κ λ B A

θ δ φ

Page 24: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

24

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Πώς προσθέτουμε 2 ομόσημους ρητούς και πώς προσθέτουμε 2 ετερόσημους ρητούς;

Β. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται αντίθετοι και με τι ισούται το άθροισμά τους;

Γ. Τι ιδιότητα έχει το μηδέν, όταν το προσθέσουμε με ένα ρητό;

Θέμα 2ο

Α. Πότε δύο γωνίες λέγονται εφεξής;

Β. Πότε δύο γωνίες λέγονται παραπληρωματικές και πότε λέγονται συμπληρωματικές;

Γ. Να σχεδιάσετε 2 εφεξής και παραπληρωματικές γωνίες και 2 εφεξής και

συμπληρωματικές γωνίες.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Δίνονται οι παραστάσεις:

Α = 31 2

12 3+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

23

− :5 16 2−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

και

Β = 102 : (16 + 32) − (23 3 · 4) −

Α. Να υπολογίσεις την αριθμητική τιμή της παράστασης Α.

Β. Να υπολογίσεις την αριθμητική τιμή της παράστασης Β.

Γ. Να συγκρίνεις τις αριθμητικές τιμές της Α και Β.

Άσκηση 2η

Α. Σε μία τάξη ενός σχολείου τα κορίτσια είναι 96 και αποτελούν τα 25της τάξης.

Να υπολογίσετε πόσοι είναι όλοι οι μαθητές της τάξης.

Β. Να υπολογίσετε πόσα είναι τα αγόρια της τάξης.

Γ. Αν τα 34των αγοριών της τάξης μαθαίνουν Αγγλικά, να βρείτε πόσα είναι τα αγόρια

αυτά.

Άσκηση 3η δ

Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες ε1, ε2 είναι

παράλληλες μεταξύ τους. Η Αδ είναι η διχο-

τόμος της γωνίας EΑΒ. Να υπολογίσετε τις

γωνίες x, y, ω και να δικαιολογήσετε τις

απαντήσεις σας χωρίς να χρησιμοποιήσετε

μοιρογνωμόνιο.

B 110°v ε1 Γ

yxε2 E A

ε3

Page 25: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

25

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Πότε δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα;

Β. Μεταξύ δύο ομώνυμων κλασμάτων ποιο είναι το μεγαλύτερο;

Δώστε ένα παράδειγμα.

Γ. Πότε ένα κλάσμα είναι μεγαλύτερο από τη μονάδα;

Δώστε ένα παράδειγμα.

Θέμα 2ο

Α. Ποια γωνία λέγεται οξεία, ποια λέγεται αμβλεία και ποια γωνία λέγεται ορθή;

(ορισμός – σχήμα)

Β. Ποιες γωνίες ονομάζονται συμπληρωματικές; (ορισμός – σχήμα)

Γ. Ποιες γωνίες ονομάζονται κατακορυφήν; (ορισμός – σχήμα)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Δίνονται οι παραστάσεις:

Α = 1 + 23 · (22 – 3) + (– 4) + (– 2)

Β = 1

12

+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

:3 24 8−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

Α. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α και Β.

Β. Να λύσετε την εξίσωση: Α · x = Β.

Άσκηση 2η

Ένας έμπορος αγόρασε 150 κιλά μήλα προς 1,4 ευρώ το κιλό. Του χάλασαν όμως το 1

10από

τα μήλα. Τα υπόλοιπα τα πούλησε με 1,8 ευρώ το κιλό. Να υπολογίσετε:

Α. Πόσα κιλά μήλα χάλασαν;

Β. Πόσα χρήματα κέρδισε; 50°

Άσκηση 3η ε1

Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες ε1 και ε2

είναι παράλληλες. A

Α. Να υπολογίσετε το x και τις γωνίες

του τριγώνου ΑΒΓ.

Β. Τι είδους τρίγωνο είναι το ΑΒΓ;

δ2

x Γ 130° B

ε2

δ1

Page 26: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

26

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα;

Β. Τι λέγεται συντελεστής αναλογίας δύο ανάλογων ποσών;

Θέμα 2ο

Α. Τι ονομάζεται απόσταση σημείου Α από ευθεία ε;

Β. Τι λέγεται απόσταση δύο παράλληλων ευθειών ε1 και ε2;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Δίνονται οι παραστάσεις:

Α = 4 13 5−⎛ ⎞

⎟⎜⎝ ⎠

·32και

Β =1 23 9+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

:29

Αφού κάνετε τις πράξεις σε κάθε μια από τις παραστάσεις Α και Β, να βρείτε ποιας το αποτέ-

λεσμα είναι το μικρότερο αιτιολογώντας την απάντησή σας.

Άσκηση 2η

Κάποια κυρία αγόρασε από ένα κατάστημα μια ζακέτα και ένα φόρεμα. Ο καταστηματάρχης

της είπε ότι πριν την έκπτωση η ζακέτα κόστιζε 60€ και το φόρεμα 220€. Η κυρία αγοράζει

τα δύο αυτά ενδύματα αφού της έκανε έκπτωση ο καταστηματάρχης. Στο σπίτι της βλέπει

στην απόδειξή της ότι το συνολικό ποσό που πλήρωσε ήταν 248€. Θυμάται ότι το ποσοστό

έκπτωσης για τη ζακέτα ήταν 35%.

Α. Υπολογίστε τι ποσό πλήρωσε η κυρία για τη ζακέτα.

Β. Υπολογίστε ποιο ήταν το ποσοστό έκπτωσης για το φόρεμα.

Άσκηση 3η

Στο διπλανό σχήμα είναι ε // ε΄ και η γωνία

ω = 70°. Η ημιευθεία Βζ είναι διχοτόμος της

γωνίας ΑΒΔ και η ΔΓ είναι κάθετη στη ΒΓ.

Χωρίς τη χρήση μοιρογνωμονίου αλλά χρη-

σιμοποιώντας κατάλληλες γεωμετρικές προ-

τάσεις να υπολογίσετε:

ζ

Γ A ωρ ε

B φΑ. τη γωνία φ ε΄ Δ

Β. τη γωνία ρ.

Page 27: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

27

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Πότε δύο ή περισσότερα κλάσματα λέγονται ισοδύναμα;

Β. Από δύο κλάσματα με ίσους αριθμητές και άνισους παρονομαστές ποιο είναι το

μεγαλύτερο;

Γ. Ένα κλάσμα αβ

(με β ≠ 0) πότε λέγεται ανάγωγο;

Δ. Εάν το κλάσμα αβδεν είναι ανάγωγο, τότε με ποιόν αριθμό πρέπει να διαιρέσουμε τους

όρους του, για να γίνει ανάγωγο;

Θέμα 2ο

Α. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται κατακορυφήν;

Β. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται συμπληρωματικές;

Γ. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται εφεξής;

Δ. Τι λέμε διχοτόμο μιας γωνίας;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Α. Μεταξύ ποιών διαδοχικών φυσικών αριθμών βρίσκεται το κλάσμα 635

;

Β. Να βρείτε ένα κλάσμα μεγαλύτερο από το 35και μικρότερο από το

45

.

Γ. Ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε στον παρονομαστή του κλάσματος 35

, ώστε να

προκύψει κλάσμα ισοδύναμο με το 924

;

Άσκηση 2η y

Στο σχήμα η x΄Ox είναι ευθεία. Να

υπολογίσετε τις γωνίες xOy και

x΄Oy΄. Στη συνέχεια να δικαιολογή-

σετε γιατί Οy ⊥ Οy΄

O 30°x x΄ 120°

Άσκηση 3η

Να μετατρέψετε τα σύνθετα κλάσματα Α και Β σε απλά και να αποδείξετε ότι Α · Β = 1.

Α =

2 13 23 14 3

+

− Β =

2 153 21 1

:2 28

Page 28: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

28

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Αν Δ = δπ + υ με υ <δ είναι η ισότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης, να ονομάσετε τις

μεταβλητές Δ, δ, π, υ.

Β. Πότε μια Ευκλείδεια διαίρεση λέγεται τέλεια και πότε ατελής;

Γ. Η αληθής σχέση 65 = 7 · 8 + 9 είναι Ευκλείδεια διαίρεση;

Θέμα 2ο

Α. Πότε δύο γωνίες λέγονται:

α. παραπληρωματικές

β. συμπληρωματικές

γ. κατακορυφήν.

ω

α β φ γ δ Β. Στα παραπάνω σχήματα ονομάστε τα ζεύγη γωνιών:

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Δίνεται η παράσταση:

Α =1 12 3+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

:53

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Α. Να αποδείξετε ότι: Α =12

Β. Να βρείτε τον αντίστροφο του Α

Γ. Να γράψετε ένα κλάσμα μεγαλύτερο από το Α και μικρότερο από το 1

Άσκηση 2η

Να λύσετε τις εξισώσεις:

Α. x + 3 = 7 B. y 5 = 2 Γ. −x

10=

35

Άσκηση 3η

Δίνεται η συνάρτηση y = 2x

A. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών:

x 0 1 4 y 0 2 4

B. Να παραστήσετε τα παραπάνω ζεύγη του πίνακα τιμών στο καρτεσιανό σύστημα

συντεταγμένων και να χαράξετε την ευθεία που ορίζουν.

Γ. Να δικαιολογήσετε γιατί τα ποσά x και y είναι ποσά ανάλογα.

Page 29: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

29

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα;

Β. Όταν δύο ποσά x και y είναι ανάλογα ποιος τύπος τα συνδέει;

Θέμα 2ο

Α. Ποιες γωνίες λέγονται συμπληρωματικές;

Β. Ποιες γωνίες λέγονται παραπληρωματικές;

Γ. Ποιες γωνίες λέγονται κατακορυφήν;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Α. Κάνετε τις πράξεις στις παραστάσεις που σας δίνονται και βρείτε τους αριθμούς Α και Β.

Α = 15 – 2 · (9 – 6) + 17 – 42

Β = 820

:45

+16

.

Β. Κάντε τώρα και τις πράξεις ΒΑ

· 30 και βρείτε και εδώ το τελικό αποτέλεσμα.

Υπόδειξη: Σε όποια κλάσματα γίνονται απλοποιήσεις, είναι βολικό να τις κάνετε (δεν

είναι υποχρεωτικό).

Άσκηση 2η

Α. Σ’ έναν αγώνα σκοποβολής ένας αθλητής ρίχνει 80 βολές με το πιστόλι του και ένα

ποσοστό 65 % απ’ αυτές πετυχαίνουν το στόχο ενώ οι υπόλοιπες όχι.

Πόσες φορές ο αθλητής πέτυχε το στόχο;

Β. Στον ίδιο αγώνα σκοποβολής ένας άλλος αθλητής (Αθλητής Β), ρίχνει 150 βολές. Από

τις βολές αυτές οι 90 πετυχαίνουν το στόχο. Βρείτε το ποσοστό επιτυχίας του.

Είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από το ποσοστό του αθλητή Α;

Άσκηση 3η B Aφ 40°

Στο παρακάτω σχήμα τα ευθύγραμμα

τμήματα ΑΒ και ΓΔ είναι παράλληλα

(ΑΒ // ΓΔ). xE

ω

Υπολογίστε (χωρίς μοιρογνωμόνιο): 43°Γ ΔΑ. τη γωνία φ

Β. τη γωνία ω

Γ. τη γωνία x

Σε κάθε περίπτωση εξηγείστε το σκεπτικό σας!

Page 30: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

30

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Πότε δύο κλάσματα αβκαι

γδλέγονται ισοδύναμα;

Β. Να συμπληρώσετε τη σχέση: αν αβ

=γδτότε ………

Γ. Γράψατε τους δύο κανόνες με τους οποίους κατασκευάζουμε ισοδύναμα κλάσματα.

Θέμα 2ο

Α. Πότε δύο γωνίες λέγονται κατακορυφήν;

Β. Πότε δύο γωνίες λέγονται συμπληρωματικές;

Γ. Πότε δύο γωνίες λέγονται παραπληρωματικές;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Α. Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης:

Α = (13 3 · 4)2 + 3 · 24 −

Β. Να απλοποιήσετε την παράσταση:

Β =

43283

Γ. Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης Α : Β όπου Α και Β οι αντίστοιχες

τιμές των παραστάσεων των προηγούμενων ερωτημάτων της άσκησης.

Άσκηση 2η

Αν οι παράλληλες ευθείες ε1, ε2 τέμνονται από μια

ευθεία δ, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, να

υπολογίσετε τις γωνίες α και β.

δ

2x 3x–70°ε2

(Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας).

Άσκηση 3η β

ε1 Α. Να λυθούν οι εξισώσεις: α

2x − 6 = 10 και 28 : y =73

B. Για τα x και y που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα, να δείξετε ότι:

13

· y + 2·x2 = 132

Page 31: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

31

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2; Πότε διαιρείται με το 5;

Πότε διαιρείται με το 3;

B. Ποιοι από τους αριθμούς που ακολουθούν διαιρούνται με 2, ποιοι με 5, ποιοι με 3;

1830, 631, 725, 84, 10011, 45, 2030, 450.

Θέμα 2ο

Α. Δίνεται γωνία ω = 32°. Πόσων μοιρών είναι η συμπληρωματική της;

Πότε δύο γωνίες λέγονται συμπληρωματικές;

B. Δίνεται γωνία φ = 123°. Πόσων μοιρών είναι η παραπληρωματική της;

Πότε δύο γωνίες λέγονται παραπληρωματικές;

Γ. Είδη γωνιών (ορισμοί – σχήματα).

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Να υπολογιστούν οι αριθμητικές τιμές των παραστάσεων:

Α = 34 + 2 · 52 − (7 + 3)2 + 23 : 4

Β = 32 · (11 − 23) + 22 · (52 24) −

Άσκηση 2η Δ

Στο διπλανό σχήμα έχουμε ε1 //ε2 και την ευ-

θεία δ που τις τέμνει. Να υπολογίσετε τις γω-

νίες κ, μ, λ του τριγώνου ΑΒΓ και να δικαιο-

λογήσετε πώς φτάσατε στο κάθε αποτέλεσμα.

( = 150°, φ ω= 45°)

ε2 ω = 45°

Γ μ φ = 150° κε1 B

δ

Άσκηση 3η

Στο τρίγωνο ΑΒΓ, η πλευρά ΑΒ = 12 cm. Η πλευρά ΒΓ είναι τα 34της ΑΒ και η πλευρά ΓΑ

είναι τα 23της ΒΓ. Να υπολογιστούν τα μήκη των πλευρών ΒΓ και ΓΑ καθώς και η περίμε-

τρος του τριγώνου ΑΒΓ.

Page 32: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

32

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Ποιος αριθμός λέγεται πρώτος;

Β. Ποιοι αριθμοί διαιρούνται με το 3;

Γ. Ποιοι αριθμοί διαιρούνται και με το 2 και το 5;

Θέμα 2ο

Α. Ποια γωνία λέγεται αμβλεία;

Β. Ποιες γωνίες λέγονται συμπληρωματικές;

Γ. Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες; (κάνε σχήμα)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Να απλοποιήσετε τα κλάσματα 48

,1545

,159

,1260

και μετά να τα βάλετε σε αύξουσα σειρά.

Άσκηση 2η

Να υπολογίσετε την παράσταση Α – Β3 αν Α = (– 5)3 + (– 2)4 και Β = 2 6 53 5 18+ ⋅ .

Άσκηση 3η

Τριγώνου ΑΒΓ η γωνία Β = 60°. Από σημείο Κ της πλευράς ΑΒ φέρτε παράλληλη προς την

πλευρά ΒΓ. Η παράλληλη αυτή τέμνει την πλευρά ΑΓ στο Λ. Η γωνία ΚΛΑ = 50°.

Να υπολογίσετε τις γωνίες ΑΚΛ, ΚΑΛ και ΚΛΓ.

Page 33: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

33

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται πρώτος και πότε σύνθετος;

Β. Πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 5;

Γ. Πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 3;

Θέμα 2ο

Α. Να αναφέρετε τα είδη των τριγώνων ως προς τις πλευρές τους.

Β. Να αναφέρετε τα είδη των τριγώνων ως προς τις γωνίες τους.

Γ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή (Λ) αν είναι

λανθασμένες:

α. Ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο έχει δύο αμβλείες γωνίες

β. Ένα ισοσκελές τρίγωνο μπορεί να είναι και αμβλυγώνιο.

γ. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο μπορεί να είναι και ισοσκελές.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Τα 35των μαθητών μιας τάξης ενός Γυμνασίου είναι κορίτσια και το πλήθος των αγοριών

είναι 42. Να βρείτε:

Α. Πόσοι είναι οι μαθητές της τάξης αυτής.

Β. Πόσα είναι τα κορίτσια.

Γ. Το ποσοστό των αγοριών και το ποσοστό των κοριτσιών.

Άσκηση 2η

Α. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων:

Α =83

+23

·5−52

:53−

236

Β = 3 3·−1 1

1 14 2− +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

Β. Να συγκρίνετε τα κλάσματα Α και Β.

Γ. Να βρείτε ένα κλάσμα μεταξύ των Α και Β.

Άσκηση 3η δ2δ1

Στο παρακάτω σχήμα ισχύει ε1 // ε2. δ 55°ε1 γαΝα υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ, δ

χωρίς μοιρογνωμόνιο.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. 45°ε2 β

Page 34: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

34

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο Α. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται παραπληρωματικές και πότε συμπληρωματικές; Β. Να σχεδιάσετε στο γραπτό σας δύο εφεξής και συμπληρωματικές γωνίες. Γ. Τι είδους γωνία θα είναι: α. η παραπληρωματική μιας οξείας γωνίας β. η παραπληρωματική μιας ορθής γωνίας γ. η κάθε μια από δύο γωνίες που είναι συμπληρωματικές. Θέμα 2ο Α. Πότε δύο κλάσματα λέγονται ομώνυμα και πότε ετερώνυμα; Β. Πότε ένα κλάσμα λέγεται ανάγωγο; Γ. Αν και οι δύο όροι ενός κλάσματος λήγουν σε 5 τότε το κλάσμα είναι ανάγωγο; (Ναι ή όχι και γιατί)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Στο διπλανό σχήμα δίνεται ότι xy // ΔΕ, xΑΔ = 70°

και = 40°. ΑΕΔ

Ax y70° α

Α. Να υπολογίσετε τις γωνίες δ και α (με αιτιολόγηση) 40°δ

Β. Να μεταφέρετε το σχήμα στο γραπτό σας και να σχεδιάσετε την απόσταση του σημείου Ε από την ευθεία xy και να την ονομάσετε ΕΒ. Να υπολογίσε-τε τις γωνίες του τριγώνου ΒΑΕ(με αιτιολόγηση).

Δ E

Άσκηση 2η

Δίνονται τα κλάσματα α =23

, β =52

.

Α. Να κάνετε τις πράξεις α + β, α · β και α : β.

Β. Να υπολογίσετε το αποτέλεσμα της παράστασης:

(0,001 · 1000 + 0,01 · 100) · 0,5 + 2 · 4 − 23

και να το συγκρίνετε με τα κλάσματα α και β. Άσκηση 3η Τρεις εργάτες ολοκληρώνουν ένα έργο. Ο 1ος εργάστηκε 20 ώρες, ο 2ος εργάστηκε το 80%

των ωρών του 1ου και ο 3ος εργάστηκε το 15των ορών του 1ου.

Α. Πόσες ώρες εργάστηκε ο 2ος και πόσες ο 3ος εργάτης; Β. Ο εργοδότης τους πλήρωσε συνολικά 480 ευρώ. Να τα μοιράσετε στους τρεις εργάτες ανάλογα με τις ώρες που εργάστηκαν και να βρείτε ποιο ποσοστό (%) των 480 ευρώ πήρε ο 3ος εργάτης.

Page 35: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

35

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Ποιο σχήμα ονομάζεται παραλληλόγραμμο (κάνετε σχήμα).

Β. Αναφέρατε τα είδη παραλληλογράμμων (ονομαστικά, κάνετε τα σχήματα).

Γ. Να διατυπώσετε τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου.

Θέμα 2ο

Α. Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα;

Β. Τι συμβαίνει με το λόγο των αντίστοιχων τιμών που παίρνουν δύο ανάλογα ποσά και τι

ονομάζουμε συντελεστή αναλογίας ;

Γ. Με ποια σχέση συνδέονται δύο ανάλογα ποσά x και y;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η είναι διπλάσια από τη Α Βκαι η τριπλάσια από τη Γ Β . Να υπολο-

γιστούν οι γωνίες του τριγώνου. Τι είδους τρίγωνο προκύπτει σε σχέση με τις γωνίες;

Άσκηση 2η

Αν x = 1 3−29

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ ( )5−23

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

:12

−⎛⎜⎝ ⎠

⎞⎟ και

y =1 5 12 3 6+ − − +⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

:13

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

Α = (x 1)y − x(y − − 5)

Άσκηση 3η ε1 φδ

Στο διπλανό σχήμα είναι: α

ε1 // ε2, ω = 110°, = 155° θ γ θ ω β

ε2

Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ, δ, φ ε3

Page 36: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

36

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Να διατυπώσετε την ισότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης και τη σχέση του διαιρέτη με το

υπόλοιπο.

Β. Ποιοι αριθμοί λέγονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι(ορισμός και ένα παράδειγμα για κάθε

περίπτωση).

Γ. Να συμπληρωθούν οι ισότητες:

α. α · (β + γ) = ……. β. 0 : α = ………. α ≠ 0

γ. 12010 = ………. δ. α : α = ……….. α ≠ 0

ε. α : 1 = …………. στ. λ αα⋅

= ……….. α ≠ 0

Θέμα 2ο

Α. Τι ονομάζεται μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος;

Β. Ποια είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα των σημείων της μεσοκαθέτου ευθυγράμμου

τμήματος;

Γ. Να δικαιολογήσετε γιατί η ευθεία της διαμέσου που αντιστοιχεί στη βάση ισοσκελούς

τριγώνου είναι και μεσοκάθετος της βάσης του.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Δίνονται οι παραστάσεις:

Α = 3 1

12 5−⎛ ⎞

⎟⎜⎝ ⎠

·23

και Β = (52 – 24) : (23 +1) + 22

Α. Να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων.

Β. Να λυθεί η εξίσωση Α · x = Β.

Άσκηση 2η

Στο διπλανό πίνακα τα ποσά x και y είναι ανάλογα: x 4 10 7,2 y 10 45 Α. Υπολογίστε το συντελεστή αναλογίας.

Β. Γράψτε τη σχέση που συνδέει τα ποσά αυτά.

Γ. Να συμπληρωθεί ο πίνακας.:

Άσκηση 3η A αε1 xΣτο διπλανό σχήμα είναι ε1 // ε2. ω

Αν = 62° και = 110°. α βφ β

Να υπολογιστούν οι γωνίες x, φ, ω. ε2B Γ

Δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας. ε

Page 37: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

37

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Διατυπώστε τα κριτήρια διαιρετότητας ενός φυσικού αριθμού με 2, 3, 4, 5, 9, 10.

Θέμα 2ο

Α. Ποιες γωνίες ονομάζονται παραπληρωματικές;

Β. Ποιες γωνίες ονομάζονται συμπληρωματικές;

Γ. Ποιες γωνίες ονομάζονται κατακορυφήν;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Ισχύει ε1 //ε2. Να βρεθούν οι γωνίες x, ω, φ.

ε1 40°x

120° ω φ

ε2

δ1 δ2

Άσκηση 2η

Να κάνετε τις πράξεις: 1 12 6−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

:3 15 3− ·

1 42 15− :

45

.

Άσκηση 3η

Δύο βρύσες τροφοδοτούν με νερό μια δεξαμενή. Η πρώτη παρέχει νερό για 10min και η δεύ-

τερη για 15min. Έτσι γεμίζουν και οι δύο την δεξαμενή με 450lt νερό. Πόσα lt νερό παρέχει η

καθεμιά βρύση στη δεξαμενή;

Page 38: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

38

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Τι λέγεται κύκλος (Ο, ρ) και τι ακτίνα του κύκλου; (Να δοθεί και το σχήμα)

Β. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται παραπληρωματικές;

Γ. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται κατακορυφήν;

Θέμα 2ο

A. Ποιους αριθμούς ονομάζουμε ομόσημους και ποιους ετερόσημους;

Β. Πώς προσθέτουμε δύο ομόσημους και πώς δύο ετερόσημους ρητούς αριθμούς;

Γ. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται αντίθετοι;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Να υπολογιστεί η τιμή της παρακάτω παράστασης:

Α = 23 : (52 3 · 7) − − (2 · 32 − 42 )2 =

Άσκηση 2η ε4 ε3

ε1 α β Στο διπλανό σχήμα ε1 // ε2 και τέμνονται

από τις ε3, ε4. Δίνεται = 30° και = 135°.

Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β και φ.

γ δ

φ

γ = 30°ε2

d = 135°

Άσκηση 3η

Να υπολογιστεί η τιμή της παρακάτω παράστασης:

23

·5 14 2−⎛ ⎞

⎜ + ⎟⎝ ⎠

54

:2 13 2+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Page 39: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

39

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2 και πότε με το 3;

Β. Πότε ένας αριθμός λέγεται πρώτος;

Γ. Πότε δύο αριθμοί λέγονται πρώτοι μεταξύ τους;

Θέμα 2ο

A. Να γράψετε τα είδη τριγώνων ως προς τις πλευρές και ως προς τις γωνίες τους

Β. Ποιες γωνίες ονομάζονται παραπληρωματικές και ποιες συμπληρωματικές;

Γ. Δύο παραπληρωματικές γωνίες μπορεί να είναι και ίσες;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Αν α = 10 4·2 + 23, β = 100 · (1,8 − − 1,3)2 και γ = 14 ·2 13 6−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

,

να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α = α2 − 4 · β + 2γ2

Άσκηση 2η

Να υπολογίσετε με δύο τρόπους την τιμή της παράστασης:

Α = 43

·2 53 6+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

Άσκηση 3η ε1 δ φγΣτο διπλανό σχήμα είναι ε1 // ε2.

Αν είναι ω = 72° και = 65°,

να υπολογίσετε τις γωνίες α, β,

γ, δ.

φ α βε2 v

ε3ε3

Page 40: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

40

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο Α. Αναφέρατε τον κανόνα της Ευκλείδειας Διαίρεσης. Β. Πότε μία Ευκλείδεια Διαίρεση χαρακτηρίζεται τέλεια και πότε ατελής; Γ. Ποιες από τις παρακάτω ισότητες είναι Ευκλείδειες Διαιρέσεις;

α. 360 = 36·10

β. 34 = 3·10 + 4

γ. 123 = 12·10 + 3

δ. 18 = 3·5 + 3

Θέμα 2ο Α. Να δώσετε τους ορισμούς των εννοιών: α. Εφεξής γωνίες βα

γβ. Παραπληρωματικές γωνίες 67°

δ44°γ. Κατακορυφήν γωνίες Β. Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ και δ του διπλανού σχήματος:

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η Δίνονται οι παραστάσεις:

Α =3 ( 2) ( 1) ( 12) : ( 2)

6 ( 3 7) 5 (3 7 6) 9− ⋅ − ⋅ − − − −

− − − + + − − − −και Β =

11 1 31

43 25

+ −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

: 3

7 1 22 4 3

− +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Αφού τις υπολογίσετε, να αποδείξετε ότι: 31·Β + 600·Α + 176 = 2010.

Άσκηση 2η Ξεκίνησα για την αγορά έχοντας 165€ στο πορτοφόλι μου. Στο ψαράδικο αγόρασα 2,4 κιλά τσιπούρες που κόστιζαν 14€ το κιλό. Είμαι τακτικός πελάτης και ο ψαράς μου έκανε έκπτω-ση 15%. Στο χασάπικο αγόρασα 3,6 κιλά χοιρινές μπριζόλες που κόστιζαν 6€ το κιλό. Επειδή διάλεξα τις μεγαλύτερες ο χασάπης μου τις χρέωσε 20% ακριβότερα. Από ένα κατάστημα που πουλούσε εργαλεία αγόρασα ένα ηλεκτρικό τρυπάνι που κόστιζε 65€. Μετά από παζάρια το πήρα 12% φθηνότερα. Σε όλα τα είδη επιβαρύνθηκα στην τελική τιμή με Φ.Π.Α 21%. Πό-σα χρήματα έμειναν τελικά στο πορτοφόλι μου; Άσκηση 3η Βρείτε τις γωνίες α, β και γ του παρακά-τω σχήματος, αν γνωρίζετε ότι η γωνία α είναι τριπλάσια και η γωνία γ τετραπ λάσια της γωνίας β. Αν οι ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες, να υπολογίσετε

α

γ βε1 δ

ζ εε2

ε4 ε3

κατόπιν τις γωνίες δ, ε, ζ και η.

Page 41: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

41

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Να γράψετε πότε δύο γωνίες λέγονται εφεξής, πότε λέγονται παραπληρωματικές και πότε

κατακορυφήν; Να σχεδιάσετε:

α. τρεις διαδοχικές γωνίες και

β. δύο εφεξής και παραπληρωματικές γωνίες.

Θέμα 2ο

Να γράψετε πότε μια διαίρεση είναι Ευκλείδεια. Σε ποια περίπτωση έχουμε τέλεια διαίρεση;

Πότε ένας αριθμός διαιρείται με το 5 και πότε με το 9;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Αν είναι y = 4,95 · 76,8 + 4,95 · 12,8 + 4,95 · 10,4να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή του y

με τη χρήση της επιμεριστικής ιδιότητας και κατόπιν αν x είναι η λύση της εξίσωσης

2x 103−

= 0, τότε:

y63x7

, να μετατρέψετε το σύνθετο κλάσμα σε απλό.

Άσκηση 2η

Από την κορυφή Α τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε τη διχο-

τόμο της γωνίας Α, που τέμνει την πλευρά ΒΓ στο

σημείο Δ. και από την κορυφή Γ φέρνουμε ημιευθεία

Γy παράλληλη προς την ΑΔ, όπως φαίνεται στο σχή-

μα. Αν η γωνία = 100°, όπου Γx η προέκταση της

ΒΓ και η γωνία

yΓx

yΓΑ = 36° να υπολογίσετε τις γωνίες

του τριγώνου ΑΒΓ.

y A

36°

Γ 100°

B xΔ

Άσκηση 3η

Αν είναι x = (+1) + ( 7− ) + (+8),

y = ⎢ 5⎢ + ⎢3⎢ ⎢ 2⎢, − − − −

ω ο αντίθετος του x,

z = ( 7)( − 10)−27

+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

45

+⎛ ⎞⎟⎜

⎝ ⎠−( 0,25) και

κ = ( 6 + 12) : −12−

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης Α = x + y + ω − zκ.

Page 42: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

42

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Πότε δύο αριθμοί λέγονται ομόσημοι και πότε ετερόσημοι;

Β. Πώς προσθέτουμε δύο ομόσημους αριθμούς;

Γ. Πώς προσθέτουμε δύο ετερόσημους αριθμούς;

Δ. Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι και ποιο είναι το αποτέλεσμα της πρόσθεσής τους;

(Να δώσετε από ένα παράδειγμα σε καθένα από τα παραπάνω ερωτήματα)

Θέμα 2ο

Α. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται εφεξής; Να γίνει ανάλογο σχήμα.

Β. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται κατακορυφήν; Ποια είναι η μεταξύ τους σχέση;

Να σχεδιάσετε δύο κατακορυφήν γωνίες.

Γ. Πότε δύο γωνίες λέγονται παραπληρωματικές;

Να σχεδιάσετε δύο γωνίες που ταυτόχρονα να είναι εφεξής και παραπληρωματικές.

Δ. Πότε μια γωνία ονομάζεται επίκεντρη;

Να γίνει ανάλογο σχήμα.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Δίνονται οι παραστάσεις:

Α = 24 · 2 – 23 : 2 + 2 · 32 – 52 και

Β = (5 · 2 – 7) · 4 – (32 – 22).

Α. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων Α και Β.

Β. Να βρείτε το Ε. Κ. Π. των Α και Β.

Άσκηση 2η A

Στο τρίγωνο ΑΒΓ του σχήματος, η γωνία Α είναι τρι-

πλάσια της γωνίας Β, ενώ η γωνία Γ είναι μεγαλύτερη

της γωνίας Β κατά 20°. ω

Γ B

Α. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου.

Β. Να υπολογίσετε τη γωνία ω του διπλανού σχήματος.

Άσκηση 3η

Ένας έμπορος αγόρασε ένα εμπόρευμα από έναν μεγαλέμπορα και του πλήρωσε 12.000 €. Κατά τη μεταφορά του χάλασε το 7 % του εμπορεύματος.

Α. Πόση ήταν η χρηματική ζημιά που υπέστη κατά τη μεταφορά;

Β. Το υπόλοιπο καλό εμπόρευμα το πούλησε με κέρδος 20 %. Πόσα χρήματα κέρδισε σε

σχέση με την αρχική αγορά των 12.000 €;

Γ. Τι ποσοστό κέρδους είχε απ’ όλη αυτή τη διαδικασία;

Page 43: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

43

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Τι λέγεται κύκλος;

Β. Θέσεις ευθείας και κύκλου (Σε κάθε περίπτωση να γίνει σχήμα).

Θέμα 2ο

Α. Πότε ένας αριθμός λέγεται πρώτος και πότε σύνθετος; (Δώστε από 3 παραδείγματα)

Β. Πότε δύο αριθμοί α και β λέγονται πρώτοι μεταξύ τους; (Δώστε ένα παράδειγμα)

Γ. Πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 5, πότε με το 4 και πότε με το 9;

(Δώστε ένα παράδειγμα σε κάθε περίπτωση)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Να υπολογιστούν οι γωνί

ες α, β και γ του διπλανού

σχήματος. γ 50° β

α 150°

Άσκηση 2η

Να συγκρίνετε τις παραστάσεις:

Α = 8 : 4 + 3 · 2 (6 : 2 5 : 5) (7 − − − − 4) : 3 − 1

Β = 3 · 5 · (6 + 2) + 5 · 8 · (7 4) 2 · 4 · (9 + 5 − − − 7).

Άσκηση 3η

Μια θεατρική παράσταση την παρακολούθησαν 720 θεατές. Από αυτούς τα 35ήταν γυναίκες,

τα 3

10ήταν άνδρες και οι υπόλοιποι παιδιά. Να βρείτε πόσες γυναίκες, πόσοι άντρες και πόσα

παιδιά παρακολούθησαν την παράσταση.

Page 44: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

44

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο Α. Πότε δύο κλάσματα λέγονται αντίστροφα; Β. Πότε ένα κλάσμα ονομάζεται ανάγωγο; Γ. Να χαρακτηρίσετε με Σ τις παρακάτω προτάσεις αν είναι σωστές και με Λ αν είναι λανθασμένες: α. Από δύο κλάσματα με τον ίδιο αριθμητή μεγαλύτερο είναι εκείνο με το μεγαλύτερο παρονομαστή.

β. Αν τα κλάσματα αβ

,γδείναι ισοδύναμα τότε α · δ = β · γ

γ. Ισχύει ότι

αβγδ

=α γβ δ⋅

δ. Όταν οι όροι ενός κλάσματος διαιρεθούν με τον ίδιο φυσικό αριθμό, εκτός του μηδέν προκύπτει κλάσμα ισοδύναμο. Θέμα 2ο Α. Να αναφέρετε τα είδη των τριγώνων ως προς τις πλευρές και ως προς τις γωνίες τους. Β. Τι ονομάζεται διάμεσος τριγώνου; Γ. Να χαρακτηρίσετε με Σ τις παρακάτω προτάσεις αν είναι σωστές και με Λ αν είναι λανθασμένες: α. Το άθροισμα γωνιών ενός τριγώνου είναι 180° β. Η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι και διχοτόμος. γ. Το σκαληνό τρίγωνο είναι πάντα οξυγώνιο. δ. Σε κάθε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι 60°

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η Α. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων:

Α =173

−73

·65−

41

3−⎛

⎜⎝ ⎠

⎞⎟ : 5 Β = 25 − 29·19 + (62 − 4 · 9)7 · 13 −

22 3 172

⋅ −

Β. Να βρείτε ένα κλάσμα μεταξύ των α, β. Γ. Να βρείτε τον αντίστροφο του α. Άσκηση 2η Το 35% των μαθητών ενός σχολείου συμμετέχει στο θεατρικό όμιλο, το 15% στον περιβαλ-λοντικό όμιλο και οι υπόλοιποι συμμετέχουν στον αθλητικό όμιλο. Α. Αν οι μαθητές του θεατρικού ομίλου είναι 105, να βρείτε πόσοι είναι οι μαθητές όλου του σχολείου. Β. Αν όλοι οι μαθητές του σχολείου είναι 300, να βρείτε πόσοι μαθητές συμμετέχουν στον περιβαλλοντικό όμιλο. Γ. Αν το 10% του αθλητικού ομίλου κάνει κολύμβηση, να βρείτε πόσοι μαθητές κάνουν κολύμβηση. Άσκηση 3η Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ότι: x΄x // y΄y, ΑΒx = 60°, = 90° ΑΒΓ

GAy

και ΑΔ διχοτόμος της . ΒΑΓΑ. Να υπολογιστούν οι γωνίες , ,α β γ . Β. Να χαρακτηριστεί το είδος του τριγώνου ΚΑΓ ως προς τις πλευρές του και ως προς τις γωνίες του.

60°B

x΄ xΔ α

αγ

K

Page 45: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

45

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α. Πότε δύο ρητοί αριθμοί λέγονται αντίθετοι και πότε αντίστροφοι;

Γράψτε από ένα παράδειγμα.

Β. Μεταξύ δύο αρνητικών αριθμών ποιος είναι μεγαλύτερος; Γράψτε ένα παράδειγμα.

Γ. Να χαρακτηριστούν οι παρακάτω προτάσεις ως: «σωστή» ή «λάθος».

α. Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι πάντα μη αρνητικός αριθμός.

β. Αν ένα γινόμενο ισούται με μηδέν τότε όλοι οι παράγοντές του είναι θετικοί αριθμοί.

Θέμα 2ο

Α. Τι ονομάζουμε απόσταση ενός σημείου Α από ευθεία ε;

Β. Τι λέγεται απόσταση δύο παράλληλων ευθειών;

Γ. Τι ονομάζουμε μεσοκάθετο ευθυγράμμου τμήματος και ποια ιδιότητα έχουν τα σημεία

της;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Αν Α =2 2 2010

3 2

6 (5 2 6)(2 3 2) : 2⋅ − ⋅

− ⋅και Β =

2 37 2 54− ⋅

:2

2

34

– 3·(3 – 2)2

Να υπολογιστεί το Α, το Β και να λυθεί η εξίσωση Αx = Β

Άσκηση 2η

Ένας πατέρας έδωσε στο γιό του το 50 % των χρημάτων που είχε στο πορτοφόλι του και

στην κόρη του το 13

. Να βρείτε:

Α. Τι μέρος των χρημάτων που είχε έδωσε συνολικά στα παιδιά του;

Β. Αν του έμειναν 15 Ευρώ, πόσα χρήματα είχε και πόσα έδωσε σε κάθε παιδί;

Άσκηση 3η

Στο τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι ορθή. Φέρ-

νουμε το ύψος ΑΔ αυτού και από το Δ τη ΔΕ

παράλληλη προς την ΑΒ. Αν η γωνία Β του τρι-

γώνου ΑΒΔ είναι διπλάσια της γωνίας ΒΑΔ:

A

B Γ Δ

Ex

yζ Α. Να υπολογίσετε τις γωνίες x, y, ζ, ω που

είναι σημειωμένες στο σχήμα. ω 2x

Β. Να βρείτε τι είδους τρίγωνο είναι το ΑΔΕ.

Page 46: ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α΄users.sch.gr/gkosyvas/autosch/joomla15/images/Α... · Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ - 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α΄

46