norma de un vector

Vectores, normas, angulos

Vectores (espacio vectorial)puntos (espacio afın)

~v

P ~v = (x, y)

P = (x, y)

x

y

La longitud o norma del vector~u = (u1, u2) se define como

‖~u‖ = (u21 + u2

2)1/2

El producto escalar de los vectores~u = (u1, u2) y ~v = (v1, v2) es

~u · ~v = u1v1 + u2v2 = ‖~u‖ ‖~v‖ cos α

Es decir, cos α =~u · ~v

‖~u‖ ‖~v‖

~u

~vα

Pedro A. Ramos (Depto. Matematicas, UAH)


Una base de un espacio vectorial es un conjunto de vectores que es

sistema de generadores

linealmente independiente

Si {~u, ~v} es cualquier base de R2, todo vector ~w se puede escribir, deforma unica, como

~w = α1~u + α2~v

(Los escalares α1, α2 se llaman coordenadas del vector en esa base).

Trabajaremos con las bases canonicas

R2: {(1, 0), (0, 1)} = {e1, e2}

R3: {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} = {e1, e2, e3}

¿Por que?



Porque es muy sencillo:

(x , y) = x ~e1 + y ~e2 = x(1, 0) + y(0, 1)

En general, en geometrıa se trabaja con bases ortonormales

vectores unitarios (norma 1)

ortogonales 2 a 2

Es decir, una base {~u1, ~u2, ~u3} deR3 es ortonormal si

~ui · ~ui = 1, i = 1, 2, 3.

~ui · ~uj = 0, i , j = 1, 2, 3, i 6= j .e1

e2

e1

e2

e3


Proyeccion ortogonal

Si ~u es un vector unitario, la proyeccionortogonal de ~w sobre ~u es

~w ′ = (‖~w‖ cos α)~u = (~w · ~u)~uα

~u

~w

~w′

Por tanto, si {u1, u2} es una baseortonormal de R2,

~w = (~w · ~u1)~u1 + (~w · ~u2)~u2

(Analogamente, para R3)

~w ~u1~u2


Orientacion de una base

~e1

~e2

~u1

~u2

~u1

~u2

~u3

~e1

~e2

~e3

Hay dos posibles orientaciones para unabase de R2 o R3.

Si ~u1 = (x1, y1), ~u2 = (x2, y2) es una basede R2, se dice que esta positivamenteorientada (es decir, igual que lacanonica), si ∣∣∣∣ x1 x2

y1 y2

∣∣∣∣ > 0

(Analogo para R3)


Transformaciones lineales

Una aplicacion f : Rn → Rm es lineal si

f (u + v) = f (u) + f (v) para todo u, v ∈ Rn.

f (λ u) = λ f (u) para todo u ∈ Rn, λ ∈ R.

Todas las aplicaciones lineales f : Rn → Rm se pueden expresar enforma matricial: existe A ∈Mm×n de forma que

si X ∈ Rn, f (X ) = A · X ∈ Rm

Obs: en cualquier transformacion lineal, f (~0) = ~0.

Una transformacion afın es la composicion de una transformacionlineal y una traslacion.

Por tanto, una transformacion afın f : R2 → R2 se puede escribir de laforma

f (X ) = A X + b, donde A ∈M2×2, b ∈ R2


Transformaciones afines

Una transformacion afın general f : R2 → R2 tiene la forma(x ′

y ′

)=

(a11 a12a21 a22

) (xy

)+

(b1b2

)

Depende de 6 parametros. Por tanto, queda determinada por untriangulo T y su transformado f (T ).

Tf(T )

P

Q

R

f(P )f(Q)

f(R)

f



¿Y si queremos visualizar la transformacion “animada”?

Si f (X ) = A X , podemos considerar la interpolacion lineal

At = (1− t) ∗ I + t A → ft(X ) = ((1− t) ∗ I + t A) X

Aplicacion: si se quiere transformar un polıgono mas complicado enotro, se puede hacer “a trozos” (si se consiguen dos triangulacionescompatibles).

T1

T2 T3 T4 T ′1 T ′

2

T ′3

T ′4



Si f y g son dos transformaciones afines, y queremos hacer g ◦ f ,aparece un problema:

f (X ) = A1 X + b1

g(X ) = A2 X + b2

⇓

g ◦ f (X ) = A2 A1 X + A2 b1 + b2

Solucion ...


Coordenadas homogeneas

En coordenadas homogeneas, un punto de R2 se representa con 3numeros reales (y uno de R3 con 4).

Formalmente (para R2),en el conjunto C = {(x , y , w) | x , y , w ∈ R} se define la siguienterelacion de equivalencia:

(x , y , w) ∼ (x ′, y ′, w ′) ⇔ ∃λ 6= 0 tal que (x ′, y ′, w ′) = λ(x , y , w)

¿Como se puede interpretar el conjunto cociente C/ ∼?

C/ ∼ representa el plano R2 junto con las direcciones del infinito

“Receta”

Si w 6= 0, (x , y , w) ∼ (x/w , y/w , 1) ↔ (x/w , y/w) ∈ R2.

(x , y , 0) representa el punto del intinito en la direccion de (x , y)(si x , y) 6= (0, 0)).

(0, 0, 0) ↔ (0, 0) ∈ R2


Coordenadas homogeneas

OpenGL (y el resto de herramientas similares) utilizan siempre (almenos a nivel interno), coordenadas homogeneas.

Permiten trabajar con puntos del infinito (direcciones).

Evitan el problema del crecimiento de las expresiones alcomponer transformaciones afines:

(x ′

y ′

)=

(a11 a12a21 a22

) (xy

)+

(b1b2

)→

x ′

y ′

1

=

a11 a12 b1a21 a22 b20 0 1

xy1

En resumen,

Xh =

xy1

Ah =

(A b0 1

)→ X ′

h = Ah Xh


Transformaciones rıgidas. Matrices ortogonales

Se dice que una transformacion f : Rn → Rn es una transformacionrıgida o isometrıa si conserva los angulos y las distancias.(En ese caso, conserva tambien areas y volumenes).

Si la transformacion se escribe f (X ) = AX + b, con A ∈Mn, se tiene

f es una transformacion rıgida ⇔ A · At = I

Las matrices que verifican A · At = I se llaman matrices ortogonales.

Obs:

Si A es una matriz ortogonal, det A = ±1.

En general, |det A| mide la distorsion que produce latransformacion f (X ) = AX + b en areas y volumenes.

El signo de det A mide si la transformacion conserva o no laorientacion.


Transformaciones en R2.

Una transformacion afın general f : R2 → R2 se escribe(x ′

y ′

)=

(a11 a12a21 a22

) (xy

)= A X + b

En coordenadas homogeneas, x ′

y ′

1

=

a11 a12 b1a21 a22 b20 0 1

xy1

= Ah Xh


Transformaciones rıgidas en R2.

Traslacion de vector(

ab

).

Giro de angulo α alrededor del origen.

Simetrıa respecto de la recta y = ax .

El resto de transformaciones se pueden obtener comocomposicion de estas.

Ejemplo: obtener la expresion matricial del giro de angulo αalrededor del punto P.

P

X

X ′

α

O

T−P

TPα

Gα,P = TP ◦ Gα,O ◦ T−P


Transformaciones no rıgidas.

1 - Escalado (con respecto al origen).

A =

(λ1 00 λ2

)b = 0

2 - Deslizamiento. (“Shear”)

Sx =

(1 s0 1

)Sy =

(1 0s 1

)


Matrices en OpenGL

Las transformaciones basicas estan implementadas enOpenGL. (Traslacion, escalado, giro).

Para transformaciones mas complicadas, se pueden manejarmatrices directamente.

Comandos basicos: glLoadMatrixf(), glMultMatrixf()

Importante: glLoadMatrixf() lee las matrices por columnas. Portanto, si declaramos M[4][4], elemento M[i][j] columna i fila j (alreves que en C). Solucion: declarar M[16]

Programas de ejemplo: transf-2d-ej1, pilas-matrices, Mi animacion


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