Ενότητα 7: Ο Fubini για τριπλά ολοκληρώματα....Λογισμός 4 Το...

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΝΟΙΚΤΑ

ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 4

Ενότητα 7: Ο Fubini για τριπλά ολοκληρώματα.

Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Λογισμός 4

Τμήμα Μαθηματικών

Άδειες Χρήσης

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

2


Λογισμός 4


Χρηματοδότηση

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3


Λογισμός 4


Περιεχόμενα ενότητας

1. Εφαρμογές του Θεωρήματος Fubini σε τριπλά ολοκληρώματα.

4


Λογισμός 4


Σκοποί ενότητας

Δίνουμε τα βασικά παραδείγματα εφαρμογής του Θεωρήματος Fubini σε τριπλά ολοκληρώματα.

5


Λογισμός 4


Εφαρμογές του Θεωρήματος Fubini σε τριπλά ολοκληρώματα (1)

Η ιστορία είναι ακριβώς η ίδια με την περίπτωση των δύο μεταβλητών.

Έτσι, για ένα ορθογώνιο 𝛱 = 𝑎1, 𝑏1 × 𝑎2, 𝑏2 × 𝑎3, 𝑏3

του ℝ3 έχουμε

𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝛱

= 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑎1,𝑏1

𝑑𝑦𝑎2,𝑏2

𝑑𝑧𝑎3,𝑏3

.

Αν Α είναι ένα σύνολο με σύνορο 𝜕𝛢 μέτρου 0, τότε

6


Λογισμός 4



𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝐴

= 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧𝐴 𝑥,𝑦

𝑑𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑝𝑟𝑥,𝑦𝐴

, 1

όπου 𝐴 𝑥,𝑦 = 𝑧: 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴

είναι η τομή του Α με την κατακόρυφο που φεύγει από το (𝑥, 𝑦), και

𝑝𝑟𝑥,𝑦𝐴 = 𝑥, 𝑦 , 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴

είναι η προβολή του Α στο επίπεδο 𝑥𝑂𝑦 (Σχ.1).

7


Λογισμός 4



8

Σχήμα 1


Λογισμός 4



Αν στην (1) θέσουμε

𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧𝐴 𝑥,𝑦

,

τότε


= 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧𝐴 𝑥,𝑦

𝑑𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑝𝑟𝑥,𝑦𝐴

= 𝐹 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑝𝑟𝑥,𝑦𝐴

,

και το τελευταίο ολοκλήρωμα υπολογίζεται με Fubini στις δύο διαστάσεις.

9


Λογισμός 4



Τέλος, αναφέρουμε την συνήθη περίπτωση, όπου το σύνολο Α επί του οποίου ολοκληρώνουμε, παραμετρικοποιείται ως εξής:

𝐴 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 : 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝜑1 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝜑2 𝑥 , 𝜓1 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑧 ≤ 𝜓2 𝑥, 𝑦 .

Σε αυτήν την περίπτωση έχουμε


= 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧𝜓2 𝑥,𝑦

𝜓1 𝑥,𝑦

𝜑2 𝑥

𝜑1 𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑏

𝑎

.

Στην συνέχεια, δίνουμε αρκετά παραδείγματα υπολογισμού τριπλών ολοκληρωμάτων.

10


Λογισμός 4



Παράδειγμα 1: Έστω Α το στερεό που ορίζεται από την επιφάνεια 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, τα επίπεδα 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 2, και τις συνθήκες 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 (Σχ. 2). Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝐴

Λύση: Η προβολή επί του επιπέδου είναι το σύνολο 𝑝𝑟𝑥,𝑦𝐴 = 𝑥, 𝑦 : 𝑥

2 + 𝑦2 ≤ 2, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

(δες Σχ.4 Ενότητα 6) Αν 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑝𝑟𝑥,𝑦𝐴, τότε

𝐴 𝑥,𝑦 = 𝑧: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 2 .

11


Λογισμός 4



12

Σχήμα 2


Λογισμός 4



Άρα,

𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝐴

= 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑝𝑟𝑥,𝑦𝐴

𝑥𝑑𝑧𝐴 𝑥,𝑦

= 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑝𝑟𝑥,𝑦𝐴

𝑑𝑧2

𝑥2+𝑦2

= 𝑥 2 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑝𝑟𝑥,𝑦𝐴

= 𝑥𝑑𝑥2

0

2 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑑𝑦2−𝑥2

0

= 2𝑥 2 − 𝑥2 1 − 𝑥2 −𝑥

32 − 𝑥2

3𝑑𝑥

2

0

= ⋯

13


Λογισμός 4



Παράδειγμα 2: Να υπολογιστεί ο όγκος της μπάλας 𝐵 0, 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑟2 .

Λύση: Η προβολή της μπάλας επί του επιπέδου 𝑥𝑂𝑦 είναι ο δίσκος D 0, 𝑟 . Αν τώρα το (𝑥, 𝑦) ανήκει στο δίσκο D 0, 𝑟 , τότε τα 𝑧 επί της σφαίρας ικανοποιούν 𝑧2 = 𝑟2 − 𝑥2 − 𝑦2. Συνεπώς η τομή 𝐵𝑥,𝑦 της μπάλας είναι τα 𝑧 που ικανοποιούν:

− 𝑟2 − 𝑥2 − 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ + 𝑟2 − 𝑥2 − 𝑦2

Έχουμε λοιπόν

𝐵 0, 𝑟 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝐵 0,𝑟

= 𝑑𝑥𝑑𝑦𝐵 0,𝑟

𝑑𝑧+ 𝑟2−𝑥2−𝑦2

− 𝑟2−𝑥2−𝑦2

14


Λογισμός 4



= 2 𝑟2 − 𝑥2 − 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦𝐵 0,𝑟

= 2 𝑑𝑥+𝑟

−𝑟

𝑟2 − 𝑥2 − 𝑦2𝑑𝑦+ 𝑟2−𝑥2

− 𝑟2−𝑥2.

Θέτουμε 𝑟2 − 𝑥2 = 𝑎2, και έχουμε

𝐵 0, 𝑟 = 2 𝑑𝑥+𝑟

−𝑟

𝑎2 − 𝑦2𝑑𝑦+𝑎

−𝑎

= 2 𝑦

2𝑎2 − 𝑦2 +

𝑎2

2𝜏𝜊𝜉𝜂𝜇𝑦

𝑎−𝑎

+𝑎

𝑑𝑥+𝑟

−𝑟

15


Λογισμός 4



= 0 − 0 + 𝑎2𝜏𝜊𝜉𝜂𝜇1 − 𝑎2𝜏𝜊𝜉𝜂𝜇 −1 𝑑𝑥+𝑟

−𝑟

= 𝑎2𝜋

2− 𝑎2 −

𝜋

2𝑑𝑥

+𝑟

−𝑟

= 𝜋 𝑟2 − 𝑥2 𝑑𝑥+𝑟

−𝑟

.

Τέλος, με την αλλαγή 𝑥 = 𝑟𝑤, προκύπτει

𝐵 0, 𝑟 = 𝜋 𝑟2 − 𝑟2𝑤2 𝑟𝑑𝑤+1

−1

= 𝜋𝑟3 1 − 𝑤2 𝑑𝑤+1

−1

= 𝜋𝑟3 2 −1

3+−1 3

3=4𝜋

3𝑟3.

16


Λογισμός 4



Παράδειγμα 3: Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝐷

,

όπου 𝐷 είναι το χωρίο του 1ου ογδοημορίου του ℝ3 που φράσσεται από τα επίπεδα 𝑦 = 0, 𝑧 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 2, 2𝑦 + 𝑥 =6, και τον κύλινδρο 𝑥2 + 𝑧2 = 4 (Σχ.3). Λύση: Ο κύλινδρος , έχει άξονα τον άξονα των x, και το κομμάτι που μας ενδιαφέρει είναι ζωγραφισμένο στο σχήμα. Άρα το ικανοποιεί , ενώ τα ικανοποιούν (δες Σχ.3):

0 ≤ 𝑥 ≤ 2 ⇒ 2 − 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 3 −𝑥

2,

2 ≤ 𝑥 ≤ 6 ⇒ 0 ≤ 𝑦 ≤ 3 −𝑥

2.

17


Λογισμός 4



18

Σχήμα 3


Λογισμός 4



Άρα,

𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝐷

=

= 𝑑𝑥2

0

𝑑𝑦3−𝑥2

2−𝑥

𝑧𝑑𝑧4−𝑦2

0

+ 𝑑𝑥6

2

𝑑𝑦3−𝑥2

0

𝑧𝑑𝑧4−𝑦2

0

= 𝑑𝑥2

0

4 − 𝑦2

2𝑑𝑦

3−𝑥2

2−𝑥

+ 𝑑𝑥6

2

4 − 𝑦2

2𝑑𝑦

3−𝑥2

0

= ⋯

19


Λογισμός 4


Βιβλιογραφία

1. Γ. Γεωργανόπουλος, Ολοκληρωτικός Λογισμός Πολλών Μεταβλητών, Εκδόσεις Αδελφοί Κυριακίδη, Θεσσαλονίκη, 1995.

2. Τ. Χατζηαφράτης, Απειροστικός Λογισμός σε Πολλές Μεταβλητές, Αθήνα, 1996.

3. J. Marsden, A. Tromba, Διανυσματικός Λογισμός, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 2000.

4. M. Spivac, Λογισμός σε Πολλαπλότητες, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 1994.

20


Λογισμός 4


Σημείωμα Αναφοράς

Copyright Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Μιχάλης Μαριάς. «Λογισμός 4. Ενότητα 7: Ο Fubini για τριπλά ολοκληρώματα». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη 2014.

Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

http://eclass.auth.gr/courses/OCRS437/

http://eclass.auth.gr/courses/OCRS437/


Λογισμός 4


Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων».

Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να

χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/

Σημείωμα Αδειοδότησης

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/






http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/


Λογισμός 4


Διατήρηση Σημειωμάτων

Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει:

το Σημείωμα Αναφοράς

το Σημείωμα Αδειοδότησης

τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων

το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει)

μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΝΟΙΚΤΑ

ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Τέλος ενότητας

Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Εαρινό εξάμηνο 2014-2015

Ενότητα 7: Ο Fubini για τριπλά ολοκληρώματα....Λογισμός 4 Το...

Documents

Transcript of Ενότητα 7: Ο Fubini για τριπλά ολοκληρώματα....Λογισμός 4 Το...