Μηχανική Ι - Στατική

Ενότητα #2: Δυνάμεις στο Επίπεδο

Δρ. Κωνσταντίνος Ι. Γιαννακόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα

Άδειες Χρήσης

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση • Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια

του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

Σκοποί Ενότητας

Ο στόχος της 2ης Ενότητας είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τις παρακάτω έννοιες:

• Δυνάμεων στο επίπεδο

• Ισορροπία τριών δυνάμεων

• Ζεύγος δυνάμεων

Περιεχόμενα Ενότητας

• Γραφική σύνθεση δυνάμεων

• Αναλυτική σύνθεση δυνάμεων

• Διάγραμμα ελεύθερου σώματος

• Ισορροπία τριών δυνάμεων

• Ζεύγος δυνάμεων

5

Γραφική σύνθεση δυνάμεων

Έστω δύο δυνάμεις Ρ1 και Ρ2 οι οποίες σχηματίζουν γωνία φ μεταξύ τους και επενεργούν στο υλικό σημείο Α. Για το γραφικό προσδιορισμό της συνισταμένης, ισχύει ο γνωστός κανόνας του παραλληλογράμμου " Η συνισταμένη δύναμη R δύο δυνάμεων Ρ1 (ΑΒ) και Ρ2 (ΑΔ) είναι το διάνυσμα το οποίο παριστάνεται με τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου (ΑΓ), το οποίο έχει προσκείμενες πλευρές τις συνιστώσες Ρ1 και Ρ2 ".

Κανόνας του παραλληλογράμμου • Μία παραπλήσια κατασκευή με αυτή του παραλληλογράμμου είναι η

κατασκευή του δυναμοτριγώνου (όταν πρόκειται για σύνθεση δύο δυνάμεων) ή δυναμοπολυγώνου (όταν πρόκειται για σύνθεση περισσοτέρων δυνάμεων). Το διάνυσμα Α'Γ' είναι η συνισταμένη δύναμη (R) των δυνάμεων Ρ1 και Ρ2.

7

Παραλληλόγραμμο και Δυναμοπολύγωνο

Στην περίπτωση που έχουμε να συνθέσουμε περισσότερες από δύο δυνάμεις, η συνισταμένη δύναμη βρίσκεται είτε με διαδοχική εφαρμογή του κανόνα του παραλληλογράμμου, είτε με εφαρμογή του δυναμοπολυγώνου. Για παράδειγμα, έστω ότι οι δυνάμεις Ρ1, Ρ2, Ρ3 ενεργούν στο ίδιο υλικό σημείο Α. Τότε η συνισταμένη δύναμη R βρίσκεται με τις μεθόδους που προαναφέραμε.

Παραλληλόγραμμο - Δυναμοπολύγωνο

9

Σύστημα συντρεχουσών δυνάμεων

• Θα πρέπει να τονίσουμε ότι στην περίπτωση του δυναμοπολυγώνου, η συνισταμένη δύναμη R προκύπτει πάντα η ίδια, ανεξάρτητα από τη σειρά με την οποία προσθέτουμε τις δυνάμεις. Αυτό σημαίνει ότι, για το ίδιο σύστημα δυνάμεων είναι δυνατό να σχηματίζονται περισσότερα από ένα δυναμοπολύγωνα, που τελικά όμως δίνουν την ίδια συνισταμένη.

• Αν συμβεί το πέρας του τελευταίου διανύσματος να συμπέσει με την αρχή του πρώτου, τότε η συνισταμένη δύναμη είναι μηδέν, οπότε λέμε ότι το σύστημα των δυνάμεων βρίσκεται σε ισορροπία. Ισχύει όμως και η αντίστροφη πρόταση κατά την οποία:

• Αν ένα σύστημα συντρεχουσών δυνάμεων, οι οποίες ασκούνται σε ένα υλικό σημείο Α, βρίσκεται σε ισορροπία, τότε το δυναμοπολύγωνο των δυνάμεων αυτών είναι κλειστό.

10

Σύστημα δυνάμεων σε ισορροπία

Αναλυτική σύνθεση δυνάμεων

Παράδειγμα αναλυτικής σύνθεσης

Διάγραμμα ελεύθερου σώματος

Ολίσθηση δύναμης

Ισοροπία τριών δυνάμεων

Σχέση κατά την ισορροπία

Παράδειγμα

Zεύγος δύναμης

Έστω τυχαίο σημείο Ο ανάμεσα στο Α και Β ΣMο = Ρx + P(l-x)= Px + Pl-Px ΣΜο=Ρl

Άρα η δοκός μόνο περιστρέφεται Το αποτέλεσμα είναι ανεξάρτητο του σημείου Ο Η περίπτωση αυτή καλείται Ζεύγος Δυνάμεων Η ροπή ενός ζεύγους δυνάμεων έχει μέτρο ισο με το γινόμενο της δύναμης επί την μεταξύ τους απόσταση.

Ισορροπία στερεού σώματος στο επίπεδο

ΣF𝑋𝑋 = 0 ΣF𝑌𝑌 = 0

Σ𝑀𝑀𝜊𝜊 = 0 για κάθε σημείο Ο του επιπέδου

Ζεύγη δυνάμεων

Στο προηγούμενο κεφάλαιο, είδαμε ότι για να ισορροπούν δύο δυνάμεις, πρέπει να έχουν ίσα μέτρα και αντίθετες διευθύνσεις. Επίσης πρέπει να ενεργούν πάνω στον ίδιο φορέα (να είναι συνευθειακές). Εάν δύο δυνάμεις έχουν ίσα μέτρα και αντίθετες διευθύνσεις, αλλά δεν είναι συνευθειακές, τότε λέγεται ότι αποτελούν ζεύγος δυνάμεων.

Ροπή Η εφαρμογή ενός ζεύγους δυνάμεων σε ένα σώμα προκαλεί περιστροφή του σώματος. Πρακτική εμπειρία αυτού έχουμε από την περιστροφή ενός βιδωτού πώματος μπουκαλιού, η οποία προκαλείται όταν ασκήσουμε ένα ζεύγος δυνάμεων με τα δάκτυλά μας. Το φυσικό μέγεθος, που προκαλεί την περιστροφή των σωμάτων, λέγεται ροπή. Ένα ζεύγος δυνάμεων δεν προκαλεί μετατόπιση, αλλά μόνο περιστροφή, συνεπώς είναι ισοδύναμο με μια ροπή.

22

Η ροπή σαν εξωτερικό γινόμενο

Η ροπή μιας δύναμης προς ένα σημείο Α ορίζεται μαθηματικά σαν το εξωτερικό γινόμενο του διανύσματος που άγεται από το Α προς την αρχή της δύναμης επί την δύναμη. Συμβολικά αυτό γράφεται:

Θεώρημα Varignon

Έστω ότι σε ένα υλικό σώμα ασκείται σύστημα συνεπίπεδων δυνάμεων Ας υποθέσουμε ότι είναι η συνισταμένη τους. Το θεώρημα του Varignon λέει ότι η ροπή της ως προς ένα σημείο Α του επιπέδου των δυνάμεων είναι ίση με το άθροισμα των ροπών των δυνάμεων προς το ίδιο σημείο Α.

Σύνθεση παράλληλων δυνάμεων Μία χαρακτηριστική περίπτωση σύνθεσης μη συντρεχουσών δυνάμεων, είναι αυτή των παράλληλων δυνάμεων. Οι παράλληλες αυτές δυνάμεις μπορεί να είναι ομόρροπες ή αντίρροπες.

Συνέχεια του θεωρήματος Varignon

Στην πρώτη περίπτωση η συνισταμένη δύναμη είναι ίση με R = Ρ1 + Ρ2 Ο φορέας της βρίσκεται ενδιάμεσα στους φορείς των Ρ1, Ρ2 και σε απόσταση που προσδιορίζεται από εφαρμογή του θεωρήματος του Varignon, που δίνει

26

Η απόσταση α

• Η φορά της R, είναι ίδια προφανώς με τη φορά των Ρ1,Ρ2. Στη δεύτερη περίπτωση η συνισταμένη δύναμη είναι, ενώ ο φορέας της βρίσκεται έξω από τους φορείς των Ρ1, Ρ2 και προς το μέρος της Ρ2 (της μεγαλύτερης δύναμης). Η απόσταση α είναι,

Η φορά της R τώρα, είναι ίδια με τη φορά της μεγαλύτερης δύναμης.

27

Ισορροπία σώματος Έστω ότι έχουμε ένα σύστημα μη συντρεχουσών δυνάμεων Ρ1, Ρ2,. . . , Ρi, ... , Ρη το οποίο βρίσκεται πάνω σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων Oxy. Σε αυτήν την περίπτωση αν α') Μεταφέρουμε παράλληλα όλες τις δυνάμεις έτσι ώστε η αρχή τους να είναι στο σημείο Ο και β') Προσθέσουμε τις ροπές όλων των δυνάμεων ως προς το σημείο Ο, τότε το νέο σύστημα δυνάμεων που σχηματίζεται είναι ισοδύναμο με το πρώτο. Είναι αντιληπτό ότι προκειμένου να ισορροπεί το σύστημα δεν αρκεί να ισχύει μόνο ΣΡiχ = 0 και ΣΡiy = 0 διότι παρόλο που οι σχέσεις αυτές μας εξασφαλίζουν το μηδενισμό της συνισταμένης δεν μας εξασφαλίζουν την απουσία ζεύγους δυνάμεων από το σύστημα, που θα του προκαλούσαν περιστροφή. Γι' αυτό το λόγο θα πρέπει και το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών όλων των δυνάμεων ως προς την αρχή των αξόνων Ο, να είναι μηδέν. Δηλαδή ΣΜο = 0.

Παράλληλη μεταφορά δυνάμεων

29

Εξισώσεις ισορροπίας

Επομένως οι εξισώσεις ισορροπίας συστήματος μη συντρεχουσών δυνάμεων, είναι αυτές που παρουσιάζονται πιο κάτω: οι οποίες συνηθίζεται να χρησιμοποιούνται ως εξής:

Προσφορότερη ομάδα εξισώσεων • Για την επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος, εκλέγεται η προσφορότερη

ομάδα εξισώσεων στατικής ισορροπίας, προκειμένου να αντιμετωπιστούν οι ιδιομορφίες του δεδομένου συστήματος δυνάμεων.

• Τα αποτελέσματα που θα προκύψουν από την επίλυση των εξισώσεων ισορροπίας μπορούμε να τα επαληθεύσουμε αν χρησιμοποιήσουμε μια επιπλέον εξίσωση ισορροπίας, η ικανοποίηση της οποίας επιβεβαιώνει την ορθότητα των αποτελεσμάτων. Η επιπλέον αυτή εξίσωση είναι γραμμικά εξαρτημένη με εκείνες που χρησιμοποιούνται για τη λύση του προβλήματος. Αν για την επίλυση του προβλήματος χρησιμοποιηθούν οι τρεις εξισώσεις ισορροπίας, τότε η επιπλέον εξίσωση μπορεί να είναι μια εξίσωση μηδενισμού ροπών ως προς κάποιο σημείο διαφορετικό από εκείνο που είναι το κέντρο ροπών για τη βασική εξίσωση μηδενισμού ροπών.

• Σημειώνουμε όμως, ότι εκτός από την επιλογή των κατάλληλων στερεοστατικών εξισώσεων, ένα άλλο επίσης σημαντικό βήμα στην επίλυση προβλημάτων Στατικής αποτελεί η κατασκευή του διαγράμματος ελεύθερου σώματος προκειμένου να εξασφαλιστεί η σωστή μαθηματική διατύπωση του προβλήματος που έχουμε να αντιμετωπίσουμε.

31

Τέλος Ενότητας