1

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ Α

Α1. Α1. Σελίδα 111 σχολικού βιβλίου

Α2. Σελίδα 129 σχολικού βιβλίου

Α3. i) Ψ ii) Το παράδειγμα σελίδα 35 σχολικού Σχ(34)

Α4. α. Λ

β. Λ

γ. Σ

δ. Σ

ε. Σ

ΘΕΜΑ Β

Β1. Για κάθε 1 2, x x Rαν 3 3 3 3 3 3

1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 22 2 ( ) ( ) x x x x x x x x x x x x f x f x άρα η f γνήσια

αύξουσα στο R

Β2. α) i) 3 3lim (x) lim 2 lim

x x x

f x x x

ii) 3 3lim ( ) lim 2 lim

x x x

f x x x x

β) Το σύνολο τιμών της f είναι ( ) lim ( ), lim ( ) , ,

x x

f R f x f x f συνεχής

Η f είναι συνεχής ως πολυωνυμική και ο αριθμός n=0 ανήκει στο ( )f R άρα από Θ.Ε.Τ η f έχει ρίζα στο

R. Η ρίζα είναι μοναδική αφού η f είναι γνήσια αύξουσα στο R, 1-1.

Β3.

31 1

3 2 3 2

2

( ) 1 ( ) ( 1) 1 1 2

3 3 1 1 3 3 0

3 3 0(1)

f ύ

f x x f f x f x x x x

x x x x x x x x

x x x

28/12/2018

Μαθηματικά Ο.Π. Γ΄Λυκείου (Θερινά)

Παπαναγιώτου Παναγιώτης

2

Το 2 3 3 x x έχει διακρίνουσα 2( 3) 4 1 3 3 0 άρα 2 3 3 0 x x για κάθε x R Τότε η (1)

δίνει 0x

Β4. Η 3 2'( ) 2 ' 3 1 f x x x x άρα '(0) 1 1 1 0 f

Το 0

lim ( ) (0) 2 0

x

f x f άρα f(x) θετικό κοντά στο 0 και ( ) ( )f x f x Τότε το ζητούμενο όριο είναι:

3

30 0 0

3 3 2 3

30 03 3

2 3 2 3

220 0

( ) 2 ( ) 2lim lim lim

( ) 1 1 ( ) 1 1 1 1

1 1 1 1 1lim lim

1 11 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 2lim lim 2

1 11

x x x

x x

x x

f x f x x x

f x f x x x

x x x x x x x x

x xx x x x

x x x x x xx

xx x

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. Η f είναι συνεχής στο 1 1

,4

e

ως παραγωγίσιμη άρα απ το Θ.Μ.Ε τιμής για κάθε

1 1, : ( )

4

x m f x Me

:5

13 3 3

4

1 1 1 1( ) 5 3 5

4

1

1 1 13

4

5

m f M

m f x M m f m f f f Me

m f Me

f f fe

m M

αν m=Μ η f(x)=c (σταθερή) και το 0

1 1 13

4( )

5

f f fe

f x

για οποιοδήποτε x0 του

1 1,

4

e

αν ,m M f συνεχής τότε από Θ.Ε.Τ αφού

1 1 13

4

5

f f fe

n

ανήκει στο Σ.Τ υπάρχει

0 0

1 1 13

1 1 4, 0,1 :

4 5

f f fe

x f x ne

3

Γ2. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (0,1) και συνεχής στο [0,1] ως παραγωγίσιμη και

(0) (1)f f άρα από Θ. Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον (0,1) : f'( ) 0 . Έστω υπάρχει και δεύτερη

ρίζα ξ1: ξ1<ξ (όμοια με ξ<ξ1) τότε η f’είναι παραγωγίσιμη στο (ξ1,ξ), f’ συνεχής στο [ξ1,ξ] ως

παραγωγίσιμη και f’ (ξ1)=f’(ξ)=0. Άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον

2 1 2( , ) : f''( ) 0 που είναι ΑΤΟΠΟ. Άρα η ρίζα ξ είναι μοναδική στο (0,1).

Γ3. Η εξίσωση γράφεται 2) '(x 1 0 x f x Θεωρούμε την συνάρτηση

( ) 2 '( ) 1 g x x f x x συνεχής στο [ξ,2] ως πράξεις των συνεχών x-1,x-2,f’(x)

(Οι x-1,x-2 συνεχείς ως πολυωνυμικές και η '( )f x συνεχής ως παραγωγίσιμη) Είναι

( ) (2) 2 '( ) 1 2 2 '(2) 2 1 1 1 0 g g f f γιατί ξ (0,1). Άρα από Θ.

Bolzano η εξίσωση g(x)=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα ότι (ξ,2) (0, 2) άρα στο (0,1)

Γ4. Έστω Α(α,f(α), Β(β,f(β)), Γ(γ,f(γ)) τρία συνευθειακά σημεία στην Cf με α<β<γ. Τότε οι συντελεστές

διεύθυνσης των , είναι ίσοι ή ( ) ( ) ( ) ( )

(1)

f f a f f

Η f συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) άρα από Θ.Μ.Τ υπάρχει

1 1

( ) ( ), ( , ) : '( )

f ff

Όμοια υπάρχει

(1)

2 2 1 2

( ) ( )( , ) : '( ) '( ) '( )

f ff f f

.Η

'f είναι συνεχής στο [ξ1,ξ2], παραγωγίσιμη στο (ξ1,ξ2), 1 2'( ) '( )f f τότε από Θ. Rolle υπάρχει

3 1 2 3( , ) : ''( ) 0 f ΑΤΟΠΟ.

ΘΕΜΑ Δ

Δ1. Για κάθε , 1 1, x είναι

2 2 2

2 2 2

'( ) ( 1) '( ) ( 2 1) '( ) ( 1) 2

'( ) ( 1)( ) ' (x 1) ' '( ) [( 1) ]'

x x x x

x x x

f x x e f x x x e f x x e x e

f x x e e f x x e

Άρα η συνάρτηση

2

1

2

2

( 1) , 1

2( ) , 1

1 , 1

x

x

x e c x

f x xe

x e c x

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0=-1 άρα έχουμε: 1 21 1

2 2 2lim ( ) lim ( ) ( 1)

x xf x f x f c c

e e e

Απ τις τελευταίες ισότητες είναι 1 2 0 c c άρα η 2( ) ( 1) , xf x x e x R

Δ2. α) Είναι 2 2 2 2'( ) 1 ' 1 ( ) ' 2x e 1 2 1 x x x x xf x x e x e x e x x e

4

Για κάθε 1 2, 1, x x με x1<x2

1 2

2 2

1 2

1 1

0 1 1 (1)

x x

x xεπίσης από

1 2 1 2

1 2 0 (2) x x x xx x e e e e Από (1) , (2) 1 22 2

1 2 1 2(x 1) ( 1) '( ) '( ) x xe x e f x f x άρα η

f’ είναι γνήσια αύξουσα στο [1, )

β) Για 21 x x x άρα 2 1 x x . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [1,x] άρα και συνεχής. Τότε

από Θ.Μ.Τ υπάρχει ένα τουλάχιστον 1 1

( ) (1)(1, x) : f'( )

1

f x f

x . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη

στο [x,x2] άρα και συνεχής τότε από το Θ.Μ.Τ υπάρχει ένα τουλάχιστον

222

2 2 2

( )( ) ( )(x, x ) : f'( )

( 1)

f x f xf x f x

x x x x . Η συνάρτηση f’ είναι γνήσια αύξουσα στο [1, ] και

1 2 (1, ) άρα και

2 21 0

1 2

( ) ( )( ) 2'( ) '( ) ( ) 2 , 1(3)

1 ( 1)

xf x f x f x f xf x ef f f x e x

x x x x Η τελευταία σχέση (3)

ισχύει και σαν ισότητα για x=1 αφού (1) 2 2 2 0 f e e e και 21 (1)

01

f f

Δ3. Το 2lim (f(x) 2e) lim 1 2

x

x xx e e γιατί 2lim 1

xx και lim

x

xe . Αφού

2 ( )( ) 2

f x f xf x e

x το

2 ( )lim

x

f x f x

x άρα το

2lim 0(4)

( )

x

x

f x f x. Είναι

2 2 2( ) ( ) ( )

x x x xx

f x f x f x f x f x f x

άρα

2 2 2( ) ( ) ( )

x x x x

f x f x f x f x f x f x

Το

2lim 0

( )

x

x

f x f xόπως και

2lim 0

( )

x

x

f x f x άρα από Κ.Π το

2lim 0

( )

x

x x

f x f x

Δ4. Είναι

2 ( ) 3 ( )1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) , 0, ( ) 0

2 2 2

e t x tt x t y t x t x t e t x t x t e t x t

(παραγωγίσιμη ως πράξεις και σύνθεση παραγωγισίμων)

0

0

2 ( ) 3 ( )

2 ( ) 3 ( ) ( ) 2 3

( ) 3 2

0 0 0

1 1'( ) 3 ( ) x'(t) x'(t) ( ) ( ) '( )

2 2

1 1 13 ( ) 1 '( ) ( ) ( ) '( ) '( ) 3 ( ) ( ) ( ) 1

2 2 2

1'(t ) '(t ) ( ) 3 (

2

x t x t

x t x t x t

t tx t

t x t e x t x t e x t

x t e x t x t x t e x t e x t x t x t x t

E e x x t x 0 0) ( ) 1 0 t x t

όταν

3 2

0 0 0(t ) 3 ( ) ( ) 1 0(1) x x t x t

5

αφού 0( )

00, '( ) 0 x t

e x t . Στην (1) 0( )

3 23 1 0

x t a

a a a . Θεωρούμε συνάρτηση

3 2( ) 3 1 g x x x x συνεχής στο 3,0 ως πολυωνυμική με ( 3) (0) ( 2)( 1) 0 g g άρα από Θ.

Bolzano υπάρχει 0( ) ( 3,0) a x t ώστε να ισχύει η (1) ή ο ρυθμός του Ε να μηδενίζεται.

β. Στο σημείο x,f(x)Mη εφαπτόμενη ευθεία (ε) έχει συντελεστή διεύθυνσης

22 2'( ) 1 ' 2x e 1 1 x x x xf x x e x e x e . Τότε

21 xx e ή

2 ( )( ) ( ) 1 x tt x t e που είναι παραγωγίσιμα ως πράξεις και συνθέσεις παραγωγίσιμων. Είναι

0

0

2 ( )

22 ( ) ( ) ( ) 2

( )2 2

0 0 0 0 0

( ) ' ( ) 1 '

1 ( ) '( ) 2 ( ) 1 '( ) ( ) 1 '( ) '( ) ( ) 4 ( ) 3

1 ( ) '( ) e '( ) ( ) 4 (t ) 3

x t

t tx t x t x t

x t

t x t e

t t x t x t e x t e x t e x t x t x t

t t x t x t x

Αν

θ’(t0)=0 τότε 2

0 0( ) 4( ) 3 0(2) x t t αφού 0( )2

0 01 ( ) 0, 0, '( ) 0 x t

t e x t .

Από δευτεροβάθμια (2) είναι 0( ) 3 x t ή

0( ) 1 x t δεκτές αφού 0( ) 0x t άρα το σημείο Μ βρίσκεται

στις θέσεις 3,f( 3 ή 1,f( 1) .